跳转至

第15章：生长中的球体（Growing Spheres）读书笔记

概述

本章探讨了球形生物和物理对象在生长或收缩过程中的力学行为。这些对象在许多不同尺度和情境中出现——从 colloidal 液滴的蒸发收缩，到细胞通过扩张和分裂进行的生长。在这些过程中，由于质量的不均匀或各向异性添加，材料内部会产生应力。这些应力又可能导致屈曲或改变结构的有效性能。

球形几何特别适合于数学处理，因为其变形足够简单，可以进行完整的定量分析。本章首先考虑一个保持球对称性的不可压缩超弹性球壳。其次，计算由不同生长过程产生的应力，并展示如何通过生长触发极限点失稳、空化（cavitation）和奇异性形成。第三，通过考虑叠加在残余应力球壳上的非球形扰动来研究屈曲的可能性。

15.1 生长中的壳

15.1.1 生长球的运动学

我们考虑一个球对称生长的球壳，其初始半径为 R₀ = A₀ 和 R₀ = B₀，变形后当前半径为 r = a 和 r = b。我们允许 A₀ 和 a 都可以为零的情况（实心生长球）；以及 A₀ = 0 但 a > 0 的情况（球的开洞/空化）；以及 A₀ > 0 且 a = 0 的情况（球壳的反空化）。

在球对称变形中，壳扩展，初始配置中位于 (R₀, Θ₀, Φ₀) 的任何点移动到当前配置中的点 (r(R₀), Θ₀, Φ₀)。变形梯度 F 可以写为：

[F] = diag(r′, r/R₀, r/R₀)

其中撇号表示对 R₀ 的导数。

接下来，我们假设几何变形是生长变形和弹性变形共同作用的结果。生长变形保持球对称性，可以写成：

[G] = diag(γᵣ, γθ, γθ)

其中 γᵣ 和 γθ 是 R₀ 的函数。

三种生长类型：

  1. 各向同性生长（Isotropic growth）：当 γᵣ = γθ 时实现，生长球是原始球的均匀膨胀。

  2. 面积生长（Area growth）：如果 γᵣ = 1 且 γθ ≠ 1，生长纯粹沿着两个角度方向进行，增加任何给定壳的表面积。

  3. 纤维生长（Fiber growth）：如果 γθ = 1 且 γᵣ ≠ 1，径向生长或纤维生长发生在径向方向上，每个径向材料纤维在壳中增加（或减少）长度。

关键参数是比率 γ = γᵣ/γθ。径向生长的平衡解等价于环向吸收（γ > 1），加上各向同性生长和有效外加压力的重新标定：

P_eff = P/γ

由乘法分解 F = AG，弹性应变张量可以写成相同球坐标基下的形式 [A] = diag(αᵣ, αθ, αθ)。

不可压缩条件 det A = αᵣαθ² = 1 与分解 F = AG 有两个后果。首先，我们可以定义唯一的应变 α ≡ αθ，使得 αᵣ = α⁻²。其次，变形完全由下式决定：

r²dr = γᵣγθ²R₀²dR₀

积分后得到：

r³ − a³ = 3∫_{A₀}^{R₀} γᵣ(ρ)γθ²(ρ)ρ²dρ

其中 a = r(A₀) 和 b = r(B₀) 分别表示变形后壳的内半径和外半径。

15.1.2 生长球中的应力

接下来，我们在没有体力的情况下计算静态柯西应力张量。由于对称性，应力张量唯一非零的球面分量是对角分量：

[T] = diag(tᵣ, tθ, tθ)

其中 tᵣ 是径向应力，tθ 是环向应力。

应力-应变关系对于应变能函数 W = W(αᵣ, αθ, αφ) 读取：

tᵣ = αᵣ∂W/∂αᵣ − p tθ = αθ∂W/∂αθ − p

机械平衡的唯一非零柯西方程给出：

∂tᵣ/∂r + 2(tᵣ − tθ)/r = 0

由此得到关于 tᵣ 的闭合方程：

∂tᵣ/∂r = (α/r)∂αW̄

其中引入了辅助函数 W̄(α) = W(α⁻², α, α)。

这个方程可以写成初始变量 R₀ 的函数：

∂tᵣ/∂R₀ = (γᵣ/R₀α²)∂αW̄

一旦知道径向应力和变形 α = α(R₀)，环向应力由下式给出：

tθ = tᵣ + (α/2)∂αW̄

15.2 示例

15.2.1 各向异性生长

我们感兴趣的是计算由恒定但各向异性的生长（恒定 γᵣ 和 γθ）产生的应力和径向变形。在这种情况下，方程取以下形式：

α³ = γ[1 − (A₀/R₀)³] + 3(a/(γθR₀))³

定义 αₐ = α(A₀) = a/(A₀γθ) 和 αᵦ = α(B) = b/(B₀γθ)，我们有：

αᵦ³ = γ[1 − (A₀/B₀)³] + αₐ³(A₀/B₀)³

应力方程可以写成关于 tᵣ(α) 的闭合形式：

∂tᵣ/∂α = (γᵣ∂αW̄)/(γᵣ − α³(γθ + R₀γθ′)/3)

由于 γᵣ 和 γθ 都是常数，这个方程可以立即积分得到：

tᵣ(α) = γ∫_{αₐ}^{α} (∂αW̄)/(γ − α³)dα

边界条件导致：

−P = γ∫_{αₐ}^{αᵦ} (∂αW̄)/(γ − α³)dα

对于给定的 P，可以反演这个关系来找到由牵引引起的内边界应变 αₐ。一旦 αₐ 已知，内半径的位置就已知了，变形 r = r(R) 也通过上式完全确定。

对于新胡克材料在无生长（γᵣ = γθ = 1）和无外加载的情况下，应力由下式给出：

tᵣ(αᵦ) = (μ/2)(4αᵦ⁻¹ + αᵦ⁻⁴ − 4αₐ⁻¹ − αₐ⁻⁴)

关键发现： - 径向生长和环向吸收产生压缩残余应力（即负径向应力） - 环向生长和径向吸收产生拉伸径向应力（即正径向应力） - 对于恒定生长，径向应力仅在边界处消失，其符号取决于 γ 是小于还是大于一 - 如果考虑非恒定生长，γθ′ 项的作用可能足够大，以至于产生压缩和拉伸区域的交替

15.2.2 差异生长

另一种产生残余应力的机制是通过差异生长。我们考虑两种情况：在无限弹性介质内部收缩的壳和在无限弹性介质内部生长的壳。

我们首先定义增量变形张量 F_inc = A_inc G_inc，其中生长张量 G_inc 被假定为各向同性的，是当前半径 r 的函数：

G_inc = g_inc(r)1

累积生长后，总变形形式为 F = AG, G = g(r)1。

对于简单的线性增量定律 g_inc(r) = 1 + f(r − a)，数值研究表明累积生长也可以准确地用线性轮廓来建模。因此我们取：

g(r) = 1 + ν(r − a)

其中 ν 对于生长为正，对于吸收为负。

不可压缩条件确定变形和应变。然而，在当前半径的框架中表述问题是有优势的：

R₀³ = A₀³ + 3∫_{a}^{r} ρ²/g³(ρ)dρ

在没有外部或内部介质的情况下，柯西应力的径向分量为：

tᵣ(r) = ∫_{a}^{r} (α/ρ)∂αW_sh(α)dρ

边界条件为 tᵣ(b) = −P 和 tᵣ(a) = 0。

当生长发生在介质内部时，无限介质的柯西应力由类似方程给出，边界条件为 tᵣ(∞) = 0。

关键发现： - 吸收产生压缩残余应力 - 在弹性介质中生长产生接触压应力（靠近外边界）和拉伸残余应力（围绕内边界）

15.3 极限点失稳与膨胀跳跃

经典橡胶材料理论预测，对于特定的应变能函数和参数选择，当内压增加时球壳中可能出现极限点失稳。这种效应是由函数 tᵣ(αᵦ) 作为 αₐ 的函数失去单调性触发的，即压力-拉伸曲线有一个局部最大值。

15.3.1 材料模型的影响

考虑穆尼-里夫林应变能函数：

W = (μ/2(1+ν))[(αᵣ² + αθ² + αφ² − 3)] + (ν/2(1+ν))[(αᵣ⁻² + αθ⁻² + αφ⁻² − 3)]

压力-拉伸曲线 tᵣ(αᵦ) 作为 αₐ 的函数可能呈现最大值，随后在有限拉伸处有最小值。因此，在受控压力下，拉伸可能随压力增加而跳跃，并在压力降低时呈现滞后回线——即膨胀跳跃现象。

通过分析极限点消失时参数 ν 的临界值，发现：

ν_cr ≈ 0.21446, α_cr ≈ 1.84073

对于Fung 材料：

W_fu = (μ/2β)[exp(β(I₁ − 3)) − 1]

临界参数为： β_cr ≈ 0.06685, α_cr ≈ 1.69355

因此，当 β > 0.067 时（如软生物组织的情况），不存在极限点失稳，这与软组织的应变刚化特性阻止了此类失稳有关。

对于Gent 材料：

W_ge = −(μ/2β)log[1 − β(I₁ − 3)]

极限点失稳在 β > β_cr 时消失，其中： β_cr ≈ 0.05669, α_cr ≈ 1.64262

实验发现 elastomers 在 β = 0.01 和 β = 0.03 时存在极限点失稳。然而，估计表明21岁男性的主动脉 β ≈ 0.44，70岁男性的（更硬）主动脉 β ≈ 2.4。在这些情况下，由于材料的应变刚化特性，不可能发生极限点失稳。

对于一项奥格登材料：

W_og1 = (2μ_β/β²)(λ₁^β + λ₂^β + λ₃^β − 3)

当 β ≥ 3 时极限点失稳消失，低于任何现实的生理值。

15.3.2 生长对极限点失稳的影响

生长可以改变材料的性质以允许或阻止膨胀跳跃。对于非生长材料当参数值没有失稳时，临界应变 αₐ 是连续单调的。对于具有生长的相同弹性材料，如果 γ 足够大，则发生膨胀跳跃。

生长对极限点失稳的影响完全通过应变中的关系进入。可以量化生长和厚度的综合效应，对于新胡克材料在经历各向异性恒定生长的情况下，临界拉伸值近似为：

αₐ ≈ 1.383{1 + δ[0.311 − 0.189(γ − 1)]}

其中 δ = (B₀ − A₀)/A₀ 测量壳的厚度。

15.4 生长实心球中的奇异性

我们考虑在外部压力 P 下实心球（A₀ = a = 0）内的生长。特别是，我们对原点处应力的行为感兴趣。我们从形式为 [G] = diag(γᵣ, γθ, γθ) 的恒定各向异性生长开始。

积分得到：

r³ = γᵣγθR³

与 α = r/(R₀γθ) 的定义一起给出拉伸 α = γ^{1/3}。

然后应力方程给出：

∂tᵣ/∂R₀ = β/R₀

其中 β = γ^{1/3}∂αW̄|_{α=γ^{1/3}}

对于 tᵣ(B) = −P，应力分布为：

tᵣ = −P + β ln(R₀/B)

假设应变能函数 W 在 γ ≠ 1 时有单一最小值，我们有 β ≠ 0，径向应力表现出对数奇异性。然而，主拉伸和应变能函数在各处都是有限的。

各向异性可能导致应力奇异性，即使对于具有光滑边界的物体也是如此。对于任意生长张量，由于 γᵣ(R₀) 和 γθ(R₀) 都有界且严格为正，我们可以定义：

γ = lim_{R₀→0} γᵣ(R₀)/γθ(R₀)

如果 γ ≠ 1，径向应力在原点表现出对数奇异性。

15.5 空化

弹性空化是在张力下弹性体内部出现空腔的现象。经典的"扑克筹码"实验中，橡胶圆柱体粘合到两块被拉开的刚性板上，变形在样品中心产生大的拉伸各向同性应力场。

Gent 和 Lindley 考虑了在均匀静水载荷下的实心弹性球，发现对于新胡克材料，临界压力为：

P_cr = −5E/6

在此压力下，从未变形配置中出现具有内部空腔的径向对称配置。

15.5.1 由拉伸载荷引起的空化

在没有生长的情况下积分径向应力方程，得到临界压力：

P_cr = ∫_{1}^{∞} (∂αW̄)/(1 − α³)dα

这个积分是不正常的，有限临界压力的存在取决于 W̄ 在 α → ∞ 时的行为。如果 W̄ ~ α^n，则积分在 n < 3 时收敛。

空化依赖于材料响应和特定几何形状；它改变了材料的拓扑结构；并依赖于弹性在微观结构处保持有效的假设。然而，空化是一个理想化的概念。如果材料中存在微孔，空化被空腔开启问题取代。

15.5.2 由生长引起的空化

生长或肿胀也可能引起空化。我们通过寻找给定生长函数 γᵣ 和 γθ 的非平凡解的存在性来研究生长引起的空化。

第一种情况（各向异性生长）：取外半径 B₀ = 1 和 γᵣ = 1。对于新胡克材料，接近 γθ = 1 时的局部分析导致：

a ~ √3 exp(3π√66γθ² + 183γθ − 114)/(...)

这明确建立了存在空化解，其内半径在 γθ = 1 附近指数地小，但对于所有 γθ > 1 的值都非零。这与经典情况形成对比——经典情况下对于所有压力都存在基解，需要大的外部牵引才能获得空化解。

第二种情况（非均匀生长）：设 γᵣ = γθ = 1 + βr。当 β > β_cr ≈ 0.8971637 时，空腔打开。径向张力在原点随 β 增加，直到临界点，此时系统中积累了足够的弹性能量来触发空化。

结论：生长，无论是均匀的还是各向异性的，都可能是弹性材料中打开空腔的简单且普遍的机制。

15.6 各向异性生长引起的不稳定性

对于加压球壳的屈曲计算有着悠久的历史。我们考虑在生长壳的分岔，使用第14.8节中概述的方法。

15.6.1 数值方案

分析简化为轴对称变形的分析，形式为：

χ^(1) = u(r,θ)eᵣ + v(r,θ)eθ

将函数展开为球谐函数并求解每个模式的四阶线性常微分方程。边界条件是增量牵引在内外边界为零。

确定存在分岔的参数值的问题使用行列式方法：我们考虑两个独立的初始条件，在内边界满足条件，并在外边界寻找行列式消失的位置。

关键发现： - 薄壳比厚壳更容易发生失稳，因为临界应变随厚度增加 - 不稳定模式不是有序的；随着厚度减小或增加，更高的模式可能首先变得不稳定 - 对于厚壳，在极限 A₀/B₀ → 0 时，n = 10 是最不稳定的模式

15.6.2 薄壳极限

对于薄壳，可以通过引入小参数 ε = (b − a) 和拉伸变量来获得解析结果。系统扩展为 ε 的幂级数，解在每个阶数上都可以明确积分。

临界应变展开为： αₐ(n) = α₀(n) + α̃₁(γ,n)ε + α̃₂(γ,n)ε² + O(ε³)

其中 α₀ 是方程 (n + 2)(n − 1)α₀¹² + 2(n² + n + 7)α₀⁶ − 3n(n + 1) = 0 的第一个正根。

临界应变包络线为： αₐ = 1 − (1/3)δ − (7/36)δ² + (235/864)δ³ + O(δ⁴)

这个包络线特别重要，因为它给出了球壳变得不稳定的临界分岔参数值。

15.6.3 厚壳极限

方程还允许在大的 n 极限有效的 WKB 展开。这种展开可以捕捉到四个不同的基本解，每个解产生一个单独的分支。

在厚壳情况下，行列式的渐近展开导致了临界应变公式： αₐ = α₀ + α₁/n + α₂/n² + O(1/n³)

其中 α₀ ≈ 0.6661423391。

从厚壳到球体的极限可以通过取 A₀ → 0 在固定 B₀ 或取 B₀ → ∞ 来获得。这对应于受压的半空间，我们恢复了该不稳定性获得的极限值 αₐ ≈ 0.66614。

15.6.4 生长壳的分岔

各向异性生长对稳定性的影响主要体现在两个对立效应上：

几何效应：当球壳的体积改变时，相对于其半径的相对厚度也改变，影响其稳定性。例如在给定压力下，吸收后厚度减少往往使壳失稳，而生长后厚度增加使壳稳定。

力学效应：径向生长感生压缩径向应力，使壳在压力下进一步失稳。类似地，径向吸收（或环向生长）感生拉伸径向应力，使壳稳定。

关键发现： - 对于薄壳（A₀/B₀ 接近1），径向生长是稳定化的，径向吸收是失稳的 - 对于厚壳，径向生长是失稳的，径向吸收是稳定化的

15.6.4.2 自发不稳定性

对于厚壳和径向生长，临界压力随厚度减小而减小。这种趋势是由于与径向生长相关的残余压应力。它表明，对于足够的生长，壳可能在没有任何外部施加载荷的情况下变得不稳定。

确实，对于足够大的 γ 值，存在 A₀/B₀ 的值使得模式 n = 10 在没有外压的情况下变得不稳定。

对于给定的 A₀/B₀，计算诱导不稳定性所需的 γ = γ_cr 值。在厚壳和高模式数的情况下，计算 γ_cr 导致零压力下不稳定性。在图中绘制了临界径向生长 γ_cr 作为初始厚度的函数。

15.7 差异生长引起的不稳定性

各向同性和非均匀生长也产生残余应力。这个应力场可能足以产生不稳定性。我们考虑两种差异生长情况的分岔可能性。

15.7.1 收缩壳中的不稳定性

首先考虑初始半径 A₀, B₀ 和当前半径 a, b 的壳，根据定律 γᵣ = γθ = g(r) = 1 + ν(r − a) 收缩。

应变和应力由下式给出： α(r) = r/(g(r)R₀(r)) tᵣ⁽⁰⁾(r) = ∫_{a}^{r} (α/ρ)∂αW_sh(α)dρ

选择 W̄ 为新胡克应变能函数的辅助函数。

对于每个模式 n，该边界值问题的解仅对参数的特殊组合 a = a(ν, δ, n) 存在。这些 a 值是第 n 个模式首次出现的临界内半径值。

临界内半径为： a_cr = 1 − (1/3) − (1/2)νδ − (1/24)(2 + 4ν + 5ν²)δ² + O(δ³)

选择的模式由小于以下表达式的最大整数给出： N = (3/δ)[1 − (δ/12) + (8+3ν/24)δ − (29ν²+220ν+282/384)δ²]

基本物理过程：A₀/B₀ 厚度的壳在当前厚度 a/b 足够小且壳中积累了足够的压缩残余应力时变得不稳定。

15.7.2 在介质内生长的壳的不稳定性

现在考虑在不可压缩弹性介质内生长的壳。稳定性分析在这种界面问题中是微妙的，因为需要匹配变形时界面处的应力。

分析表明，在收缩壳中，两种效应驱动不稳定性：壳厚度减小和残余应力是压缩的。在没有静水压力的情况下，新胡克壳在适度收缩下是稳定的，只有当初始体积的大部分被吸收时才变得不稳定。在压缩载荷下，壳可以迅速变得不稳定，模式数低于或等于由初始厚度给出的模式数。

在通过接触产生压应力的生长壳的情况下，薄壳的不稳定性迅速由体积增加驱动。

关键概念总结

  1. 生长类型：
  2. 各向同性生长（γᵣ = γθ）
  3. 面积生长（γᵣ = 1, γθ ≠ 1）

  4. 纤维/径向生长（γθ = 1, γᵣ ≠ 1）

  5. 应力行为：

  6. 径向生长 → 压缩残余应力
  7. 环向生长 → 拉伸残余应力

  8. 差异生长在内外边界产生不同的应力分布

  9. 失稳机制：

  10. 极限点失稳：压力-拉伸曲线非单调
  11. 空化：内部空腔形成

  12. 屈曲：非径向变形模式

  13. 几何与力学效应的对立：

  14. 生长改变厚度（几何效应）
  15. 生长改变残余应力（力学效应）

  16. 薄壳和厚壳对生长的响应不同

  17. 生物力学意义：

  18. 软生物组织由于应变刚化而不易发生极限点失稳
  19. 生长诱导的空化可能是植物茎部开腔的机制
  20. 自发失稳可能解释某些形态形成现象

重要公式索引

  • 变形梯度：[F] = diag(r′, r/R₀, r/R₀)
  • 生长张量：[G] = diag(γᵣ, γθ, γθ)
  • 不可压缩条件：αᵣαθ² = 1
  • 累积生长函数：g(r) = 1 + ν(r − a)
  • 径向应力方程：∂tᵣ/∂R₀ = (γᵣ/R₀α²)∂αW̄
  • 临界压力（空化）：P_cr = ∫₁^∞ (∂αW̄)/(1 − α³)dα
  • 薄壳临界应变包络线：αₐ = 1 − (1/3)δ − (7/36)δ² + (235/864)δ³

读书笔记完成于 2026年5月9日 来源：Chapter 15, "Growing Spheres", The Mathematics and Mechanics of Biological Growth, Interdisciplinary Applied Mathematics 45, Springer