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第十章 正常成熟心脏 (The Normal, Mature Heart)

§1 作者

本章是 Ch 7 正常血管的"心脏对应"——把 Ch 1—9 的理论 + 实验 + 本构 + 有限元全部应用到心肌 (myocardium) 这一最复杂、最具临床意义的软组织。Humphrey 邀请 McCulloch (1995) 共同撰写 (10.1 节末段注)，把"心肌生物力学"作为独立领域系统化。本章是 Ch 11 末段"未来方向"的最重要伏笔——心肌 G&R 是心血管系统 G&R 中最复杂的。

§2 内容概述

分 7 节： - 10.1 结构与功能 (3小节)：心脏解剖 + 3 层结构 (endocardium, myocardium, epicardium + pericardium) + 心肌细胞生物学 + P-V 行为。 - 10.2 共性行为 (6小节)：材料对称性 (纤维螺旋排列) + 非均匀性 (跨壁纤维角度变化) + 不可压缩 + 残余应力 + 弹性非线性 + 典型变形。 - 10.3 本构框架 (4小节)：膜测试 + 乳头肌测试 + 完整心测试 + 双轴测试 (Humphrey-Yin 1988)。 - 10.4 本构关系 (3小节)：被动心肌 (Humphrey 1990) + 主动心肌 (Guccione-McCulloch-Waldman 1993) + 完整本构 (Hunter-McCulloch 1997)。 - 10.5 应力分析 (4小节)：被动 + 主动 + 残余应力 + 应力跨壁分布。 - 10.6 习题 (15题)。 - 10.7 参考文献 (350+条)。

§3 核心方程与概念

3.1 心脏解剖 + 几何 (10.1)

(1) 4 腔心 + 4 瓣膜 + 4 主血管 - RA, LA, RV, LV; 三尖瓣, 二尖瓣, 肺动脉瓣, 主动脉瓣; vena cava, pulmonary vein, pulmonary artery, aorta. - LV 是主要工作腔 (体循环) → 壁最厚。

(2) 3 层心肌 + 心包 - Endocardium (内膜, ~100 μm)：内皮 + 胶原弹性蛋白。 - Myocardium (中膜, ~1 cm)：心肌细胞 + 大量 ECM。 - Epicardium (外膜, ~100 μm)：2D 胶原 + 弹性蛋白。 - Pericardium (心包)：更厚的胶原膜，含 ~25 mL 心包液。

(3) 椭球几何 (Fig. 10.3, Eq. 10.1—10.2) LV = 截顶椭球 (Streeter-Hanna 1973)： $\(x_1 = d\cosh\lambda\cdot\cos\mu, \quad x_2 = d\sinh\lambda\cdot\sin\mu\cdot\cos\theta, \quad x_3 = d\sinh\lambda\cdot\sin\mu\cdot\sin\theta\)$ - 截断因子 \(f_b = 0.5\) (赤道到顶点 / 赤道到基部)。 - 焦距 \(d = \sqrt{a^2 - b^2}\) ~ 37 mm (犬)。 - 壁厚/内径比 0.3-0.5 → 厚壁理论必需 (Taber 1991)。

(4) 心肌质量定律 (Eq. 10.3) \(M_H = 5.8 M^{0.98}\) (Stahl 1967 allometric scaling)。人和马心/体比高，兔和小鼠低。

3.2 共性行为 (10.2)

(5) 纤维排列：transmurally varying helix angle - 内膜：周向 (~ -60°) → 中膜：斜向 (~ 0°) → 外膜：纵向 (~ +60°)。 - 跨壁纤维螺旋角变化 ~120°，是心肌各向异性的核心特征 (Hunter 1997)。 - 局部纤维方向 (local coordinate \(\mathbf{M}\)) + 横向 \(\mathbf{N}\) → 正交各向异性 (transversely isotropic, Ch 3 Eq. 3.83)。

(6) 不均匀性 (跨壁) - 纤维角度跨壁变化 → 层合板本构 (laminated) 比单层均匀本构更准。 - 内膜下 vs 外膜下胶原密度差 ~ 2×。

(7) 不可压缩 - 心脏含 ~80% 水 → 不可压缩 (与血管同) → 公式同 Ch 3.74 (Lagrange 乘子 \(p\))。 - 主动收缩时体积变化 ~ 5-8% (心肌内血流挤出) → 有限可压缩才是生理现实的。

(8) 残余应力 - 心肌环切开后也"张开" (Omens-Fung 1987) → 有残余应力。 - 比血管小：opening angle ~ 5-20° (vs 主动脉 ~ 80°)。 - Bogen-McMahon 1979 首次定量。

(9) 非线性 + 各向异性 - 被动响应: J 形曲线 (与血管同)。 - 主动响应: Hill 型 force-length 关系。

3.3 本构框架 (10.3)

(10) 主动 vs 被动本构 - 被动: \(\mathbf{S} = 2\partial W^{passive}/\partial\mathbf{C} - p\mathbf{C}^{-1}\) (Ch 3.74 同)。 - 主动: \(W^{active}(\mathbf{C}, t, [Ca^{2+}])\) 加入 active stress 贡献。Hunter-McCulloch 等的"双势能"形式 (Guccione 1993)。

(11) 横观各向异性本构 (Eq. 10.64—10.97) Ch 3.83 不变量 + 纤维方向 \(\mathbf{M}\)： $\(W = W(I_C, II_C, III_C, IV_C, V_C)\)$ 心肌特定选择：\(W\) 在 \((I_C, II_C, III_C, IV_C)\) 上 (4-fiber family by Guccione-McCulloch-Waldman 1991, 1993)。

3.4 本构关系 (10.4)

(12) 被动心肌 (Humphrey-Yin 1988, 1990) - 双轴测试试件：心肌薄片 (1×1 cm) + 4 套独立 hook。 - 测 Piola 应力 \(P_{11}, P_{22}\) + 伸长 \(\lambda_1, \lambda_2\) → 拟合 Fung 指数型 (Ch 7 Eq. 7.4—7.7) 5-6 个参数。 - 犬 LV 中膜 (纤维方向)：\(c, c_1, ..., c_6\) 报道。

(13) 主动心肌 (Guccione-McCulloch-Waldman 1991, 1993) - 主动应力：\(T_0 \cdot f(\lambda_f) \cdot g(t) \cdot h([Ca^{2+}])\)。 - \(f(\lambda_f)\) = Hill 型力-长度关系。 - \(g(t)\) = 激活-时间函数 (双指数)。 - 整合到 \(W^{active}\)：当 \(f(\lambda_f) = 1, t = t_{peak}, h = h_{max}\) 时，\(T_{max} \sim 50-100\) kPa (犬心肌)。

(14) 完整本构 (Hunter-McCulloch 1997) "Hunter-McCulloch-Ter Keurs" 完整心肌本构：被动 + 主动 + 双势能 (Ch 3.74 框架)，含 4-fiber family + 跨壁变化。这是当代心肌本构的事实标准。

3.5 应力分析 (10.5)

(15) 平衡方程 - LV = 厚壁椭球 + 内压 \(P\)。 - 平衡 (Eq. 10.99—10.100 类似 Ch 4 厚壁管)： $\(\int \sigma_{\theta\theta}\, dA = P \cdot A_{lum}\)$ - 但几何更复杂 → 数值解 (FEM)。

(16) 跨壁应力分布 (Fig. 10.46) - 主动脉-like 厚壁：周向 \(\sigma_{\theta\theta}(R)\) 从内壁到外壁线性减小 ~2×。 - 含残余应力后更均匀 (Ch 7 同结论)。

(17) 等容主动收缩期 - LV 体积不变 → 从 \(P-V\) 环斜率 \(-dP/dt \cdot dV/dt\) 可求心室硬度 \(dP/dV\)。 - 正常心: \(dP/dV\) ~ 1-2 mmHg/mL (舒张) → 30-50 mmHg/mL (收缩)。

§4 关键算法或建模方法

  1. 心肌薄片双轴测试 (Humphrey-Yin 1988)：4-hook + 步进电机 → \(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \lambda_1, \lambda_2\) 同步测。
  2. 乳头肌测试 (10.3.2)：单轴 + 主动控制 → 测力-长度关系。
  3. Fung 指数型 + 纤维方向不变量 (Hunter 1997)：横观各向异性 \(W\) 的标准实现。
  4. Hill 型主动本构 (Guccione 1993)：\(T_a = T_0 f(\lambda_f) g(t) h([Ca^{2+}])\) → 4 个独立函数相乘。
  5. 完整 LV 椭球有限元 (Guccione-McCulloch 1993)：3D prolate spheroidal + 4-fiber family + 主动收缩 → 计算 \(P-V\) 环。
  6. 跨壁纤维螺旋角插值 (Hunter 1997)：\(\alpha(\zeta) = \alpha_0 + \alpha_1 \zeta\) (线性跨壁) 或更高阶。
  7. P-V 环反演 (10.5.4)：测得的 P-V 环 → 反推 \(W^{passive}\) + \(T_{max}\)。

§5 关键结论

  1. 心肌结构 = 跨壁纤维螺旋 + 3 层胶原膜：纤维角度跨壁变化 ~120° → 横观各向异性 + 跨壁非均匀 = 心肌本构的两大特征。
  2. LV 椭球几何 (Eq. 10.1)：prolate spheroidal 坐标是描述 LV 的标准工具。
  3. 被动本构 (Humphrey 1990) + 主动本构 (Guccione 1993) = Hunter-McCulloch 1997 完整本构：Ch 3.74 + 主动应力 = 当代心肌本构事实标准。
  4. 不可压缩 + 残余应力：与血管相同的物理基础，但心脏有"主动"维度 → 比血管更复杂。
  5. 主动收缩应力 50-100 kPa (犬)：是 P-V 环上"收缩期"的主要贡献。
  6. 跨壁应力分布 (Fig. 10.46)：内壁高 → 外壁低 (与血管同)，含残余应力后均匀化。
  7. 本构拟合数据：4-fiber family + Hunter 1997 本构，8-12 个材料参数。与血管本构同量级，但主动参数额外多 4-6 个。
  8. Ch 10 是 Ch 7 的"几何 + 物理 + 主动"扩展：血管本构 + 主动应力 = 心肌本构。

§6 挑战和开放性问题

  1. 跨壁纤维角度测量的不确定性：MRI diffusion tensor (DTI) 测心肌纤维角度精度有限 → 实际 4-fiber family 拟合数据"溢出"。
  2. 主动应力的"钙瞬变"耦合：\(h([Ca^{2+}])\) 的时间常数 → 需电生理学耦合 (Hodgkin-Huxley 等)，Ch 10 简化为激活时间函数 \(g(t)\)。
  3. 心肌的有限可压缩性 (5-8% 体积变化)：Ch 10 用"不可压缩"近似 → Ch 11 末段提到"应考虑"。
  4. 灌注对心肌的影响：冠脉血流 → 内皮 → NO → 心肌松弛 (coronary flow vasodilation) — Ch 10 简短讨论，Ch 11 末段展开。
  5. 心肌 G&R 框架：Ch 9 的 Rachev 模型应用于"主动脉 G&R"——心肌 G&R 仍未完整建立。Humphrey 自己 2007+ 的工作 (Taber-Humphrey 2007 cardiac G&R) 是这个方向的代表。
  6. 本构-电生理耦合：Humphrey 2002 年没有把"电-力耦合"作为主线 (Ch 11 末段讨论为"未来方向")，2026 年已成熟 (Sachse 2000+ comprehensive framework)。
  7. 临床验证：Hunter 1997 本构在"正常犬心肌"已验证，在人心肌 + 病理 (如心肌梗死、心衰、心肌病) 的临床应用仍待发展。
  8. P-V 环反演的"不唯一性"：同样 P-V 环可由不同 \(W\) 给出 → Ch 4.1.5 的"反演测试"在 Ch 10 同样必要。

§7 个人反思与批判性分析

Humphrey的 Ch 10 是把 Ch 7 静态血管力学升级到"主动器官"的关键。它引入了"主动应力"维度——这是血管本构没有的、本构方程必须额外处理的"时间 + 钙瞬变"耦合。

最深刻的洞察： - 纤维跨壁变化 (transmural fiber angle variation) 是心肌"高效泵血"的几何基础：内壁周向收缩、外壁纵向稳定 → 类似各向异性"螺旋桨"的几何效率。 - Hunter 1997 完整本构：被动 + 主动 + 横观各向异性的"统一方程组"是 Ch 3.74 + Ch 9.1.2 运动学生长分解的结合——但 Ch 10 不含生长项，Ch 11 末段才提"未来方向"。 - Bogen-McMahon 1979 的 Ogden 心肌本构 (Ch 4.1.3 Eq. 4.10) 是 Ch 10 跨学科连接的关键。

值得自己复现的推导/计算： - Fung 指数型 + 横观各向异性 (10.4 Eq. 10.64—10.97)：不变量推导 + 参数拟合 (4-fiber family)。 - P-V 环 (Eq. 10.5)：从 \(P\) 积分 \(\int P dV\) = 每搏功。 - Guccione 1993 主动应力 (Eq. 10.95—10.97)：Hill 型 \(f(\lambda_f) g(t) h([Ca^{2+}])\) 4 个独立函数。

与作者的潜在对话： - 10.2.3 (无可压缩假设)末段承认"主动收缩时心肌可压缩 5-8%"——2026 年有没有完整的可压缩心肌本构 (如 Blatz-Ko + active term)？ - 10.3.4 (双轴测试) 报告"心内膜 vs 心外膜"本构不同 (Humphrey 1990)——这与"跨壁纤维角度变化"的相对贡献是 50:50 还是 80:20？这影响建模是"4-fiber family"还是"分层板"。 - 10.4.4 末段(主动应力)提到 \(T_{max}\) ~ 50-100 kPa——人心肌 vs 犬心肌的 \(T_{max}\) 比 是 ~ 1.5-2× 吗？这影响"犬本构 → 临床应用"的可移植性。 - 10.7 应力分析 (Eq. 10.99) 给跨壁平衡——含主动应力的"等容收缩"期有特殊处理 (Eq. 10.100) → 读者面临"主动期 vs 被动期"的方程切换；Ch 10 应给一两个具体例子说明切换时。

总结性批评： - 10.2.3 (不可压缩) 末段承认 5-8% 体积变化但没用 Blatz-Ko 等可压缩本构 → Ch 10 隐含"不可压缩"假设是局限。 - 10.3.4 双轴测试只给纤维/跨纤维两个方向的数据，未给"斜角" (45° off-axis) 的数据 → 拟合 \(W(I_C, II_C, IV_C)\) 时，斜角独立数据是"区分各向同性 vs 各向异性"的关键。 - 10.4.4 主动应力 (Guccione 1993) 是经验公式，与 \(\lambda_f, t, [Ca^{2+}]\) 的乘法分解没有电生理学基础——Humphrey 2002 年选择"经验式"是务实，但 2026 年应给"基于 \(\lambda_f, t\) 的 ODE 系统" (Niederer-Hunter 2006 model 是这一方向)。 - 10.5 应力分析 (Eq. 10.99—10.105) 只 ~3 页——这个问题的"完整 FEM 实现"应是 50+ 页，Ch 10 留给读者。 - 10.6 习题 15题多数是理论推演，缺少"用 P-V 环反演 \(T_{max}\) + 拟合 \(W^{passive}\)"的实战练习。 - Ch 10 与 Ch 11 末段"未来方向"脱节：Ch 10.5 没明确"跨壁纤维角度 + 主动 + 生长 + 灌注"是 4 个待解问题——Ch 11 末段才提，但没有具体研究计划。

§8 重要参考文献

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