第六章：形态弹性杆（Morphoelastic Rods）阅读笔记

概述

本章将弹性杆理论扩展到包含生长和重塑的细丝结构。生长的时间尺度远长于弹性传播或粘性弛豫的时间尺度——弹性波以声速传播，而生长时间尺度以分钟、小时和天计。因此，生长过程可以视为准静态过程，与惯性项解耦。本章介绍了三种模拟生长杆的主要方法，并详细讨论了生长杆的屈曲、基座上的生长藤蔓以及螺旋生长等重要应用。

6.1 生长杆 kinematics（运动学）

三种构型

基于非线性弹性生长理论中的乘法分解方法，生长杆有三种构型：

初始构型 B₀：时间 t=0 时的无应力构型，所有量用下标 0 标记
虚拟构型 V：时间 t 时的无应力构型
当前构型 B：时间 t 时给定外部载荷、体力和边界条件下的实际构型

重要说明：无应力构型未必能在欧几里得空间中实现。例如，半径为1、内禀曲率为1的环，增加其长度会产生自穿透的无应力构型（如图6.1所示）。与三维情况不同，杆理论中所有局部量都是良好定义的。

生长拉伸（Growth Stretch）

生长拉伸 γ 表征局部长度的增加：

\[\gamma(S_0, t) = \frac{\partial S}{\partial S_0}\]

总拉伸 λ 可以分解为弹性拉伸 α 和生长拉伸 γ：

\[\lambda = \alpha \gamma \quad \Leftrightarrow \quad \frac{\partial s}{\partial S_0} = \frac{\partial s}{\partial S} \cdot \frac{\partial S}{\partial S_0}\]

关键材料参数

在生长过程中，以下参数随时间演化： - 内禀曲率 û = û(S₀, t) - 总长度 L(t) - 密度 ρ(S₀, t) - 横截面积 A(S₀, t) - 刚度矩阵 K(t)

6.2 生长杆力学

控制方程

在虚拟构型中，线性动量和角动量守恒给出：

\[\frac{\partial n}{\partial S} + f = 0\]

\[\frac{\partial m}{\partial S} + \frac{\partial r}{\partial S} \times n + l = 0\]

其中 f 和 l 分别是单位参考长度的体力和体力偶。

不同构型中的方程

在不同构型中，方程形式有所不同：

当前构型（用弧长 s）： $$\frac{\partial n}{\partial s} + \alpha^{-1} f = 0$$ $$\frac{\partial m}{\partial s} + \frac{\partial r}{\partial s} \times n + \alpha^{-1} l = 0$$

初始构型（用弧长 S₀）： $$\frac{\partial n}{\partial S_0} + \gamma f = 0$$ $$\frac{\partial m}{\partial S_0} + \frac{\partial r}{\partial S_0} \times n + \gamma l = 0$$

6.3 生长杆的演化定律

三种建模方法

模拟生长杆有三种主要方法：

方法一：参数变化（Parameter Variation）

考虑由材料参数化的杆解族。例如，在树木生长中，长度和宽度作为随时间演化的参数。每个生长时刻增加这些参数的值并重新计算新的静态解。

方法二：重塑（Remodeling）

考虑材料参数的独立演化定律，可能依赖于时间和材料历史。例如，通过差异生长，原本直的杆可以发展出内禀曲率。这与前一种方法根本不同，因为材料参数现在与杆在空间和时间上的演化耦合。

方法三：形态弹性学（Morphoelasticity）

结合生长的所有方面，将参考构型的演化与杆的力学响应分开考虑。在一般三维生长弹性体理论中，生长与重塑通常是有区别的： - 生长：与无应力弹性材料的体积变化相关 - 重塑：与材料属性的变化相关

注意：在杆理论中，生长和重塑不可避免地交织在一起。杆理论是从三维弹性体到一维结构的简化，混合了几何和材料参数。例如，弯曲刚度 K₁ = EI 是材料系数（杨氏模量 E）和几何性质（面积惯性矩 I₁）的乘积。

内禀曲率演化

考虑内禀曲率的演化定律。假设一根变形杆在时间 t 具有曲率 u(t)、材料性质 û(t) 和刚度矩阵 K(t)。在时间 t + Δt，施加一层薄的新层。弯矩平衡给出：

\[K(t)[u(t + \Delta t) - \hat{u}(t) - k_2(t)\Delta t] + \Delta K[u(t + \Delta t) - u(t) - k_1(t)] = K(t + \Delta t)[u(t + \Delta t) - \hat{u}(t + \Delta t)]\]

展开到 Δt 阶：

\[\dot{K}(u - \hat{u} + k_1) = K(\hat{\dot{u}} - k_2)\]

如果没有质量增加或刚度变化（Ḃ = 0），曲率演化简化为：

\[\hat{\dot{u}} = k_2\]

在平面中，假设内禀曲率弛豫到当前曲率，弛豫时间为 η⁻¹：

\[\dot{\hat{\kappa}} = \eta(\kappa - \hat{\kappa})\]

6.4 示例：茎的重塑（The Remodeling of Stems）

现象描述

许多生长过程中，结构的演化直接影响材料参数的演化。例如，树枝可以被训练成特定形状生长，这在法国正式花园（如巴黎的植物园）中创造了美丽的林荫道。起初，弹性结构被加载并应力成特定形状。随着时间推移，结构重塑自身以释放应力，即使在去除载荷后也永久保持该形状。

示例： Passiflora（西番莲）的卷须。完整的卷须（a）在与植物连接处切断后（b）形状差异很小，表明卷须实际上缓慢地通过一系列准平衡态达到当前稳态。

数学模型

对于不可伸长的平面杆在端部压缩下的情况，假设杆屈曲后采用新形状，其自然状态将演化到这个平衡形状，即内禀曲率 κ̂ = û₂ 随时间演化。

使用简单的形态弹性模型描述曲率弛豫：

\[\frac{\partial \hat{\kappa}}{\partial t} = \eta(\kappa - \hat{\kappa})\]

其中 1/η 是弛豫的特征时间。

训练形状

如果推力按斜坡逐渐移除，丝状物形状会适应首选曲率，最终达到弹性能的最小值，此时 κ(s) = κ̂(s)。

对于五种不同的力-时间曲线（斜坡后跟指数弛豫），得到五种训练形状。最终训练形状与受特定外力作用的弹性丝状物形状非常接近，但后者在去除力后不会保持该形状。

6.5 屈曲准则（A Buckling Criterion）

一般方法

生长杆的一个重要方面是生长诱导的屈曲不稳定性。首先推导具有任意体力和体力偶的杆的分叉准则。

基本假设： - 杆具有常数内禀曲率 û - 存在由生长参数 γ 参数化的单参数族解 - 寻找临界值 γ = γ*，使得 Kirchhoff 方程承认与基础解不同的解

6.5.1 示例：Michell 不稳定性

考虑扭曲弹性环的稳定性问题，最初由 Thomson 和 Tait 在《自然哲学论》中提出。

问题描述：取一根直的均匀弹性圆截面杆，在上面画一条直线，然后将杆成形为杆的中心线是圆的环。在连接处，两端的切线一致，但横截面可以旋转，使得画在直的自然形状上的线绕中心曲线扭转。扭转是线相对于中心曲线的总角旋转。如果扭转是 2π 的整数倍，线将在连接处闭合。

Michell 的结果（1889）：对于各向同性截面、自然直的杆，扭曲后两端连接形成连续曲线，当扭转小于某临界值时，圆是稳定的平衡形式。

对于不可伸长杆 α = 1，横截各项同性，无内禀曲率，方程简化为： $$n = 0$$ $$m + r' \times n = 0$$ $$m = K_1 \kappa \beta + K_3 \omega \tau$$

其中 τ、ν、β 分别是切线、法线和从切向量，τ 和 κ 是 Frenet 挠率和曲率，ω 是扭转密度。

稳定性分析：第一阶扰动方程： $$k'''' + (R^{-2} + \beta^2 \omega^2)k = 0$$

周期解条件： $$\beta^2 \omega^2 R^2 = n^2 - 1$$

第一个非平凡解对应 n = 2，临界扭转： $$\omega_c = \frac{\sqrt{3}}{R\beta}$$

总扭转 T_w = 2πRω，临界值： $$T_{wc} = \frac{2\pi\sqrt{3}}{\beta}$$

对于大多数材料，β 在 2/3（不可压缩极限）到 1 之间，大多数金属约为 4/5。因此，环在约两整圈扭转时变得不稳定。

不稳定性特征：屈曲是次临界的——环突然屈曲并通过形成自接触的"8"字形回绕。

6.5.2 一般扰动展开

对于一般 Kirchhoff 方程的线性化，假设存在基础解的单参数族。将所有量展开： $$d_i = d_i^{(0)} + d_i^{(1)} + O(\epsilon^2)$$

其中一阶修正可以用单个向量 c 表达： $$d_i = d_i^{(0)} + c \times d_i^{(0)} + O(\epsilon^2)$$

一阶扰动给出线性系统，包含变量 {r₁⁽¹⁾, r₂⁽¹⁾, r₃⁽¹⁾, n₁⁽¹⁾, n₂⁽¹⁾, n₃⁽¹⁾, u₁⁽¹⁾, u₂⁽¹⁾, u₃⁽¹⁾, c₁, c₂, c₃, α⁽¹⁾}

6.5.3 分叉准则

定义九维向量： $$\mu = \{r_1^{(1)}, r_2^{(1)}, r_3^{(1)}, n_1^{(1)}, n_2^{(1)}, n_3^{(1)}, c_1, c_2, c_3\}$$

系统可以写成紧致矩阵形式： $$M_2 \mu'' + M_1 \mu' + M_0 \mu = 0$$

寻找形式 μ = ξe^(inS) + ξ̄e^(-inS) 的解，代入后满足条件 det(M) = 0，其中： $$M = -n^2 M_2 + inM_1 + M_0$$

6.5.4 示例：生长环

考虑一个初始无应力半径为1的各向同性不可伸长杆，圆形横截面半径为 a。假设它随时间线性生长 γ = 1 + t。

基础解：对于所有 γ ≥ 1，存在曲率 u₂ = 1/γ 和 n = 0 的圆解。

分叉条件： $$\gamma(n) = \frac{1-\beta + \sqrt{1 + (4n^2 - 2)\beta + \beta^2}}{2}$$

其中 β 由刚度比定义。临界生长是最小的 γ > 1，发生于 n = 2。

后屈曲行为（图6.7）： - γ ≈ 2.19 时，闭合杆塌陷回平面环，三重于自身 - γ = 3 时，形成半径为1的三重环 - 此时各处曲率与内禀曲率匹配；环回到稳定的无应力状态 - 进一步增加 γ，三重覆盖环将变得不稳定

6.5.5 带重塑的生长环

假设环在生长时内禀曲率也按定律演化到当前曲率： $$\frac{\partial \hat{u}_2}{\partial t} = \eta\left(\frac{1}{1+t} - \hat{u}_2\right)$$

方程的解： $$\hat{u}_2(t) = e^{-\eta(1+t)}[e^\eta + \eta Ei(\eta(1+t)) - \eta Ei(\eta)]$$

其中 Ei(·) 是指数积分函数。

稳定性条件： $$u_2/\hat{u}_2 \leq c_2 \equiv \frac{\sqrt{3} + \sqrt{\beta^2 + 14\beta + 1}}{8\beta}$$

6.6 基座上的生长杆

考虑通过弹性力附着在刚性基础上的生长杆。基础是刚性空间曲线，杆通过依赖于到曲线距离的恢复体力附着。

几何设置

附着点位置： $$r_A = r + a[\cos\phi d_1 + \sin\phi d_2]$$

其中 a 是从中心线到杆表面的垂直距离，φ 是从 d₁ 轴测量的附着角度。

体力由下式给出： $$f(s) = f(|E| - q(s))\frac{E}{|E|}$$

其中 E = ρ(A(s)) - r_A，q(s) 是弹簧的静长。

体力偶： $$l = (r_A - r) \times f$$

特例：线性基础（Winkler 基础）： $$f = k(\rho - r_A)$$

6.6.1 示例：基础上的生长环

考虑内边缘附着在半径为 (1-a) 的环上的生长杆。随着环生长，基础施加指向环中心的增力。

基础解： $$r_1^{(0)} = -\gamma, r_2^{(0)} = r_3^{(0)} = 0$$ $$f_1^{(0)} = k(\gamma - 1), f_2^{(0)} = f_3^{(0)} = 0, l^{(0)} = 0$$ $$u_2^{(0)} = 1/\gamma$$ $$n_3^{(0)} = -k\gamma(\gamma - 1)$$

分叉分析（图6.12）： - 对于小 k，类似于无基础情况：杆在模式2屈曲 - 随着刚度增加，对于更高的屈曲模式 n，临界生长减小，杆更早屈曲 - 这些解有更高的弯曲能，但通过保持更接近基础来减少基础能

6.6.2 示例：基础上的直杆生长

考虑平面内变形、无体力偶的生长平面杆的屈曲。这类似于 Winkler（1867）研究的问题。

设置： - 均匀生长的夹持杆，初始长度 L₀ = 1 - 端点位置固定：x(0) = 0, x(L) = 1, y(L) = y(0) = y₀, θ(0) = θ(L) = 0

体力： $$f = \frac{h(\delta)}{\gamma\delta}\left[(x - S/\gamma)e_x + (y - y_0)e_y\right]$$

其中 δ = √[(x - S/γ)² + (y - y₀)²]

基础解（压缩直杆）： $$x^{(0)} = S/\gamma, y^{(0)} = \theta^{(0)} = G^{(0)} = 0$$ $$F^{(0)} = EA\frac{1-\gamma}{\gamma}$$

分叉条件： $$A^2(\gamma - 1)^2 - 4I k\gamma = 0$$

对于圆形横截面（半径 r），第一分叉条件： $$\gamma_1 = 1 + \frac{1}{2\pi}(r + \sqrt{kr^2 + 4\pi})$$

临界生长因子：对于有限域和夹持边界条件，临界值 γ₂ > γ₁。

6.7 应用：生长藤蔓（Growing Vines）

攀缘植物发展了多种机械策略来实现垂直生长：钩形、倾斜、编织、根植、粘附、缠绕、卷须或缠绕只是30种不同方式的几个例子。

6.7.1 卷须中的反转（Perversion in Tendrils）

背景

卷须（Tendrils）是一些攀缘植物（如葡萄、啤酒花、豆类、瓜类）用于实现垂直生长的变态叶。

生长阶段： 1. 第一阶段：卷须幼嫩、柔软、卷曲、灵活，通过回旋转头（circumnutation）生长——尖端在空间中画大圈，直到接触支撑物 2. 第二阶段：接触支撑物后，组织发育，卷须开始卷曲和收紧，最终变得木质化

物理特性：卷须是受拉细丝。一旦卷须抓住支撑物，通过差异生长发展曲率，分叉成两个或多个具有相反手性的螺旋结构。

Perversion（反转）现象

定义（J.B. Listing）：手性反转称为 perversion。

例子： - 电话线：完全解开螺旋结构并拉直，然后缓慢释放，丝状物突然变成由两个相反手性的螺旋结构组成，由一个小反转连接 - 西番莲属卷须：连接相反手性的螺旋

历史： - 1751年 Linnaeus 在《Philosophia Botanica》中首次图示 - Ampère 致法国科学院的信中首次科学记录 - Darwin 在《攀缘植物的运动和习性》（1865）中给出首个完整科学分析

Darwin 的解释："当卷须抓住支撑物并螺旋收缩时，总是有同样数量的圈在一个方向和另一个方向；因此在一个方向上的扭转正好被另一个方向上的扭转补偿。"

机制

卷须中产生内禀曲率有两种主要机制：

差异生长：卷须腹侧和背侧之间生长速度不同（de Vries, 1877）
热定形：纺织业中的"假捻"技术

生物学例子

脐带：通常由两条动脉和一条静脉形成左旋三螺旋结构
细菌鞭毛：Salmonella 或 E. coli 的鞭毛可以从左旋变为右旋螺旋
纤维素：通过静电纺丝形成的纤维素表现出反转

数学模型

卷须被建模为具有内禀曲率 κ̂ 的不可伸长、无剪切、均匀圆截面杆，无体力负载。

Kirchhoff 方程： $$n' = 0$$ $$m' + r' \times n = 0$$ $$m = (u_1 - \kappa)d_1 + u_2 d_2 + \beta u_3 d_3$$

其中 β = K₃/K₁

分析： - 在曲率-挠率平面中，螺旋解由椭圆给出 - 反转是连接两个固定点的异宿轨道 - 反转存在当且仅当 0 < N < Nc，其中 Nc = κ̂²/β

无扭矩弹簧（Twistless Spring）

由两个相反手性螺旋和一个小反转组成的结构，与常规弹簧相比具有有趣的特性。

理想弹簧：胡克定律 N = kz

螺旋弹簧：由具有螺旋形状的不可伸长杆组成，受轴向力 N 和防止端点旋转的轴向矩 M

无扭矩弹簧：总扭转保持为零。当拉紧时，总扭转不变，端点不旋转。

力-位移关系： $$T = hz + 2hz^3(1-\beta) + O(z^5)$$

比较（图6.28）： - 无扭矩弹簧更接近理想弹簧 - 当张力施加到无扭矩弹簧两端时，它会退绕，释放一些扭转能 - 另一个优点是不施加端点矩

6.7.2 缠绕藤蔓（Twining Vines）

背景

缠绕植物（如豌豆、茉莉、牵牛花）可能是研究最多的藤蔓类型。生长尖端以圆周运动摆动（回旋转头），直到找到合适的直立支撑，然后开始缠绕它向上延伸。

Darwin 的问题：为什么某些缠绕植物只能攀爬中等厚度的支撑？什么决定了植物能缠绕的最大圆柱半径？

观察： - Solanum dulcamara 可以缠绕3毫米的支撑，但不能缠绕5-6毫米的支撑 - 植物依靠摩擦附着在杆上

张力产生：缠绕植物的茎处于张力状态，这与大多数植物（树木、花卉）处于压力状态不同。张力实际上是在建立离散接触点（锚定点）时产生的。

数学模型

将生长藤蔓建模为具有内禀曲率和挠率的不可伸长、无剪切弹性 Kirchhoff 杆，与圆柱接触。

简化：假设杆限制在平面内。支撑是半径为 R 的刚性圆盘，问题是在接触圆盘的同时找到具有内禀曲率 1/Rc 的弹性杆的平衡构型。

边界条件： - 原点处：r(0) = (R, 0), r'(0) = (0, 1) - 长度 s = L 处：杆位于圆盘上，曲率等于内禀曲率 κ = 1/Rc

结果： - R/Rc ≈ 3.31 是攀爬和非攀爬状态之间的临界比 - 连续接触配置可以发展（图6.31A） - 或者，没有连续接触配置，丝状物开始在圆盘外缠绕（图6.31B）

摩擦的作用

分析：在无摩擦情况下获得平衡构型，然后改变丝状物长度而不移动尖端。通过引入沿 eθ 方向的切向分量（由摩擦引起的）来实现。随着 L 增加，切向力分量达到等于 μp 的临界值（其中 μ 是摩擦系数，p 是作用在圆盘上的法向力）。

结果（图6.33）： - 正摩擦系数防止植物滑动，对应于植物能够缠绕更厚的支撑 - 临界半径比 ρc 随摩擦系数变化 - 预测的上限 ρc ≈ 8 与实验观察一致

6.7.3 应用：枯草芽孢杆菌的生长

背景

枯草芽孢杆菌的单个细胞呈杆状，典型长度为3-4 μm，直径0.8 μm。在某些情况下，它们生长成由串联连接的细胞组成的细丝。由于生长和分裂产生的子细胞未能分离，这些细丝会变长并以均匀速率扭曲。

超纤维（Macrofibers）的形成： - 细丝扭曲并变形为双螺旋结构 - 这个过程周期性重复，产生具有特定扭转状态和手性的宏观纤维

特征：在手性方面，每个新螺旋结构与前一结构手性相同。例如，右旋双螺旋产生右旋四股螺旋，依此类推。

环境的影响： - 在粘性环境中：不稳定发生在细丝中部，形成紧的中心环，然后从环底部开始螺旋卷绕 - 在非粘性环境中：细丝折叠成大环，末端接触，然后从不稳定点开始螺旋卷绕

数学模型

关键：枯草芽孢杆菌中扭转和超螺旋具有相同手性的解释——内禀扭转的建立。

机制： 1. 具有右旋内禀扭转的细胞文件，表示为右螺旋螺距的标记线 2. 一端以与标记线相反的方向扭转，直到它们大致笔直 3. 现在细丝的扭转密度似乎消失，但其自然状态是非零扭转密度 4. 因此存在扭转亏量——细丝必须通过恢复扭转来弥补这种亏量

实现方式： - 如果一端自由：管缠绕，发送扭转波沿杆向下 - 如果两端被握住但被拉近：管通过与内禀扭转相同手性的超螺旋弛豫

关键概念总结

形态弹性学的三种方法

参数变化：材料参数作为时间函数独立演化
重塑：材料参数与杆的变形历史耦合
形态弹性学：结合两种方法，将参考构型演化与力学响应分开

生长杆的 kinematics

三种构型：B₀（初始）、V（虚拟参考）、B（当前）
生长拉伸 γ 描述局部长度变化
总拉伸分解为弹性拉伸 α 和生长拉伸 γ

演化定律

内禀曲率可以弛豫到当前曲率
弛豫方程：κ̂ = η(κ - κ̂)
时间尺度由特征时间 1/η 控制

屈曲分析

Michell 不稳定性：扭曲环在临界扭转时屈曲成"8"字形
一般分叉准则：通过线性化 Kirchhoff 方程获得
生长环：随生长进行发生多次分叉

应用

茎的重塑：训练树木形成特定形状
卷须反转：两个相反手性螺旋的连接
缠绕藤蔓：爬升行为和摩擦的作用
细菌生长：枯草芽孢杆菌的超纤维形成

重要公式

生长拉伸：γ(S₀, t) = ∂S/∂S₀
总拉伸分解：λ = αγ
曲率弛豫：κ̂ = η(κ - κ̂)
Michell 临界扭转：T_wc = 2π√3/β
生长环分叉：γ(n) = [1-β + √(1+(4n²-2)β+β²)]/2
无扭矩弹簧力：T = hz + 2hz³(1-β)
缠绕临界比：R/Rc ≈ 3.31

参考文献

本章涉及的主要文献包括： - [451] 关于茎的重塑 - [470] 关于生长参数变化 - [853] 关于卷须反转的完整分析 - [477] 关于卷须反转的早期研究 - [1229] Thomson 和 Tait 的经典著作 - [261] Darwin 关于攀缘植物的著作