第 5 章：婚姻互动的动力学建模——离婚预测与婚姻修复（Modelling the Dynamics of Marital Interaction: Divorce Prediction and Marriage Repair）
5.1 心理学背景与数据：Gottman–Levenson 方法学
本章把差分方程模型（与第 3 章相同的一类工具）用于一个全新的领域：用数学模型去表达婚姻互动随时间变化的机制，并以此作为一种新的方法。社会心理学领域的常规分析是统计方法，而且多为线性模型。但近年的研究越来越清楚地表明，绝大多数系统其实是高度非线性的。把数学模型引入婚姻互动研究是由 J. M. Gottman 基于其长期的家庭互动研究和 J. D. Murray 共同发起的（详细心理学论述与若干案例可见 Gottman 等 2002 年的专著）；本章讨论的内容主要依据 Cook 等 1995 年的论文。把这一章纳入本书，一部分原因在于它是数学建模的一种新应用。作者在开头引用 Gottman 1998 年给出的若干基本事实：在美国，40 年内初次婚姻以离婚收场的比例介于 50% 至 67% 之间，二婚的离婚率再高出约 10%。传统的介入治疗效果并不一致，因此任何能增进对婚姻互动、离婚预测与可能疗法的理解的理论，都值得去探索。作者同时提醒读者：把数学建模用于婚姻互动仍处于早期发展阶段。
建模初期遇到的难题是：我们没有任何现成理论可以让我们直接写下婚姻互动随时间变化的方程。没有质量作用定律，也没有种群互动中那种常用的定性行为可作类比。于是研究团队走了一条不同的路——把数据与差分方程结合使用，让数据本身来"生成"互动项的函数形式，然后再用数据去"检验"这种定性的形式。这种做法与生物学中通常的建模模式截然不同：建模的目标变成生成理论。检验也不应是一个自动化的过程（如 t 检验），而是用数据来引导科学直觉，使得变化方程在理论上是有意义的。当一个领域事先难以用定量理论来描述过程时，这种以定性数学建模生成理论的方法是有用的。
建模要求有可靠的数据基础。这里起点是 Gottman 与 Levenson 1992 年报告的一个现象：一个反映"负面与正面互动平衡"的特定变量，能够预测婚姻的解体。研究团队着手尝试生成可能解释这一现象的理论。作者在脚注里坦承，最初连参与此项目的数学家们都对能否把数学建模用于心理学持怀疑态度，但很快都被其相关性与实际用途说服。
数据本身来自 Gottman 与 Levenson 1992 年的研究：1983 至 1987 年间，他们对一个 73 对夫妻的样本进行了纵向跟踪，采集其同步的生理、行为与自报数据。编码系统叫 Rapid Couples Interaction Scoring System（RCISS；Krokoff 等 1989）。夫妻被分成"调节型"（regulated）和"非调节型"（nonregulated）两类。评分在夫妻 15 分钟录像讨论中进行，对其情绪的多个细节编码。在每一次发言轮次中，对每位发言者计算其"RCISS 正向发言编码数"减去"负向发言编码数"，然后画出每一方这些得分的累积图；用线性回归得到累积图的斜率，作为正负编码差异随时间变化的稳定估计。如果夫妻双方的图都具有显著为正的斜率，便归为"调节型"；否则为"非调节型"。这一变量即为 Gottman–Levenson 变量。这个分类的依据是 Gottman 1979 年提出的一种图形方法，建立在"婚姻平衡理论"之上——预测婚姻解体的最重要过程应涉及正负互动的平衡或调节。需要注意，"调节型"和"非调节型"在这里有精确含义：所有夫妻，包括幸福婚姻，都有一定量的负面互动；所有夫妻，包括不幸福婚姻，都有一定量的正面互动。
按此分类，样本分为 42 对调节型与 31 对非调节型两组。图 5.1 展示了一个低风险（调节型）与一个高风险（非调节型）夫妻的典型数据。1987 年，即初次评估四年后，原参与者被重新联系；73 对原始夫妻中的 70 位丈夫与 72 位妻子（即至少一方，92.4%）同意参与后续跟踪。四年内，49.3% 的夫妻考虑过结束婚姻，24.7% 分居平均 8.1 个月，73 对夫妻中 12.5% 真正离婚。Gottman 与 Levenson 指出四年期离婚率较低，主要原因之一是短期预测婚姻解体本身就很困难——正式解除一段不满意婚姻可能要更长的时间，样本量小也是限制因素。Cook 等 1995 年归纳的对比结果大致是：(i) 考虑过离婚的低风险夫妻 32%，高风险夫妻 70%；(ii) 实际分居的低风险 17%，高风险 37%；(iii) 真正离婚的低风险 7%，高风险 19%。
观测编码的具体做法：夫妻被要求选一个他们持续存在问题的领域（性、金钱、姻亲关系、任何长期争执的话题），进行 15 分钟录像讨论。录像使用两套观察编码系统：RCISS 提供夫妻分类与正负发言、倾听编码的基础频率；其他婚姻编码用作 RCISS 评分的效度检验（本章建模不使用）。需要注意，一个不和谐婚姻最先消失的是正向情感，尤其是幽默与微笑。本章方程中的参数除了和 RCISS 中的笑声相关外，还和用 Ekman 与 Friesen 1978 年 Facial Action Coding System 编码的面部微笑相关——但只测量所谓的 Duchenne 微笑，即同时涉及颧肌（从颧骨到嘴角的肌肉）与眼轮匝肌（眼睛周围肌肉）收缩的真正由内在积极情感驱动的微笑。
5.2 婚姻分类学与建模动机
Gottman 1994 年提出并验证了一组三类的纵向稳定婚姻类型与若干走向解体的夫妻。三种稳定类型是 Validator（确认型）、Volatile（爆发型）与 Avoider（回避型），它们在问题解决行为、特定情感、以及一项衡量说服尝试数量与时机的指标上能彼此区分。两组不稳定类型是 Hostile（敌对型）与 Hostile-Detached（敌对-疏离型），它们在问题解决行为和正负情感上彼此区分；敌对-疏离型在负面（更具防御性与轻蔑）与倾听疏离程度上都显著高于敌对型。Gottman 1993 年报告了一个跨三种稳定类型大致不变的常数：冲突解决过程中正负 RCISS 发言编码之比约为 5:1，三种稳定类型间无显著差异。这表明每种稳定婚姻的适应方式虽然表现形式不同，但可能都是某种共同的适应：爆发型靠把大量正向情感与大量负向情感混在一起达到 5:1；确认型把中等程度的正向与中等程度的负向混在一起；回避型把少量的正向与少量的负向混在一起——三者都达到大致相同的正负平衡。每种婚姻类型都伴随自身的风险、收益与成本：爆发型通常浪漫而充满激情，但有退化为无尽争吵的风险；确认型（当前婚姻治疗的主流模式）更平静、更亲密，夫妻看重伙伴式婚姻与共同体验，而非个体性，但浪漫可能随时间消失、退化为"仅仅是好朋友"；回避型回避了对峙与冲突的痛苦，但有情感距离与孤独的风险。Gottman 1994 年还发现三种稳定类型在说服尝试的数量与时机上也不同：爆发型在讨论一开始就有高强度的说服尝试；确认型比爆发型尝试较少，且要等到互动前三分之一结束之后才开始；冲突回避型几乎从不尝试说服对方。作者设问：这五种婚姻类型是否可以用数学建模得到的参数与函数来加以区分？
建模的目标是把（未累积的）每轮正负 RCISS 得分差值拆解成具有理论意义的分量。具体地：起点是 Gottman–Levenson 因变量，要把它拆成两部分——(i) 一个代表夫妻之间相互影响的函数，(ii) 一个含有反映个体自身动力学的参数的项。把 RCISS 得分分解成"受影响的"和"不受影响的"两种行为，是作者用以预测婚姻稳定或解体的机制理论。这一拆解的定性部分就在于写下一对影响函数（influence function）的数学形式。
影响函数用来描述夫妻的互动。函数图的横轴是一方"正减负"的取值，纵轴是另一方紧接其后一轮发言中的"正减负"均值（跨发言轮次做平均）。这种刻画方式提示离散模型可能比连续模型更合适，但近年也有工作表明连续模型同样适用（K.-K. Tung，私人通讯 2000）。举例来说，影响函数可由一个简单的假设起步：正向取值要超过某一阈值才产生正向影响，负向取值要超过另一个阈值才产生负向影响；反应更敏锐的一方阈值更低。这些影响函数的参数（如配偶的负向行为开始起效的点）可能会随文化、婚姻满意度、当时所受压力、个体气质等因素变化，作者把这些留作后续改进模型一般性与预测能力的方向。作为最简单的选择，作者进一步假设一旦超出阈值，影响在该变量其余取值范围内保持常数。这只是众多合理影响函数中的一种。另一种更直观的形式是：行为越负，影响越负；行为越正，影响越正。图 5.2(a) 与 (b) 分别展示了"阈值后取常值"与"单调线性影响"两种形式，两者都假设零得分对配偶下一轮得分无影响（这是模型的假设之一）。
建模的流程从一个 RCISS 得分序列 \(W_t, H_t, W_{t+1}, H_{t+1}, \ldots\) 出发。对每位配偶估计两个参数：其"情感惯性"（正或负，即维持同一状态的倾向）与"自然不受影响稳态"（当配偶得分为零、即正负平衡时，这位配偶"正减负"的平均水平）。为零影响参数的估计，作者假设零得分对配偶随后的得分没有影响；用数据的一个子集估出这些参数后，从整个时间序列中减去"不受影响"的部分，剩下的就是影响函数的原始数据。由于每个 \(H_t\) 值上可能对应多个观测值（受噪声影响），作者对每个 \(H_t\) 取平均得到 \(I^H_W(H_t)\) 的估计；类似地由 \(W_t\) 得到 \(I^W_H(W_t)\) 的估计。把这些点连起来就得到每位配偶的经验影响函数。最终从模型中浮现出的是"受影响稳态"——若理论模型完全描述该时间序列，就会无限重复的一对得分；若该稳态稳定，得分序列会随时间逐渐逼近它。一个有意思的问题是：受影响稳态是否比不受影响稳态更正面——即婚姻互动是否把个体拉向更正面或更负面的方向？
5.3 建模策略与方程
建模策略沿用本书的一贯做法：从相对简单的非线性模型出发去刻画显然是复杂的过程——此处即人际关系中的互动过程。一般步骤是先提出能概括关键要素的最简合理方程，然后用其他因素和信息去扩展修正。这里也从尽可能简单的模型起步，预期后续将某些参数从固定常数改成随实验变量变化的函数。
模型的目标是复现 RCISS 发言得分序列。采用确定性模型，把每一轮得分视为仅由最近两次得分决定。如此便用一个离散模型描述个体在每一发言轮次中的正向度，把互动理解为个体的行为纯粹基于对最近行动（包括自己的与配偶的）的预先反应与解释。这种假设在主线上未必严格成立，但可能足够真，使模型结果能提示出影响特定夫妻在尝试解决冲突时如何互动的潜在模式。
设 \(W_t\) 与 \(H_t\) 分别为妻子与丈夫在第 \(t\) 轮的得分，并假设每位配偶的得分仅由自己与对方上一轮的得分决定。假设妻子先发言（一般性不失），于是发言轮次标为 \(W_1, H_1, W_2, H_2, \ldots\)，得分序列由一对耦合差分方程给出：
为选出合理的 \(f\) 与 \(g\)，先做一些简化假设。假设过去两个得分的贡献相互独立、可以相加——即一个人的得分是其两个分量之和，一个仅依赖于自己的上轮得分，另一个依赖于对方上一轮的得分。前者叫"不受影响"分量，后者叫"受影响"分量。
先看不受影响分量。这是个体在不受配偶影响时也会表现出来的行为，可以主要反映个人而非夫妻双方，也可以是过去互动的累积效果，或两者兼有。有些人独自时倾向更负，另一些人倾向更正——这个基线气质就叫个体的不受影响稳态。最简单的刻画方式是用一个线性差分方程：
其中 \(P_t\) 是 \(t\) 轮的得分，\(r_i\) 决定个体回归不受影响稳态的速率，\(a\) 是常数。方程可通过简单迭代求解。若 \(P_0\) 是 \(t=0\) 时的起始状态，则
从此 \(r_i\) 被称为"惯性"。不受影响稳态由 \(P_{t+1} = P_t = P\) 求得 \(P = a/(1 - r_i)\)，这正是 (5.3) 在 \(r_i < 1\) 时的极限。行为对 \(r_i\) 的取值高度敏感：\(|r_i| < 1\) 时，无论初值如何系统都趋于该稳态；\(|r_i| > 1\) 时该稳态不稳定。自然状态必须稳定，因此只关心 \(0 \le r_i < 1\) 的情况。\(|r_i|\) 的大小决定从其他状态回到不受影响稳态的快慢，或说一个人改变心境所需的难易——这就是"惯性"一词的由来。\(r_i\) 越大，扰动后收敛回稳态越慢。
影响函数的选取方式有多种。一种是先给出理论形式（如图 5.2）：例如可设定一个双斜率函数，由两条经过原点、斜率不同的直线组成（正向范围一段斜率、负向范围另一段斜率）；或者设定一个 S 形（sigmoidal）的函数，可用分段常值线段来近似——这种函数在原点附近没有影响，超过某个正向阈值后影响为正常数，超过某个负向阈值后影响为负常数。作者在本书中讨论双斜率与 S 形两种形式。
另一种更激进的方式是根本不预先设定函数形式，而是让数据本身去揭示影响函数的形状——Cook 等 1995 年实际上就是这么做的。研究者预期影响函数因人而异，因此把"揭示影响函数的形状"本身列为建模目标之一。在第一项研究中，他们完全用经验方式，用数据去揭示影响函数，并用双斜率形式总结结果。于是此处数学建模的目标变成了"生成理论"。记影响函数为 \(I^B_A(A_t)\)，即 A 在 \(t\) 轮的状态对 B 在下一轮的影响。在这些假设下模型为：
下标不对称同样源于"妻子先发言"这一假设。核心问题现在变成：估计四个参数 \(r_1, a, r_2, b\)，并由经验确定两个未知的影响函数。
参数与影响函数的估计：要分离并估计不受影响行为，只看那些配偶上一轮得分恰为零（约 15% 的数据）的样本对。例如对妻子，取 \((W_{t+1}, W_t)\) 子集使 \(H_t = 0\)，则按假设 \(I^H_W = 0\)，方程 (5.4) 退化为形如 (5.2) 的线性（解耦）方程。用最小二乘拟合即可定出 \(r_1\) 与 \(a_1\)。对丈夫同理取 \(W_t = 0\) 的子集，估计 \(r_2\) 与 \(a_2\)。注意假设零得分对配偶随后得分没有影响是任意的——本可以让零影响为非零，并把这些当作附加参数去估计，但出于简洁考虑作者取零。
估出不受影响分量后，便能从 \(t+1\) 轮的得分中减去它，得到观测到的影响分量：
对丈夫得分的每一个值，由于数据噪声，观测的影响分量会有一个取值范围。把这些观测按 \(H_t\) 取平均，就得到影响函数 \(I^H_W(H_t)\) 的估计；对 \(I^W_H(W_t)\) 类似处理。这样就能为每对夫妻分别画出原始影响数据与平均影响函数。
为验证估计过程，再由模型方程构造一段"重建对话"。把两人先置于各自的不受影响稳态（重建时允许非整数值），再向前迭代大约 80 轮（15 分钟对话中观察到的典型轮次数）。不受影响分量由 (5.2) 类线性方程给出；受影响分量把对方上轮得分四舍五入到最近整数，再从平均影响函数读出。把两部分相加得到下一轮得分。重建对话不含任何随机性——它不是一段可在现实中观察到的对话，而是表达一种潜在趋势。
5.4 稳态与稳定性
对每对夫妻，在 \((W_t, H_t)\) 相平面上画出模型的零斜线（null clines）。相平面中的一点代表某次互动中夫妻双方的一对得分（一个两轮单位）；随时间推进，该点在相空间中走出一条轨迹。我们关心的是稳态的稳定性，即零斜线交点处代表的状态。稳态提供关于婚姻状态的关键信息，并可指导潜在的修复治疗。由于零斜线是从数据得到的，我们用通常的方式寻找零斜线的交点来确定稳态。这里用的是耦合离散方程，需要回顾离散方程的零斜线含义。第 3 章曾指出，零斜线是相平面中"取值在一步迭代后保持不变"的曲线。当 \(W_{t+1} = W_t\)、\(H_{t+1} = H_t\) 时即得零斜线。
由 (5.4) 与 (5.5)，零斜线 \(N^H_W\) 与 \(N^W_H\) 分别为：
这些方程只是把影响函数分别平移常数 \(a, b\) 并按 \(1 - r_1, 1 - r_2\) 拉伸。零斜线交点即稳态——按定义，若 \((W_t, H_t)\) 从这样的点出发，则永远停留在那里。概念上和微分方程完全一致；稳态的稳定性同样关键。由于没有解析给定影响函数的具体形式，我们采用定性分析。
不过，先看一下若假设某个具体的影响函数形式会如何。例如把 \(I^H_W(H_t)\) 取为图 5.2 上半部分的 S 形分段线性形式，并对 \(I^W_H(W_t)\) 取类似形式——这种假设合理，因为它引入了两个影响阈值，并把影响限制在正负两个有界范围内。方程 (5.6) 很容易用图解法求解：画出影响函数，再按 (5.6) 平移和拉伸；交点即稳态。稳态的稳定性也可由图 5.4(a) 与 (b) 的两种相交方式判定：图 5.4(a) 中零斜线交点处妻子零斜线的梯度大于丈夫零斜线的梯度，由式 (5.19) 知稳态不稳定；图 5.4(b) 相反梯度关系下稳态稳定。
虽然影响函数形式没有解析给定，我们仍可在稳态附近分析稳定性。设稳态 \((W^S, H^S)\) 附近有小扰动：
代入 (5.4)、(5.5)，Taylor 展开并保留线性项得：
把 (5.9) 代入 (5.10)，写为矩阵形式：
\(M\) 即稳定性矩阵。按通常方式设解形如 \((w_t, h_t)^T \propto \lambda^t\)，则 \(\lambda\) 满足
即
两个特征值为
若 \(|\lambda_1| > 1\) 或 \(|\lambda_2| > 1\)，则 \(w_t, h_t\) 随 \(t\) 增大而增长，稳态线性不稳定。稳定性要求
由于无影响稳态要求 \(|r_i| < 1\)，且模型和实际数据都确认 \(0 \le r_i < 1\)，因此稳定性最终归结为 (5.14) 中根号下表达式小于 2。经简单代数得到稳态 \((W^S, H^S)\) 处的稳定性条件：
这一条件说明：陡峭的影响函数（导数大）与高惯性（\(r\) 接近 1）都会让稳态失稳。若每条影响函数在交点处的斜率大于 1，则无论惯性取何值，稳态都不稳定——这与"不稳定即扰动被放大"的直观一致：影响代表一方对另一方的作用强度，作用过强时变化会被放大，形成互相失稳。相反，影响函数较平（导数小）的夫妻，只要任何一方惯性过高（接近 1），仍可能有不稳定稳态。
式 (5.17) 还能用图 5.4(a)(b) 的两种相交方式来直观说明。对 (5.18) 求导得：
于是 (5.17) 等价于：在 \((W^S, H^S)\) 处，丈夫零斜线斜率的绝对值与妻子零斜线斜率的绝对值之积小于 1。把两图按 \(W\) 为纵、\(H\) 为横画出后，可写成
——只需在每个交点比较两条零斜线的梯度，立即可判定稳定或不稳定。图 5.3 中有 5 个候选稳态：实心圆梯度为零，(5.19) 成立，故稳定；空心圆梯度无穷大，(5.19) 被违反，故不稳定。稳态的稳定与不稳定交替出现；这是 (5.17) 的一个简单推论：任意两个稳定稳态之间必有一个不稳定稳态，反之亦然。若影响函数单调递增，则稳态可按 \((W^S, H^S)\) 都随 \(i\) 增大来排序；若进一步假设影响函数饱和（即取值不会无限增大），则最高与最低的稳态必稳定（与图 5.4(b) 类似的相交方式），稳定稳态的数目必为奇数，且首尾稳定、中间交替。
每个稳定稳态都有一个吸引域（basin of attraction）。确定吸引域的边界（即分隔曲线 separatrix）通常需要数值方法。在稳定稳态的线性邻域内，可用一个简单的线性度量刻画吸引强度。线性扰动解形如
设 \(|\lambda_2| \le |\lambda_1|\)；\(t\) 大时 \(\lambda_1^t\) 主导。\(|\lambda_1|\) 越接近 1，扰动衰减越慢，吸引越弱。因此吸引强度 \(S\) 可定义为
\(S\) 越接近 1 吸引越弱，越接近 0 吸引越强。这一指标可能有相当的重要性：婚姻治疗的一个效果可能就是增强正吸引、减弱负吸引。
多个稳定稳态的存在具有实际含义。每一对夫妻原则上对应多个可能稳态。即使我们只观察到夫妻接近其中一个，其他稳态在该方程组下也是可能的。若只有一个稳定稳态，其吸引域即整个平面——任意初始得分都会收敛到该稳态，这也是数据中常见的情形。若有两个稳定稳态（必有一个不稳定稳态夹在中间），则平面被分隔成两个区域（如图 5.5）。从初始位置 \((W_1, H_1)\) 出发，可能经 \((W_2, H_2)\)、\((W_3, H_3)\) 等点收敛到某一稳定稳态。初始条件决定了长期走向：高惯性、强影响的夫妻（更可能有多稳态）可能某天进行正面对话、却无法在另一天解决冲突，唯一差别可能就是对话的开局（初始 RCISS 得分）。影响函数与不受影响参数在不同天是相同的。这个讨论把一般系统理论中"一阶变化"（表面结构变化）与"二阶变化"（更深层结构变化）的概念（Watzlawick 等 1967）具体化了：在本章模型里，一阶变化指稳态本身可能移动但影响函数不变；二阶变化则意味着影响函数本身也改变。
5.5 模型的实用结果
影响函数。注意影响函数被随意地归给施加影响的一方，作者承认受影响方也在决定影响力上起作用。作为影响函数形状的粗略近似，研究者从数据用最小二乘拟合出双斜率函数，对配偶行为的正负取值分别计算斜率。横轴代表每组的正或负取值范围；只有接近该组自然稳态附近的数据才可信，以避免每个 RCISS 取值组内样本数过少。这意味着对调节型夫妻，正向范围更可靠；对非调节型夫妻，负向范围更可靠。图 5.6 总结了对五组夫妻经验得到的影响函数：三种稳定婚姻（Volatile、Validating、Avoiding）和两种不稳定婚姻（Hostile、Hostile-Detached），启发式地用双斜率模型拟合。
Validator 的影响函数是这样的：当配偶行为为负时影响为负，当配偶行为为正时影响为正；正负取值的影响斜率都为正。Volatile 与 Avoider 的影响函数看起来分别是 Validator 的"半幅"：Volatile 拥有曲线右半部，斜率接近零；Avoider 拥有曲线左半部，斜率接近零。这一观察被第三列"理论影响函数"概括。从 Hostile 与 Hostile-Detached 的影响函数看，数据支持"失配假设"（mismatch hypothesis）：Hostile 夫妻看起来把 Validator 丈夫的影响函数与 Avoider 妻子的影响函数组合在一起；Hostile-Detached 夫妻则把 Validator 丈夫与 Volatile 妻子的影响函数组合在一起。
数据还提示：确认型夫妻能用正面或负面行为影响配偶，正行为产生正向斜率的影响，负行为也产生正向斜率的影响（即负的水平轴取值产生负的影响，正的水平轴取值产生正的影响），影响函数在整个 RCISS 得分范围内是一条斜率为正的直线。Avoider 与 Volatile 几乎相反：Avoider 仅用正面影响配偶（负 RCISS 取值范围内斜率为零），Volatile 主要用负面影响配偶（正 RCISS 取值范围内斜率为零）。Avoider 与 Volatile 的影响函数形状近似互为反向。
失配理论：不稳定婚姻是创建纯类型失败的产物。影响函数的曲线形状让我们提出一个相当简单的假设：Hostile 与 Hostile-Detached 夫妻只是没能成功地创建出 Volatile、Validating 或 Avoiding 中某一稳定婚姻适应——换言之，纵向婚姻稳定性的结果是夫妻事先没能彼此协调、成功建立三种稳定婚姻之一的副作用。例如，一个更适合 Volatile 或 Avoider 婚姻的人，嫁给了一个希望 Validating 婚姻的人，他们的影函数就是失配的。
这一失配结果让人想起婚姻互动研究中一个著名的经验观察，即"要求-退缩"（demand–withdraw）模式：一方想要推进问题、参与冲突，另一方试图退出、回避冲突。Gottman 等 2002 年认为，要求-退缩模式是影响函数失配的一种表面现象，其底层动力是双方偏好不同的说服方式——偏好 Avoider 影响模式（只用正面影响）的人，会对 Validator 或 Volatile 的负向影响模式感到不舒服。通常是妻子是"要求方"，丈夫是"退缩方"。这与"批评在妻子中更高、筑墙在丈夫中更高"的发现一致。Cook 等 1995 年用夫妻之间正负 RCISS 发言编码的差异做了方差分析以检验该假设：若失配假设成立，则 Hostile 与 Hostile-Detached 夫妻组内的夫妻差异应大于三组稳定组的夫妻差异；这在将三组稳定组合并为一组、两组不稳定组合并为一组后得到证实。因此不稳定组可能是夫妻互动风格差异（反映偏好的婚姻适应类型差异）的体现；或者这些差异是随时间由不满意累积而成。
稳态与惯性。表 5.1 总结了五组夫妻的稳态与惯性均值。先看惯性：非调节型夫妻比调节型（低风险）夫妻有更高的情感惯性，差异在妻子中比在丈夫中更大（约为四倍，0.29 对 0.07）。在非调节型（高风险）婚姻中，妻子的情感惯性大于丈夫，但在调节型婚姻中并非如此。非调节型婚姻中受影响与不受影响稳态都比调节型更负，特别是妻子这一端（受影响稳态属于夫妻而非个体）。三种稳定（低风险）类型之间也存在差异：Volatile 拥有最高的稳态，其次是 Validator，再是 Avoider。在非调节型婚姻中影响的作用是让稳态更负，而在调节型婚姻中通常相反。或许可以说 Volatile 夫妻之所以稳态特别高，是为了抵消他们主要在负向范围内相互影响这一事实。妻子的行为与丈夫有相当差异：调节型婚姻中妻子的稳态等于或正于丈夫；但在 Hostile 婚姻中妻子的稳态比丈夫更负，而 Hostile-Detached 中反过来。非调节型婚姻中妻子的稳态为负，且比调节型婚姻中妻子的稳态更负；Hostile 妻子的稳态比 Hostile-Detached 妻子更负。
参数与离婚预测。结合 Gottman 与 Levenson 1992 年的结果，可对预测婚姻解体做如下推断：(i) 调节型-非调节型分类（Gottman–Levenson 的离婚预测变量）与妻子的情感惯性以及夫妻双方的不受影响稳态有关；(ii) 丈夫与妻子的稳态都对离婚有显著预测能力。作者（Gottman 等 2002）已将分析扩展到新婚夫妻，发现最初几个月内最终离婚的夫妻在初期就有更负的丈夫与妻子不受影响稳态、更负的丈夫受影响稳态，以及影响函数中更低的负向阈值。
由一个例子可以感受参数变化如何带来灾难性后果。考虑形如图 5.2(a) 的影响函数，存在多个稳态。设婚姻当前处于图 5.5 中的正稳定稳态。若零斜线发生如图 5.7 所示的位移，则从分隔曲线之上开始的任何对话都将移入负稳态的吸引域——这是一个离婚的"配方"。即便用更简单的双线性影响函数，类似的情形也可能发生。参数与稳态数目之间有直接联系，因此某些婚姻治疗的方向可以是恢复正稳定稳态的存在。
对未来研究，作者希望弄清不受影响稳态究竟在多大程度上独立于配偶、独立于对话——即它是真正属于个体的内在属性，还是在多大程度上描述了一种关系的累积属性。
情感惯性。这是婚姻互动中显然重要的参数。当用另一套编码系统（MICS，测量批评、注意退缩、防御与轻蔑）分析 Gottman 与 Levenson 1992 年的数据时，丈夫的惯性与其在互动中的批评相关，妻子的惯性与丈夫的退缩及她自己的轻蔑相关。对 RCISS 编码，丈夫的惯性与双方的轻蔑相关，妻子的惯性与 RCISS 的所有子量表相关。
稳态。对 MICS 编码，丈夫的稳态变量与他们的批评、轻蔑、退缩以及妻子的批评与退缩相关；妻子的稳态变量与双方的所有变量都相关。对 RCISS 编码，丈夫的稳态与其所有行为以及妻子的所有行为（批评除外）相关；妻子的稳态与丈夫除批评外的所有编码以及妻子的所有编码相关。
正面情感。Cook 等 1995 年还观察到：情感惯性更高的妻子比惯性更低的妻子笑（Duchenne 微笑）更少；丈夫与妻子的稳态与更少的 Duchenne 微笑相关（仅对妻子）。在 RCISS 得分上，稳态更高的丈夫笑得更多；妻子则在丈夫或妻子稳态更高时都笑得更多。
5.6 收益、含义与婚姻修复方案
本章提出的动力学建模目的是生成一种理论，用以解释 RCISS 累积得分图预测婚姻纵向过程的能力。作者发现，仅用组平均的不受影响稳态，就足以完成这一预测任务。这本身就是一个有趣的结果——后续的理论构建可能让该参数成为实验动态（时变）变量的函数，例如生理活动的指标。或许不受影响稳态代表婚姻的一种累积性总结，反映每位个体带入每次婚姻冲突讨论的内容。研究什么其他变量（如压力、应对方式、权力差异）与这一指标相关，可能是有意义的。
Gottman 1994 基于 Gottman 与 Levenson 1992 年报告的初次访谈中 RCISS 评分的互动行为，描述了三类更可能稳定的夫妻与两组更可能不稳定的夫妻。本章考察了这五组夫妻的影响函数，并提出影响函数可能为分类提供洞见。Validating 夫妻在整个互动范围内呈线性影响——当他们比正面更负面时，对配偶后续行为产生负向影响；当他们更正面时，产生正向影响。Conflict-Avoiding 夫妻只在行为的正范围内像 Validating；负范围内对配偶几乎没有影响。Volatile 夫妻与走向解体的夫妻在影响函数形状上相似：他们对配偶行为的正范围几乎没有影响；与解体夫妻的差别仅在于有更正的不受影响稳态。
这些结果有助于理解每种稳定婚姻的潜在成本与收益。Volatile 婚姻显然是"高风险"风格——若失去高水平的正面情感，Volatile 夫妻可能滑向解体夫妻的互动风格。只能在负范围内相互影响，可能暗示这种婚姻高度重视改变、影响与冲突。Conflict-Avoiding 风格则似乎专为"无变化、无冲突"的稳定而设计。Validating 风格似乎结合了两者：在整个互动范围内都能相互影响。两组解体婚姻的影响函数是失配的：Hostile 婚姻中，丈夫（像 Validator 丈夫）能在正负范围内影响妻子，但妻子（像 Avoider 妻子）只用正面的方式影响丈夫。如果从 Validator 与 Avoider 婚姻来外推，妻子很可能在丈夫眼中显得冷漠、疏离，丈夫在妻子眼中显得过分负面、爱挑起冲突。Hostile-Detached 婚姻是另一种失配：丈夫（仍像 Validator 丈夫）能在正负范围内影响妻子，但妻子（像 Volatile 妻子）只用负面的方式影响丈夫——可外推为丈夫显得冷漠、疏离，妻子显得过分负面、爱挑起冲突。这两种失配可能是"恋爱期能够幸存"的概率最高的失配类型；数据中找不到一对 Volatile 风格配 Avoider 风格的夫妻——可能这两种风格差异太大，连暂时维系关系都不行。这些结果提示，影响函数的失配或许比个体特征或观点一致性的失配更能预测婚姻不稳定；这一发现在 Fowers 与 Olson 1986、Bentler 与 Newcomb 1978 等关于人格与一致性匹配的研究结果不佳的背景下尤其有意义——它提示过程研究可能比个体特征研究更有助于理解婚姻。
从数学建模方法上获得了什么？写下确定性模型本身就已收益良多。我们不再只有"预测婚姻稳定或解体的经验曲线"，而是有了一组能潜在解释这一预测的概念——不受影响稳态、受影响稳态、情感惯性、影响函数。我们获得了一种精确而数学的语言来讨论得分图。婚姻持续的夫妻有更正的不受影响稳态；互动通常让不受影响稳态更正面（Volatile 例外——Volatile 中每个人只能通过负面去影响他人，于是需要大量正面去抵消）。婚姻持续的夫妻情感惯性更低——更灵活、更不可预测、更容易被配偶影响。影响函数的形状取决于夫妻所属婚姻类型。作者假设：走向离婚的夫妻尚未形成共同的影响模式，他们的大部分争论都围绕"如何争论、如何表达情感、亲密与距离的差异"展开——这些都是影响函数失配的体现。当然，目前的数据无法判定影响函数的失配是婚姻开始时就存在的还是随时间演化出来的；作者正在新婚夫妻过渡到为人父母的过程中研究这些动态。
作为一种考察实验效应与建立理论的新方法，作者认为这些模型方程能帮助研究者触及观测效应的机制——这与统计模型不同。统计模型告诉我们变量是否相关，但并不提出机制来理解这种关系。例如，我们可能发现社会经济地位与离婚预测相关，但这一事实本身并不能让我们洞见"该效应如何作为一种机制来解释婚姻解体"。差分方程模型方法能提供一种理论性的、数学化的语言来讨论这种机制；与统计模型的根本差异在于，它呈现的是把某位特定的丈夫与妻子跨时间联系起来的方程，而不是把丈夫与妻子（跨夫妻、跨时间）聚合后的表示。
使用 S 形影响函数是模型发展的下一步。要做到这一点，需要使用提供比 RCISS 更多数据的观察系统。Gottman 1994 年发现 Specific Affect Coding System（SPAFF）与 RCISS 发言斜率高度相关，SPAFF 的优势在于可在线实时编码（无需转录），且数据按秒而非按发言轮次汇总——这将使每对夫妻能获得多得多的数据。使用 S 形影响函数，可能存在 5 个稳态（5 个零斜线交点），其中 3 个稳定。一旦写下模型，对某对夫妻可推断其是否存在多个稳定稳态——也就是说，我们能描述该夫妻在未被观察条件下的行为。于是模型可用于生成超出原数据范围的该夫妻互动的模拟。
通过略微调整参数，甚至可以预测改变该夫妻互动的某些特定方面会发生什么——这是一种针对该特定夫妻的定量"思想实验"。作者目前正在一系列具体的介入实验中使用这一方法，旨在改变夫妻关于某话题的第二次互动。模型可由夫妻第一次实验室互动导出，介入实验设计为改变一个模型参数（之后可评估是否真的改变了）。配合实验方法，可通过观察模型参数变化时所预测的后果是否成真来检验模型所描述的变化机制是否准确。通过建模与实验的相互推进，模型得以检验与扩展。
这一努力所基于的定性假设也由此得以暴露。例如，影响函数形状的选择可以改动，并对模型产生相当的影响。按照本书的定性方法，后续的相关性数据可以定量地检验理论。S 形形式在目前的经验拟合中似乎是数据最匹配的形式。
一个简单的扩展方向是假设参数不是固定常数，而是其他更基本理论变量的函数。在 Gottman–Levenson 范式中，作者希望考虑两类核心变量：第一类度量夫妻的生理状态，第二类度量夫妻对互动的感知（由视频回放流程得出）。预期弥漫性生理唤醒的度量指标（Gottman 1990）与较低的信息处理能力、较差的倾听能力、以及更多依赖已成定式的应对（战斗或逃跑）反应相关——因此可合理预测，弥漫性生理唤醒的指标能预测更高的情感惯性。类似地，预期对互动的负面感知会伴随"被负向情感淹没"（Gottman 1993）与对配偶的负面归因（Fincham 等 1990）——因此视频回放评分相关的变量可能预测不受影响稳态。如果某次互动被评价为负面，下一次互动可能以稍不负面的不受影响稳态为特征。不受影响稳态在一定程度上可能是婚姻中正负平衡累积效果的反映。还有一种可能是：不受影响稳态最好通过人格特质与婚姻互动模式的整合来理解。
值得指出的是，模型在某种意义上相当"灰暗"——按参数取值，初始条件决定累积 RCISS 曲线的最终斜率。不幸的是，这在作者的大部分数据中基本上成立。然而，模型还有另一种发展方向：观察到相当一部分夫妻以负面开局，随后改变互动性质使累积 RCISS 曲线转为正斜率，形如一个对勾。这种情况虽然少见（仅占样本的 4%），但在 14% 的夫妻中至少出现于部分互动中。这种更乐观的曲线提示在模型中加入"修复"的可能性——一旦互动越过某个负面阈值，便触发修复。这一改进可由修改影响函数来实现：保持 S 形基本形状，但在水平轴的负向部分加上一个修复震动（或"修复轻推"更贴近数据）。修复震动给模型增加两个参数，都需从数据估计。修复震动必须足够大才能把夫妻从零附近的稳定稳态拉向更正的稳定稳态，即从一个吸引域进入另一个吸引域。作者还可能去考察这些修复震动与什么变量相关。这一过程提示了一种值得进一步探索的"婚姻中的力量"——Gottman 等 2002 年对此有详细讨论。
最后，方程所具有的潜在精度提示一种实验设计：只改变一个参数，评估实验效应，从而精化方程、揭示互动本身的结构。具体而言：在一次基线婚姻互动之后，用基于观察数据的标准化报告来计算模型参数与影响函数；随后进行一项实验，假定改变与模型参数相关的某一变量。例如让被试放松下来降低心率，或骑车使心率升至每分钟 125 次；之后进行第二次互动，重新计算模型参数。顺序可以平衡。该实验可揭示心率与惯性参数之间的函数关系。更激动人心的是，建模过程本身自然地引导我们去设计实验——这正是因为我们在建模机制。机制模型天然地建议实验；实验则有助于建立理论。这是一个把数学与实验室结合起来的过程，这是家庭心理学领域中的一种新做法。
作者计划在后续研究中以连续编码建立模型，以提供每位夫妻更可靠的数据，且数据更多。这也使得可能从差分方程转向微分方程。时间延迟（本章模型中取为一步）将成为每位夫妻的一个参数；微分方程中的时间延迟能产生相当复杂的周期解。作者目前正在进行的实验使模型模拟与后续检验成为可能。例如若成功只降低夫妻的心率（从而降低情感惯性），其他参数会改变吗？影响函数的形状会变吗？另一项计划是研究新婚夫妻过渡到为人父母的过程，以及婚姻冲突对发展中的家庭的影响。当婴儿三个月大时，将尝试用三个方程建模三人互动，或许从夫妻二人互动中估计关键参数。一个三方程非线性系统能够建模许多复杂模式，包括混沌。
把数学方法用于如此基本的心理学问题与人际关系，本章所讨论的方法是全新的，仍处于发展阶段。Gottman 等 2002 年的书中详细讨论了某些扩展以及其他婚姻互动领域的应用。也许这一整套理论方法最令人鼓舞的一点是，它的关键要素已被部分临床婚姻治疗所采纳，并取得了非常令人鼓舞的结果（J. M. Gottman 私人通讯 2000）。
本章个人批注
本章是全书最让我"意外"的一章——它没有把数学建模用于生物学，而是用于婚姻互动。Murray 在前言里已经预警过：这章与生物学没多大关系，把它纳入是因为建模方法本身具有普适性。读完才意识到，Murray 真正想展示的不是婚姻理论本身，而是一种"在没有现成理论可借用的领域，如何用数据与模型共同生成理论"的工作哲学。这与生物学建模中"先有质量作用定律或捕食-被捕食直觉，再写方程"的传统路径形成鲜明对比。在心理学领域，没有 Newton 定律可类比，没有种群动力学中常见的定性行为可借鉴——建模目标只能是"生成理论"而非"检验理论"。这一点对方法论讨论特别有意义。
我也注意到本章的建模哲学与全书主线的一种张力。第 3 章讨论种群相互作用时，作者假设存在一组已知机制（捕食、竞争、互利），模型从这些机制出发推导预测；本章则坦承没有这种机制可借。Cook 等 1995 年的处理——用"零得分时影响为零"作为假设——本身就是一种简洁性假设（parsimony），而其有效性反过来依赖于"零得分在数据中占约 15%"这一经验事实。脚注里还提到本可以让零影响为非零并作为附加参数估计，但为了简洁取了零。这种取舍在生物模型中通常由生理或物理直觉驱动，在婚姻模型中只能由"参数尽可能少"这一方法学原则驱动。这让我对建模时的"先验选择"更敏感。
数学内容上，第 5.4 节对稳态稳定性的分析（式 5.13–5.17）和第 3 章对群落矩阵特征值的分析（式 3.12–3.13）在形式上有可比性：都是求二阶矩阵的特征值、由特征值判定线性稳定性。但两者有一个本质差别——种群模型中矩阵 \(\mathbf{A}\) 的元素由机制（捕食率、增长率）显式给出，可以分析性地讨论特征值的符号；婚姻模型中矩阵 \(M\) 含有影响函数的导数 \(I^{\prime}\)，而这些导数只能从数据经验地确定。因此稳定性条件 (5.17) 只能作为一种"诊断工具"：给定某对夫妻的影响函数图像（已经估出），我们可以在稳态交点处度量梯度并判定稳定/不稳定。这是一种相当"数据驱动"的稳定性分析。式 (5.17) 与 (5.19) 在数学上同义，但 (5.19) 的图解版本让我想到这与第 3 章图 3.7、3.8 那种"看相平面图判定稳定性"的思路非常相像，只是载体换成了零斜线。
我还注意到作者对"数据 vs 机制"的一个相当老实的立场。作者明确说"我们没有统计学上严格的不受影响稳态是否真为个体属性 vs 关系累积属性的检验"，并把"研究新婚夫妻过渡到为人父母的过程"列为下一步计划。这意味着，本章的模型即使在结构上漂亮，仍留下大量开放的经验问题：影响函数失配是婚前就存在还是婚后演化出来？情感惯性是否随弥漫性生理唤醒而变化？修复震动只出现于 4% 的夫妻——是真实稀少还是编码系统的盲区？这些问题没有被本章解决，而是被推给后续研究。
最后我想说一下我对"修复震动"和"湍流多稳态"的连接。由 5.4 节图 5.5 的三稳态系统可知：稳定稳态被一个不稳定稳态和两条分隔曲线分开，从一个吸引域跳到另一个吸引域需要足够大的扰动。作者因此引入"修复震动"作为影响函数负向部分的修正——震动足够大时可以把夫妻从"零附近"或"负"的稳态拉向"正"稳态。这与动力学系统理论中"在多稳态系统里跨越分隔曲线"的概念同形，尽管作者没有用动力学的语言去表述。作为一名 biomechanics 背景的读者，我把"分隔曲线在修复震动下移动"类比为"势垒在外部干预下被打破"——一种工程上很常见的直觉。但需要小心：作者明确指出"修复震动"是模型扩展的猜想，不是当前数据的结论；作者把这当作后续研究方向。
与上下章的衔接（一段话）
本章是全书的一次"方法论插曲"——它把第 1–4 章所用的种群动力学差分方程方法借用到完全不同的领域：婚姻互动。其技术血脉与第 3 章一脉相承——耦合差分方程、相平面分析、零斜线交点、特征值稳定性判据；但其建模哲学与第 1–4 章有显著差异：在没有现成生物学机制可借用的情况下，研究者用数据本身去揭示函数的形状，从而把建模目标从"检验假设"转变为"生成理论"。第 6 章将回到生物化学领域，讨论反应动力学——那是另一类由"质量作用定律"这类物理化学机制驱动的建模传统，与本章的"数据驱动"形成对照。从第 7 章开始到第 9 章，作者将进入生物振荡器与耦合振荡器，再次回到有清晰机制的微分方程建模。第 10 章之后的传染病、趋化性、波前等议题也都建立在坚实机制之上。因此本章在结构上扮演的是"方法论扩展"的角色——它告诉读者，同一套数学工具（差分方程、稳定性分析、相平面）可以用很不同的方式部署，取决于建模目标与领域知识的可用性。这一插曲也使全书的方法论讨论变得更全面。