《数学生理学》第一章读书笔记
生物化学反应
书籍信息：Keener & Sneyd, Mathematical Physiology (I: Cellular Physiology), Springer, 2009
读书笔记编写日期：2026年5月11日
一、质量作用定律
1.1.1 基本概念
化学反应的基本定律是质量作用定律（Law of Mass Action）。该定律描述了化学品（包括大分子和简单离子）碰撞并相互作用形成不同化学组合的速率。
考虑两种化学品 A 和 B 相互碰撞反应生成产物 C：
该反应的速率是产物积累的速率，即 \(\frac{d[C]}{dt}\)。这个速率等于两个反应物之间每单位时间的碰撞数乘以碰撞具有足够能量克服反应活化自由能的概率。每单位时间的碰撞数与 A 和 B 浓度的乘积成正比，比例因子取决于反应物分子的几何形状和大小以及混合物的温度。结合这些因素，我们得到：
将式（1.2）与反应（1.1）联系起来称为质量作用定律，常数 \(k\) 称为反应的速率常数。
1.1.2 定律的性质
需要注意的是，质量作用定律并不是严格不可违背的定律，而是一个有用的模型，类似于欧姆定律或牛顿冷却定律。作为一个模型，在某些情况下它并不适用。例如，在高浓度下，将一种反应物的浓度加倍不一定使整体反应速率加倍；在极低浓度下，将浓度表示为连续变量可能并不合适。
1.1.3 可逆反应
由于热力学原因，所有反应都在两个方向上进行。因此，A、B 和 C 的反应方案应写为：
其中 \(k^+\) 和 \(k^-\) 分别表示正反应和逆反应的速率常数。如果逆反应相对于正反应较慢，通常可以忽略，只显示主要方向。由于量 A 被正反应消耗而被逆反应产生，该双向反应的 \([A]\) 变化率为：
在平衡时，浓度不发生变化，所以：
比值 \(k^- / k^+\)，记为 \(K_{eq}\)，称为反应的平衡常数。它描述了化学品倾向于处于结合态 C 相对于解离态的相对偏好。如果 \(K_{eq}\) 很小，则在稳态时大部分 A 和 B 结合生成 C。
如果没有其他涉及 A 和 C 的反应，则 \([A] + [C] = A_0\) 是常数，并且：
因此，当 \([B]_{eq} = K_{eq}\) 时，在平衡时一半的 A 处于结合态。
1.1.4 二聚反应与三聚反应
考虑同一物种 A 的两个单体二聚生成物种 C 的反应：
对于每一个生成的 C，消耗两个 A；而每当 C 降解时，产生两个 A 的副本。因此，A 的反应速率为：
然而，C 的产生速率是 A 的一半：
且量 \([A] + 2[C]\) 是守恒的（假设没有其他反应）。
类似地，对于三分子反应，反应发生的速率与三个浓度的乘积成正比。在现实生活中，可能没有真正的三分子反应。然而，在某些情况下，反应可能有效地被建模为三分子的。
1.1.5 适用范围
不幸的是，质量作用定律并不能在所有情况下使用，因为并非所有化学反应的机制都被详细了解。事实上，大量化学反应不能用质量作用动力学描述。那些遵循质量作用定律的反应称为基元反应，因为它们可能是由反应物的直接碰撞进行的。不遵循质量作用定律的反应通常通过包含几个基元反应步骤的复杂机制进行。在生物化学反映中，基元反应步骤通常是未知的或非常复杂的。
二、热力学与速率常数
1.2.1 化学势
反应的速率常数与热力学之间存在密切关系。基本概念是化学势，即每摩尔物质的吉布斯自由能 \(G\)。对于理想气体混合物，组分 \(X_i\) 的化学势是温度、压力和浓度的函数：
其中 \(x_i\) 是 \(X_i\) 的摩尔分数，\(R\) 是通用气体常数，\(T\) 是绝对温度，\(P\) 是气体压力（大气压）。\(G_i^0(T, P)\) 是纯理想气体的标准自由能，即当气体的摩尔分数为 1 时的值。
理想气体混合物的总吉布斯自由能为：
其中 \(n_i\) 是气体 \(i\) 的摩尔数。
1.2.2 理想稀释溶液
理想气体理论可以推广到理想稀释溶液。通过将标准吉布斯自由能重新定义为浓度为 1 M（即每升 1 摩尔）时的自由能，我们得到：
其中浓度 \(c\) 的单位是摩尔每升。对于生物化学应用，忽略自由能对压力的依赖性，假设压力为 1 大气压，温度为 25°C。
对于非理想溶液（如细胞中典型的），自由能公式应使用溶质的化学活度而不是其浓度。化学活度 \(a\) 与浓度之间的关系并不简单。然而，对于稀释浓度，它们近似相等。
1.2.3 反应自由能变化
考虑简单反应 \(A \to B\)。化学势变化 \(\Delta G\) 定义为产物状态 B 的化学势（记为 \(G_B\)）与反应物状态 A 的化学势（记为 \(G_A\)）之差：
\(\Delta G\) 的符号很重要。如果 \(\Delta G < 0\)，则状态 B 相对于状态 A 更受偏好，反应倾向于将 A 转化为 B；而如果 \(\Delta G > 0\)，则状态 A 相对于状态 B 更受偏好，反应倾向于将 B 转化为 A。当两者都不受偏好时达到平衡，即 \(\Delta G = 0\)，此时：
1.2.4 平衡常数与速率常数的关系
将反应表示为正逆反应速率：
在稳态时，\(k^+ [A]_{eq} = k^- [B]_{eq}\)，所以：
将此与上式相结合，我们观察到：
换句话说，标准自由能差异越负，反应从左向右进行的倾向越大，\(K_{eq}\) 越小。然而，这只给出了速率常数的比值，而不是它们的个别大小。我们从自由能变化中无法了解反应是快还是慢。
1.2.5 ATP水解——重要例子
一个重要的例子是三磷酸腺苷（ATP）水解为二磷酸腺苷（ADP）和无机磷酸 \(P_i\)：
该反应的标准自由能变化为：
这个数值的主要意义不是平衡常数的大小，而是 ATP 具有可用于驱动其他不太有利的反应的自由能。例如，在所有活细胞中，ATP 被用来泵送离子对抗其浓度梯度，这个过程称为自由能转导。实际上，如果达到该反应的平衡常数，可以确信系统已经死亡。在活系统中，[ATP] 与 [ADP][\(P_i\)] 的比值保持在远高于平衡值的水平。
三、详细平衡
1.3.1 循环反应系统
假设一组反应形成一个循环，如图 1.1 所示。通过应用质量作用定律并将导数设为零，我们可以找到 A、B 和 C 的稳态浓度。然而，对于系统处于热力学平衡，需要满足更强的条件。热力学平衡要求每个状态的自由能相同，以便每个单独的反应都处于平衡状态。换句话说，在平衡时，不仅没有比如说 [B] 的净变化，而且也没有 B 转化为 C 或 B 转化为 A 的净转换。这个条件意味着，在平衡时 \(k_1 [B] = k_{-1} [A]\)，\(k_2 [A] = k_{-2} [C]\) 和 \(k_3 [C] = k_{-3} [B]\)。因此必须有：
或者：
其中 \(K_i = k_{-i} / k_i\)。由于这个条件不依赖于 A、B 或 C 的浓度，它必须在一般情况下成立，而不仅仅是在平衡时。
1.3.2 详细平衡原理
对于更一般的反应循环，详细平衡原理要求沿一个方向环绕循环的速率乘积等于另一个方向的速率乘积。如果任何速率依赖于其他化学品的浓度，那些浓度也必须包括在内。
四、酶动力学
1.4.1 基本概念
酶是催化剂（通常是蛋白质），有助于将称为底物的其他分子转化为产物，但它们本身在反应中不发生变化。酶最重要的特征是催化能力、特异性和调节性。酶通过降低反应活化自由能来加速底物向产物的转化。酶在加速生物反应方面特别有效，速度提升可达一千万倍或更多。酶也具有高度特异性，通常只催化一种特定底物或密切相关底物的反应。最后，它们通常通过极其复杂的正负反馈系统来调节，从而能够精确控制反应速率。
1.4.2 Michaelis-Menten模型
关于酶反应，首先了解到的是它们不直接遵循质量作用定律。因为当底物浓度（S）增加时，反应速率只会增加到一定程度，在高底物浓度时达到最大反应速度。这与质量作用定律不同，后者应用于 S 与酶 E 的反应 \(S + E \to P + E\) 时，预测反应速度随 [S] 增加而线性增加。
Michaelis 和 Menten（1913）首先提出了解释偏离质量作用定律的模型。在他们的反应方案中，酶 E 通过两步过程将底物 S 转化为产物 P。首先 E 与 S 结合形成复合物 C，然后复合物分解为产物 P 并释放 E。反应方案示意性地表示为：
虽然所有反应都必须是可逆的，但通常在条件下测量反应速率时，产物 P 被不断去除，这有效地阻止了逆反应的发生。因此，通常假设不发生逆反应就足够了。
应用质量作用定律得到四个微分方程：
注意 \(e + c = e_0\)，其中 \(e_0\) 是可用酶的总量。
1.4.3 平衡近似
在原始分析中，Michaelis 和 Menten 假设底物与复合物瞬间达到平衡，因此：
由于 \(e + c = e_0\)，我们得到：
其中 \(K_1 = k_{-1} / k_1\)。因此，反应速度 V（即产物形成的速率）为：
其中 \(V_{max} = k_2 e_0\) 是最大反应速度，当所有酶都与底物结合时达到。在小底物浓度下，反应速率是线性的，与可用酶 \(e_0\) 的量成正比。然而，在大浓度下，反应速率饱和至 \(V_{max}\)，因此反应的最大速率受酶量和解离速率常数 \(k_2\) 的限制。
1.4.4 准稳态近似
Briggs 和 Haldane（1925）提出了酶反应的替代分析，他们假设复合物的形成和分解速率在所有时间（可能除了反应开始时复合物"填充"的时候）基本相等。因此，\(dc/dt\) 应近似为零。
通过准稳态近似得到：
其中 \(K_m = (k_{-1} + k_2) / k_1\)。反应速度为：
这就是著名的 Michaelis-Menten 定律。
1.4.5 Lineweaver-Burk 绘图
由于个体速率常数难以实验测量，而比例 \(K_m\) 相对容易测量，因为式（1.43）可以写成：
换句话说，\(1/V\) 是 \(1/s\) 的线性函数。这种双倒数曲线图称为 Lineweaver-Burk 图，从中可以估计 \(V_{max}\) 和 \(K_m\)。
1.4.6 酶抑制
酶抑制剂是抑制酶催化作用的物质。酶抑制是酶反应的常见特征，是酶活性控制的重要手段。抑制剂有多种不同类型。
竞争性抑制剂：抑制剂与底物分子竞争活性位点。竞争性抑制剂的效果是使有效的酶平衡常数增加因子 \(1 + i/K_i\)，从 \(K_m\) 增加到 \(K_m(1 + i/K_i)\)，从而降低反应速度，但最大速度保持不变。
别构抑制剂：抑制剂可以结合在别构（调节）位点。在这种情况下，酶可以同时结合抑制剂和底物。别构抑制剂降低反应的最大速度，而 \(K_s\) 保持不变。
1.4.7 协同性
对于许多酶，反应速度不是 Michaelis-Menten 模型预测的简单双曲线，而是通常具有 sigmoidal 特性。这可能来自协同效应，即酶可以结合多个底物分子，但一个底物分子的结合会影响后续底物分子的结合。
Hill 方程描述了这种情况：
其中 \(n\) 是 Hill 系数。Hill 方程通常用于反应细节中间步骤未知但怀疑存在协同行为的情况。
1.4.8 Monod-Wyman-Changeux (MWC) 模型
协同效应发生在结合一个底物分子会改变后续底物结合速率的情况下。MWC 模型基于以下假设：
- 协同蛋白由几个相同的反应单元（称为原体或亚基）组成，每个包含一个结合位点。
- 蛋白有两种构象状态，通常记为 R（松弛态）和 T（紧张态），它们与配体结合的能力不同。
- 如果配体与一个原体结合诱导了该原体的构象变化，则所有原体都会诱导相同的构象变化。
由于这一假设，MWC 模型通常被称为协调模型，因为每个亚基与其他亚基协调行动。
有趣的是，MWC 模型不能表现出负协同性。无论 \(K_1 > K_3\) 还是相反，结合曲线总是表现出正协同性。
1.4.9 Koshland-Nemethy-Filmer (KNF) 模型
KNF 模型是 MWC 模型的替代方案。KNF 模型不要求所有亚基转变协调进行，而是假设底物与一个亚基的结合仅引起该亚基的构象变化，而这种构象变化会导致相邻亚基结合亲和力的变化。KNF 模型的额外泛化允许负协同性的可能性。
1.4.10 可逆酶反应
由于所有酶反应都是可逆的，酶动力学的全面理解必须考虑这种可逆性。
准稳态近似给出：
1.4.11 Goldbeter-Koshland 函数
协同性是构建生化开关的重要因素。然而，高度敏感的开关行为需要大的 Hill 系数，这似乎需要多个相互作用的酶或结合位点。Goldbeter 和 Koshland（1981）提出了一种替代机制，仅使用两个酶转变就能实现高度敏感的开关行为。
在模型中，底物可以处于两种形式之一（比如 W 和 W），并通过一个酶（比如 E1）从 W 状态转移到 W，通过另一个酶（比如 E2）从 W* 转移回 W。
Goldbeter-Koshland 函数为：
Goldbeter-Koshland 函数常用于生化网络描述。例如，V1 和 V2 可能依赖于另一种酶的浓度，导致 W 浓度对那种酶浓度的开关样调节。
五、糖酵解与糖酵解振荡
1.5.1 代谢与糖酵解
代谢是从化学键中提取有用能量的过程。代谢途径是按顺序进行的酶反应序列，用于将化学能从一种形式转移到另一种形式。细胞中常见的能量载体是 ATP。
葡萄糖氧化释放能量，总体化学反应为：
这不是一个基元反应，而是经过一系列酶反应进行的，主要有三个阶段：糖酵解、柠檬酸循环和电子传递系统。
1.5.2 糖酵解的初始步骤
糖酵解涉及 11 个基元反应步骤。前三个步骤是：
- 葡萄糖磷酸化为葡萄糖-6-磷酸
- 葡萄糖-6-磷酸异构化为果糖-6-磷酸
- 果糖-6-磷酸磷酸化为果糖-1,6-二磷酸
第一个反应的标准自由能变化相对较大为正（\(\Delta G^0 = 14.3\) kJ/mol），因此在生理条件下不会显著发生。然而，代谢的第一步与 ATP 水解为 ADP（由己糖激酶催化）耦合，使该步骤具有净负标准自由能变化。
第三个反应由磷酸果糖激酶（PFK1）催化。PFK1 是别构酶，因为它被 ATP 别构抑制。ATP 既是 PFK1 的底物（在催化位点结合），又是别构抑制剂（在调节位点结合）。ATP 的抑制作用被 AMP 解除，因此 PFK1 的活性随着 ATP 与 AMP 比值的降低而增加。这种反馈使 PFK1 能够根据 ATP 的可用性调节糖酵解速率。
1.5.3 正反馈与负反馈
ADP 转化为 ATP 和 AMP 会显著降低 ATP/AMP 比值，从而激活 PFK1。这是正反馈回路的一个例子。
果糖-6-磷酸的丰富导致果糖-2,6-二磷酸的相应丰富，从而增加 PFK1 的活性。这是负反馈回路的一个例子。
1.5.4 糖酵解振荡
在某些条件下，糖酵解速率是振荡的甚至混沌的。这种生化振荡器已被实验所知并研究了一段时间。
Sel'kov（1968）提出了描述糖酵解振荡的数学模型，后来被 Goldbeter 和 Lefever（1972）修改。该模型旨在捕捉 ADP 对 PFK1 活性的正反馈。
1.5.5 Sel'kov 模型
在 Sel'kov 模型中，PFK1 在未结合状态是无活性的，但通过与几个 ADP 分子结合而被激活。应用质量作用定律得到五个微分方程。
通过分析该系统，发现对于某些参数范围，系统具有振荡解。这些振荡对应于 Hopf 分岔。
稳态解的唯一性由方程决定，其稳定性通过在稳态解附近线性化微分方程并检查线性化系统的特征值来确定。
1.5.6 Goldbeter-Lefever 模型
Sel'kov 模型未能与实验结果在某些方面达成一致。Goldbeter 和 Lefever（1972）提出了一个更详细的 Monod-Wyman-Changeux 型模型，提供了更准确的振荡描述。
在该模型中，酶 PFK1 被假定为一个二聚体，存在两种状态：活性状态 R 和非活性状态 T。底物 S1 可以结合两种形式，但产物 S2（激活剂）只能结合活性形式。
1.5.7 分岔图
分岔图总结了模型行为，显示稳态或极限环等某些特征如何随参数变化而变化。Hopf 分岔是系统最常见的分岔类型。
对于 Goldbeter-Lefever 模型，稳态解在某些 \(\eta\) 值下是稳定的，在其他值下不稳定。在两个 Hopf 分岔点之间存在稳定周期解的分支。
六、数学背景（附录）
1.6.1 无量纲化
在任何问题中，都有许多由问题决定的参数。然而，经常出现的情况是，并非所有参数变化都是独立的。无量纲化是识别独立参数并确定其相对大小的方法。
无量纲化首先通过"典型"单位重新缩放独立和因变量，从而将它们无量纲化。一个目标可能是确保无量纲变量保持固定的数量级，不会变得太大或太小。
1.6.2 相平面分析与线性稳定性分析
相平面分析和线性稳定性分析是微分方程入门课程中的标准内容。
相平面分析是一种几何方法，用于研究二维系统解的行为。轨线在相平面上绘制，稳态附近的几何形状表明稳定性。
1.6.3 分岔理论
分岔理论研究系统参数变化时解的定性变化。稳态分岔、Hopf 分岔、同宿分岔和鞍-节点分岔是最重要的概念。
Hopf 分岔定理描述了微分方程的周期解何时作为参数函数出现。如果线性化系统有一对复特征值其实部在某个参数值处为零（且其他特征值都具有负实部），则该参数值是 Hopf 分岔点。
1.6.4 渐近分析
应用数学家喜欢小参数，因为希望带有小参数的问题的解可以由渐近表示来近似。
扰动展开通常可以找到小参数幂级数形式。这种表示称为正则扰动问题。
然而，许多带有小参数的问题的解不是正则的，称为奇异扰动问题。奇异扰动问题的特征是其对小参数的依赖不是正则的。
准稳态近似就是一个奇异扰动问题的例子。
1.6.5 酶动力学与奇异扰动理论
在大多数酶动力学例子中，广泛使用了准稳态近似。该近似可以作为一个渐近展开的最低阶项来推导。
初始层分析表明，首先有一段酶产物快速平衡的时间，消耗很少的底物；在这段初始"层"之后，反应沿着准稳态曲线以 Michaelis-Menten 动力学进行。
七、公式总结表
| 公式编号 | 公式内容 | 说明 |
|---|---|---|
| (1.2) | \(\frac{d[C]}{dt} = k[A][B]\) | 质量作用定律 |
| (1.5) | \(K_{eq} = \frac{k^-}{k^+} = \frac{[A]_{eq}[B]_{eq}}{[C]_{eq}}\) | 平衡常数定义 |
| (1.10) | \(G_i = G_i^0(T,P) + RT\ln(x_i)\) | 理想气体化学势 |
| (1.12) | \(G = G^0 + RT\ln(c)\) | 理想稀释溶液化学势 |
| (1.14) | \(\Delta G = \Delta G^0 + RT\ln([B]/[A])\) | 反应自由能变化 |
| (1.18) | \(K_{eq} = e^{\Delta G^0/RT}\) | 平衡常数与自由能关系 |
| (1.32) | \(V = \frac{V_{max}s}{K_1 + s}\) | Michaelis-Menten（平衡近似） |
| (1.43) | \(V = \frac{V_{max}s}{s + K_m}\) | Michaelis-Menten（准稳态近似） |
| (1.45) | \(\frac{1}{V} = \frac{1}{V_{max}} + \frac{K_m}{V_{max}s}\) | Lineweaver-Burk形式 |
| (1.53) | \(V = \frac{V_{max}s}{s + K_m(1 + i/K_i)}\) | 竞争性抑制 |
| (1.59) | \(V = \frac{V_{max}s}{1 + i/K_i \cdot K_s + s}\) | 别构抑制 |
| (1.70) | \(V = \frac{V_{max}s^n}{K_m^n + s^n}\) | Hill方程 |
| (1.76) | \(Y = \frac{sK_1^{-1}(1+sK_1^{-1})^{n-1} + K_2^{-1}[sK_3^{-1}(1+sK_3^{-1})^{n-1}]}{(1+sK_1^{-1})^n + K_2^{-1}(1+sK_3^{-1})^n}\) | MWC模型饱和函数 |
| (1.80) | \(V = e_0\frac{k_1k_2s - k_{-1}k_{-2}p}{k_1s + k_{-2}p + k_{-1} + k_2}\) | 可逆酶反应速度 |
| (1.92) | \(G(v_1,v_2,\hat{K}_1,\hat{K}_2) = \frac{\beta - \sqrt{\beta^2 - 4\alpha\gamma}}{2\alpha}\) | Goldbeter-Koshland函数 |
| (1.115) | \(\lambda^2 - (\alpha f_2 - \eta - f_1)\lambda + f_1\eta = 0\) | 特征方程 |
| (1.137) | \(g(\epsilon) = G(\epsilon) + O(\phi(\epsilon))\) | 渐近表示 |
八、总结与思考
8.1 核心要点
本章介绍了生物化学反应的数学建模基础。主要内容包括：
-
质量作用定律：描述化学反应速率与反应物浓度的关系，是生化反应动力学的基础。
-
热力学约束：自由能和平衡常数为反应方向提供热力学约束，但不影响反应速率。
-
详细平衡：循环反应系统中，各反应速率必须满足详细平衡条件。
-
酶动力学：Michaelis-Menten模型是描述酶催化反应的基本框架，包括平衡近似和准稳态近似两种分析方法。
-
酶调节：竞争性抑制和别构抑制是酶活性的两种主要调节机制。
-
协同性：正、负协同性使酶反应呈现 sigmoidal 动力学，Hill方程提供了唯象描述。
-
Goldbeter-Koshland函数：描述双酶系统的稳态行为，可实现开关样调节。
-
糖酵解振荡：PFK1的正反馈调节导致糖酵解呈现振荡行为，通过Hopf分岔理解。
8.2 重要概念辨析
平衡近似 vs 准稳态近似：平衡近似假设底物与酶-底物复合物瞬间达到热力学平衡，适用于 \(k_{-1} \gg k_2\) 的情况。准稳态近似假设复合物的形成和分解速率在所有时间基本相等，适用于酶浓度远小于底物浓度的情况。两者在特定条件下给出相似结果。
竞争性抑制 vs 别构抑制：竞争性抑制剂与底物竞争同一结合位点，只改变有效\(K_m\)而不改变\(V_{max}\)。别构抑制剂结合于调节位点，改变酶的构象，可能同时影响\(K_m\)和\(V_{max}\)。
8.3 数学工具
本章涉及的数学工具包括： - 微分方程建立与分析 - 无量纲化技术 - 相平面分析 - 线性稳定性分析 - Hopf分岔理论 - 渐近分析与奇异扰动理论
8.4 生理学意义
这些生化反应模型对于理解细胞能量代谢、信号转导和调控网络至关重要。糖酵解振荡是细胞代谢节律的一个例子，展示了生化系统如何产生动态行为。酶的调节机制使细胞能够精确控制代谢流量，维持内环境稳定。
8.5 进一步阅读建议
- 深入学习分岔理论，参考 Strogatz《非线性动力学与混沌》
- 了解更多酶动力学模型，参考 Segel《酶动力学》
- 研究细胞代谢网络，系统生物学方向
参考文献
Keener, J., & Sneyd, J. (2009). Mathematical Physiology (2nd ed., Vol. I: Cellular Physiology). Springer.
本读书笔记完