第二章：力学与生长
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概述
本章系统探讨了生物生长与力学之间的耦合关系，从植物茎干、神经元轴突、动脉、心脏、骨骼到软组织等多种生物系统入手，揭示了机械应力对生长的深远影响，并进一步讨论了生长反过来对应力分布的调节作用以及残余应力的产生机制。本章还介绍了形态弹性理论（Morphoelasticity Theory）的基本框架，为后续章节的数学建模奠定了基础。
2.1 应力影响生长
2.1.1 核心思想：力学在形态建成中的地位
从生物学家的视角看，生长是由基因激活和调控所驱动的。然而，仅凭基因视角无法完整解释器官如何获得其最终形态。叶片只有通过细胞之间以及细胞内部的物理力的作用才能形成其特定形状。 Wilhelm His 于 1888 年在《论动物形态学原理》中明确指出："胚胎学和形态学不能独立于物质的一般规律、物理定律和力学定律而进行。"这一观点在近一个世纪后被 Le Gros Clark 在 1945 年关于脑形态的研究中所呼应。
机械信号通过机械传导（Mechanotransduction）过程从体外或边界传递到细胞层面，进而转移到细胞核。这是一个尚未被完全理解复杂过程，但力学环境对生长的调控作用不可否认，且可以在 transduction 机制尚未完全清晰的情况下进行数学建模。
2.1.2 茎干的生长实验
19 世纪植物生理学家进行了量化生长与应力关系的详细实验：将一根绳子系在生长中茎干的尖端，绕过滑轮，另一端悬挂砝码以施加恒定的力。茎干长度通过生长测量仪（Auxanometer）连续记录。玉米叶片的实验结果显示，生长率与外加载荷之间存在正相关关系，确立了外部加载与生长之间存在联系。
2.1.3 轴突的生长
神经元的形态特征明显：一个大细胞体和从细胞体延伸出的长胞质突出物（神经突）。神经突发育成轴突或树突，与其他细胞的神经突相连形成神经网络。轴突的起始、发育和生长已被证明依赖于所施加的机械力。通过将玻璃针粘附到神经元上然后以恒力牵引，可以诱导轴突延长。实验清楚表明生长率很大程度上取决于外加载荷。
2.1.4 Thoma 动脉定律
动脉是携带血液从心脏到器官和组织的血管。从力学上，它们是具有三层 viscoelastic 材料组成可以生长和重塑的圆柱形结构。1893 年 R. Thoma 的早期研究表明，血流速度通过内动脉壁上的剪切应力调节血管直径，而压力大小则调节血管厚度。动脉还响应轴向载荷的变化。持续增加轴向载荷倾向于延长培养中和体内的动脉，表明轴向应力（或应变）也朝着体内平衡值被调控。
Thoma 定律的核心内容： - 血流量调节血管直径（通过剪切应力介导） - 血压调节血管壁厚度
2.1.5 Woods 心定律
心脏是一个通过主动肌肉收缩将血液泵送到全身的复杂器官。1892 年 R. H. Woods 提出，壁应力是心脏大小调控过程中的关键因素。Woods 的原始思想将心脏视为弹性膜并使用Laplace 定律来获取壁应力的信息。
Laplace 定律（Young's 定律 / Laplace-Young 定律）：
对于半径为 R 在压力 P 下的球形弹性膜，薄膜中的单位面积力 σ 由下式给出：
更一般地，对于具有主曲率 κ₁ 和 κ₂ 的弹性膜，跨膜压力差 P 与主曲率和膜厚度 h 及相应主应力 σ₁、σ₂ 的关系为：
Woods 使用圆规测量心脏的曲率，通过在心脏不同点评估壁应力，证明Woods 数（定义为比值 C_Woods = P/σ = h(κ₁ + κ₂)）在心脏各处几乎恒定。
更引人注目的是，Woods 数在不同哺乳动物和鸟类物种之间仅变化约 22%，表明壁应力可能是心脏大小和厚度的主要调节因子。简言之，Woods 定律指出心脏生长和重塑以保持壁应力恒定。这一一定律与各种病理和调节机制一致。例如，长期高血压导致心室因添加肌原纤维而增厚，降低长期壁应力；运动导致体积增加，曲率 κ 降低，随后通过增加肌纤维长度导致心脏厚度 h 增加作为补偿。
2.1.6 Wolff 骨定律
骨骼力学与骨骼结构之间的联系早在 1832 年就被 Bourgery 注意到，他首次评论了骨小梁方向与机械加载之间的显著类比。Carl Culmann 通过人类近端股骨中张力和压力线与 Fairbairn 起重机的类比进一步发展了这一观察。Wolff 进一步提出这种结构是骨骼结构主动过程的结果，骨骼按照某些"数学定律"演化，尽管这些定律没有明确给出。
现代意义上的 Wolff 骨定律描述骨骼通过主动重塑来适应以最佳抵抗外加载荷的过程。这一功能适应原理最初由 Wilhelm Roux 在 1881 年提出。Roux 提出骨骼适应是细胞层面"定量自调节机制"的结果。
骨骼是由成骨细胞（骨形成细胞）和破骨细胞（骨吸收细胞）相互作用产生的矿化软骨形成的。骨质疏松症案例表明，当这种适应性反应失败以维持承受日常加载所需的结构时，就会出现骨质流失。
2.1.7 Davis 软组织定律
除了 Wolff、Thoma 和 Woods 定律外，19 世纪末还提出了另一个关于生长和重塑的概念性定律。美国外科医生 Henry Gassett Davis 在骨科医学中开发了创新牵引方法。在其著作《保守外科》中，Davis 研究了韧带和肌腱对各种矫直骨折机制施加的机械应力的反应。
Davis 定律的核心内容： - 韧带或任何软组织在即使中等程度的张力下，如果张力持续，将通过添加新材料而伸长 - 相反，当韧带或软组织持续处于松弛或松弛状态时，它们将逐渐缩短，直到与相关骨骼结构恢复与缩短前相同的关系
这一定律后来被 John Joseph Nutt 在 1913 年的《足部疾病和畸形》中总结。Nutt 将应力对软组织的影响称为 Davis 定律，对骨骼的影响称为 Wolff 定律。
2.1.8 肿瘤球体生长
癌细胞可以在凝胶上或营养液中培养形成球状体，称为肿瘤球体（Spheroid）。这些球体具有完美的球对称性，形状完全由其半径表征。Helmlinger 等人的研究表明，肿瘤球体的最终大小取决于培养它们的琼脂糖凝胶浓度——凝胶越硬，球体的渐近大小越小。这表明固体应力（与其他因素如营养物质和酸度一起）直接影响生长，高应力可能因接触抑制而限制细胞分裂能力。
2.2 生长影响应力
2.2.1 组织张力（植物）
Wapas 树（Eperua 属）生长迅速，但因收获时容易爆裂而危险。当它们被砍伐时经常爆裂张开，展示了植物中残余应力的释放——植物生理学家称之为组织张力。在许多生物组织中，由于细胞、化学和力学因素的组合，不同部分经历不同的生长率。这种差异生长的净结果是组织即使在无载荷时也可能处于应力状态。
残余应力（Residual Stress）是物体在无载荷状态下可能存在的应力场。通过差异生长产生残余应力是任何力学生长理论的关键特征。
大黄实验简单演示了植物中残余应力的存在：切下的大黄自然会向后弯曲。茎由外部表皮组织和内部髓组成。观察表明，在自然状态下，髓处于压缩状态而表皮处于拉伸状态。通过仔细剥离表皮并放置在其原始位置旁边，可以注意到条带收缩了约 2%；如果完全去除表皮，髓伸长约 6%。实验证实了去皮前外层处于轴向拉伸状态而内层处于轴向压缩状态。
组织张力在植物生理学中扮演核心角色，也推动了生长激素 auxin 的发现。
2.2.2 生理系统中的残余应力
通过 Fung 及其合作者以及 Vaishnav 和 Vossoughi 在 1980 年代的共同研究，残余应力在生理学中的重要性得到了充分认识。Fung 的经典实验利用了切开动脉圆盘会因张开以释放残余应力的现象。如果将动脉视为三层圆筒，切开圆盘张开表明内层处于压缩状态而外层处于拉伸状态。
残余应变通过圆盘两端与最远点之间的张开角（Opening Angle）来量化。张开角已成为动脉残余应变研究的标准量度。与大黄一样，动脉表现出轴向残余应力。残余应力被发现存在于许多其他生理系统中：食道、主动脉、心脏、气管、脑、骨骼、软骨、发育中的胚胎，甚至固体肿瘤、海胆和水果干燥中。
2.3 形态弹性理论（Morphoelasticity Theory）
2.3.1 基本概念
从几何角度上看，残余应力源于局部体积变化规格与身体连续性和完整性之间的不兼容性。考虑一个三根相同弹性杆完美粘合在一起的夹层结构。如果中间杆均匀生长，为了保持复合结构的完整性并防止其断裂，中间杆必须处于压缩状态，因此外侧两根杆必须处于拉伸状态。结果是这种结构产生了残余应力。
这个基本例子概述了材料弹性、生长引起的局部体积变化和身体的整体几何形状之间的相互作用。此外，应力还通过演化定律影响生长，在应力和几何形状的发育中产生进一步的动力学反馈。理解这种耦合是形态弹性理论的核心问题。
形态弹性理论的目标不仅是获得新的生长形状和结构中产生的残余应力，还要理解身体如何动态演化、如何响应加载、如何自我重组重塑，以及如何实现关键的结构和生物功能。
2.3.2 生长与稳定性
生物材料中生长、几何和弹性相结合的另一种方式是通过作为机械不稳定性的新形态模式的形成。众所周知，弹性材料在外部加载下可以发展出不稳定性如屈曲、起皱或起皱。自然而然的问题是：生长本身能否产生足够的应力以使身体失稳？生长可能使身体失稳并触发新形状的发展，也可能有稳定作用，因为通常粗短的身体在压缩下比细长的身体更稳定。
2.3.3 核心科学问题
形态弹性理论感兴趣的一般问题包括： 1. 机械线索在生长组织中的作用是什么？ 2. 生长如何改变组织的结构特性？ 3. 力学、几何和生长在形态模式形成中的综合作用是什么？
2.4 生长建模简史
早期历史时间表
| 年份 | 科学家 | 研究内容 |
|---|---|---|
| 1638 | Galileo | 首次讨论尺度关系 |
| 1758 | du Monceau | 顶尖生长的首次描述 |
| 1825 | Gompertz | 人口增长模型 |
| 1832 | Bourgery | 骨骼与力学的联系 |
| 1848 | Brucke | 植物残余应力的首次描述 |
| 1867 | Davis | 软组织重塑定律 |
| 1870 | Wolff | 骨骼设计的数学定律 |
| 1881 | Roux | 骨骼功能适应原理 |
| 1888 | His | 《论动物形态学原理》 |
| 1892 | Woods | 壁应力在心脏中的力学作用 |
| 1893 | Thoma | 动脉重塑 |
| 1917 | D'Arcy Thompson | 《论生长与形式》 |
数学建模发展
在建模方面，Cowin 和 Hegedus 提出了基于自适应弹性理论的骨骼理论，Murray、Maini 及其合作者在伤口愈合和机械模式形成的模型方面提出了重要理论。Skalak、Hoger 及其合作者的开创性工作确立了基于连续介质力学基础的完整生长理论。他们证明，通过将生长视为从初始构型到新参考构型的映射，可以使用运动学概念（速度、速度梯度、变形梯度等）来量化身体的演化和对机械载荷的响应。
Rodriguez 等人的关键思想是：身体的变形可以分解为描述局部材料添加的生长步骤和表征身体重组以确保兼容性和完整性的弹性响应。这一运动学理论现在是大量科学文献的起点，后续章节将详细探讨。
生长变形梯度乘性分解（Multiplicative Decomposition）是生长建模的核心公式：
其中 F 是总变形梯度，F_e 是弹性部分，F_g 是生长部分。这一公式最早出现于位错理论和非弹性理论，后来被引入生物生长建模。
主要公式汇总
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Laplace 定律（球形膜）： $\(P = \frac{h\sigma}{R}\)$
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一般 Laplace-Young 定律： $\(P = h(\sigma_1 \kappa_1 + \sigma_2 \kappa_2)\)$
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Woods 数： $\(C_{Woods} = \frac{P}{\sigma} = h(\kappa_1 + \kappa_2)\)$
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变形梯度乘性分解： $\(\mathbf{F} = \mathbf{F}_e \cdot \mathbf{F}_g\)$
核心结论
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力学与生长的双向耦合：应力影响生长，生长反过来也产生和调节应力。这种耦合是理解生物形态形成的关键。
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经验定律的验证：Thoma 定律、Woods 定律、Woiff 定律和 Davis 定律分别描述了动脉、心脏、骨骼和软组织对力学的响应，说明不同组织系统存在保守的力学-生长关系。
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残余应力的普遍性：残余应力广泛存在于植物和动物组织中，是生长过程中不可避免的产物，对于维持组织功能和结构完整性具有重要意义。
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形态弹性理论框架：通过将变形梯度分解为生长部分和弹性部分，建立了描述生长和力学耦合的数学框架。
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生长可导致形态不稳定：生长本身可以产生足够的应力使身体失稳，引发新的形态模式如屈曲和起皱。
主要挑战
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机械传导机制：尽管力学对生长的影响已被广泛记录，但机械信号如何精确传递到细胞内部并触发生长响应的具体机制尚未完全理解。
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本构关系：Rodriguez 等人的运动学方法主要是生长的几何建模，没有解决生长发生的微观过程。如何建立生长与应力/应变等力学变量之间准确的本构方程仍是核心挑战。
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混合物理论：Humphrey、Rajagopal 及其合作者主张应通过混合物理论在生长建模中追踪单个组分的产生、吸收和重塑。
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多尺度耦合：如何将细胞层面的分子信号与组织/器官层面的力学响应和生长模式联系起来，建立完整的多尺度理论框架。
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预测能力：当前的形态弹性理论主要描述已发生的变化，但缺乏对生长路径和最终形态的可靠预测能力。
关键概念中英对照
| 英文 | 中文 |
|---|---|
| Mechanotransduction | 机械传导 |
| Auxanometer | 生长测量仪 |
| Neurites | 神经突 |
| Axons | 轴突 |
| Wall Stress | 壁应力 |
| Laplace's Law | Laplace 定律 |
| Trabecular Bone | 骨小梁 |
| Osteoblasts | 成骨细胞 |
| Osteoclasts | 破骨细胞 |
| Ligaments | 韧带 |
| Tendons | 肌腱 |
| Tumor Spheroids | 肿瘤球体 |
| Tissue Tension | 组织张力 |
| Residual Stress | 残余应力 |
| Residual Strain | 残余应变 |
| Morphoelasticity | 形态弹性 |
| Opening Angle | 张开角 |
| Growth Stresses | 生长应力 |
| Multiplicative Decomposition | 乘性分解 |
| Deformation Gradient | 变形梯度 |
| Homeostasis | 体内平衡 |
本笔记基于 A. Goriely 所著《The Mathematics and Mechanics of Biological Growth》第2章内容整理