第 10 章：细胞功能的调控（Regulation of Cell Function）
10.1 基因表达调控（Regulation of Gene Expression）
本章把视野从前面几章的"细胞内信号与电活动"进一步上推到"细胞如何决定生产哪些蛋白质"，也就是基因表达的调控。人类 DNA 编码约 3 万个基因；每个基因含有起始与终止密码子以及编码基因产物的序列，其中还夹杂功能尚不清楚的大段 DNA。最简单的活生物体之一、Mycoplasma genitalium 只有 470 个基因和约 50 万碱基对。DNA 本身（虽然不是其结构）在 19 世纪末即被发现；到 1943 年人们已证明（虽未被广泛接受）它也是遗传信息的载体。但它如何完成这一任务以及分子的实际结构，直到 Maurice Wilkins、Rosalind Franklin（伦敦 King's College）和 James Watson、Francis Crick（剑桥）的工作才被确立。Watson、Crick、Wilkins 获 1962 年诺贝尔生理学或医学奖；Franklin 于 1958 年英年早逝。近几十年 DNA 与遗传密码的研究以几乎无人能预见的速度扩张，遗传学与分子生物学已深入科研、教育、商业、法医学等几乎所有领域；数学家与统计学家也迅速进入，生物信息学系与研究所在各处涌现。本书不可能提供这一浩瀚领域的哪怕最粗浅的概述；分子生物学方面 Alberts et al. (1994) 是优秀入门；生物信息学方面 Waterman (1995)、Mount (2001)、Krane and Raymer (2003) 是好的导论性教材；更偏数理统计的读者可看 Deonier et al. (2004)、Ewens and Grant (2005)、Durrett (2002)。
RNA 分子是单链核苷酸，与 DNA 的区别是骨架糖为核糖、碱基 U 取代 T。细胞中的 RNA 量通常为 DNA 的 2–8 倍。RNA 有三类，各自承担重要生理功能：对本书而言信使 RNA（mRNA）最重要——它携带合成特定蛋白的密码；转运 RNA（tRNA）作为二十种氨基酸之一的载体，把氨基酸送到正在合成的蛋白分子上；核糖体 RNA 占核糖体的约 60%，核糖体是细胞质中合成蛋白的场所。细胞核中两项主要功能是 DNA 复制与 RNA 合成。RNA 由转录产生：RNA 聚合酶（更准确地说是聚合酶复合体，还需要许多其它蛋白）结合到 DNA 上的某个起始位点，断裂该局部区域的碱基对氢键，然后沿其中一条 DNA 链合成互补拷贝；随着 RNA 聚合酶沿 DNA 移动，RNA 链不断延伸，DNA 桥键则不断重新形成；当聚合酶到达转录终止位点即与 DNA 解离，过程结束。
蛋白的合成动用全部三类 RNA。编码某种蛋白的 mRNA 在核内形成后即被释放到细胞质，在那里遇到核糖体"读取"mRNA。当核糖体读到某个密码子时，携有对应氨基酸的 tRNA 暂时与该密码子互补结合；氨基酸从 tRNA 上释放、连接到正在延伸的肽链上，最终生成由 DNA 编码的氨基酸序列的蛋白。生成某种细胞生化产物通常需要一系列反应，每一步由特定的酶催化。在原核生物中，所需酶的合成往往由 DNA 上串联排列的一组基因控制；这段 DNA 区域称为操纵子（operon），其中的各个基因称为结构基因。操纵子的起点是一段称为启动子（promoter）的核苷酸序列，对 RNA 聚合酶有特定亲和力；聚合酶必须先与启动子结合才能沿 DNA 移动合成 RNA。此外在启动子区域还有一个称为阻遏操作子（repressor operator）的位置，调节性阻遏蛋白可与之结合，从而阻止 RNA 聚合酶的结合，阻断操纵子基因的转录。阻遏蛋白通常有两种变构形式：一种能与操作子结合从而抑制转录，另一种则不能；能使阻遏蛋白脱离操作子的物质称为激活剂或诱导物。
操纵子这一最初概念由 Jacob et al. (1960) 提出，紧随其后是数学研究（Goodwin, 1965；Griffith, 1968a,b；Tyson and Othmer, 1978）。这里的挑战是理解基因如何被复杂网络调控、何时以及如何响应有机体的需要或环境变化而调整表达。
10.1.1 色氨酸阻遏（The trp Repressor）
色氨酸是人体不能合成的必需氨基酸，必须从饮食中获取。色氨酸是血清素（神经递质）、褪黑素（激素）、烟酸的前体；色氨酸代谢异常被认为是精神分裂症的可能成因之一，因为代谢异常会在脑中生成有毒的废物，引发幻觉与妄想。色氨酸可由大肠杆菌等细菌合成，色氨酸合成的调控即构成本节第一个转录调控的例子。
色氨酸（trp）阻遏已有许多复杂程度不等的模型（Bliss et al., 1982；Sinha, 1988；Santillán and Mackey, 2001a,b；Mackey et al., 2004），本节只展示一个为说明基本原理而设计的极简化版本。trp 操纵子由一个调控区与一段编码区组成，编码区含五个结构基因，编码把分支酸转化为色氨酸所需的三种酶（图 10.1A）。trp 操纵子的表达由 Trp 阻遏蛋白（由 trpR 基因编码）调控；与下一节将介绍的 lac 操纵子不同，trpR 操纵子独立于 trp 操纵子，位于 DNA 上与 trp 操纵子有相当距离的位置。TrpR 蛋白只有在被两个色氨酸分子结合激活后才能与操作子结合。这便构成一个负反馈环：色氨酸水平低时，色氨酸生成保持高位；但一旦色氨酸水平上升，TrpR 蛋白被激活、抑制操纵子进一步转录，三种酶的合成下降，进而色氨酸自身的合成也下降。
这种按需求调节产物合成的能力是负反馈系统的特征。这里的负反馈之所以发生，是因为基因激活的产物反过来抑制基因本身的活性，因此色氨酸操纵子称为一个阻遏子（repressor）。该网络的简化模型如图 10.1B：假设操纵子有三种状态——自由 \(O_f\)、与阻遏子结合的 \(O_R\)、与聚合酶结合的 \(O_P\)；令 \(o_j\)（\(j=f,R,P\)）为操纵子处于状态 \(j\) 的概率。mRNA（M）只在聚合酶结合时产生，因此
注意图 10.1B 中的虚线代表反应物不被消耗的反应。例如酶（E）的生成并不消耗 mRNA，所以 (10.1) 中没有 \(-k_e M\) 这样的消耗项。操纵子状态概率由以下微分方程控制：
其中 \(o_P + o_f + o_R = 1\)，\(R^*\) 表示激活态阻遏子。阻遏子激活需要结合两个色氨酸分子（T），因此取
（已标度使 \(R + R^* = 1\)）。
按 Bliss et al. (1982)，最关键的酶是邻氨基苯甲酸合成酶（记为 E），本节只追踪这一种酶浓度。酶（E）由 mRNA 合成并被降解：
色氨酸的合成与酶量成正比：
其中 \(\mu\) 是色氨酸利用与降解的速率；右端因子 2 来自激活阻遏子需要两个色氨酸分子。对当前目的而言，只需考察该系统的稳态解，它们满足代数方程
其中
函数 \(F(T)\) 是 \(T\) 的单调递减正值函数，代表色氨酸稳态合成率。方程右端是斜率 \(\mu/K\) 的直线，因此存在唯一正交点。进一步，色氨酸利用（即 \(\mu/K\)）越大，\(T\) 的稳态值越小、平衡利用所需的合成率 \(F(T)\) 越大——这正是负反馈控制的特征。图 10.2 画出了 \(F(T)\) 与 \(\mu T/K\) 在两个不同 \(\mu/K\) 下的曲线。
10.1.2 乳糖操纵子（The lac Operon）
当葡萄糖充足时，大肠杆菌完全以葡萄糖为食，即便有其它糖存在时亦如此；一旦葡萄糖不可得，大肠杆菌能利用乳糖等其他糖类，这一转变需要细菌表达不同的基因。Jacob、Monod 及其同事（Jacob et al., 1960；Jacob and Monod, 1961）首次提出一种实现该切换的机制——现在称为遗传开关（genetic switch）。40 年前遗传开关的概念还非常革命，但原始机制描述经受住了时间考验，被几乎原封不动地沿用至今。数学家迅速看到遗传开关的动力学可能——第一个模型由 Goodwin 在 1965 年给出，其后是 Griffith (1968a,b)；近期更精细的模型有 Wong et al. (1997)、Yildirim and Mackey (2003)、Yildirim et al. (2004)、Santillán and Mackey (2004)。lac 阻遏蛋白的结构与功能可参看 Lewis (2005)，Ozbudak et al. (2004) 给出理论与实验的优雅结合；Mackey et al. (2004) 综述了对 lac 和 trp 两个操纵子的建模工作。
lac 操纵子由三个结构基因与两个主要调控位点组成。三个基因是 lacZ、lacY、lacA，分别编码乳糖代谢所需的三种蛋白：β-半乳糖苷酶、乳糖透过酶、β-硫代半乳糖苷乙酰转移酶。透过酶让乳糖进入细菌；β-半乳糖苷酶把乳糖异构为异乳糖（allolactose，乳糖的变构异构体）并把乳糖降解为葡萄糖与半乳糖这两种可产能的己糖；转移酶的功能不详。操纵子开关与否取决于两个调控位点：一个是阻遏位点（repressor），另一个是激活位点（activator）。若阻遏位点被阻遏蛋白占据，则 RNA 聚合酶不能与操纵子结合启动转录，三种蛋白均不能合成。在 lac 操纵子启动子（RNA 聚合酶必须结合以启动转录）之前还有一段区域称为 CAP 位点（CAP site），可被二聚体分子 CAP（分解代谢激活蛋白）结合。CAP 单独存在时对转录无影响；只有当 CAP 与环状 AMP（cAMP）结合后，该复合物才能结合到 CAP 位点，从而促进 RNA 聚合酶与启动子的结合、允许转录。
综上，乳糖代谢所需的三种蛋白只有在 CAP 结合且阻遏子未结合时才生成（图 10.3）。细菌由此可通过调节阻遏子与 CAP 的浓度来开关 lac 操纵子，从而引入所需的正、负反馈。异乳糖在此扮演核心角色：无异乳糖时阻遏子与操纵子结合；但异乳糖可与阻遏蛋白结合，阻止其与阻遏位点结合，从而允许操纵子被激活、进一步合成异乳糖（经 β-半乳糖苷酶作用）、并让更多乳糖进入细菌（经 lac 透过酶）——这是一个正反馈环。
第二条反馈环通过 cAMP。CAP 蛋白由 cAMP 与 cAMP 受体蛋白结合形成。细胞内 cAMP 浓度高时 CAP 浓度高，CAP 与操纵子的 CAP 位点结合从而允许转录；cAMP 浓度低时则相反，操纵子关闭。胞外葡萄糖减少导致胞内 cAMP 浓度上升（机制不详），由此激活 CAP、进而激活操纵子；胞外葡萄糖增加则使操纵子关闭。综合而言，操纵子只有在胞内有乳糖、胞外无葡萄糖时才开启（图 10.3）。正反馈由异乳糖阻止阻遏子结合实现，负反馈由胞外葡萄糖调控 CAP 水平实现（图 10.4）。
下面给出一个与 Griffith (1971)（见练习 1）和 Yildirim and Mackey (2003) 模型类似的数学模型。目标是在没有乳糖时操纵子关闭、而随胞外乳糖浓度增加操纵子被打开（即一个遗传开关）。由于目标有限，模型不含 CAP 的动力学。记异乳糖（allolactose）浓度为 \(A\)，乳糖为 \(L\)，透过酶为 \(P\)，β-半乳糖苷酶为 \(B\)，mRNA 为 \(M\)，阻遏子为 \(R\)。假设通常处于激活态的阻遏子 \(R^*\) 与两分子异乳糖反应而失活（\(R\)）：
\(R^* + 2A \;\underset{k_{-a}}{\overset{k_a}{\rightleftharpoons}}\; R.\)
为简化起见，假设操纵子只能处于两种状态——与（激活的）阻遏子结合而失活（\(O_R\)），或与聚合酶结合而生成 mRNA（\(O_P\)）。于是操纵子与阻遏子按下式反应：
\(O_P + R^* \;\underset{k_{-r}}{\overset{k_r}{\rightleftharpoons}}\; O_R.\)
操纵子处于各状态的概率满足
因为 \(o_P + o_R = 1\)。由于阻遏子与操纵子结合时实际不被消耗，阻遏子浓度满足
其中 \(R + R^* = R_t\)。假设上述各反应处于稳态，可得
\(R = K_a R^* A^2, \quad o_R = K_r R^* o_P,\)
其中 \(K_i = k_i / k_{-i}\)（\(i=a,r\)）。因此
\(R_t = R + R^* = R(1 + K_1 A^2)\)
以及
其中 \(K = 1 + K_r R_t > 1\)。故 mRNA 的生成由下式描述：
其中 \(M\) 是编码这些酶的 mRNA 浓度，常数 \(\alpha_M\) 把激活态操纵子的概率与 mRNA 生成率挂钩，\(\gamma_M\) 描述 mRNA 的降解。注意在没有异乳糖时仍存在残余 mRNA 生成——这是因为 (10.9) 中的反应即便在 \(R\) 浓度最大时仍存在 \(O_P\) 非零的平衡。
接下来假设酶的生成速率与可用 mRNA 成正比、且酶被降解，故透过酶（\(P\)）与 β-半乳糖苷酶（\(B\)）的浓度由
决定。表面上看既然它们的编码来自同一 mRNA，\(P\) 与 \(B\) 的生成率应相同，实则不然：第一，mRNA 沿操纵子（lacZ、lacY）依次读取各基因，先合成 β-半乳糖苷酶、再合成透过酶；第二，透过酶必须迁移到细胞膜才能嵌入。生成时间的差异以及这两种酶"起效"前所需时间延迟的不同，使它们具有不同的有效生成速率（见表 10.1）。
胞外乳糖（浓度 \(L_e\)）按 Michaelis–Menten 速率被透过酶 \(P\) 运入细胞成为底物乳糖（浓度 \(L\)）；进入细胞后底物乳糖被 β-半乳糖苷酶作用转化为异乳糖、再转化为葡萄糖与半乳糖，因此
注意这里所有反应都被建模为单向反应，严格来说并不正确（所有反应都是双向的，尤其乳糖运入细胞是被动过程），但单向反应速率在很宽的底物浓度范围内已给出合描述；如此简化模型并不改变所得结论。综上，模型由方程 (10.16)–(10.20) 这五个方程给出。Wong et al. (1997) 研究了更复杂的机制；Yildirim and Mackey (2003) 引入了若干时间延迟，使模型成为时滞微分方程组；但上面这一简化反应机制足以说明遗传开关如何以简单方式产生。Yildirim and Mackey (2003) 花了大量努力标定准确的参数值，稍作修改后的版本见表 10.1；这里的修改是因为本节的模型与他们的模型不完全一致。稳态解如图 10.5 所示，作为胞外乳糖浓度 \(L_e\) 的函数绘制。
图 10.5 的稳态曲线由 AUTO（或更准确地说 XPPAUT）计算；若不熟悉这些软件，可推荐如下"自己动手"方法：先把 \(L_e\) 画成 \(A\) 的函数。亦即先用 (10.16) 求 \(M\) 作为 \(A\) 的函数，再由 (10.17)–(10.18) 得 \(P\)、\(B\) 作为 \(A\) 的函数；然后用 (10.20) 得 \(L\) 作为 \(A\) 的函数，最后用 (10.19) 得 \(L_e\) 作为 \(A\) 的函数。
当 \(L_e\) 较低时只存在一个稳态（异乳糖 \(A\) 浓度低）；\(L_e\) 处于一个中间区间时存在两个稳定稳态——一个（高 \(A\)）对应使用乳糖、另一个（低 \(A\)）对应几乎不使用乳糖；\(L_e\) 较大时又只存在一个稳态（对应使用乳糖）。当 \(L_e\) 跨过临界值（这里约 0.03 mM）时，稳态由低使用状态切换到高使用状态，β-半乳糖苷酶被打开。这种对 \(L_e\) 渐增的间断响应是遗传开关的特征，由模型的双稳态产生。把这种乳糖使用的"打开"称为诱导（induction），这种操纵子称为诱导型（inducer）。
乳糖使用的关闭发生于比打开更低的 \(L_e\) 处；这种滞后开关的特性很重要，可避免快速循环——若 on/off 切换值相同，lac 操纵子就会被反复打开关闭，这种资源分配策略看起来不利；同时 on/off 切换点的分离也使系统对噪声更不敏感。
图 10.5 中显示的 Hopf 分岔在更复杂模型中并不出现，因此其相关性存疑，本节不进一步讨论。
10.2 昼夜节律钟（Circadian Clocks）
很早就知道许多生物体存在周期约 24 小时的振荡器——"circadian" 一词来自拉丁文 circa（约）+ dies（一日）。人类具有这种钟在每年两次夏令时切换或跨时区飞行产生"时差反应"时最为明显。在昼夜节律的分子基础被揭示之前，这类节律的研究聚焦于一般自主振荡器（最典型的是 van der Pol 振荡器）的性质及其对外界刺激——用于引导（entrain）或重置（reset）振荡器——的响应，相关文献汗牛充栋，本节不试图综述。1980 年代这一切发生改变：首批影响 24 小时周期的基因被发现——果蝇的 per（period）基因与真菌 Neurospora 的 frq（frequency）基因。
昼夜节律钟已在许多生物体中发现——包括蓝细菌、真菌、植物、无脊椎与脊椎动物——但古细菌中尚未发现。无论在何处发现，节律钟都由单细胞内自含的生化环路（不需细胞间相互作用）组成。其振荡机制始终相同：存在正向元件激活钟基因、钟基因产出钟蛋白、钟蛋白以某种方式阻断正向元件的活性。因此昼夜节律钟都由一个负反馈环（基因产物使自身生成失活）加上延迟构成。Dunlap (1999)（亦见 Dunlap, 1998）是昼夜节律的优秀综述。甚至在钟的细节被了解之前，人们就认识到具有足够延迟的负反馈环可以产生振荡行为。Goodwin 1965 年提出的这一类型模型旨在描述细菌中酶的周期合成，假设存在酶 \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) 满足
\(X_1 \to X_2 \to \cdots \to X_n,\)
即 \(X_n\) 对 \(X_1\) 的生成有抑制作用。Goodwin 振荡器的模型方程为
该网络只在 \(n \geq 3\) 时产生振荡，且在 \(n=3\) 时要求 \(p > 8\)（见练习 3）。因此问题不是带延迟的负反馈环能否产生振荡——已知是可以的——而是我们对昼夜节律钟的生化细节是否已经了解得足够、足以给出相当真实的动力学模型。几个有趣的问题是：什么决定振荡器的固有周期？即哪些机制使固有周期接近 24 小时？相位重置如何工作？
果蝇的分子昼夜节律系统是人们在分子层面理解节律钟的核心。从早晨开始，per 和 tim（timeless）mRNA 水平上升，这是 CLK（CLOCK）与 CYC（CYCLE）异二聚体激活钟基因启动子的结果。PER 蛋白在缺少 TIM 时不稳定，但与 TIM 二聚化后被稳定。PER/TIM 二聚体是入核的靶点，进入细胞核后（黄昏后三小时内）与 CLK/CYC 异二聚体相互作用、抑制其活性，从而关闭 per 与 tim 的生成。夜间 PER 与 TIM 不断被磷酸化、导致降解；二者耗尽后，CLK/CYC 异二聚体重新激活，循环再次开始。昼夜同步与相位重置发生的原因是光增强了 TIM 的降解。因此傍晚 TIM 水平正在上升时曝光使钟延后；深夜与清晨 TIM 水平下降时曝光则使钟提前。
不同生物的细节各不相同，但上述场景具有典型性。然而正如生化中常见的那样，不同生物体的主要"角色"名字各不相同，即便其主要功能相似。表 10.2 列出了不同生物的主要角色。昼夜节律的数学模型有若干。Goldbeter (1995) 的早期模型结构上与 Goodwin 酶振荡器类似：PER 蛋白 \(P_0\) 被（可逆地）磷酸化为 \(P_1\)、再磷酸化为 \(P_2\)：
\(P_0 \rightleftharpoons P_1 \rightleftharpoons P_2.\)
磷酸化蛋白 \(P_2\) 再被运入细胞核，在核内（\(P_N\)）抑制 per mRNA（\(M\)）的生成，由此闭合负反馈环；延迟来自磷酸化步骤与核转运。Goldbeter 模型的方程为
注意该模型中的磷酸化与去磷酸化步骤都用 Michaelis–Menten 速率（适用于酶促反应），而不是 Goodwin 原模型中的线性形式。直接模拟这些方程并验证解的周期约为 24 小时是直截了当的，本节把这一验证留给有兴趣的读者。Leloup and Goldbeter (1998, 2003, 2004) 近期给出包含 PER 与 TIM 两个蛋白的模型——两者都经历两步磷酸化、再形成二聚体被运入核内、抑制自身生成；该模型保留了 Goodwin 模型的基本结构，但优点是可以研究 TIM 降解率的变化作为光与钟相互作用的一种模型方式。Tyson et al. (1999) 的另一昼夜节律钟模型对 PER 与 TIM 的翻译后调控采取不同看法，动机是更近期的发现——另一钟元件 dbt（doubletime）对 PER 磷酸化很重要。在该模型里，磷酸化给蛋白打上"待降解"标签，而不是如 Goldbeter 模型那样激活它以利于入核。在 Tyson et al. 模型中，DBT 蛋白磷酸化 PER 单体的速率快于磷酸化二聚体，因此 PER 单体比二聚体更可能降解。
与 Goldbeter 模型一样，Tyson et al. 模型不包括 TIM，但假设 PER 二聚体抑制钟基因。模型方程为
这些方程中最重要的假设是：第一，单体 \(P_1\) 与二聚体 \(P_2\) 都与 DBT 结合，但 \(P_1\) 磷酸化更快（即 \(k_{p1}' \gg k_{p2}\)）；第二，DBT 催化的反应是饱和反应，且二聚体是单体磷酸化的竞争性抑制剂。竞争性抑制的程度由 \(r\) 决定——它是单体与二聚体酶-底物解离常数之比（见第 1 章）。这里 \(r\) 取 2。接下来假设二聚化反应很快（\(k_a\)、\(k_d\) 相比其它速率常数都很大），因此 \(P_1\)、\(P_2\) 处于准平衡。令 \(P = P_1 + 2 P_2\) 为 PER 蛋白总量；由于 \(k_a^2 P_2^2 (1 - k_d P_2) = 0\)（近似），有
把 (10.30) 与 (10.31) 相加，得到 \(P\) 的一个方程：
该方程与 (10.29) 以及代数关系 (10.32) 一起，构成了一个两变量的昼夜节律钟模型。两变量系统的一个优点是可在相平面上研究。系统的相图如图 10.6A 所示，可见该系统是一个典范的可激发系统——即 \(\mathrm{d}M/\mathrm{d}t = 0\) 的零线是一条与 N 形 \(\mathrm{d}P/\mathrm{d}t = 0\) 零线有唯一交点的单调递减曲线；一个典型解如图 10.6B 所示。
昼夜节律研究十分活跃。与本教材相关的一些近期工作包括哺乳动物昼夜节律钟（Leloup and Goldbeter, 2003；Forger and Peskin, 2003, 2004, 2005）以及描述 Ca²⁺ 在植物昼夜节律钟中作用的研究（Dodd et al., 2005a,b）。
10.3 细胞周期（The Cell Cycle）
细胞分裂周期是细胞先复制其内容再一分为二的过程。成年人每秒必须制造上百万个新细胞以维持现状；一旦所有细胞分裂停止，个体将在数日内死亡。另一方面，异常的细胞快速增殖即癌症，也可能致命，因为快速增殖的细胞干扰正常细胞与器官的功能。细胞周期的控制至少涉及细胞生长与核 DNA 复制的协同控制，使个体细胞的体积在平均意义上保持不变。细胞周期传统上被分为四个不同的阶段（图 10.7 中示意），其中最戏剧性的是有丝分裂期（M 期）。M 期的特征是已复制的核物质分离、细胞核分裂、最终实际的细胞分裂（胞质分裂，cytokinesis）。在大多数细胞中整个 M 期只占约一小时，是总周期时间的一小部分。两次 M 期之间较长的时段称为间期（interphase）。在某些细胞中（如哺乳动物的肝细胞），整个细胞周期可超过一年。紧随胞质分裂后的间期部分称为 G1 期（G 代表 gap），期间发生细胞生长。当细胞足够大时，核内 DNA 复制启动并持续于 S 期（S 代表 synthesis）。S 期之后是 G2 期，它提供一段"安全缓冲"，使细胞为 M 期做准备，确保 DNA 复制在细胞进入有丝分裂前已完成。
实际存在两个受控的生长过程。第一个是染色体周期——遗传物质被精确复制、每轮周期从一个核形成两个核。由于每个子核必须获得每条染色体的精确复制品，准确性至关重要。第二个控制不那么严格的过程是胞质周期——复制胞质物质，包括所有结构（线粒体、细胞器、内质网等）。该生长在 G1、S、G2 期持续进行，仅在有丝分裂期间短暂停顿。在成熟生物体中这两个过程协同运作，使细胞质量与核质量之比基本保持恒定。但二者也可解耦。例如卵子发生中单个细胞（卵子）体积增大但不分裂；受精后胚胎发生过程中，卵经历 12 次快速同步的有丝分裂形成 4096 个细胞的球——即囊胚（blastula）。
早期胚胎中观察到的自主细胞周期振荡相当独特。大多数细胞"走走停停"地通过分裂周期，在"检查点"（checkpoint）暂停以确认下一阶段所需条件均已就绪。G1、G2、M 期末均存在检查点，但并非所有细胞都使用所有检查点。早期胚胎发生时这些检查点不可用，细胞尽可能快地分裂——由潜在的极限环振荡驱动。G1 检查点常称为 Start，因为细胞在这里决定所有系统是否就绪以进入 S 期与 DNA 复制。Start 之前新生的细胞可离开有丝分裂周期而分化（成为有专门功能的不分裂细胞）；但 Start 之后细胞已过"回不去的点"，注定进入又一轮 DNA 合成与分裂。
细胞周期研究最多的是青蛙与酵母。蛙卵大且易操作；酵母细胞小得多，但便于克隆与识别涉及的基因与基因产物。由于两种生物使用基本相似的机制调控细胞周期，由任一方获得的洞见都可用来构建细胞周期控制的整体图景。芽殖酵母（Saccharomyces cerevisiae，面包师和啤酒师所用）通过先形成一个芽——该芽在 S 与 G2 期启动并不断生长——最后在有丝分裂后与母细胞分离。另一类似生物裂殖酵母（Schizosaccharomyces pombe）也被广泛用于细胞周期研究。哺乳动物细胞的细胞周期比青蛙或酵母复杂得多，本节不详细讨论。
虽然细胞周期已有大量实验工作，专门构建与分析细胞周期模型的"主力"建模组不多。最活跃的之一是 Bela Novak 与 John Tyson 领导的团队——过去 15 年来发表了一系列经典论文，从相对简单的细胞周期模型开始、推进到目前最复杂的模型。尽管这些工作很优雅，初入这一领域者仍面临相当大的困难。最显著的困难之一是命名的泛滥。虽然基本机制相似，在青蛙、芽殖酵母、裂殖酵母中执行类似功能的基因（与蛋白）名字各不相同；一个简单模型里已含七八种关键蛋白，而每种蛋白在不同生物体中又有不同名字，混淆的潜在可能显而易见。本节先给出真核细胞周期的通用模型、讨论在哺乳动物细胞中被保留的基本机制；再把该通用模型特例化到裂殖酵母（这需要一堆新名字；为便于追踪，建议读者频繁查阅表 10.6 中通用模型与裂殖酵母的对应名字）；最后简要讨论受精后蛙卵的细胞分裂。
10.3.1 一个简单的通用模型（A Simple Generic Model）
基础双稳态。与所有细胞过程一样，细胞周期由基因及其编码的蛋白调控。位于细胞周期控制系统核心的蛋白有两类。第一类是周期蛋白依赖性激酶（Cdk）家族，它们通过磷酸化特定蛋白引发一系列下游事件。第二类是周期蛋白（cyclin），得名于最早被鉴定的成员在每个分裂周期中被循环地合成与降解。周期蛋白与 Cdk 分子结合、控制 Cdk 磷酸化靶蛋白的能力；没有周期蛋白，Cdk 即失活。芽殖酵母只有一种主要 Cdk 与九种周期蛋白，可能形成九种有活性的 Cdk-周期蛋白复合物。哺乳动物中情形复杂得多——迄今已确认有六种 Cdk 与十几种周期蛋白。Leland Hartwell 与 Paul Nurse 因 1970 年代揭示周期蛋白依赖性激酶 Cdc2（裂殖酵母中）、Cdc28（芽殖酵母中）、Cdk1（哺乳动物细胞中）控制细胞周期的工作获 2001 年诺贝尔生理学或医学奖。周期蛋白于 1982 年由 Tim Hunt 发现，他与 Hartwell、Nurse 共享该奖。
虽然建模者很容易把图 10.7 中的循环视为极限环振荡器，更合适的看法是它表现为 G1 与 S-G2-M 两个状态的交替。这一观点最先由 Nasmyth (1995, 1996) 提出，目前构成几乎所有定量模型的基础。两个状态间的转换由 Cdk-周期蛋白复合物的浓度控制。在 G1 态，由于周期蛋白浓度低，Cdk-周期蛋白浓度也低。在 Start（图 10.8）处，周期蛋白生成增加、降解被抑制，因此 Cdk-周期蛋白浓度上升（由于 Cdk 总很充裕），细胞进入 S 态、开始 DNA 合成。S 期末每条染色体由一对染色单体组成；G2 期末核膜破裂、染色单体对沿中期纺锤体排列（图 10.8 中较浅的灰线）。当排列完成（中期），一组构成后期促进复合物（anaphase-promoting complex, APC）的蛋白被激活。APC 与一个辅助组分（Cdc20 或 Cdh1）结合、把周期蛋白标记为待降解，从而降低 Cdk-周期蛋白复合物的浓度；这引发第二次不可逆转换 Finish，染色单体被拉向纺锤体两极（后期）。因此 Start 由 Cdk-周期蛋白复合物浓度的爆炸式增加引起，Finish 由 APC 对周期蛋白的降解及由此导致的 Cdk-周期蛋白水平下降引起。
这些反应如何导致 G1 与 S-G2-M 之间的开关式行为、以及周期蛋白浓度高低交替？该开关源于 Cdk-周期蛋白与 APC-Cdh1 之间的相互拮抗。APC-Cdh1 不仅通过降解周期蛋白抑制 Cdk 活性，Cdk-周期蛋白也通过磷酸化 Cdh1 抑制 APC-Cdh1 的活性。由于这种相互拮抗，细胞可以处于低 Cdk-周期蛋白活性 + 高 APC-Cdh1 活性（即 G1）状态，或高 Cdk-周期蛋白活性 + 低 APC-Cdh1 活性（S-G2-M）状态。
为构建该反应方案的简单模型，写出周期蛋白（此处为 Cyclin B，记为 CycB）与未磷酸化 Cdh1 浓度的微分方程（用任意单位）。Cdk 的浓度不直接出现在模型中，因为假设 Cdk 充裕。由于 CycB 与 Cdk 紧密结合，Cdk-CycB 复合物的浓度完全由 CycB 浓度决定。类似地，APC-Cdh1 复合物的活性由 Cdh1 浓度决定。对每个反应使用相对简单的动力学——质量作用定律或 Michaelis–Menten 饱和速率函数（第 1 章）；建模细节将在给出方程后进一步说明。因此
所有 \(k\) 与 \(J\) 都是正常数，\(A\) 与 \(m\) 亦然。关于这些方程需注意几点：
- CycB 以本征速率 \(k_2'\) 被降解，但也以速率常数 \(k_2''\) 被 APC-Cdh1 降解。反过来，Cdh1 被 Cdk-CycB 按 Michaelis–Menten 饱和速率函数磷酸化。因此 CycB 与 Cdh1 之间存在相互抑制。
- Cdh1 的生成速率依赖于其磷酸化形式浓度，即 \([\mathrm{Cdh1}]_{total} - [\mathrm{Cdh1}]\)。由于单位任意，设 \([\mathrm{Cdh1}]_{total} = 1\)。
- CycB 的生成速率依赖于参数 \(m\)，代表细胞质量。这是一个关键假设。速率常数如何能依赖细胞质量？必然存在某种方式使细胞质量控制细胞周期的动力学（因为细胞周期与细胞生长紧密耦合，如上所述），但具体机制仍不清楚。当然可以想象一种可能的机制：随细胞质量增加，胞质与核的质量比增加。若某蛋白在胞质合成后进入核内，则胞质/核体积比越大、该蛋白在核内的累积就越快。但这样的解释仍是推测。在本简单模型中假设 CycB 在核内累积，因此其生成速率是细胞质量的递增函数，如 (10.34)。
- 常数 \(A\) 与 Cdc20 的活性有关。回忆 Cdc20 与 Cdh1 类似，可与 APC 配对。APC-Cdc20 复合物的一项任务是间接激活一种使 Cdh1 激活的磷酸酶。
令 \(x_1\) 表示 \([\mathrm{CycB}]\)、\(x_2\) 表示 \([\mathrm{Cdh1}]\)，(10.34)–(10.35) 的稳态由
与
给出，其中
\(p = \frac{k_3' + k_3'' A}{k_4 m}.\)
这些解如图 10.9 所示，把 \(x_1\) 作为 \(p\) 的函数，使用表 10.5 的参数值。但由于 \(A\) 未指定，图中的标度是任意的。最简单的画法是把 (10.36)、(10.37) 看作以 \(x_2\) 为参数的参数曲线。对某些 \(p\) 值有三个稳态、对另一些只有一个。稳态合并的两处是标记为 LP1 与 LP2 的极限点。（由于这是两变量系统，做相平面分析并验证中间的稳态是鞍点（即不稳定）也相当容易。见练习 5。）
现在可在图 10.9 中追迹出一个近似的细胞周期环。注意此处 \(A\) 与 \(m\) 都没有动力学，仅按需增减。\(A\) 与 \(m\) 变化的动力学系统将在下一节更详细讨论。假设从下稳态（即 \([\mathrm{CycB}]\) 较低的那个，位于 LP1 右侧）开始；随 \(m\) 增加（细胞生长），\(p\) 减小，细胞沿下稳态走。最终 \(p\) 减小过多达到 LP1，解离开下稳态、趋向上稳态——这对应 Start（图 10.8），此时 CycB 浓度爆炸式增加。在中期 Cdc20 浓度开始上升，对应参数 \(A\) 的增加，使 \(p\) 增大。当 \(p\) 增大过多时，解不再能停留在上稳态，落回到下稳态（Finish）。\([\mathrm{CycB}]\) 因此下降，\(A\) 再次减小，细胞分裂（\(m \to m/2\)），细胞开始新一轮周期。从这种观点看，细胞周期是一个在两条稳态分支之间交替的滞后环。
APC 的激活。在前一模型中 \(A\) 是一个可随意增减以模仿 APC-Cdc20 活性的参数。当然实际情况没这么简单——有若干反应调控 APC 的激活，因而代表 Cdc20 浓度的 \(A\) 也由它自己的动力学系统控制。在芽殖酵母中，Cdh1 由一种磷酸酶激活，该磷酸酶由 Cdc20 激活。此外 Cdc20 的生成被 CycB 增加。因此 Start 处 \([\mathrm{CycB}]\) 的爆炸性增加导致 Cdc20 上升、并继而使 Cdh1 上升。然而 Cdc20 刚生成时并无活性，只有在 CycB 激活之后（经过一段时间延迟）才被激活——这种延迟是 CycB 与 Cdc20 激活之间若干中间反应步骤的结果。导致该延迟的具体反应尚未被识别，因此模型中引入一个虚构酶 IE（intermediate enzyme），其激活形式为 IEP（P 代表磷酸化）。总结起来：CycB 激活 IEP，IEP 激活 Cdc20，Cdc20 激活 Cdh1，Cdh1 降解 CycB。该反应方案如图 10.10。
为写出相应微分方程，引入两个新变量：激活的 IE（IEP）与 Cdc20。再令 \([\mathrm{Cdc20}]_T\) 表示 Cdc20 的总浓度（即激活与未激活形式之和）。总 Cdc20 的生成速率被 CycB 增加，因此
注意这里的激活假设为简单协同动力学模型，Hill 系数为 \(n\)（第 1 章）。类似地，Cdc20 由非激活的 Cdc20（浓度 \([\mathrm{Cdc20}_T] - [\mathrm{Cdc20}]\)）以依赖于 \([\mathrm{IEP}]\) 的速率生成，并通过两种方式被去除：与 \([\mathrm{Cdc20}_T]\) 相同的本征降解速率，以及对应于将活性形式酶促转换回非活性形式的额外去除项。因此
最后再加入 \([\mathrm{IEP}]\) 的方程：
注意 IEP 的激活速率与 \([\mathrm{CycB}]\) 成正比。
还须规定细胞生长如何建模。为简化，假设 \(m\) 指数增长，即
但这一增长律必须修改以反映细胞分裂。Start 时 \([\mathrm{CycB}]\) 爆炸性增长，其后下降是 Finish 发生、细胞应分裂的信号。因此假设每当 \([\mathrm{CycB}]\) 在 Start 后下降到某个指定的低值（这里为 0.05）时，细胞一分为二（即 \(m \to m/2\)）。模型现由 (10.34)、(10.35)、(10.39)、(10.40)、(10.41)、(10.42) 这六个微分方程组成，其中 \(A = [\mathrm{Cdc20}]\) 见 (10.35)。在写这些方程时已做了大量假设；也许最引人注目的是动力学有时被假设为一级质量作用形式、有时被假设为 Michaelis–Menten 形式、还有时被假设为协同动力学形式。这样的选择很大程度上是原建模者的判断，取决于可获得的实验证据。该模型的稳态（\(m\) 固定时）如图 10.11 所示。如同更简单的两变量模型（图 10.9），稳态曲线有两个极限点。然而在这个更复杂的模型中上稳态通过 Hopf 分岔变得不稳定（这里不再深入研究，所产生的极限环目前不令人关注）。因此当细胞周期轨迹（图中的点线）从上稳态分支落下时（于 Start），它不能停在上稳态，因为上稳态不稳定；它绕过上稳态转一圈，\([\mathrm{CycB}]\) 随后下降到低值（Finish）——此时质量减半（细胞分裂），解回到下稳态分支，循环重复。在该模型现况下，Finish 在 Start 后某个固定时间自动发生。一旦轨迹从下稳态分支落下，便没有东西阻止它继续绕圈并在 \([\mathrm{CycB}]\) 下降时启动 Finish。现实中存在控制机制以在染色体未对齐时阻止该过程，但本简单模型省略了这些控制。
关于单位的说明。该模型（以及下面的模型）中所有浓度都被视为无量纲。这解释了表 10.5 中所有常数 \(k\) 都有 1/时间单位、所有 \(J\) 都没有量纲。实验上可以测相对浓度，但测不出绝对浓度。因此假设存在某个尺度因子可把所有浓度标度成无量纲——虽然并不知道这个尺度因子。模型的定性行为不因这一假设而改变。
10.3.2 裂殖酵母（Fission Yeast）
在了解了细胞周期如何在通用模型中工作后，下面转向更复杂的裂殖酵母细胞周期模型（Novak et al., 2001；Tyson et al., 2002）。这是一个特别有趣的模型，因为各种突变体的细胞周期可由相应分岔图给出优雅解释。Chen et al. (2000, 2004)、Ciliberto et al. (2003)、Allen et al. (2006) 讨论了芽殖酵母细胞周期的类似复杂模型，哺乳动物细胞周期的模型见 Novak and Tyson (2004)。但裂殖酵母模型需要为细胞周期的主要"角色"引入新名字。由于为熟悉的角色引入一串新名字有引起严重混乱的潜在可能，本节强烈建议读者反复仔细查阅表 10.6——其中给出了各生物体中类似物种的不同名字。
有丝分裂促进因子：MPF。在通用模型中，细胞周期的中心角色是 Cdk:CycB 复合物。在裂殖酵母中，周期蛋白依赖性激酶称为 Cdc2，B 型周期蛋白称为 Cdc13（见表 10.6。Cdc 代表 cell division cycle）。位于该周期核心的 Cdc2:Cdc13 复合物称为有丝分裂促进因子（mitosis-promoting factor, MPF）。与之前一样，Cdc2 只有在与周期蛋白 Cdc13 结合时才有活性，因此 MPF 是驱动细胞周期的活性物种。要理解 MPF 的调控需理解它如何被形成、降解与失活（图 10.12、图 10.13）。
- MPF 在 Cdc13 与 Cdc2 结合时形成；由于 Cdc2 充裕，该形成速率只依赖于 Cdc13 的量。该生成速率假设依赖于细胞质量，因为 Cdc13 可在核内累积（如前对 CycB 所述）。
- 主要降解途径由 APC 激活，裂殖酵母中 APC 的辅助组分称为 Ste9 与 Slp1（见图 10.13）。
- MPF 可通过两条主要途径失活：被 Wee1 激酶磷酸化为 preMPF；preMPF 又可被磷酸化形式的 Cdc25（一种酪氨酸磷酸酶）去磷酸化回 MPF。或被 Rum1 结合形成无活性的三聚体。
这些反应总结于图 10.12。由于 Rum1、Cdc25、Slp1 的活性均被 MPF 调控，构成一系列高度复杂的反馈相互作用。下面将重新讨论这些；目前先把注意力放在描述 MPF 三聚体、Cdc13、Rum1 的方程上。按 Novak et al. (2001) 的呈现方式建模，他们以 Cdc13 总量、Rum1 总量与 preMPF 三个量作为因变量。不同的因变量选择给出同一模型的不同版本。
首先定义 Cdc13 的总量 \([\mathrm{Cdc13}_T]\) 为
\([\mathrm{Cdc13}_T] = X_1 + X_2 + X_3 + [\mathrm{MPF}],\)
其中 \(X_1\)、\(X_2\)、\(X_3\) 指图 10.12 中标记的复合物，\(X_1\) 仍记其浓度。类似地令
\([\mathrm{preMPF}] = X_1 + X_3, \quad [\mathrm{Trimer}] = X_1 + X_2,\)
如图 10.12 中虚线框所示。对 Rum1 还有一个守恒方程。令 \([\mathrm{Rum1}_T]\) 为 Rum1 总量，则
假设无论处于哪种状态，Cdc13 都按依赖于 Slp1 与 Ste9 的速率被降解。因此
preMPF 的方程类似：
这里 \(k_{wee}\) 与 \(k_{25}\) 分别是与 Wee1 和 Cdc25 相关的速率常数；如下所述它们依赖于 \([\mathrm{MPF}]\)。由于 \(k_{wee}\) 与 \(k_{25}\) 依赖于 \([\mathrm{MPF}]\)，需要把 \([\mathrm{MPF}]\) 用所选因变量 \([\mathrm{Cdc13}_T]\)、\([\mathrm{preMPF}]\)、\([\mathrm{Rum1}_T]\) 表达出来。
首先推导 \([\mathrm{Trimer}]\) 的表达式。假设 \(X_1\) 与 \(X_3\) 始终处于平衡，\(X_2\) 与 MPF 同样处于平衡，则
\([\mathrm{Rum1}] [\mathrm{MPF}] = K_d X_2, \quad [\mathrm{Rum1}] X_3 = K_d X_1,\)
其中 \(K_d\) 是 Rum1 结合的平衡常数。由此以及 (10.44) 可得
这是 \([\mathrm{Trimer}]\) 的二次方程，可解得
其中
\(\sigma = [\mathrm{Cdc13}_T] + [\mathrm{Rum1}_T] + K_d.\)
注意这里取两个根中较小者，以保证 \([\mathrm{Cdc13}_T] \to 0\) 时 \([\mathrm{Trimer}] \to 0\)。
有了 \([\mathrm{Trimer}]\) 的表达式便可找到用其它变量表示 \([\mathrm{MPF}]\) 的方程。首先由于 \(X_1\) 与 \(X_3\) 处于平衡，有
另外由 Cdc13 的守恒（(10.43)）可得
\([\mathrm{Trimer}] + X_3 + [\mathrm{MPF}] = [\mathrm{Cdc13}_T],\)
由此利用 (10.54) 可得
三组主要反馈。至此已得到 \([\mathrm{Cdc13}_T]\) 与 \([\mathrm{preMPF}]\) 的微分方程以及 \([\mathrm{Trimer}]\) 与 MPF 的关联代数方程。模型构建中最复杂的部分完成；其余模型方程从反应图（图 10.13 全图）按直接方式推出即可。该反应图较复杂；为便于理解把反应分为三大组，分别对应 Start、Finish 与 G2/M 转换的控制，如图 10.13 中虚线灰框所示。
Start。这组反馈引起 Start 处 MPF（即 Cdc2:Cdc13）的增加。存在两个相互抑制环。第一，MPF 使 Ste9 失活，从而减小 MPF 的分解速率。第二，MPF 增加 Rum1 失活的速率。由于 Rum1 失活 MPF（见图 10.12），这是第二个相互抑制环。由于这些相互抑制，细胞可以处于 MPF 高浓度或 Ste9 与 Rum1 高浓度，二者不能同时为高。SK 表示一种启动激酶（starter kinase），通过把 Rum1 磷酸化到失活态来帮助 Start 的开始，从而解除对 MPF 的抑制。但 Start 一旦开始必须去除 SK，以使 MPF 在 Finish 时下降。为此 MPF 把 SK 的转录因子（TF）磷酸化到失活态。因此该负反馈环对抗 Start 中的两个相互抑制环。虽然这套方案看起来与简单通用模型完全相同，但有些重要差别。裂殖酵母与通用模型的一个重要差别是 Start 处 MPF 的增加不是爆发性的；相反，Start 的特征是 \([\mathrm{Ste9}]\) 急剧下降，然后才允许 \([\mathrm{MPF}]\) 上升。裂殖酵母中 MPF 在 G1 期间被压得很低（如图 10.14A）。Start 时 Cdc13 开始累积，但 MPF 活性仍较低，因为 Cdc2 被 Wee1 磷酸化。
S/G2/M。重要反应如图 10.13 简化形式所示，包含 MPF 对 Wee1 与 Cdc25 的作用。MPF 以 Cdc2-磷酸化（较弱活性）形式累积，足以驱动 DNA 合成但不足以驱动有丝分裂。MPF 通过磷酸化 Wee1（Wee1 是磷酸化且失活的形式）降低 Wee1 的活性。MPF 也通过磷酸化 Cdc25 增加 Cdc25 的活性（Cdc25 是磷酸化且有活性的形式）。注意有时磷酸化态是失活态，有时是有活性的。这两个反馈都是正反馈。细胞在 G2 期停留较长时间直到长到足够大、Wee1 与 Cdc25 上的正反馈环启动、移除 Cdc2 上的抑制性磷酸基。MPF 随后的爆发式增加把细胞推入有丝分裂。因此裂殖酵母的特征是 G1 期短、S/G2 期长。
Finish。这组反馈引起 Finish 处 MPF 的快速下降（图 10.11）。MPF 增加失活 Slp1 的生成速率，失活 Slp1 再经 IEP 作用被激活。如通用模型中一样，IE 的身份未知；然而其存在是从 MPF 水平上升与 Slp1 上升之间明显的时间延迟中推断出来的。Slp1 以两种方式增加 MPF 分解速率：第一，直接促进其降解；第二，激活 Ste9，而 Ste9 也使 MPF 失活。有趣的是 Start 与 Finish 反馈本质上是一个快速正反馈（Start）后跟一个较慢的负反馈（Finish）。这种结构在许多生理系统中出现，包括 Hodgkin–Huxley 动作电位模型（第 5 章）与肌醇三磷酸受体模型（第 7 章）。细胞大小以两种方式影响模型。第一，假设 MPF 的生成速率是细胞大小的函数（前述）。第二，转录因子 TF 的激活速率也假设依赖于细胞大小（见 (10.70)）。因此随细胞生长，MPF 活性以两种不同的大小依赖方式被增加。TF 通过生成启动激酶 SK 影响 MPF 活性；SK 通过下调 Rum1 与 Ste9 启动 Start，使 \([\mathrm{Cdc13}]_T\) 上升并最终触发 G2-M 转换。
模型方程。现在把图 10.12 与图 10.13 的示意图转写为常微分方程组。Cdc13T 与 preMPF 的方程前面已给出；现对其余变量重复该过程。由于这些方程比 Cdc13T 与 preMPF 简单得多，这里直接给出不再详述。同时为把所有方程集中在一起，Cdc13T 与 preMPF 的方程也一并列出。模型方程为
其中
\(\sigma = [\mathrm{Cdc13}_T] + [\mathrm{Rum1}_T] + K_d,\)
还假设 \(k_{wee}\) 与 \(k_{25}\) 分别是 \([\mathrm{MPF}]\) 的递减与递增 Goldbeter–Koshland 函数（§1.4.6），因此
最后转录因子 \([\mathrm{TF}]\) 假设是细胞质量 \(m\) 的递增、\([\mathrm{MPF}]\) 的递减 Goldbeter–Koshland 函数，因此
\([\mathrm{TF}] = G(k_{15} m, k_{16}' + k_{16}'' [\mathrm{MPF}], J_{15}, J_{16}),\)
而质量指数增长：
至此完成对图 10.13 反应图的数学描述。所有参数值见表 10.7。
野生型。该更复杂模型中的细胞周期结构与 §10.3.1 的六变量通用模型类似，典型解如图 10.14 所示。与简单模型一样，稳态关于 \(m\) 的曲线呈 S 形。随细胞质量 \(m\) 增加，MPF 浓度也增加、达到 S 形下拐点时解"离开"稳态曲线、朝稳定振荡运动（图 10.14A 中点划线表示）。\([\mathrm{MPF}]\) 随后的突然上升把细胞推入 M 期。由于稳定解是振荡的，\([\mathrm{MPF}]\) 自然地先升后降（Finish），此时细胞分裂、细胞质量减半、循环重复。连续多轮循环如图 10.14B 所示。
注意细胞周期轨迹并不严格位于 S 形稳态曲线上——这是因为细胞大小在不断变化，永远来不及让解达到对应于某个固定 \(m\) 的稳态。图 10.14B 的条带上标出了细胞周期的不同阶段。G1 期间 \([\mathrm{MPF}]\) 被 Ste9 压得很低；Start 转换时 \([\mathrm{Ste9}]\) 几乎降到零，从而允许 \([\mathrm{MPF}]\) 增加。这一过程发生在细胞周期的较早期、细胞质量较小时。S/G2 期细胞复制 DNA 并缓慢增大直到达到临界质量，于是 \([\mathrm{MPF}]\) 爆发式上升、细胞被推入 M 期。因此此处的 Start 转换并不对应 \([\mathrm{MPF}]\) 的爆发性增加——这与前面简单通用模型的关键差别。该模型再次强调：不同细胞类型有不同方式控制细胞周期，虽然有诸多相似性，但并不存在单一的普适机制。
Wee1⁻ 细胞。该模型的一个特别有趣的特征是它可用于解释若干裂殖酵母突变体的行为。这里只讨论其中之一——wee1⁻ 突变体（Sveiczer et al., 2000）。其它突变体在 Tyson et al. (2002) 与 Novak et al. (2001) 中有详细讨论。正常裂殖酵母细胞周期具有短 G1 与长得多的 S/G2 期——大部分细胞生长发生于后者。在野生型细胞中，长 S/G2 期是 MPF、Wee1、Cdc25 之间的平衡所致。由于 Wee1 使 MPF 失活，只有当 \([\mathrm{MPF}]\) 升高超过临界阈值后它才能使 Wee1 失活，从而允许 M 期开始时 \([\mathrm{MPF}]\) 的爆发性增长。
若 Wee1 被敲除（即 wee1⁻ 突变体），则 Wee1 对 MPF 的失活被阻止或至少大大减少。这使得 \([\mathrm{MPF}]\) 的爆发性增加能在更小的 \(m\) 处发生，因此细胞在比野生型小得多时进入有丝分裂。然而由于细胞周期在更小的细胞大小、亦即更低的 \([\mathrm{MPF}]\) 整体水平下发生，G1 期被延长——因为 Ste9 需要更长时间被 MPF 压倒（这必须在 G1 末发生；见图 10.14B）。因此 wee1⁻ 细胞具有延长的 G1 期、缩短的 S/G2 期，分裂时大小约为野生型的一半。（wee 是苏格兰语"小"的意思。Paul Nurse 在 1970 年代初最先发现 Wee1，命名时观察到该基因缺失后细胞在异常小的体积下分裂。）
wee1⁻ 突变体的相平面与一轮细胞周期如图 10.15 所示。为模拟 Wee1 缺失，参数 \(k_{wee}''\) 减为 0.3，从而按 (10.68) 减小 \(k_{wee}\)。该改变把 S 形稳态曲线移向更小的 \(m\)，使解在更小的 \(m\) 处"离开"下极限点。因此有丝分裂在比野生型更小的细胞大小处启动。图 10.15B 显示 G1 期被延长，且细胞周期发生在比野生型更低的 \([\mathrm{MPF}]\) 值处。
10.3.3 爪蟾卵母细胞中的极限环振荡器（A Limit Cycle Oscillator in the Xenopus Oocyte）
有强力证据表明早期胚胎的细胞分裂由细胞质中的生化极限环振荡器控制。例如若把受精的爪蟾（Xenopus）蛙卵去核，它们仍会表现出周期性的抽搐或收缩，仿佛细胞质在没有核时继续发出信号。去核的海胆卵更进一步——在若干次分裂之后才"注意到"自己已无遗传物质、随后死去。在爪蟾中第一次受精后的细胞周期约一小时，随后是 11 个更快的周期（每个约 30 分钟），期间细胞质量减小。这些分裂源于一个细胞周期振荡器，其中一些检查点与控制已被去除。最详细的模型由 Novak and Tyson (1993a,b；Borisuk and Tyson, 1998；Sha et al., 2003) 给出，本节描述该模型。Goldbeter 的更简单模型在练习 7 中讨论，Novak–Tyson 模型的简化版在 Fall et al. (2002) 第 10 章中讨论。由于青蛙不是酵母，爪蟾卵母细胞中细胞周期的细节与裂殖酵母不完全相同，但主要相似点仍存在。
在受精的爪蟾卵母细胞中细胞分裂没有任何细胞生长，因此 G1 检查点被去除（或不可用）。通过 G2 检查点所需的关键 MPF 是 Cdc2 与有丝分裂周期蛋白的二聚体。cdc2 基因编码一种周期蛋白依赖性蛋白激酶 Cdc2，它与 B 型周期蛋白结合形成 MPF、诱导进入 M 期。Cdc2-周期蛋白 B 二聚体（MPF）的活性还受酪氨酸-15 与苏氨酸-167 两个位点的磷酸化控制。（酪氨酸与苏氨酸是 20 种氨基酸中的两种，构成蛋白分子。15 与 167 表示 Cdc2 蛋白序列上的位置。）这两个位点定义四种不同的磷酸化状态：MPF 在仅苏氨酸-167 位被磷酸化时有活性，其它三种磷酸化状态无活性。活性 MPF 启动一系列控制有丝分裂的事件的反应链。
与裂殖酵母中一样，状态之间的转换由 Wee1 与 Cdc25 介导。Wee1 通过在酪氨酸-15 位添加磷酸使 MPF 失活，Cdc25 通过在同一酪氨酸-15 位去磷酸化逆转这一失活。调节示意如图 10.16。周期蛋白 B 由氨基酸合成、与自由 Cdc2 结合形成无活性 MPF 二聚体。该二聚体被一种称为 CAK 的蛋白激酶在苏氨酸-167 位快速磷酸化、并被一种未知酶在同一位置去磷酸化。同时 Wee1 可以在酪氨酸-15 位磷酸化该二聚体使其失活，Cdc25 可以去磷酸化同一位置。当足够数量的 MPF 有活性时即启动有丝分裂。
MPF 的这种调节是本模型与前面裂殖酵母模型的一个分歧点。其它反馈与我们之前见过的类似：第一，MPF 的活性形式调节 Wee1 与 Cdc25 的活性（如 §10.3.2 中 G2/M 框所示），而 MPF 的降解通过一个延迟的负反馈环与中间酶相连（如 §10.3.2 中 Finish 框所示）。在爪蟾中 MPF 的降解由一种泛素缀合酶（UbE，控制——这是"老朋友" APC-Cdc20 的过时名称）控制。至此对有丝分裂启动的模型有了完整的文字描述。总结来说：随周期蛋白生成，它与 Cdc2 结合形成 MPF。MPF 快速磷酸化为活性形式。活性 MPF 通过激活 Cdc25 并使 Wee1 失活来打开自身的自催化生成；通过激活 UbE（激活周期蛋白的降解）来打开自身的破坏（带延迟），由此完成一个循环。
当然这一文字描述并不完整——还有许多 M 期控制的特征未包含。仅仅从文字论述也不能直接得出该模型以与实验观察一致的方式控制有丝分裂。为检验该模型确实足以解释细胞周期的某些特征，必须以定量形式给出它（Novak and Tyson, 1993）。需追踪的化学物种包括 Cdc2 与周期蛋白单体、不同活性的 MPF 二聚体（活性与失活态）、以及四种调节酶 Wee1、Cdc25、IE、UbE 的磷酸化与非磷酸化形式。首先周期蛋白（浓度 \(y\)）以稳定速率生成、被降解或与 Cdc2（浓度 \(c\)）结合形成 MPF 二聚体（\(r\)）：
MPF 二聚体可以处于四种磷酸化状态之一：酪氨酸-15 位带磷酸（\(s\)）、苏氨酸-167 位带磷酸（\(m\)）、两位都带磷酸（\(n\)）、都不带磷酸（\(r\)）。状态之间的转换由 Wee1、Cdc25、CAK 以及一种未知酶（"?"）调节。因此
注意上述方程中自由周期蛋白与形成二聚体的周期蛋白都允许以速率 \(k_2\) 降解。假设若周期蛋白直接从磷酸化二聚体降解，则磷酸基也立即被去除、生成自由 Cdc2。因此
这六个方程本来可构成一个封闭系统，若不是有反馈。反馈体现为速率常数对酶 Cdc25、Wee1、IE、UbE 浓度的非线性依赖。即
\(k_{25} = V_{25}' [\mathrm{Cdc25}] + V_{25}'' [\mathrm{Cdc25}_P],\)
\(k_{wee} = V_{wee}' [\mathrm{Wee1}_P] + V_{wee}'' [\mathrm{Wee1}],\)
\(k_2 = V_2' [\mathrm{UbE}] + V_2'' [\mathrm{UbE}^*].\)
此外 Cdc25、Wee1、IE、UbE 的活性态由 Michaelis–Menten 速率律控制，形式为
下标 _P 表示该酶的磷酸化形式。假设每种酶的总量保持不变，因此不再列出失活形式的方程。PPase 表示使 Cdc25_P 去磷酸化的磷酸酶。这构成了一个由九个微分方程、8 个 Michaelis–Menten 参数、18 个速率常数组成的完整模型。理解该微分方程组行为有两种方式：用合理参数值做数值模拟，或近似为更小方程组并用解析方法研究较简单的系统。
Novak 与 Tyson 用于模拟爪蟾卵母细胞提取物的参数值见表 10.8 与表 10.9。虽然数值模拟这九个微分方程并不困难，但为了理解模型的基本行为做以下简化假设是方便的。假设 \(k_{CAK}\) 很大、\(k_?\) 很小（如实验所提示）。此时 Cdc2 在苏氨酸-167 位的磷酸化在 MPF 二聚体形成后立即发生，故可忽略 \(r\) 与 \(s\)。再假设调节酶活性 (10.78)–(10.80) 可近似为
\(k_{wee} = \mathrm{constant},\)
\(k_2 = k_2' + k_2'' m^2,\)
\(k_{25} = k_{25}' + k_{25}'' m^2.\)
剩下三个关于三个未知量 \(y\)（自由周期蛋白）、\(m\)（活性 MPF）、Cdc2 单体（\(q\)）的方程：
其中 \(m + n + q = c\) 为 Cdc2 总量。由此总周期蛋白 \(l = y + m + n\) 满足
上述四个方程中的任意三个描述系统行为。然而在 \(k_3\) 远大于其它速率常数的极限下，系统可进一步约化为一个两变量系统、可用相平面分析。令 \(v = k_3 y\)，
因此主阶上 \(q v = k_1\)。若 \(k_1\) 很小则 \(y\) 也很小，故 (10.89) 变为
(10.91) 与 (10.93) 形成一个封闭系统，可在 \((l, m)\) 平面上用相图研究。在这一近似中 \(q = c - l\)。零线由
以及
描述，画于图 10.17 中。对这些参数值，存在一个被极限环振荡包围的唯一不稳定稳态解。调整参数可让左支 N 形曲线上出现稳定不动点（对应 G2 检查点），或右支上出现稳定不动点（对应 M 期检查点）。一个可能的控制参数是 \(k_{wee}\)，因为增加 \(k_{wee}\) 使 \(m\) 零线上移；因此增加 \(k_{wee}\) 在 N 形曲线最左支上产生一个 G2 检查点。
10.3.4 小结（Conclusion）
我们离完全理解细胞周期的生化机制还有相当距离。本节只看到了几个主要"角色"，但细胞周期中仍有相当大部分仍是谜。随着现代生物化学的发展，许多关于细胞功能调控的类似故事正在被揭示。在未来几年里这个故事的许多细节可能改变、并增添许多新内容。然而把文字描述转化为数学模型、并对该模型作分析，这一基本建模过程仍将是辅助我们理解这些复杂而极其重要的过程的重要工具。此外随着这些故事细节越来越复杂（这是必然的），数学分析在帮助我们理解这些过程如何工作方面将变得更加重要。
本章个人批注
本章把视野从前面几章的"细胞内信号与电活动"上推到"细胞如何决定生产哪些蛋白质"，再下沉到"细胞如何决定何时分裂"。前半（§10.1–10.2）以基因表达调控的两个典范（trp 操纵子、lac 操纵子）和昼夜节律钟（Goodwin 振荡器、Goldbeter、Tyson 等模型）为载体，把"负反馈 + 延迟 → 振荡"这一抽象命题变成具体的生化机制；后半（§10.3）把同一思想推到细胞周期——以 Tyson/Novak 团队二十余年的工作为主线，演示如何从"相互拮抗的 Cdk-周期蛋白 vs APC-Cdh1 双稳态"逐步搭建出能解释裂殖酵母野生型与 wee1⁻ 突变体行为差异的微分方程模型，再把同一框架扩到爪蟾卵母细胞的早期胚胎极限环振荡器。整章的逻辑骨架是清楚的：作者反复回到"双稳态 / 开关式行为"、"正反馈 vs 负反馈"、"延迟如何在负反馈环中产生振荡"这几个核心数学结构，对应不同的生化实例。
阅读时几个让我印象深的细节：(a) trp 阻遏的简化模型把阻遏子激活、mRNA、酶、产物等多个物种串成四条 ODE，然后做稳态分析得到一条单调递减的 \(F(T)\) 曲线与一条斜率 \(\mu/K\) 的直线——这是个非常经济的负反馈示意图，把"产物抑制自身生成"的几何图景压缩到一张二维图里。(b) lac 操纵子的双稳态被画成"\(L_e\) 对 \(A\)"的参数曲线，单变量稳态图上可同时看到三段稳态与两个极限点，遗传开关的几何本质被一次性呈现；on/off 切换点分离的滞后回线被作者解释为"避免快速循环 + 抗噪声"，这是我以前没在遗传开关语境下见过的功能性解读。(c) 昼夜节律部分给出了三类模型：Goodwin 抽象酶链（要求 \(n \geq 3\)、\(p > 8\)）、Goldbeter 五变量磷酸化链、Tyson 两变量（用准平衡假设把二聚化消元）——三种复杂度逐步递减但都共享"负反馈 + 延迟"这一本质。(d) Tyson et al. 模型中用 Hill 系数 4 表示 PER 二聚体对自身 mRNA 的强抑制，这其实是 Goodwin 1965 年 "Hill 系数要够大才能产生振荡" 的具体生化实现。(e) 在裂殖酵母模型中，"Start 是快速正反馈 + Finish 是较慢负反馈"这一结构性观点被作者拿来与第 5 章 H–H 动作电位、第 7 章 IP₃ 受体并列——这种把不同生理系统的开关式行为统一到同一"快正 + 慢负"模板的做法很启发我。(f) 通用模型与裂殖酵母模型的关键差异是 Start 处 MPF 的增加是爆发性还是缓慢性——作者以此为例说明"不同细胞类型有不同方式控制细胞周期，没有单一普适机制"，这与第 9 章 Rinzel type I/II/III bursting 分类的多样性是同一种态度。
存疑 / 待思考：(1) Goodwin 1965 模型要求 \(n \geq 3\)、\(p > 8\)，作者说"已知可以"就过了，没有给出线性稳定性分析——习题 3 可能涉及，但作为"建立完整理解"我可能要找原始文献中 Griffith 的分析补全。(2) trp 模型中稳态 \(F(T)\) 与 \(\mu T/K\) 直线只有一个交点的论证作者只说"单调递减 + 凸性"暗示，但没显式证明 \(F\) 的形状——这是一个可补的细节。(3) 通用细胞周期模型中 \(m\)（细胞质量）作为参数而非动力学变量被显式处理为"调控 CycB 生成速率"——作者承认这"机制不明"，而只在 §10.3.2 裂殖酵母模型中才显式把 \(m\) 的指数增长加入方程。这里有一个建模取舍问题：何时把"待解释的物理量"升格为状态变量、何时把它降格为参数？(4) 爪蟾模型中四磷酸化态用四方程显式追踪，再在简化假设下消为三变量再消为两变量——这种"先全写再降维"的工作流在数学建模中常见但极少有教材把它显式呈现，Keener 这里做得很到位。(5) §10.3.3 末尾给 \(k_{wee}\) 增加 → \(m\) 零线上移 → G2 检查点出现的论断没给完整相平面分析，只是指向图 10.17——习题与练习可能要花时间做一下。
与上下章的衔接（一段话）
第 10 章处在 Keener《Mathematical Physiology》第二册"细胞与系统"部分由"细胞内生化调控"过渡到"细胞周期与组织"的中段。前承第 1 章（生化反应动力学、Hill 函数、Michaelis–Menten 速率、Goldbeter–Koshland 开关）、第 5 章（H–H 动作电位的开关式行为作为"快正 + 慢负"模板的早期实例）、第 7 章（IP₃ 受体模型、细胞内 Ca²⁺ 缓冲、ER Ca²⁺ 释放与缓慢振荡），把这些工具统一到"细胞如何决定生产哪些蛋白、何时分裂"这一具体生物语境下：trp / lac 操纵子提供了细菌层面的基因调控示例，昼夜节律钟展示了真核细胞中"负反馈 + 延迟"如何产生约 24 小时的周期，细胞周期模型则把同一思路推向更复杂的真核调控网络。后接第 11 章（循环系统）开始的"组织与系统"层次——细胞周期调控的失败即癌症这一话题会被 Keener 隐含地连接回个体生理；第 10 章末的"把文字描述转化为数学模型"这一总结性观点也是后面所有章节（血流、心脏电生理、内分泌等）共用的工作流。Exercises 涉及酶的协同自激活、双稳态、Goodwin 振荡器线性化、Chay–Keizer 复习、滞后回线、参数扫描、Goldbeter 简化模型等，留作读者把本章的"开关 + 振荡"框架再练一遍。