第四章：有限元方法（Finite Element Method）

阅读笔记

书籍信息：T. Christian Gasser, Vascular Biomechanics (2022), Springer

章节概述：本章系统介绍了线性与非线性有限元方法（FEM），涵盖空间离散化、形状函数、变分法、有限元方程组、约束问题、方程组求解方法，以及在血管生物力学中的实际应用案例。

4.1 引言

有限元方法是求解偏微分方程（PDE）最广泛使用的数值方法，也是血管生物力学问题计算仿真的首选方法。该方法将连续体划分为大量有限元，通过互联节点近似求解。时间步进或预测-校正方法用于计算节点独立变量，如固体力学中的位移u或流体力学中的速度v。

偏微分方程分类

工程问题的物理性质取决于控制偏微分方程的类型：

双曲型PDE：描述波动传播等问题，初始条件的不连续性会在系统中传播，甚至在非线性问题中会局部化形成激波。
椭圆型PDE：描述弹性体变形等问题，解是光滑的，即使初始条件不连续。边界数据影响整个域，边界尖角会导致解的奇异性。
抛物型PDE：描述热传导等问题，介于双曲型和椭圆型之间。

4.2 空间离散化

4.2.1 形状函数（Shape Function）

有限元的节点存储独立问题变量（如结构力学中的位移ui），形状函数Ni(ξ)用于在有限元Ωe内插值这些变量：

\[u(\xi) = \sum_{i=1}^{nnpe} N_i(\xi) u_i \tag{4.1}\]

其中nnpe为有限元节点数，ξ为自然坐标系。

形状函数必须满足的三个性质： 1. 单位性（Property of unity）：∑ Ni(ξ) = 1 2. δ性质（Delta property）：Ni(ξj) = δij 3. 线性无关性（Linear independence）

4.2.1.1 一维问题形状函数

两节点线性单元（−1 ≤ ξ ≤ 1）： $$N_1(\xi) = (1-\xi)/2 ; \quad N_2(\xi) = (1+\xi)/2 \tag{4.3}$$

三节点二次单元： $$N_1(\xi) = (\xi^2-\xi)/2 ; \quad N_2(\xi) = (\xi^2+\xi)/2 ; \quad N_3(\xi) = 1-\xi^2 \tag{4.4}$$

4.2.1.2 二维问题形状函数

四边形双线性形状函数（自然坐标−1 ≤ ξ1 ≤ 1, −1 ≤ ξ2 ≤ 1）： $$N_1(\xi_1,\xi_2) = \frac{1}{4}(1-\xi_1)(1-\xi_2)$$ $$N_2(\xi_1,\xi_2) = \frac{1}{4}(1+\xi_1)(1-\xi_2)$$ $$N_3(\xi_1,\xi_2) = \frac{1}{4}(1+\xi_1)(1+\xi_2)$$ $$N_4(\xi_1,\xi_2) = \frac{1}{4}(1-\xi_1)(1+\xi_2) \tag{4.5}$$

三角形单元形状函数（面积坐标）： $$N_1 = \xi_1 ; \quad N_2 = \xi_2 ; \quad N_3 = 1-\xi_1-\xi_2$$

4.2.1.3 三维问题形状函数

八节点六面体（三线性）单元： $$N_1 = \frac{1}{8}(1-\xi_1)(1-\xi_2)(1-\xi_3)$$ $$N_2 = \frac{1}{8}(1+\xi_1)(1-\xi_2)(1-\xi_3)$$ $$N_3 = \frac{1}{8}(1+\xi_1)(1+\xi_2)(1-\xi_3)$$ $$N_4 = \frac{1}{8}(1-\xi_1)(1+\xi_2)(1-\xi_3)$$ $$N_5 = \frac{1}{8}(1-\xi_1)(1-\xi_2)(1+\xi_3)$$ $$N_6 = \frac{1}{8}(1+\xi_1)(1-\xi_2)(1+\xi_3)$$ $$N_7 = \frac{1}{8}(1+\xi_1)(1+\xi_2)(1+\xi_3)$$ $$N_8 = \frac{1}{8}(1-\xi_1)(1+\xi_2)(1+\xi_3) \tag{4.6}$$

四节点四面体（线性）单元： $$N_1 = \xi_1 ; \quad N_2 = \xi_2 ; \quad N_3 = \xi_3 ; \quad N_4 = 1-\xi_1-\xi_2-\xi_3$$

4.2.2 梯度插值

对称空间梯度： $$\text{grad}_s u(\xi) = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{nnpe} [u_i \otimes \text{grad}N_i(\xi) + \text{grad}N_i(\xi) \otimes u_i] \tag{4.6}$$

Voigt记号下梯度插值： $$\text{grad}_{vs} u = B h \tag{4.7}$$

4.2.3 混合与杂交有限元

混合有限元方法引入额外变量（多于必要数量）来插值解，可避免不可压缩问题中的体积锁定（volume locking）现象。

4.3 变分法（Calculus of Variations）

变分法是将强形式问题描述转换为弱形式（或积分形式）的一般方法。通过将控制方程乘以测试函数（ admissible variation），在物体空间域上积分，并嵌入Dirichlet边界条件来完成。

4.3.1 扩散边值问题

强形式（Poisson方程）： $$\text{div}(\text{grad}c) + \alpha = 0 \quad \text{in} \quad \Omega$$ $$c = \bar{c} \quad \text{on} \quad \partial\Omega_c \quad \text{(Dirichlet)}$$ $$\text{grad}c \cdot n = q \quad \text{on} \quad \partial\Omega_q \quad \text{(Neumann)} \tag{4.8}$$

弱形式： $$\int_\Omega \text{grad}\delta c \cdot \text{grad}c \, d\nu = \int_{\partial\Omega_q} \delta c \, q \, ds + \int_\Omega \delta c \, \alpha \, d\nu \tag{4.9}$$

4.3.2 对流-扩散边值问题

强形式： $$v \cdot \text{grad}c - \nu \text{div}(\text{grad}c) + \alpha = 0 \quad \text{in} \quad \Omega \tag{4.10}$$

弱形式： $$\int_\Omega \delta c \, v \cdot \text{grad}c \, d\nu + \int_\Omega \nu \, \text{grad}\delta c \cdot \text{grad}c \, d\nu = \int_{\partial\Omega_q} \delta c \, q \, ds + \int_\Omega \delta c \, \alpha \, d\nu \tag{4.11}$$

4.3.3 线性固体力学边值问题

Cauchy应力σ(u) = C : ε(u)，其中C为弹性张量，ε(u) = grads u为工程应变。

强形式（Cauchy动量方程）： $$\text{div}\sigma + b_f - \rho \ddot{u} - \eta \dot{u} = 0 \quad \text{in} \quad \Omega \tag{4.15}$$

弱形式（虚功原理）： $$\int_{\partial\Omega_t} t \cdot \delta u \, ds + \int_\Omega \delta u \cdot (b_f - \rho \ddot{u} - \eta \dot{u}) \, d\nu - \int_\Omega \sigma : \text{grads}\delta u \, d\nu = 0 \tag{4.17}$$

4.3.4 非线性固体力学边值问题

大变形、非线性本构模型和非恒定外力导致非线性问题。

内力的变分： $$\delta \text{int} = \int_\Omega \delta e : \sigma \, d\nu \tag{4.18}$$

方向导数（线性化）： $$D_u \delta \text{int} = \int_\Omega [\text{grads}\delta u : \text{grads}\Delta u \, \sigma + \text{grads}\delta u : C : \text{grads}\Delta u] \, d\nu \tag{4.19}$$

几何贡献（初始应力刚度）： $$D_u \delta \text{int}_{geo} = \int_\Omega \text{grads}\delta u : \text{grads}\Delta u \, \sigma \, d\nu \tag{4.20}$$

材料贡献（材料刚度）： $$D_u \delta \text{int}_{mat} = \int_\Omega \text{grads}\delta u : C : \text{grads}\Delta u \, d\nu \tag{4.21}$$

4.3.5 不可压缩流动边值问题

Eulerian描述下，流动由以下方程组描述： $$\text{div}v = 0 \quad \text{in} \quad \Omega \quad \text{(连续性)}$$ $$\text{div}\sigma + b_f - \rho \frac{Dv}{Dt} = 0 \quad \text{in} \quad \Omega \quad \text{(动量守恒)} \tag{4.24}$$

4.4 有限元方程

4.4.1 扩散问题

离散弱形式： $$\delta h_i \left[ \int_{\Omega_e} B_{ai} B_{aj} \, d\nu \, h_j - \int_{\Omega_e} \alpha N_i \, d\nu + \int_{\partial\Omega_e^q} q N_i \, ds \right] = 0 \tag{4.26}$$

代数线性方程组： $$D h - f = 0 \tag{4.27}$$

4.4.2 对流-扩散问题

离散弱形式： $$(K + D)h - f = 0 \tag{4.29}$$

其中K为对流矩阵（非对称），D为扩散矩阵（对称）。

4.4.3 线性固体力学问题

二阶微分方程组： $$M\ddot{h} + C\dot{h} + Kh - f = 0 \tag{4.31}$$

其中M为质量矩阵，C为阻尼矩阵，K为刚度矩阵。

线性桁架单元： - 质量矩阵：$M = \frac{\rho Al}{6}\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$（一致质量矩阵） - 集中质量矩阵：$M_{lumped} = \frac{m}{2}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ - 刚度矩阵：$K = \frac{EA}{l}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$

4.4.4 非线性固体力学问题

节点力向量： $$f_i = \int_{\Omega_e} B_{ai} \sigma_a \, d\nu \tag{4.36}$$

材料刚度矩阵： $$K_{mat_{ij}} = \int_{\Omega_e} B_{ai} C_{ab} B_{bj} \, d\nu \tag{4.37}$$

几何刚度矩阵（初始应力刚度）： $$K_{geo_{ij}} = \int_{\Omega_e} \frac{\partial N_{ai}}{\partial x_c} \sigma_{ab} \frac{\partial N_{cj}}{\partial x_b} \, d\nu \tag{4.38}$$

压力边界条件（跟随载荷）： $$\delta \text{ext}_p = -p_0 \int_{\partial\Omega_t} \delta u \cdot n \, ds \tag{4.39}$$

4.4.5 不可压缩流动问题

方程组： $$M\dot{h} + Ah^2 + Kh - D^T q - f = 0 \tag{4.45}$$

约束条件： $$Dh = 0 \quad \text{（连续性/不可压缩性）}$$

4.4.6 数值积分（高斯-勒让德积分）

体积/面积积分从物理域变换到父域： $$\int_{\Omega_e} F(x) \, d\nu \approx \sum_{l=1}^{n_{int}} F(\xi^l) \text{det}J(\xi^l) w_l \tag{4.47}$$

一维高斯-勒让德积分表：

n_int	积分点坐标和权重 (ξl, wl)
1	(0.0, 2.0)
2	(±0.57735, 2.0)
3	(0.0, 0.88889); (±0.77460, 0.55556)
4	(±0.86113, 0.34786); (±0.33998, 0.65214)
5	(0.0, 0.56889); (±0.90618, 0.23693); (±0.53847, 0.47863)
6	(±0.66121, 0.36076); (±0.23862, 0.46791); (±0.93247, 0.17132)

高斯-勒让德积分的阶次为2n-1，n个积分点可精确积分n次多项式函数。

4.5 约束问题（Constrained Problems）

许多生物力学问题的本质变量不能"自由"发展，必须满足约束条件。血管问题中流体的不可压缩性即为典型约束。

4.5.1 罚函数法（Penalty Method）

将Cauchy应力分解为σ = σ + σ^vol（偏应力和体积应力），罚函数法通过Cvol >> C来近似不可压缩材料。

优点：易于实现，不增加额外自由度缺点：Cvol相对越大，矩阵条件数越大，求解越困难

罚函数法将势能泛函P(u)增强，对违反约束C(u)=0的状态添加惩罚项。

4.5.2 Lagrange约束法

Lagrange势能： $$\mathcal{L}(u,p) = \int_\Omega \Psi(u) \, d\nu + \int_\Omega p(J(u)-1) \, d\nu \tag{4.50}$$

其中p为Lagrange乘子，可识别为静水压力p = trσ/ndim。

变分陈述给出两个方程，分别对应位移和压力场。

缺点：导致刚度矩阵对角元素为零（pivot elements），无法使用高斯消元法快速求解。

4.5.3 增广Lagrange法（Augmented-Lagrange Method）

增广Lagrange势能： $$\mathcal{A_L}(u,p) = \mathcal{L}(u,p) - \frac{1}{2\kappa}\int_\Omega p^2 \, d\nu \tag{4.53}$$

当κ→∞时趋近于标准Lagrange势能。

优点：避免罚函数法的病态条件数问题，同时避免Lagrange法的零pivot问题

4.6 整体化（Globalization）

有限元方程的组装涉及将各单元贡献分配到相应全局节点。

组装操作： $$K = \bigcup_{e=1}^{n_e} A^e K^e \quad \text{和} \quad f = \bigcup_{e=1}^{n_e} A^e f^e$$

全局系统： $$Kh - f = 0 \tag{4.56}$$

全局刚度矩阵K是稀疏的（sparsely populated），在许多情况下也是对称的。节点编号策略影响矩阵带宽，带宽越小求解越快。

边界条件处理：Dirichlet边界条件（如u1=0）通过移除对应行和列来实现。

4.7 稳定化（Stabilization）

数值稳定性问题可能源于离散化本身，与物理稳定性无关。

4.7.1 有限元刚度正定性

Lyapunov稳定性要求正定刚度矩阵K。

沙漏不稳定（Hourglass Instability）：四边形或六面体单元在欠积分时可能出现，需采取稳定化措施。

4.7.2 对流-扩散问题的稳定化

问题：当Peclet数Pe = vh/(2ν)较大时，Galerkin有限元解会出现虚假节点间振荡。

解决方案：

全上游稳定化（Full Upwind Stabilization）：添加人工扩散ν* = vh/2，代价是解过于耗散。
Petrov-Galerkin有限元：使用不同形状函数插值物理量和测试函数： $$S_1 = (1+\xi)/2 - 3\beta(1-\xi^2)/4$$ $$S_2 = (1-\xi)/2 + 3\beta(1-\xi^2)/4 \tag{4.62}$$

β控制上游增强程度。

多维问题推广：人工扩散张量： $$\nu^* = \nu^* \frac{v \otimes v}{|v|^2} \tag{4.63}$$
SUPG（Streamline Upwind Petrov-Galerkin）稳定化： $$P(\delta c) = v \cdot \text{grad}\delta c \quad \text{和} \quad \tau = \nu^*/|v|^2 \tag{4.65}$$

4.8 有限元方程组的求解

4.8.1 稀疏线性系统求解

4.8.1.1 直接求解法

LU分解：K = LU，L和U分别为下三角和上三角矩阵。

主元选择策略（避免数值不稳定）： - 部分主元（Partial pivoting） - 完全主元（Complete pivoting） - Rook主元

LDU分解：K = LDU，D为非奇异对角矩阵。

4.8.1.2 迭代求解法

定点迭代： $$Ah_{n+1} = Ahn + f - Kh_n \tag{4.70}$$

对角预条件可加速收敛。迭代法适合超过约100k未知量的大型系统。

4.8.2 时间积分

显式方法：用tn时刻信息显式计算tn+1时刻的值 隐式方法：需要求解隐式方程组计算tn+1

Euler积分： - 前向Euler（显式）：一阶精度 - 后向Euler（隐式）：一阶精度

稳定性条件（CFL准则）： $$\Delta t < \alpha \min(h/c) \tag{4.78}$$

h为最小单元尺寸，c为材料声速。

4.8.3 非线性 formulations

非线性向量方程： $$g(h) - f(h) = 0 \tag{4.73}$$

非线性来源：大变形、非线性本构、对流项、跟随载荷等。

4.8.4 增量公式

运动方程： $$m(\ddot{h}) + d(\dot{h}) + g(h) - f(h) = 0 \tag{4.75}$$

增量关系： $$M(h)\Delta\ddot{h} + D(h)\Delta\dot{h} + K(h)\Delta h - K_f(h)\Delta h = 0 \tag{4.76}$$

4.8.5 显式求解

由MΔö_{n+1} = ... 求解加速度，然后更新速度和位移。

优点：对角集中质量矩阵时避免求解线性方程组缺点：受CFL条件限制，对非线性问题控制困难

4.8.6 隐式求解

4.8.6.1 Newton-Raphson方法

迭代格式： $$h \leftarrow h - \delta h \quad \text{其中} \quad K^*(h)\delta h = r(h) \quad \text{且} \quad h^0 = 0 \tag{4.82}$$

Newton-Raphson在解附近具有二阶收敛速度。

4.8.6.2 载荷增量法

引入载荷因子λ（0 ≤ λ ≤ 1），逐级增加求解。

4.8.6.3 Dirichlet vs Neumann边界条件

位移控制方法：可计算应变软化 载荷控制方法：在极限载荷处终止

4.8.6.4 弧长法（Arc-Length / Continuation Methods）

用于处理" snap-back"行为和极限点问题。

引入载荷因子λ作为额外自由度，广义变量h = [u λ]^T。

弧长约束： $$\Delta u \cdot \Delta u + \eta^2 \Delta\lambda^2 f \cdot f - \Delta h^2 = r_\lambda \tag{4.89}$$

伪位移控制是一种简化弧长方法。

4.8.6.5 不可压缩流动方程求解

单体式求解：整体系统联立求解

Chorin投影法（解耦方法）： 1. 计算中间速度$h^*$ 2. 由Poisson方程求解压力q 3. 更新速度h

4.9-4.13 案例研究

4.9 平面双轴试验

问题描述：矩形血管壁样本，四角通过20个锚点连接到致动器。

材料：不可压缩Yeoh材料，Ψ(C) = c1(I1-3) + c2(I1-3)^2 - c1 = 1.1 kPa, c2 = 15.5 kPa

边界条件： - 对称轴：u1 = u2 = 0 - 锚点：直接指定位移

结果： - 中心处：Cauchy应力σ11 = 131.85 kPa, σ22 = 75.36 kPa - 主拉伸：λ1 = 1.513, λ2 = 1.200 - 反力：F1 = 1.5249 N, F2 = 1.2011 N

4.10 圆柱 vessel 充气

问题描述：长L = 8.0 cm, 内半径Ri = 8.0 mm, 外半径Ro = 11.0 mm, 压力pi = 26.0 kPa

材料：不可压缩Yeoh材料，c1 = 18.1 kPa, c2 = 138.0 kPa

验证：膜模型分析，与FEM结果对比

4.11 鼓胀充气实验

问题描述：直径D = 4.0 cm, 厚度H = 1.5 mm圆形贴片，夹持边界，施加内压pi

材料：不可压缩neoHookean材料，Ψ(C) = G(I1-3)/2, G = 422.5 kPa

边界条件处理：避免严重网格畸变，使用线性弹性边界条件（弹簧刚度kbc = 1.0 GPa m⁻¹）

结果：存在极限点，需使用弧长法或伪位移控制求解

4.12 导动脉网络流动

问题描述：腹主动脉以下主要导动脉网络，Newtonian流体，η = 3.5 mPa s

边界条件： - 入口流量：q_inl = 30 ml s⁻¹ - 出口压力：p_out = 13.0 kPa

方法：Stokes流动，Hagen-Poiseuille定律确定血管段阻力

4.13 圆柱管内流动

问题描述：主动脉模型，长l = 30.0 cm, 直径d = 2.4 cm

流体：Newtonian血液，η = 3.5 mPa s, ρ = 1060 kg m⁻³

稳态分析

入口速度：v_inl = 40.0 cm s⁻¹
出口压力：p_out = 13.3 kPa
Reynolds数：Re = 2880

脉动分析

入口速度：v_inl = v0 sin(2πt), v0 = 40.0 cm s⁻¹
观察到流动 reversal

瞬态分析与WindKessel边界条件

三元素WindKessel模型
R1 = 0.1 mmHg s ml⁻¹, R2 = 1.8 mmHg s ml⁻¹, C = 0.9 ml mmHg⁻¹

公式汇总表

编号	公式名称/内容	公式
4.1	形状函数插值	$u(\xi) = \sum_{i=1}^{nnpe} N_i(\xi) u_i$
4.3	1D线性形状函数	$N_1 = (1-\xi)/2 ; N_2 = (1+\xi)/2$
4.5	2D双线性形状函数	$N_i(\xi_1,\xi_2) = \frac{1}{4}(1\pm\xi_1)(1\pm\xi_2)$
4.6	三线性形状函数	$N_1 = \frac{1}{8}(1-\xi_1)(1-\xi_2)(1-\xi_3)$
4.7	梯度插值	$\text{grad}_{vs} u = B h$
4.9	扩散问题弱形式	$\int \text{grad}\delta c \cdot \text{grad}c = \int \delta c q ds + \int \delta c \alpha d\nu$
4.11	对流-扩散弱形式	$\int \delta c v \cdot \text{grad}c + \int \nu \text{grad}\delta c \cdot \text{grad}c = ...$
4.17	虚功原理	$\int t \cdot \delta u ds + \int \delta u \cdot (b_f - \rho \ddot{u} - \eta \dot{u}) d\nu - \int \sigma : \text{grads}\delta u d\nu = 0$
4.19	方向导数	$D_u \delta \text{int} = \int [\text{grads}\delta u : \text{grads}\Delta u \, \sigma + \text{grads}\delta u : C : \text{grads}\Delta u] d\nu$
4.27	扩散有限元方程	$Dh - f = 0$
4.29	对流-扩散有限元方程	$(K + D)h - f = 0$
4.31	线性固体力学方程	$M\ddot{h} + C\dot{h} + Kh - f = 0$
4.36	节点力向量	$f_i = \int_{\Omega_e} B_{ai} \sigma_a d\nu$
4.37	材料刚度矩阵	$K_{mat_{ij}} = \int_{\Omega_e} B_{ai} C_{ab} B_{bj} d\nu$
4.38	几何刚度矩阵	$K_{geo_{ij}} = \int_{\Omega_e} \frac{\partial N_{ai}}{\partial x_c} \sigma_{ab} \frac{\partial N_{cj}}{\partial x_b} d\nu$
4.45	不可压缩流动方程	$M\dot{h} + Ah^2 + Kh - D^T q - f = 0$
4.47	数值积分	$\int_{\Omega_e} F(x) d\nu \approx \sum_{l=1}^{n_{int}} F(\xi^l) \text{det}J(\xi^l) w_l$
4.50	Lagrange势能	$\mathcal{L}(u,p) = \int_\Omega \Psi(u) d\nu + \int_\Omega p(J(u)-1) d\nu$
4.53	增广Lagrange势能	$\mathcal{A_L}(u,p) = \mathcal{L}(u,p) - \frac{1}{2\kappa}\int_\Omega p^2 d\nu$
4.56	全局系统	$Kh - f = 0$
4.68	线性代数系统	$Kh - f = 0$
4.72	刚性微分方程	$dy/dt = -yt ; y(0) = 1$
4.73	非线性向量方程	$g(h) - f(h) = 0$
4.75	运动方程	$m(\ddot{h}) + d(\dot{h}) + g(h) - f(h) = 0$
4.78	CFL稳定性条件	$\Delta t < \alpha \min(h/c)$
4.82	Newton-Raphson迭代	$h \leftarrow h - \delta h$ 其中 $K^*(h)\delta h = r(h)$
4.89	弧长约束	$\Delta u \cdot \Delta u + \eta^2 \Delta\lambda^2 f \cdot f - \Delta h^2 = r_\lambda$
4.96	不可压缩Yeoh材料Cauchy应力	$\sigma_1 = \alpha(\lambda_1^2 - \lambda_1^{-2}\lambda_2^{-2})$

关键概念总结

有限元方法的核心：将连续问题离散化，通过节点插值近似解
形状函数：必须满足单位性、δ性质和线性无关性
变分法：将PDE强形式转换为弱形式，是FEM的理论基础
约束处理：罚函数法（简单但病态）、Lagrange法（精确但有零pivot）、增广Lagrange法（结合两者优点）
稳定化技术：对流占优问题的SUPG等方法
求解策略：显式（条件稳定）vs 隐式（无条件稳定但需迭代）
Newton-Raphson：非线性问题的基本迭代方法
弧长法：处理snap-through/snap-back等极限点问题

阅读日期：2026年5月21日

编号	公式名称/内容	公式
4.1	形状函数插值	\(u(\xi) = \sum_{i=1}^{nnpe} N_i(\xi) u_i\)
4.3	1D线性形状函数	\(N_1 = (1-\xi)/2 ; N_2 = (1+\xi)/2\)
4.5	2D双线性形状函数	\(N_i(\xi_1,\xi_2) = \frac{1}{4}(1\pm\xi_1)(1\pm\xi_2)\)
4.6	三线性形状函数	\(N_1 = \frac{1}{8}(1-\xi_1)(1-\xi_2)(1-\xi_3)\)
4.7	梯度插值	\(\text{grad}_{vs} u = B h\)
4.9	扩散问题弱形式	\(\int \text{grad}\delta c \cdot \text{grad}c = \int \delta c q ds + \int \delta c \alpha d\nu\)
4.11	对流-扩散弱形式	\(\int \delta c v \cdot \text{grad}c + \int \nu \text{grad}\delta c \cdot \text{grad}c = ...\)
4.17	虚功原理	\(\int t \cdot \delta u ds + \int \delta u \cdot (b_f - \rho \ddot{u} - \eta \dot{u}) d\nu - \int \sigma : \text{grads}\delta u d\nu = 0\)
4.19	方向导数	\(D_u \delta \text{int} = \int [\text{grads}\delta u : \text{grads}\Delta u \, \sigma + \text{grads}\delta u : C : \text{grads}\Delta u] d\nu\)
4.27	扩散有限元方程	\(Dh - f = 0\)
4.29	对流-扩散有限元方程	\((K + D)h - f = 0\)
4.31	线性固体力学方程	\(M\ddot{h} + C\dot{h} + Kh - f = 0\)
4.36	节点力向量	\(f_i = \int_{\Omega_e} B_{ai} \sigma_a d\nu\)
4.37	材料刚度矩阵	\(K_{mat_{ij}} = \int_{\Omega_e} B_{ai} C_{ab} B_{bj} d\nu\)
4.38	几何刚度矩阵	\(K_{geo_{ij}} = \int_{\Omega_e} \frac{\partial N_{ai}}{\partial x_c} \sigma_{ab} \frac{\partial N_{cj}}{\partial x_b} d\nu\)
4.45	不可压缩流动方程	\(M\dot{h} + Ah^2 + Kh - D^T q - f = 0\)
4.47	数值积分	\(\int_{\Omega_e} F(x) d\nu \approx \sum_{l=1}^{n_{int}} F(\xi^l) \text{det}J(\xi^l) w_l\)
4.50	Lagrange势能	\(\mathcal{L}(u,p) = \int_\Omega \Psi(u) d\nu + \int_\Omega p(J(u)-1) d\nu\)
4.53	增广Lagrange势能	\(\mathcal{A_L}(u,p) = \mathcal{L}(u,p) - \frac{1}{2\kappa}\int_\Omega p^2 d\nu\)
4.56	全局系统	\(Kh - f = 0\)
4.68	线性代数系统	\(Kh - f = 0\)
4.72	刚性微分方程	\(dy/dt = -yt ; y(0) = 1\)
4.73	非线性向量方程	\(g(h) - f(h) = 0\)
4.75	运动方程	\(m(\ddot{h}) + d(\dot{h}) + g(h) - f(h) = 0\)
4.78	CFL稳定性条件	\(\Delta t < \alpha \min(h/c)\)
4.82	Newton-Raphson迭代	\(h \leftarrow h - \delta h\) 其中 \(K^*(h)\delta h = r(h)\)
4.89	弧长约束	\(\Delta u \cdot \Delta u + \eta^2 \Delta\lambda^2 f \cdot f - \Delta h^2 = r_\lambda\)
4.96	不可压缩Yeoh材料Cauchy应力	\(\sigma_1 = \alpha(\lambda_1^2 - \lambda_1^{-2}\lambda_2^{-2})\)