第14章 分形（Fractals）读书笔记
目录
- 14.1 分形：基本概念与生物学相关性
- 14.2 分形的例子及其生成方法
- 14.3 分形维数：概念与计算方法
- 14.4 分形还是空间填充？
- 警示与注意事项
- 附录A 相平面分析
- 附录B Routh-Hurwitz条件、Jury条件、Descartes符号法则与三次方程的精确解
- 公式汇总表
14.1 分形：基本概念与生物学相关性
1.1 引言
分形理论是一个容易引起误解的领域。一个好的名字（尤其是像"分形"这样视觉上极具戏剧性且无需太多背景知识就能实践的领域）所带来的问题是，不当的使用和宣传可能会夸大和误导分形理论的适用范围。突变理论（catastrophe theory）就是一个类似的例子——其过度热情的数学实践者对跨学科科学造成了相当大的损害。尽管混沌理论和分形理论被一些人宣传为生物学的万能药方，但幸运的是，有足够的理性声音来平衡这种观点，使其保持应有的限度。
1.2 对分形理论的误解
一个特别普遍的错误认识是：由于分形能够创造出看起来非常像树木、杂草、花朵、蝴蝶翅膀图案等许多自然结构的物体，人们往往认为这就是这些自然结构形成方式的生物学解释。尽管分形图案可能是自然形态的合理图形表示，但它们本质上并未说明涉及这些结构和图案发育的生物学过程和机制。要建立一个模型，需要的内容远比这多得多。尽管有这些批评，分形思想确实可以并且已经被证明是非常有帮助的。
1.3 分形理论的一个应用方向
分形理论的应用之一直接与在不同放大倍数下测量生物结构有关——这是我们在本章对分形理论简要介绍中要讨论的内容。我们可以简单但仍然有用的方式将分形理解为：在越来越小的尺度上重复自身的几何图形，或在越来越大放大倍数下观察时表现出越来越复杂结构的几何图形。对于分形，通常存在自对称性或近似自对称性。也就是说，如果我们放大整体图案的一小部分，它或多或少地展示整体图案的某些方面。
1.4 推荐的参考书籍
关于分形理论，有许多书籍可以参考：
- Peitgen等人（1992）的著作内容丰富，包含历史细节
- Liebovitch（1998）的书面向生命科学，阐述清晰明了
- Strogatz（1994）的书更偏数学但包含更多生物学应用
- Bassingthwaighte等人（1994）专门针对生理学问题
- Falconer（1990）对分形理论和应用有清晰介绍
- Kaandorp（1994）的书利用新的计算机技术模拟各种生物生长情况下的分形建模
1.5 生物学例子
视网膜细胞分支与覆盖分析：神经元细胞的形态和分支特征已被广泛研究，以便理解形态发生、领域覆盖、分类等。Famiglietti（1992）研究了兔子方向选择性视网膜神经节细胞的相似性和差异性，并提出了分形方法进行分析。Freed和Sterling（1988）研究了猫视网膜的α神经节细胞。Tauchi和Masland（1984）以及Tauchi等人（1992）研究了兔子视网膜中特定神经元细胞的形状和排列。
亚细胞膜系统在不同放大倍数下的表面积和体积测量：特定膜的表面积和体积测量经常产生差异很大的值。以大鼠肝细胞为例，Paumgartner等人（1981）讨论了发表的不同值之间的差异。虽然有各种可能的解释，但他们集中讨论了进行测量的不同放大倍数或尺度的影响。
肺血流量：Glenny和Robertson（1990；1991a的一般综述文章）使用解析分形程序研究肺血流的异质性，并将其与传统的重力模型进行比较。他们将数据与分形模型进行比较，获得了非常好的拟合结果。
1.6 分形理论在生物学中的应用注意事项
将一大类生长现象标记为分形——这些现象可以在很长时间内用某种幂律进行现象学描述——这是非常有争议的。这些由（正确或错误地）将分形理论应用于自然现象而提出的假设，在很多方面强调了我们必须研究和希望确定生长过程中实际机制的重要性，并反映了这本书一贯倡导的主要观点：现象学描述不是解释，尽管它们可以帮助限制发育过程中什么是不可能的。
14.2 分形的例子及其生成方法
2.1 von Koch曲线
我们首先考虑一个具体的分形，称为von Koch曲线，首次描述于1906年。这个分形是递归生成的。我们从一条直线\(L_0\)开始，将其内部三分之一替换为两条相等的线段，形成\(L_1\)（如图14.2所示）。然后，对\(L_1\)中的每个直线段重复相同的操作得到\(L_2\)，然后是\(L_3\)，依此类推。当\(n \to \infty\)时，极限曲线\(L_n\)就是著名的von Koch曲线。
设\(L_1, L_2, \ldots\)的长度为\(s_0, s_1, \ldots\)，则：
也就是说，每个\(L\)的长度在每次迭代时都会增加，并且\(s_n \to \infty\)（当\(n \to \infty\)时）；换句话说，极限曲线具有无限长度。不仅如此，von Koch曲线上任意两点之间的距离都是无限的。
von Koch曲线具有明显的自对称性：子单元与前一阶段或甚至只是整体的一部分之间存在自对称性。因此，von Koch曲线\(K\)是自相似的，并且在任何尺度上观察它都有结构。在越来越小的尺度上图案子单元的自相似性是某些分形的共同特性。事实上，在越来越小的尺度上表现出这种自相似性的图形就是分形，尽管并非所有分形都具有此属性。
设任何生成阶段的尺度单位为\(\mu_n\)。如果我们将初始线\(L_0\)的长度设为1，则\(\mu_0 = 1\)，\(\mu_1 = 1/3\)，\(\mu_2 = (1/3)^2\)，...，\(\mu_n = (1/3)^n\)。我们可以将尺度单位\(\mu\)和放大倍数\(M\)以简单的方式联系起来。尺度\(\mu\)和放大倍数\(M\)的关系为\(\mu \propto \lambda / M\)，其中\(\lambda\)与放大倍数为1时可解析的尺度单位有关。
2.2 Sierpinski三角形
另一个经典的自相似分形是Sierpinski三角形，首次描述于1916年。这里从等腰三角形开始，反复移除面积为四分之一的相似三角形。其初始阶段如图14.3所示。与von Koch曲线一样，我们也可以计算任何阶段的尺度单位（这里指面积）。
2.3 Julia集合——非线性分形
自相似分形只是分形形状中的一小类。它们涉及线性标度律。我们现在可以看到如何用一点技巧设计特定的分形生成器来生成各种各样看起来像各种生长事物的形状——树木、杂草、海星、花朵、蕨类、 cauliflower、花椰菜和神经节细胞等。如果分形生成器中也有非线性，那么我们可以生成的复杂图形是无限的。
非线性分形的一个例子是Julia集合，以Gaston Julia命名，他在1918年25岁时发表了他的高度原创性和开创性的研究。它们是非线性分形的一类，但可能是最著名的，因为最终的图案可以非常微妙和美丽，并且在非常基础的的个人电脑上用简单的程序就可以轻松展示这些图案的戏剧性演变。
Julia集合基于复平面上的变换，涉及多项式的迭代，如\(z^2 + k\)，\(z^2 + z + k\)，\(z^3 + k\)等，其中\(z\)和\(k\)是复数。生成算法涉及多项式变换的重复应用。也就是说，从给定的\(z\)开始，然后评估多项式变换的效果。例如，从点\(z_0\)开始，评估点\(z_1 = z_0^2 + k\)，然后\(z_2 = z_1^2 + k\)，依此类推。点的序列就是Julia集合。
2.4 生成规则与视觉效果
在这个阶段，我们应该重申关于这些复杂图形及其生成算法的现实主义的评论——它们能够产生与自然界中发现的结构非常相似的视觉让人联想到的结构。例如，不同的生成规则，无论是否密切相关，都可以产生两种不同树种的一般视觉形状。虽然这很有趣，但它几乎没有说明实际产生该结构的生物模式形成机制，如果不进行更多的生物学投入，作为对树木如何生长和形成的解释，其价值可能还不如艺术家的印象。这并不是说分形在生物学中无用，只是说在研究真正的生物学情况时调用分形理论必须非常谨慎，最重要的是要尊重生物学现实。
14.3 分形维数：概念与计算方法
3.1 传统几何维数的扩展
传统几何形状的维数非常清楚：直线是一维的，平面上的图形是二维的，什么是三维形状是显而易见的。维数是指定图形上某一点所需的最少坐标数。例如，在给定曲线上，我们可以用一个坐标指定任何点，即从曲线上给定点的弧长，所以它是一维图形。平面上的点需要两个坐标，所以是二维的，等等。那么von Koch分形、Sierpinski三角形和图14.1中的神经节细胞有维数吗？前两个当然不符合我们对维数的正常概念，所以我们必须扩展我们对"维数"含义的想法，特别是"分形维数"。
3.2 von Koch曲线的维数问题
von Koch曲线是一个具有特殊属性的分形：曲线上任意两点之间的距离是无限的。生成von Koch曲线的曲线也是明显的分形，因为任何小单元只是上面某个曲线的缩小版本。曲线的维数是多少？由于它是一条曲线，人们可能认为它是一维的。然而，由于曲线上任意两点之间的距离是无限的，我们无法通过指定距离从曲线上的一个点到达另一个点，因为所有点彼此之间都是无限远的。它显然不是二维的，因为它没有任何"面积"，所以它的维数可能在1和2之间，但我们如何定义和计算它？
3.3 测量标度效应
考虑一条曲线（如Figure 14.5a）并假设它代表某个生物膜边界的一部分，我们想知道它的长度。如果我们用具有标度\(r_1\)的尺子测量曲线（Figure 14.5b），我们无法检测到尺子端点之间的各种凹痕。我们得到的"长度"是覆盖曲线所需的单位数。如果我们使用较小的标度（Figure 14.5c），我们会得到不同的答案，因为我们现在可以考虑一些更精细的凹痕。因此，当我们减小标度时，换句话说，当我们增加放大倍数时，我们得到的"长度"值会增加。
3.4 自相似分形的维数与标度律
考虑一个边长为\(S\)的正方形。如果我们将每边按比例\(r = 1/2\)缩小，那么我们需要4个（\(=2^2\)）较小的盒子来填充原始正方形。如果按比例\(r = 1/3\)缩小，我们需要\(3^2\)个缩小的正方形来填充原始正方形。通常，如果按比例\(r\)缩小，我们需要\((1/r)^2\)个缩小的正方形来填充原始正方形。如果我们对立方体做同样的事情，那么对于比例因子\(r\)，填充原始盒子所需的小立方体数量是\((1/r)^3\)。\(1/r\)的幂与原始几何图形的维数直接相关：正方形为2，立方体为3。
设\(r\)为比例因子，\(m(r)\)（\(r\)的函数）表示填充原始图形所需的缩小碎片（类似于原始图形）的数量，那么对于正方形和立方体，\(m = (1/r)^D\)，其中\(D\)是维数——正方形为2，立方体为3。这提示了分形维数的合理定义，如上推导，由下式给出：
对对数两边取对数。严格来说，分形维数\(D_{fractal}\)由以下表达式的极限给出，因为比例因子\(r \to \infty\)；也就是说，实际长度标度趋于零，所以：
在von Koch曲线的例子中，对于任意\(k\)，曲线\(L_k\)（长度为\(s_k\)）由四个相等的部分组成，每个部分与前一条曲线\(L_{k-1}\)（长度为\(s_{k-1}\)）相似，但按比例缩小了3。因此，这里的副本数\(m = 4\)，比例因子\(r = 1/3\)。根据(14.2)中分形维数的定义，我们得到von Koch曲线的分形维数为：
这确实在1和2之间。
3.5 一般的标度律
现在考虑一个一般的标度律和一些我们测量时依赖标度\(r\)的量\(Q\)。作为例子，参考图14.5，我们可以看到，标度越精细，可以考虑到的细节就越多，因此，我们使用的标度\(r\)越小（即放大倍数\(M\)越大），测得的长度\(Q\)就越大。所以，\(Q(r)\)是\(r\)的函数，如果我们考虑图14.5中曲线的长度，\(Q = N(r) \cdot r\)，其中\(N(r)\)是在标度\(r\)下覆盖曲线所需的标度单位数。
如果图形是自相似的，我们可以推断出\(N(r)\)作为\(r\)函数的行为。对于正方形，当比例因子为\(r = 1/2\)时，我们需要\(N(r) = (1/r)^2\)个较小的单位来填充原始正方形。对于立方体，是\(N(r) = (1/r)^3\)。\(1/r\)的幂直接关系到所考虑量的维数。因此，对于自相似标度律，我们有：
其中\(C\)是某个常数，\(D\)是表征量\(Q\)的维数。在正方形和立方体的例子中，如果我们从已知的面积和体积开始，\(C\)就是那个面积和体积。当处理我们不知道的量时，\(C\)是先验未知的。
利用\(N(r)\)的表达式(14.3)，我们有：
两边取对数给出：
从实际角度，我们绘制\(\ln Q(r)\)对\(\ln r\)的图，对于各种\(r\)，然后斜率决定分形维数\(D\)。
公式(14.4)中的维数定义与(14.1)中给出的定义是一致的。为了说明这一点，用(14.4)替换(14.5)中的\(Q(r)\)得到：
这与(14.1)中定义的维数\(D\)相同，因为\(N(r) = m(r)\)。
3.6 放大倍数与实际应用
我们应该记住，在实验测量中使用的是放大倍数\(M\)，而不是尺度单位\(r\)。\(M\)和\(r\)之间存在直接比例关系，即\(M = \mu / r\)，其中\(\mu\)是某个可以计算的 proportionality 因子。就放大倍数\(M\)而言，维数\(D\)由(14.5)给出，变成：
(14.7)中的最后一项只是一个常数。分形量\(Q\)在log-log图上是一条直线。使用不同尺度的实验测量可以表明生物量是否是分形的——或者近似如此。
3.7 线粒体内膜和内质网测量实例
一个具体的实验例子是Paumgartner等人（1981）对大鼠肝细胞特定膜边界的电子显微镜测量。这里\(Q\)代表长度和表面积测量。他们绘制了各种测量值\(Q\)的对数对放大倍数\(M\)的对数\(1/M\)的图。对于大于130,000的放大倍数，分形密度\(D = 1\)。换句话说，在这个放大倍数以上没有更精细的结构，所以我们看到的是没有"隐藏"复杂性的整个结构。在严格的或理论的分形情况下（如von Koch曲线），极限长度是无限大的。在任何生物学情况下，不可能无限增加放大倍数。实际上，存在一个明确的极限标度\(r\)，达到该标度时维数变为通常的拓扑维数。在图14.6中，对于大于130,000的放大倍数，维数\(D = 1\)，这决定了（约）物理极限。
3.8 分形的实际用途
如果我们只能在一小部分不同的尺度上测量\(Q\)，而不能达到极限标度\(r_{limit}\)（对应130,000放大倍数），而结构在该极限以上具有整数维数。假设测量足以证明分形行为和近似分形维数\(D\)。那么从(14.4)，在标度\(r\)和标度\(r_{limit}\)下\(Q\)的测量值之比为：
其中\(K_c\)是标度\(r\)处测量的校正因子。找到分形行为的实际用途之一是它清楚地显示了标度在测量特定量时的重要性，以及基于较大尺度观察的结论可能不准确。
另一个更准确的空间测量的潜在重要用途，特别是表面积，与量化化学物质通过这样的膜表面扩散的通量有关。通过表面扩散的化学物质的数量与表面积成正比。因此，如果表面是分形的或准分形的，如果我们知道分形维数，我们可以获得对该通量更准确的近似。当然，分形"凹痕"不能如此精细以至于对扩散的随机游走近似不再有效，但在实践中通常不是这种情况。
3.9 非自相似分形与盒计数维数
如果分形不是自相似的，我们必须推广分形维数的概念。我们还必须有某种方法在任何实验情况下计算它。不是自相似的分形的例子如图14.3所示。一种广泛使用的方法称为盒计数，我们现在描述。
基本方法是用大小为\(r\)的规则方形盒子（也使用圆或球）覆盖测量对象。如果测量在平面上，则使用正方形；如果物体测量是三维的，则使用立方体。在图14.7a中，假设原始平滑曲线的长度为\(L\)。那么盒子数\(N(r)\)与使用的盒子大小有关，取决于单位标度\(r\)；这里\(N(r) \propto L/r\)。如果是面积\(A\)的区域（如图14.7c），那么\(N(r) \propto A/r^2\)。在幂律(14.3)情况下，\(N(r) \propto L/r^D\)，分形盒维数由(14.6)给出为：
只要极限存在。
3.10 非自相似分形的盒维数计算实例
考虑图14.8中的非自相似分形。生成规则包括从分成九个小正方形的正方形开始。然后随机选择一个并将其从图形中移除以得到集合\(S_1\)。剩余的八个正方形然后各自再分成九等份，再次在每个盒子中随机选择一个较小的正方形并丢弃以获得\(S_2\)。然后重复该过程。这是一个分形结构，在每个尺度缩减下都有定性相似的结构，并且有一种幂标度律在起作用，因为单个幸存盒子当然服从一个标度律。
如果我们取原始正方形的边长为1，那么\(S_1\)由\(N = 8\)个边长为\(1/3\)的相等正方形组成；即标度\(r = 1/3\)。集合\(S_2\)由\(N = 8^2\)个边长为\((1/3)^2\)的正方形组成。在第\(n\)代，我们有一个结构\(S_n\)，有\(N = 8^n\)个边长为\(r = (1/3)^n\)的正方形。从(14.9)，我们得到盒维数：
14.4 分形还是空间填充？
4.1 生物空间填充结构的动机
让我们考虑一个涉及细胞的生物学情况，例如图14.1中所示的细胞，或肺中肺泡囊所占据的体积，或者如图14.9中所示的墙壁的常春藤覆盖。在肺的情况下，理想情况下，主要目的是在最小空间内最大化血液中的氧气交换。在常春藤的情况下，枝条生长似乎是为了以最有效的方式覆盖墙壁空间，以便叶子最大化阳光和相关气体的吸收以在生长季节最大化生长。这样的分支结构在自然界中广泛存在。在神经节细胞的情况下，它们是空间填充的还是分形的？
4.2 空间填充曲线
19世纪末和20世纪初，人们对空间填充曲线产生了相当大的兴趣。我们所说的意思是：对于给定区域中的任何斑块，有一条曲线经过该斑块的每个点。为了了解如何构建这样的曲线，我们考虑Hilbert在1891年描述的经典空间填充曲线。图14.10显示了初始构建阶段。假设三边图形\(S_0\)中线段的大小为长度1。然后在中间阶段，我们有四个这样的三边图形，线段长度为\(1/2\)。然后我们用三条线将\(S_0\)的四个副本连接起来得到\(S_1\)。重复该过程得到\(S_2\)，再次使用类似的旋转并连接各个象限曲线。在阶段\(S_n\)，我们有\(4^n\)个\(S_0\)的副本，由长度为\(1/2^n\)的线段组成。极限情况下，曲线经过正方形中的每个点。
4.3 生物学视角
从生物学的角度来看，假设有一个有机体想要最大化其对给定区域或体积的覆盖。一种方法是让分支结构遵循局部发育分支规则，尝试填充所有可用空间。图14.10中曲线的演变是一种可能的规则。实际上，这样的分支模式的规律性是否比随机机会分支更好？后者具有正常的拓扑维数，不是分形的，不是自相似的，也不具有与分形相关的其他优雅几何属性？当分支间距离处于与特定有机体相关的特定尺度时，分支模式（分形的或其他）停止。这将产生一个相当均匀的网格，内部没有进一步的结构。实际上，尝试创建比必要更精细的结构会是适得其反的。通过对视网膜神经元和血管的仔细分析，Panico和Sterling（1995）表明，神经元和血管图案显示的自相似性不超过他们使用的非分形对照。他们得出结论：这些生物图案不是分形的，而是空间填充的。
4.4 边界效应
尽管实验可能产生看起来是分形的或具有非整数维数的东西，但边界通常在这样的测量中起作用，并影响后续的log-log图。无论某物是否来自实验测量是分形的，必须清楚地证明可以忽略此类边界效应。
警示与注意事项
5.1 从分形推断机制的危险
经常有人建议，如果某个模式是分形的，我们可以推断出生成它的一些机制。最常被引用的例子是当生成的模式与图14.11在质量上相似时——这是扩散限制聚集（Diffusion Limited Aggregation, DLA）生成的典型模式。扩散限制聚集是一种扩散过程，粒子表现出随机游走行为，当粒子与另一个粒子接触时，它会粘附到上面并且不能再移动。该过程通常从固定粒子的种子开始，释放的粒子最终会扩散到种子上。以这种方式动态形成的空间图案是分形的。在DLA例子中，我们可以从理论上计算分形维数；它是1.7。我们当然也可以使用盒维数方法从这个图形计算它。
现在比较图14.11中的图案和图14.1中的细胞图案。Caserta等人（1990）和Schierwagen（1990）经常建议神经元细胞的形状可能由扩散限制聚集过程决定。仅凭视觉相似性就得出这种结论是不正当的。
5.2 评估模型机制
任何模型机制，如扩散限制聚集，必须根据其他生物空间模式生成器的实验来评判。只有通过这些才能区分它们。考虑到可以轻松生成假想的蕨类、花椰菜、树木等，很容易忘记研究生物学模式形成的首要目的，即尝试发现产生空间模式的潜在生物过程。
附录A 相平面分析
A.1 一般二阶常微分方程系统
我们在此非常简要地讨论一般自治二阶常微分方程组的形式：
我们给出本文所需的基本结果。相曲线或(A.1)的相轨迹是：
通过任何点\((x_0, y_0)\)有一条唯一曲线，除了在奇点\((x_s, y_s)\)：
令\(x \to x - x_s\)，\(y \to y - y_s\)；那么，(0, 0)是变换后方程的奇点。
如果\(f\)和\(g\)在(0, 0)附近是解析的，我们可以展开\(f\)和\(g\)为泰勒级数，只保留线性项，得到：
A.2 特征值与解
设\(\lambda_1\)和\(\lambda_2\)是矩阵\(A\)的特征值；即：
(A.5)的解为：
A.3 相平面奇点的分类
(i) \(\lambda_1, \lambda_2\) 实数且不相等：
-
(a) \(\lambda_1\)和\(\lambda_2\)同号：典型特征向量\(v_1\)和\(v_2\)。当\(\lambda_1 \leq \lambda_2 < 0\)，所有轨迹趋于(0, 0)，称为稳定节点（Type I）；当\(\lambda_1 > \lambda_2 > 0\)时是不稳定节点。
-
(b) \(\lambda_1\)和\(\lambda_2\)异号：例如\(\lambda_1 < 0 < \lambda_2\)，这对应于鞍点奇点。鞍点总是不稳定的。
(ii) \(\lambda_1, \lambda_2\) 复数：\(\lambda_{1,2} = \alpha \pm i\beta\)，\(\beta \neq 0\)：
- (a) \(\alpha \neq 0\)：这里我们有螺旋线，如果\(\alpha < 0\)则稳定，如果\(\alpha > 0\)则不稳定。
- (b) \(\alpha = 0\)：相曲线是椭圆。这称为中心，是中性稳定的。
(iii) \(\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda\)：
- (a) 一般情况：解涉及\(t e^{\lambda t}\)项，称为Type II节点。
- (b) 如果解不包含\(t e^{\lambda t}\)项：我们有星形奇点。
奇点类型取决于矩阵\(A\)中的\(a, b, c, d\)。图A.2总结了关于\(A\)的迹和行列式的结果。
附录B Routh-Hurwitz条件、Jury条件、Descartes符号法则与三次方程的精确解
B.1 Routh-Hurwitz条件
线性稳定性由特征多项式的根决定。特征多项式可以写成一般形式：
要求所有根\(\lambda\)满足\(\text{Re}\lambda < 0\)的充要条件是Routh-Hurwitz条件。连同\(a_n > 0\)：
对于三次方程\(\lambda^3 + a_1\lambda^2 + a_2\lambda + a_3 = 0\)，Routh-Hurwitz条件为：
B.2 Jury条件
对于离散系统，线性稳定性要求特征根满足\(|\lambda| < 1\)。Jury条件是确保这一点的必要和充分条件。
B.3 Descartes符号法则
考虑多项式(B.1)，忽略任何为零的系数，设\(\{a_n, a_{n-1}, \ldots, a_0\}\)序列中的符号变化次数为\(N\)。Descartes符号法则表示：(B.1)最多有\(N\)个实正根，且\(N, N-2, N-4, \ldots\)个实正根。
B.4 三次方程的根
三次多项式\(p(\lambda) = \lambda^3 + A\lambda^2 + B\lambda + C\)（其中\(A, B, C\)为实数）的根的显式形式如下表所示：
| 条件 | 根 |
|---|---|
| \(\alpha > 0\), \(\beta = 0\) | \(\lambda_1 = -a\), \(\lambda_{2,3} = \pm\sqrt{3\alpha} - a\) |
| $ | \beta |
| \(\beta > 2\alpha^{3/2}\) | \(\lambda_1 = -2\alpha^{1/2}\cosh\psi - a\), \(\lambda_{2,3} = -\alpha^{1/2}\cosh\psi - a \pm i(3\alpha)^{1/2}\sinh\psi\)，其中\(\psi = \frac{1}{3}\cosh^{-1}\{\beta/[2\alpha^{3/2}]\}\) |
| \(\beta < -2\alpha^{3/2}\) | 类似上式 |
| \(\alpha = 0\) | \(\lambda_1 = -\beta^{1/3} - a\), \(\lambda_{2,3} = \beta^{1/3}/2 - a \pm i3\beta^{2/3}/4\) |
| \(\alpha < 0\) | \(\lambda_1 = -2(-\alpha)^{1/2}\sinh\theta - a\), \(\lambda_{2,3} = (-\alpha)^{1/2}\sinh\theta - a \pm i(-3\alpha)^{1/2}\cosh\theta\)，其中\(\theta = \frac{1}{3}\sinh^{-1}\{\beta/[2(-\alpha)^{3/2}]\}\) |
其中：\(A \equiv 3a\), \(B \equiv 3b\), \(\alpha \equiv a^2 - b\), \(\beta \equiv 2a^3 - 3ab + C\)
公式汇总表
| 编号 | 公式名称 | 公式 | 备注 |
|---|---|---|---|
| (14.1) | 分形维数定义 | \(D = \frac{\ln m(r)}{\ln(1/r)}\) | 适用于自相似分形 |
| (14.2) | 分形维数极限定义 | \(D_{fractal} = \lim_{r \to \infty} \frac{\ln m(r)}{\ln(1/r)}\) | 严格定义 |
| (14.3) | 自相似标度律 | \(N(r) = \frac{C}{r^D}\) | \(C\)为常数，\(D\)为维数 |
| (14.4) | 测量量与标度关系 | \(Q(r) = N(r) \cdot r = \frac{C}{r^{D-1}}\) | \(Q\)为测量值 |
| (14.5) | 对数形式 | \(\ln Q(r) = -(D-1)\ln r + \ln C\) | 用于实验数据拟合 |
| (14.6) | 维数近似公式 | \(D \approx \frac{\ln N(r)}{\ln(1/r)}\) | 当\(r\)很小时 |
| (14.7) | 放大倍数形式 | \(\ln Q(M) = -(D-1)\ln(1/M) + \ln[\mu^{-(D-1)}C]\) | 用放大倍数\(M\)表示 |
| (14.8) | 测量校正因子 | \(Q(r_{limit}) = \left(\frac{r}{r_{limit}}\right)^{D-1} Q(r) = K_c Q(r)\) | 用于校正测量值 |
| (14.9) | 盒计数维数 | \(D = \lim_{r \to 0} \frac{\ln N(r)}{\ln(1/r)}\) | 适用于非自相似分形 |
| (14.10) | Sierpinski变体分形维数 | \(D = \frac{\ln 8}{\ln 3} \approx 1.893\) | 八宫格去一结构 |
| (A.1) | 自治二阶ODE系统 | \(\frac{dx}{dt} = f(x,y), \frac{dy}{dt} = g(x,y)\) | 相平面分析基础 |
| (A.5) | 特征值公式 | \(\lambda_{1,2} = \frac{1}{2}(a+d \pm \sqrt{(a+d)^2 - 4\det A})\) | 判断奇点类型 |
| (A.6) | 解的通式 | \(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = c_1 v_1 e^{\lambda_1 t} + c_2 v_2 e^{\lambda_2 t}\) | 线性系统解 |
| (B.1) | 特征多项式 | \(P(\lambda) = \lambda^n + a_1\lambda^{n-1} + \cdots + a_n = 0\) | Routh-Hurwitz条件基础 |
| (B.3) | 三次方程Routh-Hurwitz条件 | \(a_1 > 0, a_3 > 0, a_1 a_2 - a_3 > 0\) | \(\lambda^3 + a_1\lambda^2 + a_2\lambda + a_3 = 0\) |
关键概念总结
- 分形的定义：在越来越小的尺度上重复自身的几何图形，或在放大时表现出越来越复杂结构的图形
- 自相似性：分形的主要特征之一，放大一小部分会显示整体图案的某些方面
- 分形维数：介于整数之间的维数，用于量化分形的"粗糙度"
- von Koch曲线：经典分形例子，维数\(D = \ln 4 / \ln 3 \approx 1.262\)
- 盒计数法：计算非自相似分形维数的方法
- 分形与空间填充的区别：并非所有看起来像分形的结构都是分形的；可能是空间填充结构
- 分形在生物学中的应用：主要用于测量标度效应，但不应仅凭视觉相似性推断机制
本笔记基于J.D. Murray所著《Mathematical Biology I》第三章分形部分整理