第十一章：血液循环系统读书笔记
书籍信息
书名：Mathematical Physiology (II: Systems Physiology) 作者：James Keener, James Sneyd 出版社：Springer, 2009 章节：第十一章 The Circulatory System
一、血液循环系统概述
血液循环系统形成了一个封闭的回路，血液携带氧气从肺部输送到身体各组织，并将二氧化碳从组织运送回肺部。该系统包含两个泵（左右心）来克服阻力并维持恒定的血流。
系统组成： - 左心：接收来自肺部的富氧血液，泵入体循环动脉 - 体循环动脉：形成逐渐变小的血管树，从主动脉开始，分支到小动脉，然后到小动脉，最后到毛细血管 - 毛细血管：发生气体交换的场所 - 体循环静脉：血液从毛细血管流出，通过逐渐变大的静脉流向右心 - 右心：将血液泵入肺动脉，分布到肺部 - 肺毛细血管：二氧化碳离开、氧气进入血液的场所 - 肺静脉：氧合血液流回左心
重要观察：虽然肺循环和体循环之间存在明显的结构对称性，但在压力和血容量方面存在显著的定量差异。然而，左右心的输出必须始终平衡，即使心输出量（心脏泵送的血液总量）会根据身体的新陈代谢需求而广泛变化。
一个红细胞完成整个循环大约需要一分钟时间。
二、血液流动（Blood Flow）
2.1 血压的基本概念
血压是指血液对血管壁施加的单位面积力量。血压随时间和沿循环系统的距离而变化： - 收缩压：动脉中最高的压力波动，由心室收缩期喷血引起 - 舒张压：心室舒张和充盈期间达到的最低压力
在正常人的主动脉中，收缩压约为120 mmHg，舒张压约为80 mmHg。
如果不考虑重力（本书中的假设），则可以假设血液仅根据压力梯度流动。
2.2 线性阻力 vessel
最简单的血管模型是阻力 vessel，其中半径恒定，流动与压力降成正比：
其中 \(\Delta P\) 是压力降，\(R\) 是阻力。
2.3 Poiseuille 定律与阻力-半径关系
考虑粘性流体在固定半径圆柱形 vessel 中缓慢稳定流动。使用不可压缩流体的连续性条件 \(\nabla \cdot u = 0\) 和 Navier-Stokes 方程：
对于缓慢、稳定的流动，非线性项与粘性项相比很小，可简化为 Stokes 方程：
通过求解，得到轴向速度分布：
通过 vessel 的总通量为（Poiseuille 定律）：
重要结论：血液通过 vessel 的总流动与 vessel 半径的四次方成正比。因此，半径是决定 vessel 流动速率的最重要因素。
平均流体速度为：
2.4 血管系统的表11.1数据分析
表格11.1 不同血管的直径、总横截面积、入口平均血压和平均流体速度：
| Vessel | D (cm) | A (cm²) | P (mm Hg) | v (cm/s) |
|---|---|---|---|---|
| 主动脉 | 2.5 | 2.5 | 100 | 33 |
| 小动脉 | 0.5 | 20 | 100 | 30 |
| 小动脉 (Arterioles) | 3×10⁻³ | 40 | 85 | 15 |
| 毛细血管 | 6×10⁻⁴ | 2500 | 30 | 0.03 |
| 小静脉 (Venules) | 2×10⁻³ | 250 | 10 | 0.5 |
| 小静脉 (Small veins) | 0.5 | 80 | - | 2 |
| 腔静脉 (Venae cavae) | 3.0 | 8 | 2 | 20 |
关键观察： 1. 最大的压力降发生在小动脉中 2. 小静脉和腔静脉的压力非常低，以至于这些血管经常塌陷 3. 毛细血管处的压力必须较低，以防止其破裂（因为它们的壁非常薄） 4. 当血管直径减小时，血液速度必须增加以保持相同的通量 5. 然而，在循环系统中，血管直径的减小伴随着总横截面积的增加（即相似 vessel 数量的增加）
三、顺应性（Compliance）
3.1 Laplace 定律
由于血管是弹性的，血压与体积之间存在关系。血管壁的张力由 Laplace 定律描述：
其中 \(T\) 是壁张力，\(P\) 是跨壁压力，\(r\) 是 vessel 半径，\(M\) 是壁厚。
Laplace 定律的应用：扩张型心肌病中，心脏变得极度扩张，心室半径增加。需要更大的壁张力来在喷血期间产生相同的压力，因此扩张的心脏与正常大小的心脏相比需要更多能量来泵送相同量的血液。
3.2 顺应性的定义
假设弹性 vessel 的体积 \(V\) 与压力 \(P\) 线性相关：
其中 \(C\) 是 vessel 的顺应性，\(V_0\) 是零压力下的体积。
重要事实：静脉隔室的顺应性约为动脉系统顺应性的24倍，因为静脉既更大又更弱。因此，大量的血液可以储存在静脉中，只有轻微的静脉压力变化。肺血管也比体循环动脉顺应性大得多。
3.3 线性面积-压力关系
当压力不均匀时，vessel 的横截面积与压力的关系为：
其中 \(c\) 是单位长度的顺应性。
3.4 顺应性 vessel 中的流动
从（11.8）可知，通过 vessel 的通量与压力梯度与面积平方的乘积成正比：
在稳态下，通量必须处处相同，确定距离 \(x\) 处压力作为 \(P\) 的函数：
对于线性顺应性 vessel，通过长度为 \(L\) 的 vessel 的通量与输入压力 \(P_0\) 和输出压力 \(P_1\) 的关系为：
其中 \(R = 8\pi\mu L/A_0^2\) 和 \(\gamma = c/A_0\)。
关键发现：在零顺应性极限下，这简化为线性欧姆定律（11.1）。由于 \(Q\) 是 \(\gamma\) 的增加函数，给定流动可以由比无顺应性 vessel 更小的压力降驱动。这解释了为什么静脉中的压力降可以比动脉中的压力降低很多。
四、微循环与过滤（The Microcirculation and Filtration）
4.1 过滤的生理基础
循环系统的目的是为细胞间质提供营养并清除废物产品。这需要间质的连续过滤，主要发生在毛细血管水平——液体从小动脉端流出毛细血管，在静脉端重新吸收。
液体流出或流入毛细血管由跨毛细血管壁的局部压力差决定。在正常情况下，通过毛细血管的压力降很大，约为25 mmHg。
4.2 毛细血管网络模型
使用一维模型描述毛细血管。假设在 \(x = 0\) 处有流入 \(Q_i\)，必须在 \(x = L\) 处与流出相同。
沿毛细血管每点 \((x)\) 的（静水）压力 \(P_c\) 由以下决定：
流入或流出毛细血管（通过多孔毛细血管壁）的流动由以下决定：
其中 \(K_f\) 是毛细血管过滤率，\(P_i\) 是间质静水压力（通常约为-3 mmHg），\(\pi_i\) 是间质胶体渗透压（约为8 mmHg），\(\pi_c\) 是血浆胶体渗透压（平均约为28 mmHg）。
4.3 模型求解
求解得到：
其中 \(\beta^2 = K_f \rho\)。
压力分布为：
总压力降为：
4.4 过滤率
过滤率 \(Q_f\) 定义为最大间质通量：
因此：
过滤率取决于单个无量纲参数 \(\beta L = \sqrt{K_f \rho L}\)。过滤在"渗漏"（大 \(K_f\)）和小半径的 vessel 中增强，因为 vessel 阻力 \(\rho\) 与 \(r^4\) 成反比。
五、心输出量（Cardiac Output）
5.1 心搏周期与压力-容积关系
在心动周期中，心脏的压力和体积以特定方式变化，最容易在压力-容积相平面上看到。压力-容积轨迹或"环"呈矩形形状。
关键观察： - 在环的右上升边上，压力增加而体积恒定——对应于心室收缩而流出瓣膜关闭 - 在右上角，流出瓣膜打开，体积随着血液被泵出而减小（在恒定压力下） - 环顶部的恒定压力对应于动脉压力 - 环底部的恒定压力对应于静脉压力 - 环左上角落在同一直线上
5.2 心室模型
由此得出：
其中 \(V_{min}\) 是 V 轴上的截距，\(C_s\) 是收缩期心室顺应性。
类似地，舒张末容积：
其中 \(P_a\) 和 \(P_v\) 分别是动脉和静脉压力，\(C_s\) 和 \(C_d\) 分别是收缩期和舒张期的心脏顺应性。
5.3 心输出量公式
搏出量：
总心输出量：
其中 \(F\) 是每单位时间的心跳次数（心率）。
5.4 Starling 定律
这个心输出量表达式具有一些与现实一致的特性。例如，如果 \(C_s\) 相对于 \(C_d\) 很小，则心输出量主要取决于静脉压力或静脉回流速率。心输出量随充盈增加而增加的现象通常称为 Starling 定律。
然而，这个公式表明心输出量是静脉压力的线性函数。在正常生理范围内，这是一个不错的近似，尽管更准确的公式会显示作为静脉压力函数的饱和——即心输出量在静脉压力高于10 mmHg 时接近常数。
六、血液循环模型（Circulation）
6.1 简单循环系统
考虑具有单腔心脏和阻力闭合回路的简单循环系统：
在稳态下，通过回路的通量必须与心输出量匹配：
为了获得唯一解，将回路建模为顺应性 vessel 而不是简单阻力。
6.2 线性循环系统（Guyton 模型）
Guyton（1963）提出的最简单线性模型是将循环系统表示为具有两个顺应性 vessel 和一个纯阻力 vessel 的闭合回路。体循环大动脉和小静脉各自被视为顺应性 vessel，而体循环毛细血管被视为无顺应性的阻力 vessel。
方程组： - 心输出量：\(Q = F(C_d P_v - C_s P_a)\) \qquad(11.43) - 动脉系统：\(Q = (P_a - P_{s1})/R_a\) \qquad(11.44) - 静脉系统：\(Q = (P_{s1} - P_{s2})/R_s\) \qquad(11.46) - 体积守恒：\(V_a + V_v = V_t\) \qquad(11.49)
解的性质： 1. 随着心率增加，动脉压力 \(P_a\) 增加至最大值 \(V_t/C_a\)，但随着心率下降，动脉压力下降至最小值 \(V_t/(C_v + C_a)\) 2. 随着心率下降，静脉压力 \(P_v\) 增加至最大值 \(V_t/(C_v + C_a)\) 3. 在心力衰竭中，动脉压力下降，静脉压力上升，直到它们相等 4. 体循环阻力 \(R_s\) 的增加导致心输出量减少
6.3 多室循环系统
更详细的线性模型假设体循环和肺循环各自由两个顺应性 vessel（动脉和静脉系统）组成，由毛细血管（纯阻力）连接。此外，假设心脏有两个腔室——左右心。
系统参数典型值： - 体积：\(V_{sa} = 1\)，\(V_{sv} = 3.5\)，\(V_p = 0.5\)（升） - 压力：\(P_{sa} = 100\)，\(P_s = 30\)，\(P_{sv} = 2\)，\(P_{pa} = 15\)，\(P_{pv} = 5\)（mmHg） - 总心输出量约为5.6升/分钟，心率80次/分钟，搏出量0.07升
灵敏度分析（表11.2）表明： - 系统对动脉顺应性 \(C_{sa}\) 的变化相对不敏感 - 系统对静脉顺应性 \(C_{sv}\) 的变化强烈敏感 - 解决方案对动脉阻力 \(R_{sa}\) 的变化相对不敏感，但对静脉阻力 \(R_{sv}\) 的变化相对敏感
生理意义：大多数心血管调节通过静脉系统的顺应性和阻力的变化发生。
七、心血管调节（Cardiovascular Regulation）
7.1 调节机制概述
循环系统具有复杂的动脉压力和心输出量控制机制。短期（秒到小时）控制部分发生在小动脉水平，部分发生在心脏本身。
三种主要的外周控制机制： 1. 局部（内在）控制：个体组织中的血流控制，主要由组织的血液灌注需求决定（称为自动调节） 2. 神经（外在）控制：通过它控制整体血管阻力和心脏活动（压力感受器反射是最广泛研究的外在机制） 3. 体液控制：血液中溶解的物质（如激素、离子或其他化学物质）引起流动特性变化
长期（天和月）：血压通过肾脏机制调节——动脉压力增加导致肾脏排出更多液体，从而减少血容量和动脉压力。
7.2 自动调节
自动调节是一种局部机制，使组织中的血流响应局部氧气需求，但对动脉压力相对不敏感。
关键观察： - 在失活器官中，动脉压力增加产生血液流动的线性增加 - 在正常功能的组织中，动脉压力可以在很大范围内变化，对血流影响很小 - 例如，在肌肉中，动脉压力在75至175 mmHg 之间，血流保持在正常值的±10%-15% 以内
流动与氧气需求的关系： - 代谢增加八倍产生血流增加四倍 - 氧含量因贫血、高海拔或一氧化碳中毒而下降时，血流增加以补偿 - 氧饱和度降至正常的25% 会产生血流增加三倍
自动调节的简单模型：
氧消耗和血流由以下公式追踪：
假设动脉阻力和静脉氧含量之间存在线性关系：
求解得到流动速率：
这个表达式显示血流与代谢的线性依赖关系。
7.3 压力感受器反射
压力感受器反射是一种使用神经系统调整心率、静脉阻力和静脉压力的全局反馈控制机制，以维持给定的动脉压力水平，最终目标是调节心输出量。
机制： - 压力感受器或扩张受体位于颈动脉窦和主动脉弓壁中——体循环的大动脉 - 动脉压力升高被检测到并导致信号发送到中枢神经系统 - 反馈信号通过自主神经系统发送到循环系统
交感神经系统的主要作用： 1. 收缩小动脉和小动脉（通过刺激周围平滑肌）增加血流阻力 2. 收缩静脉，减少外周循环中的血液量 3. 刺激心肌，增加心率和搏出量
副交感神经（或迷走神经）对心脏有相反作用，降低心率和收缩力。
7.4 包含压力感受器反射的循环模型
假设交感刺激水平由 \(S\) 给出，通过简单的线性关系与动脉压力偏差相关：
心率 \(F\)、动脉阻力 \(R_{sa}\) 和心脏顺应性 \(C_{ld}\) 和 \(C_{rd}\) 是 \(S\) 的（未指定的）增函数，而静脉顺应性 \(C_{sv}\) 是 \(S\) 的减函数。
7.5 压力感受器反射中的振荡
研究压力感受器反射振荡的动机之一是尝试理解动脉压力振荡的发生，如 Mayer 波和 Traube-Hering 波。
Mayer 波：约0.1 Hz 频率的动脉压力振荡
Traube-Hering 波：与呼吸频率相近的动脉压力振荡
使用简化的集总模型，通过延迟微分方程描述：
使用表11.3 中的参数值，振荡周期约为5.8秒。这与实验观察到的 Mayer 波周期（约为10秒）大致一致。
八、胎儿血液循环（Fetal Circulation）
8.1 胎儿循环的特点
由于胎儿通过脐带和胎盘接收所有氧气，胎儿的肺不用于气体交换。相反，肺是塌陷的，对血流具有高阻力——只有12% 的血流通过肺部。
胎儿循环系统的特殊结构： 1. 动脉导管：肺动脉和主动脉之间的连接，将血液从右心分流直接进入体循环动脉 2. 卵圆孔：房间隔上的小开口，允许血液从右心房流向左心房
8.2 胎儿循环的建模
使用与上述相同的三室模型，但增加了动脉导管和卵圆孔允许的额外连接。
流量方程： - 体循环动脉：\(Q_s = (P_{sa} - P_s)/R_{sa}\) \qquad(11.119) - 体循环静脉：\(Q_s = (P_s - P_{sv})/R_{sv}\) \qquad(11.120) - 左心：\(Q_l = F(C_{ld} P_{pv} - C_{l\sigma} P_{sa})\) \qquad(11.122) - 右心：\(Q_r = F(C_{rd} P_{sv} - C_{r\sigma} P_{pa})\) \qquad(11.123)
守恒定律（四个结）：
8.3 出生时的变化
在出生时，肺充满空气并扩张，肺血流阻力急剧下降。同时，脐带收缩，体循环阻力急剧增加。当这种情况发生时，通过卵圆孔的流动反转，并关闭卵圆孔。
出生后，当左右心顺应性相同时，通过动脉导管的流动反转方向，使得左心输出超过右心输出。
最终结果：动脉导管逐渐关闭（最终 \(R_d \to \infty\)），动脉压力 \(P_{sa}\) 增加，左心室逐渐变厚，减少其顺应性。
8.4 先天性心血管异常
有三种主要类型的先天性异常：
- 狭窄：血流在心脏或大血管的某处阻塞
- 左向右分流：允许血液直接从左心或主动脉流向右心或肺动脉
- 右向左分流：允许血液从右心或肺动脉流向左心或主动脉
动脉导管未闭（PDA）：约1/5500的婴儿，动脉导管永不关闭。
房间隔缺损（ASD）：如果卵圆孔在出生时没有正确关闭，左右心房之间的隔膜上留有孔洞。
九、动脉脉冲（The Arterial Pulse）
9.1 概述
上述分析将循环系统中的各种压力视为随时间恒定。然而，由于心脏以搏动方式泵血，情况并非如此。每次心跳都会形成沿动脉传播的压力波，在远离心脏的过程中形状发生变化。
9.2 守恒定律
考虑横截面积为 \(A(x, t)\) 的血流。质量守恒要求：
对 \(L\) 求偏导并将 \(L\) 替换为 \(x\) 得到：
动量守恒要求：
简化后得到：
9.3 Windkessel 模型
Windkessel 模型是最早的心脏模型之一，可追溯到上个世纪（Frank, 1899）。术语"windkessel"来自德语，意为空气室或风箱。
通过令 \(\rho \to 0\) 从（11.155）和（11.157）获得 Windkessel 模型，此时 \(P_x = 0\)，因此压力只是时间的函数。
得到压力微分方程：
关键洞察：当心脏喷出血液时（\(Q(t)\) 快速增加），压力相应增加。当流动停止时，压力根据 \(P_t = -P/(\theta(P)R)\) 降至零。这证明大动脉作为风箱发挥作用，最初充盈以容纳心脏的血液，然后收缩将血液泵向外周。
9.4 小振幅压力波
如果 \(p\) 和 \(u\) 很小，所有非线性项可以忽略，得到线性系统：
通过交叉微分，消去 \(u\)，得到单一的 \(P\) 方程：
这就是著名的波动方程。
波速为：
对于动脉，这个速度约为4 m/s。
波动方程的通解为：
其中 \(f(t - x/s)\) 表示从左向右传播的波，而 \(g(t + x/s)\) 表示向相反方向传播的波。
9.5 主动脉中的冲击波
虽然线性波动方程可用于理解动脉脉冲的许多特征（如反射波和动脉网络中的波），但实验表明非线性效应也很重要。
波前的陡化：如果波前变得太陡，顶部会赶上底部，形成冲击或间断。
关键发现： 1. 在正常条件下，不会形成这种冲击 2. 然而，在主动脉功能不正常的情况下，允许大量血液回流到心脏，心脏通过增加喷出量来补偿 3. "手枪声"现象（主动脉瓣关闭不全患者中听到的响亮破裂声）可能是由于动脉内冲击波的形成
9.6 特征方法分析
使用特征方法分析动脉脉冲方程。特征曲线 \(C_{\pm}\) 斜率为 \(dx/dt = u \pm K(P)\)，其中：
沿特征曲线，量 \(u + 2K(P)\) 或 \(u - 2K(P)\) 保持不变。
冲击形成的条件：如果由心跳产生的脉冲足够陡峭，特征线会收敛并相交，冲击在交点形成。
公式汇总表
| 编号 | 公式名称 | 公式 | 章节 |
|---|---|---|---|
| 11.1 | 线性阻力定律 | \(Q = \Delta P / R\) | 11.1 |
| 11.2 | 连续性方程（不可压缩流体） | \(\nabla \cdot u = 0\) | 11.1 |
| 11.3 | Navier-Stokes 方程 | \(\rho(u_t + u \cdot \nabla u) = -\nabla P + \mu \nabla^2 u\) | 11.1 |
| 11.7 | Poiseuille 定律 | \(Q = -\pi P_x r_0^4 / (8\mu)\) | 11.1 |
| 11.12 | Laplace 定律 | \(T = Pr / M\) | 11.2 |
| 11.13 | 线性顺应性 | \(V = V_0 + CP\) | 11.2 |
| 11.14 | 线性面积-压力关系 | \(A = A_0 + cP\) | 11.2 |
| 11.15 | 顺应性 vessel 流动 | \(8\pi\mu Q = -P_x A^2(P)\) | 11.2 |
| 11.23 | 毛细血管压力梯度 | \(dP_c/dx = -\rho q\) | 11.3 |
| 11.24 | 毛细血管过滤 | \(dq/dx = K_f(-P_c + P_i + \pi_c - \pi_i)\) | 11.3 |
| 11.27 | 毛细血管 q 分布 | \(q = B \cosh[\beta(x - L/2)]\) | 11.3 |
| 11.33 | 收缩末期容积 | \(V_{ES} = V_{min} + C_s P_a\) | 11.4 |
| 11.35 | 舒张末期容积 | \(V_{ED} = V_{max} + C_d P_v\) | 11.4 |
| 11.36 | 搏出量 | \(V_{stroke} = V_{max} - V_{min} + C_d P_v - C_s P_a\) | 11.4 |
| 11.37 | 心输出量 | \(Q = F V_{stroke}\) | 11.4 |
| 11.38 | 循环系统流动 | \(Q = (P_a - P_v)/R\) | 11.5 |
| 11.43 | 心输出量（线性模型） | \(Q = F(C_d P_v - C_s P_a)\) | 11.5 |
| 11.49 | 体积守恒 | \(V_a + V_v = V_t\) | 11.5 |
| 11.89 | 氧消耗关系 | \(([O_2]_a - [O_2]_v)Q = M\) | 11.6 |
| 11.91 | 自动调节阻力 | \(R = R_0(1 + A[O_2]_v)\) | 11.6 |
| 11.92 | 自动调节流动 | \(Q = \frac{1}{1+A[O_2]_a}(MA + P_a/R_0)\) | 11.6 |
| 11.98 | 压力感受器控制 | \(S = S^* + \beta(P^*_{sa} - P_{sa})\) | 11.6 |
| 11.124-11.127 | 胎儿循环守恒定律 | 四方程组 | 11.7 |
| 11.152 | 质量守恒（动理论） | \(A_t + (Au)_x = 0\) | 11.8 |
| 11.154 | 动量守恒 | \(\rho(Au)_t + (Au^2)_x = -(PA)_x\) | 11.8 |
| 11.156 | Windkessel 顺应性 | \(A(P) = A_0 + cP\) | 11.8 |
| 11.161 | Windkessel 方程 | \(Q(t) = \theta(P)P_t + P/R\) | 11.8 |
| 11.164 | 波动方程 | \(P_{tt} = (A_0/(c\rho))P_{xx}\) | 11.8 |
| 11.166 | 波动方程通解 | \(P(x,t) = f(t-x/s) + g(t+x/s)\) | 11.8 |
| 11.175 | 特征速度 | \(s = u \pm K(P)\) | 11.8 |
| 11.181-11.184 | 冲击形成位置 | 特征线包络方程 | 11.8 |
参考文献
- Guyton, A.C. (1963). Circulatory Physiology: Cardiac Output and Its Regulation. Saunders.
- Guyton, A.C. & Hall, J.E. (1996). Textbook of Medical Physiology, 9th ed. Saunders.
- Hoppensteadt, F.C. & Peskin, C.S. (2001). Modeling and Simulation in Medicine and the Life Sciences, 2nd ed. Springer.
- Ottesen, J.T. (1997). Modeling the dynamical baroreflex feedback control. Math. Comput. Modelling 25: 69-78.
- Pedley, T.J. (1980). The Fluid Mechanics of Large Blood Vessels. Cambridge University Press.
- Sagawa, K. et al. (1978). Cardiac Contraction and the Pressure-Volume Relationship. Oxford University Press.
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