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第二章 数学预备 (Mathematical Preliminaries)

§1 作者

本章无单独作者署名为本章服务。它是Humphrey为非力学/数学双背景读者写的"工具章"，目标读者是已修过工科向量分析、但对"协调基/逆基、协变/逆变、主不变量、Cayley-Hamilton、协变导数"接触不多的研究生。Humphrey在前言中明确说"这一章可作为后续章节的参考，需要时回来查"。

§2 内容概述

本章为后续Ch 3—6的连续介质力学、有限弹性、有限元提供统一的符号系统。分五节： - 2.1 直接张量记号 (direct notation)：向量、张量、点积/叉积/张量积、转置、迹、行列式、逆、正交张量。 - 2.2 Cartesian分量：正交基、置换符号、Einstein求和约定、Kronecker δ、del算子、坐标变换、主值与谱分解、特征方程。 - 2.3 张量微积分进阶：Cayley-Hamilton定理（张量满足自身的特征方程）、主不变量对张量的导数、发散定理。 - 2.4 正交曲线坐标系：自然基与对偶基、协变/逆变/混变分量、度量、降升指标、Christoffel符号、协变导数。 - 2.5 矩阵方法：矩阵加法/乘法/转置/行列式/逆，及其与张量运算的对应。

Humphrey特别强调2.1—2.3是必读，2.4可跳过不损失连续性（Ch 4、7、10的曲线坐标计算都使用"物理分量"避免直接面对协变/逆变），2.5是Ch 6有限元的前奏。

§3 核心方程与概念

3.1 直接张量记号 (Eq. 2.1—2.40)

(1) 三种向量/张量运算 (Eq. 2.1—2.3) $\(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = a = |\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos\theta, \quad \mathbf{u}\times\mathbf{v} = \mathbf{w} = |\mathbf{u}||\mathbf{v}|\sin\theta\, \mathbf{e}, \quad \mathbf{u}\otimes\mathbf{v} = \mathbf{T}\)$ 意义：把叉积（向量）、点积（标量）、并矢（张量）统一为"两向量"操作；并矢的定义 \(\mathbf{T}\cdot\mathbf{v} = \mathbf{u}(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})\) 是张量即"线性变换"的核心。

(2) 转置、迹、行列式性质 (Eq. 2.13—2.27) $\((\mathbf{u}\otimes\mathbf{v})^T = \mathbf{v}\otimes\mathbf{u}, \quad \text{tr}(\mathbf{u}\otimes\mathbf{v}) = \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}, \quad \det(\mathbf{S}\cdot\mathbf{T}) = \det(\mathbf{S})\det(\mathbf{T})\)$ 意义：张量分解为对称+反对称（\(\mathbf{T} = \mathbf{U} + \mathbf{W}\)）的本构基础；反对称张量必有 \(\text{tr}(\mathbf{W})=0, \det(\mathbf{W})=0\)。

(3) 正交张量 (Eq. 2.39—2.40) $\(\mathbf{Q}^{-1} = \mathbf{Q}^T, \quad \det(\mathbf{Q}) = \pm 1\)$ proper orthogonal (det=+1) = 旋转，improper = 含反射。本书主要用proper（刚体旋转）。

3.2 Cartesian分量 (Eq. 2.41—2.88)

(4) 正交基的内积 (Eq. 2.41) $\(\mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j = \delta_{ij}\)$ Einstein约定：重复指标自动求和；自由指标必须在每项都出现。

(5) 置换符号 \(\epsilon_{ijk}\)：偶置换+1、奇置换-1、含重复0，用于 \(\mathbf{e}_i \times \mathbf{e}_j = \epsilon_{ijk}\mathbf{e}_k\)。

(6) 谱分解 (Eq. 2.79—2.80) 对任意对称 \(\mathbf{S} \in \text{Sym}\)，存在主坐标系使 \(\mathbf{S} = \sum_{I=1}^{3} \mu_I \mathbf{e}_I \otimes \mathbf{e}_I\)（\(\mu_I\) 主值，\(\mathbf{e}_I\) 主方向）。意义：所有"材料对称性"分析（如各向同性、横观各向同性、正交各向异性）的出发点。

(7) 特征方程 (Eq. 2.84) $\(-\mu^3 + I_S \mu^2 - II_S \mu + III_S = 0\)$ 其中主不变量： $\(I_S = \text{tr}\mathbf{S}, \quad II_S = \frac{1}{2}\left[(\text{tr}\mathbf{S})^2 - \text{tr}\mathbf{S}^2\right], \quad III_S = \det\mathbf{S}\)$ 意义：用3个标量替代9个分量；本构函数 \(W(\mathbf{C})\) 通常写为 \(W(I_C, II_C, III_C)\)。

3.3 张量微积分 (Eq. 2.89—2.102)

(8) Cayley-Hamilton定理 (Eq. 2.89) $\(\mathbf{T}^3 - I_T \mathbf{T}^2 + II_T \mathbf{T} - III_T \mathbf{I} = \mathbf{0}\)$ 意义：任意 \(\mathbf{T}^3\) 可降为 \(\mathbf{T}^2, \mathbf{T}, \mathbf{I}\) 的线性组合；这对把高阶多项式降阶以匹配不变量展开至关重要。对 \(\det=1\)（不可压缩）情形，\(III_T=1\)，可进一步简化。

(9) 主不变量的导数 (Eq. 2.93—2.94) $\(\frac{\partial I_T}{\partial \mathbf{T}} = \mathbf{I}, \quad \frac{\partial II_T}{\partial \mathbf{T}} = I_T \mathbf{I} - \mathbf{T}^T, \quad \frac{\partial III_T}{\partial \mathbf{T}} = III_T (\mathbf{T}^{-1})^T\)$ 意义：把"对应变的导数"翻译为"对不变量的链式法则"——Ch 4 本构建模时反复用到。

(10) 发散定理 (Eq. 2.101) $\(\int_{\partial\Omega} \mathbf{n}\cdot\mathbf{T}\, da = \int_\Omega \nabla\cdot\mathbf{T}\, dv\)$ 意义：连续介质三大公理（质量、动量、能量守恒）的积分形式骨架；Ch 3会反复引用。

3.4 正交曲线坐标 (Eq. 2.103—2.139)

(11) 对偶基与Kronecker δ (Eq. 2.104—2.105) $\(\mathbf{g}^i \cdot \mathbf{g}_j = \delta^i_j, \quad \mathbf{g}^{ij} = \delta^i_j = \begin{cases} 1, & i=j \\ 0, & i \neq j \end{cases}\)$ "diagonal求和约定"：只有 \(u^i g_i\) 这种上-下配对才求和。

(12) 物理分量 (Eq. 2.128—2.129) $\(u^{\langle i \rangle} = g u^i, \quad T^{\langle ij \rangle} = \sqrt{g_{ii} g_{jj}}\, T^{ij} \quad (\text{no sum})\)$ 其中 \(g = |\mathbf{g}_i| = \sqrt{g_{ii}}\)。意义：Humphrey的血管/心脏有限元计算中始终使用物理分量（如圆柱坐标的 \(u_r, u_\theta, u_z\)），避免被协变/逆变记号绕晕。

(13) Christoffel符号 (Eq. 2.134—2.135) $\(\Gamma^k_{ij} = \frac{\partial z^k}{\partial X^m} \frac{\partial^2 X^m}{\partial z^i \partial z^j}, \quad \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial z^m} = v^i_{;m} \mathbf{g}_i, \quad v^i_{;m} = \frac{\partial v^i}{\partial z^m} + \Gamma^i_{jm} v^j\)$ 协变导数包含"基矢量随位置变化"的修正项 \(\Gamma v\)。Cartesian基为常数，故 \(\Gamma=0\)。

3.5 矩阵方法 (Eq. 2.140—2.152)

(14) 矩阵乘法 + indicial记号 (Eq. 2.145) $\(([A][B])_{ij} = A_{ik} B_{kj} \quad \Leftrightarrow \quad C_{ij} = A_{ik}B_{kj}\)$ 意义：Ch 6 有限元的"刚度矩阵组装"本质上就是这种"行×列"卷积。

§4 关键算法或建模方法

本章本身不构造数值算法，但给出了3个Ch 6会直接调用的矩阵trick：

  1. det=1时矩阵求逆简化 (Eq. 2.152 + 文字说明)：变形张量 \(F\) 在不可压缩约束下 \(\det F = 1\)，求逆公式中的 \(\det[T]\) 因子消失，节省计算。

  2. 方向余弦矩阵 (Eq. 2.74—2.78)：把向量/张量从一组正交基换到另一组的标准做法。Ch 7 血管"轴向/周向/径向"坐标系之间的转换公式就是这套。

  3. 谱分解求 \(\sqrt{\mathbf{S}}\) (Eq. 2.88)：对正定对称 \(\mathbf{S}\)，先求主值 \(\mu_I\)，\(\sqrt{\mathbf{S}} = \sum_I \sqrt{\mu_I}\, \mathbf{e}_I \otimes \mathbf{e}_I\)。Ch 4 求 \(\sqrt{\mathbf{C}}\)（Cauchy-Green张量的平方根）以及Ch 10求纤维方向 \(\mathbf{M} = \mathbf{a} \otimes \mathbf{a}\) 的特征方向都要用此法。

  4. Christoffel符号的"绕开"策略：Humphrey强调，多数实际边界值问题（如圆柱、球、扁球血管）只要坚持使用物理分量 \(u^{\langle i \rangle}\)，就不必显示处理 \(\Gamma\)。这是"工程简化" vs "几何严格"的折衷。

§5 关键结论

  1. 直接(direct)记号与分量记号是等价的——前者适合推导一般关系，后者适合解具体问题。Humphrey建议：用直接记号写公式，用Cartesian分量做推导，再把结果写回直接记号。这是Ch 3—10反复出现的工作流。
  2. 任意2阶张量有3个主不变量，是构造本构函数最自然的标量。Ch 4的各向同性超弹性 \(W = W(I_C, II_C, III_C)\) 即建立在此。
  3. Cayley-Hamilton定理把 \(T^n\) 降为 \(\{I, T, T^2\}\) 的线性组合——这意味着任何多项式本构都可重写为3项以内的形式，是Ch 4的neo-Hookean、Mooney-Rivlin、Ogden形式相互转换的代数基础。
  4. 不可压缩 \(\det\mathbf{F}=1\) 不仅是物理约束，也是数学简化（\(III_C=1\) → 本构函数 \(W = W(I_C, II_C)\) 少一个变量）。这是为什么血管/心肌本构几乎都是不可压缩形式。
  5. 协变/逆变/物理分量三层记号是曲线坐标系的"语言税"——Ch 4、7、10坚持用物理分量 \(u_r, u_\theta, u_z\) 等"直觉量"，让读者只关注物理。
  6. 张量微积分与矢量微积分同构——所有规则都通过基矢量的内积传递；Humphrey反复说"一旦理解 \(\mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j = \delta_{ij}\)，整个张量分析就解决了"。

§6 挑战和开放性问题

  1. 直接记号 vs 坐标分量的教学取舍：Humphrey选择"先直接记号、后Cartesian分量、再曲线坐标"的三段式，但这与大多数工科本科教学顺序相反（一般是先分量后抽象）。读者若不熟悉直接记号，前几节会非常缓慢。
  2. Christoffel符号和协变导数被弱化：本章承认"可以跳过2.4不损失连续性"，但Humphrey在Ch 7、10讨论"非正交纤维坐标系"时又不得不回到这套语言。第2.4节实际上是预留接口——读者若当时跳过，后面可能需要回补。
  3. 矩阵方法的有限元预备不足：2.5节只给了矩阵乘加、转置、行列式、逆四个操作，但没有给特征值分解的算法（如QR、Jacobi）、没有给稀疏矩阵存储、也没有给"对刚度矩阵组装"的最基础轮廓。这些都在Ch 6展开，但衔接略显突兀。
  4. 置换符号 \(\epsilon_{ijk}\) 的协变版本未给出：Cartesian下 \(\epsilon_{ijk}\) 是3阶张量，但曲线坐标下需用 \(\varepsilon_{ijk} = \sqrt{g}\, \epsilon_{ijk}\)（\(\sqrt{g}\) 为Jacobian），Humphrey把这部分留到Ch 7、App II。
  5. 指标位置约定 (covariant vs. contravariant) 在生物力学文献中并不统一：例如Holzapfel (2000) 用"位置代表物理意义"约定，Ogden (1984) 用"上下严格协变/逆变"约定。本书位置在前（上）= 逆变——这与土木/航空文献相反，读者读其他教材时要小心。
  6. 符号重载：\(T\) 同时表示"动能"（Ch 5）和"应力张量"（Ch 3），\(\mathbf{F}\) 既表示"变形梯度"（Ch 3）又表示"力"。本书的"上下文消歧"做得好但仍偶尔混淆。

§7 个人反思与批判性分析

Humphrey对记号系统的选择是工程化的：直接记号（推导）+ Cartesian分量（解小问题）+ 物理分量（曲线坐标问题）三层。这种"用得着的就讲、用不着的就跳"的策略在Ch 2的2.4节（可跳过）和Ch 4的2.5节（有限元预备）都得到了体现。代价是记号系统多到读者在Ch 6 之前很难一次全记住，收益是Ch 7 之后的"具体边界值问题"几乎不见"为什么用协变分量"这种绕弯子的讨论。

值得自己复现的推导： - 习题1：\(\text{tr}(ST) = \text{tr}(TS)\)、\(\text{tr}(\mathbf{S}\cdot\mathbf{T}) = \text{tr}(\mathbf{T}\cdot\mathbf{S})\)——这是后面Ch 3应力对称性证明的工具。 - 习题2：\(\mathbf{e}_i \times \mathbf{e}_j = \epsilon_{ijk}\mathbf{e}_k\)——是Ch 4叉积协变性证明的预备。 - 习题11：已知矩阵求主值 + 主方向 + \(\sqrt{\mathbf{T}}\)——这是Ch 4 求 \(\mathbf{U}, \mathbf{V}\) (右/左伸长张量) 的最简例子。 - 习题17：\(\mathbf{T}:\mathbf{T} > 0\) 除非 \(\mathbf{T} = \mathbf{0}\)——是Ch 4应变能正定性的依据。

与作者的潜在对话： - 2.4节协变导数被弱化，但Ch 4 推导 \(\dot{E}\) (Green应变率) 时会用到 \(\nabla\mathbf{v}\) 的分量形式——您希望读者先掌握协变导数还是临时在需要处补？这影响Ch 4 的可读性。 - 矩阵方法2.5节没有触及特征值的扰动理论，而Ch 6 在单元选择 (Q1 vs Q2) 时常依赖特征值敏感性。是否应在2.5加一小段？ - 您选择"\(\nabla = \mathbf{e}_i \partial/\partial x_i\)"的del算子定义，但其他教材常用 \(\nabla = \mathbf{e}^i \partial/\partial x^i\)——这两种定义在曲线坐标下差一个Jacobian \(\sqrt{g}\)。如果Ch 7、10要保持一致，需要明确告诉读者"本章定义 = 哪个版本"。

总结性批评： - 2.4节标题"可跳过"是过度承诺：Ch 4 §4.4 (membrane hyperelasticity) 涉及曲线坐标的Laplacian \(\nabla^2\)，Ch 7的柱坐标应力分析、Ch 10的心肌纤维坐标系都依赖2.4节。建议把"可跳过"改为"可快速扫过，2.4.3 的协变导数建议回看"。 - 2.5节缺"列主元 / LU分解"——这是任何线性代数课程必教，但Humphrey跳过了。Ch 6有限元隐式求解时这是核心。 - 本章是全书"最数学"的一章，但完全没有讲"如何用计算机代数系统（如 Mathematica/SymPy）验证"。给血管/心肌研究者补一节"用 SymPy 验证 Cayley-Hamilton"会是更现代的写法。

§8 重要参考文献

  • [X1] Bowen RM, Wang CC (1976) Introduction to Vectors and Tensors. Plenum. — 经典2卷本，物理/力学背景的tensor reference。
  • [X2] Simmonds JG (1982) A Brief on Tensor Analysis. Springer-Verlag. — 直接记号 + 物理分量思路的源头，Humphrey的记号体系与之高度一致。
  • [X3] Golub GH, van Loan CF (1983) Matrix Computations. Johns Hopkins. — 矩阵数值算法标准参考（Ch 6有限元求解器的预备）。
  • [X4] Gurtin ME (1981) An Introduction to Continuum Mechanics. Academic Press. — 连续介质力学的简明数学化处理（与Ch 3直接配套）。
  • [X5] Knowles JK (1998) Linear Vector Spaces and Cartesian Tensors. Oxford. — 严格的Cartesian张量推导参考。
  • [X6] Malvern LE (1969) Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium. Prentice-Hall. — 工科背景的连续介质经典教材。
  • [X7] Chadwick P (1976) Continuum Mechanics: Concise Theory and Problems. Wiley. — 习题式教学参考。
  • [X8] Antman SS (1995) Nonlinear Problems in Elasticity. Springer. — 非线性弹性数学理论的高级参考。
  • [X9] Sokolnikoff IS (1951) Tensor Analysis. Wiley. — 老式分量记号的经典（被Humphrey认为"不如直接记号自然"）。
  • [X10] Roy CS (1880) The elastic properties of the arterial wall. Philos Trans R Soc Lond 99:1-31. — 本章引言引文"Without mathematics, scarcely possible"。