第十章：细胞功能的调控

书籍信息：Keener & Sneyd，《数学生理学》（I：细胞生理学），Springer 2009

章节概要：本章探讨细胞功能的三个核心调控机制：基因表达调控（以trp操纵子和lac操纵子为例）、昼夜节律时钟、以及细胞周期。这些系统均通过负反馈回路与延迟实现振荡行为，体现了生命活动中普遍存在的动力学调控原理。

一、基因表达调控概述

细胞中RNA分子是核苷酸的单链结构，与DNA的区别在于其骨架中的糖是核糖，且以碱基U替代了T。细胞中RNA的含量通常是DNA的2至8倍。RNA有三种主要类型：信使RNA（mRNA）携带蛋白质合成代码；转运RNA（tRNA）作为载体将氨基酸整合到正在生成的蛋白质分子中；核糖体RNA（rRNA）约占核糖体的60%，是蛋白质合成的场所。

细胞核中的两个主要过程是DNA复制和RNA产生。RNA通过转录过程形成：RNA聚合酶识别DNA上的启动子区域，解开局部碱基对，合成与DNA链互补的RNA序列。蛋白质合成需要三种RNA协同工作：mRNA在细胞质中被核糖体"读取"，特定的tRNA携带对应氨基酸与之结合，氨基酸释放后连接到正在形成的肽链上。

在原核生物中，酶的合成通常由DNA链上串联排列的一系列基因控制。这些基因组成操纵子（operon），其中每个基因称为结构基因。操纵子起始处是启动子序列，对RNA聚合酶有特异亲和力。启动子区域中还有抑制子 operator，调节抑制蛋白可在此结合，阻止RNA聚合酶附着从而阻断转录。抑制蛋白通常存在两种变构形式：一种能与抑制子operator结合并抑制转录，另一种则不能。使抑制蛋白脱离operator的物质称为激活子或诱导物。

这一操纵子概念最初由Jacob等人于1960年提出，随后Goodwin（1965）、Griffith（1968）等人进行了数学研究。核心问题是理解基因如何被复杂网络调控，以及基因表达如何响应机体需求或环境变化。

二、色氨酸操纵子（trp Repressor）

色氨酸是人类必需的氨基酸，不能自行合成，必须从饮食中获取。它是血清素（神经递质）、褪黑素（激素）和烟酸的前体。色氨酸代谢异常可能导致精神分裂症，因为异常代谢会在大脑中产生有毒废物，引起幻觉和妄想。幸运的是，细菌（如大肠杆菌）能够合成色氨酸，trp操纵子正是这一调控机制的典型例子。

trp操纵子由调控区和编码区组成，编码区包含五个结构基因，编码将分支酸转化为色氨酸所需的三种酶。trp操纵子的表达受Trp抑制蛋白调控，该蛋白由trpR基因编码。与lac操纵子不同，trpR操纵子独立于trp操纵子，位于DNA上距trp操纵子一定距离的位置。TrpR蛋白只有在与两个色氨酸分子结合激活后才能与operator结合。

这是一种负反馈回路：当细胞内色氨酸水平较低时，色氨酸的产量保持高水平；然而一旦色氨酸水平升高，TrpR蛋白被激活，抑制操纵子的进一步转录，从而减少三种酶的合成，进而减少色氨酸本身的产生。

2.1 trp操纵子的简化数学模型

设操纵子有三种状态：自由状态（$O_f$）、被抑制蛋白结合状态（$O_R$）、或被聚合酶结合状态（$O_P$），设$o_j$（$j = f, R, P$）为操纵子处于状态$j$的概率。mRNA（M）仅在聚合酶结合时产生，因此：

\[\frac{dM}{dt} = k_m o_P - k_{-m} M \qquad(10.1)\]

操纵子状态概率的微分方程为：

\[\frac{do_P}{dt} = k_{on} o_f - k_{off} o_P, \quad \frac{do_R}{dt} = k_r R^* o_f - k_{-r} o_R \qquad(10.2)\]

其中$o_P + o_f + o_R = 1$，$R^*$表示激活的抑制蛋白。抑制蛋白的激活需要与两个色氨酸分子（T）结合：

\[\frac{dR^*}{dt} = k_t T^2 (1 - R^*) - k_{-t} R^* \qquad(10.3)\]

（已归一化使$R + R^* = 1$）

酶（E，即邻氨基苯甲酸合酶）的产生和降解：

\[\frac{dE}{dt} = k_e M - k_{-e} E \qquad(10.4)\]

色氨酸的产生与酶量成正比：

\[\frac{dT}{dt} = K_E - \mu T - 2\frac{dR^*}{dt} \qquad(10.5)\]

其中$\mu$是色氨酸利用和降解的速率。右侧的因子2是因为激活抑制蛋白需要两个色氨酸分子。

2.2 稳态分析

稳态满足的代数方程为：

\[F(T) \equiv \frac{k_e k_m k_{on} / (k_{-e} k_{-m} k_{off})}{1 + \frac{k_{on}}{k_{off}} + \frac{k_r R^*(T)}{k_{-r}}} = \frac{\mu}{K}T \qquad(10.6)\]

其中：

\[R^*(T) = \frac{k_t T^2}{k_{-t} + k_t T^2} \qquad(10.7)\]

函数$F(T)$是色氨酸产量的稳态速率，是一个关于$T$的正向单调递减函数。该方程右侧是一条斜率为$\mu/K$的直线，因此存在唯一正交点。当色氨酸利用率$\mu/K$增加时，T的稳态水平降低，所需的产量$F(T)$增加，这是负反馈控制的典型特征。

三、乳糖操纵子（lac Operon）

当葡萄糖丰富时，大肠杆菌只以葡萄糖为食源，即使其他糖类存在也是如此。然而当葡萄糖缺乏时，大肠杆菌能够利用其他糖类如乳糖，这一过程需要细菌表达不同的基因。Jacob、Monod及其同事首先提出了这一机制的理论，现在称为遗传开关。

lac操纵子包含三个结构基因（lacZ、lacY、lacA）和两个主要控制位点。三个基因编码乳糖代谢所需的三种蛋白：β-半乳糖苷酶、乳糖渗透酶和β-硫代半乳糖苷乙酰转移酶。渗透酶使乳糖进入细菌；β-半乳糖苷酶将乳糖异构化为异乳糖，并将乳糖分解为葡萄糖和半乳糖。

操纵子的开关状态取决于两个控制位点：抑制子和激活子。如果抑制子结合到抑制子结合位点，RNA聚合酶无法与操纵子结合启动转录。在lac操纵子启动子区域前有另一个区域称为CAP位点，可被二聚体分子CAP（分解代谢激活蛋白）结合。CAP本身对转录没有影响，但当CAP与环AMP（cAMP）结合后，该复合物可以结合到CAP位点，促进RNA聚合酶与启动子区域的结合。

3.1 反馈机制

乳糖操纵子通过两种反馈机制调控：

正反馈：异乳糖在缺乏时与操纵子结合的抑制子蛋白结合，阻止其与抑制子位点结合。这允许操纵子被激活，进一步产生异乳糖（通过β-半乳糖苷酶作用），并增加乳糖进入（通过乳糖渗透酶）。由此形成正反馈回路。

负反馈：CAP蛋白由cAMP与cAMP受体蛋白结合形成。当细胞内cAMP量大时，CAP浓度高，CAP结合到操纵子的CAP结合位点，允许转录。当cAMP浓度低时，情况相反，操纵子关闭。细胞外葡萄糖减少导致细胞内cAMP浓度增加，从而激活CAP和随后的操纵子激活。细胞外葡萄糖增加则关闭操纵子。

总结：操纵子仅当细胞内存在乳糖且细胞外没有葡萄糖时才开启。

3.2 lac操纵子的数学模型

设$A$表示异乳糖浓度，$L$表示乳糖浓度，$P$表示渗透酶浓度，$B$表示β-半乳糖苷酶浓度，$M$表示mRNA浓度，$R$表示抑制子浓度。抑制子（通常是其激活状态$R^*$）与两个异乳糖分子反应而失活：

\[R^* + 2A \underset{k_{-a}}{\overset{k_a}{\rightleftharpoons}} R \qquad(10.8)\]

操纵子可处于两种状态之一：与（激活）抑制子结合而失活（$O_R$），或与聚合酶结合而正在产生mRNA（$O_P$）：

\[O_P + R^* \underset{k_{-r}}{\overset{k_r}{\rightleftharpoons}} O_R \qquad(10.9)\]

概率满足：

\[\frac{do_P}{dt} = k_{-r}(1 - o_P) - k_r R^* o_P \qquad(10.10)\]

因为$o_P + o_R = 1$，且抑制子结合操纵子时基本不被消耗，抑制子浓度由下式决定：

\[\frac{dR^*}{dt} = k_{-a}R - k_a A^2 R^* \qquad(10.11)\]

其中$R + R^* = R_t$。

假设各反应处于稳态：

\[R = K_a R^* A^2 \qquad(10.12)$$ $$o_R = K_r R^* o_P \qquad(10.13)\]

其中$K_i = k_i/k_{-i}$（$i = a, r$）。因此：

\[R_t = R + R^* = R^*(1 + K_a A^2) \qquad(10.14)$$ $$o_P = \frac{1}{1 + K_r R^*} = \frac{1 + K_a A^2}{1 + K_r R_t + K_a A^2} = \frac{1 + K_a A^2}{K + K_a A^2} \qquad(10.15)\]

其中$K = 1 + K_r R_t > 1$。

mRNA产生的微分方程：

\[\frac{dM}{dt} = \alpha_M o_P - \gamma_M M = \alpha_M \frac{1 + K_a A^2}{K + K_a A^2} - \gamma_M M \qquad(10.16)\]

渗透酶和β-半乳糖苷酶的浓度由下式决定：

\[\frac{dP}{dt} = \alpha_P M - \gamma_P P \qquad(10.17)$$ $$\frac{dB}{dt} = \alpha_B M - \gamma_B B \qquad(10.18)\]

乳糖转运和转化的动力学：

\[\frac{dL}{dt} = \alpha_L P \frac{L_e}{K_{L_e} + L_e} - \alpha_A B \frac{L}{K_L + L} - \gamma_L L \qquad(10.19)$$ $$\frac{dA}{dt} = \alpha_A B \frac{L}{K_L + L} - \beta_A B \frac{A}{K_A + A} - \gamma_A A \qquad(10.20)\]

3.3 模型参数与稳态分析

lac操纵子模型参数如下表所示：

参数	值	参数	值
$\alpha_A = 1.76 \times 10^4 \, \text{min}^{-1}$	$\gamma_A = 0.52 \, \text{min}^{-1}$
$\alpha_B = 1.66 \times 10^{-2} \, \text{min}^{-1}$	$\gamma_B = 2.26 \times 10^{-2} \, \text{min}^{-1}$
$\alpha_P = 10 \, \text{min}^{-1}$	$\gamma_P = 0.65 \, \text{min}^{-1}$
$\alpha_M = 9.97 \times 10^{-4} \, \text{mM/min}$	$\gamma_M = 0.41 \, \text{min}^{-1}$
$\alpha_L = 2880 \, \text{min}^{-1}$	$\gamma_L = 2.26 \times 10^{-2} \, \text{min}^{-1}$
$\beta_A = 2.15 \times 10^4 \, \text{min}^{-1}$	$\beta_L = 2.65 \times 10^3 \, \text{min}^{-1}$
$K = 6000$	$K_a = 2.52 \times 10^4 \, (\text{mM})^{-2}$
$K_A = 1.95 \, \text{mM}$	$K_L = 9.7 \times 10^{-7} \, \text{mM}$
$K_{L1} = 1.81 \, \text{mM}$	$K_{L_e} = 0.26 \, \text{mM}$

稳态行为的重要特征：

当外部乳糖浓度$Le$较低时，只有一个稳态，异乳糖浓度$A$较低；在$Le$的中间范围内存在两个稳定稳态：高$A$对应乳糖利用状态，低$A$对应可忽略的乳糖利用状态；当$Le$较大时，再次只有一个稳定稳态对应乳糖利用状态。因此，当$Le$超过临界值（约0.03 mM）时，稳态从低利用状态切换到高利用状态。这种对逐渐增加的$Le$的不连续响应是遗传开关的特征，由模型中的双稳态产生。

开启和关闭乳糖利用的阈值不同，这是滞环开关的重要特征，防止了快速循环。

四、昼夜节律时钟（Circadian Clocks）

许多生物具有周期约24小时的振荡器，因此称为"昼夜节律"（circadian，来自拉丁语circa = 大约，dies = 一天）。人类具有这样的时钟在每年切换夏令时或冬令时以及跨时区飞行时表现明显，即"时差反应"。

在1980年代发现影响24小时周期的第一批基因之前，对这些节律的研究集中在通用自主振荡器的特性上，最典型的是van der Pol振荡器及其对外部刺激的响应。1980年代发现了首批影响24小时周期的基因：果蝇的per（period）基因和真菌Neurospora的frq（frequency）基因。

昼夜节律在许多生物中被发现，包括蓝藻、真菌、植物、无脊椎动物和脊椎动物，但尚未在古细菌中发现。无论在何处发现，它们都使用生化回路，这些回路在单个细胞内自我封闭（无需细胞间相互作用）。振荡机制总是相同的：存在激活时钟基因的正向元件，产生时钟蛋白，这些蛋白以某种方式阻断正向元件的活性。因此，昼夜节律时钟都由具有延迟的负反馈回路组成。

4.1 Goodwin振荡器

早在了解时钟细节之前，就已认识到具有足够延迟的负反馈回路可以产生振荡行为。Goodwin（1965）的第一个此类模型旨在模拟细菌中的周期性酶合成，假设存在酶$X_1, X_2, ..., X_n$使得$X_n$对$X_1$的产生有抑制作用。Goodwin振荡器的模型方程为：

\[\frac{dX_1}{dt} = \frac{\nu_0}{1 + (X_n/K_m)^p} - k_1 X_1 \qquad(10.21)$$ $$\frac{dX_i}{dt} = \nu_{i-1} X_{i-1} - k_i X_i, \quad i = 2, \ldots, n \qquad(10.22)\]

振荡仅在$n \geq 3$时发生，且当$n = 3$时需$p > 8$。

4.2 Goldbeter昼夜节律模型

Goldbeter（1995）的一个模型与Goodwin的酶振荡器结构相似。PER蛋白$P_0$被（可逆地）磷酸化为$P_1$然后$P_2$：

\[P_0 \underset{}{\overset{}{\rightleftharpoons}} P_1 \underset{}{\overset{}{\rightleftharpoons}} P_2 \qquad(10.23)\]

磷酸化的蛋白$P_2$被转运到细胞核中（$P_N$），抑制per mRNA（M）的产生，闭合负反馈回路。

Goldbeter模型的方程：

\[\frac{dM}{dt} = \frac{\nu_s}{1 + (P_N/K_I)^4} - \frac{\nu_m M}{K_{M1} + M} \qquad(10.24)$$ $$\frac{dP_0}{dt} = k_s M - \frac{V_1 P_0}{K_1 + P_0} + \frac{V_2 P_1}{K_2 + P_1} \qquad(10.25)$$ $$\frac{dP_1}{dt} = \frac{V_1 P_0}{K_1 + P_0} - \frac{V_2 P_1}{K_2 + P_1} - \frac{V_3 P_1}{K_3 + P_1} + \frac{V_4 P_2}{K_4 + P_2} \qquad(10.26)$$ $$\frac{dP_2}{dt} = \frac{V_3 P_1}{K_3 + P_1} - \frac{V_4 P_2}{K_4 + P_2} - k_1 P_2 + k_2 P_N - \frac{\nu_d P_2}{K_d + P_2} \qquad(10.27)$$ $$\frac{dP_N}{dt} = k_1 P_2 - k_2 P_N \qquad(10.28)\]

4.3 Tyson等人的双变量模型

Tyson等人（1999）的模型假设单体（$P_1$）和二聚体（$P_2$）都与DBT结合，但$P_1$被磷酸化的速度更快（即$k_{p1} \gg k_{p2}$），且DBT催化的反应是饱和反应，二聚体是单体磷酸化的竞争性抑制剂。方程为：

\[\frac{dM}{dt} = \frac{\nu_m}{1 + (P_2/P_{crit})^2} - k_m M \qquad(10.29)$$ $$\frac{dP_1}{dt} = \nu_p M - \frac{k_{p1} P_1}{J_p + P_1 + rP_2} - k_{p3} P_1 - 2k_a P_1^2 + 2k_d P_2 \qquad(10.30)$$ $$\frac{dP_2}{dt} = k_a P_1^2 - k_d P_2 - \frac{k_{p2} P_2}{J_p + P_1 + rP_2} - k_{p3} P_2 \qquad(10.31)\]

由于二聚化反应很快（$k_a$和$k_d$相对于其他速率常数都很大），$P_1$和$P_2$处于准平衡。设$P = P_1 + 2P_2$为PER蛋白总量，由于$k_a^2 P_1^2 - k_d P_2 = 0$（近似）：

\[P_1 = qP, \quad P_2 = \frac{1}{2}(1 - q)P, \quad q = \frac{\sqrt{1 + 8K_{eq}P} - 1}{4K_{eq}P} \qquad(10.32)\]

结合（10.30）和（10.31）得到关于P的方程：

\[\frac{dP}{dt} = \nu_p M - \frac{k_{p1}Pq + k_{p2}P}{J_p + P} - k_{p3}P \qquad(10.33)\]

4.4 昼夜节律时钟基因总结

不同生物的昼夜节律时钟基因如下表所示：

系统	激活因子	抑制因子
蓝藻	kaiA	kaiC
Neurospora	wc-1/wc-2	frq
果蝇	Clk/cyc	per, tim
小鼠	Clock/bmal1	per1,2,3 和 cry1,2

五、细胞周期概述（The Cell Cycle）

细胞分裂周期是细胞复制其内容物然后分裂为两个细胞的过程。成年人每秒需要产生数百万个新细胞以维持稳态。如果所有细胞分裂停止，个体将在几天内死亡。另一方面，异常快速的细胞增殖（癌症）也可能致命。

5.1 细胞周期的四个阶段

细胞周期传统上分为四个不同阶段：M期（ mitosis，有丝分裂）、G1期（gap）、S期（synthesis，DNA合成）、G2期。M期是最戏剧性的阶段，其特征是先前复制的核物质分离、核分裂，最后是实际的细胞分裂（胞质分裂）。M期通常只持续约一小时。M期之间的时间称为间期。在某些细胞（如哺乳动物肝细胞）中，整个细胞周期可能超过一年。间期分裂后是G1期，此期间发生细胞生长。当细胞足够大时，细胞核中开始DNA复制并持续至S期。S期之后是G2期，为进入M期做准备。

5.2 检查点与限制

大多数细胞通过"检查点"以断续的方式进行分裂，在进入下一阶段前暂停以确保一切就绪。G1检查点常称为Start，因为此时细胞决定是否准备好进入S期和DNA复制。然而，在早期胚胎发生中，检查点不运作，细胞尽可能快速地分裂，由底层极限环振荡驱动。

5.3 关键蛋白质

细胞周期调控系统的核心是两类蛋白质：细胞周期蛋白依赖性激酶（Cdk）通过磷酸化选定的蛋白质诱导多种下游事件；细胞周期蛋白（cyclin）与Cdk分子结合并控制其磷酸化目标蛋白的能力，没有细胞周期蛋白时Cdk是无活性的。

Leland Hartwell和Paul Nurse因在1970年代的工作于2001年获诺贝尔生理学或医学奖，他们的工作表明细胞周期蛋白依赖性激酶Cdc2（裂殖酵母）、Cdc28（芽殖酵母）和Cdk1（哺乳动物细胞）控制细胞周期。细胞周期蛋白于1982年被Tim Hunt发现，他与Hartwell和Nurse共享诺贝尔奖。

六、细胞周期的通用模型与分叉酵母模型

6.1 通用双变量模型的基本双稳态

细胞周期可被视为G1和S-G2-M两种状态之间的交替（Nasmyth，1995，1996）。这两种状态之间的转换由Cdk-细胞周期蛋白复合物的浓度控制。

关键机制：Cdk-细胞周期蛋白与APC-Cdh1之间的相互拮抗作用。APC-Cdh1通过降解细胞周期蛋白抑制Cdk活性，而Cdk-细胞周期蛋白通过磷酸化Cdh1抑制APC-Cdh1活性。由于这种相互拮抗，细胞可以处于低Cdk-细胞周期蛋白活性和高APC-Cdh1活性的状态（G1），或高Cdk-细胞周期蛋白活性和低APC-Cdh1活性的状态（S-G2-M）。

设$x_1 = [\text{CycB}]$，$x_2 = [\text{Cdh1}]$，通用模型为：

\[\frac{d[\text{CycB}]}{dt} = k_1 m - (k_2 + k_2' [\text{Cdh1}])[\text{CycB}] \qquad(10.34)$$ $$\frac{d[\text{Cdh1}]}{dt} = \frac{(k_3 + k_3' A)(1 - [\text{Cdh1}])}{J_3 + 1 - [\text{Cdh1}]} - \frac{k_4 [\text{CycB}][\text{Cdh1}]}{J_4 + [\text{Cdh1}]} \qquad(10.35)\]

稳态为：

\[x_1 = \frac{k_1 m}{k_2 + k_2' x_2} \qquad(10.36)\]

以及

\[\frac{J_3 + 1 - x_2}{1 - x_2} \cdot \frac{x_2}{J_4 + x_2} = \frac{k_3 + k_3' A}{k_4} \cdot \frac{k_1}{k_2 + k_2' x_2} = p \qquad(10.37)\]

其中$p = \frac{k_3 + k_3' A}{k_4 m}$。

6.2 六变量模型

为模拟APC激活的完整动力学，引入更多变量：总Cdc20浓度（$[Cdc20]_T$）、活性Cdc20浓度（$[Cdc20]$）、磷酸化中间酶（IEP）。方程为：

\[\frac{d[\text{Cdc20}_T]}{dt} = k_5 + k_5' \frac{[\text{CycB}]^n}{J_5 + [\text{CycB}]^n} - k_6 [\text{Cdc20}_T] \qquad(10.39)$$ $$\frac{d[\text{Cdc20}]}{dt} = \frac{k_7 [\text{IEP}]([\text{Cdc20}_T] - [\text{Cdc20}])}{J_7 + ([\text{Cdc20}_T] - [\text{Cdc20}])} - \frac{k_8 [\text{Cdc20}]}{J_8 + [\text{Cdc20}]} - k_6 [\text{Cdc20}] \qquad(10.40)$$ $$\frac{d[\text{IEP}]}{dt} = k_9 m[\text{CycB}](1 - [\text{IEP}]) - k_{10} [\text{IEP}] \qquad(10.41)\]

细胞质量指数增长：

\[\frac{dm}{dt} = \mu m \qquad(10.42)\]

6.3 裂殖酵母细胞周期模型

在裂殖酵母中，Cdk称为Cdc2，B型细胞周期蛋白称为Cdc13。Cdc2:Cdc13复合物称为促成熟因子（MPF）。

MPF的主要调控机制： - MPF由Cdc13与过量Cdc2结合形成 - 主要降解途径由APC激活，APC的辅助成分在裂殖酵母中称为Ste9和Slp1 - MPF可通过Wee1激酶磷酸化而失活形成preMPF；preMPF可被Cdc25酪氨酸磷酸酶去磷酸化变回MPF - MPF可与Rum1结合形成失活的三聚体

6.4 裂殖酵母模型方程

模型变量包括$[Cdc13_T]$、$[preMPF]$、$[Ste9]$、$[Slp1_T]$、$[Slp1]$、$[IEP]$、$[Rum1_T]$、$[SK]$、$[TF]$，以及细胞质量$m$。

关键方程：

\[\frac{d[\text{Cdc13}_T]}{dt} = k_1 m - (k_2 + k_2' [\text{Ste9}] + k_2'' [\text{Slp1}])[\text{Cdc13}] \qquad(10.57)$$ $$\frac{d[\text{preMPF}]}{dt} = k_{wee}([\text{Cdc13}_T] - [\text{preMPF}]) - k_{25} [\text{preMPF}] - (k_2 + k_2' [\text{Ste9}] + k_2'' [\text{Slp1}])[\text{preMPF}] \qquad(10.58)\]

三聚体浓度由二次方程决定：

\[[\text{Trimer}] = \frac{\Delta - \sqrt{\Delta^2 - 4[\text{Rum1}_T][\text{Cdc13}_T]}}{2} \qquad(10.65)\]

其中$\Delta = [\text{Cdc13}_T] + [\text{Rum1}_T] + K_d$。

MPF浓度：

\[[\text{MPF}] = [\text{Cdc13}_T] - [\text{Trimer}] - \frac{[\text{preMPF}]K_d}{K_d + [\text{Rum1}_T] - [\text{Trimer}]} \qquad(10.67)\]

Wee1和Cdc25的速率常数是MPF的Goldbeter-Koshland函数：

\[k_{wee} = k_{wee}^0 + (k_{wee}^1 - k_{wee}^0)G(V_{aw}, V_{iw}[\text{MPF}], J_{aw}, J_{iw}) \qquad(10.68)$$ $$k_{25} = k_{25}^0 + (k_{25}^1 - k_{25}^0)G(V_{a25}[\text{MPF}], V_{i25}, J_{a25}, J_{i25}) \qquad(10.69)\]

转录因子浓度：

\[[\text{TF}] = G(k_{15}m, k_{16}^0 + k_{16}^1[\text{MPF}], J_{15}, J_{16}) \qquad(10.70)\]

6.5wee1-突变体

wee1-突变体中Wee1被敲除，MPF的Wee1失活被阻止或大大减少。这允许MPF在较低质量的$m$值时爆发性增加，因此细胞在比野生型小得多的时候进入有丝分裂。由于细胞周期发生在较小的细胞尺寸下，G1期延长，wee1-细胞在分裂时约为野生型细胞的一半大小。

七、爪蟾卵母细胞中的极限环振荡器

7.1 背景

早期胚胎分裂受细胞质生化极限环振荡器控制。例如，如果受精的爪蟾卵被去核，它们继续表现出周期性收缩，仿佛细胞质在没有细胞核的情况下继续产生信号。非洲爪蟾第一次受精后细胞周期约为一小时，随后是11个更快的周期（约30分钟），期间细胞质量减少。

7.2 MPF调控机制

在受精爪蟾卵中，细胞分裂发生在没有细胞生长的情况下，因此G1检查点被移除。关键的MPF是Cdc2和有丝分裂周期蛋白B的二聚体。Cdc2-周期蛋白B二聚体（MPF）的活性也受两个位点的磷酸化调控：酪氨酸-15和苏氨酸-167。MPF在仅在苏氨酸-167磷酸化时是有活性的。其他三种磷酸化状态都是无活性的。

7.3 Novak-Tyson九变量模型

Novak和Tyson（1993）的模型方程：

细胞周期蛋白（y）的产生：

\[\frac{dy}{dt} = k_1[A] - k_2 y - k_3 Yc \qquad(10.72)\]

MPF二聚体的四种磷酸化状态（r、s、m、n）之间的转换：

\[\frac{dr}{dt} = -(k_2 + k_{CAK} + k_{wee})r + k_3 yc + k_? n + k_{25} s \qquad(10.73)$$ $$\frac{ds}{dt} = -(k_2 + k_{CAK} + k_{25})s + k_? n + k_{wee} r \qquad(10.74)$$ $$\frac{dm}{dt} = -(k_2 + k_? + k_{wee})m + k_{CAK} r + k_{25} n \qquad(10.75)$$ $$\frac{dn}{dt} = -(k_2 + k_? + k_{25})n + k_{wee} m + k_{CAK} s \qquad(10.76)\]

游离Cdc2浓度：

\[\frac{dc}{dt} = k_2(r + s + n + m) - k_3 cy \qquad(10.77)\]

酶活性受MPF反馈调控：

\[k_{25} = V_{25}^0[\text{Cdc25}] + V_{25}^1[\text{Cdc25}_P] \qquad(10.78)$$ $$k_{wee} = V_{wee}^0[\text{Wee1}_P] + V_{wee}^1[\text{Wee1}] \qquad(10.79)$$ $$k_2 = V_2^0[\text{UbE}] + V_2^1[\text{UbE}^*] \qquad(10.80)\]

磷酸化酶的Michaelis-Menten速率方程：

\[\frac{d[\text{Cdc25}_P]}{dt} = \frac{k_a m[\text{Cdc25}]}{K_a + [\text{Cdc25}]} - \frac{k_b [\text{PPase}][\text{Cdc25}_P]}{K_b + [\text{Cdc25}_P]} \qquad(10.81)$$ $$\frac{d[\text{Wee1}_P]}{dt} = \frac{k_e m[\text{Wee1}]}{K_e + [\text{Wee1}]} - \frac{k_f [\text{PPase}][\text{Wee1}_P]}{K_f + [\text{Wee1}_P]} \qquad(10.82)$$ $$\frac{d[\text{IE}_P]}{dt} = \frac{k_g m[\text{IE}]}{K_g + [\text{IE}]} - \frac{k_h [\text{PPase}][\text{IE}_P]}{K_h + [\text{IE}_P]} \qquad(10.83)$$ $$\frac{d[\text{UbE}^*]}{dt} = \frac{k_c [\text{IE}_P][\text{UbE}]}{K_c + [\text{UbE}]} - \frac{k_d [\text{IE}_{anti}][\text{UbE}^*]}{K_d + [\text{UbE}^*]} \qquad(10.84)\]

八、公式汇总表

编号	公式名称	公式	用途
(10.1)	mRNA产生	$\frac{dM}{dt} = k_m o_P - k_{-m} M$	trp操纵子模型
(10.2)	操纵子状态	$\frac{do_P}{dt} = k_{on} o_f - k_{off} o_P, \quad \frac{do_R}{dt} = k_r R^* o_f - k_{-r} o_R$	trp操纵子模型
(10.3)	抑制蛋白激活	$\frac{dR^}{dt} = k_t T^2 (1 - R^) - k_{-t} R^*$	trp操纵子模型
(10.6)	稳态方程	$F(T) = \frac{\mu}{K}T$	trp操纵子稳态分析
(10.10)	操纵子概率	$\frac{do_P}{dt} = k_{-r}(1 - o_P) - k_r R^* o_P$	lac操纵子模型
(10.16)	mRNA产生	$\frac{dM}{dt} = \alpha_M \frac{1 + K_a A^2}{K + K_a A^2} - \gamma_M M$	lac操纵子模型
(10.21)	Goodwin振荡器	$\frac{dX_1}{dt} = \frac{\nu_0}{1 + (X_n/K_m)^p} - k_1 X_1$	昼夜节律基础
(10.24)	Goldbeter mRNA	$\frac{dM}{dt} = \frac{\nu_s}{1 + (P_N/K_I)^4} - \frac{\nu_m M}{K_{M1} + M}$	昼夜节律模型
(10.29)	Tyson mRNA	$\frac{dM}{dt} = \frac{\nu_m}{1 + (P_2/P_{crit})^2} - k_m M$	双变量昼夜节律
(10.34)	CycB动力学	$\frac{d[\text{CycB}]}{dt} = k_1 m - (k_2 + k_2' [\text{Cdh1}])[\text{CycB}]$	细胞周期通用模型
(10.35)	Cdh1动力学	$\frac{d[\text{Cdh1}]}{dt} = \frac{(k_3 + k_3' A)(1 - [\text{Cdh1}])}{J_3 + 1 - [\text{Cdh1}]} - \frac{k_4 [\text{CycB}][\text{Cdh1}]}{J_4 + [\text{Cdh1}]}$	细胞周期通用模型
(10.39)	Cdc20总浓度	$\frac{d[\text{Cdc20}_T]}{dt} = k_5 + k_5' \frac{[\text{CycB}]^n}{J_5 + [\text{CycB}]^n} - k_6 [\text{Cdc20}_T]$	六变量细胞周期模型
(10.42)	细胞质量生长	$\frac{dm}{dt} = \mu m$	细胞质量动力学
(10.57)	Cdc13总量	$\frac{d[\text{Cdc13}_T]}{dt} = k_1 m - (k_2 + k_2' [\text{Ste9}] + k_2'' [\text{Slp1}])[\text{Cdc13}]$	裂殖酵母模型
(10.65)	三聚体浓度	$[\text{Trimer}] = \frac{\Delta - \sqrt{\Delta^2 - 4[\text{Rum1}_T][\text{Cdc13}_T]}}{2}$	裂殖酵母模型
(10.67)	MPF浓度	$[\text{MPF}] = [\text{Cdc13}_T] - [\text{Trimer}] - \frac{[\text{preMPF}]K_d}{K_d + [\text{Rum1}_T] - [\text{Trimer}]}$	裂殖酵母模型
(10.72)	细胞周期蛋白	$\frac{dy}{dt} = k_1[A] - k_2 y - k_3 Yc$	爪蟾模型
(10.73)-(10.76)	MPF磷酸化状态	四方程描述r,s,m,n四种状态	爪蟾MPF模型

本章小结

本章系统介绍了三个重要的细胞功能调控系统：

基因表达调控：trp操纵子通过负反馈调节色氨酸合成；lac操纵子通过双稳态开关机制响应乳糖和葡萄糖环境。这两个例子展示了基因如何被复杂网络调控以响应机体需求。
昼夜节律时钟：所有昼夜节律时钟都由具有延迟的负反馈回路组成。Goodwin振荡器揭示了$n \geq 3$的抑制级联可以产生振荡；Goldbeter和Tyson等模型进一步揭示了磷酸化修饰在时钟机制中的关键作用。
细胞周期：Cdk-细胞周期蛋白复合物与APC-Cdh1之间的相互拮抗产生了双稳态切换。细胞周期被视为在两条稳态分支之间的滞环回路。不同生物（裂殖酵母、爪蟾）使用相似的调控逻辑但具体的蛋白质和动力学参数有所不同。

这三个系统共同体现了生命活动中反馈控制的核心原理：负反馈维持稳态，正反馈和双稳态产生开关行为，时滞和级联产生振荡。数学生理学通过精确的模型建立和分叉分析，揭示了这些复杂生物系统的动力学本质。

参数	值	参数	值
\(\alpha_A = 1.76 \times 10^4 \, \text{min}^{-1}\)	\(\gamma_A = 0.52 \, \text{min}^{-1}\)
\(\alpha_B = 1.66 \times 10^{-2} \, \text{min}^{-1}\)	\(\gamma_B = 2.26 \times 10^{-2} \, \text{min}^{-1}\)
\(\alpha_P = 10 \, \text{min}^{-1}\)	\(\gamma_P = 0.65 \, \text{min}^{-1}\)
\(\alpha_M = 9.97 \times 10^{-4} \, \text{mM/min}\)	\(\gamma_M = 0.41 \, \text{min}^{-1}\)
\(\alpha_L = 2880 \, \text{min}^{-1}\)	\(\gamma_L = 2.26 \times 10^{-2} \, \text{min}^{-1}\)
\(\beta_A = 2.15 \times 10^4 \, \text{min}^{-1}\)	\(\beta_L = 2.65 \times 10^3 \, \text{min}^{-1}\)
\(K = 6000\)	\(K_a = 2.52 \times 10^4 \, (\text{mM})^{-2}\)
\(K_A = 1.95 \, \text{mM}\)	\(K_L = 9.7 \times 10^{-7} \, \text{mM}\)
\(K_{L1} = 1.81 \, \text{mM}\)	\(K_{L_e} = 0.26 \, \text{mM}\)

编号	公式名称	公式	用途
(10.1)	mRNA产生	\(\frac{dM}{dt} = k_m o_P - k_{-m} M\)	trp操纵子模型
(10.2)	操纵子状态	\(\frac{do_P}{dt} = k_{on} o_f - k_{off} o_P, \quad \frac{do_R}{dt} = k_r R^* o_f - k_{-r} o_R\)	trp操纵子模型
(10.3)	抑制蛋白激活	\(\frac{dR^}{dt} = k_t T^2 (1 - R^) - k_{-t} R^*\)	trp操纵子模型
(10.6)	稳态方程	\(F(T) = \frac{\mu}{K}T\)	trp操纵子稳态分析
(10.10)	操纵子概率	\(\frac{do_P}{dt} = k_{-r}(1 - o_P) - k_r R^* o_P\)	lac操纵子模型
(10.16)	mRNA产生	\(\frac{dM}{dt} = \alpha_M \frac{1 + K_a A^2}{K + K_a A^2} - \gamma_M M\)	lac操纵子模型
(10.21)	Goodwin振荡器	\(\frac{dX_1}{dt} = \frac{\nu_0}{1 + (X_n/K_m)^p} - k_1 X_1\)	昼夜节律基础
(10.24)	Goldbeter mRNA	\(\frac{dM}{dt} = \frac{\nu_s}{1 + (P_N/K_I)^4} - \frac{\nu_m M}{K_{M1} + M}\)	昼夜节律模型
(10.29)	Tyson mRNA	\(\frac{dM}{dt} = \frac{\nu_m}{1 + (P_2/P_{crit})^2} - k_m M\)	双变量昼夜节律
(10.34)	CycB动力学	\(\frac{d[\text{CycB}]}{dt} = k_1 m - (k_2 + k_2' [\text{Cdh1}])[\text{CycB}]\)	细胞周期通用模型
(10.35)	Cdh1动力学	\(\frac{d[\text{Cdh1}]}{dt} = \frac{(k_3 + k_3' A)(1 - [\text{Cdh1}])}{J_3 + 1 - [\text{Cdh1}]} - \frac{k_4 [\text{CycB}][\text{Cdh1}]}{J_4 + [\text{Cdh1}]}\)	细胞周期通用模型
(10.39)	Cdc20总浓度	\(\frac{d[\text{Cdc20}_T]}{dt} = k_5 + k_5' \frac{[\text{CycB}]^n}{J_5 + [\text{CycB}]^n} - k_6 [\text{Cdc20}_T]\)	六变量细胞周期模型
(10.42)	细胞质量生长	\(\frac{dm}{dt} = \mu m\)	细胞质量动力学
(10.57)	Cdc13总量	\(\frac{d[\text{Cdc13}_T]}{dt} = k_1 m - (k_2 + k_2' [\text{Ste9}] + k_2'' [\text{Slp1}])[\text{Cdc13}]\)	裂殖酵母模型
(10.65)	三聚体浓度	\([\text{Trimer}] = \frac{\Delta - \sqrt{\Delta^2 - 4[\text{Rum1}_T][\text{Cdc13}_T]}}{2}\)	裂殖酵母模型
(10.67)	MPF浓度	\([\text{MPF}] = [\text{Cdc13}_T] - [\text{Trimer}] - \frac{[\text{preMPF}]K_d}{K_d + [\text{Rum1}_T] - [\text{Trimer}]}\)	裂殖酵母模型
(10.72)	细胞周期蛋白	\(\frac{dy}{dt} = k_1[A] - k_2 y - k_3 Yc\)	爪蟾模型
(10.73)-(10.76)	MPF磷酸化状态	四方程描述r,s,m,n四种状态	爪蟾MPF模型