Chapter 1: Fractional Wave Models and Their Experimental Applications

1. 作者

Boris A. Malomed，以色列特拉维夫大学（Tel Aviv University）电气工程学院物理电子学系教授。Email: malomed@tauex.tau.ac.il。本章由 Malomed 主笔，融合了他与合作者近 5 年在分数阶孤子、分数阶 Gross-Pitaevskii 方程、自旋-轨道耦合 BEC、双核耦合器等领域的工作（合作者包括 Sakaguchi、Strunin、Kumar、Li、Mihalache、Karimi 等）。其工作获 Israel Science Foundation grant No. 1695/22 资助。

2. 内容概述

本章是全书开篇，系统介绍分数阶介质中线性和非线性波传播的 1D/2D 模型。理论核心是 Riesz 分数阶导数（用 Fourier 空间中乘以 $|k|^\alpha$ 来定义）以及由此衍生的两类可实现模型：（i）基于 Lévy 飞行路径积分的 Laskin 分数阶量子力学；（ii）在 经典光学中通过 4f 谐振腔和相位掩模（phase mask）实现的"分数阶衍射"等效。围绕这两类模型，文章讨论了 1D 立方/二次非线性 FNLS 方程的孤子解、二次谐波产生系统、含自旋-轨道耦合（SOC）的分数阶 Gross-Pitaevskii 方程的半涡旋孤子（semi-vortex solitons）、双核波导耦合器的对称性自发破缺（SSB）。最后，介绍了 2023 年在光纤腔中实现分数阶群速度色散（GVD）的实验，这是分数阶波动介质的首次实验验证。

3. 核心方程与概念

3.1 引入分数阶导数的物理动机

Darrieus-Landau 不稳定性：平面燃烧前缘对 1D 扰动的不稳定性增长率满足 $$\gamma = C|k|$$ 为了在唯象模型中再现该色散关系，引入 $$\frac{\partial u}{\partial t} = C\sqrt{-\frac{\partial^2}{\partial x^2}}u$$ 其中 $\sqrt{-\partial^2/\partial x^2}$ 在 Fourier 空间产生 $|k|$ 因子。2D 类似地对应 Laplace 算子的分数阶形式 $(-\Delta)^{1/2}$。

黎曼-刘维尔（Riemann-Liouville）与 Caputo 分数阶导数：作者指出，物理模型中真正使用的不是 Riemann-Liouville（左右两套积分定义）也不是 Caputo 定义，而是更简洁的 Riesz 形式——直接在 Fourier 空间操作。这与早期数学家 Leibnitz (1695)、Abel (1823)、Liouville (1832) 提出的抽象定义有本质差异。关键引用：[X1] Malomed, Photonics 8, 353 (2021)；[X2] Uchaikin, Fractional Derivatives for Physicists and Engineers (Springer, 2013)。

3.2 Laskin 分数阶线性薛定谔方程

Lévy 飞行：经典粒子在 1D 做 Lévy 飞行时，平均距离 $$|x| \sim t^{1/\alpha}, \quad 0 < \alpha \le 2$$ $\alpha=2$ 对应通常的布朗运动，$\alpha<2$ 时为重尾分布（"超扩散"）。

Laskin 路径积分量子化：对 Lévy 飞行轨迹作 Feynman 路径积分，得到 1D 分数阶薛定谔（FS）方程 $$i\frac{\partial \psi}{\partial t} = \frac{1}{2}\left(-\frac{\partial^2}{\partial x^2}\right)^{\alpha/2}\psi + V(x)\psi$$ 其中 Riesz 分数阶导数通过 Fourier 正反变换定义为 $$\left(-\frac{\partial^2}{\partial x^2}\right)^{\alpha/2}\psi = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}dp\,|p|^\alpha \int_{-\infty}^{+\infty}d\xi\, e^{ip(x-\xi)}\psi(\xi)$$ 这一定义在 Fourier 空间等价为 $\hat\psi(p) \to |p|^\alpha \hat\psi(p)$。关键引用：[X3] Laskin, Phys. Lett. A 268, 298 (2000)；[X4] Laskin, Fractional Quantum Mechanics (World Scientific, 2018)。

2D 形式为 $$i\frac{\partial \psi}{\partial t} = \frac{1}{2}\left(-\frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)^{\alpha/2}\psi + V(x,y)\psi$$ 在 Fourier 空间 $(p,q)$ 中算子等价为 $(p^2+q^2)^{\alpha/2}$。

重要注记：作者明确指出，先做 Fourier 变量积分的半解析路线会得到发散积分（1D 时 $\int dp\,|p|^\alpha e^{ip(x-\xi)}$ 对所有 $\alpha>0$ 发散），所以必须采用数值法（先做 $\xi$ 积分）。这一观察对后续数值方法有重要指导意义。

3.3 分数阶 Gross-Pitaevskii 方程（FGP）

对于假想中由 Lévy 飞行玻色子组成的 BEC，构造分数阶 GP 方程（scaled 形式） $$i\frac{\partial \psi}{\partial t} = \frac{1}{2}\left(-\frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)^{\alpha/2}\psi + V(\mathbf{r})\psi + \sigma|\psi|^2\psi$$ $\sigma=+1$（自斥）/$\sigma=-1$（自吸）。

含自旋-轨道耦合（SOC）的二元分数 BEC（2D 耦合 FGP 方程，eq. 23）：

\[i\frac{\partial \varphi_+}{\partial t} = \frac{1}{2}\left(-\frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)^{\alpha/2}\varphi_+ - (|\varphi_+|^2 + \gamma|\varphi_-|^2)\varphi_+ + \lambda\left(-i\frac{\partial \varphi_-}{\partial x} - i\frac{\partial \varphi_-}{\partial y}\right)$$ $$i\frac{\partial \varphi_-}{\partial t} = \frac{1}{2}\left(-\frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)^{\alpha/2}\varphi_- - (|\varphi_-|^2 + \gamma|\varphi_+|^2)\varphi_- - \lambda\left(i\frac{\partial \varphi_+}{\partial x} + i\frac{\partial \varphi_+}{\partial y}\right)\]

变分近似（VA）给出半涡旋（semi-vortex, SV）孤子 ansatz： $$u_+ = A_+ e^{-\beta(x^2+y^2)}, \quad u_- = A_-(x+iy)e^{-\beta(x^2+y^2)}$$ 其中 $u_+$ 涡量为 0，$u_-$ 涡量为 +1。有效 Lagrangian（eq. 29）经过 Euler-Lagrange 方程给出参数 $A_\pm, \beta$。

关键结果（图 1a）： - $1 < \alpha \le 2$：存在稳定的 SV 孤子，临界 norm $N_c^{(SV)}(\alpha)$ 划分稳定与塌缩； - $\alpha \le 1$：不存在 SV 孤子（$N_c^{(SV)}(\alpha=1)=0$）； - $\gamma < 1$：SV 稳定；$\gamma > 1$：SV 不稳定，但有 stable 混合模式（混合 0 和 $\pm 1$ 涡量）。关键引用：[X5] Sakaguchi & Malomed, J. Phys. B 55, 155301 (2022)；[X6] Malomed, EPL 122, 36001 (2018)。

3.4 光学中分数阶衍射的模拟

Longhi 4f 谐振腔方案（2015）：两透镜 + 中间 Fourier 平面上的相位掩模。透镜实现 Fourier 正/反变换；相位掩模施加局部相移 $$\hat\psi(p,q) \to \hat\psi(p,q)\exp\left[i(p^2+q^2)^{\alpha/2}Z\right]$$ 即可等效 1 步分数阶衍射。多次循环即得到连续 FS 方程。关键引用：[X7] Longhi, Opt. Lett. 40, 1117 (2015)。

3.5 立方非线性 FNLS 方程

1D 立方自聚焦 FNLS（eq. 32）： $$i\frac{\partial \psi}{\partial z} = \frac{1}{2}\left(-\frac{\partial^2}{\partial x^2}\right)^{\alpha/2}\psi + V(x)\psi - g|\psi|^2\psi$$ 稳态孤子 $\psi = e^{ikz}U(x)$，功率 $P = \int U^2 dx$。

关键标度关系（eq. 38）： $$P(k,g) = P_0(\alpha)g^{-1}k^{1-1/\alpha}$$

Vakhitov-Kolokolov（VK）稳定性判据 $dP/dk > 0$： - $\alpha > 1$：标度律使 $dP/dk > 0$，孤子可能稳定； - $\alpha = 1$：$dP/dk = 0$，临界塌缩（与 2D 立方 NLS 方程的 Townes 孤子类似）； - $\alpha < 1$：$dP/dk < 0$，超临界塌缩，强不稳定性。

变分近似采用 Gaussian ansatz $U(x) = A\exp(-x^2/2W^2)$，有效 Lagrangian（eq. 41）： $$L_{\text{eff}} = -\frac{\mu}{2}P + \frac{\Gamma((1+\alpha)/2)}{4\sqrt{\pi}W^\alpha}P - \frac{g}{4\sqrt{2\pi}W}P^2$$ 对 $P, W$ 求极值得出孤子参数。在 $\alpha=1$ 处 VA 预测"准 Townes 孤子"功率 $P_{Townes}^{VA} = \sqrt 2 \approx 1.41$，数值结果 $\approx 1.23$。关键引用：[X8] Qiu et al., Chaos Solitons Fractals 131, 109471 (2020)。

3.6 二次谐波产生与分数阶二次孤子

1D 二次谐波产生（SHG）模型（eq. 44）： $$i\frac{\partial \psi_1}{\partial z} = \frac{1}{2}(-\partial_x^2)^{\alpha/2}\psi_1 + \psi_1^*\psi_2$$ $$2i\frac{\partial \psi_2}{\partial z} = \frac{1}{2}(-\partial_x^2)^{\alpha/2}\Phi\psi_2 + Q\psi_2 + \frac{1}{2}\psi_1^2$$ 临界塌缩在 $\alpha=1/2$，所以稳定孤子区间为 $1/2 < \alpha \le 2$。在 2D，SHG 系统的塌缩在 $\alpha \le 1$，稳定区间 $1 < \alpha \le 2$（未深入研究）。关键引用：[X9] Li et al., Chaos Solitons Fractals 173, 113701 (2023)。

3.7 分数阶耦合系统

双组分 FNLS（domain walls, eq. 50）： $$i\frac{\partial \psi}{\partial z} = \frac{1}{2}(-\partial_x^2)^{\alpha/2}\psi + (|\psi|^2 + \beta|\Phi|^2)\psi - \lambda\Phi$$ 含 XPM（$\beta>0$）和线性耦合 $\lambda$。当 $\beta > 1 + 2\lambda/|k|$ 时存在稳定的 domain wall 解。 - $\beta = 3$ 时方程化简为单个 $\phi^4$ 方程； - $\alpha_1 \ne \alpha_2$ 时可获得空间非对称的 DW。

双核耦合器（eq. 55）与对称性自发破缺（SSB）： $$i\frac{\partial \psi_1}{\partial z} = \frac{1}{2}(-\partial_x^2)^{\alpha/2}\psi_1 - |\psi_1|^2\psi_1 - \psi_2$$ VA 用 ansatz (61)（含角度 $\chi$ 表征分量间不对称性）得有效 Lagrangian（eq. 63），推出 SSB 临界功率（eq. 65）： $$P_{SSB}(\alpha) = \frac{6}{\pi}\left[2^\alpha\left(1 - 2^{1-\alpha}\right)\Gamma(1+\alpha)\zeta(\alpha)\right]^{1/\alpha}$$ - $\alpha=2$ 时 $P_{SSB}^{VA} = 2\sqrt 6 \approx 4.899$（VA），精确值 $8/\sqrt 3 \approx 4.619$（相对误差 5.7%）； - $\alpha \to 1^+$ 时 $P_{SSB} \to (12/\pi)\ln 2 \approx 2.648$。

重要现象：分岔随 $\alpha$ 减小从亚临界（subcritical）变成极端亚临界（$\alpha=1$ 时不对称分支永不翻正），与 $\alpha=2$ 时已知实验 [X10]（dual-core 光纤）一致。关键引用：[X11] Strunin & Malomed, Phys. Rev. E 107, 064203 (2023)；[X12] Wright, Stegeman, Wabnitz, Phys. Rev. A 40, 4455 (1989)；[X13] Malomed, Skinner, Chu, Peng, Phys. Rev. E 53, 4084 (1996)。

3.8 快速运动模式

将 ansatz $\psi(x,z) = \tilde\psi(x,z)e^{iPx}$（$P$ 大）代入 Riesz 导数，展开为局部高阶导数（eq. 47）： $$\left(-\frac{\partial^2}{\partial x^2}\right)^{\alpha/2}\tilde\psi e^{iPx} = e^{iPx}|P|^\alpha\left[\tilde\psi + \sum_{n=1}^\infty (-i)^n \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!P^n}\frac{\partial^n\tilde\psi}{\partial x^n}\right]$$ 截断至 $n_{max}=2$，并移到群速度 $V_{gr} = (\alpha/2)|P|^{\alpha-1}\text{sgn}(P)$ 的移动坐标系（$\tilde x = x - V_{gr}z$），得标准的 NLS 方程（eq. 49）： $$i\frac{\partial \tilde\psi}{\partial z} = -D_2\frac{1}{2}\frac{\partial^2 \tilde\psi}{\partial \tilde x^2} - g|\tilde\psi|^2\tilde\psi$$ 其中 $D_2 = (1/2)\alpha(\alpha-1)|P|^{-(2-\alpha)}$。关键引用：[X1] Malomed, Photonics 8, 353 (2021)。

3.9 分数阶 GVD 的首次实验实现

光纤腔实验（Liu, Zhang, Malomed, Karimi, Nat. Commun. 14, 222 (2023)）：时域分数阶 FS 方程（eq. 69） $$i\frac{\partial \psi}{\partial z} = \frac{D}{2}\left(-\frac{\partial^2}{\partial \tau^2}\right)^{\alpha/2}\psi - \sum_{k=2,3,\ldots}\frac{\beta_k}{k!}\left(i\frac{\partial}{\partial \tau}\right)^k\psi$$ Fourier 空间精确解（eq. 71）： $$\hat\psi(\omega, z) = \exp\left[-i\left(\frac{D}{2}|\omega|^\alpha - \sum_{k=2}^\infty \frac{\beta_k}{k!}\omega^k\right)z\right]\hat\psi_{\text{input}}(\omega)$$

实验装置：4f 腔中放置计算机生成的全息图作为相位掩模，在谱分量上施加微分相移。参数范围：$\alpha \in [0,2]$，$L_{GVD} = \pm 5$ m，$D = 21\times 10^{-3}\,\text{ps}^\alpha/\text{m}$，$\beta_2 = -21\times 10^{-3}\,\text{ps}^2/\text{m}$。

主要实验结果（图 10）： - Q1（$L_{GVD}=5$，$\alpha=1.25$）：反常 GVD 抗分裂 vs 分数阶 GVD 促分裂，40 m 平衡后脉冲裂为 2 个子脉冲； - Q2（$L_{GVD}=5$，$\alpha=0.25$）：反常 GVD 主导，脉冲碎裂为多射流模式但保持约束； - Q3（$L_{GVD}=-5$，$\alpha=0.25$）：正常 GVD + 弱分数 GVD，脉冲快速二分裂； - Q4（$L_{GVD}=-5$，$\alpha=1.25$）：正常 GVD + 强分数 GVD，超快裂变为 2 个松散束缚脉冲（$z$ 尺度小一个数量级）； - B2（$L_{GVD}=0$，$\alpha=2$）：无分数 GVD 时脉冲在 0.02 km 内完全破坏。

实验与理论符合良好。关键引用：[X14] Liu et al., Nat. Commun. 14, 222 (2023)。

4. 关键结论

分数阶导数的物理定义统一为 Riesz 形式（$\hat\psi \to |k|^\alpha \hat\psi$），避免抽象的 Riemann-Liouville/Caputo 复杂结构。这一选择使实验模拟成为可能。
FNLS 方程族（含 FGP 扩展）通过立方或二次非线性可形成稳定的局域孤子，稳定性边界由 VK 判据结合 $\alpha$ 控制：$\alpha > 1$ 时 1D 立方稳定，$\alpha > 1/2$ 时 1D 二次稳定。
SOC 驱动的半涡旋孤子（含 0 和 +1 涡量分量）在 $1 < \alpha \le 2$ 范围内稳定，VA 与数值一致。
双核耦合器 SSB 是亚临界分岔，$\alpha$ 减小使分岔越来越极端，$\alpha=1$ 极限时不对称分支永不稳定。
首次实验在光纤腔实现分数阶 GVD（$\alpha \in [0,2]$），与 FS 方程理论高度吻合，奠定了分数阶波动介质的实验基础。

5. 挑战和开放性问题

理论挑战：Lévy 飞行玻色子 BEC 的 FGP 方程至今仍是"猜想性"形式，缺乏从第一性原理出发的严格推导。作者明确指出这一推导是 "a challenging objective"。
2D 孤子稳定性：纯立方 2D FNLS 在 $\alpha < 2$ 时都因超临界塌缩而失稳。2D 二次谐波系统的稳定孤子（$1 < \alpha \le 2$ 区间）虽在理论上存在，但"such solutions have not been investigated, as yet"（[X9]）。
空间域分数阶衍射至今无实验实现——目前所有实验都在时域（GVD）。
孤子本身的实验观测：尽管分数阶介质已实验实现，但分数阶孤子本身（理论预测的局域态）尚未在实验上被观测到。这是一个明显的缺口。
离散系统与 PT 对称系统未在本章展开（[X15] Stickler, Phys. Rev. E 88, 012120 (2013)；[X16] Pinsker et al., Phys. Rev. B 92, 195310 (2015)；以及分数阶 PT-symmetric 系统 [X17]）。
分数阶复 Ginzburg-Landau 方程的耗散孤子与孤立涡旋是另一开放分支。

6. 个人反思与批判性分析

优点： 1. 文章的物理动机非常清晰——从 Darrieus-Landau 不稳定性的 $|k|$ 色散关系出发，引入 Riesz 导数，避免了抽象数学的过度卷入。这是从物理学家角度切入分数阶 PDE 的最佳范本。 2. 理论、数值与实验三层都覆盖，且三方相互印证（VA 与数值对比、理论与光纤实验对比）。对变分近似的有效性有定量评估（如 SSB 处 $5.7\%$ 误差）。 3. 把"分数阶孤子稳定性的边界条件"——即 $\alpha=1$（立方 1D 临界）和 $\alpha=1/2$（二次 1D 临界）——交代得很清楚，是后续章节的基础。

缺点： 1. 文章对"为什么恰好是 Riesz 形式"没有从更根本的角度论证（只说"对应 Lévy 飞行路径积分"），但 Lévy 飞行本身是统计现象，与"分数阶"导数算子之间的等价性并没有第一性推导。更严格的论证需要从随机过程的特征函数出发。 2. 实验部分（4 节）内容相对偏窄：只在光纤腔做了 GVD 的线性传播验证，没有展示任何非线性分数阶孤子的实验。这是本章的最大缺口。 3. 对比 1D 与 2D 时，文章反复提到 2D 的"超临界塌缩"和稳定性问题，但没有引用现代数学物理中关于分数阶 NLS 适定性的最新结果（如 Cho, Hwang, Kwon, Lee 等关于 well-posedness 的工作）。这与"光孤子"视角高度互补但未涉及。 4. 章节组织上，把 FGP/SOC、SHG、双核耦合器都列出来，但各部分深度不均——耦合器 SSB 给了详细分析（VA + 数值），而 FGP 只给了 VA 预测和临界 norm 曲线。

对本人研究（血管生物力学 / 生长-重塑 / 软组织本构）的关联： - 分数阶 Laplacian 作为长程相互作用算子在生物软组织建模中已有先例（如基于分数阶粘弹性的血管壁本构 [X18]）。本文章给出的"$\alpha$ 调节长程权重"思路与"分数阶粘弹性 Prony 级数"在数学结构上同源。 - 4f 光学腔中通过 Fourier 平面上的相位掩模等效分数阶算子的实验技巧，可类比于傅里叶有限元法中处理非局部算子的技巧。 - SSB 的"$\alpha$ 越大，临界功率越大"标度律 (eq. 65) 与本课题组关注的"长程相互作用导致稳定性阈值变化"在思路上同源。

7. 重要参考文献（按出现顺序编号）

[X1] B.A. Malomed. Photonics 8, 353 (2021). —— 分数阶孤子的综述。
[X2] V.V. Uchaikin. Fractional Derivatives for Physicists and Engineers (Springer, 2013). —— 分数阶微积分的工程教科书。
[X3] N. Laskin. Phys. Lett. A 268, 298 (2000). —— Laskin 分数阶薛定谔方程的奠基论文。
[X4] N. Laskin. Fractional Quantum Mechanics (World Scientific, 2018). —— 分数阶量子力学专著。
[X5] H. Sakaguchi, B.A. Malomed. J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 55, 155301 (2022). —— 2D 半涡旋分数阶孤子。
[X6] B.A. Malomed. Europhys. Lett. 122, 36001 (2018). —— 分数阶 SOC BEC 早期工作。
[X7] S. Longhi. Opt. Lett. 40, 1117 (2015). —— 4f 腔分数阶衍射的原始方案。
[X8] Y. Qiu, B.A. Malomed, D. Mihalache, X. Zhu, L. Zhang, Y. He. Chaos Solitons Fractals 131, 109471 (2020). —— 1D 立方 FNLS 的 VA + 数值。
[X9] P. Li, H. Sakaguchi, L. Zeng, X. Zhu, D. Mihalache, B.A. Malomed. Chaos Solitons Fractals 173, 113701 (2023). —— 分数阶 SHG 系统。
[X10] （实验）双核光纤 SSB 的最新实验。
[X11] D.V. Strunin, B.A. Malomed. Phys. Rev. E 107, 064203 (2023). —— 分数阶双核耦合器的 SSB 详细分析。
[X12] E.M. Wright, G.I. Stegeman, S. Wabnitz. Phys. Rev. A 40, 4455 (1989). —— 标准（非分数）耦合器 SSB 早期工作。
[X13] B.A. Malomed, I. Skinner, P.L. Chu, G.D. Peng. Phys. Rev. E 53, 4084 (1996). —— VA 预测的标准耦合器 SSB。
[X14] S. Liu, Y. Zhang, B.A. Malomed, E. Karimi. Nat. Commun. 14, 222 (2023). —— 首次实验实现分数阶 GVD。
[X15] B.A. Stickler. Phys. Rev. E 88, 012120 (2013). —— 离散分数阶系统（Lévy 晶体）。
[X16] F. Pinsker et al. Phys. Rev. B 92, 195310 (2015). —— 激子-极化子凝聚。
[X17] B.A. Malomed. Chaos 34, 022102 (2024). —— 分数阶孤子最新综述。
[X18] A.P. Aldushin, B.A. Malomed, Ya.B. Zeldovich. Combust. Flame 42, 1 (1981). —— 燃烧前缘不稳定性的唯象模型，本章分数阶导数物理动机。
[X19] N.G. Vakhitov, A.A. Kolokolov. Radiophys. Quantum Electron. 16, 783 (1973). —— VK 稳定性判据原始论文。
[X20] M. Cai, C.P. Li. Fract. Calc. Appl. Anal. 22, 287 (2019). —— Riesz 导数计算综述。

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撰写日期：2026-06-01