第 1 章：生物力学分析导论（Introduction to Biomechanical Analysis）

引言与本章目的

本章由 Andrew R. Karduna 撰写，是全书 Part I（生物力学原理）的开篇章节。Karduna 在开篇即指出，尽管人体是由数万亿细胞构成的极为复杂的生物系统，但它同样受支配简单金属或塑料结构的力学基本定律制约。研究生物系统对机械力响应的学科被称为生物力学（biomechanics）。该学科虽到 20 世纪才被承认为正式学科，但 Leonardo da Vinci、Galileo Galilei、Aristotle 等先驱均已涉足。生物力学应用于肌肉骨骼系统增进了对关节功能与功能障碍的理解，并推动了关节置换系统与矫形器等设备的设计改进；其基本概念对骨科医生、物理治疗师与作业治疗师等临床工作者也很重要。

生物力学常被称为结构与功能之间的桥梁。治疗师通常从运动学角度评估患者，但完整的生物力学分析往往既不实际也不必要。然而，全面理解生物力学与解剖学是理解肌肉骨骼系统功能所必需的；生物力学还有助于批判性地评价现有的或新提出的患者评估与治疗方案；最后，理解生物力学基础对于掌握运动学相关术语（如力矩、力偶、力臂）不可或缺。

本章有四个目的：(1) 回顾生物力学中使用的一些基本数学原理；(2) 描述力与力矩；(3) 讨论静力分析原理；(4) 介绍运动学与动力学的基本概念。Karduna 明确将分析限定于刚体（rigid bodies），可变形体留待第 2–6 章讨论，并指出本章材料是全书中各力分析章节的重要参考。

计量单位（Units of Measurement）

测量必须附以单位才有物理意义，但有时单位会被隐含（如临床问身高答"5-6"时默认 5 英尺 6 英寸；若在欧洲则指米制）。单位缺失时数字本身毫无意义（如让患者锻炼"两个"，无法判断是两天、两周还是两年）。生物力学使用的单位可分为两类：一类是长度、质量、时间、温度这四个基本单位，由国际公认标准定义；其他单位皆为导出单位，可由这四者定义。例如，速度 = 长度 / 时间；力 = 质量 × 长度 / 时间²。表 1.1 列出生物力学所需的全部单位及其公制—英制换算关系。

三角学（Trigonometry）

角度在肌肉骨骼系统分析中极为重要，因此三角学是非常有用的工具。临床中测量角度的通用单位是度（degree），一个圆为 360°，圆的一部分所对应的角就是 360° 的某个分数（例：四分之一圆对应 90°）。虽然本书一般采用度，但角度也可用弧度（radian）描述——一个圆为 2π 弧度，即 57.3°/弧度。使用计算器时需先确定其设置为度还是弧度；某些计算机程序（如 Microsoft Excel）以弧度进行三角计算。

三角函数对将力分解为分量（在含 90° 角的直角三角形中通过角度与边长建立关系）非常有用。图 1.1A 列出最基本的关系：正弦（对边/斜边）、余弦（邻边/斜边）、正切（对边/邻边）。记忆口诀为 sohcahtoa。需熟记的几个值：sin(0°)=0、sin(90°)=1；cos(0°)=1、cos(90°)=0；tan(45°)=1（式 1.1–1.3）。勾股定理指出，直角三角形中构成直角的两边平方和等于斜边平方（图 1.1A）。此外也存在针对非直角三角形建立角与边长关系的方程（图 1.1B）。

矢量分析（Vector Analysis）

生物力学参数可以标量（scalar）或矢量（vector）表示。标量仅用大小描述，质量、时间、长度都是标量。矢量则一般同时具有大小（magnitude）和方向（orientation），完整描述还包括指向（direction 或 sense）和作用点（point of application）。力和力矩就是矢量。例如一个 160 磅的人坐在椅子上 10 秒：他对椅子所施的力是一个矢量——大小（160 lb）、方向（垂直）、指向（向下）、作用点（椅面）；而他在椅子上坐的时间是标量，仅有大小（10 秒）。

为避免混淆，全书以粗体（A）表示矢量，以非粗体（A）表示标量；文献中也用下划线、顶线或顶箭头等记号。某矢量的大小用同字母非粗体表示。生物力学中最常见的矢量应用是表示力——肌肉力、关节反作用力与阻力。这些矢量可用带箭头的线段（图 1.2A）作图示：线段长度代表大小、角位置代表方向、箭头位置代表指向、线段在空间的位置代表作用点。同一矢量也可用极坐标或分量表示数学化——极坐标直接给出大小与方向（如 5 N、与水平面成 37°），分量则分解为沿两个坐标轴的贡献（AX = 4 N，AY = 3 N）。将矢量分解为沿解剖方向的分量通常很有用（例：x、y 轴可分别对应 superior、anterior 方向）。矢量方向信息（上、右）也编码在该信息中：与图 1.2C 大小方向相同但指向相反的矢量，AX = −4 N、AY = −3 N，或记为 5 N、217°。

矢量加法（VECTOR ADDITION）：肌肉骨骼生物力学中常需考虑多个力，因此必须理解如何处理多个矢量。两矢量相加或相减时有若干重要性质。矢量加法满足交换律（A + B = B + A，式 1.4）和结合律（A + (B + C) = (A + B) + C，式 1.6）；减法则可改写为加法（A − B = A + (−B)，式 1.5）。与标量不同，矢量相加时大小与方向都必须考虑。Box 1.1 以图示、极坐标和分量三种方式展示两矢量相加（A + B = C）的详细过程。图示法用"首尾相接"（tip to tail）：先画 A，再将 B 的尾端接在 A 的尖端，结果矢量 C 由 A 尾端连至 B 尖端。由于加法可交换，先画 B 也得到相同结果。极坐标法同样先按图示法画两矢量，然后用余弦定理求 C 大小、正弦定理求 C 方向。分量法先将每个矢量分解为 x、y 分量，再分别求和：CX = AX + BX（式 1.7），CY = AY + BY（式 1.8）；矢量 C 既可以分量形式保留，也可用勾股定理与三角函数换算为大小与方向。分量法是三种方法中最方便的，全书均采用之。

矢量乘法（VECTOR MULTIPLICATION）：矢量与标量相乘较简单——标量分别乘以矢量的每个分量，结果仍为矢量。例如图 1.2 中矢量乘以 5 得 AX = 20 N、AY = 15 N。另一类矢量乘法是叉积（cross product）：两矢量相乘得到新矢量（C = A × B），新矢量方向同时垂直于 A 与 B，大小 C = |A × B| × sinθ（θ 为 A、B 间夹角），见图 1.3。本章稍后将用叉积计算关节力矩。

坐标系（Coordinate Systems）

完整描述人体运动需要三维分析，这要求建立坐标系，典型做法是采用与解剖方向对齐的三个轴：内侧—外侧（ML）、前—后（AP）、上—下（SI）。常用做法是仅考虑二维（平面）分析，只取三个轴中的两个。人体存在三个互相垂直的解剖平面，称为基本面（cardinal planes）：矢状面（sagittal plane）由 SI 与 AP 轴构成、额（冠）状面（frontal 或 coronal plane）由 SI 与 ML 轴构成、水平面（transverse plane）由 AP 与 ML 轴构成（图 1.4）。

任意骨的运动既可参照局部（local）也可参照全局（global）坐标系描述。例如胫骨相对股骨的运动（局部坐标系）或相对房间的运动（全局坐标系）。局部坐标系便于理解关节功能与评估活动度，全局坐标系则便于考虑功能性活动。书中大部分内容聚焦于二维分析，理由有三：(1) 在书页这种二维载体上呈现三维信息很困难；(2) 三维问题的数学分析很复杂；(3) 最关键的是，二维分析与三维分析背后的基本生物力学原理相同。因此可用简化的二维表示来阐释三维概念，以最少的数学复杂度讲清问题。

力（Forces）

读者或许对力有概念性的认识，但难以给出正式定义。本书将力定义为两个物体物理接触产生的"推或拉"。唯一的例外是重力——它不涉及两个物体的直接物理接触。肌肉骨骼系统中常见力的来源包括：肌肉/肌腱、韧带、摩擦力、地面反作用力以及重力。

必须严格区分物体的质量（mass）与重量（weight）。质量定义为构成物体的物质量；重量则是重力作用于该物体的力，等于质量乘以重力加速度（g = 9.8 m/s²）。物体在地球与月球上的质量相同，但在月球上重量较轻，因为月球的重力加速度更低。这一区分在生物力学中很重要——目的是确保质量单位不被当作力的单位处理。

如前所述，力是矢量，具有大小、方向、指向与作用点。图 1.5 展示站立时下肢在额状面所受的若干力：外展肌与内收肌的力通过各自的肌腱附着点作用，髋关节反作用力通过相应的关节旋转中心作用。一般而言，力的作用点（如肌腱附着点）相对身体上某一固定点（通常为关节旋转中心）定位，这一信息用于计算该力产生的力矩。

力矩（Moments）

在运动学中，力矩（M）通常由作用在节段旋转中心一定距离（r）上的力（F）引起，倾向于引起旋转，由叉积定义：M = r × F。因此力矩由通过关注点（如旋转中心）的矢量表示，同时垂直于力与距离矢量（图 1.6）。在二维分析中，力与距离矢量都在纸面内，力矩矢量则总是垂直于纸面、作用线通过关注点；由于此时它只有这一种方向与作用线，力矩在二维分析中常被当作仅有大小与方向的标量处理。力矩的同义词是扭矩（torque）。由叉积定义，力矩（或扭矩）的大小为 M = |r × F| × sinθ，其方向定义为物体将倾向于旋转的方向（图 1.7A）。

虽然可有多种距离用于连接矢量与某一点，但无论选择哪种距离算得的力矩相同（图 1.7B）。与力矢量垂直的距离称为该力的力臂（moment arm，MA，即图 1.7B 中的 r2）。由于 sin(90°) = 1，用力臂可将力矩化简为 M = MA × F。力臂也可由任意距离计算：MA = r × sinθ。力与距离矢量之间虽存在四个不同的角度，但任一角度算出的力矩均相同（图 1.7C）。

图 1.6、1.7 的例子都同时包含力与力矩分量。但图 1.8A 中虽然两作用力构成力矩，它们大小相同、方向相反、指向相反，因此矢量和为零——这是力偶（force couple）的例子。纯力偶只产生旋转运动，因为没有未平衡的力。在肌肉骨骼系统中这些条件很少全部满足，因此纯力偶罕见。一般而言肌肉既产生力也产生力矩，从而引起平移与旋转两种运动。但人体内也存在两块或更多肌肉协同产生力矩的例子，如上斜方肌与前锯肌（图 1.8B），虽大小或方向不完全相同，也常被称为力偶。

肌肉力（Muscle Forces）

如前所述，肌肉力有三个重要参数：方向、大小、作用点。通过解剖或影像技术（MRI、CT）可较方便地测量肌肉方向与作用线。这一信息有助于判断肌肉产生力矩的功能与效率。Box 1.2 以跨过盂肱关节的两块肌肉——冈上肌与三角肌中束为例：在该姿势下，由肌肉方向与作用点信息可计算出三角肌的力臂大致等于冈上肌的力臂，尽管三角肌在肱骨上的附着点离旋转中心比冈上肌附着点远得多。

Karduna 在 Clinical Relevance 框中补充：肌肉除产生引起角运动（旋转）的力矩外，也产生引起线运动（平移）的力。该力可以是稳定力或不稳定力。Box 1.2 中冈上肌的方向主要指向内侧，倾向于将肱骨头拉入关节盂，构成压应力从而稳定盂肱关节；而三角肌方向指向上方，会产生使肱骨头向上平移的不稳定力。此类分析即使在肌肉力大小未知时也可进行，但要完整理解肌肉功能仍需知道其力的大小。力可用侵入式力传感器、仪器化假体系统或尸体模型仿真来测量，但目前尚无用于在体测量完整肌肉力的非侵入性实验方法。因此可借用大学物理的基本概念预测肌肉力；虽常需许多简化假设，但这类方法对理解关节力学非常有用，将在下一节展开。

静力学与牛顿定律（Statics & Newton's Laws）

静力学研究静止或以恒定速度运动的物体所受的力。虽然人体几乎总在加速，但静力分析提供了一种处理肌肉骨骼问题的简便方法，既可直接求解也可作为更精细动力学分析的基础。

肌肉骨骼系统本质上是相互接触的一系列物体，因此牛顿（1642–1727）发展的一些基本物理学原理适用。牛顿三定律为：第一定律——物体保持静止或匀速直线运动，除非受到不平衡外力；第二定律——若物体受到不平衡外力，将沿力的方向产生加速度，且力与加速度成正比（f = ma）；第三定律——对每一作用力必有一大小相等、方向相反的反作用力。

由第一定律可知，静止物体的外部受力必无未平衡分量，这种状态称为静力平衡（static equilibrium）。所有外部力的矢量和为零。对比粒子更大的物体推广此定律，则作用在该物体上的外部力矩之和也必须为零，物体才能处于静止。于是三维分析有六个方程同时成立（式 1.9）：∑Fx = 0，∑Fy = 0，∑Fz = 0；∑Mx = 0，∑My = 0，∑Mz = 0。二维分析（在 x–y 平面内）则仅有三个方程（式 1.10）：∑Fx = 0，∑Fy = 0，∑Mz = 0。在许多情形下假设身体各部分处于静力平衡是合理的，这三个方程可用来计算肌肉骨骼系统上所受的一些力。若物体不在静力平衡下，牛顿第二定律表明任何未平衡的力与力矩都与物体的加速度成正比——这种情况将在本章稍后讨论。

求解静力问题（Solving Problems）

静力平衡下求力的通用步骤为：步骤 1，隔离感兴趣的物体；步骤 2，画出该物体及所有外部力（即受力图 free body diagram）；步骤 3，将所有力与力矩之和置零；步骤 4，解出未知力。作为简单例子，Box 1.3 给出两个 1 kg 重的小球用绳悬挂、求上端绳中力的问题。步骤 1 在系统外画虚线框；步骤 2 画受力图，仅考虑外部力——本例有三：上绳的拉力、两球各自的重力；步骤 3 由于无 x 方向力、力作用线交于一点故无力矩，只剩 ∑Fy = 0 一个方程；步骤 4 将质量换算为力（乘以重力加速度），完整过程见 Box 1.3，结果 T = 20 N。

受力图中外部力是由框内物体与框外物体接触引起的，故上绳的拉力是外部力（绳一部分在框内一部分在框外），下绳的拉力是内部力（整根绳都在框内）——这种区分对隔离肌肉骨骼系统中特定肌肉或关节上的力至关重要。两球重力也被当作外部力处理，因为虽然重力不源于物体接触，但它由两个物体（球与地球）的相互作用产生，且一个在框内一个在框外；只要有物体在框内，其所受重力应作为外部力。绳的重量被忽略，因为远小于球重；类似地，生物力学分析中常忽略像手表重量这样的微小力。处理线性力时，最好让 x 或 y 轴与力的方向对齐。

平行力：稍复杂的情形是所有力方向相同但作用线不同——矢量彼此平行。此时仍只有一个方向的力，但需考虑力矩。

杠杆与重心（Levers & Center of Gravity）

杠杆是肌肉骨骼系统中很常见的平行力系统特例（杠杆中并非都含平行力，此处专注平行力情形）。理解杠杆概念后即可对生物力学问题作最简分析而无需复杂数学。杠杆由刚性杆与两外力及一旋转点组成。在肌肉骨骼关节中，一力由肌肉产生，另一力来自与环境接触（或重力），旋转点即关节旋转中心（COR）。两力可位于 COR 同侧或异侧：位于异侧者为第一类杠杆；位于同侧且外力比肌肉力更靠近 COR 者为第二类；位于同侧且肌肉力比外力更靠近 COR 者为第三类。第一类杠杆可有多种情形，但人体多数关节表现为第三类杠杆；第二类杠杆在人体内几乎从不出现。三类杠杆示例见图 1.9。

将各力对 COR 取矩，可得阻力与肌肉力的关系：FR = FM × (MAM/MAR)（式 1.11）。肌肉力臂与阻力力臂之比（MAM/MAR）称为杠杆的机械优势。由该式及杠杆定义可知，第二类杠杆机械优势大于 1，第三类小于 1，第一类无限制。其推论是：既然多数关节为第三类杠杆，肌肉力必大于其所对抗的阻力。这看似低效，但肌肉以此为代价换得大幅度与高速运动。该式在两力不平行时仍成立，只要知道各自的力臂。肌肉力臂对关节运动的影响将在第 4 章讨论。

重心与稳定性：平行力系统的另一例子是用重心判断稳定性。物体重心是所有重量可视为集中的点，取决于物体的形状与质量分布。人体在解剖位下的重心约位于第二骶椎水平。身体形态改变时重心位置变化；前屈时重心向前下移动；身体质量分布改变（如腿部肌肉量增大）也会使重心下移。重心位置在体育运动及其他快速运动中很重要，因为它便于应用牛顿第二定律。临床上更关心的是重心对稳定性的影响。在加速度可忽略的运动中，由牛顿第一定律可知重心必须落在支撑面内才能保持稳定。

Karduna 以一个人担心前摔为例说明。假设地面反作用力分别作用于脚趾与脚跟。直立时重心位于脚趾后方，脚趾处产生逆时针力矩（图 1.10A），是稳定状态——该力矩可由脚跟处地面反作用力平衡。若以髋关节屈曲过度前倾，重心移至脚趾前方，上身体重在脚趾处产生顺时针力矩（图 1.10B），由于前方再无支撑，该力矩未平衡，人将前倒。但若前屈同时膝伸直并踝关节跖屈，则重心仍在脚趾后方，处于稳定位（图 1.10C）。

简单与高级肌肉骨骼问题（Simple & Advanced Musculoskeletal Problems）

简单肌肉骨骼问题：线性力（linear forces）情形即所有力具有相同方向与作用线，可变的只有大小与指向，Box 1.3 即此类例子，只需沿 y 轴方向求和。

高级肌肉骨骼问题：静力平衡最常用于肌肉骨骼系统的情形是求未知的肌肉力。这特别有意义，因为目前没有非侵入性方法测量在体肌肉力。一个肌肉骨骼问题通常需考虑三类力：(a) 两关节面之间的关节反作用力；(b) 肌肉力；(c) 人体与外部世界相互作用产生的力。每类力有多少未知参数？需逐一定位所有力的作用点。关节反作用力的方向与大小均未知，故两个未知参数；肌肉力方向可测、大小未知，故一个未知参数；与外部世界的力理论上可用手持测力计、力台或已知节段重量测得，故无未知参数（表 1.2）。

因此关节反作用力贡献两个未知参数，每块肌肉各贡献一个，但二维牛顿第一律只有三个方程。当肌肉多于一块时，未知参数超过方程数。这种情形称为静力不确定（statically indeterminate），有无穷多组解。为避免此问题，只考虑一块肌肉的力——这虽过度简化了多数肌肉骨骼情形，但基于单肌肉的解仍可提供关节力学的整体视角。问题的具体求解取决于任务要求。表 1.2 给出身体各节段的质量百分比、重心位置百分比与回转半径百分比三项参数，可用于此类计算。

单肌肉力分析（FORCE ANALYSIS WITH A SINGLE MUSCLE）：为求单肌肉力通常采用以下附加假设：二维分析；所有组织无形变；系统内无摩擦；所选单肌肉力可集中于一条作用线；无加速度。以 Box 1.4 中的盂肱关节为例说明一般求解策略，仅选冈上肌。步骤 1 隔离感兴趣的物体——此处为肱骨；步骤 2 画受力图并标出所有外力：臂重 FG、冈上肌力 FS、盂肱关节反作用力 FJ。注意外部对象（如肩胛骨）常画入受力图使图完整，但肩胛骨在分析之外，仅为方便画灰，须分清内外对象。步骤 3 将力与力矩求和为零以求未知量；由于关节反作用力通过 COR，取 COR 处力矩为零可有效消除该力（其力臂为零）。x、y 轴方向力分别求和得关节反作用力的两个分量。步骤 4 联立三方程求解（详算见 Box 1.4）：本例中 FJ 沿 x = −180 N（外侧），沿 y = 24 N（上方）；总大小 182 N。这代表肩胛骨对肱骨的力。由牛顿第三定律，肱骨对肩胛骨的力为 180 N 内侧、24 N 下侧，合大小 182 N。

本例中肌肉力远大于臂重。这在预料之中，因为肌肉力臂比重力力臂小得多。虽然肌肉在力产生上处于机械劣势，但使其运动得以放大：例如冈上肌收缩 1 cm 对应手部 7.5 cm 运动（第 4 章详述）。若改为分析三角肌中束（Box 1.5），则 FD = 200 N，肱骨对肩胛骨为 115 N 内侧、140 N 上侧，合 181 N。可见两情况下肌肉力与关节反作用力合大小相近，但三角肌产生更高的向上力，冈上肌产生更高的向内力。临床意义（Clinical Relevance 框）：正常条件下冈上肌通过其向内力维持关节稳定；但若其完整性受损（如发生肩袖病），三角肌承担更多作用，则向内稳定力降低而向上力升高，可能导致肩袖在肩峰下区受到撞击。

本分析为后续章节的肌肉力与关节反作用力分析提供模板。虽然不同关节问题各有差异，但基本方法相同。

多肌肉力分析（FORCE ANALYSIS WITH MULTIPLE MUSCLES）：本书多数问题集中于仅一块肌肉时求肌肉力，但若能解多块肌肉同时活动的系统将更理想。然而此类系统是静力不确定的，需要额外信息才能获得唯一解，需引入各肌肉相对贡献。

一种方法是优化（optimization）法：因静力不确定系统有无穷多解，优化法通过最小化某个目标函数选出"最佳"解。该目标函数可以是所有肌肉的力总和或应力（力/面积）总和。虽然中枢神经系统为节省做功而采取某种最优化策略看似合理，但关节的多重需求也必须满足。例如上述盂肱关节中，从力产生角度看假设仅三角肌单独作用最有效，但从稳定性角度看肩袖的贡献必不可少。

另一种方法是简化（reductionist）模型：基于肌电信号（EMG）制定一组规则来分配各肌肉的相对贡献。一种做法是研究者基于对 EMG、解剖与生理约束的主观知识制定规则；另一种是让受试者在不同力水平下做等长收缩并测 EMG，建立 EMG 与力水平之间的经验关系；最常见的做法是假设肌肉力与其横截面积及 EMG 水平成正比——这一方法已用于肩、膝、髋等多个关节。其关键假设都是 EMG 水平与力产生之间存在已知关系。

旋转与平移运动（Rotational and Translational Motion）

纯线性（即平移 translatory）运动发生于物体上所有点都移动相同距离时（图 1.11A）。除关节被动操作外，肌肉骨骼关节处几乎不发生纯平移运动；更常见的是旋转运动——骨上某一点保持不动（COR），其余所有点绕该点沿圆弧运动（图 1.11B）。三维情形下 COR 被旋转轴取代，且可沿该轴发生平移。

考察一骨从初位到末位的一般运动。其旋转分量可通过追踪骨上一条线方向的变化来度量——线可任选，但旋转量总相同。平移分量则通过追踪骨上某一点位置的变化来度量；不过此时平移量对各点不同，点离 COR 越远位移越大（图 1.11B）。因此若有骨旋转，描述关节平移或位移时必须指定骨上某一具体点。

以图 1.12A 肱骨旋转 90° 时的上—下平移为例。点 1 代表肱骨头几何中心，从位置 1 到 2 无平移；而点 2 在肱骨头关节面上，向下平移。图 1.12B 类似运动，但点 1 向上平移、点 2 仍向下平移。可见指定参考点对描述关节平移至关重要。

位移、速度与加速度（Displacement, Velocity, and Acceleration）

线性与角位移都是距离度量。位置（position）是点或物体在空间中的所在；位移（displacement）是两点之间走过的距离。例如膝关节在步态中跟着地时角位置为屈曲 10°、趾离地时为屈曲 70°，则从跟着地到趾离地的角位移为屈曲 60°。

位置（线性与角度）随时间的变化率定义为线速度与角速度；表 1.3 给出相关关系：瞬时速度 v = dp/dt（线）或 ω = dθ/dt（角），平均速度 v = (P2 − P1)/(t2 − t1)（线）或 ω = (θ2 − θ1)/(t2 − t1)（角）。求某瞬时速度需用微商；平均速度仅需取两点位置差除以时间差，当时间间隔趋近零时平均速度趋近瞬时速度。线速度与角速度随时间的变化定义为线加速度与角加速度；瞬时加速度为速度对时间的微商（a = dv/dt 或 α = dω/dt），平均加速度为速度差除以时间差（a = (v2 − v1)/(t2 − t1) 或 α = (ω2 − ω1)/(t2 − t1)）。图 1.13 示意常加速度下速度与位置的变化：速度随时间线性增加、位置随时间非线性增加。

惯性力（Inertial Forces）

运动学与动力学由牛顿第二定律相连：作用在物体上的外力（f）正比于该物体质量（m）与线加速度（a）的乘积：f = ma（式 1.12）。在静力平衡条件下因无加速度，外力总和为零。但当物体加速时，必须考虑由加速度产生的所谓惯性力（inertial forces），力之和不再为零。

以某人试图提起 20 kg 箱子为例（Box 1.6）。若动作极慢加速度可忽略，可应用静力平衡条件（∑F = 0），所需力为 200 N。但若以 5 m/s² 的加速度提起同样箱子，力之和不为零，所需力为 300 N（Box 1.6）。旋转运动也存在类比关系：作用在物体上的外力矩（M）正比于该物体的转动惯量（I）与角加速度（α）：M = Iα（式 1.13）。质量是抵抗线加速度的量度，转动惯量是抵抗角加速度的量度；它既取决于物体各质点的质量大小，也取决于各质点到旋转中心的距离（r），具体为 I = ∑mr²（式 1.14）。因此质点离旋转中心越远对转动惯量的贡献越大。例：花样滑冰运动员旋转时收拢手臂将更多质量靠近旋转中心，从而减小转动惯量，角速度随之增大。

理论上可用式 1.14 计算某节段的转动惯量，但更实际的做法是将节段视为具有单一质量（m）与单一回转半径（k）的整体：I = mk²（式 1.15）。物体的回转半径代表将物体所有质量集中于该距离处即可得到与原物体相同的转动惯量。人体各节段的回转半径见表 1.2。Box 1.7 展示如何计算某节段绕其近端的转动惯量：总质量 75 kg，下肢长度 0.9 m，下肢质量 m = 0.161 × 75 = 12.1 kg，回转半径 k = 0.56 × 0.9 = 0.504 m，转动惯量 I = mk² = (12.1 kg)(0.504 m)² = 3.1 kg·m²。

功、能与功率（Work, Energy, and Power）

运动学与动力学的另一结合是功（work），定义为使物体移动某距离所需的力（功 = 力 × 距离）。公制中功的单位为焦耳（J；N × m）。例如 Box 1.6 中 20 kg 箱子在静力平衡下提升 1 m，所做功为 200 J（200 N × 1 m）。类比 Box 1.6 的动力学情形，所做功为 300 J（300 N × 1 m）。

功率（power）定义为做功的速率（功率 = 功/时间），单位为瓦特（W；W = N·m/s）。延续上例，若提升用时 2 秒，则静力下平均功率 100 W、动力下平均功率 150 W。换言之，静力提升产生的功率相当于一盏 100 W 灯泡亮 2 秒。

系统的能（energy）指其做功的能力，单位同功（J），可分为势能（potential energy）与动能（kinetic energy）：势能为储存的能量，动能为运动中的能量。

摩擦（Friction）

摩擦力可在物体静止时阻止其运动，在运动时抵抗其运动。本节专门讨论库仑摩擦（即两干燥表面间的摩擦）。考虑一重量为 W 的箱子置于地面（图 1.14）。若沿 x 轴施力 F 等于摩擦力 Ff，则箱子处于静力平衡；若施力大于摩擦力，则箱子因未平衡外力而向右加速。

摩擦力随施力增加而增加，直至达到临界值 F = μsN（N 为地面对箱子的反作用力，μs 为静摩擦系数）；本例中 N 等于箱重。一旦达到此临界值，仍存在摩擦力但改由 F = μkN 描述（μk 为动摩擦系数）。摩擦系数取决于接触面的成分与粗糙度等多种参数；通常动摩擦系数小于静摩擦系数——因此使图 1.14 的箱子保持运动比启动它所需力更小。

本章小结（Summary）

本章从回顾与运动学相关的一些重要数学原理入手，进而从生物力学视角讨论静力学、运动学与动力学。该信息将在全书中用于分析举重、拐杖使用与单腿站立等活动；读者在后续遇到这些问题时可能会发现回看本章很有用。

本章个人批注

本章作为全书开篇，承担三重任务：(1) 给出读者后续所有章节都会反复调用的数学与力学语言；(2) 通过几个精心挑选的肌肉骨骼例子（杠杆分类、重心稳定性、单/多肌肉静力分析）演示该语言如何应用于具体的解剖结构；(3) 引出若干贯穿全书的方法论问题——例如"静力不确定"与"肌肉力臂 vs 运动放大"的张力。

Karduna 在 Muscle Forces 一节特别提到：肌肉力在体测量的"目前没有非侵入性方法"——这不仅是历史陈述，也暗示了肌肉力学建模的根本困难；后续章节（第 4 章生物力学、第 17/19 章抓握、第 48 章步态）很可能不断回到此话题。在"多肌肉力分析"小节他把优化法与 EMG 简化法并列摆出，并未给出倾向，这一点我也想保留：他似乎有意识避免过早站队，把选择留给后续章节的语境。这一点与他在 Kinesiology 临床应用取向的章节定位是契合的——本章只搭脚手架，案例留给后续关节专章。

写作上他对"基本概念借用 freshman physics"一句格外坦率，配合五个"简化假设"清单（2D、不可变形、无摩擦、单线作用、无加速度）——明示这些方法只在这些条件下才严格成立。对工程背景出身的读者这是个提醒，但也可能让生物力学专业的读者觉得过于教科书气。这点我没有特别强的意见，先记录下来，等读到具体关节分析章节再看作者是否在临床语境下放宽这些假设。

有一处我初次读时略感奇怪——他提到肌肉的"line of action"可通过"cadavers or imaging techniques such as MRI and CT"测量，并引用了 An 1984 等；但实际解剖学训练中常通过肌纤维走向或肌内腱板（intramuscular tendon）来推断作用线，MRI/CT 通常用于确认几何位置而非肌纤维方向。这点可能是行文的简化，不影响主旨，但若读到肌肉力学章节时此说法再次出现，我可能要回头看引用是否站得住脚。

与上下章的衔接（一段话）

本章是 Part I 的开篇，定位为"工具箱章节"——它不教任何具体关节的生物力学，而是为后续所有关节专章铺垫统一的数学与力学语言。值得注意的是作者在引言中明确"本章为全书力分析章节的重要参考"，并将可变形体明确让位给第 2–6 章（材料力学属性、软骨、肌腱/韧带、关节）。这意味着下一章进入"Mechanical Properties of Materials"时，读者应带着本章建立的静力分析框架，去看力如何使组织变形、组织又如何以不同刚度/粘弹性抵抗变形——即把本章的"刚体静力"语言过渡到"可变形体力学"语言。从第 2 章到第 6 章将系统建立骨、肌肉、软骨、肌腱/韧带、关节这五大组织的力学属性，然后第 7 章开始才进入关节层面的复合分析（Joint Biomechanics），并自第 8 章起逐关节展开应用——本章正是这一长程结构的入口。