第 3 章：动物皮毛花纹与反应扩散机制的其他实际应用（Animal Coat Patterns and Other Practical Applications of Reaction Diffusion Mechanisms）
3.1 哺乳动物皮毛花纹——"豹如何获得斑点"（Mammalian Coat Patterns—'How the Leopard Got Its Spots'）
本章是应用章，讨论若干真实生物形态发生问题，展示前章理论（特别是第 2 章）如何被应用。因为是应用章，生物学内容远多于数学。空间图样生成模型都不可避免地是非线性的，实际应用需要数值解；分析解几乎无用也不可能得到。但线性分析始终有用，事实上是必要的。在每一个应用中，生物学建模都作详细讨论，所复现的有限振幅图样大多是对模型方程做数值求解后直接用于具体生物学情形的结果。
第 3.1 节说明斑马、豹等哺乳动物皮毛标记如何能用反应扩散机制生成。第 3.3 节讨论蝴蝶翅膀花纹。第 3.4 节则是醋栗藻（Acetabularia）再生过程中轮生毛的图样。反应扩散理论目前已从图样形成角度被应用于众多生物情景：Kauffman 等（1978）是最早将之用于果蝇 Drosophila melanogaster 胚胎早期分节的实用应用之一，但随着对发育早期认识的增加，该模型已不再有效；Hunding 与 Engelhardt（1995）、Meinhardt（1999、2000）、Hunding（1999）等关于昆虫早期发育及其与基因表达互作的近期反应扩散模型；Bunow 等（1980）专门讨论与本章材料相关的图样敏感性；Meinhardt 的专著（1982）给出大量激活-抑制型反应扩散模型实例；另有多部综述集（Othmer 等 1993、Chaplain 等 1999、Maini 与 Othmer 2000）。将 Turing 1952 形态发生理论付诸实际的关键困难在于形态素的鉴定，至今仍是接受该理论的主要障碍。某些化学物质对发育必不可少，并不意味着它们就是形态素，必须鉴定它们在图样形成过程中的角色。
哺乳动物的皮毛图样丰富多变：图 3.1 给出典型标记。Murray（1980、1981a、b）深入研究过该图样形成问题，本节主要据此讨论；他提出单一机制可能足以生成几乎所有常见图样。Murray 理论基于 Searle（1968）的化学浓度假说。Searle 是最早提及 Turing 机制潜力的人之一，但其工作此前基本被忽视，1970 年代后才被严肃对待。Murray 采用一个可被扩散驱动失稳的反应扩散系统作为可能机制；其基本假设是细胞后续分化为黑色素细胞的过程只是形态素浓度空间图样的反映。
第 2 章已展示反应扩散机制如何生成空间图样。本节做：(i) 用与该动物学问题相关的几何对具体反应扩散系统做数值模拟；(ii) 将所得图样与许多动物皮毛对比；(iii) 强调支持"单一机制即可"假说的旁证。Bard（1981）和 Young（1984）也研究过反应扩散视角下的皮毛图样。Cocho 等（1987）提出基于细胞-细胞相互作用与能量考虑的完全不同的模型，本质上是元胞自动机。Savic（1995）用力化学模型（见第 6 章），其基础是上皮细胞层的极化细胞预图样。Walter 等（1998）则用基于细胞分裂与细胞-细胞互作（含具体规则）的"克隆镶嵌模型"，特别用于生成长颈鹿与大型猫科动物的斑与条纹，能在复杂曲面与生长中工作，其图样与真实动物惊人地相似。生成皮毛图样的模型现已足够；真正的进展取决于模型所提示的实验以及如何从建模角度解释结果。第 4 章将深入讨论的鳄鱼及其牙齿图样是沿着这一方向取得进展的实例研究。
虽然哺乳动物皮肤的颜色图样发生于胚胎发育晚期，但其反映的是更早就已形成的预图样。对哺乳动物而言，该预图样形成于胚胎发育早期——怀孕头几周；斑马约 21–35 天（妊娠期约 360 天），鳄鱼条纹约在妊娠中段（65 天左右）。生成颜色图样的过程中，某些遗传决定的细胞（成黑素细胞 melanoblasts）迁移到胚胎表面并成为位于表皮基底层的特化色素细胞（黑素细胞 melanocytes）。毛色来自毛囊内黑素细胞生成的黑色素。移植实验的共识是：黑素细胞是否产生黑色素取决于某种化学物质的存在——尽管这种化学物质是什么尚未确证。被观察到的皮毛颜色图样反映的就是这种黑素细胞所反应的化学预图样。
任何图样形成机制要可用，实际图样的尺度必须远大于细胞直径。一个豹斑约 0.5 mm，约为 100 个细胞。因为我们不知道涉及的是哪种反应扩散机制，且所有这些系统在数学上实际等价（如同前一章所示），此刻只需要一个具体系统做数值研究。Murray（1980、1981a）选用 Thomas（1975）系统（见第 2 章（2.5）式），纯粹出于示例目的，因其是有真实参数关联的实验系统。其无量纲形式由（2.7）与（2.8）给出，即（3.1）式，参数 a、b、α、ρ、K 均为正。扩散系数比 d 必须满足 d>1 才可能发生扩散驱动失稳。尺度因子 γ 是域大小的度量。对哺乳动物胚胎皮肤而言，域是闭合曲面；合适的数值模拟条件是周期边界条件，初始条件是均匀稳态附近的随机扰动。可以想象一个特定时刻被激活的图样形成过程：意味着反应扩散域的大小与几何被预先规定；启动开关可以是一个沿胚胎表面推进的波，改变机制中的分岔参数，从而激活扩散驱动失稳。本节不考虑什么、怎样启动该过程，只考虑机制产生图样的能力，比较模型生成图样与动物实际皮毛标记。
第 2 章第 2.4 与 2.5 节已看到反应扩散域的尺度与几何对 Turing 空间中扩散失稳后开始增长的形态素浓度空间图样有多么关键地重要（参见图 2.8、2.9）。为研究几何与尺度对（3.1）式完整非线性系统所产生的空间图样类型的影响，选取了一系列二维域来反映胚胎皮肤的约束。先考虑尾巴与腿部的典型标记：可表为锥形圆柱，其表面即反应扩散域。第 2.4 与 2.5 节分析给出不稳定模的范围 k² 与模型参数的关系：二维情况下，域 0<x<p, 0<y<q 时，由（2.43）式给出（3.2）式，L 和 M 仅是反应扩散机制动力学参数的函数。零通量边界下，线性问题的解由（3.3）式给出，C 由初始条件的 Fourier 级数确定，求和针对满足（3.2）式的所有 (n, m) 对。再考虑长度 s 的锥形圆柱面，圆周方向 θ，柱锥半径 r 是 z 处柱厚度的"参数"。（2.41）式对应的本征值问题在零通量条件下解为（3.5）式，求和范围类比（3.6）式，r 作为参数出现。
考察这些线性增长空间图样的含义。若锥形柱处处很细，r 很小，第一周向模 n=1 以及所有 n>1 的模都在（3.6）不稳定范围之外；不稳定模只涉及 z 变化，等价于一维情形只得一维条纹图样（图 2.8；图 3.2(a)）。若 r 在某一端足够大使得 n≠0 进入（3.6）的不稳定范围，θ 变化就会出现。粗端是 z 与 θ 的二维图样，细端是一维图样。图 3.2 给出（3.1）式对不同锥形域大小的数值解（有限元法）。图 3.2(a) 与 (b) 唯一差别是尺度参数 γ（分岔参数）。所有图 3.2 至 3.4 的数值模拟都固定机制参数，只改变尺度与几何；分岔参数是 γ，几何也起关键作用。图 3.2 的尾部图样是许多带斑动物（特别是猫科 Felidae）的典型：猎豹、美洲虎、麝猫都是良好例子。豹的斑几乎到达尾尖，猎豹总有一段明显的条纹，麝猫尾巴全条纹——这与胚胎尾部结构在假定的图样形成机制运行时的形态一致。麝猫胚胎尾部直径相当均匀且较细；图 3.2(h) 成体尾巴毛发蓬松。图 3.2(g) 豹的产前尾明显锥形且短；成体豹尾长但椎骨数相同；斑纹几乎到达尾尖符合急速锥度，仅在尾尖出现（甚至不出现）不完整条纹。出生后拉伸也使较下部的斑较大（图 3.1(a)、3.2(g)）。
斑马的条纹见于图 3.1(b)、3.3(a)、(b)。Bard（1977）详细研究过斑马条纹：图样约在妊娠第 3–5 周铺设，未讨论具体模式机制。不同种斑马条纹不同，Bard 推测条纹铺设时间不同。图 3.3 给出不同胚胎阶段的假想铺设图样与生长影响的示意。从成体条纹数与生长引起的畸变，Bard 反推铺设时条纹间距约 0.4 mm，并推算出妊娠中的铺设时刻。图 3.3(c)、(d)、(e) 解释图 3.3(b) 中 Equus burchelli 的条纹图样；图 3.3(a) Grevy 斑马（Equus grevyi）条纹更多更晚铺设（约 5 周），同样假设 0.4 mm 间距。
斑马前腿肩胛条纹（图 3.4(a)）需要 Murray（1980、1981a、b）的机制处理：数学问题是两个条纹域成直角的拼接问题；图 3.4(b) 是反应扩散机制对该域的预测图样；图 3.8(e) 的实验图样确认了该数学预测。斑马标记极多变但保持条纹主题：Kingdon（1979）记录过几乎全黑带白斑行和几乎全白的个体。第 3.2 节讨论花纹畸变再回到这个问题。老虎（Felis tigris）的标记（图 3.1(d)）可类比斑马得到：妊娠期约 105 天，条纹图样在前几周铺设，机制生成规则间距条纹图样；斑马的生长变形对条纹的影响同样适用。
长颈鹿是仍具斑纹的最大动物之一。图 3.5(a) 是 35–45 天长颈鹿胚胎素描；已具可辨认的长颈鹿形态（妊娠期约 457 天）；皮毛图样的预图样几乎肯定已铺设。图 3.5(b) 是网纹长颈鹿的颈部典型斑；图 3.5(c)–(e) 是几种长颈鹿躯干斑的近似同比例描摹。图 3.5(f) 是机制（3.1）在与图 3.2 相同动力学参数下的典型计算图样；图 3.5(g) 是同一模拟下取更低阈值的结果。若黑素细胞被编程响应更低形态素浓度，不同种长颈鹿的标记可简单获得。
尺度效果在图 3.6 中清晰展示：仅 γ 改变。若域过小，无空间图样可生成：γ 太小，最小的非零 m、n 都在不稳定范围之外。一般而言，非常小的动物应颜色均匀——事实上大多如此。γ 经过一系列分岔值时，生成不同空间图样。但极大域时（图 3.6 最后一张），形态素浓度分布又近似均匀：结构极细。原因是大 γ 时线性不稳定解的 m、n 等效值很大，意味着极细尺度图样；实际上几乎看不出图样。这意味着极大动物（如象）应几乎颜色均匀——确实如此。从第二次分岔开始考虑：图 3.7(a)–(c) 给出"半黑半白"图样的两种典型例子——蜜獾（ratel）和瓦莱黑鼻羊（Valais goat）。下一次分岔由细长胚胎优雅展示于图 3.7(d)（食蚁兽）与 3.7(e)（苏格兰南部的 Belted Galloway 牛）。
除最简单的最初三个图样（图 3.6）外，所有数值模拟的最终图样都依赖初始条件；但对给定参数、几何与尺度，所有初始条件得到的图样定性相似。从图样形成机制可应用性的角度，对初始条件的这种依赖是非常正面的属性：每只动物的随机初始条件独一无二，故皮毛图样独一无二，但都属同一类。所有豹都具斑纹图样，但每只斑点分布独一无二；虎、斑马同样。
总结：假设几乎所有动物皮毛图样可由单一机制生成；任何能产生扩散驱动空间图样的反应扩散机制都是合理模型。图样在机制激活时刻即被决定——直接联系于胚胎皮肤的尺度与几何。激活波（或激活开关）的时间是遗传决定的。对妊娠期短的小型动物，可预期颜色均匀——事实如此。激活时表面积更大者，第一次分岔产生半黑半白图样（图 3.7）。更大的域在激活时依次出现更多图样结构：从某些食蚁兽、斑马到大型猫科动物等。简单图样非常稳定——对激活时刻的条件不敏感。尺度大端有更大的类内变异（密斑长颈鹿）。极大动物颜色又趋均匀（象、犀、河马）。在皮毛图样对生存重要的动物中，机制激活时间很可能是遗传决定的。激活时刻胚胎表面条件有某种随机性，每只动物的图样由初始条件、几何与尺度唯一决定。同一几何与尺度下，多种随机初始条件得到的图样定性相似（同种斑纹仅斑点分布不同），由此带来的个体性对亲缘与群体识别很重要。皮毛图样对生存意义不大的动物（如家猫）激活时间不必控制得那么精确，图样多态性更大。
第 3.8 节图样的"数学脚注"：反应扩散机制产生空间图样的初始阶段（小偏离均匀态）所涉及的数学本征值问题，与薄板或鼓表面的振动问题相同：都由（3.4）式支配，只是 W 现在代表振动振幅。所以可通过考察类似振动的鼓面来实验演示几何与尺度对图样的关键性：表面过小不维持振动；与图 3.6 类似形状的域做反应扩散模拟时，增大尺寸即可得到一系列越来越复杂的可能振动模。实验中难用反应扩散模拟所用的同样边界条件，但定性特征必是定性相似的。振动板问题中 γ 的对应量是受迫振动频率；图 3.8 给出 Xu 等（1983）对类似几何做的实验：随频率增加所得的图样与图 3.6 广泛相符。图 3.8(e) 显示与图 3.4(b) 预测非常相似的振动；图 3.8(f) 清晰展示锥形几何中的斑-条纹过渡。
3.2 畸胎学：动物皮毛图样异常实例（Teratologies: Examples of Animal Coat Pattern Abnormalities）
前述模型可解释若干动物图样异常。在一定情形下，某一参数值的改变可导致所获图样明显变化。例如斑马若激活过早，会得到全黑个体；激活延迟则会在底色黑上生斑。两种情形均已被观察到（Kingdon 1979）。参数变化是否对图样有显著影响取决于参数值距分岔值的远近（图 2.14、第 2.5 节）。参数小变化在分岔边界附近可引起图样较大变化的事实，对进化理论有重要意义（第 7 章）。显然，扰乱通常的图样机制可通过改变图样形成机制的时机或其任何参数来实现。这样的皮毛图样畸变例子很多：例如斑马的图样形成延迟，因生成图样时域更大，结果会是带斑多于条纹。这种图样畸变过去常导致"新"种出现。1926 年津巴布韦（当时罗德西亚）捕获的一只猎豹曾被报至伦敦自然历史博物馆，1927 年于《The Field》刊登照片（图 3.9(a)，Pocock 1927；亦见 Ewer 1973）。Pocock 当时确信这是猎豹属（Acinonyx）的新种（根据皮毛图样及其他解剖特征如爪长差异），命名为 Acinonyx rex。知道皮毛图样生成机制时间的小变化就能引起重大变化后，这种情形很可能就是这种机制的小变化所致。图 3.9(b) 是南非近期所摄类似异常猎豹照片。有趣的是 Pocock 评论这种"新种"其他例子极少，反过来支持"仅是图样机制的微小变化所致"的理论。实际上，相对稳定的多态情形很少。
两动物的异常图样（图 3.9）相当相似——背部条纹至腹部出现斑点。若上述生成皮毛图样的机制（或等价、几何-尺度依赖的机制）属实，机制很可能在妊娠较早时刻激活——那时胚胎显著小于正常激活时大小。这种情形下图样复杂度较低，更可能形成条纹。第 6 章将看到许多图样（如动物背部毛的前体）从中背线向两侧扩展。这或许是更复杂皮毛图样形成的场景。若正常与异常动物形成图样的时间相当，复杂（类斑点）图样在域变得足够大时形成，并更接近猎豹通常的斑点；两种情形下斑点都不那么清晰且更大。
图 3.10 是几乎全黑的斑马——清楚显示默认色为黑，故斑马是黑底白纹动物而非白底黑纹动物。这种情形下斑马默认色为黑，可能的解释是：机制在通常妊娠时刻激活，但形成图样时间被截短，从而得到条纹很细且形成不良。该斑马其他方面正常，但似乎自知不同而被边缘化——大部分时间在群体边缘。另一图样扰乱例子是图 3.11 中澳大利亚羊群中出现的"斑马样条纹羊"。羊的默认色曾为黑，因白色羊毛更受欢迎而被选育淘汰。某种意义上该图样形成机制"使羊变白"，故图样铺设时胚胎小，得到均匀色。若机制运行时胚胎更大，就生成条纹形式的图样。关于羊的默认色为黑，Darwin 在 1880 年《自然》（Nature）撰文指出："深色或花斑羊的出现是物种原始颜色的返祖现象"——一种"最难根除且若无选择会迅速增强"的倾向；并引用 Sanderson 来信，谈及斑点或黑色羊百分比下降是由于澳大利亚羊毛商的选择加速了进化发展。早期围栏未建时，牧羊人看管很大羊群（偶达 4000–5000 只），需几只易辨的羊，故特别保留少量黑色或部分黑色羊。围栏建立后，羊群变小，对花斑羊的需求消失。
关于所有这些突变，目前只能说皮毛图样形成机制被扰乱了。野生动物皮毛图样激活时机的精度很重要——其生存与其视觉标记密切相关。机制及其遗传控制是重要的遗传性状，其偏离通常不太成功（图 3.10 全黑斑马）。皮毛图样对生存不重要的动物（如家猫、家犬），预期变异大得多。
3.3 蝴蝶翅膀花纹形成机制（Butterfly Wing Pattern Formation Mechanism）
蝴蝶和蛾翅膀上的花纹种类繁多、色彩绚丽；图 3.12(a)、(b) 仅举两例（图 3.22）。蝴蝶蛾类近百万种。蝴蝶翅色与花纹研究有长久历史——19 世纪主要由天才业余科学家进行；20 世纪科学活动激增。Nijhout（1978；亦见 1985a、1991）与 French（1999）给出鳞翅目翅膀花纹主要要素的综述。Sekimura 等（1998）从尺度层面综述翅膀花纹形成。尽管翅面花纹种类初看令人眼花，Schwanwitsch（1924）与 Suffert（1927）证明在蛱蝶（Nymphalids）情形只有相对少的图样要素；图 3.12(c) 给出蛱蝶翅面花纹的基本图样规划，每种图样有专门名称。本节讨论一种可能的模型机制以生成这些规律重现的花纹，并与具体蝴蝶花纹和实验对比。
广义上研究了两类蝴蝶翅膀花纹：即本章讨论的整体颜色花纹，以及翅上细胞的间距花纹；两者空间尺度不同。前者细胞互作在大距离上发生，后者则在细胞长度尺度上。后者中尺度细胞的前体在表皮单层中扩散，并以平行于体轴约 50 µm 的间距排列成行。Sekimura 等（1999）发展了一个基于差异起源依赖性细胞黏附的模型以生成这些鳞翅目翅上的平行行细胞；证明生物现实性的细胞黏附性质足以生成这些行，且方向正确。
与哺乳动物皮毛图样一样，鳞翅目（蝴蝶、蛾）的翅面花纹在形态发生晚期出现，但反映的是早就铺设的预图样。鳞翅目的预图样可能在蛹期早期铺设，少数情形可能刚好在蛹前期开始（Nijhout 1980a）。这里描述并分析 Murray（1981b）提出的翅膀花纹可能模型机制。应用于若干实验：蛹期烧灼对"决定流假说"（Kuhn 与 von Engelhardt 1933）翅面花纹的影响，以及与眼斑（ocelli）生长相关的移植结果（Nijhout 1980a）。如前一节，模型的主要特征是图样对翅在铺设时刻几何与尺度的关键依赖性。尽管翅面花纹多样性可能提示需要多个机制，但将展示看似不同的图样如何可由同一机制生成。
正如刚提到的，翅面花纹的形成可由相对少的图样要素组合而成。其中中心对称图样（参见图 3.12(c)）很常见，尤其在蛾翅上，大致由翅中部的前-后轴两侧镜像花纹构成（图 3.12(a)）。Kuhn 与 von Engelhardt（1933）研究小蛾 Ephestia kuhniella 翅面花纹广泛；提出一个唯象模型，其中"决定流"从前缘 A 与后缘 P 发出，作为波穿过翅产生前-后色素带（图 3.13(b)）。他们对蛹期翅做微烧灼实验，结果与其唯象假设一致。Henke（1943）对 Lymantria dispar（见图 3.15(g)）"扩展场"研究亦支持该假设。本节模型结果也将与其实验相关。该模型依赖上皮中的尺度形成干细胞对蛹期或蛹前期铺设的潜在图样反应。Goldschmidt（1920）认为主要图样可能在图样可见之前铺设；这似乎被更近期实验研究证实。
眼斑或称 ocelli 是许多蝴蝶翅的重要图样（图 3.12(a)）。Nijhout（1980a、b）在蛱蝶 Precis coenia 上的实验给出证据：眼斑焦点是其图样形成的影响因素。Carroll 等（1994）与 French 和 Brakefield（1995）亦讨论眼斑发育，后者涉及焦点信号。焦点产生形态素，其水平激活色素特异性酶。Precis coenia 的色素生成（即黑素生成）涉及不同时期生成的不同黑素（Nijhout 1980b）。Sibatani（1981）综述提出另一基于预图样的替代模型，认为眼斑形成过程涉及多个互作变量。这两种模型并非互斥——因为"位置信息"（positional information, Wolpert 1969）模型依赖细胞对某些形态素浓度水平按特定方式反应。
Kuhn 与 von Engelhardt（1933）的烧灼工作提示 Ephestia kuhniella 中至少有两种图样形成机制，因为蛹化后烧灼时间不同效果不同。可能如 Schwanwitsch（1924）与 Suffert（1927）所提，有几个独立的图样形成系统在运作。然而同一机制仅在不同时刻运行，对应不同参数值与不同几何、尺度就能产生相当不同的图样。所存在黑素种数指示机制的最小数目或同一机制的分别运行次数（也是合理假设）。
虽然研究鳞翅目翅面花纹的主要原因在于试图理解其形成并寻找图样生成机制，另一个原因是为扩散场大于约 100 个细胞（约 0.5 mm）的存在提供证据——这是迄今所发现的最大值。蝴蝶翅花纹似乎存在 O(5 mm) 的场。从建模角度看有趣之处在于图样的演化本质上是二维的，所以必须再次考虑几何与尺度的双重角色。
模型机制：扩散形态素-基因激活系统
先简要讨论中心对称图样（图 3.12(c)）——这是推动本节模型机制的实验工作。这些色素横带一般从翅前缘到后缘延伸，可能是最普遍的图样。这些带沿翅室的脱位（即翅脉与翅边界的区域）可产生极多样的图样（图 3.12(a)）。图 3.13(a) 是广义鳞翅目前翅的图解，说明典型翅脉，包括远端室（D）中后来萎缩并实际消失的翅脉。
Kuhn 与 von Engelhardt（1933）在小蛾 Ephestia khuniella 蛹期做了一系列微烧灼实验以理解中心对称花纹如何生成。图 3.15(a)–(c) 给出部分结果；似乎与从翅前缘 A 与后缘 P（图 3.13(b)）发出的"决定流"或波一致。该波前与中心对称系统的横带位置关联。Schwartz（1962）对另一种蛾的工作倾向确认该决定波对中心对称系统的存在。这里发展一种可能的机制——我们假设其在蛹化后刚运作——以生成此具体花纹（以及其他花纹），并与实验对比。
假设在翅前缘 A 与后缘 P 有形态素源，其浓度为 S。为简化（不是必须）数值中将理想化为图 3.13(c) 的扇形域，角度 θ、内外半径 r1、r2。在假定的蛹期某遗传决定时刻，释放一定量形态素 S0，其在翅上扩散。翅有上下两层上皮表面细胞与翅脉分布（图 3.13(d)、(e)）。翅上下面的图样被独立决定。形态素扩散时假设以一阶动力学降解。扩散场是翅面，故形态素在翅边界零通量边界条件。形态素浓度 S(r, θ, t) 的控制方程为（3.7）式，D(cm²s⁻¹) 是扩散系数，K(s⁻¹) 是降解速率常数。
形态素 S 沿翅面扩散时，假设细胞对局部形态素水平反应，基因 G 被 S 激活产生产物 g。假设基因产物的动力学显示生物化学开关行为（第 1 章、第 6 章 Volume I；具体见 Exercise 3；图 3.14(a)、(b)）。该机制可实现基因产物水平的永久性变化。具体采用（3.8）式标准三次型：g 由形态素 S 线性激活、由自身产物以非线性正反馈方式激活、按自身线性降解。g(t; r, θ) 通过 S 是位置的函数。构造其他例子容易：三次项多项式即可。
模型涉及在理想化翅几何边界（图 3.13(c)）的 A 与 P 上释放的形态素 S0。形态素满足（3.7）式于（3.9）式定义域，零通量边界条件。t=0 时 S0 作为 δ 函数在 A(r=rA, θ=θ0) 与 P(r=rP, θ=0) 释放；初始时 S 处处为零。基因产物初始为零 g(0;r, θ)=0。数学问题边界与初始条件为（3.10）式，δ(t) 是 Dirac δ 函数。（3.7）与（3.8）配（3.10）唯一确定所有 t>0 的 S 与 g。
引入无量纲量以分离关键参数组群并显示方程各项相对重要性。L(cm) 是标准参考长度，a(cm)（例如 r2−r1）是翅上相关长度。引入（3.11）式的无量纲量 γ=(a/L)² 等。模型系统（3.7）、（3.8）、（3.10）变为（3.12）式。引入尺度参数 γ 的方便之处在于尺度变化。若"标准"翅 a=L 即 γ=1，类似翅但大小加倍 a=2L 即 γ=4，可在图示中以同样大小表示（图 3.6）。无量纲边界条件（3.13）式代数同（3.10）。基因动力学机制的开关与阈值性质由（3.12）式第二式的 γ⁻¹ dg/dt 对 g 的示意（图 3.14(a)）可见。
为确定使动力学显示开关机制的 k 范围，先看（3.12）式 f(g; 0)：需要 γ⁻¹ dg/dt = f(g; 0) 有两个正稳态，即（3.14）式三个根都实数，要求 k2>2k3。对 S>0，f(g; S) 曲线只是上移，对小 S 有 3 个稳态（两个稳定）。S 形图正是开关机制的特征。
设在 t=0 时 g 处处为零，形态素 S 一脉冲释放，激活基因产物。S>0 时 dg/dt>0，g 随时间增加（图 3.14(b)）。若 S 始终不超过临界阈值 Sth(>Sc)，S 长时间衰减到零时 g 也衰减到零。但若 S 超过 Sc 足够长时间，g 增加充分最终趋于 g3 等效的局部稳态，从而实现从 g=0 到 g=g3 的开关。S 必须达到阈值直观清楚。同样清楚的是（3.12）式第二式的具体动力学不关键，只要显示图 3.14 的阈值特征即可。
（3.12）式（连同相关边界与初始条件（3.10））的 S 线性问题难以解析求解到可用形式。我们知道 S 定性如图 3.14(c)，在每个 r 处达到不同最大值。对给定 S(r, t)，g 的解必须数值求解。关键阈值 Sth 也不易解析确定；Kath 与 Murray（1986）对快速开关动力学给出奇异摄动解。后面讨论眼斑形成与所谓依赖图样时，将推导一些近似解析结果。对中心对称图样，则依赖模型系统的数值模拟。
直观地可看出（3.12）式机制如何生成基因产物（或色素特异性酶）的空间图样：从 A 与 P（图 3.13(c)）释放有限量形态素 S0，形态素脉冲扩散同时衰减，激活基因 G 产生 g。若翅上一区域 S>Sth，g 从 g=0 充分增加趋向 g3，最终 S 减少时 g 继续趋向 g3 而非回到 g=0。g 的增长（由（3.12）式支配）非瞬时，故关键 Sth 大于图 3.14(a) 中的 Sc。扩散与基因转录两个过程的耦合实际上引入了时间滞后。因此形态素脉冲作为准波扩散穿过翅面（图 3.14(c)）时，生成一个 g 永久非零（即 g3）的域，直到翅上某曲线 S 充分降低（S<Sth），g 回到 g=0 而非继续增至 g3。我们关心的是被开关激活的域；Kath 与 Murray（1985）也对快速开关动力学做了类似工作。
中心对称图样；尺度与几何效应；与实验对比
先考虑模型如何适用于中心对称图样，特别是 Kuhn 与 von Engelhardt（1933）的实验。假设形态素 S 从翅边缘 A 与 P 处的形态素源发出（图 3.13(c)）。形态素"波"穿过翅时推进并衰减，直至形态素水平 S 减少到关键浓度 Sth，低于此浓度基因激活动力学不能产生永久非零产物水平（图 3.14(a)）。将两个稳态基因产物水平（即 g=0 与 g=g3）间的空间边界（阈值前沿）与 Kuhn 与 von Engelhardt（1933）的决定前沿联系起来。显现最终色素分布的细胞被认为在该阈值前沿附近作差异反应。Meinhardt（1986）在果蝇 Drosophila 胚胎早期分节模型中也提出细胞在形态素浓度明显边界处的差异反应。
要求基因产物 g 的最终稳态解，需要数值求解（3.12）配（3.13）与（3.10）无量纲形式的完全非线性时空问题。主要可调参数是 k 们与 γ。数值结果用有限差分获得；选一组合适的参数值并对所有计算保持固定以凸显几何与尺度对图样形成机制的关键作用。计算结果见图 3.12–3.15；参数值不必精细选取。所有模拟在翅前后缘中部释放相同量形态素。
考虑小蛾 Ephestia kuhniella 的实验：其翅确实很小，约小指指甲大小。图 3.15(a) 是正常翅具典型标记；图 3.15(b)、(c) 是热微烧灼结果（Kuhn 与 von Engelhardt 1933）。图 3.15(d) 是理想化正常翅：阴影区为决定形态素波遗留的非零基因产物。在理想化翅中插入对应热烧灼的孔，假设孔内形态素水平为零（即在孔边界设 S=0，假设任何扩散到孔内的形态素被破坏）。对应实验几何的数值结果见图 3.15(e)、(f)，分别对应图 3.15(b)、(c)。图 3.15(g) 是另一更大烧灼例子；图 3.15(h) 是 Lymantria dispar 类似烧灼翅（Henke 1943）。图 3.15(i) 是模型预测若烧灼去除翅后缘形态素源的情形——未见有实验确定决定流源位置。
尺度与几何效应
几何与尺度的效果可看：模型机制即便如此简单，能生成的图样种类已相当可观。对（3.12）式相同的动力学参数 k、k1、k2、k3，图 3.16(a)–(c) 说明固定几何下尺度对空间图样的影响——如我们直觉预期的那样。中心对称图样在蛾翅上特别常见；图 3.16(d)、(e) 给出两例——巧克力碎斑蛾（Psodos coracina）与黑山蛾（Clostera curtula）；与图 3.16(a)、(b) 对比。几何的效果也重要且同样可直觉预测。图 3.17 仅改变扇形角度（其他参数同 3.16）说明。
模型系统方程的数值解与实验结果对比令人鼓舞：解生成形态素把基因产物从零稳态开关到非零稳态的区域 g。若用另一基因产物并稍减形态素释放量重复该过程，显然可生成单条锐利分化细胞带。
依赖图样
现在考虑另一常见依赖图样——色素限于翅脉附近。色素模式依赖于翅上翅脉位置，故名。考虑形态素从翅室的边界翅脉释放，故在翅脉附近产生非零基因产物 g，这正是色素生成细胞所反映的图样。将翅室视为圆扇形（与前述相同），形态素从除外界外的所有边界释放。若翅室很长，问题准一维，则给定 Sth 可解析推导基因产物空间图样的宽度。
考虑一维问题：在 x=0 释放一定量形态素。理想化数学问题由（3.15）式定义，零通量条件，解为（3.16）式，定性如图 3.14(c)。对给定 x，最大 S 记为 Smax，时间由（3.17）式 tm 给出，代入得（3.18）式 Smax(x)。从动力学机制（3.12）式，Smax=Sth 是实现从 g=0 到 g=g3（图 3.14(a)）的开关水平。从（3.8）可计算 g=g3 的距离 xth——即模型中特定色素的域。故 xth 是（3.19）、（3.20）式的解。量纲下，由（3.11）关键距离 xth(cm) 由形态素脉冲强度 S0、扩散系数 D(cm²s⁻¹) 与速率常数 K(s⁻¹) 给出。Sth 的解析求值对快速基因激活动力学由 Kath 与 Murray（1986）给出——是一个非平凡奇异摄动问题。
将模型机制（3.12）用于理想化翅室，在边界翅脉释放单位长度 ρ 的形态素。用与图 3.16、3.17 相同参数值，有限差分法解方程，零通量条件。图 3.18(a)、(d) 是计算解的例子，图 3.18(b)、(e) 是满翅预测图样示意。图 3.18(c)、(f) 是凤蝶前翅具体实例：分别为 Troides hypolitus 与 Troides haliphron。这种依赖图样在凤蝶科（Papilionidae）中常见。
尺度效果见图 3.19(a)、(b)（翅脉近似平行的示意）；图 3.19(c)、(d) 是 Troides prattorum 与 Iterus zalmoxis 的前翅。色素图样距翅脉的距离以非线性方式依赖参数与形态素释放量。固定这些值后，距翅脉距离与尺度无关——静脉间色素条按翅室大小变化。与 Schwanwitsch（1924）观察一致（图 3.19 例示）。Nymphalids 与某些其他科中：静脉条（即翅脉间 g=0 区）宽度因种而异，但翅脉附近的色素区大小相同（Schwanwitsch 1924）。某些种中所观察到的远端室（图 3.13(a) 中 D）图样反映了后来萎缩的翅脉的存在（图 3.18(c)、3.19(c) 的雌性 Troides prattorum 前翅）。
眼斑或 Ocelli 图样
眼斑图样非常常见（图 3.12(a)）。Brakefield 与 French（1995；及所引文献）研究表皮损伤对眼斑发育的反应；Carroll 等（1994）认为梯度控制基因表达及其与蝴蝶翅眼斑决定的关联。Nijhout（1980b）在蛱蝶 Precis coenia（鹿眼蝶）上做移植实验：将初期眼斑从翅上一个位置移至另一不形成眼斑的位置。结果在新位置形成眼斑。这提示眼斑中心有某种形态素源，从中心向外扩散激活细胞产生所观察到的圆形图样。所以再次合理应用上述机制于这些结果。
假设眼斑中心以完全相同于中心对称图样的方式发射形态素脉冲。平面轴对称极坐标下形态素的理想化数学问题，第一式（3.12）配（3.10）、（3.13）的初始与边界条件，为（3.21）式。解为（3.22）式，是图 3.14(c) 类时空函数。与前相同，给定关键阈值浓度 Sth(>Sc) 实现从 g=0 到 g=g3 的转变（图 3.14(a)），可计算基因激活区大小。从（3.22）最大 Smax 对给定 r 给出（3.23）式，眼斑激活域半径 rth 由令 Smax=Sth 解出。许多眼斑有几个同心环状色素带。若让机制以稍不同的形态素释放量运行两次，可得到两个重叠的独立域。图 3.20(a) 是数值结果；图 3.20(b) 是每翅室一眼斑的整体翅图样预测；图 3.20(c) 是具体蝴蝶实例（Mycalesis maura）。图 3.20(d)、(e) 是不同降解常数 k 的效应导致眼斑合并；图 3.20(f) 是实际例（Taenaris domitilla）。图 3.20(g)–(i) 说明几何影响。
将模型分析与实验对比。S(r, t) 解由（3.22）给出。需 S=Sth 的 r 值，记为 R；由（3.22）配 S=Sth 得（3.24）式 R²(t)。与实验对比需量纲直径 d(=2R)。取单眼斑标准长度 a 在无量纲化（3.11）中是实验对照直径，即 L=a、γ=1。d(t)=2R(t)，用（3.11）、（3.24）得（3.25）式 d²(t)=−16Dt[Kt + ln t + C]，C = ln[4πS_th D/(S₀a²)]。注意 d(t)∼O([t ln t]^(1/2))，t→0（（3.26）式）。最大直径 dm 由基因激活域大小类比（3.20）式给出，由（3.27）式解出。用（3.25）式与图 3.21 实验数据点最佳拟合可得 D、k 与 C。从实验操作角度，难预测降解常数 K 变化——因为不知形态素是什么。扩散系数随温度变化则有一定信息。因此可推测、并潜在使用的是扩散系数 D。图 3.21 实验结果与（3.25）式最佳拟合给出 29°C 时 D=4×10⁻⁹ cm²s⁻¹、19°C 时 D=6×10⁻¹⁰ cm²s⁻¹。虽无法独立测量尚不能鉴定的形态素扩散系数，这些值的量级与 D 随温度变化都合理。
由（3.25）式得眼斑扩散速度 v(t)=dd(t)/dt，如（3.28）式所示，并得（3.29）式 v(t) 在 t→0 时的渐近行为。Nijhout（1980a）发现 29°C 平均波速 0.27 mm/day、19°C 0.12 mm/day。用最佳拟合参数值，（3.28）给出速度随 t 变化；从（3.29）可知初始增长率多快。由所推扩散系数估计，初始波速比（（D_29/D_19）^(1/2)≈2.58）与实验平均波速比（0.27/0.12=2.25）有利地相符。这增添了对该扩散控制图样形成机制的证据。
温度影响动物颜色图样众所周知；季节性变色仅一例。Etchberger 等（1993）实验研究温度、CO₂、O₂ 与母体因素对龟（具体为 Trachemys scripta elegans）色素的影响，得到定量结果，例如 CO₂ 水平比温度对孵化幼体图样影响更大；他们认为这些效应不是对发育时间，而是对实际图样形成机制。该问题似乎适合一些有趣建模。
若本节讨论的机制属实，图样形成的扩散场维度在数毫米量级。这比已发现的其他胚胎情形大得多。一个被假定其不发生的理由是：在超过毫米距离上经扩散形成图样一般太慢；在此期间足够的生长与发育发生意味着图样形成相当敏感。但在蛹翅上并非如此，因为图样可在数天内发育而尺度与几何变化很小。结合前几章经验，原来的疑虑已不成立——若包括反应扩散机制，不仅复杂图样能形成，生物化学信息传输也可远快于纯扩散。关于眼斑位置，反应扩散模型与翅上扫过的波或神经激活或遗传开关都可容易实现（第 12 章讨论神经模型）。
很可能有几个独立机制在不同阶段运作，产生蝴蝶翅上的多样图样（Schwanwitsch 1924、Suffert 1927）。作为建模第一步，合理假设机制数与所存在黑素数相同。Nymphalid 蛱蝶 Precis coenia 有四种不同色黑素（Nijhout 1980b）。Suffert（1927）图样规划中相对少的图样要素（与众多图样种类相比）说明进一步探索这里讨论的这类生化扩散模型图样形成可能性是值得的。图 3.22 给出一些尚未用反应扩散机制生成的复杂翅面花纹例子。通过在扩散中引入各向异性（即扩散依赖方向），可生成进一步被观察到的图样，如 3.12(b) 的箭头状图样（第 2 章 Exercise 10）。或许应反过来问："哪些图样不能由这样简单的机制形成？"鱼与蛇上某些图样属此范畴。下一章讨论其中一些及足以生成它们所需的模型改进。蝴蝶翅图样作为图样生成问题似乎特别适合研究，因为翅上图样比较晚期发育，可行移植实验（Nijhout 1980a）、烧灼诱导色图样（Nijhout 1985b）以及温度冲击诱导颜色图样修改（Nijhout 1984）。
3.4 醋栗藻中轮生毛图样建模（Modelling Hair Patterns in a Whorl in Acetabularia）
绿色海藻醋栗藻（Acetabularia）是一种巨型单细胞生物（图 3.23 精美照片），是海洋食物链中一环（Bonotto 1985）。我们此处特别感兴趣的特征是其高效的自再生性质，允许实验室调控其生长。醋栗藻已成为若干会议主题（Bonotto 等 1985）。本节描述 Goodwin 等（1985）提出的关于再生头中控制轮生毛周期间距的机制的模型。不仅给出支持机制解析定量结果的实验证据，更重要的是建议毛的启动由钙控制——可能是发育情形中难以捉摸的形态素之一。完整生物学细节见 Goodwin 等（1984）。
该藻由约 4–5 cm 长的窄茎与顶部约 1 cm 直径的圆帽组成（图 3.24(a)）。茎是薄圆柱形细胞质壳。截断后，游离钙 Ca²⁺ 在轮生毛周期性分布与最终帽的再生中起关键作用。再生有若干阶段，示意于图 3.24(b)–(d)：截断后先有茎的延伸、然后尖端变扁、最后形成轮。茎可继续延伸并形成其他轮。图 3.24(e) 是茎生长区的示意横截面，是模型相关空间域。
实验证据
所发展的模型与分析专门关心引发轮生毛周期分布的空间图样。Goodwin 等（1984）实验显示外界介质 Ca²⁺ 浓度有确定范围，轮生在此范围内形成。图 3.25 显示实验结果：低于约 2 mM 外界钙与高于约 60 mM 时轮生不形成；人造海水正常值为 10 mM Ca²⁺；约 5 mM 时仅形成一个轮随后形成帽。
实验结果显示外界介质中钙穿过藻外壁的速率与生长决定和启动一轮毛密切相关。正因此，钙被提议作为醋栗藻中的真正形态素。若确为形态素，则应在毛的分布（或更准确说毛的平均间距，即毛分布波长）中起作用。为确定外界游离钙浓度对毛波长的影响做了实验（图 3.25、3.28）。模型机制分析（讨论如下）也佐证间距假设。
考虑反应扩散机制的若干证据。回顾第 2 章：若由 Turing 型反应扩散系统生成空间结构，结构数不具尺度不变性。例如给定一维域有若干形态素浓度波，参数固定下大一倍的域有加倍的波数。这是反应扩散模型空间性质的内禀特征。Pate 与 Othmer（1984）提出尺度不变的反应扩散机制；尺度适应问题也被 Hunding 与 Sørensen（1988）处理。任何模型若参数适当变化都可显示尺度适应。
单个轮中毛数变化相当大——约 5 至 35。实验显示同一条件下培养的植物毛间距 w 几乎恒定，毛数与茎半径成正比。机制由此调节毛间距与植物大小无关。尺度与图样数之间的这种关系是反应扩散系统的性质（第 2 章）；实际上也是涉及空间变量的其他图样形成机制的性质（第 6 章力化学图样生成器完全不同；这种性质绝非结论性证据）。
Harrison 等（1981）显示毛间距 w 依赖于环境温度 T，满足 ln w ∝ 1/T。该 Arrhenius 型温度变化提示化学反应动力学因子——同样与反应扩散理论一致：间距依赖于动力学参数。
模型
现在发展的模型用于生成一种形态素（被鉴定为钙）的空间分布，反映为轮中毛的空间分布。假设启动由两物种 u 与 v 的总体反应控制，后者视为 Ca²⁺ 浓度，u 为另一形态素（尚未知）。考虑的空间域是茎的环形横截面（图 3.24(e)）。现有证据不足以对反应扩散系统提任何具体反应动力学，故选最简单的两物种机制——Schnackenberg（1979）系统（第 7 章 Volume I 中详细讨论），无量纲形式（2.10）。即（3.30）–（3.31）式，定义 f(u, v)、g(u, v)，a、b、γ、d 为正常参数。对环形域，u 与 v 是 r、θ、t 函数，域为（3.32）式，R_i、R_0 是无量纲内外半径；Laplace 算子（3.33）式。尺度参数 γ 与 R_i² 成正比。
引入进一步无量纲量（3.34）式：r*=r/R_i、δ=R_0/R_i、R²=R_i²γ；系统（3.30）–（3.32）变为（3.35）–（3.36）式，反应扩散域（3.37）式。
生物上茎内壁对钙不通透，故对 u、v 在 r=1 设零通量条件。钙有净流入环形区；细胞内钙浓度 O(10⁻⁴ mM) 与外部 1 mM 至 100 mM 比，钙流入基本与内部浓度无关。环形域空间尺寸给出 δ≈1.05 至 1.1——足够薄，故几何可视为准一维。钙的内流可由 v（即钙）方程（3.35）中源项 b 反映。然后在外边界 r=δ 与 r=1 都取零通量条件。故关心的是系统（3.35）、（3.36）于（3.37）域边界条件（3.38）式（u_r=v_r=0 在 r=1, δ）。
第 2 章详细讨论过该类反应扩散机制产生的扩散驱动空间图样及参数须满足的条件。这里仅简要勾勒分析，原理相同。考虑（3.35）、（3.36）均匀稳态（u₀, v₀）（3.39）式附近的小扰动，设（3.40）式 w∝ψ(r,θ)e^(λt)，ψ(r, θ) 是环形域（3.37）上零通量边界条件（3.38）的 Laplace 算子本征函数：∇²ψ+k²ψ=0，（n·∇)ψ=0 在 r=1, δ（（3.41）式）。k 须确定为本征波数。对满足（3.41）的 k，感兴趣 Re λ(k²)>0。
本征值问题
由于醋栗藻相关环形域尺寸意味着 δ∼1，作为一阶近似可忽略 r 变化，本征值问题一维且 θ 周期，ψ=ψ(θ)。故（3.41）中忽略 r 变化（r∼1），本征值问题变（3.42）式，解为（3.43）式：k=n、ψ(θ)=a_n sin nθ+b_n cos nθ，n≥1 整数。
（3.41）的精确问题（3.44）式，边界条件（3.45）式。分离变量（3.46）式代入（3.44）得（3.47）式；解为（3.48）式（R_n(r)=J_n(k_n r)Y'_n(k_n) − J'_n(k_n)Y_n(k_n r)），其中 J_n、Y_n 是第 n 阶 Bessel 函数；本征值 k²=k²_n 由边界条件确定。（3.48）自动满足（3.45）第一式，第二式要求（3.49）式。对每个 n，（3.49）有无穷多解 k_n^j，j=1, 2, …；已由 Bridge 与 Angrist（1962）数值算出。δ→1 时问题变一维，本征值 k→n（可通过设 δ=1+ε 在（3.49）做 ε→0 渐近分析解析证明）。
扩散驱动失稳
第 2 章第 2.5 节讨论过色散关系在图样生成中的作用，得到 Turing 空间（参数空间）使均匀稳态（u₀, v₀）（3.39）周围空间扰动被驱动失稳。Re λ(k²)>0 的波数范围由（2.66）给出；记号稍变化，R² 用于（3.35）–（3.36）中 γ。范围由（3.50）式给出，导数在（3.39）稳态（u₀, v₀）求值。准一维情形本征值问题（3.42）下，本征值 k 即正整数 n≥1。由（3.50）与（3.34）线性不稳定空间图样范围与环形域半径 R_i 成正比。
对满足（3.50）的每个本征值 k 对应 Re λ(k²)>0；所有（离散）k 中有一个给最大 Re λ=Re λ_M=Re λ(k²_M)。k_M 如第 2.5 节（2.68）式，在本节记号下为（3.51）式（导数在（3.39）（u₀, v₀）求值）。第 2 章已知至少在一维情形最快增长模是最终有限振幅稳态空间图样的良好指标。准一维情形图样波长 w 由无量纲长度 w=2π/k_M 给出，k_M 来自（3.51）。取基本长度为环半径 r_i，量纲下量纲波数 k_Md=k_M/r_i，故量纲波长 w_d=r_i·w=r_i·2π/(r_i·k_Md)=2π/k_Md，独立于半径 r_i。故模型中毛间距与茎半径无关——正是我们预期。
与实验对比
定性比较图 3.25 实验结果须考虑外部钙浓度变化（b 变化）对图样形成的影响。Goodwin 等（1984）主要实验事实：(i) 外部钙浓度有范围，范围内轮生形成；b 过高或过低无毛启动。(ii) 在该范围内毛间距随钙浓度增加而减少，先快后渐慢。(iii) 当 Ca²⁺ 浓度接近上下限时图样振幅降至零。
须推导机制所形成图样振幅的解析度量。实际只有有限时间生成所需图样；反应扩散模型中稳态图样仅在数学意义上 t→∞ 时获得。但线性理论提供最快增长模的信息，通常主导图样生成，从而对稳态形态素浓度的最终定性图样作良好预测。若形态素理论成立，很可能是毛分化的启动发生在形态素水平达某阈值时。故最大线性增长率 Re λ(k²_M) 给出实际观察到的形态素振幅的某种指示——当然 λ_M=0 时振幅必为零。故用 Re λ(k²_M) 作为振幅度量，由（3.51）k_M 代入 λ 表达式（（2.23）两解中较大者），经一些代数得最大增长率（3.52）式 λ_M。
现在考虑（3.30）、（3.31）系统的（a, b）Turing 空间（图 2.12 给定 d 各值）。图 3.26(a) 复现其中一条曲线以示参考，并将参数 b 与外部钙浓度联系。考虑固定 a（如 a_1>a_m）：钙浓度 b 由零增加时，直到达下阈值 b_min 前无图样形成；b 进一步增加进入图样生成参数空间。图 3.26(b) 是准一维情形典型数值计算图样：茎壁足够薄 δ≈1，可忽略（3.35）、（3.36）中 r 变化；参数 a=0.1、b=0.9、d=9、R=3.45（稳态 u₀=1.9, v₀≈0.25）。图 3.26(c) 是茎上对应图样：阴影区高于某浓度阈值；假设此时启动一毛。若环域更宽（δ>1.2，须考虑 r 变化），空间图样具更二维特征；图 3.26(d) 给出 δ=1.5 的例子。
b 增过 b_max 时参数移出 Turing 空间，机制不能再生成空间图样——与实验事实 (i) 及图 3.25 定量结果一致。注意图 3.26(a) 仅当固定 a 大于 a_m 且不太大时这种定性行为发生。对固定 a_0<a<a_m，b 由零增加时存在两个分开的图样生成区域。
图 3.26(a) 中若 a=a_1，最大线性增长率 λ_M 在 b=b_min 与 b=b_max 处为零——可由（3.52）解析推出。对 b_min<b
实验还测量外部 Ca²⁺ 浓度变化对波长 w 的影响，故检查模型分析预测的 w 随 b 变化行为。固定 a、d，（3.51）给出 k_M 对 b 的依赖从而图样波长 w=2π/k_M 依赖。由（3.51）当 a(>a_m) 合适时，波长随 b 减小——当我们穿过图 3.26(a) 中图样形成区域。图 3.28 说明计算行为，使用（3.51）k_M 得量纲波长与 Goodwin 等（1984）实验结果对比。a、d、R 参数最佳拟合，b 变化时定量比较合理。
本节材料是模型机制与实验计划如何直接相关并共同发展的实例。钙可作为反应扩散系统形态素之一的假设被探索，并提出满足实验要求条件的具体机制（如毛图样可形成的外部钙浓度窗口）。并非所有反应扩散机制都显示该行为。选择含关键生物事实的简单两物种机制，并将一种形态素鉴定为钙。问题在于另一形态素 u 可能是什么。提出的候选之一是环磷酸腺苷（cAMP）——在细胞代谢中重要；cAMP 诱导线粒体释放钙，钙抑制 cAMP 生成。但空间结构条件要求 d>1，即 cAMP 扩散快于钙——而 cAMP 分子量更大，故并非如此。另一候选是质子 H⁺——有证据表明醋栗藻形态发生中钙与质子泵活性及 pH 之间紧密关联。以现有认识，两种形态素的身份仍需推测。钙浓度空间图样的形成被视为毛启动的预图样。实际毛生长（伴植物机械变形）是使用并反映预图样的后续过程。钙可能与细胞质（即茎壳）机械性质直接耦合。这种耦合可纳入第 6 章详细讨论的形态发生力化学理论。事实上第 6 章提出的机制不需要毛启动前的预图样——整个过程同时发生。
更复杂过程的必要性
虽然上一章简要触及域生长对反应扩散模型所生图样的影响，但显然图样形成并非总在静态域上发生。不仅如此，零通量边界条件也不总是合适。这些方面要求我们考虑生长域上的图样形成机制与不同边界条件对机制所生最终图样的效果。除了我们仍不知道发育中图样形成机制与形态素实际是什么之外，研究更复杂系统理论的一个重要原因是存在大量图样似乎不能用反应扩散系统生成——除非在不同阶段做不真实的参数调整等过程。13 条纹松鼠（其背部纵向排列的斑点）是动物皮毛图样的一个例子。这种特定图样由 Aragón 等（1998）在其鱼类图样详细研究中获得。下一章考虑生长域效应与一些这里未讨论的自然发生复杂图样。
本章个人批注
本章是 Murray II 中第 2 章理论的第一批应用，结构非常清晰：每个应用都用同样的套路——选一组具体反应动力学（通常是 Thomas 系统或 Schnackenberg 系统），把胚胎几何（皮肤曲面、锥形尾、翅扇形、茎的环域）参数化，用无量纲化把"机制参数 / 几何参数 / 尺度参数"三者分离，然后展示线性分析预测的空间图样种类与真实生物图样的"令人鼓舞的相似"。我注意到 Murray 对自己的模型始终持谨慎态度，反复强调"机制未确定、形态素未鉴定、证据是旁证性的"——这与我读过的 Kauffman/Savine 等生物数学家那种急切宣称自己模型正确的写法形成对比。
第 3.1 节给我印象最深的是"激活时刻胚胎几何决定一切"这一观点。豹斑 vs 猎豹条纹 vs 麝猫条纹尾巴 → 尾部锥度（几何）+ 妊娠激活时刻（尺度）→ 不同图样分支。这意味着图样多样性不需要为每种动物演化新机制，只需要同一机制在不同几何/尺度下运行。Walter 等（1998）的克隆镶嵌模型获得"惊人地相似"的具体图样，但与 Murray 模型属不同机制类（细胞相互作用 vs 反应扩散），让我反思：两者数学上可能本质上相似（都涉及长程互作+局部非线性），但生物学上可能对应不同的细胞过程。
第 3.3 节眼斑分析的定量部分（用（3.25）式最佳拟合得到 D_29=4×10⁻⁹ cm²s⁻¹、D_19=6×10⁻¹⁰ cm²s⁻¹）是少见的"理论预测与实验数据定量相符"的例子。波速比 2.58 与 2.25 的相符让我觉得这个机制至少在鳞翅目上比纯猜想更有依据。但作者也坦承独立验证 D 不可能（形态素未鉴定），所以这仍是"不可证伪的拟合"。这是反应扩散形态学假说普遍面临的认识论困境。
第 3.4 节钙作为"真正的形态素"的提法很独特。醋栗藻是少有的可以（相对）直接测细胞内钙浓度的体系，所以 Murray/Goodwin 等能做实质性的机制对比。Harrison 等的 ln w ∝ 1/T 实验结果（Arrhenius 型温度依赖）若确实支持反应扩散机制，会是比温度波速比更有力的证据。我对该系统的疑问：cAMP 候选被排除是基于分子量扩散慢，但实际细胞内扩散系数可能受细胞骨架阻碍影响，分子量论据可能不严格。
关于 Pate-Othmer 尺度不变反应扩散机制的提及值得关注——可能某些生物体需要"尺度不变"特性（毛间距与植物大小无关）。醋栗藻一节恰好是尺度不变性的好例证，但 Murray 自己的模型（不同尺度下模式数比例于大小）也表现出尺度不变性——因为尽管模式数变化，但波长 w 独立于 r_i。这是反应扩散系统的内在性质。
最后对"Jacob 的圣经故事"那一段脚注非常有趣——Murray 显然是有幽默感的学者，且暗示这一生物学机制的真正"最早文献"比 Turing 早 3000 多年。
与上下章的衔接（一段话）
本章是第 2 章反应扩散理论第一次大规模接触真实生物学数据。从全书结构看，第 2 章奠定了数学基础（线性稳定性、空间图样、尺度-几何效应），本章则在哺乳动物皮毛、蝴蝶翅膀、醋栗藻三个相对成熟的实验系统上验证该理论的解释力。作者将本章置于第 2 章之后、第 4 章之前是有逻辑的：第 4 章要讨论"反应扩散系统不能解释的图样"（特别是鱼和蛇上的复杂图样）以及生长域效应——这些是本章模型的局限；本章的"单一机制可生成多种图样"立论越成功，第 4 章"但仍需要更多机制或更复杂边界条件"的反例就越有意义。第 6 章预告的力化学机制（mechanochemical）将在更广意义上取代或扩展本章的反应扩散框架。第 7 章的进化论应用建立在第 3.2 节畸胎学观察之上——参数微小变化引起的图样大变化被用来支持形态进化中的发育约束理论。