第十二章：心脏（The Heart）

读书笔记

书籍信息：Keener & Sneyd, Mathematical Physiology (II: Systems Physiology), Springer 2009, Chapter 12

本章作者：James P. Keener

一、心电图（The Electrocardiogram）

1.1 标量心电图

心电图（ECG）是评估心脏状态和心脏传导系统最重要工具之一。自1877年首次记录心电图以来，人们已知心脏的动作电位产生可在体表测量的电位场。当动作电位在心脏组织中传播时，存在一个波前表面，跨膜电位在该表面经历急剧变化。在同一波前处，细胞外电位经历急剧下降。从远处看，这种细胞外电位的快速变化看起来像Heaviside跳跃。

人体是一个容积导体，因此当体内有电流源（如动作电位传播）时，电流遍布全身。相应的电压电位非常弱，不超过4毫伏，但可使用足够灵敏的伏特计在体表任意两点之间测量电位差。存在三个可检测到电位差的事件：P波（动作电位穿过心房）、QRS波群（动作电位在心室壁中传播时最大的偏转）、以及T波（心室组织的复极）。

典型心肌细胞的动作电位具有快速去极化和相对快速恢复的特点，中间有一个约300毫秒的平台期。平台期的生理基础将在本章后面描述。心房的复极太弱，无法在心电图上检测到。同样，SA结放电、AV结传导和Purkinje网络传播也无法在正常体表心电图上检测到。

1.2 向量心电图

心电图包含的信息比单导联心电图多得多。部分信息可从向量心电图提取。向量心电图的数学基础涉及对容积导体性质的理解。如果假设生物组织是欧姆性的，则电流与电位之间存在线性关系：

\[I = -\sigma \nabla \phi \qquad(12.1)\]

其中$\sigma$是电导率张量，在不同组织（骨、肺、血液等）中不同，且由于肌纤维的条纹而具有各向异性。电流守恒要求：

\[\nabla \cdot I = -\nabla \cdot (\sigma \nabla \phi) = S \qquad(12.2)\]

其中$S$代表所有电流源。人体内最重要的电流源是心脏中传播的动作电位波前。该波前可近似为一个电流偶极子表面。

心脏偶极子向量定义为：

\[\bar{H}(t) = \int_V J \, dV \qquad(12.5)\]

其中$J$表示心脏每一点的偶极子密度，$V$是心脏体积。心脏偶极子向量被假设位于空间中的固定点，仅随时间改变方向和强度。

在心电图学中，正向问题是已知心脏偶极子源和导体属性求解体表电位；逆向问题是从体表电位反推电流源。逆向问题比正向问题更难求解，因为它是数值不稳定的数学问题。

Einthoven三角形是心电图学的经典模型，使用左臂（LA）、右臂（RA）和左腿（LL）三个电极。三种测量电位差的方式为：

\[V_I = \phi_{LA} - \phi_{RA} \qquad(12.8)$$ $$V_{II} = \phi_{LL} - \phi_{RA} \qquad(12.9)$$ $$V_{III} = \phi_{LL} - \phi_{LA} \qquad(12.10)\]

由于闭合回路的电位降为零，因此：

\[V_I + V_{III} = V_{II} \qquad(12.11)\]

临床心电图使用12个标准导联：3个双极肢体导联（I、II、III）、3个加压单极肢体导联（aVR、aVL、aVF）和6个胸前导联（V1-V6）。

二、心脏细胞（Cardiac Cells）

心脏细胞的主要类型包括结细胞（SA和AV结）、Purkinje纤维细胞以及心房和心肌细胞，每种细胞都有略微不同的功能。SA结细胞提供心跳起搏信号，AV结细胞在心房和心室之间传导电信号，Purkinje纤维细胞快速传导以激活心肌，而心肌细胞既有收缩性又有兴奋性。

由于这些不同功能，这些细胞类型具有不同的动作电位形状，都明显不同于Hodgkin-Huxley动作电位。SA结细胞的动作电位最短，而Purkinje纤维细胞和心肌细胞都有显著延长的动作电位（300-400毫秒，而乌贼轴突为3毫秒）。

2.1 Purkinje纤维

现象学方法

Noble（1962）提出了第一个描述心脏细胞动作电位的模型。该模型是Hodgkin-Huxley类型的，基于离子电流和电导。在该模型中，有三种电流： inward Na⁺电流、outward K⁺电流和Cl⁻泄漏电流。

跨膜电流守恒定律表示为：

\[C_m \frac{dV}{dt} + g_{Na}(V - V_{Na}) + (g_{K1} + g_{K2})(V - V_K) + g_{an}(V - V_{an}) = I_{app} \qquad(12.13)\]

其中$g_{an}=0$和$V_{an}=-60$是Cl⁻电流的电导和平衡电位。

Noble模型假设两种不同类型的K⁺通道：瞬时电压依赖性通道和时间依赖性通道。时间依赖性K⁺通道的形式与Hodgkin-Huxley K⁺通道相似，但响应速度慢约100倍，以延长动作电位平台期。该电流有时称为延迟整流电流。电导$g_{K2}$依赖于时间依赖性K⁺激活变量$n$：

\[g_{K2} = 1.2n^4 \qquad(12.14)\]

Na⁺电导形式与Hodgkin-Huxley方程中的形式相似：

\[g_{Na} = 400m^3h + g_i \qquad(12.16)\]

其中$g_i = 0.14$，来自$g_i$的固定内向偏置使得无需大幅改变$h$和$m$的动力学即可产生延长动作电位。

生理学方法

McAllister、Noble和Tsien（MNT，1975）提出了Purkinje纤维动作电位的改进模型。该模型基于"实验结果镶嵌"，因为与Hodgkin-Huxley方程所需数据不同，所需信息并非来自单一实验制备。MNT模型有九个离子电流和九个门控变量。有两个内向电流：$I_{Na}$和$I_{si}$（称为"慢内向"电流）。

\[I_{Na} = g_{Na} m^3 h (V - V_{Na}) \qquad(12.19)\]

慢内向电流$I_{si}$由Ca²⁺离子携带，有两个分量：

\[I_{si} = (0.8df + 0.04d_f)(V - V_{si}) \qquad(12.20)\]

有三个时间依赖性外向K⁺电流：$I_{K2}$（起搏电流）、$I_{x1}$和$I_{x2}$（平台电流）。

2.2 窦房结

窦房结（SA结）内的细胞是心脏内的主要起搏位点。这些细胞的特点是没有真正的静息电位，而是产生规律的、自发的动作电位。与大多数其他产生动作电位的细胞（如神经细胞、肌肉细胞）不同，去极化电流主要由相对较慢的内向Ca²⁺电流携带，而不是快速Na⁺电流。实际上，SA结细胞中没有快速Na⁺电流。0期去极化主要由Ca²⁺电导增加引起。由于Ca²⁺通道比Na⁺通道开放得更慢，0期去极化速率比心脏其他细胞慢得多。

Yanagihara等人（1980）的YNI模型是SA结细胞动作电位行为的最早模型之一。YNI模型包括四个时间依赖性电流：快速内向电流$I_{Na}$、K⁺电流$I_K$（类似于Hodgkin-Huxley电流）、慢内向电流$I_s$和超极化激活的延迟内向电流$I_h$。

跨膜电流守恒形式为：

\[C_m \frac{dV}{dt} + I_{Na} + I_K + I_l + I_s + I_h = I_{app} \qquad(12.30)\]

由于SA结动作电位没有初始尖峰，使用两变量FitzHugh-Nagumo方程相对容易复制。

2.3 心室细胞

第一个描述心室心肌细胞电行为的模型是Beeler-Reuter方程（1977）。与之前描述的模型一样，该模型基于电压钳实验数据。Beeler-Reuter方程比MNT方程简单，因为只有四个跨膜电流描述：两个内向电流（一个快速和一个慢速）和两个外向电流（一个时间独立和一个时间依赖）。

内向Na⁺电流为：

\[I_{Na} = (4m^3hj + 0.003)(V - 50) \qquad(12.41)\]

K⁺电流有两个分量：时间独立电流和时间激活外向电流。慢内向电流为：

\[I_s = 0.09fd(V + 82.3 + 13.0287 \ln[Ca]_i) \qquad(12.44)\]

由于$I_s$的逆转电位依赖于Ca²⁺，必须追踪细胞内Ca²⁺浓度：

\[\frac{dc}{dt} = 0.07(1 - c) - I_s \qquad(12.45)\]

其中$c = 10^7[Ca]_i$。

目前最受欢迎的心室肌细胞电活动详细模型是Luo-Rudy（LR-II）模型。

2.4 心脏兴奋-收缩耦联

兴奋-收缩（EC）耦联是电刺激转化为肌肉收缩的过程。心室肌细胞EC耦联的基本步骤如下：动作电位使T管去极化，导致L型Ca²⁺通道（二氢吡啶受体或DHPRs）开放，Ca²⁺电流（$I_{Ca}$）内流。进入细胞的Ca²⁺通过Ca²⁺诱导Ca²⁺释放（CICR）刺激肌质网（SR）通过Ryanodine受体（RyR）释放额外Ca²⁺。Ca²⁺扩散通过肌浆，与肌丝结合引起收缩，最终通过ATP酶泵将Ca²⁺泵入SR或泵出细胞，或通过Na⁺-Ca²⁺交换器（NCX）将Ca²⁺转运到细胞外而被移除。

L型Ca²⁺通道模型基于Jafri等人（1998）的Monod-Wyman-Changeux型模型。Ryanodine受体（RyR）模型基于Stern等人（1999）的模型，该模型基于适应性受体的一般模型。

Na⁺-Ca²⁺交换器可逆地将三个Na⁺交换为一个Ca²⁺。因此，交换器是生电的；其速率和方向取决于膜电位以及细胞内外的Ca²⁺和Na⁺浓度。

三、细胞耦合（Cellular Coupling）

单个细胞模型无论多么详细或精确，都无法捕获心脏组织的全部动态行为范围。这是因为许多行为本质上是时空的，即它们只能发生在空间分布的细胞系统中。

心肌细胞呈电缆状，大致圆柱形，通常长100微米，直径15微米。细胞通过间隙连接（gap junctions）以端对端方式耦合。间隙连接提供的细胞间通道直径约20埃，被描述为"低电阻"，因为有效电阻远小于两个细胞膜对接的电阻。然而，与细胞内细胞质相比，间隙连接电阻较高。

3.1 一维纤维

为模拟心脏纤维，我们考虑简单的一维圆柱形细胞集合，通过间隙连接以端对端方式耦合。从第八章，我们知道在每个细胞中有电缆方程：

\[p C_m \frac{\partial V}{\partial t} + I_{ion} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{1}{r_c} \frac{\partial V_i}{\partial x} \right) = -\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{1}{r_e} \frac{\partial V_e}{\partial x} \right) \qquad(12.48)\]

在细胞末端（每个长度为$L$），细胞内电位有跳跃，但细胞内电流$- \frac{1}{r_c} \frac{\partial V_i}{\partial x}$必须连续。假设间隙连接像欧姆电阻一样工作，跨接头的电位降与通过接头的电流成正比：

\[[V_i] = \frac{1}{r_g} \frac{\partial V_i}{\partial x} \qquad(12.49)\]

其中$[V_i]$是跨间隙连接的细胞内电位跳跃，$r_g$是有效间隙连接电阻。

在心电图的一维纤维中，传播应该是预期的，因为电缆方程类似于第六章描述的具有可兴奋动力学的方程。更有趣和临床意义更大的是理解传播失败的原因。讨论的主要结论是电阻不均匀性可导致传播失败。

3.2 传播失败

分支

当动作电位离开心脏AV结进入希氏束时，会在室间隔上部附近分为左右分支。束支传导阻滞发生在动作电位无法通过整个分支传播时。为理解束支传导阻滞的原因，我们考虑在接头处电缆特性突然改变的一维纤维中传播模型。

使用上下解技术，可以证明电缆方程的重要比较性质：如果$V_1(x)$和$V_2(x)$是两个有序函数，$V_1(x) \leq V_2(x)$，则具有初始数据$V_1(x)$和$V_2(x)$的解$V_1(x,t)$和$V_2(x,t)$满足$V_1(x,t) \leq V_2(x,t)$。

间隙连接耦合

我们预期间隙连接电阻具有类似阻止传播的效果。为看出间隙连接电阻如何影响传播的成功或失败，我们考虑细胞通过间隙连接在末端耦合的理想化情况。

3.3 心肌组织：双域模型

心脏组织耦合的复杂性在于信号是跨膜电位，这要求细胞内和细胞外空间连续连接和交织。双域模型在平均意义上将组织视为两相介质，仿佛空间中的每一点都由一定比例的细胞内空间和一定比例的细胞外空间组成。

电流与电位的关系是欧姆的：

\[i_i = -\sigma_i \nabla V_i, \quad i_e = -\sigma_e \nabla V_e \qquad(12.99)\]

总电流守恒：

\[\nabla \cdot (\sigma_i \nabla V_i + \sigma_e \nabla V_e) = 0 \qquad(12.100)\]

在任何空间点，膜电位为：

\[V = V_i - V_e \qquad(12.101)\]

跨膜电流$i_T$是离开细胞内空间进入细胞外空间的电流：

\[i_T = \nabla \cdot (\sigma_i \nabla V_i) = -\nabla \cdot (\sigma_e \nabla V_e) \qquad(12.102)\]

对于生物膜，总跨膜电流是离子电流和电容电流之和：

\[i_T = \chi C_m \frac{\partial V}{\partial t} + I_{ion} = \nabla \cdot (\sigma_i \nabla V_i) \qquad(12.103)\]

方程（12.103）与（12.100）一起称为双域模型。

3.4 起搏器

起搏器同步

窦房结是一簇自我振荡细胞，位于心房靠近上腔静脉处。这些细胞规律地放电，启动在整个心房传播的动作电位。SA结细胞不相同，但以相同频率放电。它们在放电时不同步，而是相位锁定。

为解决这些问题，我们假设SA结由耦合在一起形成网络的自振荡细胞组成。弱耦合的证据是SA结中波传播非常慢，约为2-5厘米/秒，而心肌组织中为50厘米/秒，Purkinje纤维中为100厘米/秒。

起搏器的临界大小

SA结是一簇自我振荡细胞，周围是被兴奋（非振荡）细胞包围。SA结细胞没有收缩功能。周围静息细胞可能从振荡细胞排出足够的电流来熄灭起搏活动。这种排出称为电紧张负载。

使用简单模型与FitzHugh-Nagumo动力学：

\[\frac{\partial v}{\partial t} = \nabla^2 v + f(v) - w \qquad(12.126)\]

\[\frac{\partial w}{\partial t} = \epsilon(v - \gamma w - \alpha(r/\sigma)) \qquad(12.127)\]

四、心律失常（Cardiac Arrhythmias）

心律失常是正常心脏电周期的中断。它们通常分为两种类型：时间性中断和折返性心律失常。时间性中断发生在细胞按顺序行动时（通过自主放电或拒绝响应其他细胞的刺激），如AV结传导阻滞或束支传导阻滞。折返性心律失常只能发生在心脏组织的空间分布中，如果发生在心室则是严重的、危及生命的。

4.1 细胞心律失常

细胞心律失常是指动作电位对刺激协议的反应不是一对一的情况。两个例子是APD交替和AV结Wenckebach模式。

APD交替

Yehia等人（1999）给出了在规则起搏下孤立心脏细胞可展示的节律类型。发现对于足够大的基本周期长度（BCL），每个刺激引起相同的APD。这模式称为1:1节律。对于适当小的BCL，APD在完整动作电位和亚阈值响应（APD基本为零）之间交替。这模式称为2:1节律。

在BCL的两个极端之间存在更有趣的行为。对于大的刺激幅度，当BCL减小时，1:1节律被2:2节律取代，其中超阈值响应具有交替的APD。2:2节律称为APD交替。

APD交替的模型可追溯到Nolasco和Dahlen（1968）的工作。基本假设是APD是前一个恢复期或舒张间期（DI）的函数。如果假设细胞要么被兴奋要么正在恢复，则：

\[BCL = APD + DI\]

\[APD_{n+1} = G(DI) = G(BCL - APD_n) \qquad(12.142)\]

4.2 房室结——Wenckebach节律

在正常心脏中，动作电位传播到心室的唯一途径是通过AV结。AV结中传播相当缓慢，主要是因为Na⁺通道密度降低导致0期去极化速率降低，以及间隙连接耦合密度显著降低。

AV结传导异常分为三类。I型AV结传导阻滞表现为随SA起搏速率增加而P-R间期增加。III型AV结传导阻滞对应于无AV结传导，QRS波群完全缺失。II型AV结传导阻滞在现象学上最有趣。

II型的最简单的类型是每两个P波有一个QRS波群，即2:1模式。更复杂的模式是：P波保持周期性，但观察到P-R间期逐渐延长，直到跳过一个QRS波群。跳过跳动后，下一个P-R间期相当短，但然后P-R延长再次开始，导致另一次跳动跳过，如此反复。n个P波到n-1个QRS波群的模式称为n对n-1 Wenckebach模式。

简单的数学描述：我们将AV结视为一群在达到阈值$\theta(t)$时被兴奋的细胞集合。输入$\phi(t)$是周期性时间变化电位。发射发生在输入信号达到阈值时。

\[F(t_{n+1}) = F(t_n) + \Delta\theta e^{\gamma t_n} = G(t_n) \qquad(12.149)\]

其中：

\[F(t) = (\phi(t) - \theta_0)e^{\gamma t} \qquad(12.150)\]

4.3 折返性心律失常

折返性心律失常是循环传播的动作电位的自维持模式，绕闭合路径行进，重新进入和离开组织。

最简单的折返模式是一维的。临床相关的一维折返节律示例是动作电位通过AV结在心和心室之间连续循环。

更成问题的是不限于一维通路的折返模式。两种主要类型是心动过速和纤维性颤动。两者都可发生在心房（房性心动过速和房颤）或心室（室性心动过速和室颤）。

目前认为与心房扑动相关的时空波模式是螺旋波。因为心室是三维的，在心室表面看起来像螺旋的模式实际上对应于三维折返波，即旋轮波。

纤维性颤动被认为对应于许多折返模式在整个心室中连续、可能不规则地移动，导致心室收缩和舒张不协调。

五、心脏除颤（Defibrillation）

除颤器的目标是明确的：在纤维性颤动期间，不同组织处于不同的电活动阶段（一些兴奋，一些不应期，一些部分恢复），除颤的目的是给予电脉冲刺激整个心脏，使电活动再次协调，作为一个整体返回静息状态以等待下一个正常的SA结刺激。换句话说，目的是重置每个心脏细胞的相位，使所有细胞同相，不存在剩余的相位奇点。

所以需要解决的问题是：首先，除颤如何工作？其次，有没有办法提高除颤器的效率？

虽然已知除颤有效，但简单的数学模型无法解释这如何发生。考虑数值计算：局部刺激只能有局部效果。那么问题来了：如果只有靠近刺激源的区域被刺激兴奋，除颤如何有效？可能的答案是刺激进入的介质有电阻不均匀性。

电阻不均匀性的影响

为看出电阻不均匀性可能有什么影响，考虑施加到一维心脏纤维 strand的电流效应。假设电导$\sigma_i = A_i/R_i$和$\sigma_e = A_e/R_e$是连续的但非恒定的以反映电阻不均匀性的发生。则单域约化给出：

\[p C_m \frac{\partial V}{\partial t} - f(V) = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\sigma_i \sigma_e}{\sigma_i + \sigma_e} \frac{\partial V}{\partial x} \right) - \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\sigma_i}{\sigma_i + \sigma_e} \right) I(t) \qquad(12.161)\]

重要的观察是：如果$\sigma_i$或$\sigma_e$非恒定，方程中的新项在整个介质中作为源项，即使电流$I(t)$是局部施加的。电阻不均匀性产生虚拟电极，影响除颤结果。

直接刺激阈值

直接激活（或场刺激）发生如果所有或基本上所有组织同时被激活而无需传播波前。根据模型，应该可以用足够大幅度和持续时间的短暂刺激直接刺激心脏组织。

直接激活发生的最小时间由强度-持续时间关系给出：

\[T = \int_0^\theta \frac{dV}{F(V, \beta)} \qquad(12.174)\]

除颤阈值

虽然其阈值无法像直接刺激那样计算，但除颤机制可从简单相平面参数理解。根据该模型，刺激的效果是临时改变v零cline，从而改变闭合环路的形状。刺激结束后，扭曲的闭合环路将返回到闭合环路，或者崩溃到相空间中的单点并返回静息点。如果后者发生，介质已被"除颤"。

六、公式汇总

公式编号	公式名称	公式内容
(12.1)	欧姆定律	$I = -\sigma \nabla \phi$
(12.2)	电流守恒	$\nabla \cdot I = -\nabla \cdot (\sigma \nabla \phi) = S$
(12.5)	心脏偶极子向量	$\bar{H}(t) = \int_V J \, dV$
(12.8)-(12.10)	Einthoven导联	$V_I = \phi_{LA} - \phi_{RA}$, $V_{II} = \phi_{LL} - \phi_{RA}$, $V_{III} = \phi_{LL} - \phi_{LA}$
(12.13)	Noble模型	$C_m \frac{dV}{dt} + g_{Na}(V - V_{Na}) + (g_{K1} + g_{K2})(V - V_K) + g_{an}(V - V_{an}) = I_{app}$
(12.14)	K⁺电导	$g_{K2} = 1.2n^4$
(12.16)	Na⁺电导	$g_{Na} = 400m^3h + g_i$
(12.19)	Na⁺电流	$I_{Na} = g_{Na} m^3 h(V - V_{Na})$
(12.20)	慢内向电流	$I_{si} = (0.8df + 0.04d_f)(V - V_{si})$
(12.30)	YNI模型	$C_m \frac{dV}{dt} + I_{Na} + I_K + I_l + I_s + I_h = I_{app}$
(12.41)	Beeler-Reuter Na⁺电流	$I_{Na} = (4m^3hj + 0.003)(V - 50)$
(12.44)	慢内向电流	$I_s = 0.09fd(V + 82.3 + 13.0287 \ln[Ca]_i)$
(12.45)	Ca²⁺浓度变化	$\frac{dc}{dt} = 0.07(1 - c) - I_s$
(12.48)	电缆方程	$p C_m \frac{\partial V}{\partial t} + I_{ion} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{1}{r_c} \frac{\partial V_i}{\partial x} \right)$
(12.49)	间隙连接条件	$[V_i] = \frac{1}{r_g} \frac{\partial V_i}{\partial x}$
(12.99)	双域欧姆定律	$i_i = -\sigma_i \nabla V_i, \quad i_e = -\sigma_e \nabla V_e$
(12.100)	双域电流守恒	$\nabla \cdot (\sigma_i \nabla V_i + \sigma_e \nabla V_e) = 0$
(12.101)	膜电位定义	$V = V_i - V_e$
(12.103)	跨膜电流	$i_T = \chi C_m \frac{\partial V}{\partial t} + I_{ion} = \nabla \cdot (\sigma_i \nabla V_i)$
(12.126)	FitzHugh-Nagumo (v)	$\frac{\partial v}{\partial t} = \nabla^2 v + f(v) - w$
(12.127)	FitzHugh-Nagumo (w)	$\frac{\partial w}{\partial t} = \epsilon(v - \gamma w - \alpha(r/\sigma))$
(12.142)	APD交替映射	$APD_{n+1} = G(BCL - APD_n)$
(12.149)	Wenckebach映射	$F(t_{n+1}) = F(t_n) + \Delta\theta e^{\gamma t_n}$
(12.150)	F(t)函数	$F(t) = (\phi(t) - \theta_0)e^{\gamma t}$
(12.161)	非均匀电缆方程	$p C_m \frac{\partial V}{\partial t} - f(V) = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\sigma_i \sigma_e}{\sigma_i + \sigma_e} \frac{\partial V}{\partial x} \right)$
(12.174)	强度-持续时间关系	$T = \int_0^\theta \frac{dV}{F(V, \beta)}$

七、总结与思考

本章系统地介绍了心脏的电生理学数学模型，从器官层面的心电图到细胞层面的离子电流建模，再到组织层面的耦合和除颤机制。

主要收获：

心电图机制：理解了心电图形成的物理基础——容积导体中的电流源产生的电位场。心脏偶极子模型是理解向量心电图的关键。
心脏细胞模型：从Noble模型到MNT模型，再到Beeler-Reuter模型和Luo-Rudy模型，心脏细胞动作电位的数学描述不断完善。每个模型都增加了更多的生理细节。
兴奋-收缩耦联：L型Ca²⁺通道、Ryanodine受体和Na⁺-Ca²⁺交换器在EC耦联中的关键作用，以及局部控制模型与公共池模型的区别。
细胞耦合与传播：双域模型是描述心肌组织电活动的标准框架。间隙连接电阻在决定传播特性和传播失败中起关键作用。
心律失常机制：APD交替、Wenckebach模式（用圆映射理论解释）和折返性心律失常（包括螺旋波和旋轮波）的数学理解。
除颤机制：电阻不均匀性产生的虚拟电极是除颤有效的关键，这一发现解释了为什么局部刺激可以影响整个心脏。

待深入理解的问题：

APD restitution hypothesis与临床心律失常之间的联系仍需进一步研究。
局部控制模型虽然更生理学，但计算复杂，如何在保持生理学意义的同时简化模型？
除颤的精确机制仍在研究中，电阻不均匀性理论虽然有说服力，但可能不是全部解释。

读书笔记完成日期：2026年5月11日

公式编号	公式名称	公式内容
(12.1)	欧姆定律	\(I = -\sigma \nabla \phi\)
(12.2)	电流守恒	\(\nabla \cdot I = -\nabla \cdot (\sigma \nabla \phi) = S\)
(12.5)	心脏偶极子向量	\(\bar{H}(t) = \int_V J \, dV\)
(12.8)-(12.10)	Einthoven导联	\(V_I = \phi_{LA} - \phi_{RA}\), \(V_{II} = \phi_{LL} - \phi_{RA}\), \(V_{III} = \phi_{LL} - \phi_{LA}\)
(12.13)	Noble模型	\(C_m \frac{dV}{dt} + g_{Na}(V - V_{Na}) + (g_{K1} + g_{K2})(V - V_K) + g_{an}(V - V_{an}) = I_{app}\)
(12.14)	K⁺电导	\(g_{K2} = 1.2n^4\)
(12.16)	Na⁺电导	\(g_{Na} = 400m^3h + g_i\)
(12.19)	Na⁺电流	\(I_{Na} = g_{Na} m^3 h(V - V_{Na})\)
(12.20)	慢内向电流	\(I_{si} = (0.8df + 0.04d_f)(V - V_{si})\)
(12.30)	YNI模型	\(C_m \frac{dV}{dt} + I_{Na} + I_K + I_l + I_s + I_h = I_{app}\)
(12.41)	Beeler-Reuter Na⁺电流	\(I_{Na} = (4m^3hj + 0.003)(V - 50)\)
(12.44)	慢内向电流	\(I_s = 0.09fd(V + 82.3 + 13.0287 \ln[Ca]_i)\)
(12.45)	Ca²⁺浓度变化	\(\frac{dc}{dt} = 0.07(1 - c) - I_s\)
(12.48)	电缆方程	\(p C_m \frac{\partial V}{\partial t} + I_{ion} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{1}{r_c} \frac{\partial V_i}{\partial x} \right)\)
(12.49)	间隙连接条件	\([V_i] = \frac{1}{r_g} \frac{\partial V_i}{\partial x}\)
(12.99)	双域欧姆定律	\(i_i = -\sigma_i \nabla V_i, \quad i_e = -\sigma_e \nabla V_e\)
(12.100)	双域电流守恒	\(\nabla \cdot (\sigma_i \nabla V_i + \sigma_e \nabla V_e) = 0\)
(12.101)	膜电位定义	\(V = V_i - V_e\)
(12.103)	跨膜电流	\(i_T = \chi C_m \frac{\partial V}{\partial t} + I_{ion} = \nabla \cdot (\sigma_i \nabla V_i)\)
(12.126)	FitzHugh-Nagumo (v)	\(\frac{\partial v}{\partial t} = \nabla^2 v + f(v) - w\)
(12.127)	FitzHugh-Nagumo (w)	\(\frac{\partial w}{\partial t} = \epsilon(v - \gamma w - \alpha(r/\sigma))\)
(12.142)	APD交替映射	\(APD_{n+1} = G(BCL - APD_n)\)
(12.149)	Wenckebach映射	\(F(t_{n+1}) = F(t_n) + \Delta\theta e^{\gamma t_n}\)
(12.150)	F(t)函数	\(F(t) = (\phi(t) - \theta_0)e^{\gamma t}\)
(12.161)	非均匀电缆方程	\(p C_m \frac{\partial V}{\partial t} - f(V) = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\sigma_i \sigma_e}{\sigma_i + \sigma_e} \frac{\partial V}{\partial x} \right)\)
(12.174)	强度-持续时间关系	\(T = \int_0^\theta \frac{dV}{F(V, \beta)}\)