第四章：神经元的被动电流流动
书籍信息：Keener & Sneyd, Mathematical Physiology (I: Cellular Physiology), Springer 2009
章节摘要：本章系统阐述了神经元中被动电信号传导的数学理论，包括电缆方程的推导、树突传导、RaIl等价圆柱模型以及带有胞体的神经元模型。这是理解神经元电生理活动的基础理论，也是后续章节讨论兴奋性与动作电位传播的重要前提。
一、章节概述与历史背景
神经元是神经系统中最基本的功能单元，其复杂的分支结构使得膜电位在不同位置可能存在空间梯度。这一事实在如今看来显而易见，但在二十世纪中叶之前并未得到广泛认可。Wilfrid Rall在1950至1960年代的开创性工作，首次系统性地强调了空间效应在神经元活动中的重要性，从而奠定了现代神经元建模理论的基石。
电缆理论的历史可追溯至1855年，当时Lord Kelvin为了研究当时正在建设的大西洋海底电报电缆，推导出了漏电电缆的方程。然而，将电缆方程应用于神经元行为的研究，主要归功于Hodgkin和Rushton在1946年的工作，以及Rall随后的一系列经典论文（1957、1959、1960、1969）。
在神经元中，电流以两种主要方式流动：轴向电流（沿细胞内部或外部空间流动）和跨膜电流（穿过细胞膜流动）。理解这两类电流之间的平衡关系，是推导电缆方程的核心所在。
二、电缆方程的推导
2.1 核心导体假设
我们将细胞视为一根细长的圆柱形膜结构，围绕着细胞质内部（称为电缆）。假设电位只依赖于长度变量，而与径向或角向变量无关，从而使电缆可以看作是一维的。这一假设被称为核心导体假设（core conductor assumption），由Rall在1977年提出。
我们将电缆划分为若干短段，每段长度为\(dx\)，每段都具有等电位膜特性。在任何电缆段中，所有电流必须满足平衡条件，只存在两类电流：跨膜电流和轴向电流。轴向电流包括细胞内和细胞外两部分，均假定为欧姆性的，即电压的线性函数。
2.2 基本方程
根据欧姆定律，细胞内和细胞外的轴向电流满足：
其中\(I_i\)和\(I_e\)分别为细胞内和细胞外的轴向电流。负号的出现是因为电流方向的约定：当正电荷从左向右（沿\(x\)增加的方向）流动时，电流为正。当\(dx \to 0\)时，得到：
其中\(r_i\)和\(r_e\)分别是细胞内和细胞外介质的单位长度电阻。一般有：
其中\(R_c\)是细胞质电阻率（单位为欧姆·长度），\(A_i\)是圆柱形电缆的横截面积。
2.3 基尔霍夫定律与电流守恒
根据基尔霍夫定律，任何细胞外或细胞内轴向电流的变化都必然由跨膜电流引起：
其中\(I_t\)是单位长度膜上的总跨膜电流（正向为向外）。当\(dx \to 0\)时：
在没有额外电流源的情况下，总轴向电流\(I_T = I_i + I_e\)为常数。利用\(V = V_i - V_e\)，经过代数推导可得：
2.4 完整电缆方程
跨膜电流\(I_t\)是电容电流和离子电流之和：
其中\(p\)是轴突的周长。方程（4.11）通常被称为电缆方程。若在膜上施加电流密度为\(I_{applied}\)（正向为向外）的电流，则电缆方程变为：
2.5 无量纲化
定义膜电阻\(R_m\)为单位面积膜的电阻（单位为欧姆·厘米²）。对于固定的\(V_0\)，\(R_m\)通过对\(V\)在\(V_0\)附近做微小扰动时测量膜电流的变化来确定：
假设\(r_i\)和\(r_e\)为常数，电缆方程可以写成：
其中：
是电缆空间常数（单位为距离），表示电位沿电缆衰减的特征长度；以及：
是膜时间常数（单位为时间），表示电位对扰动响应的特征时间。
若忽略细胞外电阻，则：
其中\(d\)是轴突的直径（假设为圆形横截面）。
三、被动电导与线性电缆方程
3.1 主动波与被动活动
为了完整描述空间分布的电缆，必须确定离子电流如何依赖于电压和时间。在鱿鱼巨轴突中，\(f(V,t)\)是\(m\)、\(n\)、\(h\)和\(V\)的函数（见第五章）。这种选择允许沿轴突以恒定速度和固定轮廓传播的波。这些波需要从轴突输入能量来维持必要的离子浓度，因此常被称为主动波。
任何满足\(f = -V\)（即膜为欧姆电阻）的电活动被称为被动活动。在某些电缆中，主要是在神经元树突网络中，这在正常活动范围内是一个很好的近似。对于其他细胞，活动只有在膜电位足够小时才是被动的。
3.2 线性电缆方程
为简化起见，在被动电缆中，我们将\(V\)平移，使静息电位\(V = 0\)。因此：
这被称为线性电缆方程。在线性电缆方程中，电流以被动方式沿电缆流动，以线性速率向外泄漏。
3.3 典型参数值
下表给出了多种可兴奋细胞的典型参数值：
| 参数 | 单位 | 鱿鱼巨轴突 | 龙虾巨轴突 | 蟹巨轴突 | 蚯蚓巨轴突 | 海洋蠕虫巨轴突 | 哺乳动物心脏细胞 | 藤壶肌纤维 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 直径\(d\) | \(10^{-4}\) cm | 500 | 75 | 30 | 105 | 560 | 20 | 400 |
| 细胞质电阻率\(R_c\) | Ω·cm | 30 | 60 | 90 | 200 | 57 | 150 | 30 |
| 膜电阻\(R_m\) | \(10^3\) Ω·cm² | 1 | 2 | 7 | 12 | 1.2 | 7 | 0.23 |
| 膜电容\(C_m\) | μF/cm² | 1 | 1 | 1 | 0.3 | 0.75 | 1.2 | 20 |
| 时间常数\(\tau_m\) | ms | 1 | 2 | 7 | 3.6 | 0.9 | 8.4 | 4.6 |
| 空间常数\(\lambda_m\) | cm | 0.65 | 0.25 | 0.24 | 0.4 | 0.54 | 0.15 | 0.28 |
四、边界条件与输入电阻
4.1 边界条件类型
为了确定单根树突的行为，必须首先指定初始条件和边界条件。通常假设在\(T = 0\)时，树突电缆处于静息状态\(V = 0\)，即：
边界条件可以有多种指定方式。假设\(X = X_b\)是一个边界点：
-
电压钳边界条件：若电位被固定（即钳制）在\(X = X_b\)，则边界条件为Dirichlet型： $\(V(X_b, T) = V_b \quad (4.21)\)$ 其中\(V_b\)是指定的电压水平。
-
短路：若电缆两端短路，使细胞外和细胞内电位在\(X = X_b\)处相同，则： $\(V(X_b, T) = 0 \quad (4.22)\)$ 这是电压钳条件的一种特殊情况，\(V_b = 0\)。
-
电流注入：假设电流\(I(T)\)注入到电缆一端。由于： $\(I_i = -\frac{1}{r_i} \frac{\partial V_i}{\partial x} = -\frac{1}{r_i \lambda_m} \frac{\partial V_i}{\partial X} \quad (4.23)\)$ 边界条件（忽略细胞外电阻）为： $\(\frac{\partial V(X_b, T)}{\partial X} = -r_i \lambda_m I(T) \quad (4.24)\)$
-
密封端：若\(X = X_b\)处的末端密封，确保没有电流穿过端点，则边界条件是齐次Neumann条件： $\(\frac{\partial V(X_b, T)}{\partial X} = 0 \quad (4.25)\)$
4.2 输入电阻
电缆方程最重要的简单解之一对应于在半无限电缆一端注入稳态电流的情况。这是一种常见的实验方案（尽管实际上并不是真正的半无限电缆），可用于确定电缆参数\(R_m\)和\(R_c\)。
假设电缆从\(X = 0\)延伸到\(X = \infty\)，在\(X = 0\)处注入稳态电流\(I_0\)。则在\(X = 0\)处的边界条件为：
令\(\partial V/\partial T = 0\)并求解方程（4.19），得到：
电缆的输入电阻\(R_{in}\)定义为比值\(V(0)/I_0 = \lambda_m r_i\)。利用：
和\(r_i = 4R_c/(\pi d^2)\)，可得：
因此，电缆的输入电阻随电缆直径的\(-3/2\)次方变化，这一事实在分支结构中的电缆方程行为中具有重要意义。
五、分支结构与等价圆柱
5.1 分支结构概述
神经元最显著的特征是其广泛的分支结构。虽然在概念上找到分支电缆网络上的解的方法很简单，但在实际应用中可能相当复杂。
5.2 稳态解
考虑最简单的分支电缆（如图4.3所示）。电缆在\(X = L_1\)处有一个单一的分支点或节点，两个子分支分别延伸到\(L_{21}\)和\(L_{22}\)。在稳态下，每个\(V\)满足微分方程\(V'' = V\)，因此一般解为：
其中\(A\)和\(B\)是未知常数。为了确定6个未知常数，需要6个约束条件：边界条件（在\(X = 0\)处注入电流\(I_0\)，在\(X = L_{21}\)和\(X = L_{22}\)处固定\(V = 0\)）以及节点处的连续性条件和电流守恒条件。
在节点处，\(V\)必须是连续函数，且电流必须守恒：
以及电流守恒（考虑直径效应）：
5.3 Rall等价圆柱
Rall（1959）最重要的理论成果之一是证明了在某些条件下，被动电流在分支结构上的方程可以简化为单个圆柱体上电流传导的单一方程，即所谓的等价圆柱。
为了将分支结构简化为等价圆柱，需要一些额外的假设。首先，假设两个子分支具有相同的无量纲长度\(L_{21} = L_{22}\)，且它们的终端具有相同的边界条件。其次（这是关键假设），如果假设：
那么整个树就等价于长度为\(L\)、直径为\(d_1\)的圆柱。
更一般地，如果分支结构满足以下条件：
- 每个分支的\(R_m\)和\(R_c\)相同；
- 在每个节点，电缆直径满足类似于（4.40）的方程，即若\(d_0\)是父分支的直径，\(d_1, d_2, \ldots\)是子分支的直径，则： $\(d_0^{3/2} = d_1^{3/2} + d_2^{3/2} + \cdots \quad (4.43)\)$
- 终端处的边界条件都相同；
- 每个终端距树原点（\(X = 0\)）的无量纲距离\(L\)相同；
则整个树等价于长度为\(L\)、直径为\(d_1\)（\(X = 0\)处电缆直径）的圆柱。
5.4 树突突触输入
假设树突在沿树突的某点有随时间变化的突触输入，则电位满足：
其中\(V_s = 0\)在电缆两端\(x = 0, L\)（假设电缆末端密封）。
六、Rall集中胞体模型
6.1 模型基本假设
在神经元模型研究中，最令人关注的往往是细胞体（胞体）上的电位。这主要是因为胞体电位比树突网络中的电位更容易实验测量，而且正是胞体电位决定神经元是否发放动作电位。
Rall（1960）提出的最常见方法称为Rall集中胞体模型，有三个基本假设：
- 胞体是等电位的（即胞体膜电位在所有点都相同）；
- 胞体像电阻（\(R_s\)）和电容（\(C_s\)）的并联；
- 树突网络可以坍缩为单个等价圆柱。
6.2 边界条件
电位在等价圆柱上满足电缆方程。边界条件必须考虑胞体内的电流流动以及进入电缆的电流。若\(I_0\)表示在\(X = 0\)处施加的电流，则边界条件为：
6.3 半无限神经元与胞体
首先计算半无限神经元对在\(X = 0\)处注入电流\(I_0\)的稳态响应。解为：
该解与无胞体等价圆柱对注入电流的稳态响应几乎相同，只是\(V\)减小了常数因子\(R_s/(R_s + r_i \lambda_m) < 1\)。当\(R_s \to \infty\)（胞体不导电的极限），集中胞体模型的解趋于简单电缆的解。
集中胞体模型的输入电阻为：
因此：
由于\(r_i \lambda_m\)是圆柱的输入电阻，集中胞体模型的输入电导是胞体和圆柱输入电导之和。这是符合预期的，因为等价圆柱和胞体是并联的。
6.4 有限神经元与胞体
现在计算有限电缆和集中胞体对胞体处\(\delta\)函数电流输入的时间依赖响应。
假设等价圆柱具有有限长度\(L\)。则电位满足：
边界条件为：
其中\(\gamma = R_s/(r_i \lambda_m)\)。
使用分离变量法，寻求如下形式的广义傅里叶级数展开：
其中\(\phi_n(X) = \cos(\lambda_n X) - \frac{\lambda_n}{\gamma} \sin(\lambda_n X)\)。
七、其他舱室模型与计算方法
7.1 舱室模型的必要性
上述方法给出了在分支结构上计算电缆方程解析解的难度概念，无论是否带有胞体终止。由于现代实验技术可以确定神经元的详细结构（例如用辣根过氧化物酶染色），很明显可以获得比可以纳入解析模型的更多实验信息。
7.2 舱室模型原理
一种常见的方法是构建大型神经元的计算模型，然后通过数值方法求解。在数值方法中，神经元被划分为大量的小段或舱室，每个舱室被假设为等电位。在每个舱室内指定神经元膜的特性，因此某些舱室可能具有兴奋性动力学，而其他舱室则是纯被动的。舱室通过轴向电阻连接，形成一个大型耦合常微分方程系统，电位沿神经元的离散位置指定。
7.3 软件与实现
舱室模型、数值求解方法以及用于此类模型的软件包在Koch和Segev（1998）以及de Schutter（2000）中有详细讨论。
八、公式汇总表
8.1 电缆方程基本公式
| 编号 | 公式名称 | 公式 |
|---|---|---|
| (4.1) | 细胞内欧姆定律 | \(V_i(x + dx) - V_i(x) = -I_i(x) r_i dx\) |
| (4.2) | 细胞外欧姆定律 | \(V_e(x + dx) - V_e(x) = -I_e(x) r_e dx\) |
| (4.3) | 细胞内电流密度 | \(I_i = -\frac{1}{r_i} \frac{\partial V_i}{\partial x}\) |
| (4.4) | 细胞外电流密度 | \(I_e = -\frac{1}{r_e} \frac{\partial V_e}{\partial x}\) |
| (4.5) | 单位长度电阻 | \(r_i = \frac{R_c}{A_i}\) |
| (4.7) | 跨膜电流 | \(I_t = -\frac{\partial I_i}{\partial x} = \frac{\partial I_e}{\partial x}\) |
| (4.11) | 完整电缆方程 | \(I_t = p C_m \frac{\partial V}{\partial t} + I_{ion}\) |
| (4.12) | 含施加电流的电缆方程 | \(p C_m \frac{\partial V}{\partial t} + I_{ion} + I_{applied} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{1}{r_i + r_e} \frac{\partial V}{\partial x} \right)\) |
8.2 无量纲化参数
| 编号 | 参数名称 | 公式 | 单位 |
|---|---|---|---|
| (4.13) | 膜电阻定义 | $\frac{1}{R_m} = \left. \frac{dI_{ion}}{dV} \right | _{V=V_0}$ |
| (4.14) | 标准形式电缆方程 | \(\tau_m \frac{\partial V}{\partial t} + R_m I_{ion} = \lambda_m^2 \frac{\partial^2 V}{\partial x^2}\) | — |
| (4.15) | 空间常数 | \(\lambda_m = \sqrt{\frac{R_m}{p(r_i + r_e)}}\) | cm |
| (4.16) | 时间常数 | \(\tau_m = R_m C_m\) | ms |
| (4.17) | 简化空间常数 | \(\lambda_m = \sqrt{\frac{R_m d}{4R_c}}\) | cm |
| (4.19) | 线性电缆方程 | \(\frac{\partial V}{\partial T} = \frac{\partial^2 V}{\partial X^2} - V\) | — |
8.3 边界条件与输入电阻
| 编号 | 条件类型 | 公式 |
|---|---|---|
| (4.20) | 初始条件 | \(V(X, 0) = 0\) |
| (4.21) | 电压钳 | \(V(X_b, T) = V_b\) |
| (4.22) | 短路 | \(V(X_b, T) = 0\) |
| (4.24) | 电流注入 | \(\frac{\partial V(X_b, T)}{\partial X} = -r_i \lambda_m I(T)\) |
| (4.25) | 密封端 | \(\frac{\partial V(X_b, T)}{\partial X} = 0\) |
| (4.26) | 半无限电缆边界 | \(\frac{dV(0)}{dX} = -r_i \lambda_m I_0\) |
| (4.27) | 稳态电压分布 | \(V(X) = V(0)e^{-X} = V(0)e^{-x/\lambda_m}\) |
| (4.29) | 输入电阻 | \(R_{in} = \sqrt{\frac{4R_m R_c}{\pi^2 d^3}}\) |
8.4 分支结构公式
| 编号 | 公式名称 | 公式 |
|---|---|---|
| (4.35) | 电位连续性 | \(V_1(L_1) = V_{21}(L_1) = V_{22}(L_1)\) |
| (4.37) | 电流守恒 | \(d_1^{3/2} \frac{dV_1(L_1)}{dX} = d_{21}^{3/2} \frac{dV_{21}(L_1)}{dX} + d_{22}^{3/2} \frac{dV_{22}(L_1)}{dX}\) |
| (4.40) | Rall直径关系 | \(d_1^{3/2} = d_{21}^{3/2} + d_{22}^{3/2}\) |
| (4.43) | 一般Rall条件 | \(d_0^{3/2} = d_1^{3/2} + d_2^{3/2} + \cdots\) |
8.5 Rall胞体模型公式
| 编号 | 公式名称 | 公式 |
|---|---|---|
| (4.56) | 胞体边界条件 | \(I_0 = -\frac{1}{r_i} \frac{\partial V(0, t)}{\partial x} + C_s \frac{\partial V(0, t)}{\partial t} + \frac{V(0, t)}{R_s}\) |
| (4.60) | 半无限解 | \(V(X) = \frac{R_s}{r_i \lambda_m + R_s} r_i \lambda_m I_0 e^{-X}\) |
| (4.61) | 胞体模型输入电阻 | \(R_{in} = \frac{r_i \lambda_m R_s}{r_i \lambda_m + R_s}\) |
| (4.62) | 并联电导关系 | \(\frac{1}{R_{in}} = \frac{1}{r_i \lambda_m} + \frac{1}{R_s}\) |
| (4.63) | 有限电缆方程 | \(\frac{\partial V}{\partial T} = \frac{\partial^2 V}{\partial X^2} - V\) |
| (4.66) | 有限胞体边界条件 | \(\frac{\partial V(0, T)}{\partial T} + V(0, T) - \gamma \frac{\partial V(0, T)}{\partial X} = R_s \delta(T)\) |
| (4.76) | 解的级数展开 | \(V(X, T) = \sum_{n=0}^{\infty} A_n \phi_n(X) \exp(-(1 + \lambda_n^2)T)\) |
学习要点
-
电缆方程的物理意义：电缆方程描述了沿神经元结构传播的电信号的时空演变，是理解神经信号传导的基础方程。
-
空间常数与时间常数：空间常数\(\lambda_m\)反映电位沿电缆衰减的距离，时间常数\(\tau_m\)反映电位变化的速度。这两个参数决定了神经元对电信号的处理特性。
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Rall等价圆柱理论：这是将复杂树突网络简化为单根等价圆柱的核心理论，其关键条件是直径的\(3/2\)次方守恒。该理论大大简化了神经元的数学建模。
-
输入电阻的意义：输入电阻随直径的\(-3/2\)次方变化，这一关系对理解分支结构中的信号衰减具有重要意义。
-
胞体模型的必要性：Rall集中胞体模型成功地将树突网络与胞体结合起来，是研究神经元整合输入信号能力的重要工具。
参考文献：Keener & Sneyd, Mathematical Physiology (I: Cellular Physiology), Chapter 4, Springer 2009.