第 9 章：神经内分泌细胞（Neuroendocrine Cells）
9.1.1 β 细胞的簇发放电（Bursting in the Pancreatic β Cell）
β 细胞 bursting 的周期跨度很大，从几秒到几分钟不等。一般分为三档：fast bursting（周期约 2–5 s）、medium bursting（约 10–60 s）和 slow bursting（约 2–4 min）。尽管 bursting 已被研究多年，主流数学模型仍建立在 Rinzel (1985, 1987) 的工作之上，而 Rinzel 的工作又源自 Chay and Keizer (1983) 提出的早期 β 细胞生物物理模型——Rinzel 用非线性动力学对 bursting 的解读，是数学理解复杂生物动力系统的典范案例。
β 细胞 bursting 模型可大致分两类（de Vries, 1995 综合评述）。早期模型假设 bursting 由胞内 Ca²⁺ 浓度的慢振荡驱动（Chay 1986, 1987；Chay and Cook 1988；Chay and Kang 1987；Himmel and Chay 1987；Keizer and Magnus 1989）。但更新的实验显示 Ca²⁺ 自身振荡频率过高、不适合充当慢控制变量；新模型改用其它机制产生底层慢振荡（Keizer and Smolen 1991；Smolen and Keizer 1992；Bertram and Sherman 2004a,b；Nunemaker et al. 2006）。Atwater et al. (1980) 提出的早期模型基于当时认为驱动 bursting 的关键细胞机制，后由 Chay and Keizer (1983) 发展为数学模型；该数学模型只保留 bursting 所需的最少过程，舍去许多次要细节，但仍能复现大多数 bursting 的基本性质。
Chay–Keizer 模型涉及的离子电流如下：(1) Ca²⁺ 激活的 K⁺ 通道，电导随 \(c = [\mathrm{Ca}^{2+}]\) 单调增，
其中 \(\bar g_{K,Ca}\) 为常数。(2) 电压门控 K⁺ 通道，沿用 Hodgkin–Huxley 形式 \(g_K = \bar g_K n^4\)；\(n\) 满足与 H–H 方程相同的微分方程，只是电压整体平移 \(V^*\)，即把 (5.28)–(5.29) 中的 \(V\) 替换为 \(V+V^*\)，例如 \(\beta_n(V) = 0.125\exp[(-V-V^*)/80]\)。(3) 电压门控 Ca²⁺ 通道，电导 \(g_{Ca} = \bar g_{Ca} m^3 h\)；\(m\)、\(h\) 沿用 H–H 的 Na⁺ 门控方程，只是电压沿电压轴再平移 \(V'\)——内向 Ca²⁺ 电流用 H–H 的 Na⁺ 电流形式模拟。合入漏电流后膜方程为
其中 \(C_m\) 为膜电容。模型还需一个方程描述胞内 Ca²⁺ 的动态：
其中 \(I_{Ca} = \bar g_{Ca} m^3 h (V - V_{Ca})\)，\(k_1\)、\(k_c\) 为常数；\(f\) 是把 Ca²⁺ 总变化折算成游离 Ca²⁺ 变化的尺度因子（与第 7 章 Ca²⁺ 缓冲一节一致），通常很小，\(k_c\) 是膜 ATP 酶把 Ca²⁺ 泵出胞质的速率。模型假定血糖调节 Ca²⁺ 从胞质移除的速率，因此 \(k_c\) 被视为血糖浓度的某个（不具体指定的）单调增函数；血糖浓度不是模型的动力学变量，故 \(k_c\) 视为固定参数，可在 \(k_c\) 的一段取值范围内研究模型行为。
用 Table 9.1 中的参数数值解出的轨道（图 9.2）呈现的 bursting 与实验观察在定性上一致：可以看到一个慢的 Ca²⁺ 振荡叠加在 burst 之上，burst 出现在 Ca²⁺ 振荡的峰上。Ca²⁺ 振荡比电压振荡慢，是由 Ca²⁺ 方程 (9.5) 中的参数 \(f\) 显式引入的：\(f\) 越小，Ca²⁺ 方程演化越慢，电压方程与 Ca²⁺ 方程的相对快慢比就越受 \(f\) 直接控制。因此模型中存在两套相互作用的振荡机制——快的 \(V\) 振荡叠在慢的 \(c\) 振荡之上，这正是接下来相平面分析的基础。
相平面分析。Rinzel and Lee (1986) 指出，可把 β 细胞模型简化：忽略 \(m\) 和 \(h\) 的动力学，只保留它们对电压的依赖（不显含时间），即把 Ca²⁺ 电流视为电压的瞬时函数。简化模型为
其中 \(I_{Ca} = \bar g_{Ca} m_\infty^3(V) h_\infty(V)(V-V_{Ca})\) 。因为 \(f\) 很小，模型自然分裂为一个快子系统（\(V\)、\(n\) 方程）和一个慢方程（\(c\)）。快子系统可借助相平面方法分析，整个系统的行为则可理解为快相平面上叠加 \(c\) 的慢漂移。
先固定 \(c\)、把快子系统作为 \(c\) 的函数考察其结构。\(c\) 低时 Ca²⁺ 激活 K⁺ 通道未激活，快子系统有唯一固定点且 \(V\) 偏高；\(c\) 高时 K(Ca) 通道全开，高电导把膜电位拉向 K⁺ 的 Nernst 电位（≈−75 mV），快子系统仍有唯一固定点但 \(V\) 偏低。但 \(c\) 处于中间值时快子系统有三个固定点，相平面结构远比两端复杂。
图 9.3 给出 \(c\) 取两个不同中间值时的相平面：下固定点稳定，中固定点为鞍点，上固定点不稳定。某些 \(c\) 值下上固定点被一条稳定极限环包围，后者又被鞍点的稳定流形包围（图 9.3A）。\(c\) 继续增大时，极限环"撞上"鞍点形成同宿（homoclinic）连接——同宿分岔；\(c\) 再增大，同宿连接断裂，鞍点稳定流形与上方不稳定的上临界点形成异宿（heteroclinic）连接（图 9.3B），极限环消失。
这一连串分岔可总结为以 \(c\) 为分岔参数的 \(V\) 分岔图（图 9.4A）：Z 形曲线是不动点曲线，振荡的最大、最小值用上下两支曲线表示。随着 \(c\) 增大，振荡经 Hopf 分岔（\(c_{HB}\)）出现，又经同宿分岔（\(c_{HC}\)）消失。在一段 \(c\) 区间内快子系统是双稳的：下端有稳定不动点，上端有稳定周期轨道。这种双稳性对 bursting 的出现至关重要。
把快子系统与 \(c\) 的慢动力学耦合起来看：图 9.4A 还画出了 \(dc/dt = 0\) 的曲线（\(c\) 零线）。在 \(c\) 零线以上 \(dc/dt > 0\)、\(c\) 上升；在 \(c\) 零线以下 \(c\) 下降。设想初始 \(V\) 处于下固定点、\(c > c_{HC}\)，则因 \(V\) 在 \(c\) 零线之下，\(c\) 缓慢减小、\(V\) 沿 Z 形曲线下支走；但 \(c\) 小到一定程度时下支经鞍-结分岔（SN）消失，\(V\) 必须跳到 Z 形曲线的上支，而上支此时不稳定但被稳定极限环包围，于是 \(V\) 开始振荡。此时 \(V\) 整段都在 \(c\) 零线之上，\(c\) 转而增大；等 \(c\) 大到越过同宿分岔 \(c_{HC}\)，稳定极限环消失，\(V\) 又跳回下支，完成一个 burst 循环。重复此过程即得到 bursting。bursting 的静息相是 \(V\) 处在 Z 形曲线下支时，burst 相是 \(V\) 跳到上支振荡、再经同宿分岔回到下支的过程。可见 bursting 的出现依赖稳定不动点与稳定极限环共存，本质上是一条在 Z 形曲线两支之间切换的滞后环；并且要求 \(c\) 零线与 Z 形曲线在恰当位置相交——若交在下支，整系统只有唯一稳定不动点，不会出现 bursting。图 9.4B 给出 bursting 循环在 \((V,c)\) 相平面上的投影。burst 内部单个振荡的周期越接近同宿轨迹越长——同宿轨道处周期无穷大——所以越接近 burst 末端，振荡周期越长。
bursting 模式与血糖浓度的关系也可从图 9.4 推出。注意 \(dc/dt = 0\) 零线方程 \(c = -k_1 I_{Ca}(V) / k_c\) 与 \(k_c\) 成反比：\(k_c\) 增大零线左移，\(k_c\) 减小零线右移。若假设 \(k_c\) 单调依赖于血糖，则血糖低时 \(k_c\) 小，零线与 \(V\) 零线交于下支，系统处于稳定静息点，不出现 bursting；血糖升高使零线移到与 \(V\) 零线中支相交（且 \(c < c_{HC}\)）则出现 bursting。但 \(k_c\) 越大，Ca²⁺ 上升越慢、下降越快，因此 burst 相（active phase）越来越长、静息相（silent phase）越来越短；\(k_c\) 大到一定程度 \(c\) 在 \(c_{HC}\) 之下"卡住"，bursting 持续无静息相；\(k_c\) 极大时则 \(c < c_{HB}\)，bursting 被永久高膜电位取代。这一 bursting 时相对血糖的依赖关系已被实验证实。
9.1.2 ER 钙作为慢控制变量（ER Calcium as a Slow Controlling Variable）
上述 Chay–Keizer 模型有两个主要问题。第一，它无法复现 β 细胞 bursting 实际呈现的丰富周期与模式，只覆盖一段很窄的快速 bursting 频率。第二，新的实验证据（图 9.5：同时测量的 Ca²⁺ 与电压）显示，Ca²⁺ 振荡的上升沿与电压几乎同步发生，因此 Ca²⁺ 振荡本身不够慢，不能再被视为慢控制变量。
一个解决思路是：ER 中的 Ca²⁺ 浓度比胞质 Ca²⁺ 变化慢得多，可充任所需的控制机制——前提是 bursting 期间大部分 Ca²⁺ 来自胞外经跨膜通道进入胞质，仅有少量 Ca²⁺ 在胞质与 ER 之间交换。如此 ER Ca²⁺ 就相当于一个对胞质 Ca²⁺ 的低通滤波器，能够"测量"bursting 持续时间并过滤掉快振荡。图 9.5 的 Ca²⁺ 轨迹也支持这一点：burst 期间胞质 Ca²⁺ 在抬高的基线附近快速振荡。
Chay (1996a,b, 1997) 据此提出，ER Ca²⁺ 的慢变化可能是一个重要控制机制且能给出更宽的 bursting 周期范围。Bertram and Sherman (2004a) 详细分析了一个"phantom bursting"模型：一个（并非很慢的）胞质 Ca²⁺ 变量与一个（更慢的）ER Ca²⁺ 变量相互作用，可以产生覆盖宽周期范围的 bursting；其周期可落在这两个慢变量各自振荡周期的中间，故名"幻影 bursting"。
膜电压子模型。幻影 bursting 模型的电学部分与 Chay–Keizer 模型类似但有改动，故此章完整给出。除 Ca²⁺ 流、K⁺ 流、Ca²⁺ 敏感 K⁺ 流外，多了一项 ATP 敏感 K⁺ 流（在后面起作用）。除 K⁺ 流外其它流都假设处于拟稳态：
其中 \(c\) 表示胞质游离 Ca²⁺ 浓度。\(m_\infty\)、\(n_\infty\) 由标准 Boltzmann 形式给出（(9.15)–(9.16)）。变量 \(\omega\) 是 Ca²⁺ 敏感 K⁺ 通道的开放分数，近似为阶跃函数 \(\omega(c) = c^5/(c^5 + k_D^5)\)（(9.17)）。
钙子模型。膜电学方程须与胞质、ER 两个 Ca²⁺ 浓度的方程耦合。Ca²⁺ 模型本身刻意保持简单（更复杂的 Ca²⁺ 动力学见第 7 章）。\(c\)、\(c_e\) 分别为胞质、ER 中游离 Ca²⁺ 浓度，由若干通量构成：
- \(I_{Ca}\)：上述跨膜 Ca²⁺ 电流。
- 跨质膜与 ER 膜的 Ca²⁺ 泵，分别记 \(J_{pm}\)、\(J_{serca}\)，皆取 Ca²⁺ 的线性函数：\(J_{serca} = k_{serca} c\)、\(J_{pm} = k_{pm} c\)。
- \(J_{leak}\)：从 ER 的漏流，假设正比于 ER 与胞质浓度之差 \(J_{leak} = k_{leak}(c_e - c)\)。
考虑 Ca²⁺ 缓冲（buffering）后，每个通量只有一小部分引起游离 Ca²⁺ 浓度变化；若缓冲快速且未饱和，只需给每个通量乘以一个缩放因子（参 §7.4）。综合得
其中 \(\gamma\) 是胞质体积与 ER 体积之比，\(f_{cyt}\)、\(f_{er}\) 分别为胞质、ER 的缓冲缩放因子。模型参数列于 Table 9.2。
快速 bursting。当 Ca²⁺ 敏感 K⁺ 电导较大（900 pS）时，模型呈现快速 bursting（图 9.6）。一个 burst 周期内 ER Ca²⁺ 变化很小：把 \(c_e\) 设为常数，所得解几乎不变。由图 9.6 中间面板可见，\(c\) 只比 \(V\) 略慢、比 \(c_e\) 快得多，明显不是慢变量。
完整分析需在三维相空间进行，较难处理。但即便只是近似，按 Rinzel 分析 Chay–Keizer 模型的方式分析本模型仍有用：把 \(c\) 视为分岔参数，作 \(V\) 对 \(c\) 的分岔图（图 9.7），与图 9.4 形态相似——Z 形定态曲线在 Hopf 分岔失稳，从其上长出的稳定极限环又在同宿分岔与 Z 形曲线相交，给出稳定定态与稳定极限环共存的双稳区。bursting 出现的机制与 Chay–Keizer 模型相同：\(dc/dt = 0\) 零线以上解向右、沿稳定极限环支走，对应 burst 的 active phase；走到最右端脱离极限环支、落到稳定定态下支（silent phase）；下支在 \(dc/dt = 0\) 零线之下，解向左，最终从鞍-结点掉下、循环重启。
不过此处的解读只是近似的——由图 9.7 可见实际解既不紧贴周期轨道支，也不紧贴下支定态支。burst 上转折点接近 \(osc_{max}\)，下转折点远离 \(osc_{min}\)；而且解早在到达同宿分岔前就离开了周期轨道支，随后也不再紧贴下支定态支走。原因是 \(c\) 终究不是真正的慢变量：\(c\) 越接近无穷慢，解越贴近快子系统的分岔图。尽管定量上不严格，快子系统的相平面仍是理解完整系统解的有用框架。
本模型与 Chay–Keizer 模型有一重要区别：本模型有第二个慢变量 \(c_e\)，因此 \(dc/dt = 0\) 零线随 \(c_e\) 变化（但 Z 形曲线本身不依赖 \(c_e\)）。由 (9.21) 知
因此 \(c_e\) 增大零线右移。图 9.6 的快速 bursting 中 \(c_e\) 变化极小，这一零线移动对比无影响；但在其它参数下会出现更有趣的行为。
中等 bursting。要得到更长的 burst 周期，可把 Z 形曲线水平拉长——让同宿分岔与鞍-结分岔离得更远——做法是减小 \(g_{K,Ca}\)。但若 \(c\) 零线不动、\(g_{K,Ca}\) 足够小，零线就会与 Z 形曲线上支在稳定极限环区域内相交；此时极限环是完整系统的稳定解，解会卡在 active phase 上不退出。
此时 \(c_e\) 的慢动力学就起作用。active phase 期间 \(c_e\) 增大（见 Exercise 4），使 \(c\) 零线缓慢右移；振荡跟着零线右移（图 9.8）。零线右移到一定程度，解脱离极限环支、离开 active phase 落向下支定态（silent phase 开始），并沿下支向鞍-结点方向左移。但在下支上走得极慢——因为 \(c\) 零线与 Z 形曲线下支相交，给出一个稳定的准稳态；解被迫以 \(c_e\) 的慢速度移动，跟随准稳态左移。最终 \(c\) 零线左移足够远，准稳态消失，解离开 Z 形曲线下支，burst 循环重启。
可见中等 bursting 的周期依赖 \(c\) 零线的慢移动，而 \(c\) 零线慢移又源于 active phase 中 \(c_e\) 慢升、silent phase 中 \(c_e\) 慢降。零线移动得慢，burst 周期相应变长——active 与 silent phase 都比快速 bursting 长，ER Ca²⁺ 在一个周期内变化也大得多。典型解见图 9.9。
激动剂的作用。β 细胞也受神经系统调节。副交感神经释放的乙酰胆碱可提高胰岛素分泌速率，部分通过影响单个 β 细胞的电活动与 Ca²⁺ 动力学实现。乙酰胆碱的作用是经 IP₃ 生成（参第 7 章）触发 ER 释放 Ca²⁺，故可在模型中加一项经 IP₃ 受体的 Ca²⁺ 通量来体现（Exercise 3）。当 [IP₃] 由 0 升至 0.3 μM，burst 模式由 medium 转为 fast——这一变化在实验上也被观察到。
9.1.3 慢 bursting 与糖酵解（Slow Bursting and Glycolysis）
β 细胞 bursting 对血糖水平高度敏感：血糖升高、burst 的 active fraction 也增大；active fraction 期间 Ca²⁺ 浓度抬高，进而促进胰岛素分泌——因此胰岛素分泌速率是血糖浓度的单调增函数。
这一效应被认为由 ATP 敏感 K⁺ 通道介导：通道被 ADP 激活、被 ATP 抑制。血糖低时 ATP/ADP 比低，K⁺ 通道开放，细胞超极化，bursting 不能发生；血糖升高，ATP/ADP 比升高，ATP 敏感 K⁺ 通道电导下降，细胞去极化，从而可以发生 bursting。
至此，β 细胞 bursting 与胰岛素分泌还有两点特性未涉及。第一，bursting 周期常比上述模型能给出的更长。第二，这种慢 bursting 形态比图 9.6、9.9 中所示的更复杂——可以是"compound bursting"（复合 bursting，burst 的 burst）：每个 active phase 内部又交替出现 active 与 silent 的子相。
一个假说认为复合 bursting 与长 burst 周期源自糖酵解通路的慢振荡（第 1 章），后者引起 ATP/ADP 比的慢振荡。最早的定量模型是 Wierschem and Bertram (2004)：把 Goldbeter–Lefever 糖酵解振荡模型（第 1 章）耦合到一个简单 bursting 模型上，可在长时间尺度上调节 burst 模式，得出复合与慢 bursting。这个初步模型更偏概念验证，随后被更精细的模型取代：先用 Smolen 糖酵解振荡模型（Smolen 1995；Bertram et al. 2004；Nunemaker et al. 2006），再把 Smolen 模型与 Magnus–Keizer 线粒体代谢模型耦合（Magnus and Keizer 1997, 1998a, 1998b；Bertram et al. 2006a, 2007a,b）。后续模型过于复杂，不在书中全列；本章只简要考察 Wierschem–Bertram 原始模型，因其已包含后续更复杂模型的多数关键要素。
糖酵解、电气与钙子模型。为简单建模糖酵解振荡，采用第 1.6 节中的约化 Goldbeter–Lefever 模型：
其中（与 (1.125) 相同）
\(F([\mathrm{ATP}],[\mathrm{ADP}]) = [\mathrm{ATP}](1 + k_{ADP}[\mathrm{ADP}])^2.\)
相对原模型唯一的改动是引入时间常数 \(\tau_c\)，方便调整糖酵解振荡周期。电气子模型几乎不变（(9.9)–(9.14) 与 (9.15)），唯一区别是 (9.17) 替换为 \(\omega(c) = c/(c + k_D)\)。钙子模型沿用 Chay–Keizer 模型——忽略 ER Ca²⁺，只用一个关于 \(c\) 的方程（与 (9.5) 同）：
复合 bursting 模型所有参数列于 Table 9.3。
复合 bursting。图 9.10 上方画出一个典型复合 bursting：burst 以"簇"的形式成组出现，active phase 时长在一个簇内先增后减。虚线显示 [ATP] 也振荡；在本模型中 [ATP] 振荡独立于 \(c\) 与 \(V\)（与 \(c\)、\(V\) 完全解耦），但在更复杂模型中——例如耦合 Smolen 与 Magnus–Keizer 代谢模型的版本——这种独立性并不一定成立，糖酵解、Ca²⁺ 与电活动之间可以存在更强的耦合。
复合 bursting 的机制可由电气子模型的快–慢分岔结构看出，对各个固定 [ATP] 值分别构造 \(c\) 作为分岔参数的分岔图。任意 [ATP] 值下，定态曲线（图 9.10 中标记 ss）都是 Z 形：不稳定支以虚线表示，\(c\) 较低时定态经 Hopf 分岔失稳，从 Hopf 分岔长出一条稳定周期解支（点划线，标 \(osc_{max}\)、\(osc_{min}\)）。随 [ATP] 升高，Z 形曲线右移而 \(dc/dt = 0\) 零线不动。[ATP] 低时零线与 Z 形曲线下支（稳定支）相交，不出现 bursting（panel a）；[ATP] 高时零线与周期轨道支相交，导致持续的 active phase（panel c）；[ATP] 取中间值时 active phase 的长度取决于零线与 Z 形曲线相交的具体位置，可长可短（panel b）。[ATP] 在一个振荡周期内变化时，active phase 的长度相应变化，于是出现复合 bursting。
9.1.4 簇内细胞的 bursting（Bursting in Clusters）
至此为止的讨论都忽略了一个不便的事实：孤立的 β 细胞通常并不规则地 bursting；只有数千个细胞聚集成胰岛并通过 gap junction 电耦合之后，单个细胞才呈现规则 spike。孤立 β 细胞的行为相当不规则、看不出 bursting 模式。阻断胰岛内的 gap junction 显著降低胰岛素分泌，故控制 bursting 的细胞间机制具有重要生理意义。图 9.11 显示单个细胞的行为如何随与之耦合的细胞数变化。
通道共享。1983 年 Atwater et al. 提出一个定性机制解释单细胞与簇内细胞行为的差异。他们认为单细胞含有少量 Ca²⁺ 敏感 K⁺（K–Ca）通道，每条通道电导很高；在静息 \(V\) 和 [Ca²⁺] 下 K–Ca 通道偶有开放，但单条通道开放即能流过足够电流对膜电位产生显著扰动；于是通道随机开闭造成观察到的 \(V\) 随机涨落。但当细胞经 gap junction 耦合在一起时，每条 K–Ca 通道对单细胞膜电位的贡献变小（通道电流被整个细胞网络分担）。每条通道对单细胞的影响变小，单个细胞整合来自大量 K–Ca 通道的总和信号——耦合越紧，整合越完整，整簇行为越规则、越确定。
Sherman et al. (1988)、Chay and Kang (1988) 把这一解释发展为定量模型。模型先假设簇内细胞耦合无限紧密，把整簇当成一个"超细胞（supercell）"，考察 bursting 如何随簇规模增大而变规则。超细胞模型方程与单 β 细胞模型类似。回顾单细胞模型中 K–Ca 通道电导
可由一个最简通道模型推得——通道有一关一开两个状态，结合一个 Ca²⁺ 即由关转开：
\(C + \mathrm{Ca}^{2+} \underset{k_-}{\overset{k_+}{\rightleftharpoons}} O,\)
其中 \(C\)、\(O\) 分别为关闭、开放通道。若 \(k_+\)、\(k_-\) 都比模型其它动力学参数大得多，则
其中 \(K_d = k_- / k_+\)，故 \([O] = [\mathrm{Ca}^{2+}]/(K_d + [\mathrm{Ca}^{2+}])\) ，即得 (9.29)。
超细胞模型把 (9.30) 解释为 Markov 过程而非确定性过程，\(k_+\)、\(k_-\) 分别为关闭通道单位时间开、开的通道单位时间关的概率，故平均开、关时间分别为 \(1/k_-\)、\(1/k_+\)。设 \(\langle N_o\rangle\)、\(\langle N_c\rangle\) 分别为开、关通道的平均数，平衡时
为引入通道的 Ca²⁺ 依赖，令 \(k_+/k_- = [\mathrm{Ca}^{2+}]/K_d\)，得到稳态平均开放比例
相应的随机模型与 (9.6)–(9.8) 类似，主要差别是 Ca²⁺ 敏感 K⁺ 流由上述随机过程决定：\(p\) 是一个随机变量，表示单细胞内开放通道的比例，需由 (9.30) 描述的 Markov 过程数值模拟得到：
其中 \(I_{Ca} = \bar g_{Ca} m_\infty(V) h(V)(V - V_{Ca})\)、\(I_K = \bar g_K n (V - V_K)\)。超细胞模型中的函数分别为 (9.38)–(9.41) 形式，其它参数见表 9.4。注意模型形式与单 β 细胞类似，但具体函数与参数做了改动以与更新的实验数据一致：\(m_\infty\) 出现一次（而非三次），\(n\) 也只出现一次；开放 Ca²⁺ 通道的 I–V 曲线假设为 \(h(V)(V-V_{Ca})\)，\(h(V)\) 的具体形式由实验 I–V 拟合确定，效果与 β 细胞模型中 \(h_\infty(V)\) 类似。
随机模型一个关键特征是单条 K–Ca 通道的电导比另外两种通道高出一个数量级（Table 9.4）。但单细胞内 K–Ca 通道总数不多——孤立细胞中单条 K–Ca 通道的开放对膜电位影响格外大；每条 K–Ca 通道的随机性造成看似随机的膜电位涨落（图 9.12）。
但当相同细胞由零电阻 gap junction 耦合时，整簇细胞有同一膜电位，无需逐个细胞处理；膜电容与离子流正比于细胞数 \(N_{cell}\)（即整簇表面积），K–Ca 通道总数也正比于细胞总数，但每条通道对整簇膜电位的影响正比于 \(1/N_{cell}\)。整簇行为等价于一个非常大的、含许多电导较小的 K–Ca 通道的虚拟单细胞；\(N_{cell} \to \infty\) 时整簇的行为应与确定性单细胞模型一致。
为了看清这一极限行为，设 \(\hat g\) 为单条 K–Ca 通道电导，\(N_o^i\) 为第 \(i\) 个细胞中开放的 K–Ca 通道数。则
即
其中 \(\bar N\) 为每细胞 K–Ca 通道数（通道密度），\(\bar g_{K,Ca} = \hat g \bar N\) 为每细胞 K–Ca 总电导。在超细胞模型中
需解释为整簇内开放通道比例而非单细胞内开放通道比例。两种解释下 \(p\) 的均值相同，但 \(N_{cell}\) 增大时 \(p\) 的标准差减小、行为越来越规则。和之前一样，\(p\) 需由 Markov 过程直接模拟得到。图 9.13 给出不同细胞数下的模拟结果：随着簇规模增大 bursting 越来越规则。
超细胞模型的一个明显简化是 gap junction 零电阻、整簇细胞同电位的假设。Sherman and Rinzel (1991) 放宽此假设，把簇建模为有限电导 gap junction 耦合的若干独立细胞。单个细胞（设为 \(i\)）满足形如
的方程，其中 \(g_c\) 为 gap junction 电导，\(d_{ij}\) 为耦合系数（\(i\)、\(j\) 耦合时为 1、不耦合为 0）。\(g_c \to \infty\) 时对簇内每个细胞 \(\sum_j d_{ij}(V_i - V_j)\) 必趋于 0；若所有细胞都通过某条连接路径相连（无孤立细胞或子簇），则所有细胞有同一电压（见 Exercise 9），即在无限电导极限下
。
对大但有限的耦合，\(V_i = \bar V + O(1/g_c)\)。把 (9.44) 对簇内所有细胞求和再除以 \(N_{cell}\)，得
其中
为整簇内开放 K–Ca 通道的比例。因此有限 gap junction 电导的多细胞模型在 \(g_c\) 与 \(N_{cell}\) 同时趋于无穷时回到超细胞模型。同步 bursting 在细胞数与耦合强度都增大时出现——要得到规则 bursting，既要强耦合，也要大簇（图 9.14 给出了两个簇规模、两种耦合强度下的结果）。但一个不预期（也因此格外有趣）的现象是：存在一个使 burst 周期最大化的耦合强度——Sherman (1994) 在一个更简单的两耦合细胞系统上深入分析过这一现象。
Tsaneva-Atanasova et al. (2006) 走了另一条路，研究 Ca²⁺ 与代谢物的细胞间扩散对 bursting 的影响。其结论是：Ca²⁺ 的细胞间扩散对簇内同步 bursting 不重要，但代谢物的细胞间扩散可导致同步或完全抑制振荡。
9.1.5 一个定性的 bursting 模型（A Qualitative Bursting Model）
正如 Hodgkin–Huxley 方程的核心行为可被提炼为更简单的 FitzHugh–Nagumo 方程并保留对可激发性机制的关键洞见，Chay–Keizer bursting 模型也可被简化为多项式模型而不丢失本质特征（Hindmarsh and Rose 1982, 1984；Pernarowski 1994）。这一定性模型让我们在保留 bursting 机制的几何骨架（双稳相平面 + 慢变量调制）的同时，得以摆脱真实离子通道的繁琐参数表。模型从 FitzHugh–Nagumo 方程出发略加修改，使振荡周期大幅延长。设 \(v\) 为激发变量、\(w\) 为恢复变量（与第 5 章一致），则
其中 \(I\) 为外加电流，\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)、\(\delta\) 为常数。\(f(v)\) 是三次的（与 F–N 一致），但与 F–N 不同的是 \(g(v)\) 不再是线性函数。如图 9.15 所示，\(w\) 零线弯曲成在振荡临界点左侧与 \(v\) 零线靠近（当然这只在使振荡出现的某段 \(I\) 值范围内发生）。其后果是峰值之间极限环轨道同时贴近两零线，对应 \(\dot v\) 与 \(\dot w\) 都接近 0，于是脉冲间隔很大。
只需稍加修改，这一变形的 F–N 模型即可用作 bursting 模型。结合本章前面的讨论毫不意外：当模型引入双稳性即可出现 bursting——具体做法是把 \(\dot w = 0\) 零线变形使其与 \(\dot v = 0\) 零线交于三点而不是一点。原模型中两零线本就靠近，只需稍加变形即可多出两个临界点：
其中 \(h(v)\) 的选择使两零线交于三点。为方便起见，用 \(T = \gamma\delta t\)、\(x = v\)、\(y = \alpha\beta w/(\gamma\delta)\) 作变量与时间的无量纲化，模型变为
其中 \(\tilde f(x) = \alpha f(x)/(\gamma\delta)\)、 \(\tilde g(x) = \alpha\beta[g(x) + h(x)]/(\gamma\delta^2)\) 。模型形式仍与 F–N 一致，但具体函数不同。取具体函数
\(I = 0\) 时相平面见图 9.16。模型有三个临界点：左侧 \(x = -\tfrac12(1+\sqrt 5)\) 处一稳定结点（静息态），中间 \(x = -1\) 处一鞍点，右侧 \(x = \tfrac12(-1+\sqrt 5)\) 处一不稳定结点，被一稳定极限环包围。与本章前述 bursting 模型一样，鞍点的稳定流形充当阈值——若从静息态出发扰动足够大以穿越该稳定流形，轨道便趋近稳定极限环；小扰动则衰减回静息态，这称为 triggered firing。该双稳相平面与图 9.3A 形态本质上相同。
要生成 bursting，除了双稳性还需一个慢变量把电压推入/推出双稳区——这通过引入第三个变量 \(z\)、让 \(z\) 在慢时间尺度上调节外加电流 \(I\) 实现：
其中 \(x_1 = -\tfrac12(1+\sqrt 5)\) 是 (9.53)–(9.54) 二变量模型中静息态的 \(x\) 坐标。\(r = 0.001\)、\(s = 4\) 时 (9.55)–(9.57) 出现 bursting（图 9.17），其机制与 Chay–Keizer 模型相同。
9.1.6 其它细胞类型的 bursting 振荡（Bursting Oscillations in Other Cell Types）
如图 9.18 所示，bursting 振荡不仅出现在 β 细胞，也广泛存在于多种神经元与神经内分泌细胞中，bursting 的具体类型也多种多样。bursting 模式所呈现的复杂动力学行为使其成为数学研究的热门题目，相关理论研究的发展速度已远超对应的生理学知识。
Aplysia 神经元中的 bursting。另一个研究充分的 bursting 例子是 Aplysia R-15 神经元。Plant (1981) 的一个详细模型的分析（Rinzel and Lee 1987）显示：该 bursting 振荡器的数学结构与 β 细胞模型不同。β 细胞模型有 2 个快变量、1 个慢变量、双稳与滞后环；burst 末端越过一个同宿分岔，导致 burst 内部振荡周期逐渐变长。Plant 模型则无双稳性，bursting 源自两个各自振荡的慢变量。burst 始末各越过一个同宿分岔，故瞬时振荡周期先减小再增大——周期近似为时间的抛物线，故称抛物 bursting（parabolic bursting）。
Plant 的抛物 bursting 模型与 β 细胞模型有相似之处——都包含 Ca²⁺ 激活 K⁺ 通道与电压依赖 K⁺ 通道——但前者还含一个以 H–H 方式激活与失活的电压依赖 Na⁺ 通道以及一个慢激活 Ca²⁺ 流。Na⁺、K⁺、漏电流构成快子系统
而 Ca²⁺ 流及其激活变量 \(x\) 构成慢子系统
门控变量 \(m\)、\(n\)、\(h\) 的电压依赖 \(\alpha_w\)、\(\beta_w\) 形如
渐近值 \(w_\infty(V)\) 与时间常数 \(\tau_w(V)\) 形式如 (9.64)–(9.65)（\(w = m, n, h\)，但 \(\tau_m(V)\) 不用），其中 \(\tilde V = c_1 V + c_2\)，\(c_1 = 127/105\)，\(c_2 = 8265/105\)；常数 \(C_1, \ldots, C_5\) 与 \(V_0\) 列于 Table 9.6。模型还有
Plant 抛物 bursting 模型的参数值列于 Tables 9.5 与 9.6。
取 \(x = 0.7\) 固定，快子系统对 \(c\) 的分岔图见图 9.19。定态曲线 \(V_{ss}\) 呈 Z 形、有两个极限点；最右的鞍-结点 \(SN_2\) 未画出（位于 \(c = 8.634\)）。振荡经亚临界 Hopf 分岔出现（与 β 细胞模型的超临界 Hopf 相反）。一般而言 \(V_{ss}\) 是 \(c\) 与 \(x\) 两者的函数，故快子系统严格说需用分岔面描述；但分岔面难以画、看懂，故先取 \(x\) 固定看横截面，再讨论关键点随 \(x\) 的变化。HB 标 Hopf 分岔（周期轨道支出现处），HC 标同宿分岔（周期解消失处）。
分岔图与 β 细胞模型快子系统分岔图（图 9.4）相似，唯一区别是稳定周期解支不延伸到 Z 形曲线的下"膝"以下；同宿分岔与 \(SN_1\) 鞍-结分岔重合，故模型无双稳性——一个单慢变量不足以产生 bursting，因为它无法像在 β 细胞中那样把快子系统在有振荡与无振荡两个区之间来回移动。但抛物 bursting 模型有两个慢变量 \(x\) 与 \(c\)，二者的慢振荡把 \(c\) 前后推过同宿分岔线，于是在慢振荡的某段期间出现 fast 振荡的 burst。
图 9.20 画出各分岔位置随 \(x\) 变化的情况；图 9.19 实际上是图 9.20 在 \(x = 0.7\) 处的横截面。\(J_{ss}\) 区快子系统有唯一稳定不动点，\(J_{osc}\) 区（在 SNP 与 HC 曲线之间）快子系统有稳定振荡。设慢子系统有一周期解：抛物 bursting 模型中慢振荡并非独立于快子系统，而是依赖快、慢变量的相互作用（细节此章不展开）。若慢振荡独立于快变量、充当快子系统的周期驱动（Kopell and Ermentrout 1986），结果类似。无论哪种情况，振荡在 \((x, c)\) 平面上对应闭合曲线，图 9.20B 给出两种典型情况：情形 a 中 \((x, c)\) 慢周期轨道完全位于 \(J_{ss}\) 区，快子系统"活"在 Z 形曲线下支、不振荡；情形 b 中慢振荡越过同宿分岔线进入 \(J_{osc}\) 区，快子系统出现快速振荡，从而出现 bursting。
通过调节底层慢振荡的参数，可从同一模型得到不同振荡模式。前文已述 fast 振荡周期的抛物性质——容易由以上分析理解：出现 burst 的条件是慢振荡在 burst 始末都越过同宿分岔线；同宿分岔处极限环周期趋于无穷，故 burst 始末的脉冲间隔都大；慢周期轨道进入 \(J_{osc}\) 区越深（远离同宿分岔），脉冲间隔越小。
bursting 振荡的分类。最早的 bursting 机制分类由 Rinzel (1987) 提出，后由 Bertram et al. (1995) 扩展。原始分类把 bursting 振荡分为三类：type I（源于滞后与双稳，如 β 细胞模型）、type II（源于底层慢振荡，如 Aplysia R-15 神经元）、type III（源于亚临界 Hopf 分岔）。后来的研究（Izhikevich 2000）给出了远为多样的 bursting 行为分类，分类依据是定态支与周期支上发生的底层分岔类型；许多可能的 burster 还没有已知的生物物理实现。
9.2.1 促性腺细胞（The Gonadotroph）
此类细胞中研究最充分的模型之一是 Li et al. (1994, 1995, 1997) 的早期促性腺细胞模型，本节详细讨论。在促性腺细胞中 Ca²⁺ 锋有两种方式产生。第一，自发动作电位经电压门控通道引入 Ca²⁺，故产生 Ca²⁺ 锋。第二，响应激动剂 GnRH，促性腺细胞生成 IP₃（第 7 章），触发 ER 释放 Ca²⁺，引起胞质 Ca²⁺ 浓度振荡。电生理学与激动剂诱导的 Ca²⁺ 信号通路在实验上都已被充分刻画（Stojilkovi´c et al. 1994）。
与 β 细胞模型类似，促性腺细胞模型也由两部分组成——Hodgkin–Huxley 型的膜电学模型和含 IP₃ 诱导 ER 释放 Ca²⁺ 的胞内 Ca²⁺ 动力学模型——故本模型实质上是第 5 章与第 7 章模型的组合（见 Exercise 3）。应用上更复杂：Li et al. 把细胞建模为球对称区域，Ca²⁺ 在质膜到胞内之间存在梯度。因为模型的各组成部分与前面见过的没有本质区别，而完整复现结果因 Ca²⁺ 扩散的引入而复杂，故此处只给出模型构造与行为的概述，不完整展开。
膜模型。膜电位建模为
其中 Ca²⁺ 流分为 T 型与 L 型两种，\(I_K\) 为 K⁺ 通道电流，\(I_{K,Ca}\) 为 Ca²⁺ 敏感 K⁺ 通道电流，\(I_L\) 为漏电流。各电流以 H–H 方式建模，与 β 细胞模型大致相同。Ca²⁺ 敏感 K⁺ 通道电导假设为 \(c_R\)（质膜处 Ca²⁺ 浓度）的增函数：
其中 \(\phi_K(V)\) 为 Goldman–Hodgkin–Katz 电流–电压关系（第 3 章），与 β 细胞模型中所用的线性形式不同。
钙模型。\(c\)、\(c_e\) 分别为胞内、ER 中游离 Ca²⁺ 浓度；二者都是径向坐标 \(r\)（到球对称细胞中心的距离）的函数。在胞体内部 Ca²⁺ 只能从 ER 进入胞质（经 IP₃ 受体），只能经 ER 膜上的 SERCA 泵离开胞质。但在细胞边界（\(r = R\)）Ca²⁺ 可经 Ca²⁺ 流与质膜 Ca²⁺ ATP 酶泵进出细胞。Ca²⁺ 缓冲假设为快速且线性（§7.4）。\(c\)、\(c_e\) 的方程即（§7.3）
其中 \(D\)、\(D_e\) 分别为 \(c\)、\(c_e\) 的有效扩散系数，\(\gamma\) 是 ER 体积相对胞质体积的尺度因子。在细胞边界 \(r = R\) 处
其中 \(J_{pm}\) 是质膜 Ca²⁺ ATP 酶泵把 Ca²⁺ 泵出细胞的通量；尺度因子 \(\alpha = 1/(2 F A_{cell})\)，\(A_{cell}\) 为细胞表面积，把电流（库仑/秒）转换为摩尔通量密度（摩尔/面积/秒）。IP₃ 受体通量 \(J_{IPR}\) 用 Li–Rinzel 简化的 De Young–Keizer 模型（第 7 章与 Exercise 3）建模，ATP 酶泵通量 \(J_{serca}\)、\(J_{pm}\) 用 Hill 函数建模。模型方程的具体形式与参数见 Li et al. (1997) 附录。
结果。模型在覆盖一定 [IP₃] 范围（对应一定 GnRH 浓度范围）的解与实验数据吻合良好（图 9.21）。施加激动剂前细胞呈持续 spike；一旦施加激动剂，spike 频率显著下降，变为更复杂的 burst 模式。激动剂浓度最高时，bursting 起初被激动剂抑制、之后 spike 重新出现。所有情况下 spike 频率起初被激动剂大幅降低、之后逐渐恢复——这种 spike 频率的恢复是 ER Ca²⁺ 储量的重要性的有趣例证。
图 9.22 给出 V、\(c\)、\(c_e\) 在响应激动剂刺激过程中的变化（\(c\)、\(c_e\) 对整个细胞取平均）。SS-1 phase（施加激动剂前）细胞呈紧张性 spike。施加 0.42 μM IP₃ 后 \(c\) 开始振荡，电压 spike 变慢（T-1 phase）。电压 spike 变慢的原因是更大更慢的 Ca²⁺ 锋把 Ca²⁺ 敏感 K⁺ 流激活得更强，使电压 spike 更难发生。但随时间推移，Ca²⁺ 因质膜 ATP 酶被泵出细胞而减少（因模型空间分布，Ca²⁺ 在质膜处的浓度高于胞内，加快了 ATP 酶把 Ca²⁺ 泵到胞外的速率）。整体 Ca²⁺ 下降有两个主要表现：ER 浓度缓慢下降，Ca²⁺ 锋的基线逐渐降低。基线下降导致 \(I_{K,Ca}\) 逐渐变小，电压 spike 频率因此缓慢上升。
最终 \(c_e\) 下降到 ER 不再支持大 Ca²⁺ 锋的程度，\(c\) 的振荡变小、变快（SS-2 phase），电压 spike 频率随之显著上升，把更多 Ca²⁺ 引入胞内，从而稳定 ER Ca²⁺ 浓度。撤去激动剂后 \(c\) 瞬时下降，引起电压 spike 频率上升；这些 spike 把更多 Ca²⁺ 引入细胞、ER 逐渐回充，系统回到基态（T-2 phase）。此模型展示了 ER Ca²⁺、胞质 Ca²⁺、膜电压 spike 三者之间的复杂相互作用；显然还不是全部故事，但对一大类复杂响应提供了出色的解释。
本章个人批注
本章几乎全篇是 β 细胞 bursting 的工作——从最早的 Chay–Keizer 离子通道式模型，到 Rinzel 的相平面与快–慢分析框架，再到引入 ER Ca²⁺ 慢变量的 phantom bursting、引入糖酵解 ATP/ADP 慢振荡的 compound bursting，最后到超细胞 / 多细胞耦合的 cluster bursting。整章的逻辑很清晰：作者一步步给出"为什么上述模型还不够"的实验或理论动因，再提出改进并用同样的快–慢分岔框架统一解释——这个写作节奏对后续读 Ch10（心脏电生理）会有帮助，因为 Ch10 也会反复回到"快子系统 + 慢变量"这套分岔语言。
阅读时几个让我印象深的细节：(a) Chay–Keizer 模型中 \(f\) 的物理意义——它就是给胞质 Ca²⁺ 方程整体乘的"慢化系数"，\(f\) 越小 Ca²⁺ 越慢、bursting 周期越长。这个参数在模型里只起调时间尺度的作用，但作者把它解释为缓冲缩放因子（与 §7.4 衔接），让我意识到"一个抽象的慢化参数背后其实是生物物理假设"——这是个好习惯。(b) phantom bursting 的名字很形象：周期落在两个慢变量各自周期之间，单独看哪个变量都"看不见"这个周期，只有两者耦合才出现。(c) 超细胞模型中"通道数随细胞数增、但单通道影响随 1/N_cell 减"——这种聚合 vs 单体影响的权衡是耦合随机系统的一般规律，不限于 β 细胞。(d) Rinzel 的 type I/II/III bursting 分类与 Izhikevich 2000 的更细分类对比，提示分类学的演化是随着数学工具（分岔面、奇异微扰）的发展而推进的。
存疑 / 待思考：(1) Chay 1996a,b, 1997 提出 ER Ca²⁺ 作为慢变量是核心，Bertram and Sherman 2004a 才把它严格模型化——中间八年发生了什么？为什么 Chay 自己没做完？(2) Plant 模型中快子系统分岔图（图 9.19）说同宿分岔与 SN₁ 重合、"无双稳性"，这与 β 细胞中 Z 形曲线"中间支 vs 极限环"的安排是结构性不同的——那么有没有什么统一的几何图像把 type I/II 都套进去？(3) gonadotroph 模型中把细胞建为球对称是为了引入 Ca²⁺ 扩散，但作者没给完整参数表——Exercise 3 留作练习，但作为"建立完整理解"我可能要找 Li et al. 1997 附录原表补全。下一章第 10 章心脏电生理是否会在膜模型层面复用 H–H 框架、又在组织层面引入各向异性传播，是与本章"耦合细胞簇"思路的接续。
与上下章的衔接（一段话）
第 9 章处在 Keener《Mathematical Physiology》第二册"细胞与系统"部分的末尾，前承第 5 章（H–H 方程与神经动作电位）、第 7 章（细胞内 Ca²⁺ 动力学与 IP₃）、第 1 章（糖酵解振荡）的建模工具，又把这些工具统一在"神经内分泌细胞 bursting"这一具体生物语境下：β 细胞的电生理与 Ca²⁺ 缓冲（来自第 5、7 章）共同给出 Chay–Keizer 模型，糖酵解振荡（来自第 1.6 节）被引入解释 compound bursting，而 gonadotroph 则是把电生理与 IP₃ 介导的 Ca²⁺ 释放合并到一个带空间梯度的球细胞模型——这是第 7 章 IP₃ 受体模型在细胞整体尺度上的应用。第 9 章与第 8 章（PDE 方法、扩散与传播）的接续相对松散，但与第 10 章（心脏电生理）的接续紧密：第 10 章的 Purkinje 纤维、心室肌等细胞动作电位与本章 β 细胞 burst 都基于 H–H 门控范式，第 10 章的组织传播则把单细胞动力学扩展为带各向异性的 PDE 系统——第 9 章末尾关于"耦合细胞簇中规则 bursting 出现条件"的讨论，是从单细胞向组织层次过渡的一个小预演。第 9 章末尾的 Exercises 涉及差分方程组模拟、Markov 通道过程、IP₃ 受体扩展、耦合细胞相位分析等，留作读者自己把本章框架再练一遍。