第十四章：生长定律与稳定性

读书笔记

概述

本章是形态弹性理论的核心章节，系统探讨了生长张量的演化定律及其稳定性问题。生长张量作为描述生物生长的运动学描述符，需要建立相应的本构定律。由于生长被视为一个动力学过程，这些定律被称为演化定律。本章的核心任务是指定生长张量G在其他生物或物理量作用下的动力学行为。

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14.1 生长张量的对称性

基本概念

在许多问题中，限制生长张量的形式是非常有用的。类似于材料对称性的分解方法，我们可以使用不同的张量形式来描述具有特定对称性的生长过程。

乘法分解的歧义性

首先考虑具有应变能函数W = W(A)的各向同性材料。当已知变形梯度F时，弹性张量A和生长张量G并非唯一确定。这是因为如果F = AG，那么：

à = AR, G̃ = R^(-1)G （其中R ∈ O(3)）

也提供了一种有效的分解，因为F = ÃG̃。这意味着存在一个内在的规范自由度，允许我们通过选择G为对称张量来限制生长张量的形式。

各向同性材料的特殊性

利用极分解定理，G = RG UG，其中UG是对称张量，RG是正常正交张量。对于各向同性材料，能量密度满足W(A) = W(AR)，因此：

W(FG^(-1)) = W(FU_G^(-1)R_G^T) = W(FU_G)

这表明生长的各向同性材料的弹性能仅依赖于生长张量的对称部分。

生长张量的分类

1. 正交各向异性生长

识别两个可以差异生长的方向γ1和γ2，生长张量表示为：

G = g0·1 + (g1 - 1)γ1 ⊗ γ1 + (g2 - 1)γ2 ⊗ γ2

其中g0表示各向同性贡献，g1、g2表示各向异性贡献。这种表示将生长描述子减少到三个函数和两个方向向量。

2. 横观各向同性生长

假设在单位向量γ法线方向上生长是各向同性的：

G = g0·1 + (g1 - 1)γ ⊗ γ

沿γ方向的生长伸长为Gγ = (g0 + g1 - 1)γ。该描述特别适用于纤维增强系统。

3. 纯纤维生长

沿单个纤维限制生长：

G = 1 + (g - 1)γ ⊗ γ

这对于描述心肌和骨骼肌纤维的生长特别有用。

4. 面积生长

平面生长的特殊形式：

G = √g1·1 + (1 - g)γ ⊗ γ

通过取g在边界附近的小层中不同且γ为边界法向量，这种形式适合模拟生长边界。

5. 各向同性生长

最简单的形式是取G为恒等式的倍数：

G = g·1

此时JG = g³表示体积元的各向同性变化。

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14.2 各向同性生长与凝胶溶胀

聚合物水凝胶概述

聚合物水凝胶是交联的亲水性聚合物网络。当与水混合时，它们可以表现出响应不同化学和物理刺激的大体积溶胀。这些凝胶被用作微流体致动器和工程组织支架。由于网络的随机性质，大多数凝胶是各向同性的。

溶胀的简化处理

由于生长和材料都可以建模为各向同性，溶胀的运动学可以像Flory最初提出的那样进一步简化。乘法分解的机制变得多余，因为生长的效果可以通过F行列式的适当定义和应变能函数的重新缩放来完全考虑。

关键是认识到G = g·1，变形梯度F可以写成F = gA。假设凝胶是超弹性和不可压缩的，W的合适选择为：

W^S(A, g) = m(g)W1(A)

其中m(g) > 0且m(1) = 1。函数m(g)考虑了溶胀过程中凝胶的重塑。如果相同材料在溶胀过程中被添加，则m(g) = 1。然而，如果溶胀是由于添加水，则每单位未应变体积的弹性能密度降低，因为水不能储存弹性能，有m(g) < 1。

一个简单的模型选择是：

m(g) = g^q

其中q < 0用于模拟溶胀过程中的软化。

本构定律的推导

利用Flory的溶胀理论，本构定律可以写为：

T = m(g)F·(∂W1/∂A)(g^(-1)F) - p1

最后的表达式仅是F和g的函数，不再需要参考虚拟状态。

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14.3 离散生长步骤

增量分解

分解F = AG作为一步过程是清晰的，但在考虑生长和长期演化的累积效应时需要特别注意。假设生长随当前配置的应力状态而连续发生。那么张量G(X0, t)连续依赖于时间t的配置Bt。

Rodriguez等人提出的演化理解

遵循Rodriguez等人的原始提议，生长演化可以通过将演化定律在时间上离散化来理解，以获得一系列生长增量：

G(t + δt) = G(t) + δt·G(T, F, G, μ; t, x, X0)

初始时，生长张量依赖于配置B0，我们定义G1 = G(δt)。给定G1，我们计算残余应力场和外部载荷引起的弹性变形，以获得映射初始配置B0到B1的几何变形张量F1。

迭代过程

从配置B1，我们定义新的生长张量：

G2 = G(2δt) = G1 + δt·G

一旦获得虚拟状态V2，新的弹性变形张量A2就可以被计算。这个过程迭代进行。增量分解表明，生长定律通过基于应力和几何变形张量的值更新生长张量来描述参考配置的演化。

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14.4 热力学视角

Clausius-Duhem不等式

在理性热力学中，确定生长定律合适形式的一般方法是使用Clausius-Duhem不等式来限制演化定律的功能形式。标准程序称为Coleman-Noll程序。

回忆自由能密度的Clausius-Duhem不等式形式：

ρψ̇ ≤ T:L - ρηθ̇ - q·κ + h

其中L = ḞF^(-1)是速度梯度张量，κ = grad θ。

Coleman-Noll程序

基本假设是不等式应该对所有允许的热力学过程成立，这意味着它必须对任意变形梯度和温度场成立。通过使用链式法则和替换F = AG来展开，我们得到对任意独立变化的Ȧ、θ̇和κ̇必须成立的条件。

热力学关系

从程序中，我们恢复了熵和自由能函数之间的热力学联系：

T = A·(∂ψ/∂A)，η = -∂ψ/∂θ，∂ψ/∂κ = 0

还定义了Mandel应力张量：

M = J A^(-1)A^T T A^(-T)

Mandel应力张量将虚拟状态中的向量映射到同一状态中的向量，因此是生长定律的自然描述符。

被动生长与主动生长

热力学方法允许我们描述两类生长过程：

被动生长过程：耗散不等式即使在没有熵汇的情况下也成立。这种情况在塑性、热弹性或凝胶溶胀等物理系统中很典型。

主动生长过程：必须包括额外的熵汇来满足耗散不等式。这种情况出现在许多生物系统中，细胞通过其遗传信息和内部能量贡献可以改变系统的熵。

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14.5 唯象定律与稳态应力

发育生长与生理生长

在缺乏指导生长定律公式的基本物理原理的情况下，我们考虑基于一般生理或生物原理的合理唯象模型。重要的是区分发育生长和生理生长过程。在发育期间，生长的作用是快速扩大质量，主要通过细胞分裂，并塑造组织。在常规生理功能期间，生长用于维持组织或器官内适当的机械环境。

稳态应力假设

稳态应力假设表明存在一个在常规生理条件下通过生长和重塑调节的特定首选应力值。稳态的概念最初由Walter Bradford Cannon在1926年提出。在我们的框架中，稳态应力假设意味着存在一个不发生生长的柯西应力张量函数T*(T)。

线性稳态生长定律

在最简单的情况下，稳态应力是一个张量T*。接近稳态状态时，可以合理地假设动力学是线性的，因此我们获得线性稳态生长定律：

ĠG^(-1) = K : (M - M*)

其中K是四阶张量，M*表示Mandel应力的稳态值。

稳态应力的局限性

稳态概念在许多机械生物学方面很重要。然而，它是否作为一般原则成立尚不清楚。虽然在正常生理状态下它似乎是合理且有据可查的，但该概念可能不直接适用于肿瘤生长或伤口愈合等病理过程，或在机械环境和组织材料特性快速变化的形态发生过程中。

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14.6 均匀变形的动力学

完整方程组

考虑均匀弹性和生长变形来理解生长的整体动力学特别有用。假设质量密度保持恒定，身体始终处于弹性平衡且没有体力，我们寻找x = χ(X, t)的解：

• F = Grad χ
• F = AG
• ĠG^(-1) = G(T, A, G)
• T = H(A)
• div T = 0

对角变形

进一步关注材料不可压缩且变形对角的情况。那么柯西应力张量在相同基底下也是对角的，因此等于Mandel应力。

一维例子

考虑在其中一个轴上承受恒定压缩并允许在其他两个方向生长的生长矩形块。假设沿压缩e3轴存在稳态应力t3*。采用生长定律：

γ̇ = kγ(t3 - t3*)

其中t3*是给定的稳态应力。

通过分析，我们得到线性化方程：

γ̇ = μγ

其中μ的符号决定了平衡点的稳定性。从Baker-Ericksen和有序力不等式，我们有μ < 0（当k > 0时），因此平衡点是渐近稳定的。

两根平行梁的例子

考虑两根平行生长并通过砧板连接的梁。假设两根梁都有稳态应力t±*，生长定律为：

γ̇± = k±γ±(t3,± - t±*)

根据t±*的值，我们有不同的动力学行为：

情况I：稳态应力与力平衡相容。一根梁生长而另一根收缩，直到系统达到平衡。

情况II：不相容且t+t- < 0。动态是非单调的，一根梁先收缩后生长，最终可能导致不稳定性。

情况III：不相容但t+t- > 0。两根梁可能都无限生长或收缩。

这个简单例子已经展示了生长动力学的可能复杂性，包括非单调行为和不稳定动力学。

二维例子

考虑生长立方体被限制沿其轴生长和变形，并承受施加的压缩力。假设生长定律为：

γ̇i = γi Σj Kij(tj - t*j)

通过分析平衡点的稳定性，揭示了参数β控制稳定性：稳定结点、稳定螺旋或不稳定平衡。动力学在βcrit处有分岔点。

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14.7 重塑

重塑的定义

除添加质量外，进化组织的一个重要特征是其重塑能力。重塑被定义为不添加质量而发生的组织或器官变化。组织老化时材料硬度的演化是重塑过程的一个例子。

骨重建

在哺乳动物组织中，这些过程在发育和成年期间都会发生。Wolff定律指出骨骼适应外部载荷通过增强来抵抗这些载荷。这个密度生长的例子伴随着体积的局部变化，但也可以被视为整个结构的重塑过程。

纤维方向演化

在胶原纤维增强组织中，成纤维细胞在体外响应机械载荷改变胶原纤维的方向。这种机械诱导的纤维重新排列被认为在主动脉瓣和动脉壁的正常功能中起重要作用。

重塑的两个层面

在我们的框架中，重塑可以在两个不同层面发生：

运动学层面：考虑变形张量G不改变体积的生长过程，即det(G) = 1。它对应于局部沿某些优选方向的质量重新组织。

材料层面：在各向异性材料中，重塑可以改变各向异性的方向。例如，在纤维增强材料中，参考纤维方向M可以随时间作为施加载荷或应变的函数而演化。

纤维重塑定律

一个简单的演化定律是：

∂M/∂t = (1/τ)(N - (N·M)M)

其中M和N都在参考配置中取，τ是典型松弛时间。这等价于：

ω = M × N / τ

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14.8 生长诱发的失稳

基本方法

在前几节中，我们研究了简单配置的动力学和稳定性。接下来，我们考虑生长诱发的屈曲可能性，并将分岔方法扩展到生长弹性体的情况。

假设条件

我们限制生长张量G是给定的且不随变形演化的情况。生长由外部驱动，不受系统状态（如应力或应变）的影响。因此，生长张量可以被视为改变身体几何形状和残余应力的控制参数。

增量运动学

假设已知的有限变形χ(0)，我们引入增量变形：

χ = χ(0) + εχ(1)

其中ε被引入作为叠加在有限变形上的小扰动参数。增量变形梯度为：

F = Grad(χ) = 1 + εF(1)F(0)

由于生长张量G是常数，弹性变形张量为：

A = 1 + εA(1)A(0)

线性化方程

由于增量变形和边界条件都在当前配置中表达，我们只考虑柯西应力张量并假设它可以展开为：

T = T(0) + εT(1) + O(ε²)

在一阶近似下，在没有体力的情况下，柯西方程变为：

div(T(1)) = 0

线性化本构方程

对于单个标量约束C(A) = 0，本构关系为：

T = J A^(-1)(∂W/∂A - q·∂C/∂A)

在一阶和首阶近似下，我们可以将增量应力与增量应变联系起来。

边界值问题

边界条件通过在部分边界固定χ(1)并在其余边界上规定T(1)n来指定。

这个方程组是分析与变形χ(0)相关的配置稳定性的核心方程。对于给定的边界条件，该方程组解的存在性表明存在分岔和失稳的可能性。

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本章总结

本章系统地介绍了生长演化定律的理论框架，主要内容包括：

1. 生长张量对称性：讨论了乘法分解的非唯一性，引入正交各向异性、横观各向同性等多种生长模型

2. 凝胶溶胀：各向同性生长的重要应用，提供了简化的本构框架

3. 离散生长步骤：将连续生长过程离散化处理，为数值计算奠定基础

4. 热力学约束：通过Clausius-Duhem不等式区分被动和主动生长过程

5. 稳态应力：生物系统中的核心概念，但也有其局限性

6. 动力学分析：通过相平面分析揭示了生长动力学的复杂性，包括非单调行为和分岔现象

7. 重塑：材料属性随时间的演化，是生长理论的必要补充

8. 失稳分析：将分岔理论扩展到生长系统，为理解生长诱发的形态变化提供工具

本章为后续章节提供了理论基础，展示了生长问题的数学深度和生物学的丰富性。