第十四章：呼吸（Respiration）

书籍信息：Keener & Sneyd，《数学生理学》（第二版：系统生理学），Springer，2009年。

一、概述与呼吸系统结构

呼吸系统的主要功能是完成组织与外界空气之间的气体交换。代谢过程中产生的二氧化碳必须通过血液运输到肺部并排出体外，而组织所需的氧气则必须由肺部从外界空气中提取。

呼吸系统由鼻腔、口腔、咽、喉、气管、支气管树、肺泡以及呼吸肌组成。鼻腔专门负责加热和湿润吸入的空气，并过滤去除大颗粒物质。喉部（"声箱"）含有声襞，空气通过时振动产生声音。喉部以下，呼吸系统分为气道和肺泡两部分。气道由一系列逐级分支的管道组成，直径和长度随深入肺组织而减小，经过约23级分支后终止于盲端囊——即肺泡。终末细支气管是支气管树中吸入空气能沿压力梯度流动到达的最深点，超过此范围后，气体主要通过沿浓度梯度的简单扩散进行移动。

肺泡是薄壁气囊，提供了气体交换的表面。每侧肺约含3亿个肺泡，被呼吸膜包围，使空气和血液在约70平方米的巨大表面上紧密接触。人类肺部约有70至140毫升血液铺展于该表面之上。

二、毛细血管-肺泡气体交换（14.1节）

2.1 界面上的扩散

根据第十三章，气体的分压定义为该气体的摩尔分数乘以总压力。当气体与液体接触时，气体在液体中的稳态浓度$U$由亨利定律给出：

\[U = \sigma P_s \qquad(14.1)\]

其中$\sigma$是气体在液体中的溶解度。溶解气体浓度$U$对应的分压为$U/\sigma$。

当分压存在差异时，气体跨界面净流量$q$（单位面积、单位时间）可假设与分压差成正比：

\[q = D_s \left( P_g - \frac{U}{\sigma} \right) \qquad(14.2)\]

其中$D_s$为表面扩散常数。

2.2 毛细血管-肺泡传输模型

考虑长度为$L$、横截面积为$A$、周长为$p$的毛细血管段，血液以速度$v$流动，毛细血管外为分压恒定为$P_g$的肺泡空间。根据质量守恒，可得输运方程：

\[U_t + (vU)_x = \frac{pq}{A} \qquad(14.4)\]

代入（14.2），并设$v$沿毛细血管恒定，得到：

\[U_t + vU_x = D_m(\sigma P_g - U) \qquad(14.5)\]

其中$D_m = \chi D_s / \sigma$，$\chi = p/A$为表面体积比，$D_m$具有时间倒数的量纲。

稳态下设$\frac{dU}{dx} = 0$，得到一阶线性常微分方程：

\[v\frac{dU}{dx} = D_m(\sigma P_g - U) \qquad(14.6)\]

设$x=0$处浓度为$U_0$（对应分压$P_0 = U_0/\sigma$），解为指数衰减函数：

\[U(x) = \sigma P_g + (U_0 - \sigma P_g)e^{-D_m x/v} \qquad(14.7)\]

跨壁总通量为：

\[Q = vA\sigma(P_g - P_0)(1 - e^{-D_m L/v}) \qquad(14.8)\]

当$D_m L/v \to \infty$时，$Q \to vA\sigma(P_g - P_0)$，即无限长毛细血管的总通量有限。

二氧化碳从肺毛细血管血液进入肺泡的实验数据呈指数衰减，与（14.7）一致。由于二氧化碳在水中的溶解度很高，入口血液与肺泡空气之间的分压差仅约5 mm Hg。相比之下，氧气在水中的溶解度约为二氧化碳的1/20，尽管分压差更大，但仍不足以解释氧气与二氧化碳的平衡运输——如果按此模型计算，氧气的分压差需要约为二氧化碳的20倍，而实际数据并不支持这一结论。此外，数据显示氧气在肺毛细血管中的摄取在前三分之一段近线性增长，而非指数增长，这表明需要考虑血液化学反应的促进作用。

三、二氧化碳的移除（14.1.3节）

血液化学在促进气体交换中起重要作用。二氧化碳通过碳酸酐酶反应转化为碳酸氢盐：

\[\mathrm{CO_2 + H_2O} \xrightleftharpoons[k_{-1}]{k_1} \mathrm{HCO_3^- + H^+}\]

忽略中间产物$\mathrm{H_2CO_3}$，稳态下（忽略毛细血管内扩散）各物质浓度满足：

\[v\frac{dU}{dx} = D_{CO_2}(\sigma_{CO_2}P_{CO_2} - U) + k_{-1}[H^+]V - k_1 U \qquad(14.11)$$ $$v\frac{dV}{dx} = k_1 U - k_{-1}[H^+]V \qquad(14.12)\]

其中$U = [\mathrm{CO_2}]$，$V = [\mathrm{HCO_3^-}]$。

将两式相加得：

\[v\frac{d}{dx}(U + V) = D_{CO_2}(\sigma_{CO_2}P_{CO_2} - U) \qquad(14.13)\]

假设$V$快速平衡，$V = K_c U$，其中$K_c = k_1/[H^+]$，可得：

\[v(1 + K_c)\frac{dU}{dx} = D_{CO_2}(\sigma_{CO_2}P_{CO_2} - U) \qquad(14.14)\]

该方程形式上与（14.6）相同。碳酸氢盐-二氧化碳反应的平衡常数满足$\log_{10}(K_c) = -6.1$，在pH = 7.4时$K_c = 20$，这意味着碳酸酐酶反应使二氧化碳传输速率提高了$1 + K_c = 21$倍，效果相当显著。

总通量为：

\[Q = vA(1 + K_c)\sigma_{CO_2}(P_0 - P_{CO_2})(1 - e^{-D_{CO_2}L/(v(1+K_c))}) \qquad(14.15)\]

在$D_{CO_2}L/v \to \infty$的极限下：

\[Q \to vA(1 + K_c)\sigma_{CO_2}(P_0 - P_{CO_2}) \qquad(14.16)\]

二氧化碳转化为碳酸氢盐有效地将流速放大了$1 + K_c$倍，从而持续补充向肺泡空气流失的二氧化碳。

四、氧气的摄取（14.1.4节）

血红蛋白结合氧气的化学反应同样具有促进作用，但呈非线性。简化的血红蛋白化学模型为：

\[\mathrm{Hb + 4O_2} \xrightleftharpoons[k_{-2}]{k_2} \mathrm{Hb(O_2)_4}\]

守恒方程为：

\[v\frac{dW}{dx} = D_{O_2}(\sigma_{O_2}P_{O_2} - W) + 4k_{-2}Y - 4k_2 ZW^4 \qquad(14.17)$$ $$v\frac{dY}{dx} = k_2 ZW^4 - k_{-2}Y \qquad(14.18)$$ $$v\frac{dZ}{dx} = k_{-2}Y - k_2 ZW^4 \qquad(14.19)\]

其中$W = [\mathrm{O_2}]$，$Y = [\mathrm{Hb(O_2)_4}]$，$Z = [\mathrm{Hb}]$，总血红蛋白守恒$Z + Y = Z_0$。

将（14.17）与（14.18）相加得：

\[v\frac{d}{dx}(W + 4Y) = D_{O_2}(\sigma_{O_2}P_{O_2} - W) \qquad(14.20)\]

假设血红蛋白与氧气结合处于准稳态，令$Y$满足：

\[Y = Z_0 \frac{W^4}{K_{O_2}^4 + W^4} \qquad(14.21)\]

其中$K_{O_2}^4 = k_{-2}/k_2$。代入（14.20）得非线性微分方程：

\[v\frac{d}{dx}\left(W + 4Z_0 \frac{W^4}{K_{O_2}^4 + W^4}\right) = D_{O_2}(\sigma_{O_2}P_{O_2} - W) \qquad(14.22)\]

更一般地，若$f(W)$为氧饱和曲线，则：

\[v\frac{d}{dx}(W + 4Z_0 f(W)) = D_{O_2}(\sigma_{O_2}P_{O_2} - W) \qquad(14.23)\]

该方程可分离变量求隐式解。总氧气通量为：

\[Q = Av(W + 4Z_0 f(W))\big|_{W_1}^{W_2} \qquad(14.25)\]

将（14.23）与（14.14）比较，可见氧气通量被因子$1 + 4Z_0 f'(W)$促进。取$f(W) = W^4/(K_{O_2}^4 + W^4)$，最大增强因子约为：

\[1 + \frac{8Z_0}{K_{O_2}^4} \approx 200\]

但实际条件下血红蛋白完全饱和时，100毫升血液携带约20毫升氧气（20体积百分比），而无血红蛋白时仅能溶解约0.5毫升氧气，因此实际增强因子约为40。现实中约97%的氧气由血红蛋白运输，其余3%以溶解形式运输，增强因子约为32。

五、一氧化碳中毒（14.1.5节）

一氧化碳与氧气竞争血红蛋白结合位点。一氧化碳对血红蛋白的亲和力约为氧气的200倍：

\[\mathrm{Hb + 4CO} \xrightleftharpoons[k_{-3}]{k_3} \mathrm{Hb(CO)_4}\]

设$U = [\mathrm{CO}]$，$S = [\mathrm{Hb(CO)_4}]$，$Z = [\mathrm{Hb}]$，血红蛋白守恒$Z + Y + S = Z_0$。引入无量纲变量$w = K_{O_2} W$和$u = K_{CO} U$，以及$\beta = K_{O_2}/K_{CO} \approx 200$，得到：

\[v\frac{d}{dx}\left(w + 4z_0\frac{w^4}{1 + w^4 + u^4}\right) = D_{O_2}(w^* - w) \qquad(14.33)$$ $$v\frac{d}{dx}\left(u + 4\beta z_0\frac{u^4}{1 + w^4 + u^4}\right) = D_{CO}(u^* - u) \qquad(14.34)\]

由于$\beta$很大（约200），一氧化碳浓度随$x$变化很慢，而氧气浓度迅速上升。在肺泡长度内，氧气得到补充，但几乎无一氧化碳被消除。

致死性可通过稳态分析理解。设$u = u^*$与环境平衡，氧气运输速率为：

\[M = w^* + 4z_0\frac{(w^*)^4}{1 + (w^*)^4 + u^4} - w_0 - 4z_0\frac{w_0^4}{1 + w_0^4 + u^4} \qquad(14.35)\]

正常代谢下$M = 53$，当$u > 4.64$时（即一氧化碳分压仅约0.7 mm Hg，相当于环境体积分数0.1%），即可导致组织缺氧死亡。

一氧化碳消除速率与$(1 + (w^*)^4)^{1/4}$成正比，因此增加环境氧分压可加速清除。医院通常将中毒者置于2至2.5个大气压的氧气环境中，此时$w^* = 50.7$（对比正常$w^* = 3.5$），清除速率提高约14倍。

六、通气与灌注（14.2节）

气体交换由肺泡通气和毛细血管灌注共同完成。通气-灌注比$V/Q$是决定肺血液气体含量最重要的因素。

每次呼吸吸入约500毫升空气（男性630毫升，女性390毫升），其中150毫升为解剖死腔，只有350毫升参与肺泡气体交换。以每分钟15次呼吸计，通气率$\dot{V} \approx 5250$毫升/分钟。心输出量约为每搏70毫升，以72次/分计，灌注率$\dot{Q} \approx 5000$毫升/分钟，故正常通气-灌注比约为1。

设$P_i$和$P_a$分别为吸入气和肺泡气中某气体的分压，气体被通气移除的速率（摩尔/秒）为：

\[\dot{V}\frac{P_a - P_i}{RT} \qquad(14.39)\]

由血液带入肺泡的速率（摩尔/秒）为：

\[\dot{Q}(c_v - c_a) \qquad(14.40)\]

两者平衡给出：

\[\frac{\dot{V}}{\dot{Q}} = \frac{(c_v - c_a)RT}{P_a - P_i} \qquad(14.41)\]

单位换算：肺泡气处于体温体温压力饱和（BTPS）条件，而血液气体浓度通常在标准温压干燥（STPD）条件下测量。对于1摩尔气体：

\[V_{STPD} = V_{BTPS} \cdot \frac{P - 47}{863} \qquad(14.44)\]

其中环境压力$P$单位为mm Hg，水蒸气分压为47 mm Hg，系数863由$273 \times 760 / 310$而来。

对于二氧化碳，由于迅速转化为碳酸氢盐，血液中总二氧化碳浓度为：

\[[\mathrm{CO_2}] = \sigma_{CO_2}(1 + K_c)P_{CO_2} \qquad(14.45)\]

吸入气中二氧化碳分压近似为零，于是：

\[\frac{\dot{V}}{\dot{Q}} = \sigma_{CO_2}RT(1 + K_c)\frac{P_{v,CO_2} - P_{a,CO_2}}{P_{a,CO_2}} \qquad(14.46)\]

对于氧气，总血氧含量为：

\[[\mathrm{O_2}]_t = W + 4Z_0 f(W) \qquad(14.47)\]

通气-灌注比满足：

\[\frac{\dot{V}}{\dot{Q}} = \frac{RT}{(P_{i,O_2} - P_{a,O_2})}\left[(W_a - W_v) + 4Z_0(f(W_a) - f(W_v))\right] \qquad(14.48)\]

随着$\dot{V}/\dot{Q}$增加，肺泡氧分压升高而二氧化碳分压下降。$\dot{V}/\dot{Q}$高于正常称过度通气，导致低碳酸血症和呼吸性碱中毒；低于正常称低通气，导致高碳酸血症和呼吸性酸中毒。

6.1 氧-二氧化碳图

联立（14.46）和（14.48）消去$\dot{V}/\dot{Q}$：

\[\sigma_{CO_2}(1 + K_c)\frac{P_{v,CO_2} - P_{a,CO_2}}{P_{a,CO_2}} = \frac{(W_a - W_v) + 4Z_0[f(W_a) - f(W_v)]}{P_{i,O_2} - P_{a,O_2}} \qquad(14.49)\]

在氧-二氧化碳图中，所有可能的肺泡气体分压组合均落在该曲线上。当$\dot{V}/\dot{Q} \to \infty$时，$P_{a,O_2} \to 150$ mm Hg（吸入气氧分压）；当$\dot{V}/\dot{Q} \to 0$时，$P_{a,O_2} \to 40$ mm Hg（静脉氧分压）。

6.2 呼吸交换比

呼吸交换比$R$定义为：

\[R = \frac{\text{移除的二氧化碳体积}}{\text{摄取的氧气体积}} \qquad(14.50)\]

对于肺泡气：

\[R_{gas} = \frac{P_{a,CO_2} - P_{i,CO_2}}{P_{i,O_2} - P_{a,O_2}} = \frac{P_{a,CO_2}}{P_{i,O_2} - P_{a,O_2}} \qquad(14.51)\]

在氧-二氧化碳图中，$R_{gas}$为恒定直线族，从吸入气点$I$发出。对于血液：

\[R_{blood} = \frac{\sigma_{CO_2}(1 + K_c)(P_{v,CO_2} - P_{a,CO_2})}{(W_a + 4Z_0 f(W_a)) - (W_v + 4Z_0 f(W_v))} \qquad(14.52)\]

$R_{blood}$曲线从静脉点$V$发出，呈非线性。$R_{gas} = R_{blood}$决定了实际的肺泡气体分压。

全身二氧化碳产量与氧气消耗量之比称为呼吸商$RQ$。碳水化合物代谢时$RQ = 1.0$，脂肪代谢时$RQ$低至0.7，正常饮食者约0.825。

七、通气调节（14.3节）

7.1 Mackey-Glass模型

呼吸控制发生在脑干的呼吸中枢。化学敏感区检测血液中特别是二氧化碳的浓度变化，通过激活或抑制吸气神经元来改变呼吸频率。

设$x$为血液中二氧化碳分压，二氧化碳由代谢以速率$\lambda$产生，通过肺部通气以速率$\alpha x \dot{V}$消除：

\[\frac{dx}{dt} = \lambda - \alpha x \dot{V} \qquad(14.55)\]

通气率为Hill方程形式：

\[\dot{V}(x) = V_m \frac{x^n}{\theta^n + x^n} \qquad(14.56)\]

由于从肺部通气到脑干检测中心测量$P_{CO_2}$存在显著延迟，完整模型为延迟微分方程：

\[\frac{dx}{dt} = \lambda - \alpha x \dot{V}(x(t - \tau)) \qquad(14.57)\]

引入无量纲变量$x = \theta y$，$t = \alpha V_m s$，$\tau = \alpha V_m \sigma$，$\lambda = \theta \alpha V_m \beta$：

\[\frac{dy}{ds} = \beta - yF(y(s - \sigma)) \qquad(14.58)\]

其中$F$为$S$形单调递增函数。

稳态解唯一且关于$\beta$单调递增。线性稳定性分析给出特征方程：

\[\mu + F(y^*) + y^* F'(y^*)e^{-\mu\sigma} = 0 \qquad(14.60)\]

定义函数$g(y) = F(y) - yF'(y)$。若$g(y^*) > 0$，所有根具有负实部，稳态稳定。若$g(y^*) < 0$，可能发生Hopf分岔，产生周期性振荡。

对于$F(y) = y^3/(1 + y^3)$，临界延迟为：

\[\sigma = \frac{1}{\omega}\left[\pi + \tan^{-1}\left(-\frac{\omega}{F(y^*)}\right)\right] \qquad(14.65)\]

其中$\omega = \sqrt{(y^*F'(y^*))^2 - (F(y^*))^2}$。

当延迟超过临界值时，稳态失稳，系统呈现周期性振荡——即Cheyne-Stokes呼吸，表现为短时间内深快呼吸，随后呼吸减弱或停止一段时间，周期约40至60秒。该模型表明Cheyne-Stokes呼吸可由脑部血液运输延迟增加（Mackey-Glass模型）或负反馈增益增加（Grodins模型）引起，前者常见于慢性心力衰竭患者，后者常见于脑损伤患者。

7.2 Grodins简化模型

Grodins模型描述多个体室中二氧化碳浓度，包括肺、脑和组织。模型包含三个房室方程：

\[V_B \frac{dP_B}{dt} = M_B + Q_B K_{CO_2}(P_a(t - \tau_{aB}) - P_B) \qquad(14.74)$$ $$V_T \frac{dP_T}{dt} = M_T + (Q - Q_B)K_{CO_2}(P_a(t - \tau_{aT}) - P_T) \qquad(14.75)$$ $$V_L \frac{dP_a}{dt} = -\dot{V}P_a + 863K_{CO_2}Q(P_v - P_a) \qquad(14.76)\]

通气率依赖于脑二氧化碳分压：

\[\dot{V} = \dot{V}_{base} + G_C \max(P_B - I_C, 0) \qquad(14.78)\]

当$G_C = 1.8$时稳态稳定，当$G_C = 9$时失稳，出现约60秒周期的振荡。

八、呼吸中枢与互抑制模型（14.4节）

呼吸控制由脑桥和延髓中多个神经元群构成的中枢模式发生器（CPG）完成。延髓网络包括Bötzinger复合体、前Bötzinger复合体和腹侧呼吸群（rVRG）。1991年Smith等人发现前Bötzinger复合体是主要节律发生区，但完整呼吸控制需要多个区域之间的反馈互作。

8.1 简化的互抑制模型

考虑两个神经元群，输出（发放率）分别为$I_1$和$I_2$：

\[\tau \frac{dI_1}{dt} + I_1 = F(E_1 - I_2) \qquad(14.81)$$ $$\tau \frac{dI_2}{dt} + I_2 = F(E_2 - I_1) \qquad(14.82)\]

神经元相互抑制，$F(x)$在$x < 0$时为零，$x > 0$时为正递增函数。

根据$E_1$和$E_2$的相对大小，相平面分析显示三种可能状态：$E_2 \gg E_1$时，$I_2$恒定发放而$I_1$静息；$E_1 \gg E_2$时相反；当$E_1$和$E_2$相近且满足$E_1 < F(E_2)$、$E_2 < F(E_1)$时，存在三个稳态，其中两个分别在坐标轴上（稳定），一个在内部（鞍点，不稳定）。

该网络表现出迟滞效应。缓慢调制$E_1$时，发放状态突然切换而非平滑过渡。

膈膜建模为受$I_1$驱动的阻尼质量-弹簧系统：

\[m\frac{d^2x}{dt^2} + \mu\frac{dx}{dt} + kx = I_1 \qquad(14.83)\]

伸展受体对膈位移$x$产生单调递增响应$f(x)$，兴奋神经元2。最终由迟滞回环产生规则的吸-呼周期。增加$E_2$可停止呼气，增加$E_1$可延长吸气（深呼吸），减少$E_1$可缩短吸气甚至停止呼吸。

公式汇总表

编号	公式名称/描述	公式
(14.1)	亨利定律	$U = \sigma P_s$
(14.2)	界面通量	$q = D_s\left(P_g - \frac{U}{\sigma}\right)$
(14.5)	输运方程（扩散）	$U_t + vU_x = D_m(\sigma P_g - U)$
(14.7)	稳态浓度分布	$U(x) = \sigma P_g + (U_0 - \sigma P_g)e^{-D_m x/v}$
(14.8)	跨壁总通量	$Q = vA\sigma(P_g - P_0)(1 - e^{-D_m L/v})$
(14.14)	二氧化碳有效传输方程	$v(1 + K_c)\frac{dU}{dx} = D_{CO_2}(\sigma_{CO_2}P_{CO_2} - U)$
(14.16)	二氧化碳极限通量	$Q \to vA(1 + K_c)\sigma_{CO_2}(P_0 - P_{CO_2})$
(14.20)	氧气总浓度守恒	$v\frac{d}{dx}(W + 4Y) = D_{O_2}(\sigma_{O_2}P_{O_2} - W)$
(14.23)	氧气传输方程（一般形式）	$v\frac{d}{dx}(W + 4Z_0 f(W)) = D_{O_2}(\sigma_{O_2}P_{O_2} - W)$
(14.25)	氧气总通量	$Q = Av(W + 4Z_0 f(W))\big\\|_{W_1}^{W_2}$
(14.33)	一氧化碳-氧气竞争方程（氧气）	$v\frac{d}{dx}\left(w + 4z_0\frac{w^4}{1+w^4+u^4}\right) = D_{O_2}(w^* - w)$
(14.34)	一氧化碳-氧气竞争方程（一氧化碳）	$v\frac{d}{dx}\left(u + 4\beta z_0\frac{u^4}{1+w^4+u^4}\right) = D_{CO}(u^* - u)$
(14.41)	通气-灌注平衡	$\frac{\dot{V}}{\dot{Q}} = \frac{(c_v - c_a)RT}{P_a - P_i}$
(14.44)	BTPS与STPD换算	$V_{STPD} = V_{BTPS} \cdot \frac{P - 47}{863}$
(14.46)	二氧化碳通气-灌注比	$\frac{\dot{V}}{\dot{Q}} = \sigma_{CO_2}RT(1+K_c)\frac{P_{v,CO_2} - P_{a,CO_2}}{P_{a,CO_2}}$
(14.48)	氧气通气-灌注比	$\frac{\dot{V}}{\dot{Q}} = \frac{RT}{(P_{i,O_2}-P_{a,O_2})}\left[(W_a-W_v)+4Z_0(f(W_a)-f(W_v))\right]$
(14.49)	氧-二氧化碳图方程	$\sigma_{CO_2}(1+K_c)\frac{P_{v,CO_2}-P_{a,CO_2}}{P_{a,CO_2}} = \frac{(W_a-W_v)+4Z_0[f(W_a)-f(W_v)]}{P_{i,O_2}-P_{a,O_2}}$
(14.50)	呼吸交换比	$R = \frac{\text{CO}_2\text{移除体积}}{\text{O}_2\text{摄取体积}}$
(14.51)	肺泡气交换比	$R_{gas} = \frac{P_{a,CO_2}}{P_{i,O_2}-P_{a,O_2}}$
(14.55)	二氧化碳动力学	$\frac{dx}{dt} = \lambda - \alpha x\dot{V}$
(14.57)	Mackey-Glass方程	$\frac{dx}{dt} = \lambda - \alpha x\dot{V}(x(t-\tau))$
(14.58)	无量纲化Mackey-Glass方程	$\frac{dy}{ds} = \beta - yF(y(s-\sigma))$
(14.60)	特征方程（Hopf分岔）	$\mu + F(y^) + y^F'(y^*)e^{-\mu\sigma} = 0$
(14.65)	Hopf分岔临界延迟	$\sigma = \frac{1}{\omega}\left[\pi + \tan^{-1}\left(-\frac{\omega}{F(y^*)}\right)\right]$
(14.74)-(14.76)	Grodins简化模型	脑$T_B$、组织$T_T$、肺$\dot{P}_a$三个方程组
(14.78)	通气控制律	$\dot{V} = \dot{V}_{base} + G_C\max(P_B - I_C, 0)$
(14.81)-(14.82)	互抑制神经元方程	$\tau\frac{dI_1}{dt}+I_1 = F(E_1-I_2)$，$\tau\frac{dI_2}{dt}+I_2 = F(E_2-I_1)$
(14.83)	膈膜动力学	$m\frac{d^2x}{dt^2}+\mu\frac{dx}{dt}+kx = I_1$

九、关键生理参数表

参数	数值	说明
肺泡总表面积	约70平方米	气体交换表面
肺血量	70-140毫升	铺展于肺泡表面
肺泡数	约3亿个/侧	气体交换位点
每分通气量 $\dot{V}$	约5250毫升/分钟	15次/分×350毫升
心输出量 $\dot{Q}$	约5000毫升/分钟	72次/分×70毫升
正常通气-灌注比 $\dot{V}/\dot{Q}$	约1.0	气体交换效率最优
血红蛋白浓度 $Z_0$	约2 mM	血液中总血红蛋白
$K_c$（碳酸氢盐平衡常数）	20（pH 7.4时）	碳酸酐酶促进效应
$\beta = K_{O_2}/K_{CO}$	约200	CO与O2血红蛋白亲和力比
吸入气氧分压 $P_{i,O_2}$	150 mm Hg	干燥空气
静脉氧分压 $P_{v,O_2}$	40 mm Hg	回心血液
静脉二氧化碳分压 $P_{v,CO_2}$	45 mm Hg	回心血液
正常肺泡氧分压 $P_{a,O_2}$	约104 mm Hg	健康成年人
正常肺泡二氧化碳分压 $P_{a,CO_2}$	约40 mm Hg	健康成年人
Mackey-Glass参数 $\lambda$	6 mm Hg/min	CO2代谢产生速率
Mackey-Glass参数 $V_m$	80升/分	最大通气率
Mackey-Glass参数 $\tau$	0.25分	血液运输延迟

十、本章小结

本章从数学角度系统分析了呼吸生理学的四个核心问题：

气体交换的物理机制：通过建立跨毛细血管壁的扩散-反应模型，说明了氧气和二氧化碳在肺泡-血液界面的传输规律，揭示了溶解度差异带来的挑战。
血液化学的促进作用：碳酸酐酶反应将二氧化碳转化为碳酸氢盐，使传输效率提高约20倍；血红蛋白结合氧气使携氧能力提高约40倍，两者均为维持生命所必需。
通气-灌注匹配：通过建立通气-灌注比$\dot{V}/\dot{Q}$与肺泡气体分压的关系，阐明了过度通气/低通气与呼吸性碱中毒/酸中毒的生理机制，并借助氧-二氧化碳图进行可视化分析。
呼吸控制与节律生成：从Mackey-Glass延迟反馈模型到Grodins多室模型，再到神经元互抑制网络，系统揭示了Cheyne-Stokes呼吸等病理现象的数学本质，以及呼吸节律如何从神经网络的自组织行为中涌现。

本章的核心思想是：呼吸系统的高效运行依赖于扩散、运输、生化反应和神经控制等多个层次过程的精确协调，而数学模型为理解和量化这些过程提供了不可或缺的语言和工具。

编号	公式名称/描述	公式
(14.1)	亨利定律	\(U = \sigma P_s\)
(14.2)	界面通量	\(q = D_s\left(P_g - \frac{U}{\sigma}\right)\)
(14.5)	输运方程（扩散）	\(U_t + vU_x = D_m(\sigma P_g - U)\)
(14.7)	稳态浓度分布	\(U(x) = \sigma P_g + (U_0 - \sigma P_g)e^{-D_m x/v}\)
(14.8)	跨壁总通量	\(Q = vA\sigma(P_g - P_0)(1 - e^{-D_m L/v})\)
(14.14)	二氧化碳有效传输方程	\(v(1 + K_c)\frac{dU}{dx} = D_{CO_2}(\sigma_{CO_2}P_{CO_2} - U)\)
(14.16)	二氧化碳极限通量	\(Q \to vA(1 + K_c)\sigma_{CO_2}(P_0 - P_{CO_2})\)
(14.20)	氧气总浓度守恒	\(v\frac{d}{dx}(W + 4Y) = D_{O_2}(\sigma_{O_2}P_{O_2} - W)\)
(14.23)	氧气传输方程（一般形式）	\(v\frac{d}{dx}(W + 4Z_0 f(W)) = D_{O_2}(\sigma_{O_2}P_{O_2} - W)\)
(14.25)	氧气总通量	\(Q = Av(W + 4Z_0 f(W))\big\\|_{W_1}^{W_2}\)
(14.33)	一氧化碳-氧气竞争方程（氧气）	\(v\frac{d}{dx}\left(w + 4z_0\frac{w^4}{1+w^4+u^4}\right) = D_{O_2}(w^* - w)\)
(14.34)	一氧化碳-氧气竞争方程（一氧化碳）	\(v\frac{d}{dx}\left(u + 4\beta z_0\frac{u^4}{1+w^4+u^4}\right) = D_{CO}(u^* - u)\)
(14.41)	通气-灌注平衡	\(\frac{\dot{V}}{\dot{Q}} = \frac{(c_v - c_a)RT}{P_a - P_i}\)
(14.44)	BTPS与STPD换算	\(V_{STPD} = V_{BTPS} \cdot \frac{P - 47}{863}\)
(14.46)	二氧化碳通气-灌注比	\(\frac{\dot{V}}{\dot{Q}} = \sigma_{CO_2}RT(1+K_c)\frac{P_{v,CO_2} - P_{a,CO_2}}{P_{a,CO_2}}\)
(14.48)	氧气通气-灌注比	\(\frac{\dot{V}}{\dot{Q}} = \frac{RT}{(P_{i,O_2}-P_{a,O_2})}\left[(W_a-W_v)+4Z_0(f(W_a)-f(W_v))\right]\)
(14.49)	氧-二氧化碳图方程	\(\sigma_{CO_2}(1+K_c)\frac{P_{v,CO_2}-P_{a,CO_2}}{P_{a,CO_2}} = \frac{(W_a-W_v)+4Z_0[f(W_a)-f(W_v)]}{P_{i,O_2}-P_{a,O_2}}\)
(14.50)	呼吸交换比	\(R = \frac{\text{CO}_2\text{移除体积}}{\text{O}_2\text{摄取体积}}\)
(14.51)	肺泡气交换比	\(R_{gas} = \frac{P_{a,CO_2}}{P_{i,O_2}-P_{a,O_2}}\)
(14.55)	二氧化碳动力学	\(\frac{dx}{dt} = \lambda - \alpha x\dot{V}\)
(14.57)	Mackey-Glass方程	\(\frac{dx}{dt} = \lambda - \alpha x\dot{V}(x(t-\tau))\)
(14.58)	无量纲化Mackey-Glass方程	\(\frac{dy}{ds} = \beta - yF(y(s-\sigma))\)
(14.60)	特征方程（Hopf分岔）	\(\mu + F(y^) + y^F'(y^*)e^{-\mu\sigma} = 0\)
(14.65)	Hopf分岔临界延迟	\(\sigma = \frac{1}{\omega}\left[\pi + \tan^{-1}\left(-\frac{\omega}{F(y^*)}\right)\right]\)
(14.74)-(14.76)	Grodins简化模型	脑\(T_B\)、组织\(T_T\)、肺\(\dot{P}_a\)三个方程组
(14.78)	通气控制律	\(\dot{V} = \dot{V}_{base} + G_C\max(P_B - I_C, 0)\)
(14.81)-(14.82)	互抑制神经元方程	\(\tau\frac{dI_1}{dt}+I_1 = F(E_1-I_2)\)，\(\tau\frac{dI_2}{dt}+I_2 = F(E_2-I_1)\)
(14.83)	膈膜动力学	\(m\frac{d^2x}{dt^2}+\mu\frac{dx}{dt}+kx = I_1\)