第14章源项离散化、松弛与其他细节（Discretization of the Source Term, Relaxation, and Other Details）

作者

本章由 F. Moukalled、L. Mangani 和 M. Darwish 合著。本章是 Numerics 模块（Ch 8-14）的收官章节，专门处理"小但大"影响的数值细节：源项的隐式 / 显式处理、亚松弛、残差形式、收敛判据。本章是 Ch 15-16 N-S 方程求解与 Ch 17 湍流模型的"前置章节"。

内容概述

本章 40 页篇幅是全书 20 章中相对短的一章，但内容都是工业 CFD 实践中"非知道不可"的细节。在工程实践中，源项处理 + 亚松弛 + 收敛判据的选择往往决定一个 CFD 项目是"快速收敛"还是"反复发散调试"。

§14.1 源项离散化 —— 源项 $Q_\phi$ 在很多物理问题中（湍流模型、化学反应、辐射传热、多相流）依赖 $\phi$ 本身，即 $Q_\phi = Q_\phi(\phi)$。这种"自非线性"对数值稳定性影响巨大。

工业上常见的"自非线性源项"包括： - 湍流模型：k 方程的源项 $-\epsilon$（$\epsilon$ 依赖 k）、k-ω 模型的交叉扩散项 - 化学反应：Arrhenius 公式的 $A \exp(-E_a / RT)$ 中 $T$ 出现在指数项 - 辐射传热：$Q_T = A (T_1^4 - T^4)$ 中 $T$ 的 4 次方 - 多相流：相变源项的"阶跃"特性 - 化学反应流：组分质量分数的化学消耗 / 生成项

这些"自非线性源项"如果处理不当，会导致严重的数值不稳定或发散。本节给出 Taylor 线性化（Eq. 14.3）的标准处理方法。

基本形式 (Eq. 14.1)

$$a_C \phi_C + \sum_{F} a_F \phi_F = Q_{\phi,C} V_C \tag{14.1}$$

其中 $Q_{\phi,C} V_C$ 是源项在控制体 $C$ 上的积分。

Taylor 展开线性化 (Eq. 14.3)

$$Q_\phi(\phi_C) = \left( \frac{\partial Q}{\partial \phi_C} \right)^* \phi_C + \left[ Q^* - \left( \frac{\partial Q}{\partial \phi_C} \right)^* \phi_C^* \right] \tag{14.3}$$

把源项拆分为"隐式部分"（$\left( \frac{\partial Q}{\partial \phi} \right)^* \phi_C$）和"显式部分"（$Q^* - \left( \frac{\partial Q}{\partial \phi} \right)^* \phi_C^*$，基于上一迭代值）。这是源项处理的核心思想：把非线性项沿当前迭代点做一阶 Taylor 展开，分离出"对 $\phi_C$ 的线性依赖"作为隐式项，剩下的作为显式项。

离散后形式 (Eq. 14.5)

$$\left( a_C - \text{Flux}_C^C \right) \phi_C + \sum_F a_F \phi_F = \text{Flux}_V^C \tag{14.5}$$

其中 $\text{Flux}_C^C = \int_{V_C} \frac{\partial Q^*}{\partial \phi_C} dV$ 是隐式部分对 $a_C$ 的贡献（注意是减号，因为它从右端移到左端），$\text{Flux}_V^C$ 是显式部分。

稳定性要求 (Eq. 14.5 末尾)
隐式部分 $\text{Flux}_C^C \leq 0$（保证对角占优）
显式部分 $\text{Flux}_V^C \geq 0$（保证正定解）
这等价于"负源项（sink）隐式、正源项（source）显式"的工程经验法则。具体地：
- 如果 $\partial Q / \partial \phi < 0$（源随 $\phi$ 增加而减少，是稳定源），应隐式处理
- 如果 $\partial Q / \partial \phi > 0$（源随 $\phi$ 增加而增加，是不稳定源），应显式处理
Example 1：辐射源项

$$Q_T = A (T_1^4 - T^4)$$

展开线性化：

$$\frac{\partial Q_T}{\partial T} = -4 A T^3$$

源项"导数为负"是稳定源，应隐式处理。Example 1 详细演示了这一处理过程，以及不同选择（隐式 vs 显式）对收敛性的影响 —— 隐式处理通常收敛更快、更稳定。

§14.2 亚松弛 (Under-Relaxation) —— 高非线性问题的"安全阀"。当源项的线性化仍无法保证收敛时（例如化学反应、相变流、强湍流），需要亚松弛进一步减慢迭代更新。

基本形式

$$\phi_C^{new} = \phi_C^{old} + \alpha (\phi_C^{computed} - \phi_C^{old}), \quad 0 < \alpha < 1$$

通过减慢迭代更新速度，避免数值振荡。$\alpha = 1$ 为无松弛（直接用计算值），$\alpha \to 0$ 为无穷慢（基本不更新）。

Patankar 隐式亚松弛 (Eq. 14.9) —— 把亚松弛项加入离散方程

$$\frac{a_C}{\alpha} \phi_C^{new} + \sum_F a_F \phi_F = b_C + \frac{1 - \alpha}{\alpha} a_C \phi_C^{old}$$

优点：自动嵌入线性系统，$\alpha$ 在 $0 < \alpha \leq 1$ 范围内保证无条件稳定。缺点：$\alpha$ 太小会导致收敛极慢（每步只更新一小部分）。

E-factor 方法 (van Doormaal-Raithby 1984) —— 通过调整源项的导数 $\partial Q / \partial \phi$ 实现亚松弛：

$$\frac{\partial Q}{\partial \phi} \to \frac{1}{E} \frac{\partial Q}{\partial \phi}$$

其中 $E > 1$ 是 E-factor。优点：保持源项物理意义，E-factor 与 Patankar 隐式亚松弛在数学上等价。缺点：实现上需要修改源项线性化逻辑，工业实现较少。

伪时间步法 (False Transient) (Mallinson-de Vahl Davis 1973) —— 把"稳态问题"用瞬态求解器求解，每步用 CFL 限制时间步长。优点：稳健，对病态问题也能收敛；缺点：收敛到稳态需要数千步，计算成本高。

§14.3 残差形式 (Residual Form) —— 把离散方程写成

\[R_C = a_C \phi_C + \sum_F a_F \phi_F - b_C\]

$R_C$ 是 cell $C$ 上的"残差"。当所有 $R_C \to 0$ 时，$\phi$ 收敛。残差分析是判断收敛性的核心工具。

工程上有两种常用的残差： - 绝对残差 $|R_C|$：直接判断每个 cell 的平衡误差 - 归一化残差 $|R_C| / (\sum_F |a_F| + |b_C|)$：消除量级影响，便于跨物理量比较

OpenFOAM 默认输出归一化残差到 log 文件，例如：

time step continuity errors : sum local = 1.234e-3, global = 2.456e-4

§14.4 收敛判据 (Convergence Indicators) —— 工业 CFD 中判断解是否收敛的 4 大判据：

残差下降 —— 各物理量的归一化残差降至 $10^{-3}$ - $10^{-6}$。不同物理量的阈值不同：压力通常更难收敛（$10^{-4}$），湍流量更难（$10^{-3}$）。
整体守恒 —— 流入 - 流出 = 0（流量守恒、能量守恒）。在 OpenFOAM 中通过 fluxReport 或自定义 functionObject 监测。
关键量不随迭代变化 —— 升力、阻力、热流等"积分量"在最后 100 步内变化 < 0.1%。这是最可靠的判据，因为工程上真正关心的是这些积分量。
网格无关性验证 —— 加密网格后解不变（网格收敛性研究）。这是最严格的判据，但成本最高（2-3 倍计算量）。

§14.5 计算指针 —— uFVM 与 OpenFOAM 的实现： - OpenFOAM 通过 system/fvSolution 中的 relaxationFactors 配置：

relaxationFactors
{
    fields
    {
        p               0.3;
    }
    equations
    {
        U               0.7;
        "(k|epsilon|omega)" 0.7;
    }
}

- 压力亚松弛 $\alpha_p = 0.3$ 是 SIMPLE 系列算法的"标配"（压力更新要慢） - 速度亚松弛 $\alpha_U = 0.7$ 是工业典型（速度可以快一些） - 湍流量亚松弛 $\alpha_k = 0.7$ 是工业典型

uFVM 通过 cfdRelaxEquation(...) 调用

§14.6 闭包 —— 总结源项 + 亚松弛的工程实践。

核心方程与概念

源项 Taylor 线性化 (Eq. 14.3)

$$Q(\phi) \approx \left( \frac{\partial Q}{\partial \phi} \right)^* \phi + \left[ Q^* - \left( \frac{\partial Q}{\partial \phi} \right)^* \phi^* \right]$$

离散后形式 (Eq. 14.5)

$$\left( a_C - \frac{\partial Q}{\partial \phi} \right) \phi_C + \sum_F a_F \phi_F = Q^* - \left( \frac{\partial Q}{\partial \phi} \right)^* \phi_C^*$$

隐式 / 显式规则 —— 负源（sink）隐式、正源（source）显式
Patankar 隐式亚松弛 (Eq. 14.9)

$$\frac{a_C}{\alpha} \phi_C^{new} = b_C - \sum_F a_F \phi_F + \frac{1 - \alpha}{\alpha} a_C \phi_C^{old}$$

E-factor 方法

$$\frac{\partial Q}{\partial \phi} \to \frac{1}{E} \frac{\partial Q}{\partial \phi}$$

残差 (Eq. 14.13)

$$R_C = a_C \phi_C + \sum_F a_F \phi_F - b_C$$

归一化残差 (Eq. 14.14)

$$R_{C,norm} = \frac{R_C}{\sum_F |a_F| + |b_C|}$$

关键结论

源项的隐式 / 显式处理对收敛性影响巨大：负源（sink）隐式、正源（source）显式是工业经验法则。
亚松弛是高非线性问题的"安全阀"：湍流、化学反应、多相流等高非线性问题必须配合亚松弛才能稳定收敛。OpenFOAM 默认 p 0.3 / U 0.7 是工业上"压力慢、速度中"的典型配置。
E-factor 与伪时间步法是亚松弛的两种"变体"：E-factor 通过修改源项导数实现，伪时间步法通过瞬态求解器实现。
残差分析是判断收敛性的核心工具：但残差下降不等于物理量收敛 —— 必须配合整体守恒、关键量不变化、网格无关性 4 大判据。
OpenFOAM relaxationFactors 是工业 CFD 用户最常调整的参数之一。

挑战和开放性问题

亚松弛因子的最优选取 —— 没有通用理论指导，多依赖经验或自适应算法。亚松弛因子 $\alpha$ 太小 → 收敛慢；太大 → 发散。工业上常采用"先小后大"的策略。
E-factor 与 Patankar 亚松弛的等价性 —— 严格的数学等价性证明需要 $\alpha$ 与 $E$ 满足特定关系，工业实现中常被忽略。
多物理场耦合的亚松弛 —— 流-热-化-力多场耦合时，各物理量的最优亚松弛因子相互影响，需要联合调优。
网格无关性验证的成本 —— 加密网格 2-3 倍的计算成本是工业 CFD 项目最昂贵的验证步骤之一。
机器学习辅助的亚松弛因子优化 —— 现代研究开始用 RL（强化学习）自适应选择亚松弛因子，本书未涉及。

个人反思与批判性分析

本章是"小细节"章节，40 页篇幅覆盖了源项处理、亚松弛、残差、收敛判据 4 大主题。从写作特点看：

"小但大"的影响 —— 作者特别强调源项处理不当会导致发散、亚松弛选择不当会导致收敛慢或发散。这些"非物理但数值上关键"的细节是工业 CFD 实践中"老手"与"新手"的分水岭。
3 种亚松弛方法的并列展开 —— Patankar 隐式、E-factor、伪时间步法各有优劣，作者给出选择指南。
4 大收敛判据 —— 残差、整体守恒、关键量、网格无关性，是工业 CFD 项目验证解的"金标准"。

但本章也存在不足：

亚松弛因子的"自适应"选择 是工业上的常见需求（简单问题用大 $\alpha$、难问题用小 $\alpha$），本书未深入。
残差的"物理意义"分析 —— 不同物理量的残差大小不直接可比（压力的残差可能比速度大 10 倍），归一化残差的"绝对阈值"（$10^{-6}$）在不同物理量上有不同意义，本书未深入。
网格无关性的"网格收敛指数 (GCI)" 是 ASME 2008 提出的标准方法，本书未涉及。
非线性方程的 Newton-Raphson 迭代 是化学反应流、相变流等强非线性问题的标准解法，本书未涉及。

总体而言，本章是"工程必备"的细节章节，与 Patankar 1980、van Doormaal-Raithby 1984 的经典文献形成对标。Moukalled 的优势在于"理论（Taylor 线性化） + 工程（3 种亚松弛方法） + OpenFOAM 实践"三位一体。

重要参考文献

[X1] Patankar S.V. (1980) Numerical Heat Transfer and Fluid Flow. Hemisphere. （Patankar 隐式亚松弛原始文献）
[X2] van Doormaal J.P., Raithby G.D. (1984) Enhancements of the SIMPLE method for predicting incompressible fluid flows. Numerical Heat Transfer, 7(2): 147-163. （E-factor 方法）
[X3] Mallinson G.D., de Vahl Davis G. (1973) The method of the false transient for the solution of coupled elliptic equations. Journal of Computational Physics, 12(4): 435-461. （伪时间步法）
[X4] Ferziger J.H., Perić M. (2002) Computational Methods for Fluid Dynamics, 3rd Edition. Springer.
[X5] Versteeg H.K., Malalasekera W. (2007) An Introduction to Computational Fluid Dynamics: The Finite Volume Method, 2nd Edition. Pearson.
[X6] Roache P.J. (1998) Verification and Validation in Computational Science and Engineering. Hermosa Publishers. （网格收敛性 V&V 标准参考）
[X7] ASME (2008) Standard for Verification and Validation in Computational Fluid Dynamics and Heat Transfer. ASME V&V 20-2009. （GCI 标准）
[X8] OpenFOAM Foundation (2014) OpenFOAM: The Open Source CFD Toolbox — User Guide. （OpenFOAM relaxationFactors）

第14章 源项离散化、松弛与其他细节（Discretization of the Source Term, Relaxation, and Other Details）

作者