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第三章 连续介质力学 (Continuum Mechanics)

§1 作者

本章是Humphrey为非连续介质背景读者写的"速成"章。它不是完整教科书级的推导（请去读Spencer 1980、Ogden 1984或Holzapfel 2000），而是为Ch 4（有限弹性）+ Ch 7/10（具体血管/心脏应用）提供一套可直接调用的记号和方程。Humphrey在3.0节明确说"这里的表述主要追随Spencer (1980) 和 Malvern (1969)"。

§2 内容概述

本章分七节： - 3.1 运动学 (kinematics)：参考构形 \(\kappa_0\) ↔ 当前构形 \(\kappa_t\) 的映射、变形梯度 \(\mathbf{F}\)、右/左Cauchy-Green张量 \(\mathbf{C, B}\)、Green/Almansi应变 \(\mathbf{E, e}\)、线性化应变 \(\varepsilon\)、极分解定理、Nanson关系、速度梯度 \(\mathbf{L} = \mathbf{D} + \mathbf{W}\)。 - 3.2 力、牵引、应力：Cauchy应力 \(\mathbf{t}\)、第一/第二Piola-Kirchhoff应力 \(\mathbf{P, S}\)，四者的相互关系。 - 3.3 基本公理 (5条)：质量、线动量、角动量、能量守恒、熵不等式 (Clausius-Duhem)。 - 3.4 本构建模 (5步DEICE法)：Delineate→Establish→Identify→Calculate→Evaluate。各向同性/横观各向同性/正交各向异性的不变量约化、不可压缩约束的Lagrange乘子法、Ch 4将用到的neo-Hookean初型。 - 3.5 边界/初值条件：Dirichlet (位移) + von Neumann (牵引)。 - 3.6 习题 (18题)：从极分解具体计算到Navier-Stokes推导。 - 3.7 参考文献 (15条)。

§3 核心方程与概念

3.1 运动学 (Eq. 3.1—3.33)

(1) 变形映射与变形梯度 (Eq. 3.1—3.3) $\(\mathbf{x} = \mathbf{x}(\mathbf{X}, t), \quad \mathbf{u}(\mathbf{X}, t) = \mathbf{x} - \mathbf{X}, \quad d\mathbf{x} = \mathbf{F}\cdot d\mathbf{X}, \quad \mathbf{F} = \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial \mathbf{X}}\)$ 意义：\(\mathbf{F}\) 是有限变形力学的基础"两-点张量"，所有应变/应力都从它派生。Cartesian分量下 \(F_{Ai} = \partial x_i/\partial X_A\)。

(2) 极分解定理 (Eq. 3.5—3.6) $\(\mathbf{F} = \mathbf{R}\cdot\mathbf{U} = \mathbf{V}\cdot\mathbf{R}\)$ 其中 \(\mathbf{R} \in \text{Orth}^+\) 是旋转（det=+1），\(\mathbf{U, V} \in \text{Psym}\) 是右/左伸长张量。\(\mathbf{U}\) 的主值就是主伸长比 \(\lambda_I\)。意义：把"刚体旋转"和"纯变形"解耦——本构只能依赖纯变形部分，旋转无影响。

(3) 右/左Cauchy-Green张量 (Eq. 3.7—3.10) $\(\mathbf{C} = \mathbf{F}^T\cdot\mathbf{F} = \mathbf{U}^2, \quad \mathbf{B} = \mathbf{F}\cdot\mathbf{F}^T = \mathbf{V}^2\)$ 意义：\(\mathbf{C}\) 定义在参考构形、\(\mathbf{B}\) 在当前构形，二者主值相同（都是 \(\lambda_I^2\)），都与刚体转动无关。Ch 4本构函数 \(W = W(\mathbf{C})\) 的基础。

(4) Green / Almansi / 线性化应变 (Eq. 3.11, 3.14—3.17) $\(\mathbf{E} = \tfrac{1}{2}(\mathbf{C} - \mathbf{I}), \quad \mathbf{e} = \tfrac{1}{2}(\mathbf{I} - \mathbf{B}^{-1}), \quad \varepsilon = \tfrac{1}{2}(\mathbf{H} + \mathbf{H}^T)\)$ 其中 \(\mathbf{H} = \nabla_{\mathbf{X}} \mathbf{u}\)，\(\mathbf{h} = \nabla_{\mathbf{x}} \mathbf{u}\)。关键警告：\(\varepsilon\) 含刚体信息，只有 \(|\nabla\mathbf{u}| \ll 1\) 时才正确；血管/心脏中几乎总是错的。

(5) 伸长比与角度变化 (Eq. 3.18—3.20) $\(\lambda^2 = \frac{ds^2}{dS^2} = \mathbf{M}\cdot\mathbf{C}\cdot\mathbf{M}, \quad \cos\varepsilon = \frac{\mathbf{M}^{(1)}\cdot\mathbf{C}\cdot\mathbf{M}^{(2)}}{\lambda^{(1)} \lambda^{(2)}}\)$ 意义：Ch 5 实验力学中"从图像测 \(\lambda\) 和 \(\varepsilon\)"的公式基础。

(6) Nanson关系 (Eq. 3.24) $\(\mathbf{n}\, da = J \mathbf{F}^{-T}\cdot\mathbf{N}\, dA\)$ 意义：连接参考面积 \(dA\) 和当前面积 \(da\) 的"几何Cauchy公式"，是 Ch 3.2 节四种应力定义间转换的几何基础。

(7) 速度梯度分解 (Eq. 3.28—3.29) $\(\mathbf{L} = \nabla_{\mathbf{x}} \mathbf{v} = \mathbf{D} + \mathbf{W}, \quad D_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial v_i/\partial x_j + \partial v_j/\partial x_i)\)$ 意义：\(\mathbf{D}\) 是应变率（sym），\(\mathbf{W}\) 是旋率（skew）。Ch 9 血管重塑的"卸载后残余变形"分析需要 \(\mathbf{D}\)。

(8) \(dJ/dt = J\text{tr}\mathbf{L}\) (Eq. 3.33) 意义：控制体积变化的ODE，后面质量守恒+不可压缩约束反复使用。

3.2 应力 (Eq. 3.34—3.43)

(9) Cauchy应力的定义 (Eq. 3.35) $\(\mathbf{t}^{(n)} = \mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\sigma}, \quad \sigma_{ij}\mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j\)$ 性质：定义在 \(\kappa_t\) 的"真应力"（true stress），对称 (\(\sigma = \sigma^T\)，由角动量守恒给出）。

(10) 第一/第二Piola-Kirchhoff应力 (Eq. 3.36, 3.38) $\(\mathbf{P}: \mathbf{T}^{(N)} = \mathbf{N}\cdot\mathbf{P}, \quad \mathbf{S}: \mathbf{T}^{(N)} = \mathbf{N}\cdot\mathbf{S}\)$ 对比：\(\mathbf{P}\) 方便实验（用参考面积）但非对称、二点张量；\(\mathbf{S}\) 对称、一点张量、定义在 \(\kappa_0\)、本构建模的首选变量。Cauchy 不可测、不可直接定义；\(\mathbf{P}\) 不可测但力/参考面积可测；\(\mathbf{S}\) 物理意义模糊但形式最简。

(11) 应力间关系 (Eq. 3.41—3.43) $\(\boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\mathbf{F}\cdot\mathbf{P} = \frac{1}{J}\mathbf{F}\cdot\mathbf{S}\cdot\mathbf{F}^T, \quad \mathbf{P} = \mathbf{F}\cdot\mathbf{S}, \quad \mathbf{P}\mathbf{F}^T = \mathbf{F}\mathbf{P}^T\)$ 意义：知道任一应力 + 变形场，可算出其余三种。

(12) 偏应力 (deviatoric stress, 3.43附近) $\(\text{dev}\,\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma} - \tfrac{1}{3}(\text{tr}\,\boldsymbol{\sigma})\mathbf{I}\)$ 意义：不可压缩情形下，\(\text{tr}\,\boldsymbol{\sigma}\) 全部由 Lagrange乘子决定，dev 部分才是"本构决定的"。

3.3 基本公理 (Eq. 3.44—3.59)

(13) 质量守恒 (Eq. 3.46) $\(J\rho = \rho_0 \quad \Leftrightarrow \quad \rho J = \rho_0\)$ 意义：所有不可压缩假设（\(J=1\), \(\rho=\rho_0\)）的来源。

(14) 线动量方程 (Eq. 3.51, 3.54) - 空间形式：\(\rho\mathbf{a} = \nabla\cdot\boldsymbol{\sigma} + \rho\mathbf{b}\) - 参考形式：\(\rho_0\mathbf{a} = \nabla_0\cdot\mathbf{P} + \rho_0\mathbf{b}\) 意义：血管/心脏固体力学的两个等价格式——空间形式直观但参考形式更易解（边界在 \(\kappa_0\) 上不随时间变）。

(15) 角动量 (Eq. 3.56, 3.41) $\(\mathbf{F}\cdot\mathbf{P} = \mathbf{P}^T\cdot\mathbf{F}^T \quad \Leftrightarrow \quad \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \quad \mathbf{S} = \mathbf{S}^T\)$ 意义：本构的"对称约束"。它对本构的限制远比对平衡的限制重要——它强制 \(\mathbf{S, \sigma}\) 对称。

(16) Clausius-Duhem不等式 (Eq. 3.58—3.59) $\(-\rho_0\left(\dot{\psi} + \eta\dot{T}\right) + \mathbf{P}^T:\dot{\mathbf{F}} - \frac{1}{T}\mathbf{q}_0\cdot\nabla_0 T \geq 0\)$ 等温 + 无热流时简化为： $\(-\rho_0\dot{\psi} + \mathbf{P}^T:\dot{\mathbf{F}} \geq 0\)$ 意义：Clausius-Duhem是本构存在性的根本约束。Humphrey下面用它导出 \(\mathbf{P}^T = \rho_0 \partial\psi/\partial\mathbf{F}\)——这是超弹性的全部。

(17) 第二定律导出的本构关系 (Eq. 3.63) $\(\mathbf{P}^T = \rho_0\frac{\partial \psi}{\partial \mathbf{F}} \quad \text{(等温超弹, 无约束)}\)$ 由 \(\mathbf{C} = \mathbf{F}^T\cdot\mathbf{F}\) 与链式法则： $\(\mathbf{S} = 2\frac{\partial W}{\partial \mathbf{C}}, \quad \boldsymbol{\sigma} = \frac{2}{J}\mathbf{F}\cdot\frac{\partial W}{\partial \mathbf{C}}\cdot\mathbf{F}^T\)$ 意义：超弹性的全部信息 = 1个标量函数 \(W(\mathbf{C})\)。Fung学派的核心信条。

(18) 不可压缩 (Eq. 3.74) 引入 Lagrange乘子 \(p\)（位置/时间函数）： $\(\mathbf{S} = -p\mathbf{C}^{-1} + 2\frac{\partial W}{\partial \mathbf{C}}, \quad \boldsymbol{\sigma} = -p\mathbf{I} + \frac{2}{J}\mathbf{F}\cdot\frac{\partial W}{\partial \mathbf{C}}\cdot\mathbf{F}^T\)$ 关键提示：Humphrey反复强调 \(p\) 只是Lagrange乘子，不是静水压。只有当 \(\text{tr}\,\boldsymbol{\sigma}_e = 0\)（超弹本构常满足）时，\(p\) 才等于静水压 \(-\tfrac{1}{3}\text{tr}\,\boldsymbol{\sigma}\)。Ch 7 血管残余应力分析中这一区分至关重要。

(19) 不可压缩主方向差 (Eq. 3.79—3.80, Patel-Vaishnav) $\(\lambda_I\frac{\partial W}{\partial E_I} - \lambda_{III}\frac{\partial W}{\partial E_{III}} = S_I - \lambda_I^2 S_{III}, \quad t_I - t_{III} = \lambda_I^2 \frac{\partial W}{\partial E_I}\)$ 意义：血管实验中只能测到主应力差（\(t_I - t_{III}\) 等），所以这个公式把"差"和"本构导数"直接挂钩——Ch 4 给出 \(\partial W/\partial E_I\) 的实验提取方法。

3.4 材料对称性 (Eq. 3.81—3.84)

(20) 各向同性 (Eq. 3.81—3.82) $\(W = W(I_C, II_C, III_C), \quad I_C = \text{tr}\,\mathbf{C}, \quad II_C = \tfrac{1}{2}[(\text{tr}\,\mathbf{C})^2 - \text{tr}\,\mathbf{C}^2], \quad III_C = \det\mathbf{C}\)$ 不可压缩时 \(III_C = 1\)，简化为 \(W = W(I_C, II_C)\)。

(21) 横观各向同性 (Eq. 3.83—3.84, Spencer 1984) 参考方向 \(\mathbf{M}\) 满足 \(|\mathbf{M}|=1\)： $\(W = W(I_C, II_C, III_C, IV_C, V_C), \quad IV_C = \mathbf{M}\cdot\mathbf{C}\cdot\mathbf{M}, \quad V_C = \mathbf{M}\cdot\mathbf{C}^2\cdot\mathbf{M}\)$ 意义：血管、心肌、肌腱都是横观各向同性。Ch 7、10 的"纤维方向"本构从这里开始。

(22) 正交各向异性 (Eq. 3.83 + 2个) 再加第二、三参考方向 \(\mathbf{M}', \mathbf{M}''\) 提供的两个不变量，总共7个。Ch 10 心肌本构、Ch 8 动脉粥样硬化斑块本构都属此类。

3.5 DEICE本构建模法 (3.4节总)

(23) 五步法： - Delineate：观察共性行为（弹性/非弹性、各向同性/各向异性、均匀/非均匀、有限/线性、约束）。 - Establish：基于第二定律 + 局部作用 + 等存在 + 物质标架无关 + 角动量守恒建立理论框架 → 锁定不变量形式。 - Identify：选择具体函数形式（Fung 1967 指数型、Mooney-Rivlin、neo-Hookean、Ogden等）。 - Calculate：参数估计 → Marquardt-Levenberg 非线性最小二乘。 - Evaluate：在新边界值问题上验证预测能力（不只是描述）。

§4 关键算法或建模方法

本章是理论章，没有数值算法，但给出了Ch 4—6的算法骨架：

  1. 伸长比→主不变量映射 (Eq. 3.19, 3.75)：在主方向上 \(\lambda_I^2 = 1+2E_I\)，\(E_I\) 与 \(W\) 偏导直接挂钩——Ch 4 Rivlin-Saunders 法的入口。

  2. \(\mathbf{F} \to \mathbf{U, V} \to \mathbf{C, B}\) 计算链 (Eq. 3.5—3.10)：Ch 6 有限元中"每个 Gauss点存储 \(\mathbf{C}\) 算 \(\mathbf{S}\)"的标准流程。

  3. Clausius-Duhem → 本构存在性证明 (Eq. 3.59—3.67)：这本身是理论证明，但Ch 4的每一条本构都可以追溯到这里的论证。

  4. Patel-Vaishnav 主应力差公式 (Eq. 3.79—3.80)：Ch 7 血管实验中唯一可实验验证的"理论-数据接口"。

  5. E-inequality 约束 (3.4.4节末段)：在 Marquardt-Levenberg 拟合中用理论不等式约束参数空间——Ch 5 实验方法会展开。

  6. Lagrange乘子的边界条件确定 (3.4.2节末段)"水压例"：一个不可压缩的立方体在静水压 \(P\) 下无变形（\(\mathbf{F}=\mathbf{I}\)），但仍受应力 \(\boldsymbol{\sigma} = -P\mathbf{I}\)——这只能由 \(p=P\) 提供。这是用边界条件确定 \(p\)的标准范式，Ch 7 血管残余应力 \(\sigma_r\) 求解完全类似。

§5 关键结论

  1. 有限变形 = 非线性 + 几何——不能用小应变线性化的"几何线性+物理非线性"近似来描述血管/心脏。
  2. Cauchy 应力是真应力（\(\kappa_t\) 中定义），第二P-K应力是本构首选（\(\kappa_0\) 中定义、对称）。
  3. 本构函数只需 \(W = W(\mathbf{C})\) 1个标量——第二定律推导出 \(\mathbf{S} = 2\partial W/\partial\mathbf{C}\)。这是把"9个本构分量"压成"1个标量"的关键trick。
  4. 不可压缩 = 1个Lagrange乘子 \(p\)——\(p\) 由边界条件/平衡确定，不是材料参数。
  5. 材料对称性 → 不变量约化：各向同性 (\(W = W(I_C, II_C)\)), 横观各向同性 (\(W(I_C, II_C, III_C, IV_C, V_C)\)), 正交各向异性 (7个不变量)。
  6. 本构建模 = DEICE 五步法——观察共性 → 理论框架 → 选函数 → 拟合参数 → 验证预测。Ch 7、10的血管/心脏本构都按这个流程。
  7. 动量方程的两个等价格式——空间形式 (\(\rho\mathbf{a} = \nabla\cdot\boldsymbol{\sigma} + \rho\mathbf{b}\)) 直观；参考形式 (\(\rho_0\mathbf{a} = \nabla_0\cdot\mathbf{P} + \rho_0\mathbf{b}\)) 边界不随时间变、便于有限元实现。
  8. 多体/电-机-热耦合——Humphrey在3.4节末段点到了，但强调本书范围仅限等温、固体、非线性弹性。这是Ch 11 未来方向的伏笔。

§6 挑战和开放性问题

  1. 小应变线性化的局限：Eq. 3.17的刚体信息，血管 \(\varepsilon\) 含~30%应变下完全失效。读者若用"工程应力 = F/A_0，应变 = Δl/l_0"作分析，会和Ch 4的 \(W(\mathbf{C})\) 框架不一致。
  2. 物质标架无关性的细节放到了App III：这是本构的基石原则之一，但本章3.4.2只点了一下。如果读者跳过App III，Ch 4 推导"为什么 \(W\) 只能依赖 \(\mathbf{C}\)、不能依赖 \(\mathbf{F}\)"会缺一环。
  3. Cauchy应力在实验上不能直接测量（\(\kappa_t\) 的面积未知），所以"用Cauchy应力做实验数据回归"是错的——Humphrey 1.4节提醒过，3.2节再次强调。
  4. 本构唯一性：除 Hooke 律外，非线性本构都没有"唯一正确"形式（Fung 1967 指数型、Mooney-Rivlin、neo-Hookean、Ogden、Humphrey 2002 4-fiber-family 等都是候选）。DEICE法强调"在适用条件下预测能力"，不是"哪条形式更真"。
  5. "唯一正确"的本构不存在的哲学后果：对比Ch 1 Fung 1967 指数型 vs Ogden 1984 的多项式 vs Holzapfel 2000 的微观-宏观桥接——Humphrey在Ch 4/7会详细对比这些。读者应保持"开放、验证驱动"的态度，不要把任何本构当"圣杯"。
  6. 耦合物理的省略：Humphrey在3.3节末段承认本书不考虑电-机械（心肌电-力耦合）、热-机械（PTCA/激光）、流-固耦合（血液-血管壁）、多孔弹性（perfusion）——这些都是Ch 11 末段会再次强调的"未来方向"。

§7 个人反思与批判性分析

Humphrey的连续介质力学教学有几个值得借鉴的特点：

  • DEICE 五步法——比Malvern/Spencer的纯理论叙述更"工程化"，是给生物医学背景读者的trick。
  • "不可压缩 + Lagrange 乘子"的清晰区分——Humphrey反复强调"不要把 \(p\) 当静水压"，是因为90年代血管文献里大量把 \(p\) 误为平均应力。这种"概念去歧"是教学价值的核心。
  • 公式-物理解释并行——每个公式后面都跟一句"这个量在实验上能不能测"。

值得自己复现的推导： - 极分解的存在性 (3.5)：可用 \(\mathbf{C} = \mathbf{F}^T \mathbf{F}\) 的谱分解构造 \(\mathbf{U} = \sqrt{\mathbf{C}}\)，\(\mathbf{R} = \mathbf{F}\mathbf{U}^{-1}\)。 - 第二定律 → \(\mathbf{P}^T = \rho_0 \partial\psi/\partial\mathbf{F}\) (3.61—3.63)：这是Ch 4本构建模的理论入口，复现时需特别小心"对任意 \(\dot{\mathbf{F}}\) 成立"的论证。 - Patel-Vaishnav (3.79—3.80)：从"不可压缩 → \(d(\det\mathbf{C})/dt = 0\)"出发，复现主应力差公式。 - 习题 8 (Navier-Stokes)：用 \(t = -p\mathbf{I} + 2\mu\mathbf{D}\) 代入Eq. 3.51，证 \(\rho\mathbf{a} = \rho\mathbf{b} - \nabla p + \mu\nabla^2\mathbf{v}\)——这是流体力学最常用的方程。 - 习题 14 (3个状态变量 → 4个本构函数被限制)：Clausius-Duhem 把"\(\psi\) 可以是 \(\mathbf{F, T, \nabla T}\) 的函数"压成"\(\psi\) 只能是 \(\mathbf{F, T}\) 的函数"。这种"假设缩减"是第二定律的"算力"。

与作者的潜在对话： - 3.1节末段 \(\text{tr}\mathbf{L} = \nabla\cdot\mathbf{v}\) 在曲线坐标下需特殊处理——\(\text{tr}\) 在斜交基下不是简单求和，您希望读者用物理分量还是用 \(e^{\langle i \rangle}\)？Ch 7 圆柱坐标会再次出现。 - 3.4节把"5条公理"和"4条本构原则"（determinism, local action, equipresence, material frame indifference）分开列——但后4条不是公理，而是对公理的推论或假设。把它们称作"principles"是否更准确？ - 3.4.4节 \(E\)-inequality 的具体例子（"\(A_1 > A_2 \Rightarrow t_{11}(\lambda_1, \lambda_2) > t_{22}(\lambda_1, \lambda_2)\)"）——这其实是 \(\partial W/\partial E_1 > 0, \partial W/\partial E_2 > 0\) 的同义反复。是否漏了"应力单调 ⇒ 应变能凸"这一深层判据？

总结性批评： - 3.4节 5步法虽然漂亮，但缺少"如何选择假设的具体函数"的判据。读者面临"neo-Hookean vs Mooney-Rivlin vs Fung 1967"的实际选择时，DEICE法没有给出奥卡姆剃刀式指导——Ch 4会补，但本章应该至少点一下。 - 3.3节"角动量守恒"在本章地位过低——Eq. 3.56—3.41的推导用了"用置换符号"一笔带过，读者如果忘了Ch 2的 \(\epsilon_{ijk}\)，会卡在这里。应给出一两个Cartesian分量的完整示例。 - 3.5节"边界/初值条件"只提了 Dirichlet + von Neumann，未提"混合边界条件" (Robin: \(\alpha u + \beta T^{(n)} = 0\))、"接触边界条件" (Signorini)、"周期性边界条件"——Ch 7、8 都会用到接触（动脉瘤与周围组织），建议给一个简表。 - 本章完全没有讲"测度论/广义函数"层级——但任何有限元都涉及 \(H^1, L^2\) 弱形式。读者在Ch 6 第一次遇到"弱形式 vs 强形式"时会突然冒出来。建议本章末尾前瞻性地指出"Ch 6 将把本方程组转为弱形式"。

§8 重要参考文献

  • [X1] Spencer AJM (1980) Continuum Mechanics. Longman. — 本章主要追随的体系，工程向的"标准教材"。
  • [X2] Malvern LE (1969) Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium. Prentice-Hall. — 工科连续介质经典，Cauchy 应力定义来源。
  • [X3] Truesdell C, Noll W (1965) The Non-Linear Field Theories of Mechanics. Handbuch der Physik III/3, Springer. — 现代非线性连续介质力学的"圣典"，本构公理化处理的源头。
  • [X4] Chadwick P (1976) Continuum Mechanics: Concise Theory and Problems. Wiley. — 习题式教学参考。
  • [X5] Bowen RM (1989) Introduction to Continuum Mechanics for Engineers. Plenum. — 工程向的"快速入门"，与Humphrey的口味一致。
  • [X6] Ogden RW (1984) Non-Linear Elastic Deformations. Wiley. — 非线性有限弹性的"圣典"，Ch 4、7会反复引用其本构形式。
  • [X7] Fung YC (1993) Biomechanics: Mechanical Properties of Living Tissues. Springer. — 应力转换公式的来源，本书与其有大量重合。
  • [X8] Rivlin RS, Saunders DW (1951) Large elastic deformations of isotropic materials. VII. Experiments on the deformation of rubber. Philos Trans R Soc Lond A243:251-288. — 橡胶大变形实验 + 本构提取方法的源头（Ch 4会重提）。
  • [X9] Spencer AJM (1984) Continuum Theory of the Mechanics of Fibre Reinforced Composites. CISM 282, Springer. — 横观各向同性/正交各向异性本构不变量的来源。
  • [X10] Patel DJ, Vaishnav RN (1980) Basic Hemodynamics and its Role in Disease Processes. University Park Press. — 血管力学中主应力差公式的经典应用。
  • [X11] Humphrey JD (1995) Arterial wall mechanics: review and directions. Crit Rev Biomed Eng 23:1-162. — Humphrey自己关于血管力学综述的代表作，Ch 7的背景。
  • [X12] Humphrey JD, Yin FCP (1986) Fiber-induced material behavior in composites. Mech Res Comm 13:277-283. — 3.4.1节"双轴测试的图示刚度"的引用。
  • [X13] Rajagopal KR, Tao L (1995) Mechanics of Mixtures. World Scientific. — 多孔/多相介质理论参考，3.4.1节末注。
  • [X14] Chen SS, Wright NT, Humphrey JD (1998) Heat-induced changes in the mechanics of a collagenous tissue. ASME J Biomech Eng 120:382-388. — 3.3节末注"热-机耦合"的应用。
  • [X15] Love AEH (1944) The Mathematical Theory of Elasticity. Dover. — 经典小应变弹性史 + Green 1839 工作的来源 (3.4.1节注10)。