第 11 章：反思、阐发与读者讨论（Reflections, Elaborations, and Discussions with Readers）

本章开头用"对一名外科医生而言 X 光是工具，对因果研究而言图就是工具"作为题词，并声明本章的目的是回望前 1–10 章材料中需要进一步阐发的问题、补出八年来的新结果、以及回答第一版读者提出的有普遍意义的疑问。讨论大致按书中出现顺序编排，每节都标注了与之对应的章节号。

11.1.1 因果—统计的两分是否必要？

读者来信指出：第 1 章（1.5 节）坚持在统计概念（可由观测变量的联合分布定义）与因果概念（不可如此定义）之间画线，但"随机化""混淆""工具变量"等被归为因果的概念在统计文献中同样频繁出现，这种区分是否清晰、是否必要、是否有用？作者的回答是该区分"清晰、必要且有用"，并以一句话加重语气："如果我除了坚持因果—统计之分外没有任何其他贡献，我也认为我的科学工作是有价值的。" 区分之所以"令人尴尬地清晰而简单"，在于它根基于静力学与运动学之间的根本差异：标准统计分析（回归、估计、假设检验）旨在由样本评估静态分布参数——这些任务在实验条件不变时由标准统计方法完成得相当好；而因果分析则更进一步，它的目标不仅是评估静态条件下的事件可能性，还要推断条件改变时事件的动力学行为（由治疗、外部干预、新政策或新实验设计引发的变化）。由此推出因果与统计概念不可混用：从症状与疾病的联合分布中，我们无从得知治愈前者是否会治愈后者；同理，分布函数中没有任何东西告诉我们，当外部条件（例如从观察性变为实验性设置）变化时，该分布会如何变化，因为概率定律并不规定当分布某一性质改变时另一性质应如何改变；这种信息必须由额外的、识别"哪些性质在指定变化下保持不变"的假设提供，这些假设的总和就是所谓"因果知识"。作者由此把"相关不是因果"翻译成一条有用的原则：每一个因果结论背后都必须隐藏某种不可从分布函数中识别的因果假设。作者以"随机化"为例：给定双变量密度 $f(x,y)$，仅凭 $f(x,y)$ 不可能判定哪一个变量被随机化，因此按定义随机化是因果的而非统计的；每个随机化实验都基于外部干预，使受试者"被迫"接受某种治疗而非遵循其自然倾向，由此使实验设置及从中得出的所有关系都属于因果范畴。但作者强调这一区分的目的并非将因果概念排除在统计分析领域之外，而是鼓励研究者以恰当的数学与推断工具单独处理它们；事实上统计学家是随机化实验的首创者，自 Fisher（1926）以来一直成功运用，但这些研究中的假设与结论长期停留在研究者的脑中，没有进入数学体系——比如人们极难在研究生水平的统计教科书中找到"随机化确实产生我们希望估计量的无偏估计"这一陈述的数学证明。作者重申，过去二十年最重要的贡献之一，是涌现了一种数学语言，使得不仅是数据、连实验设计本身都能得到数学描述；这种描述在把一个实验的结果作为另一个的输入、预测一个设计在另一数据下的结果、或判断我们是否具备做跨设计预测的知识时都是本质性的。

作者追问"区分是否必要"：科学依赖不可轻易混合的区分，就像有理数与无理数的区分对数论、Boole 与 De Morgan 浪费半个世纪想把一阶逻辑三段论塞进命题逻辑、一阶逻辑与命题逻辑的区分直到 19 世纪末才清晰化；因果领域也有类似故事——哲学家花半个世纪试图把因果还原为概率（7.5 节），只在"证据决策论"这类陷阱中打转（4.1 节）；流行病学家花半个世纪试图用关联的语言定义"混淆"（第 6 章 183、194 页），部分人至今仍在努力（11.6.4 节）。这种徒劳本可避免：若混淆真是统计概念，我们本可从非实验数据的特征中识别混淆变量、对之做调整、并获得因果效应的无偏估计，但这会违反"金规则"——任何因果结论背后必有某种在观察研究中未经检验的因果假设。流行病学家未事先认识到此类尝试的徒劳，要么因为他们未认真看待因果—统计之分，要么因为他们不敢把"混淆"这样一个简单直观的概念归为"非统计"。把直观概念从统计语言（经验科学家最强大的形式语言）中剥离的确是痛苦的——社会科学家花了半个世纪用回归技术评估公共政策，直到最近才不得不承认"回归分析通常不过是从数据中产生一堆条件均值与条件方差的集合"（Berk 2004, p. 237）；经济学家在外生性概念上也经历了类似痛苦（5.4.3 节），即使有人认识到外生性的某一支（超外生性）是因果性的，也会被诱惑回头用分布来定义它（Maddala 1992；Hendry 1995）——跨过分界线确实不可抗拒，因为用先验与条件分布定义概念（经验知识的最终判官）曾被视为科学审慎的标志；如今我们看得更清楚。

至于"区分是否有用"，作者相信今天在哲学、流行病学、经济学失败实验的教训下，没有哪个声誉良好的学科会再花半个世纪追求任何因果概念的分布式定义。该分界线的用处主要在于帮助研究者追溯支撑各种科学主张所需的假设：每个援引因果概念的主张都必须依赖某种带有因果词汇的判断前提，而这些前提只能以因果上独特的符号表达，因此这条分界线提供了一套符号工具，用以识别每个因果主张所依赖的判断假设。统计假设即使未经检验，原则上可由足够大样本与足够细测量检验；相比之下，因果假设即使诉诸实验控制，原则上也无法被验证。这种差异在贝叶斯分析中尤为突出：贝叶斯派常赋予统计参数的先验虽未经检验，其敏感度随样本量增大而降低；而对因果先验（例如"治疗不改变性别"）的敏感度则无论样本多大都保持高位。因此我们需要使因果假设的符号表示既有意义又无歧义，使科学家能清楚地判断其合理性或不可避免性。

关于"如何在统计文献中识别因果表达"，作者给出三种识别方式：熟悉潜结果记号者（Neyman 1923；Rubin 1974；Holland 1988）可借反事实事件与变量所附的下标（如 $Y_x(u)$ 或 $Z_{xy}$，部分作者用括号式 $Y(x,u)$ 或 $Z(x,y)$，见 3.6.3 节语义）；本书也使用形如 $P(Y=y \mid do(X=x))$ 或 $P(Y_x=y)$ 的表达，记在总体上强制 $X=x$ 时事件 $Y=y$ 发生的概率或频次（显然 $P(Y=y \mid do(X=x))$ 等价于 $P(Y_x=y)$）；第三种形式符号由图模型给出，其中箭头既可表示因果影响（定义 1.3.1），也可表示函数（即反事实）关系（图 1.6(c)）。这些符号装置对检测与追溯每个因果推断研究必须由以出发的因果前提极其有用：任何不借助图、反事实下标或 $do(\cdot)$ 算子写成的因果前提都可放心视为不充分；因此任何不借助这些符号开篇的实证研究文章都可放心宣布为写得不够好。这一严苛判定虽然可能把经验文献中有价值的文章打入"不合格"行列，却能节省研究者在判断一个研究的因果主张是否相关于另一研究时无尽的时间与争论；更重要的是，它会鼓励研究者把因果前提显式地表达出来，使其能被无歧义地传递给其他研究者，并接受专业的审慎、讨论与修正。

11.1.2 d-分离入门（d-Separation without Tears, Chapter 1, pp. 16–18）

应许多读者要求，作者补充一段由代数思维向图思维过渡的 d-分离入门，作为第 1 章 16–18 页正式定义的补充（另见 Hayduk et al. 2003）。d-分离是一种标准，用于判断在给定因果图中，变量集 $X$ 与变量集 $Y$ 是否关于第三集 $Z$ 独立。基本想法是把"依赖"与"连通"（存在连接路径）等同，把"独立"与"未连通"或"分离"等同；唯一需要额外说明的是，当我们处理一个含方向箭头的系统，且某些顶点（对应被测量变量的 $Z$ 中的节点）值已知时，"连通路径"该如何定义。为反映箭头方向，我们使用"d-分离"与"d-连通"（d 表示 directional）两个术语。我们先考虑两个单点变量 $x$ 与 $y$ 之间的分离；到变量集的推广是直接的（两个变量集分离当且仅当一边每个元素都与另一边每个元素分离）。

无条件分离的规则 1：$x$ 与 $y$ d-连通若存在一条"未阻断"路径。"路径"指任一连续边序列，忽略方向；"未阻断路径"指不经过任何一对"头碰头"相撞箭头的路径，即头碰头相撞的箭头并不构成传递信息的连接；这种相撞称为"碰撞子（collider）"。例 11.1.1 中图 11.1 含一个位于 $t$ 的碰撞子；路径 $x\text{–}r\text{–}s\text{–}t$ 未阻断，故 $x$ 与 $t$ d-连通；同理 $t$ 与 $y$ d-连通、$u$ 与 $y$、$t$ 与 $v$、$t$ 与 $u$、$x$ 与 $s$ 等也 d-连通；但 $x$ 与 $y$ 不 d-连通，因为从 $x$ 到 $y$ 必经过 $t$ 处的碰撞子。因此 $x$ 与 $y$、$x$ 与 $v$、$s$ 与 $u$、$r$ 与 $u$ 等都 d-分离（在线性模型中，这意味着对应这些变量对的协方差项对任何模型参数选择都为 0）。

通过条件化阻断：当我们测量一组变量 $Z$ 并把它们的值视作给定，剩余变量的条件分布会改变——某些依赖变量变得独立，某些独立变量变得依赖。要在图中表达这种动力学，需要"条件 d-连通"或更具体地说"关于测量集 $Z$ 的 d-连通"概念。规则 2：$x$ 与 $y$ 关于 $Z$ d-连通，若存在一条在 $x$ 与 $y$ 之间的无碰撞子路径、且不经过 $Z$ 的任何成员。若不存在这样的路径，则称 $Z$ d-分离 $x$ 与 $y$，并称 $x$ 与 $y$ 之间每条路径都被 $Z$ 阻断。例 11.1.2 取 $Z=\{r,y\}$（图 11.2 中以圆圈标出）；规则 2 表明 $x$ 与 $y$ 被 $Z$ d-分离，同理 $x$ 与 $s$、$u$ 与 $y$、$s$ 与 $u$ 等都被分离；路径 $x\text{–}r\text{–}s$ 被 $Z$ 阻断，路径 $u\text{–}y\text{–}y$ 与 $s\text{–}t\text{–}u$ 也被阻断。值得注意的是：虽然 $t$ 不在 $Z$ 中，但路径 $s\text{–}t\text{–}u$ 仍被 $Z$ 阻断，因为 $t$ 是碰撞子，由规则 1 阻断。

对碰撞子的条件化：当测量两个独立原因的共同效应时，原因之间变得依赖，因为发现一个为真使另一个变得较不可能（"被解释掉"，p. 17），而否定一个则蕴含另一个为真。这种现象（称 Berkson 悖论或"解释消去"）需要一种稍微特殊的处理，出现在我们对碰撞子（即共同效应）或碰撞子的任何后代（即共同效应的证据）做条件化时。规则 3：若一个碰撞子是条件集 $Z$ 的成员，或在 $Z$ 中有后代，则它不再阻断任何穿过它的路径。例 11.1.3 取 $Z=\{r,p\}$（图 11.3 中以圆圈标出）；规则 3 表明 $s$ 与 $y$ 由 $Z$ d-连通，因为碰撞子 $t$ 在 $Z$ 中有后代 $p$，使路径 $s\text{–}t\text{–}u\text{–}y\text{–}y$ 不再被阻断。然而 $x$ 与 $u$ 仍被 $Z$ d-分离，因为虽然 $t$ 处的连接被解除，但 $r$ 处的连接仍由规则 2 阻断（因 $r$ 在 $Z$ 中）。

至此 d-分离的定义完成，作者邀请读者在更复杂的图上练习，例如第 1 章图 1.3 中所示者。典型应用：考虑例 11.1.3，假设我们对 $y$ 关于 $p$、$r$、$x$ 做回归 $y=c_1p+c_2r+c_3x+\varepsilon$，希望预测哪些系数为 0。由上述讨论可立即断定 $c_3=0$，因为 $y$ 与 $x$ 在给定 $p$ 与 $r$ 时 d-分离，即 $y$ 与 $x$ 在已知 $p$、$r$ 时独立，或 $x$ 在已知 $p$、$r$ 后不能提供关于 $y$ 的任何信息（形式上 $x$ 与 $y$ 关于 $p$、$r$ 的偏相关必须为 0）；而 $c_1$、$c_2$ 一般不为 0，可由图看出：$Z=\{r,x\}$ 不能 d-分离 $y$ 与 $p$，$Z=\{p,x\}$ 也不能 d-分离 $y$ 与 $r$。

关于相关误差项：相关外生变量（或误差项）不需要特殊处理。它们由双向弧（双箭头）表示，其箭头与其它箭头在路径追踪中同等处理。例如若在图 11.3 上添加 $x$ 与 $t$ 之间的双向弧，则 $y$ 与 $x$ 不再被 $Z=\{r,p\}$ d-分离，因为路径 $x\text{–}t\text{–}u\text{–}y\text{–}y$ d-连通——碰撞子 $t$ 因后代 $p$ 在 $Z$ 中而被解除阻断。

11.2 反转统计时间（Reversing Statistical Time, Chapter 2, pp. 58–59）

Keith Markus 询问：能否给出一种通过坐标系变换来反转时间的一般方法，或就 2.3 节的具体例子而言，能否给出求参数 $a$、$b$、$c$、$d$ 使统计时间与物理时间反向运行的一般方法（p. 59）。作者答复：考虑任意两个时间相关变量 $X(t)$ 与 $Y(t)$——它们可以是一维中两个粒子的位置、温度与压力、销售额与广告预算等等。设 $X(t)$ 与 $Y(t)$ 的时间变化由 (11.1) 式 $X(t)=\alpha X(t-1)+\beta Y(t-1)+\varepsilon(t)$、$Y(t)=gX(t-1)+dY(t-1)+\eta(t)$ 控制，其中 $\varepsilon(t)$ 与 $\eta(t)$ 互不相关且各自序列不相关。在此坐标系中，现状分量 $X(t)$ 与 $Y(t)$ 在给定前一状态分量 $X(t-1)$、$Y(t-1)$ 时不相关；与此同时，给定未来状态分量 $X(t+1)$、$Y(t+1)$ 时则相关。于是按定义 2.8.1（p. 58）统计时间与物理时间一致。

现用变换 $X'(t)=aX(t)+bY(t)$、$Y'(t)=cX(t)+dY(t)$ 旋转坐标。物理控制方程保持 (11.1) 式形式不变，但在新坐标系中写为 (11.3) 式 $X'(t)=\alpha' X'(t-1)+\beta' Y'(t-1)+\varepsilon'(t)$、$Y'(t)=g' X'(t-1)+d' Y'(t-1)+\eta'(t)$。带撇系数可由原系数经矩阵乘法得到；同理 $\varepsilon'(t)=a\varepsilon(t)+b\eta(t)$、$\eta'(t)=c\varepsilon(t)+d\eta(t)$。由于 $\varepsilon(t)$ 与 $\eta(t)$ 不相关，$\varepsilon'(t)$ 与 $\eta'(t)$ 将相关，于是我们不再有"现状分量 $X'(t)$ 与 $Y'(t)$ 在给定前一状态分量 $X'(t-1)$、$Y'(t-1)$ 时不相关"的性质。因此（若存在）统计时间不再沿物理时间运行。

现在需要证明我们可以选择参数 $a$、$b$、$c$、$d$ 使统计时间与物理时间反向运行，即让现状分量 $X'(t)$ 与 $Y'(t)$ 在给定未来状态分量 $X'(t+1)$、$Y'(t+1)$ 时不相关。将 (11.3) 式求逆可把 $X'(t-1)$、$Y'(t-1)$ 表为 $X'(t)$、$Y'(t)$、$\varepsilon'(t)$、$\eta'(t)$ 的线性组合。显见，由于 $\varepsilon(t)$ 与 $\eta(t)$ 不相关，我们可以选取 $a$、$b$、$c$、$d$ 使 $X'(t-1)$ 方程中的噪声项与 $Y'(t-1)$ 方程中的噪声项不相关（这一点用矩阵演算演示更佳）。于是选择替代坐标系使统计时间沿物理时间反向运行的一般原则，就是"使噪声协方差矩阵沿反向对角化"。

作者希望读者挑战 59 页的"时间偏差猜想"——"在大多数自然现象中，物理时间至少与一种统计时间一致"——Alex Balke（个人交流）曾尝试用经济时间序列测试该猜想，但因数据不足结果不太有结论性；作者仍相信该猜想成立，希望读者有更好的运气。

11.3.1 后门准则的直觉（The Intuition behind the Back-Door Criterion, Chapter 3, p. 79）

读者提问：后门条件定义（p. 79，定义 3.3.1）中，对 $X$ 后代的排除（条件 (i)）看似是事后补入的——只是因为不排除就会出麻烦。为什么不能从第一性原理推出：先根据"消除偏差"的目标定义 $Z$ 的充分性，再证明要实现这一目标我们既不想要也不需要 $X$ 的后代在 $Z$ 中？作者答复：对后门准则排除后代的处理确实是基于"消除偏差"目标的第一性原理。这些原理如下：我们希望测量某个量（因果效应），但实际测得的是 $P(y \mid x)$，它反映图中所有路径的依赖——其中一些是伪路径（后门路径），一些是真因果路径（从 $X$ 到 $Y$ 的有向路径）。因此要去除偏差，需要修改所测得的依赖使其等于目标量。要系统地完成这一点，我们对一组 $Z$ 做条件化，同时确保：(1) 阻断 $X$ 到 $Y$ 的所有伪路径；(2) 保留所有有向路径不受扰动；(3) 不产生新的伪路径。原则 (1) 与 (2) 由阻断且仅阻断所有后门路径（条件 (ii)）实现。原则 (3) 要求我们不对 $X$ 的后代做条件化，即使这些后代并不阻断有向路径，因为它们可能在 $X$ 与 $Y$ 之间产生新的伪路径。要看清这一点，考虑图 $X\text{–}S_1\text{–}S_2\text{–}S_3\text{–}Y$，中介变量 $S_1$、$S_2$、……以及 $Y$ 受噪声因子 $e_0$、$e_1$、$e_2$、……影响——这些未在图中显式画出，但在放大后展开为图 11.4。现若对 $S_1$ 的后代 $Z$ 做条件化（图 11.5），由于 $S_1$ 是碰撞子，这会在 $X$ 与 $e_1$ 之间产生依赖，起到后门路径 $X \leftarrow e_1 \rightarrow S_1 \rightarrow S_2 \rightarrow S_3 \rightarrow Y$ 的作用。原则 (3) 表明这样的路径不应被创建，因为它们在 $X$ 与 $Y$ 之间引入伪依赖。

注意：若 $Z$ 是 $X$ 的后代但不是任何 $S_i$（或任何 $e_i$，$i>0$）的后代，则可安全地对其做条件化而不会引入偏差（虽然可能降低估计 $X$ 对 $Y$ 因果效应估计量的效率）；11.3.3 节给出后门准则的另一种证明，其中排除 $X$ 后代的必要性更加透明。同样需要注意的是，对错误变量做调整所引入新偏差的危险也会威胁随机化试验。在这类试验中，研究者可能希望对协变量做调整，尽管随机化在渐近意义上可中和已测量与未测量的混淆因素。调整可出于提高精度（Cox 1958, pp. 48–55）、平衡不平衡样本、或获得协变量特异的因果效应等目的。当调整仅限于治疗前协变量时，随机化试验对调整引入的偏差免疫；但对治疗后变量做调整可能由图 11.5 所示机制、或当调整变量 $Z$ 与影响结果的因素（如图 11.5 中的 $e_4$）相关时更严重地引入偏差。例如，假设治疗在易感疾病 $Y$ 的患者中有副作用（如头痛）。若我们希望对易感性做调整但改为对其代理变量头痛做调整，则偏差会通过伪路径"治疗 $\rightarrow$ 头痛 $\leftarrow$ 易感性 $\rightarrow$ 疾病"出现。然而，如果我们谨慎地避免对治疗后果做调整（不仅仅是因果路径上通向疾病的后果，而是任何会打开上述伪路径的后果），那么随机化试验中不会产生偏差。

进一步追问：该解释对排除 $X$ 后代的说明合理，但有两点不足：(1) 未处理类似 $X \rightarrow C \rightarrow Y \leftarrow F$ 的情形——这种情形在流行病学中频繁出现，传统上允许对 $Z=\{C,F\}$ 做调整；(2) 该解释似乎重新定义了混淆与充分性，使其含义不同于过去几十年流行病学家所指的含义。我们能否在图论中找到更接近他们传统含义的东西？作者答复：(1) 流行病学传统允许为检验 $X$ 是否对 $Y$ 有因果效应这一任务对 $Z=\{C,F\}$ 做调整，但不用于估计该效应的量级。在前一种情形下，虽然对 $F$ 做条件化会在 $C$ 与影响 $Y$ 的噪声因子之间产生伪路径，但该路径在条件化 $C$ 时被阻断。因此对 $Z=\{C,F\}$ 做条件化使 $X$ 与 $Y$ 独立。若我们在 $Z$ 的任何分层中测得这种依赖，必然说明模型错了——即要么存在 $X$ 对 $Y$ 的直接因果效应，要么存在图中未画出的其它路径。因此若我们希望检验"不存在 $X$ 对 $Y$ 的因果效应"这一零假设，对 $Z=\{C,F\}$ 做调整完全合法，图也表明这一点（$C$ 与 $F$ 不是 $X$ 的后代）。但当我们怀疑存在这样的效应并希望评估其量级时，对 $Z$ 做调整不合法，因为用于此任务的图是图 11.6；$F$ 变成 $X$ 的后代，由后门准则排除。(2) 若对混淆与充分性的解释听起来与传统流行病学不同，那只是因为传统流行病学家没有恰当的方式表达"阻断"或"创建依赖"这些运算。他们对依赖可能有健康的直觉，但图把这种直觉翻译成一套"关闭与打开路径"的正式体系。我们还应注意到，1985 年之前的流行病学因果分析处于混乱状态，因为杰出流行病学家的健康直觉必须用关联语言表达——一项不可能完成的任务。甚至"混淆即偏差"这一观念（即"我们希望测量的依赖与我们实际测量的依赖之间的差异"）也曾遭到许多人的反对（见第 6 章），因为他们无法在数学上表达前者。因此与其寻找"更接近传统含义"的图语言，不如做更有益的事：把"传统含义本应是什么"显式表达出来——换句话说，传统含义是形式化不足且偶有误导的，而图准则是形式化且经数学证明的。第 6 章（pp. 183、194）记录了一段关于混淆与调整的流行病学直觉史，其中部分杰出流行病学家的直觉在遇到相关问题时走了弯路（见 Greenland and Robins 1986；Wickramaratne and Holford 1987；Weinberg 1993）。尽管今天大多数杰出流行病学家都敏锐地察觉到因果分析的现代发展（如 Glymour and Greenland 2008），流行病学民俗仍充斥着高度可疑的传统直觉（见 6.5.2 节）。总之图准则以及上述原则 1–3 为"流行病学概念的传统含义"给出了一种合理、友善且无歧义的解读。

11.3.2 "强可忽略性"祛魅（Demystifying "Strong Ignorability"）

在潜结果语言框架内工作的研究者用一种称为"强可忽略性"（Rosenbaum and Rubin 1983）的独立关系表达"零偏差"或"无混淆"条件。形式上，若 $X$ 是二元治疗（或行动），强可忽略性写为 $\{Y(0),Y(1)\} \perp\!\!\!\perp X \mid Z$（11.4 式），其中 $Y(0)$、$Y(1)$ 分别是行动 $do(X=0)$ 与 $do(X=1)$ 下的（不可观测的）潜结果（定义见 3.51 式），$Z$ 是已测量协变量集合。当"强可忽略性"成立时，$Z$ 是可接纳的（admissible）或称去混淆的，即治疗效应可由调整估计量无偏地估计（3.54 式推导）。强可忽略性在推导中是一个方便的句法工具，用以操纵反事实公式，也是一种形式化假设 $Z$ 可接纳性而无需为之辩护的便捷方式。然而正如本书中多次指出的，几乎无人知道如何在实践中应用它，因为反事实变量 $Y(0)$、$Y(1)$ 不可观测，而科学知识并不以允许我们可靠判断反事实条件独立性的形式存储。因此毫不奇怪，"强可忽略性"几乎只被用作"$Z$ 可接纳"这一假设的替代品（即 11.5 式 $P(y \mid do(x)) = \sum_z P(y \mid z,x)P(z)$），而很少（若有）用作保护我们免于对 $Z$ 做坏选择的标准。

熟悉图模型的读者会立刻认识到 11.4 式必然后门准则（p. 79，定义 3.3.1）的镜像，因为后者也蕴含可接纳性。这一认识使我们不仅能把 11.4 式作为一个声明或假设，而且能推理使它成立的因果关系。然而问题是：变量 $Y(0)$、$Y(1)$ 是否能以某种方式在因果图中表示，使我们能用图方法（即 d-分离）检验 11.4 式？换句话说，我们寻找一组节点 $W$，使得 $Z$ d-分离 $X$ 与 $W$ 当且仅当 $Z$ 满足 11.4 式。

答案直接从图与潜结果之间的转换规则（3.6.3 节）得到。根据这一转换，$\{Y(0),Y(1)\}$ 代表所有外生变量（潜在与可观测）的总和，这些外生变量能通过避开 $X$ 的路径影响 $Y$。理由如下：根据 $\{Y(0),Y(1)\}$ 的结构性定义（3.51 式），$Y(0)$（类似地 $Y(1)$）代表 $Y$ 在如下条件下的值——所有进入 $X$ 的箭头被切断、$X$ 固定在 $X=0$。$Y(0)$ 的统计变化因此由"在去除了进入 $X$ 的箭头的残缺图中"$Y$ 的所有外生祖先决定。例如在图 11.4 中，$\{Y(0),Y(1)\}$ 由外生变量 $\{e_1,e_2,e_3,e_4\}$ 代表；又如在图 3.4 中，$\{Y(0),Y(1)\}$ 由影响变量 $X_4$、$X_1$、$X_2$、$X_5$、$X_6$ 的噪声因子代表。但由于 $X_4$ 与 $X_5$ 对 $Y$ 而言概括了其祖先的变化，表示 $\{Y(0),Y(1)\}$ 的充分集合为 $X_4$、$X_1$ 以及影响 $Y$ 与 $X_6$ 的噪声因子。总之，潜结果 $\{Y(0),Y(1)\}$ 由所有从 $X$ 到 $Y$ 路径上节点的可观测与不可观测父代表示。示意性地，我们可把这些父代表示为图 11.7(a)。显然在这种 $\{Y(0),Y(1)\}$ 的解读下，一组协变量 $Z$ d-分离 $W$ 与 $X$ 当且仅当 $Z$ 满足后门准则。应注意的是图 11.7(a) 中指定的 $W$ 中的可观测变量只是不可观测反事实 $\{Y(0),Y(1)\}$ 的替代品，用以确认因果图中 11.4 式的条件独立关系（通过 d-分离）。$\{Y(0),Y(1)\}$ 更精确的归属由图 11.7(b) 给出，其中它们显示为 $Y$ 的（虚拟）父代，作为（但不等同于）$Y$ 与 $S$ 的实际可观测父代的函数。熟悉结构方程建模的读者会把 $\{Y(0),Y(1)\}$ 的图表示视为对经典计量经济学"扰动项"或"误差项"概念的精细化，把"强可忽略性"视为"$X$ 是外生的"要求——它必须独立于该"扰动项"（见 5.4.3 节）。这一概念在 1970 年代陷入恶名（Richard 1980），与计量经济学方程的因果解释一起，作者预测它将随着图模型对结构方程形式主义的澄清而被重新接纳（p. 170）。图 11.7 应有助于推动这种重新接纳。

把"强可忽略性"翻译为编码过程性知识的模型中的一个简单分离条件后，应当能祛魅这一模糊概念，并使使用"可忽略性"术语的研究者从其图解读中获益。这一解读使研究者理解协变量在消除偏差之前必须满足的条件、协变量选择时应关注与思考的事项、以及为部分检验我们是否具备协变量选择所需知识可做的实验。11.3.4 节举例说明此类考虑。图与反事实框架的共生曾有用的一种应用是估计"处理对受处理者的效应"：$ETT = P(Y_{x'}=y \mid x=x)$（见 8.2.5 与 11.9.1 节）。这一反事实量（例如已处理者在未被处理时的恢复概率、或若暴露未发生暴露者的疾病率）用 do-演算记号并不容易分析，但反事实记号允许我们推导出一个有用结论：当存在一组满足后门准则的协变量 $Z$ 时，$ETT$ 可由观察研究估计。这直接由 $(Y_{x'} \perp\!\!\!\perp X \mid Z)_{G_{X'}} \Rightarrow (Y_{x'} \perp\!\!\!\perp X \mid Z)$ 得出（由此可写出 $ETT = P(Y_{x'}=y \mid x=x) = \sum_z P(Y_{x'}=y \mid x=x,z)P(z \mid x=x) = \sum_z P(Y_{x'}=y \mid x=x',z)P(z \mid x=x) = \sum_z P(y \mid x=x',z)P(z \mid x=x)$）。图方法对"强可忽略性"的祛魅也有助于解释为什么因果概率 $P(Y_{x'}=y' \mid x,y)$ 以及事实上任何以 $y$ 为条件的反事实表达式不允许这样的推导，且一般不可识别（见第 9 章与 Shpitser and Pearl 2007）。

11.3.3 后门准则的另一种证明（Alternative Proof of the Back-Door Criterion）

后门准则的原证明（定理 3.3.2）使用了辅助干预节点 $F$（图 3.2），相当迂回。以下给出另一种证明，其中限制 $Z$ 为 $X$ 的非后代的必要性更为透明。证明：考虑一个 Markovian 模型 $G$，其中 $T$ 代表 $X$ 的父代集合。由 3.13 式可知 $X$ 对 $Y$ 的因果效应由 $P(y \mid \hat{x}) = \sum_{t \in T} P(y \mid x,t)P(t)$（11.6 式）给出。假设 $T$ 中某些成员未观测。我们寻找另一组观测变量 $Z$ 代替 $T$，使得 $P(y \mid \hat{x}) = \sum_{z \in Z} P(y \mid x,z)P(z)$（11.7 式）。若 $Z$ 满足 (i) $(Y \perp\!\!\!\perp T \mid X,Z)$ 与 (ii) $(X \perp\!\!\!\perp Z \mid T)$，则 11.7 式易验证由 11.6 式得到。事实上在 $Z$ 条件下，(i) 允许我们把 11.6 式改写为 $P(y \mid \hat{x}) = \sum_t P(t) \sum_z P(y \mid z,x)P(z \mid t,x)$，(ii) 进一步给出 $P(z \mid t,x)=P(z \mid t)$，由此得 11.7 式。

现在可以纯图方法证明后门准则蕴含 (i) 与 (ii)。事实上 (ii) 直接由"$Z$ 由 $X$ 的非后代组成"得到；而 $Z$ 阻断所有后门路径则蕴含 $(Y \perp\!\!\!\perp T \mid X,Z)_G$，因此 (i) 成立——这是因为 $G$ 中由 $Y$ 到 $T$ 的任何不被 $\{X,Z\}$ 阻断的路径都可被延伸到一条由 $Y$ 到 $X$ 的不被 $Z$ 阻断的后门路径。

关于识别可接纳去混淆变量集：注意条件 (i) 与 (ii) 允许我们从任何其它可接纳 $T$（不一定是 $X$ 的父代）开始把 $Z$ 识别为可接纳（即满足 11.7 式）。父代身份 $T$ 仅被用来建立 11.6 式，而在把 $T$ 替换为 $Z$ 以建立 11.7 式时不起作用。然而从父代集 $T$ 出发具有独特优势：允许我们通过 (i) 与 (ii) 识别每一个其它可接纳 $Z$。对任何其它起始集 $T$，存在一个可接纳 $Z$ 不满足 (i) 与 (ii)。一个显然的例子：选 $X$ 的父代作为 $Z$ 会违反 (i) 与 (ii)，因为没有任何集合能如 (i) 所要求的 d-分离 $X$ 与其父代。

注意条件 (i) 与 (ii) 是纯统计的，不援引图知识或任何其它因果假设。值得追问：是否存在与 (i)、(ii) 类似的、连接任意两个可接纳集 $S_1$、$S_2$ 的一般独立条件？Stone–Robins 标准（187 页）给出 $S_1$ 为 $S_2$ 子集情形的部分答案；以下观察给出另一种。定义两个子集 $S_1$、$S_2$ 为 c-等价（"c"指 confounding）若以下等式成立：$\sum_{s_1} P(y \mid x,s_1)P(s_1) = \sum_{s_2} P(y \mid x,s_2)P(s_2)$（11.8 式）。该等式保证若做调整，集 $S_1$ 与 $S_2$ 在估计 $X$ 对 $Y$ 的因果效应时会产生相同的偏差。主张：$S_1$ 与 $S_2$ c-等价的一个充分条件是以下两个条件之一成立：C1：$X \perp\!\!\!\perp S_2 \mid S_1$ 且 $Y \perp\!\!\!\perp S_1 \mid S_2,X$；C2：$X \perp\!\!\!\perp S_1 \mid S_2$ 且 $Y \perp\!\!\!\perp S_2 \mid S_1,X$。C1 允许我们由 11.8 式左侧推导出右侧，C2 允许反向推导。因此若已知 $S_1$ 可接纳，则 $S_2$ 的可接纳性可由 C1 或 C2 确认。这一更宽条件允许我们——例如——由任何其它可接纳集 $S_1$ 把 $S_2 = PA_X$ 认证为可接纳，因为条件 C2 在任何此类选择下都会成立。

然而这一更宽条件仍未刻画所有 c-等价对 $S_1$、$S_2$。例如图 11.8(a) 中 $S_1=\{Z_1,W_2\}$ 与 $S_2=\{Z_2,W_1\}$ 各自可接纳（由后门准则），因而 $S_1$ 与 $S_2$ c-等价。但在该情形下 C1 与 C2 均不成立。一个自然的尝试是要求 $S_1$ 与 $S_2$ 各自与 $S_1 \cup S_2$ c-等价，并援引 Stone (1993) 与 Robins (1997) 关于集—子集等价的标准。所得标准虽然有效，仍不完整；存在 $S_1$ 与 $S_2$ c-等价但与它们并集不 c-等价的情形。Pearl and Paz (2008) 的一个定理用不可约集放宽了这一条件。给出 c-等价的条件独立刻画并不解决识别可接纳集的问题；后者是因果概念，不能给出统计刻画。

图 11.8(b) 展示了社会与健康科学家通常面临的困难。假设我们的目标是估计 $P(y \mid do(x))$，给定对 $\{X,Y,Z_1,Z_2,W_1,W_2,V\}$ 的测量，但不知道底层图结构。常规智慧是：从所有可获得协变量 $C=\{Z_1,Z_2,W_1,W_2,V\}$ 出发，检验调整 $C$ 的某个真子集是否能产生等价的估计量。Greenland et al. (1999b)、Geng et al. (2002) 与 Wang et al. (2008) 描述了这种缩减的统计方法。例如可由 C1 与 C2 逐步应用从 $C$ 中去除 $V$ 与 $Z_2$，从而产生一个不可约子集 $\{Z_1,W_1,W_2\}$，它与原协变量集 $C$ c-等价。然而该子集不可用于调整，因为与 $C$ 类似，它不满足后门准则。Tian et al. (1998) 的一个定理保证：$C$ 的任何 c-等价子集可由 $C$ 通过"逐步移除"方法到达——经过一系列 c-等价子集；然而协变量选择的问题在于，缺乏图结构时，我们不知道 $C$ 的哪一个子集（若有）可接纳。下一子节讨论如何借助外部知识以及对已有数据做更精细的分析来解决该问题。

11.3.4 协变量选择中的数据与知识（Data vs. Knowledge in Covariate Selection）

在没有因果图时我们能做什么？一种方法是基于领域理解假设一个合理的图，然后检查数据是否反驳该图所隐含的任何统计主张。在我们的案例中，图 11.8(b) 预示了若干这样的主张，以条件独立约束形式出现，每个对应图中一条缺失箭头：$V \perp\!\!\!\perp \{W_1,W_2\}$；$X \perp\!\!\!\perp \{V,Z_2\} \mid \{Z_1,W_2,W_1\}$；$Z_1 \perp\!\!\!\perp \{W_2,Z_2\} \mid \{V,W_1\}$；$V \perp\!\!\!\perp Y \mid \{X,Z_2,W_2,Z_1,W_1\}$；$Z_2 \perp\!\!\!\perp \{W_1,Z_1,X\} \mid \{V,W_2\}$；$V \perp\!\!\!\perp Y \mid \{Z_2,W_2,Z_1,W_1\}$。

满足这些约束并不确立假设因果模型的有效性，因为正如我们在第 2 章所见，可能存在替代模型满足同样的独立约束却承载显著不同的因果结构，因此显著不同的可接纳集与效应估计量。一个平凡的例子是完全图，箭头任意定向，由参数的巧妙选择可模拟任何其它图。一个不那么平凡的例子——对参数选择不敏感——存在于等价结构类中，其中所有条件独立都由图分离产生。第 2 章中发展的搜索技术为表示与给定条件独立关系集相容的所有等价模型提供了系统方法。

图 11.9 所示模型是图 11.8(b) 的强劲对手；它满足后者所隐含的所有条件独立，再加一个：$Z_1 \perp\!\!\!\perp Y \mid \{X,W_1,W_2,Z_2\}$——这一独立既不容易发现也不容易检验。然而，与图 11.8(b) 相反，它认为三组 $\{Z_1,W_1,W_2\}$、$\{V,W_1,W_2\}$、$\{W_1,W_2,Z_2\}$ 可接纳（因此 c-等价）；检验三组的 c-等价性应在两个竞争模型间做出决定。

实质性因果知识可为这些决定提供有价值信息。例如，若我们有充分理由相信变量 $W_2$ 不可能影响 $X$（例如它出现晚于 $X$），或 $W_1$ 不可能对 $Y$ 有直接影响，则图 11.9 模型可被排除。图的力量在于为研究者提供一种透明的语言，供他们推理、讨论这些假设的合理性，并在无法达成共识时分离意见分歧、识别解决分歧所需额外观测。在潜结果进路中，大多数研究者仍把"强可忽略性"视为神秘的"黑箱"，缺乏这种能力。除了作为实质性判断的载体之外，图还提供了一种能力：拒绝整类模型而不必逐一检验类中每个成员。例如，若 $X \perp\!\!\!\perp Z_1 \mid V,W_1$ 在数据中不成立，则所有把 $V$ 与 $W_1$ 视为 $X$ 的唯一父代（从而 $\{V,W_1\}$（以及 $C$）可接纳）的模型可被一并拒绝。

在第 3 章中我们展示了测量一个介于 $X$ 与 $Y$ 之间的中介变量足以识别 $X$ 对 $Y$ 的因果效应。这种能力也可在图 11.8(b) 上展示；若测量一个被判断为处于 $X$ 到 $Y$ 路径上的变量 $Z$，则 $P(y \mid do(x))$ 可识别且可由 3.29 式估计。这当然以图 11.8(b) 是正确数据生成模型为前提。另一方面，若图 11.9 才是正确模型，则因果效应由 $P(y \mid do(x)) = \sum_{pa_X} P(y \mid pa_X,x)P(pa_X) = \sum_{z_1,w_1,w_2} P(y \mid x,z_1,w_1,w_2) P(z_1,w_1,w_2)$ 给出，可能与 3.29 式一致也可能不一致。在后一种情况下，我们有充分理由拒绝图 11.9 模型的相容性，并寻找额外测量以确认或反驳图 11.8(b)。

辅助实验可提供比辅助观测更有力的判别工具。考虑图 11.8(b) 中的变量 $W_1$。若我们能进行一项 $W_1$ 被随机化的受控实验（而非 $X$），则所得数据能让我们无偏估计 $X$ 对 $Y$ 的因果效应（见 3.4.4 节）。至少我们能辨别 $W_1$ 是 $X$ 的父代（图 11.9）还是 $X$ 的间接祖先（图 11.8(b)）。为遵循传统统计方法学，部分因果分析者采用了所谓"敏感性分析"（如 Rosenbaum 2002, pp. 105–170），给人以"分析中不援引因果假设"的印象。这当然是一种错觉。分析者不是在假设模型中不存在某些因果关系的情况下进行推断，而是尝试这些假设并评估替代因果关系需要多强才能解释观测数据。其结果随后被提交给合理性判断——其性质与在假设像图 11.9 这样模型时援引的判断无异。在更丰富的设置中，敏感性分析相当于把因果关系加载到一张图中，其强度由合理性判断限制，并给定数据，尝试在不违反这些合理性约束的情况下得出结论。这是一项崇高的事业，迄今为止只限于变量数很少的问题。图的到来有望将该方法的适用性扩展到更现实的问题。

11.3.5 理解倾向得分（Understanding Propensity Scores）

倾向得分方法（Rosenbaum and Rubin 1983）或称倾向得分匹配（PSM）是观察研究中因果分析最发达、最流行的策略。本书不强调它，因为它是估计方法，设计用于处理有限样本的变异性，对我们理解渐近、大样本极限——本书主要关注的——贡献不大。然而由于倾向得分方法在因果分析中的突出地位及围绕其用法的近期争议，本节专门解释它在图模型、可接纳性、可识别性、偏差缩减以及统计—因果两分这一大格局中的位置。倾向得分方法基于一个简单但巧妙的纯统计想法。假设二元行动（或治疗）$X$ 与一组任意测量协变量 $S$，倾向得分 $L(s)$ 是行动 $X=1$ 被特征 $S=s$ 的参与者选中的概率，即 $L(s) = P(X=1 \mid S=s)$（11.9 式）。Rosenbaum 与 Rubin 证明的是：把 $L(s)$ 视为 $S$ 的函数，从而视为随机变量，$X$ 与 $S$ 在给定 $L(s)$ 时独立，即 $X \perp\!\!\!\perp S \mid L(s)$。换言之，所有映到 $L(s)$ 同一值上的单位可比较或"平衡"，即在 $L$ 的每一层内，处理与未处理单位的 $S$ 分布相同。

要看清这一结果的意义，我们为简化假设 $L(s)$ 可被单独估计且能由离散层 $L=\{l_1,l_2,\ldots,l_k\}$ 近似。条件独立 $X \perp\!\!\!\perp S \mid L(s)$ 与函数映射 $S \mapsto L$ 联合起来使 $S$ 与 $L$ 在 11.3.3 节定义的 c-等价意义下（11.8 式）c-等价，即对任何 $Y$ 都有 $\sum_s P(y \mid s,x)P(s) = \sum_l P(y \mid l,x)P(l)$（11.10 式）。这由以下推导立即得到：$\sum_l P(y \mid l,x)P(l) = \sum_s \sum_l P(y \mid l,s,x)P(l)P(s \mid l,x) = \sum_s \sum_l P(y \mid s,x)P(l)P(s \mid l) = \sum_s P(y \mid s,x)P(s)$。迄今我们还未提到任何因果关系，也未提及 $Y$ 是结果变量、最终任务将是估计 $X$ 对 $Y$ 的因果效应。$S$ 与 $L$ 的 c-等价仅意味着，若出于任何原因希望估计"调整估计量"$\sum_s P(y \mid s,x)P(s)$（$S$ 与 $Y$ 为任意两组变量），那么与对高维集 $S$ 求和等价，也可以对一维向量 $L(s)$ 求和。在很大样本的渐近极限下，两种方法的估计相同。

这一 c-等价进一步意味着——这是因果推断首次进入图景之处——若选择用调整估计量 $\sum_s P(y \mid s,x)$ 近似因果效应 $P(y \mid do(x))$，那么渐近地相同的近似也可通过在 $L$ 的层上做调整的估计量 $\sum_l P(y \mid l,x)$ 实现。后者的优势在于对有限样本而言，每一层都不太可能为空，且每一层都较可能同时包含处理与未处理单位。倾向得分方法因此可视为对任意协变量集 $S$ 形成的调整估计量的一种有效估计器；它对 $S$ 的合适性不做任何声明，也并不承诺校正任何混淆偏差或避免在原本没有偏差之处引入新偏差。

在 $S$ 可接纳的特殊情形下（即 11.11 式 $P(y \mid do(x)) = \sum_s P(y \mid s,x)P(s)$），$L$ 也可接纳，于是我们得到因果效应的一个无偏估计量 $P(y \mid do(x)) = \sum_l P(y \mid l,x)P(l)$，并附带一种估计右端的有效方法。反之，若 $S$ 不可接纳，则 $L$ 也不可接纳，我们所能保证的只是前者产生的偏差会被后者忠实而有效地复现。

围绕倾向得分的争议：至此我们对倾向得分的呈现不存在任何误解空间，本书读者会发现很难理解一个无辜的估计方法——它仅仅提供了一种有效方式来估计一个统计量，该统计量有时与因果量重合、有时则不，取决于 $S$ 的选择——怎么会引发争议。然而最近确实发展出了一场争议，很可能源于该方法的流行度以及它从杰出统计学家（Rubin 2007）、社会科学家（Morgan and Winship 2007；Berk and de Leeuw 1999）、健康科学家（Austin 2007）与经济学家（Heckman 1992）那里获得的强烈背书。该方法的流行度已增长到部分联邦机构现在期望项目评估者使用该方法作为实验设计的替代（Peikes et al. 2008）。这一动向反映了研究者普遍倾向于淡化关于 $S$ 必须可接纳的警示，并误读 Rosenbaum 与 Rubin 的数学证明，认为它意味着在 $L$ 的每一层中匹配处理与未处理受试者会从数据中消除混淆并因此促进整体偏差缩减。这种倾向被经验研究（Heckman et al. 1998；Dehejia and Wahba 1999）所强化——这些研究在倾向得分分析与随机化试验之间发现了一致性，并把这种一致性归因于前者"在重要特征上平衡"处理组与对照组的能力。Rubin 通过陈述"这一应用使用倾向得分方法创建处理单位与对照单位的子组……如同它们被随机化过那样。这些子组的集合然后在观测协变量上'近似'一个随机化区组实验"（Rubin 2007）鼓励了这种解读。

然而后续经验研究对倾向得分采取了更批判的视角，遗憾地注意到当与临床研究结果仔细对比时，有时会测得显著偏差（Smith and Todd 2005；Luellen et al. 2005；Peikes et al. 2008）。但为什么任何人在这样做会违反因果分析金规则的情况下淡化 Rosenbaum 与 Rubin 的警示呢？金规则规定：没有因果主张能由纯统计方法建立，无论倾向得分、回归、分层或任何其它基于分布的设计。作者相信答案在于 Rosenbaum 与 Rubin 用以表述可接纳性条件（即 11.11 式）的语言。该条件用潜结果的隐晦语言表述：要求集合 $S$ 使 $X$ "强可忽略"，即 $\{Y_1,Y_0\} \perp\!\!\!\perp X \mid S$。正如本书多次指出的，"可忽略性"的晦涩是潜结果进路的致命弱点——没有任何凡人能应用这一条件判断它在简单问题（即使所有因果关系已正确指定）中是否成立，更不用说涉及数十个变量的部分指定问题了。

大多数研究者在理解"可忽略性"含义以及它要求他们行使何种判断时所经历的困难，诱惑他们假设它自动成立，或至少很可能在分析中包含尽可能多协变量时成立。流行的态度是"增加更多协变量不会带来任何伤害"（Rosenbaum 2002, p. 76）并可使我们免于思考这些协变量、治疗、结果以及——最重要的——未被测量的混淆因素之间的因果关系（Rubin 2009）。这种态度与图模型学生所学到、也正是本书试图教授的内容相反。$S$ 的可接纳性只能通过诉诸研究者可获得的因果知识来确立，而该知识——正如我们从图论与后门准则所知——使偏差缩减成为非单调运算：消除一个混淆因素造成的偏差（或不平衡）可能唤醒并释放由潜在未测混淆因素导致的偏差。例子比比皆是（图 6.3），其中在分析中加入一个变量会引入无法弥补的偏差（Pearl 2009b, 2010a, Shrier 2009, Sjölander 2009）。

使争议升温的另一因素是普遍信念——倾向得分方法的偏差缩减潜力可通过案例研究、并把倾向得分得到的效果估计与受控随机实验得到的结果比较来经验评估（Shadish and Cook 2009）。这一信念不成立，因为倾向得分的偏差缩减潜力关键依赖于 $S$ 的具体选择，或更准确地说，依赖于集合内与集合外变量之间的因果关系。在一个问题实例（如俄克拉荷马的教育项目）中测得显著偏差，并不排除在另一实例（如阿肯色的犯罪控制）中发现零偏差，即使在相同统计分布 $P(x,s,y)$ 下。

考虑到这些，一个社会科学类型的问题合情合理：倾向得分中究竟是什么抑制了对它的前景与局限的更普遍理解？Richard Berk 在《Regression Analysis: A Constructive Critique》（Berk 2004）中回忆了社会科学中类似现象——完美理念被科学界误读："我记得与 Don Campbell 的一次对话，他公开希望自己从未写过 Campbell and Stanley (1966)。那本应得名当之无愧的书《Experimental and Quasi-Experimental Designs for Research》意在对比随机化实验与准实验近似并强烈反对后者。然而该书显然的影响是把一系列准实验设计合法化，用于广泛的应用社会科学。我在 Dudley Duncan 职业生涯晚期认识他后，他说自己常常觉得他关于路径分析的有影响的书《Introduction to Structural Equation Models》是个大错误。研究人员从这本书中得到一种印象——社会不平等的根本政策问题能通过路径分析快速简单地回答。"（p. xvii）作者相信围绕倾向得分也演化出了类似的文化现象。不是说 Rosenbaum 与 Rubin 在陈述成功的条件时不谨慎——形式上，他们非常清楚地警告从业者，倾向得分只在"强可忽略性"条件下才有效。然而他们未意识到的是，仅仅警告人们远离他们无法识别的危险并不够；要保护他们远离危险冒险，我们必须也给他们一副眼镜来识别威胁、并给出有意义的语言供他们推理。仅因没有为读者提供识别"强可忽略性"如何被违反或实现的工具（如图形），他们鼓励了一代研究者（包括联邦机构）假设可忽略性要么在大多数情形下成立，要么可由巧妙设计使之成立。

11.3.6 do-演算背后的直觉（The Intuition behind do-Calculus）

读者关于定理 3.4.1 的提问：在 do-演算的推理规则（p. 85）中，子图 $G_{\overline{X}}$ 代表在操作 $do(X=x)$ 下成立的分布，因为 $X$ 的所有直接原因被去除。子模型 $G_X$（代表去除 $X$ 的直接效应）代表什么分布？作者答复：图 $G_X$ 代表"保持常数"所有 $X$ 的子代的假设行为。这切断了从 $X$ 到 $Y$ 的所有有向路径，同时保留所有后门路径不变。因此若在该图中 $X$ 与 $Y$ d-连通，必然是由于两者之间（未阻断的）混淆路径。反之，若我们找到一组节点 $Z$ 在该图中 d-分离 $X$ 与 $Y$，则可以确信 $Z$ 阻断了原图中所有后门路径。进一步对变量 $Z$ 做条件化时，由后门准则我们可以确信已中和所有混淆因素，且在此种条件化之后所测得的依赖必然源于 $X$ 对 $Y$ 的因果效应，不含任何混淆。

11.3.7 G-估计的有效性（The Validity of G-Estimation）

3.6.4 节我们介绍了 G-估计公式 (3.63)，连同反事实独立条件 (3.62) $(Y(x) \perp\!\!\!\perp X_k \mid L_k, X_{k-1}=x_{k-1})$——Robins 证明它是 (3.63) 的充分条件。一般来说，条件 (3.62) 既过度限制也缺乏直觉基础。一个更一般、更直观导致 (3.63) 的条件由 (4.5)（p. 122）给出，如下：(3.62*) G-估计的一般条件（序贯去混淆）若每一从 $X_k$ 到 $Y$ 的"避开行动的后门路径"都被 $X_k$ 的某个非后代子集 $L_k$ 阻断，则 $P(y \mid g=x)$ 可识别且由 (3.63) 给出（"避开行动"指不包含进入比 $X_k$ 更晚的 $X$ 变量的箭头）。

该条件相对 (3.62) 有若干改进，如以下三例所示。例 11.3.1（图 11.10）展示了 g-公式 (3.63) 在 $L_k$ 为过去的一个子集而非整个过去时有效的情况。设 $U_1$ 与 $U_2$ 未观测，时序为 $U_1$、$Z$、$X_1$、$U_2$、$Y$，可见 (3.62) 与 (3.62)（以及 (3.63)）在 $L_1=\emptyset$ 时成立，而取整个过去 $L_1=Z$ 则违反两者。例 11.3.2（图 11.11）展示了把 $L_k$ 定义为 $X_k$ 的"非后代"集（而非 $X_k$ 的时序前驱集）能放宽 (3.62) 的情况。设时序为 $U_1$、$X_1$、$S$、$Y$，则 (3.62) 与 (3.62) 都在 $L_1=S$ 时成立，但 $L_1=\emptyset$ 时不成立。例 11.3.3（由 Ilya Shpitser 为回应 Eliezer Yudkowsky 而构造；图 11.12）展示了即使按 $L_k$ 的新解释，(3.62) 仍不成立，但图条件 (3.62) 成立的情形。显然 (3.62) 成立：从 $X_1$ 到 $Y$ 的所有避开行动的后门路径都被 $\{X_0,Z\}$ 阻断。同时可以证明（用孪生网络法，p. 213）$Y(x_0,x_1)$ 在给定 $Z$ 与 $X_0$ 时不独立于 $X_1$（在孪生网络模型中存在一条由 $X_1$ 到 $Y(x_0,x_1)$ 的 d-连通路径：$X_1 \to Z \leftarrow Z^* \to Y^*$，因此 (3.62) 对 $Y(x_0,x_1)$ 与 $X_1$ 不成立）。

此例再次展示了 Robins 在推导 (3.63) 时最初采用的潜结果语言的弱点。使 g-估计公式合法的反事实条件 (3.62) 是不透明的，不唤起任何直觉支持。应用该公式的流行病学家在没有任何实质性医学知识指导下如此做。所幸图方法正迅速进入流行病学实践（Greenland et al. 1999a；Robins 2001；Hernán et al. 2002；Greenland and Brumback 2002；Kaufman et al. 2005；Petersen et al. 2006；VanderWeele and Robins 2007），越来越多研究者开始理解 g-估计背后的假设。伴随着"结构方程模型统合、覆盖、并支撑图、反事实、潜结果与充分成分（Rothman 1976）因果进路"这一理解，流行病学有良好机会成为第一个完全摆脱过去教条、并"突破我们因学术顾虑而对直接思考因果的排斥（Weinberg 2007）"的学科。

11.4.1 条件计划的识别（Identifying Conditional Plans, Section 4.2, p. 113）

读者提问：4.2 节（p. 113）给出了条件行动效应的识别条件与估计公式，即 $do(X=g(z))$ 的效应，其中 $Z=z$ 是行动前的测量。这一公式能否推广到多重行动的情形，即条件计划？所见困难在于：该公式是在" $X$ 不改变 $Z$ 的值"的假设下推导的。然而在多行动计划中，$X$ 中某些行动可能改变引导后续行动的观测 $Z$。我们没有区分后干预与前干预观测的记号。没有这种记号，不清楚条件计划如何形式化表达并提交给 do-演算分析。

作者答复（与 Ilya Shpitser 合作）：前干预与后干预观测的记号区分在第 7 章使用反事实语言时引入。然而条件计划的情形可以无需借助更丰富的记号处理。原因是：指引行动选择的观测不被该行动所改变，而那些已经被先前行动改变的部分则由 $P(y \mid do(x),z)$ 记号充分捕捉。然而要看清这一点，我们首先引入反事实记号，然后展示它能从我们的表达式中消去。我们用粗体字母记集，正常字母记个别元素。大写字母记随机变量，小写字母记这些变量可能取的值。我们写 $Y_x$ 意为"当我们把变量 $X$ 设为 $x$ 时 $Y$ 取的值"。类似地 $Y_{X_g}$ 意为"当我们按随机策略 $g$ 把变量 $X$ 设为它们本应取的值时，$Y$ 取的值"。注意 $Y_x$ 与 $Y_{X_g}$ 都是随机变量，与原变量 $Y$ 一样。

假设我们有一组 $K$ 个行动变量 $X$ 按某种时序发生。我们用上标指示一个给定变量被行动的时间，因此若 $i<j$ 则变量 $X_i$ 发生在 $X_j$ 之前。对给定 $X_i$，记 $X_{<i}$ 为 $X_i$ 之前的行动变量集合。我们感兴趣的是：在某项策略下，一组结果变量 $Y$ 的概率分布，该策略把每个 $X_i \subseteq X$ 的值设为事先已知的函数 $g_i$ 的输出，这些函数关注某一先前变量集 $Z_i$ 以及 $X_{<i}$ 上的先前干预。同时变量 $Z_i$ 本身受先前干预影响。为合适地定义这一递归，我们使用归纳定义。基础情形为 $X_1^g = g_1(Z_1)$。归纳情形为 $X_i^g = g_i(Z_{X_{<i}^g}, X_{<i}^g)$。此处下标 $g$ 代表我们使用的策略，即 $g = \{g_i \mid i=1,2,\ldots,K\}$。我们现可写出所关注的量：$P(Y_{X^g}=y) = P(Y=y \mid do(X_1=X_1^g),do(X_2=X_2^g),\ldots,do(X_K=X_K^g))$。

令 $Z^g = \bigcup_i Z_{X_{<i}^g}$。关键观察是：若我们观测到 $Z^g$ 取特定值，则 $X^g$ 也坍缩到唯一值，因为 $X^g$ 是 $Z^g$ 的函数。我们令 $x^z = (x_1^z,\ldots,x_K^z)$ 为在 $Z^g$ 观测到等于 $z=(z_1,\ldots,z_K)$ 的情形下 $X^g$ 取到的值。我们注意到：若我们知道 $z$，可以预先计算 $x^z$，因为函数 $g_i$ 是事先固定且我们已知的。然而我们不知道 $Z^g$ 可能取什么值，所以我们用情形分析考虑所有可能值组合。于是我们得到 $P(Y_{X^g}=y) = \sum_{z_1,\ldots,z_K} P(Y=y \mid do(X=x^z), Z_1^1=z_1^1,\ldots,Z_K^{K,x_{<K}^z}=z_K) \cdot P(Z_1^1=z_1^1,\ldots,Z_K^{K,x_{<K}^z}=z_K \mid do(X=x^z))$。这里我们注意到 $Z^i$ 不能依赖于后续干预。于是我们得到 $\sum_z P(Y=y \mid do(X=x^z), Z_{x^z}^1=z^1,\ldots,Z_{x^z}^K=z^K) \cdot P(Z^1=z^1,\ldots,Z^K=z^K \mid do(X=x^z))$。现在我们注意到第一项与第二项中的下标冗余，因为 $do(x^z)$ 已蕴含对表达式中所有变量的此种下标。因此我们可以把目标量改写为 $\sum_z P(y \mid do(x^z),z) P(z \mid do(x^z))$，或更简洁地 $\sum_z P(y \mid do(x^z),z)P(z \mid do(x^z))$。可见我们可以由 $P(y \mid do(x^z),z)$ 与 $P(z \mid do(x^z))$ 计算该表达式，其中 $Y$、$X$、$Z$ 两两不相交。

总结：尽管条件计划自然地由嵌套的反事实表达式表示，它们的识别仍可被化归为条件干预分布 $P(y \mid do(x),z)$ 的识别（$z$ 可能为空）。在给定图 $G$ 中由联合分布识别这些量的完整条件由 Shpitser and Pearl (2006a,b) 给出。

11.4.2 间接效应的含义（The Meaning of Indirect Effects）

读者提问：我正在给（生物统计与公共卫生学生）教授潜变量建模课程，昨天介绍路径分析概念，包括直接效应与间接效应。我演示了如何通过取直接路径之积来计算间接效应。然后一名学生问如何解释间接效应，我给出了惯常的回答——简单模型图 11.13 中的间接效应 $ab$ 是 $X$ 的变化通过其与 $Z$ 的关系对 $Y$ 产生的效应。嚼了片刻后，学生问：学生："对 $b$ 路径的解释是：$b$ 是当我们固定 $X$ 时由 $Z$ 的单位增长在 $Y$ 上引起的增量，对吗？" 我："对。" 学生："那当我们解释间接效应时，什么被保持常数？" 我："不确定你的意思。" 学生："你说间接效应 $ab$ 的解释是：$ab$ 是由 $X$ 的单位增长通过其对 $Z$ 的因果效应在 $Y$ 上引起的增量。但既然 $b$（$Z$ 对 $Y$ 的直接效应）要求 $X$ 固定不变，它怎么能用于一个同样要求 $X$ 变化一单位的计算中？" 我："嗯。非常好的问题。我不确定我有一个好答案。在直接路径 $X$ 到 $Y$ 为零的情形下，我认为没问题，因为此时 $Z$ 与 $Y$ 的关系与 $X$ 无关。但你是对的——若 $c$ 非零，我们必须把 $b$ 解释为 $X$ 固定时 $Z$ 对 $Y$ 的效应。我明白这听起来与 $ab$ 间接效应的解释相冲突——在那里我们考察 $X$ 的变化会带来什么。我想想我会怎么回答你。正如我此前所说，这里的计算不难，真正困难的是理解模型含义。"

作者答复：应赞扬该学生的探究之心。答案可以相当简单地表述（见 4.5.5 节，第二版时新增）：$X$ 对 $Y$ 的间接效应是当我们固定 $X$ 不变、并把 $Z$ 提升到 $X$ 单位增长下 $Z$ 所应取的值时，在 $Y$ 上看到的增量。这一反事实定义导出中介公式 (4.18)，把路径分析扩展到非线性模型，并使我们可以对类别变量用普通回归估计间接效应。

作者事后反思：该问题代表了结构方程模型（SEM）标准教育中可改革的多处之一。虽然部分 SEM 教科书对把结构参数解释为效应系数一笔带过，但作者、教师与学生并未认真对待这种解释。作者在 2008 年发现 SEM 教育的主流仍聚焦于统计估计与模型拟合技术，几乎找不到关于模型在被拟合与估计之后究竟意味着什么的严肃讨论（见 11.5.3 节关于 SEM 生存工具包）。这种教育传统的弱点在好奇的学生提出稍稍偏离标准 LISREL 流程的问题时暴露——答案取决于结构系数与结构方程的因果解释。例如：(1) 为何我们应如此定义总效应（即某些直接效应乘积之和）？这是任意定义，还是由路径系数的因果解释所必然？(2) 为何我们应把间接效应定义为总效应与直接效应之差？(3) 在涉及非线性系统或二分变量系统的情形下，我们如何定义直接效应？(4) 在涉及反馈环（即互为因果）的系统中，我们应以何种有意义方式定义效应，以避免 SEM 教科书中引述的错误定义（p. 164）？(5) 若我们在实施我们试图估计其效应的行动之前进行一些测量，我们对直接与总效应的评估会保持不变吗？读者会高兴地注意到这些问题可在 4.5.4、4.5.5、11.5.2、11.5.3、11.7.1 节得到正式答案。

个人而言，作者对直接与间接效应的兴趣由 Jacques Hagenaars 于 2000 年 9 月 15 日的一封信所引发，他写道："间接效应在实质性理论中确实占有重要地位。许多社会科学理论在输入（背景特征）与输出（行为）变量上'达成一致'，但恰好在干预机制上有分歧。举一个简单例子，我们知道教育对政治偏好的影响通过'经济地位'（受教育程度高的人获得更好工作、赚更多钱）与'文化机制'（与教育内容及学校伴随的社会化过程有关）介导。我们需要知道并分离这两个不同过程的性质与后果，即我们想知道间接效应的符号与量级。在结构方程模型的参数线性版本中，存在一种'路径系数演算'，其中我们可以把总效应写成直接效应与若干间接效应的和。但在一般非参数情形下——例如在 log-线性参数版本中——这不可能。对于逻辑模型系统，不存在可比较的'路径系数演算'——正如很久以前就被指出的。然而，鉴于其压倒性的理论重要性，间接效应问题不能被简单忽略。" 受这些评论的刺激，并借助嵌套反事实记号的武装，作者着手把 147 页给出的招聘歧视的法律定义形式化，并由此得到 4.5.4 与 4.5.5 节的结果（部分已由 Robins and Greenland (1992) 预见），以及 4.12、4.17、4.18 式的中介公式。受这些结果的启发，作者被迫且愉快地撤回了第一版《Causality》第 165 页上的早先陈述——"间接效应缺乏内在操作意义"，因为它们无法用 $do(x)$ 算子分离。虽然间接效应确实无法用 $do(x)$ 算子分离，但它们确实有内在操作意义。直接与间接效应在政策制定上的意义进一步由 Pearl (2001, 2010b) 与 Petersen et al. (2006) 阐明。

11.4.3 do(x) 能代表真实实验吗？（Can do(x) Represent Practical Experiments?）

读者 L.B.S.（亚利桑那大学）质疑 $do(x)$ 算子是否能代表现实的行动或实验："即使一项原本完美执行的随机化实验也可能给出完美误导的结论。一个好例子是涉及注射维生素 E 作为早产儿视网膜病变风险的注射治疗研究。随机化实验表明注射有效，但很快发现真正有效的治疗是每天几次打开加压、氧饱和的保温箱以进行注射，由此降低气压与婴儿血氧水平（Leonard, Major Medical Mistakes）。任何统计分析在那种情形下都会误导。" 读者 S.M.（佐治亚理工学院）补充："你对误导性因果效应的例子展示了一种令我困扰的事情，与 $do(x)$ 概念有关。你执行 $do(x)$ 或不执行 $do(x)$，但与 $do(x)$ 共变的某物才可能是原因，而非 $do(x)$ 本身。"

作者答复：数学处理理想情形，使实验情形尽可能逼近数学理想是实验者的任务。$do(x)$ 算子代表在理想实验中做 $X=x$，其中 $X$ 且仅 $X$ 被直接操控，而非模型中任何其它变量。在你的维生素 E 注射例子中，存在另一个变量与 $X$ 一起被操控——保温箱盖 $Z$——这把实验变成 $do(x,z)$ 条件而非 $do(x)$。于是该实验既远离意图的实验，也远离标准实验方案——后者要求使用安慰剂。若使用了安慰剂（以逼近 $do(x)$ 算子的要求），结果将不会偏倚。除非一个人指定模型中哪些变量被行动直接影响、如何影响，否则模型无法预测行动效应。$do(x)$ 算子是一种数学装置，帮助我们形式化地指定什么被固定、什么在任意给定实验中自由变化。do-演算随后帮助我们预测此类规范的逻辑结果，假设它们被忠实执行、假设我们拥有环境的有效因果模型、并假设我们拥有在良定条件下进行的其它实验的数据。见 11.4.6 节。

11.4.4 do(x) 算子普适吗？（Is the do(x) Operator Universal?）

读者 Bill Shipley 提问：在大多数实验中，外部操作由给 $X$ 增加（或减少）某个量而不去除 $X$ 的既存原因构成。例如给田地加 5 kg/h 化肥、给受试者加 5 mg/l 胰岛素等。这里被操控变量的既存原因仍施加效应，但一个新变量 $M$ 被加入。我所看到的 $do(x)$ 算子作为外部操控的一般算子的问题在于，它要求两件事：(1) 去除 $x$ 的任何既存原因，(2) 把 $x$ 设为某值。这对应于某些类型的外部操控，但不对应于所有（或甚至大多数）外部操控。我会引入一个 $add(x+n)$ 算子，意为"在既存因果过程之外给 $x$ 加一个量 $n$"。图上这相当于在既存因果图中加一条新边 $M+n \to X$。代数上相当于把一个新项 $n$ 加为 $X$ 的原因（Shipley 2000b）。

作者答复：在许多情况下，你的"附加干预"确实代表我们能对变量 $X$ 进行干预的唯一方式；在另一些情况下，它可能代表我们希望评估的实际策略。事实上干预的一般概念（p. 113）允许我们用任何适合情境的方程代替 $X$ 的方程，不必是常数 $X=x$。你所提议的相当于把 $X$ 的旧方程 $x=f(pa_X)$ 替换为新方程 $x=f(pa_X)+n$。这一替换可以用"工具变量"表示，因为它等价于写 $x=f(pa_X)+I$（其中 $I$ 是工具）并把 $I$ 从 $0$ 变到 $n$。有三点需注意：(1) 加性操控可在 $do(\cdot)$ 框架中表示——我们只需把 $do(\cdot)$ 算子施加于工具 $I$，而非 $X$ 本身。这是一种需区别于 $do(x)$ 的不同操控，因为如下所示，其对 $Y$ 的效应可能不同。(2) 在许多情形下，科学家不满足于估计工具对 $Y$ 的效应，而是努力估计 $X$ 本身的效应，它通常更有意义或更能迁移到其它情境（见 p. 261 关于"意向处理"效应的讨论以及 p. 363 的例子）。(3) 考虑 LISREL 失效的非递归例子 $y=bx+e_1+I$、$x=ay+e_2$（p. 164）。若我们把"总效应"理解为 $Y$ 对工具 $I$ 单位变化的响应，则得到 LISREL 公式：$I$ 对 $Y$ 的效应为 $b/(1-ab)$。然而若我们坚持"按 $X$ 的单位变化"的概念，则回到 do-公式：$X$ 对 $Y$ 的效应为 $b$（而非 $b/(1-ab)$），即使操控通过工具进行。换言之，我们把 $I$ 从 0 变到 1 并观测 $X$ 与 $Y$ 的变化；若把 $Y$ 的变化除以 $X$ 的变化，得到 $b$，而非 $b/(1-ab)$。

总结：是的，加性操控有时是我们需要建模的，它可使用工具变量在 $do(x)$ 框架内完成。我们仍需区分工具的效应与 $X$ 的效应。前者不稳定（p. 261），后者稳定。Shpitser and Pearl (2009) 给出了识别"加 $n$ 到 $X$"算子效应的必要充分图条件。

Bill Shipley 进一步问道：感谢澄清。在我看来，建模与表示因果系统操控的最简单、最直接的方法就是 (1) 修改未操控系统的因果图以表示提议的操控，(2) 把新图翻译为结构方程，(3) 从所得方程推导出预测（含条件预测）；这也是我在书中处理该概念的方式。为何要担忧 $do(x)$？特别是可以由此方式建模相当复杂的操控。例如人们可能想知道若在因果图中给某变量 $x$ 加一个依赖于图中其它变量的量 $z$ 会发生什么。

作者答复：你所提议的方法——把当前方程 $x=f(pa_X)$ 替换为 $x=g(f(pa_X),I,z)$——要求我们知道 $f$ 与 $g$ 的函数形式，如在线性系统中，或反之要求 $X$ 的父代被观测，如 74 页的过程控制例所示。然而这些条件在第 3、4 章的非参数、部分可观测设置中不成立；这可能导致在干预前数据基础上预测提议干预效应——我们称为识别的问题——成为不可能。因为 $I$ 的干预前统计不可获得，且 $f$ 未知，存在半 Markovian 情形使 $P(y \mid do(x))$ 可识别而 $P(y \mid do(x=g(f(pa_X),I,z)))$ 不可识别；每种情形必须按其自身分析。因此重要的是对潜在干预的巨大空间施加一定标准，并把注意力聚焦于那些能阐明其它的干预。

科学依赖标准，因为标准至少有两个目的：沟通与理论聚焦。数学家已决定"dy/dx"导数算子是交流变化信息的好标准，因此我们在微积分中教授它，尽管其它算子也可能服务此目的，例如 $x \, dy/dx$ 或 $(dy/dx)/y$ 等。同理适用于因果分析：(1) 沟通：若我们从流行病学中消除"处理效应"一词，并用关于效应如何被测量的详细描述替代，我们将事实上窒息流行病学家之间的所有沟通。因此建立了一个标准：在受控随机实验中我们测量的东西称为"处理效应"；其余将被视为该主题的变体。do-算子忠实地代表这一标准。SEM 也一样。Sewall Wright 谈"效应系数"并把它们确立为路径分析中"直接效应"的标准（在它被回归术语掺杂之前），借助它们可构造更复杂的效应。do-算子再次成为定义这一标准的基础。(2) 理论聚焦：操控的许多变体可被化归为"do"或几次"do"应用。为"do"建立的定理结果适用于这些变体。例如你的"加 $n$"操控可表为对工具的"do"。另一例：识别问题对涉及"do"的表达式适用，同样对更复杂效应的识别适用。例如 113 页我们展示了若 $P(y \mid do(x),z)$ 可识别，则条件行动 $P(y \mid do(X=g(z) \text{ if } Z=z))$ 的效应也可识别。书中许多其它理论结果也是如此：它们为 do-算子发展，相互借鉴，适用于许多变体。最后，do-算子底层的"手术"运算为解释反事实陈述提供了适当的形而上学（见 p. 204），反事实在科学话语中大量存在（见 pp. 217–19）。我尚未见到任何其它候选在多面性、普遍性、形式力量以及（同样重要的）概念吸引力上可与之比肩。

11.4.5 无操控的因果！！！(Causation without Manipulation!!!)

读者提问：在直接效应分析中，4.5 节援引了学校录取中的性别歧视例子，并在若干公式中把性别置于"hat"符号下——或等价地，作为 do-算子的参数。当性别是一个不可操控的变量时，它如何能被放在 do-算子之后？

作者答复：自 Holland 创造"无操控即无因果（No Causation without Manipulation）"这一短语（Holland 1986）以来，许多好想法被从因果分析中压制或摒弃。压制关于"性别如何引起男性与女性之间许多生物、社会与心理区别"的讨论等于压制我们关于性别差异知识的 90%。的确我们有无操控的因果：月亮引起潮汐、种族引起歧视、性别引起某些激素的分泌而不引起其它激素的分泌。自然是一组机制的社会，不断感知某些变量的值并决定另一些变量的值；它在激活这些机制之前并不等待人类操控者。

确实操控是科学家测试机制工作方式的一种方式（虽然粗糙），但它不应以任何方式抑制因果思考、形式定义以及对推动所研究现象之机制的数学分析。或许正因如此，科学家发明了反事实：它允许他们陈述与构想前置条件的实现，而不指定建立这些条件的物理手段。定义 4.5.1 中"hat"符号的目的不是激发关于改变申请者性别的可能方式的思考，而是提醒我们任何关于"效应"的定义应聚焦因果链接、并从所定义量中滤除伪关联。确实在性别情形下我们可以安全地把 $P(y \mid do(\text{female}))$ 替换为 $P(y \mid \text{female})$，因为决定性别的机制可被安全假设为独立于影响 $Y$ 的背景因素（从而保证无混淆）。但作为一般定义，且甚至作为有教学意义的例子，涉及直接效应与性别歧视的数学表达式应保留 hat 符号。若别无好处，把"female"置于 hat 符号下应有助于传播这句久违的反口号——"无操控的因果？当然！"

11.4.6 与 Cartwright 一起追猎原因（Hunting Causes with Cartwright）

Nancy Cartwright 在其《Hunting Causes and Using Them》（Cambridge University Press, 2007）中表达了对 $do(x)$ 算子及基于其的"手术"语义（p. 72, p. 201）的若干反对。在做此过程中，她揭示了若干需要系统澄清的领域；作者将逐一处理。Cartwright 对手术的描述如下："Pearl 为反事实给出了一种精确详细的语义。但这种语义到底是为谁服务的？Pearl 发展的那种特定语义不适合反事实在自然语言中的许多用法，尤其是我一直在讨论的那种用于规划与评估的用法。原因在于他想象反事实前件将以何种方式实现的特殊方式：通过一次精确的切割，仅改变反事实前件、不改变其它任何事物（除了从仅这一差异因果地跟随的事物）。但当我们考虑实施一项政策时，这完全不是我们需要问的问题。对政策与评估而言，我们一般想知道的是"如果政策真正到位会发生什么"。而无论我们如何知道它可能如何被实施，我们通常能确定的一件事是，它不会通过 Pearl 假设的那种精确切割来实现。"

"例如考虑 Pearl 的合成公理——他证明该公理在所有因果模型中成立——给定他对因果模型的刻画与对反事实的语义。该公理陈述：'若我们迫使一个变量（$W$）取一个它在我们不干预时本会取的值 $w$，那么干预将对系统中其它变量无影响'（p. 229）。若我们设想以尽可能小的方式带来反事实前件的干预，则该公理合理。但在许多现实情形中它显然被违反。我们常常不知道前件是否实际会发生，即使我们承认控制原则是决定性的也是如此。我们实施一项政策以确保它会发生——而该政策可能影响系统中其它变量的许多变化，有些可预见有些不可预见。"（Cartwright 2007, pp. 246–7）

Cartwright 的反对因此可归结为三条主张，每条将分别处理：(1) 在大多数研究中我们需要预测非原子干预的效应。(2) 对于政策评估"我们一般想知道的是如果政策真正到位会发生什么"，但不幸的是"该政策可能影响系统中其它变量的许多变化，有些可预见有些不可预见"。(3) 因为实际政策是非原子的，它们无法由 $do(x)$ 演算的原子语义评估，即使我们能设想政策影响的变量。

让我们从主张 (2) 开始——最容易驳斥的一条。该反对与 11.4.3 节讨论的相同，其答案为："除非一个人正确指定模型中哪些变量被行动影响、以及如何影响，否则模型无法预测行动效应。"换言之，在 Cartwright 主张 (2) 所描述的无知状态下，政策评估研究必须以平凡答案结束：信息不足，因此任何事都可能发生。这就像在黑暗中按下一个未知按钮、或尝试用三个未知数解两个方程。此外，do-演算可用于测试在任意给定情形下的无知状态是否应证明这样平凡的答案是合理的。因此假设严肃的政策评估研究是在这种无知状态下进行的将是错误的；我所见过的所有政策分析都以假设"政策影响的变量"已知为起点，并把该知识形式化表达。

主张 (1) 可能在某些情形下适用，但绝不在大多数情况下适用；在许多研究中我们的目标不是预测我们即将实施的粗糙、非原子的干预效应，而是评估一种理想、原子的政策——这种政策虽无法用现有工具实施，但仍代表对领域理解至关重要的理论关系。一个例子会有所帮助。今天没有任何合法或教育手段能阻止吸烟；但可以限制香烟广告。这并不阻止研究者致力于估计"吸烟对癌症的效应"，并通过他们改变工具——香烟广告——而非吸烟的实验来做到。他们之所以对原子干预 $P(\text{cancer} \mid do(\text{smoking}))$ 而非（或附加于）$P(\text{cancer} \mid do(\text{advertising}))$ 感兴趣，是因为前者代表种群的一种稳定生物特征，不受社会因素影响对广告的易感性。借助这种稳定特征，我们可以评估各种实际策略的效应，每种策略使用不同的减烟工具。

最后，主张 (3) 在本书几乎每一章中都被明确反驳。在一项涉及行动序列的策略中——每个行动都由观测集 $Z$ 选择，而 $Z$ 又受先前行动影响（见 4.4 与 11.4.1 节）——有什么能比这更"非原子"？然而实施这样复杂策略的效应可由 do-演算的"手术"语义预测，正如复杂分子的性质可由原子物理学预测一样。作者曾挑战 Nancy Cartwright（Pearl 2003a），并愿再次挑战她：举出一个策略的例子，要么不能用 $do(x)$ 算子指定与分析，要么能被证明"不可预测"（例如在黑暗中按未知按钮），再次使用 $do(x)$ 算子演算。具有讽刺意味的是，基于理想原子干预的数学回避可能会使科学家在处理现实非原子干预时无能。科学与数学中充满了辅助抽象量，它们不被直接测量或检验，但用于分析那些被测量或检验的量。纯化学元素在自然界中不存在，但对理解合金与化合物不可或缺。负数（更不用说虚数）在孤立中不存在，但对正数上的运算理解至关重要。本书涉及的（并解决的）广泛问题集证明，关于干预与实验的问题——无论是理想还是非理想、实际还是认识论——都可以用"原子干预"作为原始概念精确形式化并系统管理。

11.4.7 非模块性的幻觉（The Illusion of Nonmodularity）

在批评 do-算子时，Cartwright 援引另一个论证——大多数机械与社会系统所遭遇的"模块性失败"。她的话："当 Pearl 最近在 LSE 谈到此，他用电路的布尔输入—输出图作图示。其中不仅每个变量的整个输入可以独立于每个其它变量被改变，甚至该输入的每个布尔成分也可独立改变。但我们研究的大多数安排并非如此。它们更像烤面包机或汽化器。" 此时 Cartwright 给出一个四方程汽化器模型并得出结论："腔室中的气体是泵入气体与从乳化管排出的气体的结果。每个贡献多少由其它因素固定：泵入气体由气流与部分由腔室几何决定的参数 $a$ 固定；排出气体由也依赖腔室几何的参数 $a'$ 固定。要点是：在 Pearl 的电路板中，每个不同物理机制支持每个不同因果连接。但这对汽化器而言是极其浪费空间与材料的。在设计汽化器时工程师的核心技巧之一就是确保同一个物理设计——例如腔室的设计——可以支持或确保我们需要同时拥有的多个不同因果连接。"

"回看我的图示方程，可见大量规律都依赖于相同的物理特征——汽化器的几何。因此没有一条规律能单独被改变。要改变任何一条需要重新设计汽化器，从而连带改变其它。按设计不同的因果规律被绑在一起，不能被单独改变。所以模块性失败。"（Cartwright 2007, pp. 15–16）

因此对 Cartwright 而言，一组共享参数的方程本质上是"非模块的"：改变一个方程意味着修改至少一个它的参数，若该参数出现在其它方程中，则该参数也必须改变，违反模块性。Heckman (2005, p. 44) 作出类似陈述："对一个方程施加约束就对整个内部变量集施加限制。""关闭一个方程也可能影响系统中其它方程的参数并违反参数稳定性的要求。"

这类恐惧与警告是虚幻的。手术及围绕它构建的整个语义与演算并不假设在物理世界中我们拥有精密修改每个结构方程背后的机制同时保持所有其它不变的技术。符号模块性不假设物理模块性。手术是一种符号运算，对实验者可用的物理手段或机制间可能存在的不可见连接不做任何主张。符号上我们可以肯定改变一个方程而不改变其它，并定义依赖于这种"原子"改变的量。这些量是否对应可物理实现的变化是一个完全不同的问题，只能在我们获得关于可用干预的形式描述之后处理。更重要的是，关闭一个方程不一定意味着干涉它的参数；它意味着否决该方程，即保留方程不变但把结果变量从其影响中抽离。

一个简单例子将阐明此点。假设我们有两个物体在自由落体条件下。它们的加速度 $a_1$ 与 $a_2$ 由方程 $a_1 = g$（11.12）、$a_2 = g$（11.13）给出，其中 $g$ 是地球重力。两个方程共享参数 $g$，在 Cartwright 意义上看起来非模块；确实不存在改变一物体所受重力而不连带改变另一物体的物理方式。然而这并不意味着我们不能在不触及另一物体的情况下干预物体 1。假设我们抓住物体 1 使之停下。数学上该干预相当于用 $a_1 = 0$（11.14）替换方程 (11.12)，同时保留方程 (11.13) 不变。把 $g$ 在方程 (11.12) 中设为 0 是一种符号手术，不改变物理世界中的 $g$，而是通过把我们抓住的手施加的新力 $f$ 作用于物体 1，使 $a_1=0$。于是方程 (11.14) 是两个力的结果：$a_1 = g + f/m_1$（11.15），其中 $f = -gm_1$，与 (11.14) 相同。这一相同运算可应用于 Cartwright 的汽化器；例如气体流出可通过在乳化管安装流量调节器而被固定而不改变腔室几何。它肯定适用于经济系统——在那里人类代理人处于大多数方程背后；方程左侧可通过让代理人接触不同信息而非通过改变物理世界中的参数来固定。一个典型例子出现在就业歧视案件中（4.5.3 节）。要检验"性别对雇佣的效应"，不必物理改变申请者的性别；只需改变雇主对申请者性别的认知。作者尚未见到任何经济系统在此处描述的意义上不是模块的。

通过加一项到方程右侧以确保左侧保持常数这一运算，正是 Haavelmo (1943) 在经济设置中构想的手术。他的智慧为何在 2008 年从其追随者的教学中消失，是经济学的一大谜团（见 Hoover (2004)）；作者的理论（p. 138）仍是：这一切发生于 1970 年代统计思维的残酷入侵之前，是因一个不谨慎的符号选择而崩溃的。

关于计量经济学中的混乱与现代计量经济学家不愿恢复 Haavelmo 智慧的讨论将在 11.5.4 节展开。

11.5.1 参数识别的一般标准（General Criterion for Parameter Identification, Chapter 5, pp. 149–54）

读者提问：5.3.1 节描述的参数识别方法依赖于反复应用两个基本标准：(1) 定理 5.3.1 的单门标准，(2) 定理 5.3.2 的后门标准。这种方法可能需要相当可观的簿记来合并图中各段的结果。是否存在一个统一的图识别标准，以避免大部分簿记？

作者答复：一个统一标准由以下引理描述（Pearl 2004）。引理 11.5.1（直接效应的图识别）令 $c$ 为因果图 $G$ 中箭头 $X \to Y$ 上分配的路径系数。若存在一对 $(W,Z)$，其中 $W$ 是 $G$ 中的单个节点（不排除 $W=X$），$Z$ 是 $G$ 中的（可能为空的）节点集合，使得：(1) $Z$ 由 $Y$ 的非后代组成；(2) $Z$ 在由 $G$ 去除 $X \to Y$ 而得的图 $G_c$ 中 d-分离 $W$ 与 $Y$；(3) $W$ 与 $X$ 在 $G_c$ 中关于 $Z$ d-连通，则参数 $c$ 可识别。此外由 $(W,Z)$ 诱导的估计量为：$c = \text{cov}(Y,W \mid Z) / \text{cov}(X,W \mid Z)$。直觉是：在条件 $Z$ 下，$W$ 相对于 $X \to Y$ 起工具变量作用。另见 McDonald (2002a)。更一般的识别方法见 Brito and Pearl (2002a,b,c; 2006)，综述见 Brito (2010)。

11.5.2 结构系数的因果解释（The Causal Interpretation of Structural Coefficients）

读者来信：作为对 5.1、5.4 节断言（"正确的因果解释在 SEM 书籍与论文（包括所有 1970–99 年代的经济学文本）中明显缺失"）的回应，两位读者写道"单位变化"解释在 SEM 文献中常见且被广为接受。来自阿尔伯塔大学的 L.H. 写道："Hayduk 的《Structural Equation Modeling with LISREL: Essentials and Advances》（1987）第 245 页声明斜率可解释为：在方程中其它变量保持其原值不动时，由 $x$ 的单位变化所伴随的 $y$ 预期变化量级。" "O.D. Duncan 的《Introduction to Structural Equation Models》（1975）第 1–2 页相当清楚地认为 $b$ 是因果的。更准确地说，它说'$x$ 单位变化……产生 $y$ 的 $b$ 单位变化'（第 2 页）。我怀疑 H. M. Blalock 的《Causal models in the social sciences》与 D. Heise 的《Causal analysis》大概也把 $b$ 视为因果。" 来自佐治亚理工的 S.M. 同意："Heise（《Causal Analysis》1975 的作者）认为因果方程的 $b$ 是一个原因的单位变化在效应变量中产生的效应量。这是一个被广为接受的思想。"

作者答复："单位变化"思想在若干 SEM 出版物中零星且非正式地出现，然而与计量经济学中的反事实（11.5.5 节）一样，它尚未被通过精确的数学定义操作化。上述被引段落（来自 Hayduk 1987）可作为例证说明"单位变化"思想在 SEM 文献中通常如何引入，以及它应如何用因果建模的现代理解引入。原段落写道："结构系数作为'效应系数'的解释源自普通回归方程如 $X_0 = a + b_1 X_1 + b_2 X_2 + b_3 X_3 + e$，用于表示变量 $X_1$、$X_2$、$X_3$ 对变量 $X_0$ 的效应。我们可以把 $b_1$ 的估计解释为：在 $X_2$ 与 $X_3$ 保持其原值不动时，伴随 $X_1$ 单位增长 INCREASE 的 $X_0$ 预期变化量级。我们避免以短语'保持常数'结尾，因为该短语必须为包含多个方程的模型所舍弃，正如我们稍后将看到的那样。$b_2$、$b_3$ 的解释类似。"（Hayduk 1987, p. 245）

该段展示了 SEM 文献中常被混淆的两个基本区分。第一个是结构系数与这些系数的回归（或统计）估计之间的区分。我们很少发现前者独立于后者被定义——这种混淆在计量经济学文本中尤为普遍且令人尴尬。第二个是"保持常数"与"保持不动"或"发现保持常数"之间的区分，后者正是 $do(x)$ 算子被发明的目的（相关区分："做"与"看"、"干预性变化"与"自然变化"）。为强调这些区分的中心性，作者现提出对 Hayduk 段落的简明修订：

修订段落（建议）："结构系数作为'效应系数'的解释与回归方程中系数的解释有某种相似，但根本不同，如 $X_0 = a + b_1 X_1 + b_2 X_2 + b_3 X_3 + e$（11.16）。若 (11.16) 是回归方程，则 $b_1$ 代表在 $X_2$ 与 $X_3$ 保持常数于其原值的情形下，$X_0$ 伴随 $X_1$ 单位变化所预期的变化。我们用条件期望正式表达这一解释：$b_1 = E(X_0 \mid x_1+1,x_2,x_3) - E(X_0 \mid x_1,x_2,x_3) = R_{X_0 X_1 \cdot X_2 X_3}$（11.17）。注意作为回归方程，(11.16) 是无主张的；即它不能被任何实验证伪，且由 (11.17)，$e$ 自动变得与 $X_1$、$X_2$、$X_3$ 不相关。"

"相比之下，若方程 (11.16) 代表一个结构方程，它对世界做出经验主张（例如，系统中其它变量在我们固定 $X_1$、$X_2$、$X_3$ 后不影响 $X_0$），$b_1$ 的解释必须以两种基本方式修正。首先，' $X_1$ 的单位变化'这一短语必须被限定为' $X_1$ 的单位干预变化'，从而排除由模型中其它变量（可能与 $e$ 相关）产生的 $X_1$ 变化。其次，' $X_2$ 与 $X_3$ 保持常数'这一短语必须被舍弃，代之以'如果我们令 $X_2$ 与 $X_3$ 保持常数'，从而保证即使 $X_2$ 受 $X_1$ 影响也保持常数。"

"形式上，这两个修正表达为：$b_1 = E(X_0 \mid do(x_1+1,x_2,x_3)) - E(X_0 \mid do(x_1,x_2,x_3))$（11.18）。短语'保持不动于其原值'可能引起歧义。保持变量不动允许这些变量变化（例如响应 $X_1$ 单位增加或其它影响），在此情形下 $X_0$ 的变化对应总效应 $E(X_0 \mid do(x_1+1)) - E(X_0 \mid do(x_1))$（11.19）或边缘条件期望 $E(X_0 \mid x_1+1) - E(X_0 \mid x_1)$（11.20），取决于 $X_1$ 的变化是干预的还是观察的。(11.19) 或 (11.20) 都不对应 (11.16) 中 $b_1$ 的含义，无论我们把 (11.16) 视为结构方程还是回归方程。"

"(11.18) 中表达的解释在所有模型中成立，包括那些包含多个方程、递归与非递归的模型，无论 $e$ 是否与模型中其它变量相关，无论 $X_2$ 与 $X_3$ 是否受 $X_1$ 影响。相比之下，(11.17) 仅在非常特殊的情形下（由定理 5.3.1 单门标准定义）与 (11.18) 一致。正因如此我们认为 (11.18)——而非 (11.17)——是 $b_1$ 的'解释'；(11.17) 解释的是 $b_1$ 的'回归估计'（可能确有偏），而 (11.18) 解释的是 $b_1$ 本身。"

11.5.3 捍卫 SEM 的因果解释（或，SEM 生存工具包）（Defending the Causal Interpretation of SEM (or, SEM Survival Kit)）

读者 J. Wilson（英格兰萨里）就如何在不赞成结构方程模型（SEM）因果解释的考官面前捍卫其博士论文向作者提问。他抱怨"博士项目中完全缺乏重点去捍卫因果解释与政策含义……若因果性能在项目开始时被充分解释，那么我论文中用到的 7 万字会被仔细衡量来先捍卫因果假设，再捍卫数据，最后捍卫解释……（我想知道这问题有多普遍？）回到眼前紧迫的任务——试图取悦考官，尤其是那两位非常难缠的统计学教授——他们似乎在互相较劲谁更刻薄。"

作者答复：你抱怨的现象正是触发我写第 5 章的原因——SEM 的因果解释对大多数 SEM 研究者、领导者、教育者与从业者仍是谜。我花数小时在 SEMNET 讨论列表上试图纠正当前的忽视，但只有像你这样的学生才能真正扭转局面并把因果解释重置于 SEM 研究的中心角色。至于你的具体问题——如何在反对该解释的难缠考官面前捍卫 SEM 的因果解释——请允许我通过构造一个假设场景来帮助你：你在一位敌意考官 Dr. EX 面前捍卫你论文的因果解释。（任何与 Dr. EX 的相似纯属巧合。）

与敌意考官的对话（或 SEM 生存工具包）。为简化，假设你论文中的模型仅由两个方程构成：$y = bx + e_1$（11.21）、$z = cy + e_2$（11.22），其中 $e_2$ 与 $x$ 不相关。关联图由图 11.14 给出。进一步假设你论文的目标是估计参数 $c$，你已用最佳 SEM 方法满意地估计出 $c = 0.78$，并对你的发现给出了因果解释。现在你的难缠考官 Dr. EX 出现了，质疑你的解释。

Dr. EX："你所说的'$c$ 有因果解释'是什么意思？" 你："我的意思是 $y$ 的单位变化将带来 $E(Z)$ 的 $c$ 单位变化。" Dr. EX："'变化'与'带来'这两个词让我不舒服；让我们科学一点。你是说 $E(Z \mid y) = cy + a$ 吗？我能理解最后一个表达式，因为给定 $y$ 时 $Z$ 的条件期望 $E(Z \mid y)$ 在数学上是良好定义的，且我知道如何由数据估计它。但'变化'与'带来'对我来说就是行话。" 你："我实际上是指'变化'，不是'条件期望的增长'，我所指的'变化'是：若我们拥有把 $y$ 固定在某常数 $y_1$、并把该常数从 $y_1$ 变为 $y_2$ 的物理手段，则 $E(Z)$ 的观测变化将为 $c(y_2-y_1)$。"

Dr. EX："好啦，我们是不是有点形而上学？我在我的统计课上从未听说过'固定'。" 你："哦，抱歉，我未意识到你有统计学背景。那让我把我的解释重新表述为：若我们拥有进行受控随机实验的手段——$y$ 被随机化——则若我们把对照组设为 $y_1$、实验组设为 $y_2$，$E(Z)$ 的观测差异为 $E(Z_2) - E(Z_1) = c(y_2-y_1)$，无论我们选什么 $y_1$ 与 $y_2$。（$Z_1$ 与 $Z_2$ 分别是对照组与实验组下 $z$ 的测量值。）" Dr. EX："那听起来更接近我能理解的东西。但我对你似乎正在做的巨大跳跃感到困扰。你的数据是非实验的，在你整个研究中你从未进行过一次实验。你是在告诉我们你的 SEM 操作能取观察研究的数据、做点 LISREL 分析、然后给出受控随机实验结果的预测？你一定在开玩笑吧！！你知道如果能用 SEM 魔法代替实验研究全国能省多少钱吗？"

你："这不是魔法，Dr. EX，这是直白的逻辑。我的 LISREL 分析的输入不仅仅是观察数据。输入由两部分组成：(1) 数据，(2) 因果假设；我的结论逻辑上由两者得出。第二部分在标准实验研究中缺失，这正是它们如此昂贵的原因。" Dr. EX："什么假设？'因果'？我从未听说过这种陌生人。你能像我们通常表达假设那样——例如以联合密度的条件、或协方差矩阵的性质——用数学方式表达它们吗？" 你："因果假设属于不同的种类；它们不能由密度函数或协方差矩阵的词汇书写。它们在我的因果模型中表达。"

Dr. EX："看你的模型，方程 (11.21)–(11.22)，我未看到任何新词汇；我只看到方程。" 你："Dr. EX，这些不是普通代数方程。这些是'结构方程'。若我们正确阅读它们，它们传达了一组你熟悉的假设——即关于在总体上进行的假设性随机实验结果的假设——我们称它们为'因果'或'建模'假设，由于找不到更好的词，但它们可被理解为关于总体在各种随机实验下行为的假设。"

Dr. EX："等一下！现在我开始理解你的因果假设是什么，我比之前更困惑。如果你允许自己对总体在随机实验下的行为做假设，为何要费心做研究？为何不直接假设在一个 $y$ 被随机化的随机实验中，$E(Z)$ 的观测差异应为 $c'(y_2-y_1)$，其中 $c'$ 只是任何方便数，并省去你痛苦的数据收集与分析月数。相信你其它未经检验的假设的人也会相信你的 $E(Z_2) - E(Z_1) = c'(y_2-y_1)$ 假设。" 你："非也，Dr. EX。我的程序由以开始的建模假设远弱于我的研究得出的断言 $E(Z_2) - E(Z_1) = 0.78(y_2-y_1)$。首先，我的建模假设是定性的，而我的结论是定量的——它对 $c = 0.78$ 的具体值做出了承诺。其次，许多研究者（包括你，Dr. EX）会准备接受我的假设，而非我的结论，因为前者符合常识理解与关于世界如何运作的一般理论知识。第三，我的多数假设可由不涉及 $y$ 随机化的实验检验。这意味着若随机化 $y$ 昂贵或不可行，我们仍可通过控制其它不那么令人生畏的变量来检验假设。最后，尽管本研究情形并非如此，建模假设通常有一些统计含义可在非实验研究中检验；若检验成功（我们称之为'拟合'），它进一步确认那些假设的有效性。"

Dr. EX："这越来越有趣了。让我看看那些'因果'或建模假设，以便我能判断它们有多弱。" 你："那很容易，看我们的模型，图 11.14，其中 $z$ 是学生在期末考试中的分数，$y$ 是学生在作业上花费的小时数，$x$ 是作业在最终成绩中的权重（由教师宣布）。当我在纸上写下这个模型时，我想到了两个随机实验，一个是 $x$ 被随机化（即教师随机指定权重），第二个是实际作业时间（$y$）被随机化。我在思考那些实验时所做的假设是：(1) $y$ 的线性与排除：$E(Y_2) - E(Y_1) = b(x_2-x_1)$，$b$ 未知（$Y_2$ 与 $Y_1$ 分别是宣布权重 $x_2$ 与 $x_1$ 下花在作业上的时间）。此外，通过从方程中排除 $z$，我假设分数 $z$ 不会影响 $y$，因为 $y$ 被决定时 $z$ 未知。(2) $z$ 的线性与排除：$E(Z_2) - E(Z_1) = c(y_2-y_1)$ 对所有 $x$，$c$ 未知。换言之，$x$ 除了通过 $y$ 之外对 $z$ 无影响。另外，我对未测量因素做定性假设，这些因素在非实验条件下支配 $x$；我假设 $x$ 与 $z$ 之间无共同原因。Dr. EX，你看到这些假设中任何一条有反对意见吗？"

Dr. EX："好吧，我同意这些假设弱于对你研究结论 $E(Z_2) - E(Z_1) = 0.78(y_2-y_1)$ 的直白、无支持的声明；我对如此弱的假设能支持关于作业对分数实际效应（在实验设置下）的勇敢预测有些惊讶。但我对你的共同原因假设仍不满意。在我看来，一位强调作业重要性的教师也将是一位鼓舞人心、有效的教师，所以 $e_2$（包括教学质量等因素）应与 $x$ 相关，与你的假设相反。" 你："Dr. EX，现在你开始像一个 SEM 研究者说话了。我们不再攻击方法与其哲学，而是开始讨论实质性议题——例如假设教师效率与其对作业的权重指定无关是否合理。我个人曾有伟大的教师，他们一点也不在乎作业；反之亦然。"

"但这不是我论文要讨论的内容。我并不主张教师效率与他们如何权衡作业不相关；我把那留给其他研究者将来研究（或它可能已被检验？）。我所有的只是：那些愿意接受'教师效率与其如何权衡作业不相关'假设的研究者会发现有趣的是，该假设与数据结合在逻辑上蕴含以下结论——每天作业时间每增加一小时，学生的分数将（平均）增加 0.78 分。这一主张在我们被允许使用作业时间（$y$）随机化的受控实验时可被经验验证。"

Dr. EX："我很高兴你并不坚持你的建模假设为真；你仅陈述其合理性并阐明其推论。我无法反对这点。但我有另一个问题。你说你的模型没有任何统计含义，因此它不能被检验对数据的拟合度。你怎么知道？这一点不困扰你吗？" 你："我只需看图并检查缺失链接即可知道。一个名为 d-分离（见 11.1.2 节'd-分离入门'）的标准允许 SEM 学生扫一眼图就判断相应模型是否隐含以变量间消失偏相关形式存在的约束。大部分（虽然不是全部）统计含义属于此类。我们例子中的模型不隐含协方差矩阵上的任何约束，因此它能完美拟合任何数据。我们称这种模型为'饱和'，这一特征被某些 SEM 研究者视为模型的缺陷——他们无法摆脱统计检验传统。它不是。在手头有一个饱和模型仅仅意味着研究者不愿做难以置信的因果假设，而他愿意做的温和假设太弱而无法产生统计含义。这种保守态度应被赞扬，而非谴责。坦白说，我会高兴若我的模型不是饱和的——比如若 $e_1$ 与 $e_2$ 不相关。但这不是手头情形；常识告诉我们 $e_1$ 与 $e_2$ 相关，数据也显示如此。我曾尝试假设 $\text{cov}(e_1,e_2)=0$，得到糟糕拟合。我会仅为把我的模型'册封'为'非饱和'就做无根据假设吗？不会！我宁愿做合理假设，得到有用结论，并把我的结果连同我的假设一起报告。"

Dr. EX："但假设存在另一个饱和模型，基于同样合理的假设，却导致不同的 $c$ 值。你不担心你的某些初始假设是错的，因此你的结论 $c = 0.78$ 是错的吗？数据中没有任何东西能帮你选择一个模型而非另一个。" 你："我确实担心，事实上我可以立即枚举所有这些竞争模型的结构；图 11.15 中的两个模型就是例子，还有许多。（这也可用 d-分离标准完成；见 pp. 145–8。）但注意竞争模型的存在并不以任何方式削弱我先前陈述的主张：'接受模型 $M$ 定性假设的研究者被迫接受结论 $c = 0.78$。'这一主张在逻辑上不可动摇。此外，主张可通过报告每个竞争模型的结论，连同该模型背后的假设，进一步精炼。结论的格式将读为：若你接受假设集 $A_1$，则蕴含 $c = c_1$；若你接受假设集 $A_2$，则蕴含 $c = c_2$；以此类推。"

Dr. EX："我懂了，但仍若我们希望超越这些条件陈述、做点什么以在各种假设集间做出决定，没有任何 SEM 方法能协助吗？我们统计学家不习惯面对两个竞争假设的问题，这些假设不能被提交给某种检验，无论多弱。" 你："这是统计数据分析与 SEM 之间的根本差异。统计假设按定义可由统计方法检验。SEM 模型相反，依赖于因果假设，也按定义（见 p. 39）不能被赋予统计检验。若我们两个竞争模型都是饱和的，我们事先知道除了以条件格式（如上所列）报告我们的结论外没有其它可做。然而，若竞争在同样合理但统计上不同的模型之间进行，则我们面对模型选择的世纪老问题，其中各种选择标准如 AIC 已被提出用于分析。然而，模型选择问题现在被赋予了一种新的、因果的转变——我们的任务不是最大化拟合度或预测力，而是产生关于因果参数（如 $c$）的最可靠估计。这是一个全新的舞台（见 Pearl 2004）。"

Dr. EX："有趣。现在我理解为什么我的统计学同事在遇到 SEM 方法学时完全困惑、不信任、甚至敌对（如 Freedman 1987；Holland 1988；Wermuth 1992）。最后一个问题。你只在意识到我是统计学家之后才开始谈随机实验。你会如何向非统计学家解释你的 SEM 策略？" 你："我会用平实英语说：'若我们拥有把 $y$ 固定于某常数 $y_1$、并把该常数从 $y_1$ 变为 $y_2$ 的物理手段，则 $E(Z)$ 的观测变化将为 $c(y_2-y_1)$。'多数人理解'固定'的含义，因为这关乎决策者心意。例如对作业对表现效应感兴趣的老师并不以随机化作业思考。随机化仅仅是预测固定效应的一种间接手段。"

"实际上，若我与之交谈的人真正开明（许多统计学家就是），我甚至会求助于反事实词汇——例如说一个在花费 $y$ 小时作业后得分为 $z$ 的学生，若花费 $y+1$ 小时作业，则会得 $z+c$。老实说，这就是我在写方程 $z = cy + e_2$ 时心中所想，其中 $e_2$ 代表该学生在我们模型中未给定变量名的所有其它特征、且不受 $y$ 影响。我甚至未思考 $E(Z)$，仅思考一个典型学生的 $z$。反事实是我们拥有的表达科学关系的最精确语言工具。但当我与统计学家交谈时我会克制不提反事实——这是令人遗憾的——因为统计学家倾向于怀疑决定论概念或不可立刻检验的概念，而反事实就是这种概念（Dawid 2000；Pearl 2000）。"

Dr. EX："感谢你让我了解 SEM 的这些方面。没问题了。" 你："我也非常荣幸。"

11.5.4 当今经济建模在哪里？——与 Heckman 一起追求原因（Where Is Economic Modeling Today? – Courting Causes with Heckman）

本书 5.2 节悲叹过去三十年来计量经济学中结构方程建模理解的衰落（另见 Hoover 2003，"Lost Causes"），并把这种衰落归因于符号的不谨慎选择——它模糊了代数方程与结构方程之间的本质区别。在一系列文章（Heckman 2000, 2003, 2005；Heckman and Vytlacil 2007）中，James Heckman 已着手推翻这种看法，把因果建模重新声明为经济研究的中心焦点，并把经济学重新确立为因果分析的活跃前沿。这绝非易事：采用邻近学科出现的概念与技术进步等于承认计量经济学数十年的忽视，而摒弃这些进步则需要为它们找到计量经济学的替代品。Heckman 选择了后一条路线，尽管大多数现代因果建模的进展根植于 Haavelmo (1943)、Marschak (1950)、Strotz and Wold (1960) 等经济学家的思想。

Heckman 计划的一步是拒绝 do-算子及其基于的"手术"语义，从而剥夺了经济学家本书（第 7 章尤甚）发展的反事实结构语义——这种语义统一了传统计量经济学与潜结果进路。Heckman 拒绝手术的理由总结如下："在非递归模型中，外部（强制）变量的受控变化是定义因果效应的关键……Pearl 通过'关闭一个方程'或用其生动语言执行'手术'来定义因果效应。他隐含假设'手术'——或在联立方程组中关闭一个方程——唯一地固定一个结果或内部变量（在我例子中即另一个人的消费）。一般而言它并不如此。对一个方程施加约束就对整个内部变量集施加限制。一般而言，联立方程组中没有单个方程唯一决定任何单一结果变量。关闭一个方程也可能影响系统中其它方程的参数并违反参数稳定性的要求。"（Heckman and Vytlacil 2007）

显然 Heckman 的反对与 Cartwright 的相同（11.4.6 节）：(1) 理想手术在技术上可能不可行；(2) 经济系统是非模块的。我们在四个前述子节（11.4.3–11.4.6）中已驳斥这些反对，读者可轻松地重新应用以解构 Heckman 的论证。但重要的是重新强调：与 Cartwright 的情形一样，这些反对源于把"反事实的定义"任务与"识别"和"实际估计"任务混为一谈——这是研究者中常见的混淆，Heckman (2005) 严厉警告读者要避免。

这种混淆在 Heckman 关于"关闭一个方程也可能影响系统中其它方程的参数"的关心中尤为明显。在物理世界中，尝试实现"手术"所规定的条件有时会影响其它方程的参数；如下所见，同理适用于 Heckman 的"外部变化"提议。然而我们在此处理的是符号而非物理操控。我们的任务是为"一个变量对另一个变量的因果效应"这一概念在称为"模型"的符号系统中给出有意义的数学定义。这允许我们随意操纵符号，同时忽略这些操控的技术可行性。实现性考虑不必进入定义讨论。

因果效应的新定义："外部变化"。在没有手术语义的情况下，Heckman 与 Vytlacil（HV）着手构造一种新的因果效应定义——希望它不含他们在手术过程中发现的缺陷——通过基于"外部变化"而非关闭方程来定义。不幸的是，他们的新定义——其反事实逻辑的基石——并未给出明确的形式化阐述：它被降级到半正式的脚注（HV, p. 77），即使好奇且勤奋的读者也会发现难以解读。以下是作者对 HV 定义的推广，因为它适用于多方程与非线性系统。给定方程组 $Y_i = f_i(Y,X,U)$（$i=1,2,\ldots,n$），其中 $X$ 与 $U$ 分别是观测与未观测外部变量集，$Y_j$ 对 $Y_k$ 的因果效应由四步计算：(1) 选 $X$ 中任意出现在 $f_j$ 中的成员 $X_t$。若不存在，则以失败退出。(2) 若 $X_t$ 也出现在任何其它方程中，考虑从该方程中排除它（例如若方程是线性则把它的系数设为 0，或把 $X_t$ 替换为常数）。(3) 求解所得方程组的简化形式 $Y_i = g_i(X,U)$（$i=1,2,\ldots,n$）（11.23）。(4) $Y_j$ 对 $Y_k$ 的因果效应由偏导数比 $\partial Y_k / \partial Y_j = (\partial g_k / \partial X_t) / (\partial g_j / \partial X_t)$（11.24）给出。

例 11.5.2 考虑三方程组：$Y_1 = aY_2 + cY_3 + eX + U_1$；$Y_2 = bY_1 + X + U_2$；$Y_3 = dY_1 + U_3$。需求：$Y_2$ 对 $Y_1$ 的因果效应。该系统有一个外部变量 $X$，出现在前两个方程中。若我们可以设 $e=0$，则 $X$ 仅出现在 $Y_2$ 的方程中，我们可以继续"外部变化"过程的第 3 步。修改后模型的简化形式给出 $\partial Y_1 / \partial X = a / (1-ba-cd)$、$\partial Y_2 / \partial X = (1-cd) / (1-ab-cd)$，于是 $Y_1$ 对 $Y_2$ 的因果效应计算为 $\partial Y_1 / \partial Y_2 = a / (1-cd)$。相比之下，手术过程构造如下修改方程组：$Y_1 = aY_2 + cY_3 + eX + U_1$；$Y_2 = y_2$；$Y_3 = dY_1 + U_3$，由此得到 $Y_2$ 对 $Y_1$ 的因果效应为 $\partial Y_1 / \partial y_2 = a / (1-cd)$——与"外部变化"过程所得表达式相同。两种过程极可能总产生相同结果，这将赋予"外部变化"定义以有效性及概念清晰性。

11.5.5 外部变化 vs. 手术（External Variation versus Surgery）

在把他们的定义与手术过程所提供的定义作比较时，HV 写道（p. 79）："在相互依赖、非递归系统中定义因果或识别因果参数，并不要求关闭方程或摆弄参数。更基本的想法是从不同方程中排除不同的外部变量，这些外部变量在被操控时允许分析者构造所希望的因果量。" 作者在这一点上不同意 HV。作者相信"手术"是更基本的想法、动机更扎实、并更适合政策评估任务。作者进一步指出，基于排除与外部变化的定义有以下缺陷：

(1) 一般而言，"排除"涉及从一个方程中去除一个变量，相当于"摆弄参数"。因此它是"手术"的一种形式——对原方程组的修改——并将受到可能对"手术"提出的相同批评。尽管我们在前几节反驳了这种批评，我们仍应注意到若它确实有半点合理性，则该批评对两种方法同样适用。

(2) 单纯依赖外部变量揭示内部因果关系的想法根植于识别文献（例如"工具变量"研究）中——在那里这些变量充当"自然实验"。然而这种限制在定义因果效应的上下文中并不合理，因为"因果效应"意在量化由新外部操控产生的效应，不必是模型中明确显示的，也不必是研究数据收集阶段运作的。事实上，每个因果结构方程模型，就其本质而言，都提供了一种通过手术模拟此类外部操控的隐式机制。的确多数政策评估任务关注的是新外部操控，这些操控对内生变量施加直接控制。例如制造商在让价格跟踪成本多年后（即 price = f(cost)）决定是否把当前价格翻倍。该决定相当于把方程 price = f(cost) 从手头模型（即负责可用数据的那个）中移除、并用等于新价格的常数替换它。这一移除忠实地模拟了被评估的决定，试图通过求助于"外部变量"来规避它既人为也无益。

另一例：考虑 Heckman (1992) 深入研究的、评估终止某教育项目影响的问题——该项目根据一组资格录取学生。方程 admission = f(qualifications) 在项目终止下不再成立，没有外部变量能模拟新条件（即 admission = 0），除非某个变量实际中和（或"忽略"，或"关闭"）方程 admission = f(qualifications)。有趣的是，Haavelmo (1943) 用于定义因果效应的方法在数学上等价于手术而非外部变化。Haavelmo 没有像手术所要求的那样用 $Y_j = y_j$ 替换方程 $Y_j = f_j(Y,X,U)$，而是写 $Y_j = f_j(Y,X,U) + x_j$，其中选取 $X_j$ 使 $Y_j$ 常数，$Y_j = y_j$。于是由于 $X_j$ 把 $Y_j$ 从 $f_j(Y,X,U)$ 的任何残留影响中解放出来，Haavelmo 的方法等价于手术。Heckman 的外部变化方法使 $Y_j$ 仍处于 $f_j$ 的影响下。

(3) 基于外部变化的定义有明显的缺陷：目标方程可能不包含任何可观测的外部变量。事实上在许多情形下系统中观测外部变量集为空（例如图 3.5）。此外，基于两个偏导数比的定义不易推广到含离散变量的非线性系统。因此那些认真接受 Heckman 定义的人将被剥夺目前可用于无工具模型（第 3、4 章）的许多识别技术；更严重的是，他们将甚至无法追问因果效应是否在任何此类模型中被识别——对未定义量来说识别问题毫无意义。所幸，由于认识到定义可基于纯符号操控，我们可以修改 Heckman 的提议并把虚构的外部变量添加到任何我们希望的方程。所加的变量然后可类似于 (11.23) 与 (11.24) 步骤中的步骤用于定义因果效应（假设连续变量）。这把我们带得更接近手术，其基本差异仅在于使 $Y_j$ 仍处于 $f_j(Y,X,U)$ 影响下。

在论证了基于"外部变化"的定义在概念上动机不足之后，我们现在探讨它们是否能处理非因果方程组。

非因果系统中的方程模糊性：若干经济学家（Leroy 2002；Neuberg 2003；Heckman and Vytlacil 2007）批评 do-算子依赖于因果或有方向的结构方程——其中变量与方程之间存在一一对应。HV 把这一批评表述为："一般而言，联立方程组中没有单个方程唯一决定任何单一结果变量"（Heckman and Vytlacil 2007, p. 79）。可以猜测 Heckman 与 Vytlacil 在此指含非方向方程的系统——其中等号并不代表非对称的"由…决定"或"由…引起"关系，而是对称的代数相等。在计量经济学中，这种非因果方程通常传达均衡或资源约束；它们强加方程两边相等，但并不赋予左边的变量以"结果"变量的特殊地位。

非方向方程的存在在反事实 $Y_x$ 的手术定义中产生模糊性——该定义要求用常数方程 $X = x$ 替换决定 $X$ 的方程。若 $X$ 出现在若干方程中，且 $X$ 在方程中的位置是任意的，则每个这样的方程都同样有资格被 $X = x$ 替换，且 $Y_x$（即替换后 $Y$ 的解）的值将是模糊的。注意对称相等在结构上区别于有方向非递归系统（即含反馈的系统，如图 7.4）中的互为因果，因为在后一种情形下，每个变量是恰好一个方程的"结果"。对称约束仍可被建模为一个动态反馈系统的解，其中均衡几乎瞬间达到（Lauritzen and Richardson 2002；Pearl 2003a）。

Heckman 与 Vytlacil 给人一种印象：方程模糊性是手术定义的缺陷，且不影响基于排除的定义。情况并非如此。在非方向方程组中，我们无法知道从哪个方程排除哪个外部变量以得到正确因果效应。例如考虑 HV（p. 75）讨论的非递归两方程组：$Y_1 = a_1 + c_{12} Y_2 + b_{11} X_1 + b_{12} X_2 + U_1$（11.25）；$Y_2 = a_2 + c_{21} Y_1 + b_{21} X_1 + b_{22} X_2 + U_2$（11.26）。假设我们把 $Y_1$ 移到 (11.26) 的左侧，得到 $Y_1 = (a_2 - Y_2 + b_{21} X_1 + b_{22} X_2 + U_2) / c_{21}$（11.27）。为定义 $Y_1$ 对 $Y_2$ 的因果效应，我们现可选择从 (11.25) 或 (11.27) 排除 $X_2$。前者给出 $c_{12}$，后者给出 $1/c_{21}$。可见我们在选择用于手术的方程时的模糊性转化为在选择方程与用于排除的外部变量时的模糊性。打破这种模糊性的方法由 Simon (1953) 提出，并在 226–228 页讨论。

总结——经济建模重振：通过排除与操控外部变量构造因果量的想法——在识别问题背景下动机充分——在涉及基于模型定义时没有逻辑基础。相比之下基于手术的定义享有普遍性、语义清晰性与计算简便性。那么这给计量经济建模留下什么？"外部变量"方法的失败对经济分析与政策评估而言是核心还是边缘？

在 James Heckman 的几乎每一篇近期文章中，他强调反事实作为经济分析的必要成分与过去一个世纪计量经济学成就的标志。例如 HV 文章第一段写道："它们[政策比较]要求经济学家构造反事实。反事实对预测在一环境中已试行、但被提议应用于新环境的政策效应以及预测新政策的效应都是必需的。"同样在其《Sociological Methodology》文章（2005）中，Heckman 写道："自 Haavelmo (1943, 1944) 时代以来，经济学家已认识到需要精确模型来构造反事实……计量经济学框架对反事实如何生成以及干预如何分配是显式的。"然而尽管计量分析中宣称反事实是核心，一个好奇的读者将难以识别过去 40 年中哪怕一篇计量经济学文章或教科书，其中反事实或因果效应被正式定义。需要的是一种在良好设定、完全指定的经济模型中计算反事实 $Y(x,u)$ 的程序，其中 $X$ 与 $Y$ 是模型中任意两个变量。通过拒绝基于手术的 $Y(x,u)$ 定义——Haavelmo 的定义——Heckman 把计量经济学推向又十年的分裂与模糊，两个敌对阵营几乎完全孤立工作。

在 Neyman-Rubin 模型潜结果框架内工作的经济学家把反事实视为原始、不可观测的变量，完全脱离结构方程模型中编码的知识（例如 Angrist 2004；Imbens 2004）。甚至那些应用倾向得分技术——其有效性完全依赖于"可忽略性"或无混淆的因果假设——的研究者也极少知道如何用结构知识确认或反驳该假设（见 11.3.5 节）。在结构方程框架内工作的经济学家（如 Kennedy 2003；Mittelhammer et al. 2000；Intriligator et al. 1996）忙于估计参数，把反事实视为形而上学的鬼魂，不应困扰普通凡人。他们信任像 Heckman 这样的领导者来精确定义他们费力估计的结构参数的政策含义，并把他们的工作与潜结果阵营同事的工作联系起来。

手术语义（pp. 98–102）及其所蕴含的因果理论（第 7–10 章）为这两个敌对、狭窄聚焦的计量经济学研究流派提供了一个简单而精确的统一——一种进路中的定理蕴含另一进路中的定理，反之亦然。经济学家最好重拾 Haavelmo (1943)、Marschak (1950)、Strotz and Wold (1960) 的基本思想，并把它们与本书展现的图与反事实逻辑重新激活。

为完整起见，作者在此用括号记法明确重申反事实与结构方程之间的两个基本联系：(1) 反事实的结构定义是：$Y_M(x,u) = Y_{M_x}(u)$。读作：对任何模型 $M$ 与背景信息 $u$，反事实条件句"若 $X$ 为 $x$ 则 $Y$"由子模型 $M_x$（即 $M$ 的残缺版本，决定 $X$ 的方程被 $X = x$ 替换）中 $Y$ 的解给出。(2) 结构方程 $y = f(x,e(u))$ 的经验主张是：对任何与 $X$ 或 $Y$ 不相交的 $Z$，$Y(x,z,u) = f(x,e(u))$。读作：若 $X$ 与 $Z$ 分别为 $x$ 与 $z$，则 $Y$ 将为 $f(x,e(u))$，独立于 $z$，独立于模型中的其它方程。

11.6.1 Simpson 悖论与决策树（Simpson's Paradox and Decision Trees）

Nimrod Megiddo（IBM Almaden）写道："我不同意'因果性'是解决悖论的关键（但这也是定义问题），且 20 年前也不存在用于观察它的工具。出身博弈论，我认为对喜欢画带'决策'节点（区别于'机会'节点）的决策树的人来说，这一问题并不困难。我画了两棵这样的树[图 11.16(a) 与 (b)]，我认为它们在不同情况下澄清了正确决策。"

作者答复：你为同一输入表构造了两棵不同决策树这一事实意味着构造的关键不在数据中，而在从数据背后的故事获得的某种信息。那种信息是什么？决策树分析文献确实存在了至少 50 年，但据我所知，它并未认真对待上述问题："什么信息引导我们设置正确的决策树？"我们一致同意仅给机器人频率表不足以完成该任务。但机器人（或统计学家）还需要什么？把故事从 $F = $ "female" 改为 $F = $ "blood pressure" 对人似乎足够，因为人非正式地理解性别与血压在事物体系中所起的不同作用。我们能否形式化表征这些作用，使我们的机器人能构造正确的决策树？我的提议是：给机器人（或统计学家或决策树专家）一对 $(T,G)$，其中 $T$ 是频率表集合，$G$ 是因果图，于是机器人能自动设置正确的决策树。这就是我在说"悖论的解决在于因果考虑"时的意思。此外可以更进一步论证："若 $(T,G)$ 中的信息充分，为何不跳过决策树的构造，直接由 $(T,G)$ 得出正确答案？"这正是本书第 3–4 章的要旨。决策分析丰富文献能否从 $(T,G)$ 语法对决策问题的更经济编码中获益？影响图（Howard and Matheson 1981；Pearl 2005）的引入是朝此方向的一步，第二步也许不远。虽然影响图针对特定决策与机会变量选择参数化，因果图则不对任何此类选择特异；它包含对任意决策变量选择与任意机会变量选择（在决策时可观测）参数化所有影响图（与决策树）的信息。

最近 Dawid (2002) 开发了一种混合表示法，通过把影响图与贝叶斯网络结合，给后者的部分变量附以决策节点（图 3.2），代表一个潜在干预，能够从观察性（空闲）切换到干预性（主动）模式（如 (3.8) 式）。

11.6.2 时序信息对决策树充分吗？（Is Chronological Information Sufficient for Decision Trees?）

Megiddo 回信："'因果性'这一术语把一些问题引入问题中，如决定论、自由意志、因果与结果等，而这些问题不必要。重要的是在结果固定过程中，一个特定规范——固定变量 $X$ 的值发生在固定变量 $Y$ 的值之前，且 $Y$ 依赖于 $X$。你爱把这种情形称为因果关系。当然在数学理论中你可选择任何你喜欢的名字，但那样人们最初会被诱惑发展某种直觉，这种直觉可能因你选择的名称的外部含义而错误。这种直觉在数学模型外的解释常产生可能错误的现实含义，例如 $X$ 真导致 $Y$。决策树是展示额外时序信息的简单方式，简单有向图当然能更简洁地编码这些信息。当你要精确定义这些图的意义时，你指称更完整的描述如树。综上，我唯一的反对是使用'因果性'一词，我从未怀疑时序信息对基于过去数据的正确决策至关重要。"

作者答复：(1) 在 21 世纪之前，把"因果"这一标签归属于某些数学关系（这种关系承载着直觉、神秘与争议）确实存在一些危险。如今不再如此——神秘已消失，这种解释的现实含义没有错；$X$ 真的导致 $Y$。此外若除了把数学弄对之外，我们还有兴趣阐明那些有价值的直觉，使我们能更精确地解释它们、甚至教给机器人，那么除了用我们语言中那些关系当前享有的名字——也就是"因果"——来标记它们，别无他法。

(2) 进入决策树的不只是时序与依赖信息。例如图 11.17(c) 所传达的时序与依赖信息与图 11.17(a) 相同（假设 $F$ 发生在 $C$ 之前），但 (c) 需要不同的决策树（并得出不同结论），因为 $F$ 与 $Y$ 之间的依赖在 (a) 中是"因果"的，而在 (c) 中是关联性的。因此因果考虑必须补充时序与依赖信息，以使我们构造正确的决策树并以正确概率加载其分支。

作为一个思想实验，假设我们希望写一个程序，自动从像图 11.17(a)-(b)-(c) 这样的故事构造决策树。程序被给定经验频率表，并被允许询问关于 $C$、$E$ 与 $F$ 之间时序与依赖关系的问题，但不允许使用任何因果词汇。程序能区分 (a) 与 (c) 吗？答案是：不能。若我们忽略因果考虑，仅按你所建议的关注时序与依赖信息，那么为图 11.17(c) 构造的决策树将与 $F = $ gender 时所画的（图 11.16(a)）相同，并将得出错误结论——即该药物（$C$）对 $F = $ true 与 $F = $ false 的患者都有害。这是错误的，因为正确答案是该药物对总体有益（如血压例子），因此它必须对 $F = $ true 或 $F = $ false 患者（或两者）有益。决策树隐藏了此信息并产生错误结果。

错误源于给决策树分支分配错误的概率。例如树中最左侧分支被赋概率 $P(E \mid C,\neg F) = 0.6$，这是错误的；正确概率应为 $P(E \mid do(C),\neg F)$，在图 11.17(c) 的情形下无法由图与表确定。然而我们确实知道 $P(E \mid do(C)) = 0.5$ 与 $P(E \mid do(\neg C)) = 0.4$，所以 (6.4) 或 (6.5) 式之一必然被违反。决策分析中的传统智慧是把树分支赋以形如 $P(E \mid \text{action},Z)$ 的条件概率，其中 $Z$ 是决策时可获得的信息。实践者应被告诫不要盲目遵循这一约定。正确赋值当然是 $P(E \mid do(\text{action}),Z)$，可由实验研究估计，或在因果图使该量可识别时估计。

(3) 我不同意"为精确定义因果图的意义，我们必须'指称更完整的描述如树'"。7.1 节我们发现因果图作为一组函数的正式定义，这种定义不显式援引决策树。因此因果图有其独立于它可能帮助我们构造的许多决策树的意义。作为类比，说"微分方程（例如粒子运动的方程）的意义在于服从该方程的轨迹集合"会令人尴尬（虽然数学上没错）；微分方程中每一项的意义可以从第一性原理精确定义，无需拥有关于方程解的线索。

11.6.3 Lindley 论因果、决策树与贝叶斯主义（Lindley on Causality, Decision Trees, and Bayesianism）

读者 Dennis Lindley 提问：若你的假设"控制 $X$ 于 $x$ 等价于去除 $X$ 的函数并把 $X = x$ 放到别处"适用，则它有意义。我此刻不理解的是这与决策树的相关性。在决策节点，我们对决策时已知的量做条件。在随机节点，我们在已知条件下包含所有相关不确定量。只需要联合分布（与效用考虑）。例如在医疗案例中，混淆因素在治疗决策做出时可能已知也可能未知，这决定树的构造。因果可能进入的地方是当数据被用于评估树中所需要的概率时，这正是 Novick 与我所用可交换性的地方。贝叶斯范式在概率作为信念与概率作为频率之间做出尖锐区分，称后者为机会。若我理解因果，它合理地是我们的概念可在该上下文中被你的概念方便替换的概念。

作者答复：许多决策分析者持"不需要因果"立场："只需要联合分布（与效用考虑）"（见 11.6.2 节讨论）。他们对也对错。虽然确实只需要概率分布，但所需的分布 $P(y \mid do(x), \text{see}(z))$ 属于一种特殊类型；它们不可由支配我们数据的联合分布 $P(y,x,z)$ 推导，除非我们用因果知识（如因果图所提供的）补充数据。你的下一句话揭示了一切："因果可能进入的地方是当数据被用于评估树中所需要的概率时……"我把频率/信念之分视为与因果讨论无关。让我们假设 Simpson 故事中的表不是频率表，而是某人关于各种联合事件 $(C,E,F)$、$(C,E,\neg F)$……发生的主观信念的总结。我的断言仍是：该信念总结不足以构造我们的决策树。我们也需要评估我们对假设事件"若做出决定 $do(C)$ 则 $E$ 将发生"的信念；正如我们所见，仅时序信息不足以从列出的信念总结推导该评估；因此我们不能从该信念总结构造决策树；我们需要一种额外成分，我称之为"因果"信息，你选择称为"可交换性"——我不会在命名上争吵，除了指出：若我们信任人类向我们提供可靠信息，我们也应尊重他们传达该信息所用的词汇；而令审慎学者失望的是，该词汇毫无疑问是因果的。

后续追问：你的关于概率与决策树的论点很有道理，我同意你所说；这一点我此前未领会。让我重新表述论证以看我们是否一致。在处理决策树时，容易看出解决问题需要什么概率。但不那么容易看出这些概率如何被数值化评估。然而我未理解因果如何完全解决该问题。当然可交换性也不能。

作者答复：我很高兴我们把问题简化到具体议题：(1) 如何评估决策树所需的概率，(2) 这些概率从何而来，(3) 这些概率如何被经济地编码，也许还有 (4) 这些概率是否必须遵守某种内部一致性规则，特别是当我们构造几个决策树、在决策与机会节点的不同选择下不同时。我欢迎这一简化是因为它将大大有助于我对显式区分因果与概率关系的论证。一般而言我发现贝叶斯统计学家是最难说服的——让他们相信这一区分的必要性。为什么？因为虽然经典统计学家不断警惕不能由硬数据证实的假设，贝叶斯派在这方面更宽松——并理应如此。然而通过把人类判断许可为合法信息来源，贝叶斯派在追踪该信息的性质与来源上变得不那么细致。你早些时描述了贝叶斯研究者中条件化的习惯性、不加批判的使用——这偶尔会把不警觉者引入盲巷（例如 Rubin (2009)）：

"在决策节点，我们对决策时已知的量做条件。在随机节点，我们在已知条件下包含所有相关不确定量。只需要联合分布（与效用考虑）。"

正如 Newcomb 悖论所教（见 4.1 节），"在决策节点我们对决策时已知的量做条件"并不完全准确——至少一些"条件化"需要替换为"做"。若不是这样，那么所有决策树都会变成笑话："患者应避免去看医生以减小自己确实生重病的概率（Skyrms 1980, p. 130）；工人不应赶着上班以减小自己睡过头的概率；学生不应备考，以免这会证明他们学习落后；如此种种。简言之，所有补救行动应被禁止，以免它们增加确实需要补救的概率。"（第 4 章 p. 108）。但即使在逃出这一"条件化"陷阱后，贝叶斯哲学家并未看到为决策节点发出的分支与为机会节点发出的分支评估概率之间的任何差异。对贝叶斯派而言，两种评估都是概率评估。前者涉及对假设实验的心智模拟，而后者涉及对被动观察的心智想象，这具有次要意义，因为贝叶斯派专注于概率作为信念与作为频率之间的区分。

这种专注使他们对以下事实较不敏感——信念来自多种来源，区分关于实验结果的信念与关于被动观察结果的信念很重要（Pearl 2001a，"Bayesianism and Causality"）。首先，后者稳健，前者不；即若我们关于被动观察的主观信念出错，错误的影响将随观测数量增加而随时间减弱。这不适用于关于实验结果的信念；错误的先验无论样本多大都将产生永久偏差。其次，关于实验结果的信念不能用概率演算的语法表达；因此为了正式表达此类信念并使其与数据一致地结合，必须用因果符号（即图、$do(x)$、或反事实）丰富概率演算。

到目前为止我发现两种有效方式来赢得贝叶斯派之心，一种涉及"经济性"观念（见 11.6.2 节讨论），另一种涉及"一致性"。给定 $n$ 个感兴趣变量，存在大量可设想的决策树，每棵对应于时序的不同排序与决策节点和机会节点从这些变量中的不同选择。自然产生的问题是，决策者如何确保所有这些决策树的概率评估可被复现？我们当然不能假设人类明确地在脑中存储所有这些潜在决策树。为可复现性，我们必须假设所有这些评估必须由关于决策与机会事件的某种经济表示推出。因果关系因此可被视为一种经济表示，从它构造决策树。事实上正如作者写信给 Megiddo（11.6.2 节），若我们需要指导一个机器人按需构造这些决策树，依据可用知识与信念，我们最好的方法将是喂给机器人一对输入 $(G,P)$，其中 $G$ 是因果图，$P$ 是我们对感兴趣变量的联合分布（若是贝叶斯派则是主观分布）。借助这对对象，机器人应能对任何变量划分为决策与机会节点的选择，一致地构造所有所需的决策树，并在分支上复现参数。这是贝叶斯派在不冒犯"它只不过是联合分布……"传统立场的情况下欣赏因果的一种方式。

第二种方式涉及"一致性"。一致性是贝叶斯派引以为豪的东西，因为 DeFinetti、Savage 与他人曾努力构造定性公理以阻止概率判断完全反复无常、并强制信念服从概率演算。我们可以问贝叶斯哲学家：关于联合概率的判断，例如 $P(x,y)$，是否应以某种方式与关于决策概率的判断一致，例如 $P(y \mid do(x))$——量化从决策节点发出的分支（带两个备选 $do(X=x)$ 与 $do(X=x')$）？然后我们可以问贝叶斯派这些概率是否应与通常条件概率 $P(y \mid x)$——即在（其它）决策树中从机会事件 $X = x$ 发出的、关于结果 $Y = y$ 的概率——有任何联系。

不难说服我们的贝叶斯派，这两种评估不能完全任意，但必须服从某种一致性约束。例如不等式 $P(y \mid do(x)) \geq P(y,x)$ 应被所有事件 $x$、$y$ 服从。此外每当 $P(y \mid do(x))$ 由因果网络按第 3 章规则推导时，一致性约束自动满足。这两个论点应能吸引贝叶斯派从因果演算中获得数学收益，同时保持谨慎与怀疑，正如他们在 Talmud 中所说："从利益来理解"（"mitoch shelo lishma, ba lishma"，Talmud, Psahim, 50b 的自由翻译）。作者毫不怀疑，贝叶斯派最终将拥抱因果词汇。

11.6.4 为什么混淆不是统计概念？（Why Isn't Confounding a Statistical Concept?）

2001 年 6 月作者收到对其论文"Causal Inference in the Health Sciences"（Pearl 2001c）的两份匿名审稿意见。审稿人提出的问题让作者震惊——因为它们让作者想起部分统计学家仍以关于因果性的古老方式思考，以及仍在我们面前的巨大教育努力。为助力这一努力，作者在本节中包含其答复。关于因果—统计区分的相关讨论见 11.1 节。

审稿意见摘录：

审稿人 1："统计与因果概念之间的对比被夸大了。随机化、工具变量等有清晰的统计定义。……[论文敦促]'任何系统的因果分析进路必须要求新的数学符号。'这是错的：在医学科学中存在非正式但系统、成功的因果推断的悠久传统。"

审稿人 2："论文做出许多依赖区分'统计'与'因果'概念的笼统评论……同样，被列为因果（因此按论文是"非统计"）概念的例子包括混淆，它在标准频率统计学中根基稳固。统计学家倾向于说'当 $U$ 与 $X$ 和 $U$ 与 $Y$ 都不独立时，$U$ 是检验治疗 $X$ 对结果 $Y$ 效应的潜在混淆因素。'那么为什么混淆不是统计概念？……若作者想让我相信这点，他将不得不至少给出一个例子说明通常的分析如何失败。"

作者答复：审稿人 #1 似乎倡导对因果的非正式进路（不管那是什么意思；它让作者想起 Bernoulli 之前的非正式统计学），因此带着反对本文基本目标与原则的成见来到这个论坛。让历史在我们之间做出决定。本论文的目标是持审稿人 #2 观点的读者——他们试图把本文的主张（偶有笼统，本人承认）与传统统计智慧调和。对该审稿人作者有如下评论。

你质疑我所提出的统计与因果概念之间分界线的用处。让我尝试通过考虑你提出的例子——混淆——来展示其用处。你写道"混淆在标准频率统计学中根基稳固"，统计学家倾向于说"当 $U$ 与 $X$ 和 $U$ 与 $Y$ 都不独立时，$U$ 是检验治疗 $X$ 对结果 $Y$ 效应的潜在混淆因素。那么为什么混淆不是统计概念？"

本书第 6 章花了大量篇幅解释为什么该定义在充分性与必要性检验上都失败，以及为什么该定义的所有变体必须按第一性原理失败。作者仅举几个例子来说明此点；附加讨论见 11.3.3 节。考虑一个同时受 $X$ 与 $Y$ 影响的变量 $U$——例如每当 $X$ 与 $Y$ 都达高水平时取 1 的变量。$U$ 满足你的标准，但它对检验治疗 $X$ 对结果效应而言不是混淆——事实上 $U$ 可在我们的分析中被安全忽略。（同理适用于任何其对 $Y$ 的效应由 $X$ 介导的变量 $U$，如作者论文图 2 中的 $Z$。）作为第二个例子，考虑一个位于"因果路径"上从 $X$ 到 $Y$ 的变量 $U$。该变量也满足你的标准但不是混淆——几代统计学家一直被警告（Cox 1958）不要对这种变量做调整。可以争论你的定义仅是混淆的必要而非充分条件。但这同样失败。第 6 章（pp. 185–6）描述了不存在满足你的定义的变量、但治疗 $X$ 对结果 $Y$ 的效应仍被混淆的例子。也可以构造一个例子（图 6.5），其中 $U$ 是混淆（即必须调整以去除效应偏差），但 $U$ 既不与 $X$ 也不与 $Y$ 相关。

作者并非第一个发现混淆与其各种统计"定义"之间差异的人。Miettinen、Cook、Robins 与 Greenland 自 1980 年代中期以来一直在流行病学中争论这一点——徒劳无功。研究者继续把可压缩性等同于无混淆，并继续对错误变量做调整（Weinberg 1993）。此外，流行的观念——任何重要概念（如随机化、混淆、工具变量）必须有统计定义——在健康科学中根深蒂固，以至于即使今天，在本书出版 15 个月后，拥有最高资格与最纯粹意图的人继续问："那么为什么混淆不是统计概念？"

作者相信任何纠正这一传统的尝试必然听起来笼统，且只有一场笼统运动才能根除这些关于混淆、统计与因果的误解。统计教育牢牢掌握在持审稿人 #1 观点的人手中。而带有你这种求知欲的人很少被给予公开论坛问："那么为什么混淆不是统计概念？"

同一论证适用于"随机化"与"工具变量"概念。（具讽刺意味的是，审稿人 #1 权威地宣称这些概念"有清晰的统计定义"。作者会递给他一个双变量分布 $f(x,y)$，并要求他告诉我们 $X$ 是否被随机化。）这些概念的任何定义都必须援引因果词汇——不可由分布定义——的确无路可逃。这使作者重新强调 11.5 节中定义的统计—因果分界线的用处。那些认识到随机化、混淆、工具变量等概念必须依赖因果信息的人会警惕隔离并阐明援引这些概念的研究背后的因果假设。相比之下，那些忽视因果—统计区分（例如审稿人 #1）的人不会寻求此类阐明，并将继续对"通常分析如何失败"视而不见。

11.7.1 线性系统中的反事实（Counterfactuals in Linear Systems）

我们已知一般而言，形如 $P(Y_x = y \mid e)$ 的反事实查询可能在经验上不可识别，即使在实验研究中也是如此。例如因果概率 $P(Y_x = y \mid x',y')$ 在一般情况下不可由观察或实验研究识别（p. 290，推论 9.2.12）。本节要讨论的问题是：线性假设是否使反事实主张更具经验基础？答案是肯定的：

主张 A：在线性因果模型中，任何形如 $E(Y_x \mid e)$ 的反事实查询都是经验可识别的，其中 $e$ 为任意证据。

主张 B：每当因果效应 $T$ 被识别时，$E(Y_x \mid e)$ 也被识别。

主张 C：$E(Y_x \mid e)$ 由 $E(Y_x \mid e) = E(Y \mid e) + T[x - E(X \mid e)]$（11.28 式）给出，其中 $T$ 是 $X$ 对 $Y$ 的总效应系数，即 $T = \partial E[Y_x]/\partial x = E(Y \mid do(x+1)) - E(Y \mid do(x))$（11.29 式）。

主张 A 并不奇怪。它已由 Balke and Pearl (1994b) 一般性建立，其中 $E(Y_x \mid e)$ 在协方差矩阵与结构系数方面给出显式表达；后者是经验可识别的。

主张 B 在因果效应 $E(Y_x)$ 可识别的所有模型中也使 $E(Y_x \mid e)$ 可观察识别。

主张 C 提供了一种直观的 $E(Y_x \mid e)$ 解读，如下：给定证据 $e$，为计算 $E(Y_x \mid e)$（即在假设 $X$ 为 $x$ 而非其当前值时 $Y$ 的期望），首先计算由证据 $e$ 条件化的 $Y$ 的最佳估计 $E(Y \mid e)$，然后把 $Y$ 在 $X$ 从当前最佳估计 $E(X \mid e)$ 到假设值 $X = x$ 的强制过渡中预期的变化加上去。最后一项正是效应系数 $T$ 乘以 $X$ 的预期变化，即 $T[x - E(X \mid e)]$。

注意：11.28 式也可用 do-记号写为 $E(Y_x \mid e) = E(Y \mid e) + E(Y \mid do(x)) - E(Y \mid do(X = E(X \mid e)))$（11.30 式）。

证明（Ilya Shpitser 协助）：不失一般性，假设我们处理一个零均值模型。由于模型线性，我们可以把 $X$ 与 $Y$ 之间的关系写为 $Y = TX + I + U$（11.31 式），其中 $T$ 是 11.29 式给出的 $X$ 对 $Y$ 的总效应；$I$ 代表包含模型中其它变量（$X$ 的非后代）的项；$U$ 代表外生变量。总是可能通过递归代入每个右侧变量的函数（该变量有 $X$ 作为祖先），并把所有 $X$ 项组合成 $TX$，从而把决定 $Y$ 的函数化为 (11.31) 形式。显然 $T$ 是源于 $X$ 终于 $Y$ 的路径成本的 Wright 规则和（Wright 1921）。由 (11.31) 式我们可以写：$Y_x = Tx + I + U$（11.32 式），因为 $I$ 与 $U$ 不受 $X$ 到 $x$ 的假设变化影响；此外 $E(Y_x \mid e) = Tx + E(I + U \mid e)$（11.33 式），因为 $x$ 是常数。

(11.33) 式中的最后一项可通过在 (11.31) 式两边取期望来评估，得到 $E(I + U \mid e) = E(Y \mid e) - T E(X \mid e)$（11.34 式），代入 (11.33) 给出 $E(Y_x \mid e) = Tx + E(Y \mid e) - T E(X \mid e)$（11.35 式），证明我们的目标公式 (11.28)。证毕。

三种 $e$ 的特殊情形值得注意：

例 11.7.1 $e : X = x', Y = y'$（因果概率的线性等价，第 9 章）。由 (11.28) 式我们直接得到 $E(Y_x \mid Y=y', X=x') = y' + T(x-x')$。这是直观的。$Y$ 的假设期望就是观测值 $y'$ 加上由 $X$ 中 $x-x'$ 变化预期的 $Y$ 变化。

例 11.7.2 $e : X = x'$（处理对受处理者的效应，第 8.2.5 章）。$E(Y_x \mid X=x') = E(Y \mid x') + T(x-x') = rx' + T(x-x') = rx' + E(Y \mid do(x)) - E(Y \mid do(x'))$（11.36 式），其中 $r$ 是 $Y$ 关于 $X$ 的回归系数。

例 11.7.3 $e : Y = y_2$（例如当前赚 $Y = y_2$ 者的预期收入 $Y$，若我们强制每月 $x$ 小时培训）。$E(Y_x \mid Y=y_2) = y_2 + T[x - E(X \mid y_2)] = y_2 + E(Y \mid do(x)) - E(Y \mid do(X=r_{yx}))$（11.37 式），其中 $r_{yx}$ 是 $X$ 关于 $Y$ 的回归系数。

例 11.7.4 考虑 215 页的非递归价格—需求模型，方程 (7.9)–(7.10)：$q = b_1 p - d_1 i - u_1$；$p = b_2 q - d_2 w - u_2$（11.38 式）。我们的反事实问题（p. 216）读作：给定当前价格为 $P = p_0$，若我们把价格控制在 $P = p_1$，需求 $Q$ 的期望值是多少？做对应 $P = X$、$Q = Y$、$e = \{P = p_0, i, w\}$，我们可见此问题等同于上面例 11.7.2（处理对受处理者的效应），条件化于 $i$ 与 $w$。因此由于 $T = b_1$，我们可以立即写出 $E(Q_{p_1} \mid p_0, i, w) = E(Y \mid p_0, i, w) - b_1(p_1 - p_0) = r_p p_0 - r_i i - r_w w - b_1(p_1 - p_0)$（11.39 式），其中 $r_p$、$r_i$、$r_w$ 分别是 $Q$ 关于 $P$、$i$、$w$ 的回归系数中的系数。(11.39) 式替换 217 页 (7.17) 式。注意价格方程 $p = b_2 q - d_2 w - u_2$ 的参数仅通过回归系数进入 (11.39) 式。因此在它们由最小二乘直接估计的情形下，它们不必被显式计算。

备注：例 11.7.1 并不真正令人惊讶；我们知道因果概率在单调性假设下经验可识别（p. 293）。但例 11.7.2 与 11.7.3 引出以下猜想：

猜想：任何形如 $P(Y_x \mid e)$ 的反事实查询在每个常效应模型（即 $Y_{x_1}(u) - Y_{x_2}(u)$ 在 $u$ 上为常数）中经验可识别。

以挑战性的注脚作结，是好的。

11.7.2 反事实的含义（The Meaning of Counterfactuals）

读者提问：我很难理解反事实究竟有什么用。在我看来，它们似乎在回答错误问题。在你的书中，你至少给出几个不同的理由说明何时需要反事实问题的答案，因此让我逐一处理：(1) 法律责任问题。从你的书中我推断美国法律体系规定若被告引起原告的不幸则被告有罪。但在我看来，法律明显有缺陷。责任应基于被告行动的可预测后果，而非实际发生了什么。医生不应因其为重病开出治愈 99.99999% 人群但杀死 0.00001% 的药物而负责，即使他运气不好，病人死了。若法律基于反事实的责任概念，则在我看来法律严重有缺陷。

(2) 决策中语境的使用。在 p. 217 你写道"在此值得强调，计算反事实期望的问题不是学术练习；它事实上代表了几乎每个决策情境中的典型情况。" 我同意语境在决策中重要，但不同意我们需要回答反事实问题。在决策中，我们想估计的是 $P(\text{future} \mid do(\text{action}), \text{see}(\text{context}))$。这当然是常规 do-概率，而非反事实查询。那么为什么我们需要计算反事实？

(3) 在书的后半部分，你用反事实定义" $X$ 的原因"或"$Y$ 的必要充分原因"等概念。我能理解数学定义此类概念是诱人的，因为它们在日常语言中使用，但我认为这通常不是很有帮助。为什么我们需要知道具体事件的"原因"？是的，我们对知道事件的"原因"感兴趣，因为它们允许我们预测未来，但这又是上面 (2) 的情形。

简言之，我的论证如下：无论我们表示个人、企业、组织还是政府，我们不断面临如何行动的决定（而这些是我们仅有的决定）。我们想知道的是若我们以特定方式行动将会发生什么。所以我们想知道的是 $P(\text{future} \mid do(\text{action}), \text{see}(\text{context}))$。我们不想要也不需要反事实的答案。

我的推理哪里错了？

作者答复：(1) 你第一个问题质疑在决定法律责任时使用单事件概率而非总体概率的智慧。假设有少数患者对某药物过敏，而制造商仍分发该药而未警告可能的过敏反应。我们难道不同意当过敏患者死亡时他有权得到赔偿吗？通常制药商为那些例外情形投保，而不是在服药前把整个群体提交给昂贵的检验——经济上划算。医生当然免于罪责，因为他/她只是遵循公认的实践。但法律确保若有人能证明反事实地"该特定死亡若患者未服药本不会发生"则有人为伤害付费。

(2) 你第二个问题处理以观测结果为条件的决策。或如你所说："在决策中，我们想估计的是 $P(\text{future} \mid do(\text{action}), \text{see}(\text{context}))$。"问题在于：为正确做出该预测，我们需要一个时间索引的序贯模型，其中"未来"变量与"语境"变量清晰可分。然而我们通常被给定一个静态模型，其中"语境"变量被显示为"行动"的后果，于是使用表达式 $P(y \mid do(x),z)$ 不合适；它代表在执行 $do(X=x)$ 然后观测 $Z=z$ 时 $Y = y$ 的概率，而所需的是在先观测 $Z = z$ 然后执行 $do(X = x)$ 时 $Y = y$ 的概率。反事实给我们一种表达所需概率的方式，写为 $P = P(y_x \mid z)$，代表在给定 $Z = z$ 当前被观测下，若 $X$ 为 $x$ 则 $Y = y$ 会发生的概率。注意在静态模型中 $Z$ 是 $X$ 的非后代时，$P = P(y_x \mid z) = P(y \mid do(x),z)$。

一个例子会有指导意义。假设一位工程师画了一个含门链 $X \to Y \to Z$ 的电路图 $M$。在 $t_1$ 时刻我们观测 $Z(t_1)$，我们想知道 $X(t_2)$ 对 $Y(t_3)$ 的因果效应，以 $Z(t_1)$ 为条件。我们可通过 do-演算做此练习，带所有必要的时间索引，若我们复制模型 $M$ 并把每个时隙 $t_i$ 赋以一个模型 $M_i$，显示 $X(t_i)$、$Y(t_i)$、$Z(t_i)$ 之间以及与先前变量的关系，然后计算 $P(y(t_3) \mid do(x(t_2)),z(t_1))$。但我们可以做得更好——在静态模型中，使用反事实 $P(Y_x = y \mid z)$。静态模型为我们节省了绘制序贯模型等价物的漫长过程，反事实使我们能够利用这种节省。这是一项了不起的发明。当然可以论证若反事实主张仅仅是（在序贯模型等价中）科学预测的"会话简写"（p. 118），则它们根本不需要。但这与科学方法的精神相悖——符号经济在其中起关键作用。原则上乘法在代数中不需要——我们可以只用加法生活，把一个数加到自身任意次。但若没有乘法，科学不会进步如此之快。反事实也一样。

(3) 在最终分析中，我们想知道"事件原因"的原因确实是为了让我们在未来更好地预测与行动。但我们并不总是预先知道我们的知识将如何在何种未来情形下被召唤以辅助决策。我们需要知道特定事故原因的原因可能是多方面的：警告公众避免使用类似车辆、改进某些设备的维护程序、计算采取补救行动的成本、在敌方领土造成类似事故等等。每种应用可能从我们的模型中要求不同信息，所以"事件原因"可能是一种有用的方式——注册我们的经验以便在广泛可能的应用上分摊它。

11.7.3 反事实的 d-分离（d-Separation of Counterfactuals）

读者提问：我正尝试把图 7.3 的孪生网络法推广到反事实涉及两个以上可能世界的情形。考虑因果模型 $X \to Z \to Y$，并假设我们希望测试主张 $Y_x \perp\!\!\!\perp X \mid Y_z, Z_x, Y$（11.40 式）在该模型中是否为真。我会天真地构造以下"三重网络"：左侧部分对应未施加干预的世界；中间部分对应施加 $do(X = x)$ 的世界；右侧部分对应施加 $do(Z = z)$ 的世界。在该网络中 (11.40) 式并不由 d-分离得出，因为从 $Y_x$ 到 $X$ 的路径在条件化于 $Y$ 时开放。把孪生网络法推广到多个世界是否有错？

作者答复（与 Ilya Shpitser 合作）：你把孪生网络推广到两个以上世界的做法正确，你的结论也正确；$Y_x$ 在给定 $Y_z$、$Z_x$、$Y$ 时不独立于 $X$。事实上 Shpitser and Pearl (2007) 最近一篇论文把这种多重世界下的反事实图表示形式化为"反事实图"。

后续追问：你的答复帮助我理解孪生网络法以及"直接与间接效应"（Pearl 2001c）一文中使用的方法，但它引出一个新问题：为什么 $Y_{xz} \perp\!\!\!\perp Z_{x*} \mid W$ 在图 11.19 的图中成立，如 (Pearl 2001) 所言？若画一个"三重网络"，显然 $Y_{xz}$ 与 $Z_{x*}$ 之间的路径未被 $W$ 阻断；后者位于完全不同的世界。

作者第二次答复：独立 $Y_{xz} \perp\!\!\!\perp Z_{x*} \mid W$ 实际上在图 11.19 所示图中成立。这是因为 $Y_{xz}$ 与 $Z_{x*}$ 由变量 $W_{x*}$ 在你提到的"三重网络"中分离。用 $W_{x*}$ 替代 $W$ 的许可由 do-演算规则 3 给出，它蕴含 $W_{x*} = W$，因为 $X$ 是 $X$ 的非后代。这指向孪生网络推广中的一个重要精细化：因果公理可能蕴含某些看似不同反事实变量间的相等约束，这些隐藏相等在把 d-分离应用于反事实网络时需要被考虑。编码与管理这些相等的一种系统方法由 Shpitser and Pearl (2007) 给出。

11.8.1 不依从下的紧界（Tight Bounds under Noncompliance (Question to Author)）

我指你在我们有不完美依从时如何改进 Manski 关于处理效应的界。你的方法利用了什么 Manski 没有利用的信息？其背后的直觉是什么？作者答复：我们使用了与 Manski 相同的信息与假设，并使用由 $U$ 的规范划分定义的 16 维空间中的线性规划分析推导出紧界（Balke and Pearl 1994a, 1995a）。Manski 显然要么未旨在获取紧界，要么未意识到把 $U$ 划分为等价类的力量。回顾一下，这一划分在 Frangakis and Rubin (2002) 以"主分层"名义普及之前对经济学家是未知的。Manski 的界如 269 页所述，在某些条件下是紧的——例如无对抗者。这意味着只有当总体中存在对抗者时才能获得更窄的界，如 Pearl (1995b) 中讨论的例子所示。该文展示了代表对抗者存在的数据如何能提供足够信息使界坍缩为一点。该文还直观解释了这是如何发生的。

在这一点上应提及，由规范划分概念联合由 Balke and Pearl (1994a, 1995a,b) 发展的线性规划方法，已变成各种应用中的强大分析工具。Tian and Pearl (2000) 应用它界定因果概率；Kaufman et al. (2005) 与 Cai et al. (2008) 使用它界定混淆中介下直接效应；类似地 Imai et al. (2008) 使用它界定自然直接与间接效应。该方法推导出的闭式表达式使研究者能评估分布的哪些特征对缩小界宽至关重要。

Rubin (2004) 在一项独立探索中尝试把规范划分应用于传统潜结果框架内直接与间接效应的分析，但由于缺乏图与结构视角，他得出这些效应"定义不清"且"比有用更具欺骗性"的结论。作者相信本书读者——受潜结果分析的结构根源指引——将得出更积极的结论（见 4.5 与 11.4.2 节）。

回顾本书首次出版八年后，作者认为第 9 章中获得的结果是反事实分析的胜利，消除了部分研究者关于反事实经验内容所表达的所有恐惧与不安（Dawid 2000；Pearl 2000）。它表明一种乍看之下似乎假设性的、定义不清的、不可检验的、因此不值得科学分析的量 $P_N$，事实上是可定义的、可检验的、并在某些情形下甚至可识别。此外，在某些数据组合下，不做任何假设——一个重要的法律主张"若他未服药，原告本应活着"可以以概率一被确定——这确实令人惊讶。

11.9.1 "以概率一有罪"可能吗？（Is "Guilty with Probability One" Ever Possible?）

作者已在会议与大学的数十次演讲中展示 9.3.4 节的例子，9.53 式的结果 $P_N = 1$ 总是遭遇普遍的不信任；我们如何能从频率数据确定被告以概率一有罪，即若 Mr. A 未服药，他今天本应肯定活着。Stephen Fienberg 教授参加了两次这些演讲，两次摇头："那不可能。"对作者而言，这一反应构成了反事实分析能产生非平凡结果的坚实证据，因此它是真实的、有意义的、有用的；形而上学分析不会引发这样的抵抗。使人不敢相信此结果的是该问题三方面令人困惑之处：(1) 一个假设性的、总体上不可检验的量可以在某些条件下以概率一被确定；(2) 单独看并不揭示药物显著效应的频率表合起来时蕴含对药物的完全易感性；(3) 一个未直接测试的个体的性质可以基于来自抽样总体的数据被赋以概率一。

第一个困惑对认真对待逻辑与数学益处的科学学生而言并不真正令人惊讶。一旦我们给一个量赋予形式语义，我们实质上定义了它与数据的关系，可以想象在某些条件下获得的数据将充分约束该量，使之能被精确确定。该益处实际上可在更简单的例子中展示。考虑处理对受处理者的效应 $P(y_{x'} \mid x)$（8.2.5 节）。换言之，$P(y_{x'} \mid x)$ 代表一个已处理患者 $X = x$ 在未被处理（$X = x'$）时存活时间 $Y = y$ 的概率。这一反事实量也看似违反经验测量，因为我们永远不能重演历史并对那些已接受治疗者拒绝治疗。然而对于二元 $X$，我们可以写 $P(y_{x'}) = P(y_{x'} \mid x')P(x') + P(y_{x'} \mid x)P(x)$，并推导 $P(y_{x'} \mid x) = (P(y_{x'}) - P(y,x')) / P(x)$。换言之，$P(y_{x'} \mid x)$ 可化为经验可估计量；$P(y_{x'}) = P(y \mid do(x'))$ 在实验研究中可估计，其它量在观察研究中可估计。此外若数据支持等式 $P(y_{x'}) = P(y,x')$，我们可安全结论：已处理患者若未接受治疗将有零存活机会。那些先验地不信任反事实分析——把它视为处理未定义量的演算——的人将永远不会享受发现这些量中某些是经验可定义的乐趣。逻辑——当宽宏大量时——能为我们重演历史。

第二个困惑在 (9.54) 式之后的段落中给出了直观解释。

第三个困惑是给人震惊性不信任的。对统计学家而言，能对未直接测试的具体个体说任何确定的话是罕见的。这源于两个因素。首先统计学家通常处理有限样本，其变异性排除了任何主张的确定性——不仅关于个体，也关于基础分布的任何性质。然而这一因素不应进入我们的讨论，因为我们一直假设无限样本。（读者应想象表 9.2 中的数字代表数百万。）第二个因素源于以下事实：即使当我们精确知道一个分布时，我们也不能对从该分布抽出的具体个体的性质赋予确定概率估计。理由——如此论证——是我们从不知道（更不用说测量）决定个体行为的所有解剖与心理变量，且即使我们知道，我们也无法用我们手头分布所提供的粗糙类别表示它们。因此由于这种固有粗糙性，"Mr. A 将死亡"这一句子永远不能被赋予概率一（事实上任何确定概率）。

这一论证——由 Freedman and Stark (1999) 提出——与普通话语中使用概率陈述的方式不相容，因为它意味着关于个体的每个概率陈述必须是一个关于共享该个体所有特征的受限子总体的陈述。走向极端，这种限制性解释会坚持以极小细节刻画原告，并在所有相关细节被说明时把 $P_N$ 化为 0 或 1。不可思议的是这种解释符合司法标准的意图。通过使用"比不可能更可能"的措辞，立法者已指示我们忽略数据不可获得的具体特征，并基于最具体的可获得可靠数据特征做出我们的决定。在我们的例子中，Mr. A 的两个性质被注意：(1) 他死了；(2) 他选择使用该药物；这些在界定 $P_N$ 时被恰当考虑。若 Mr. A 的额外性质变得已知、并被认为相关（例如他有红发或左撇子），这些原则上也可通过把分析限制在代表适当子总体的数据上被说明。然而在没有这种数据时——并事先知道我们将永远无法匹配 Mr. A 的所有特质——立法者的规范必须对手头的性质来解释。

11.9.2 收紧因果概率的界（Tightening the Bounds on Probabilities of Causation）

Jin Tian（Tian and Pearl 2000）的系统工作以若干方式改进了第 9 章的结果。首先 Tian 表明对大多数这些结果，强外生性假设 (9.10) 可被弱外生性 $Y_x \perp\!\!\!\perp X$ 与 $Y_{x'} \perp\!\!\!\perp X$ 替代。其次在单调性假设（定义 9.2.13）下获得的估计量在无单调性假设时构成下界。最后第 9 章推导的界是紧的，即在不加强假设下无法改进。

特别令人感兴趣的是当来自实验与非实验研究的数据都可用、且不做其它假设时所获得的界。这些读为：

\[ \max\left(0, \frac{P(y) - P(y_{x'})}{P(x,y)}\right) \leq P_{NS} \leq \min\left(\frac{P(y_x) - P(y_{x'})}{P(x,y) - P(x',y')}, 1\right) \quad (11.41) \]

\[ \max\left(0, \frac{P(y) - P(y_{x'})}{P(x,y)}\right) \leq P_N \leq \min\left(\frac{P(y_{x'}') - P(x',y')}{P(x,y)}, 1\right) \quad (11.42) \]

\[ \max\left(0, \frac{P(y_x) - P(y)}{P(x',y')}\right) \leq P_S \leq \min\left(\frac{P(y_x) - P(x,y)}{P(x',y')}, 1\right) \quad (11.43) \]

值得注意的是，在药物相关诉讼中，同时获得来自实验与观察研究的数据并不罕见。前者通常可在制造商或批准药物分销的机构（例如 FDA）获得，而后者通过总体的随机调查容易获得。在这样的情形下，流行病学家用来建立法律责任的标准下界——超额风险比 (9.22) 式——可由使用 (11.42) 式的下界显著改进。同样，(11.42) 式的上界可用于免除制药商的法律责任。Cai and Kuroki (2006) 分析了 $P_{NS}$、$P_N$、$P_S$ 的统计性质。

同样值得注意的是在 abduction 任务中——即推理到最佳解释——$P_N$ 是在事件 $Y = y$ 的竞争解释中做决定时使用的最合理度量。在这样的应用中，(11.42) 式给出的界可由因果贝叶斯网络模型计算，其中 $P(y_x)$ 与 $P(y_{x'})$ 由 (9.48) 式可计算。

致谢：作者感谢所有寄来问题并以这种方式为本书做出贡献的读者。这些包括：David Bessler、Nimrod Megiddo、David Kenny、Keith A. Markus、Jos Lehmann、Dennis Lindley、Jacques A. Hagenaars、Jonathan Wilson、Stan Mulaik、Bill Shipley、Nozer D. Singpurwalla、Les Hayduk、Erich Battistin、Sampsa Hautaniemi、Melanie Wall、Susan Scott、Patrik Hoyer、Joseph Halpern、Phil Dawid、Sander Greenland、Arvid Sjolander、Eliezer S. Yudkowsky、UCLA CS262Z 学生（因果专题，2006 年春）以及 UCLA 流行病学班——EPIDEM 200C。作者同样感谢本书第一版的所有审稿人以及帮助把这些审稿引起其读者注意的编辑。这些包括：Choice (Byerly 2000)、Structural Equation Modeling (Shipley 2000a)、Chance (McDonald 2001)、Technometrics (Zelterman 2001)、Mathematical Reviews (Lawry 2001)、Politische Vierteljahrsschrift (Didelez and Pigeot 2001)、Technological Forecasting & Social Change (Payson 2001)、British Journal for the Philosophy of Science (Gillies 2001)、Human Biology (Chakraborty 2001)、The Philosophical Review (Hitchcock 2001)、Intelligence (O'Rourke 2001)、Journal of Marketing Research (Rigdon 2002)、Tijdschrift Voor (Decock 2002)、Psychometrika (McDonald 2002b)、International Statistical Review (Lindley 2002)、Journal of Economic Methodology (Leroy 2002)、Statistics in Medicine (Didelez 2002)、Journal of Economic Literature (Swanson 2002)、Journal of Mathematical Psychology (Butler 2002)、IIE Transactions (Gursoy 2002)、Royal Economic Society (Hoover 2003)、Econometric Theory (Neuberg 2003)、Economica (Abbring 2003)、Economics and Philosophy (Woodward 2003)、Sociological Methods and Research (Morgan 2004)、Review of Social Economy (Boumans 2004)、Journal of the American Statistical Association (Hadlock 2005)、Artificial Intelligence (Kyburg 2005)。另感谢 UCLA 因果博客（http://www.mii.ucla.edu/causality/）的贡献者以及该博客的 curator William Hsu。特别的赞赏与敬佩献给 Dennis Lindley，他不辞劳苦地从第一原理研究作者的思想，并使作者能得出基于统计科学的读者将受益于本书的结论。作者很幸运我们的道路交汇，并见证一位真正绅士的智慧、好奇与正直。

没有 UCLA 认知系统实验室所有成员在过去六年中的支持与洞察，本章不可能被写下——他们在作者被召唤去修补一个夺走其子 Daniel（在 2002 年巴基斯坦卡拉奇被极端分子谋杀）生命的世界时，继续探索因果的绿色牧场。这些年使作者确信，理性与启蒙的力量将战胜狂热与非人道。本版献给作者的妻子 Ruth——在整个磨难中的力量、爱与指引——作者的女儿 Tamara 与 Michelle，以及作者的外孙 Leora、Torri、Adam、Ari 与 Evan，他们陪伴作者完成这一旅程并使之有意义、有目的。

本章个人批注

本章的结构与前 10 章截然不同：它不再是线性地建立理论，而是以"问答"形式回头审视、修补、辩护前文中的几乎所有重要议题。这恰恰是 Pearl 在第二版中加入本章的目的——把过去八年间被读者反复追问、自己也在反复琢磨的那些"边角问题"集中起来一次说清。对精读而言，这意味着本章的阅读体验接近"对照表"——每节都对应前文某一节，问的问题也几乎都是读者在第一版读完后自然产生的疑问。

对我而言，本章最有价值的是三个层面。第一是 11.1.1 与 11.6.4 中反复强调的因果—统计之分——这两节形成呼应，把第一版前言、第 1 章、第 6 章已经讨论过的边界用更锋利的笔重新勾画，并直接展示了它在流行病学混淆、哲学概率化约、统计学可忽略性等具体争议中的解释力。第二是 11.3 节对反事实与潜结果语言的一整套"翻译"——11.3.2 给出图—潜结果对应、11.3.3 给出后门准则的另一种独立证明、11.3.5 详细复盘了倾向得分的争议、11.3.6/11.3.7 把 do-演算与 g-估计的直觉讲清——它们共同构成了一个完整的小型"潜结果批判手册"，把 Rubin 派读者容易误解的每一个细节都解释清楚。第三是 11.4.6/11.4.7/11.5.4/11.5.5 集中回应 Cartwright 与 Heckman 对 do-算子的反对——这些回应不仅是技术性的，更是 Pearl 把自己的方法学定位与现代统计学、计量经济学"主流"对话的关键场合，得以让读者看清为什么 Pearl 不接受"无操控即无因果"的立场、为什么"非模块性"在符号层面不构成反驳、为什么 Heckman 的"外部变化"在概念上仍退回到手术。

11.7.1 中关于线性模型下反事实可识别性的结论（主张 A/B/C）值得特别留意——它把第 9 章那种在一般模型中不可识别的反事实量在线性条件下给出了闭式表达，并且 11.39 式把第 7 章价格—需求模型的同一问题用更简洁的方式重写。这是一个少见的"非平凡结果反哺已有框架"的例子。11.9.1 中 Pearl 讲述 Stephen Fienberg 两次摇头说"那不可能"的故事本身也值得回味——他用这个故事为反事实分析的现实意义作证，把"院士级统计学家的直觉抵抗"作为反事实理论深度的间接证据，这种叙事方法本身就在示范"如何用案例说服怀疑者"。

最后一点感触：致谢部分提到 Pearl 的儿子 Daniel 于 2002 年在巴基斯坦卡拉奇被极端分子谋杀，作者随后用了六年的时间一边修补个人创伤、一边完成第二版。这种个人悲剧与本书写作时间线的并列，使本章末段（"理性与启蒙的力量将战胜狂热与非人道"）的宣言不再只是学术惯用语，而有了真实的重量。读到这里我再次提醒自己：技术性的因果分析虽然看似冷峻，但它的工作背景往往是真实的伤害、责任与法律——这本书的每一道公式背后都可能站着像 Daniel Pearl 这样的真实个体。这是我在精读本书过程中反复出现的、最重要的元层提醒。

与上下章的衔接（一段话）

第 11 章在全书中的位置是"对前 10 章的回顾与延伸"，它没有引入新的基础理论，而是用 38 个问答子节回答了作者在八年里从读者与对话者那里收集到的最尖锐、最常见、最容易被误解的具体问题——因此它在叙述逻辑上紧扣前 10 章每一章：11.1 对应第 1 章的因果—统计之分；11.2 对应第 2 章的统计时间；11.3 对应第 3 章的反事实/可识别性/协变量选择；11.4 对应第 4 章的策略评估与 do-算子；11.5 对应第 5 章的线性 SEM；11.6 对应第 6 章的 Simpson 悖论与混淆；11.7 对应第 7 章的反事实演算；11.8 对应第 8 章的工具变量与不依从；11.9 对应第 9 章的因果概率。这种"节号映射"的安排不是偶然——它把全书正文与方法学讨论形成对应，使读者在遇到具体困难时可以方便地回到正文查阅。在它之后没有第 12 章，因此本章也是全书的收尾，并以一段致谢词——既感谢读者，也纪念作者的儿子 Daniel——作结，使全书在理论性与个人性两个层面上同时收束。