第十三章：平衡定律阅读笔记

概述

本章是形态弹性理论（Morphoelasticity）的核心章节，系统性地建立了含生长过程的连续介质力学平衡定律框架。与传统弹性理论不同，本章处理的是开放系统——物质可以通过边界流入或流出，且系统的质量可以随时间增加或减少。本章从生长时间尺度的基本假设出发，逐步推导出质量、动量、能量和熵的平衡方程，最终建立了形态弹性本构关系的理论基础。

本章的核心思想是将变形梯度进行乘法分解：F = AG，其中G为生长变形张量，A为弹性变形张量。这种分解使得我们可以在一个统一的框架下同时处理生长和弹性响应，为后续章节的生长定律推导奠定了基础。

13.1 慢生长假设（The Slow-Growth Assumption）

时间尺度的层次结构

在建立生长连续统的平衡定律之前，作者首先引入了一个关键假设——慢生长假设。这一假设基于对生物系统中不同时间尺度的仔细分析。

典型生物生长过程涉及五个重要时间尺度：

1. 弹性时间尺度（τ_elas） 与组织中波的传播和惯性效应相关。由于大多数组织的典型尺寸约为10厘米，波的传播速度约为10-100 m/s，因此弹性时间尺度约为τ_elas ≈ 10^(-2)秒。

2. 粘性时间尺度（τ_vis） 惯性效应由于组织内部摩擦而被阻尼。根据组织的软硬程度和粘度，典型粘性时间尺度约为τ_vis ≈ 1秒。

3. 应力松弛时间尺度（τ_rel） 在某些系统中，生长过程中积累的残余应力会由于内部重排而松弛。在形态发育过程中，这种重排可能与生长本身作用在同一尺度上。然而，在生理条件下，残余应力具有特定功能，因此与内部重排相关的类塑性松弛具有典型时间尺度τ_rel。

4. 加载时间尺度（τ_load） 与典型应变率相关，如细胞周期、血液流动、运动中肌肉施加的力或昼夜节律，范围从秒到天不等。

5. 生长时间尺度（τ_growth） 通常，生长的时间尺度τ_growth比大多数上述过程更长。即使考虑自然界中最快的生长过程，它们也比作用于系统的其他效应慢几个数量级。

最快的细菌 doubling time 约为10分钟（一些在Lake Tanganyika热液喷口发现的嗜热厌氧细菌）。大肠杆菌的doubling time约为20分钟到1小时，接近热力学极限。体内癌细胞doubling time约为24-60小时，但肿瘤变化很大——快速生长的肿瘤约为100天，慢速的可达数年。陆生脊椎动物 postnatal growth rates 的典型doubling time在早期生长年为几年范围内。植物中，最大生长速率的doubling time从单细胞藻类的3小时到一些树木的4-7年不等。毛竹（Moso bamboo）通常被认为是生长最快的植物，24小时内线性生长超过100厘米。

时间尺度的排序

基于以上分析，典型生物系统生长过程的时间尺度排序为：

τ_elas ≪ τ_visc < τ_load ≪ τ_growth

松弛时间尺度未列入此列表，因为它定义了不同类型的生长。如果生长主要是弹性的（如成熟器官中发现的那样），则几乎没有或没有内部应力的松弛，因此τ_growth > τ_rel，松弛效应可以安全忽略。然而，在发育过程中，细胞在组织内的快速重排会迅速消散质量添加的力学效应，系统表现得更像流体，τ_rel与τ_growth相当。在其他系统中（如第6.3节讨论的茎生长），松弛和应力之间存在平衡——随着生长进行，系统维持一定的应力水平同时添加物质。

慢生长假设的含义

基于时间尺度的排序，作者采用形态弹性学的慢生长假设：假设生长过程的时间尺度远大于任何其他时间尺度并满足τ_elas ≪ τ_visc < τ_load ≪ τ_growth。因此，生长和弹性响应的时间尺度广泛分离，可以合理地假设对于生长过程，材料的弹性动力学仅通过几何变化依赖于生长，而不是通过与生长过程相关的通量的动力学。也就是说，在任何给定时刻和短时间尺度上，假设材料是超弹性的。

这一假设的重大意义在于：我们可以先正式地包含这些项，然后忽略它们，从而看清慢生长假设如何影响平衡方程。这种处理方式允许在需要时推广理论。

13.2 质量平衡（Balance of Mass）

生长连续统中的质量平衡

考虑一个固定在当前构型中的物体B，研究其子集Ω_t ⊆ B_t的演化。假设生长可以通过体积生长或通过边界的物质通量发生，局部体积生长的速率由生长率函数ργ(x)捕获，通过边界∂Ω的物质通量由向量φ(x)描述。物体B是固定的，即物体边界上没有表面生长。通量φ(x)描述了物质向自身扩散的可能效应。

对任意体积元Ω应用质量平衡，结合外法向边界向量n，得到：

d/dt ∫Ω ρ dv = ∫_Ω ργ dv + ∫ φ·n da

应用Maxwell输运公式和散度定理，并通过局部化程序，得到生长连续统质量平衡的局部形式：

ρ̇ + ρ div v = ργ + div φ

在慢生长假设下，我们忽略通过边界的通量及其相关的动量，即设φ = 0，因此：

ρ̇ + ρ div v = ργ

生长张量与生长率函数的关系

可以将生长张量G与质量平衡方程中出现的生长率函数γ(x)联系起来。在初始构型中，质量方程为：

d/dt (Jρ) = Jργ

其中J = det(F)是变形梯度的雅可比行列式。利用乘法分解F = AG，有J = J_A J_G，其中J_A = det(A)，J_G = det(G)。设ρ_G是相对于虚拟状态的密度，考虑虚拟状态中的质量元dM = ρ_G dV。由于弹性变形不添加质量，当前状态中的质量为dm = ρ dv = dM = ρ_G dV。

利用雅可比恒等式，方程可写为：

ρ̇_G + ρ_G tr(G⁻¹Ġ) = ρ_G γ

两个重要极限

1. 恒定密度情况：此时ρ̇ = 0，生长张量G与生长率之间的关系为：

tr(G⁻¹Ġ) = γ

这表明生长张量的对数应变率之和等于体积生长率。

2. 恒定体积情况：如果没有体积变化，则J_G = 1，密度演化可写为：

ρ̇_G = ρ_G γ

即γ是致密化速率，在不改变体积的情况下向系统添加物质。

生长张量的运动学解释

生长张量G与实验生长运动学之间也存在联系。假设没有弹性变形，即A = I，则G = Grad χ，定义生长速度为v_G(x,t) = ∂χ/∂t。生长速度梯度张量为L_G = grad v_G。利用链式法则，有Ġ = L_G G，再次使用雅可比恒等式，在恒定密度情况下，这一方程specializes为更常见的形式。

值得注意的是，如果G不是恒等张量的倍数（各向异性生长），则G包含的信息比γ多得多，因此对于各向异性生长的描述，可能需要张量G的所有分量。

13.3 线性与角动量平衡（Balance of Linear and Angular Momenta）

线性动量平衡的修正

线性动量平衡需要修改以考虑通过边界添加物质的可能贡献。这类贡献有两种类型：

1. 顺从源（Compliant Sources）：新添加的物质具有与同一点现有物质相同的特性。这些贡献通常相互抵消，不会出现在局部平衡定律的陈述中。

2. 非顺从源（Non-compliant Sources）：新物质具有与预先生长的物质不同的来源，例如具有比周围组织更高的局部能量密度，或由于微观组织而具有更低的熵。这些源用上划线表示，它们作为额外贡献出现在局部陈述中。

对于生长材料的线性动量平衡，有：

d/dt ∫Ω ρv dv = ∫ T·n da + ∫_Ω ρb dv + ∫_Ω ργv dv + ∫_Ω p̄ dv

其中各项分别对应：身体力和牵引力、顺从源、非顺从源。

经过散度定理和输运公式的应用，结合质量平衡方程，局部化后得到：

ρv̇ = div(T^T) + ρb + p̄

在慢生长假设下，设p̄ = 0，恢复通常的线性动量平衡：

ρv̇ = div(T) + ρb

角动量平衡

关于原点的角动量变化与施加扭矩之间的平衡陈述为：

d/dt ∫Ω ρ(x × v) dv = ∫ x × (T·n) da + ∫_Ω ρ(x × b) dv + ∫_Ω ργ(x × v) dv + ∫_Ω x × p̄ dv

由于非顺从线性动量源p̄进入角动量平衡，我们不需要额外的非顺从角动量源。假设材料是非极性的，系统上没有内部扭矩的来源（无论顺从与否），应用输运和局部化程序后，得到即使存在生长通量，Cauchy应力张量也是对称的标准条件：

T^T = T

这一结果表明，在生长存在的情况下，应力张量的对称性仍然成立，这是连续介质力学的基本假设。

13.4 能量平衡（Energy Balance）

热力学第一定律

能量平衡是热力学第一定律，它将物体的总能量变化与机械功、热以及由于新物质进入系统而产生的额外能量来源联系起来：

d/dt (E + K) = P + Q + S + S̄

其中总能量分解为内能E（即弹性能和化学能）和动能K。机械功率P是物体通过体积力b和表面牵引t承受的单位时间功。加热Q由体积热源r（辐射）和表面通量q（傅里叶热通量）组成。此外，还有顺从能量贡献S和非顺从能量贡献S̄，后者源于非顺从能量源密度ε和非顺从线性动量源p相关的功率。

对任意区域Ω的能量平衡：

d/dt ∫Ω ρ(ε + |v|²/2) dv = ∫_Ω ρb·v dv + ∫ n·Tv da + ∫Ω ρr dv + ∫ q·n da + ∫_Ω γ(ε + |v|²/2) dv + ∫_Ω (ε̄ + p̄·v) dv

经过冗长但平淡的输运和局部化过程，利用其他平衡定律，得到能量平衡的局部陈述：

ρε̇ = tr(TL) + ρr - div q + ε̄

其中L是速度梯度张量。我们再次观察到，除了可能的非顺从能量来源外，这个平衡方程与非生长材料的平衡方程相同。

13.5 熵不平衡（Imbalance of Entropy）

熵与无序

对于非生长介质，熵通常衡量由微观波动引起的无序，熵随无序增加。热力学第二定律指出，系统内部熵的变化率大于或等于传递给该系统的熵流。局部地，这意味着熵密度（单位质量）的变化η（测量系统的无序）大于由热供应Q（除以温度θ > 0）给出的局部熵传递。

Clausius-Duhem不等式

在生长材料的情况下，还需要考虑非顺从能量源ε和新的可能的非顺从熵贡献-h，该定律（称为Clausius-Duhem不等式）采取以下形式：

d/dt ∫Ω ρη dv ≥ ∫_Ω (ρr/θ) dv - ∫ (q·n)/θ da + ∫_Ω γη dv + ∫_Ω (ε̄ - h̄)/θ dv

在当前构型中，假设所有场光滑，Clausius-Duhem不等式的局部版本为：

ρη̇ ≥ ρr/θ - div(q/θ) + (ε̄ - h̄)/θ

熵平衡与能量平衡相结合，可以通过应用Legendre变换到比自由能密度函数ψ = ε - θη来推导另一个不等式。在当前构型中，这个不等式写为：

ρψ̇ ≤ tr(TL) - ρηθ̇ - q·grad(θ) + h

耗散不等式

通过引入一个重要量——耗散D，可以重写这个不等式：

-θD = ρ(ψ̇ + ηθ̇) ≤ tr(TL) - q·grad(θ) + h ≤ 0

项θD表示单位体积的能量耗散。在当前背景下，作为热力学第二定律的重述，耗散不等式指出系统中的耗散是正的，即D ≥ 0。耗散不等式是建立本构关系的基础，它限制了允许的热力学过程。

13.6 弹性本构定律（Elastic Constitutive Laws）

Coleman-Noll程序

熵不平衡可用于在一般上下文中推导应力与应变之间的本构关系。这可以通过使用理性热力学的Coleman-Noll程序系统地完成。本章仅假设材料是超弹性的，并且在第11.3节定义的弹性时间尺度上是等温的。

因此，利用超弹性和慢生长假设，存在一个内能密度，它仅依赖于弹性变形张量A：

ρ = (1/J_A) W

其中W = W(A)是单位体积（相对于虚拟状态）的内应变能密度。也就是说，相对于虚拟状态（被视为无应力构型），材料是超弹性的。应力由下式给出：

T = J_A⁻¹ A (∂W/∂A) - pI

如果材料是弹性不可压缩的，则J_A = 1，p是静水压力；对于弹性可压缩材料，p = 0。所有与F相关的运动量（如不变量、主伸长率和弹性应变张量）现在可以用弹性变形张量A而不是F来写，从而获得本构定律的不同显式形式。

13.7 体积形态弹性学总结（Summary of Volumetric Morphoelasticity）

理论框架

在生长方法中，我们从物体的初始无应力构型B₀开始。假设在任何材料点，体积元都可以自由生长。局部地，这个生长过程将无穷小球体转换为无穷小椭球体。这个椭球体的大小和方向由生长变形张量G完全指定。G的应用将初始构型转换为虚拟状态V。这个状态也是无应力的，用于计算确保连续体物体完整性和平衡施加的体积载荷及边界条件所需的弹性应力。这些应变通过弹性变形张量A定义，它将虚拟状态映射到当前构型B。定义从B₀到B局部变形的变形梯度张量F因此分解为F = AG。

基本方程组

在当前构型B中，质量、线性动量和角动量的平衡导致Cauchy应力张量T和质量密度ρ的通常Cauchy方程。应力与来自应变能函数W的超弹性材料的应变相关。总体而言，我们有：

F = AG

ρ̇ + ρ div v = ργ

ρv̇ = div(T) + ρb

T^T = T

T = J_A⁻¹ A (∂W/∂A) - pI

其中b是体积力密度，ρ是密度，v是速度，J_A = det(A)。对于不可压缩材料，J_A = det(A) = 1；对于可压缩材料，p = 0。

关键区别

与经典弹性理论的关键区别在于几何和弹性是分离的。也就是说，应力是相对于弹性变形张量A而不是整个变形张量F计算的。本构方程给出T作为A的函数，可以重写为FG⁻¹的函数，方程可以像往常一样相对于初始或当前坐标求解。

请注意，我们仍然需要本构地指定G。在这样做之前，我们先考虑几个指定G的例子。

13.8 简单例子（Simple Examples）

13.8.1 生长立方体

考虑一个简单问题：各向同性不可压缩立方体，约束在两块板之间，只能沿其轴线生长。生长变形将初始长度为L₀的立方体转换为更长的长度为L的立方体，而沿该轴的边界阻止了这种膨胀，因此其长度保持l = L₀。这个生长过程是相容的，不会产生残余应力。

使用相同的笛卡尔基{u2083}表示三个构型，假设在u2083方向均匀生长，三个变形张量为：

[F] = diag(λ₁, λ₂, λ₃), [A] = diag(α₁, α₂, α₃), [G] = diag(1, 1, γ₃)

其中γ₃ = L/L₀。乘法分解意味着λ₁,₂ = α₁,₂和λ₃ = α₃γ₃。由于块体是各向同性的，并且在垂直于生长的方向上没有施加荷载，我们有α₁ = α₂ = α，结合不可压缩条件det(A) = 1，意味着α₃ = 1/α²。沿e₃方向的刚性边界条件给出λ₃ = 1，即α = γ。

生长过程中产生的应力为：

t₃ = (1/γ²) W₃(γ, γ, 1/γ²) - γW₂(γ, γ, 1/γ²)

引入辅助函数W̄(γ) = W(γ, γ, 1/γ²)，可得：

t₃ = -(γ/2) ∂W̄/∂γ

13.8.2 双生长立方体

考虑由两层组成的块体，具有不同的应变能函数W±，分别以γ₃,± = γ±生长。初始时，两层具有相同的宽度、高度和长度，它们可以沿e₃方向相互滑动，在那里它们被润滑板约束，可以随变形移动。

轴向应力在每层中给出，作用在板上总应力由两层应力的加权平均给出。在tz = 0（无应力）的情况下的变形中，由于与板的连接，两个立方体由于残余应力，一个处于压缩状态，另一个处于拉伸状态。

13.8.3 生长环

考虑不可压缩各向同性生长环的分析。这是一个圆柱壳的一部分（管），只允许在垂直于其轴线的平面内变形。假设它只能沿径向和环向生长。

对于均匀但各向异性的生长（γr ≠ γθ），会产生残余应力。径向生长相对于环向生长的过量会在材料中引起压缩残余径向应力。在环向应力方面，内半径处于压缩状态，外半径处于拉伸状态。环向生长，或等效的径向吸收，产生拉伸径向应力。

这一观察至关重要：残余应力以同样的方式起作用，表明动脉中的 differential growth 可能会发生以减少环向应力的梯度，防止与组织分离相关的材料失效。

对于非均匀但各向同性的生长，选择满足局部不相容的生长分布。这种不相容生长产生的残余应力无法通过有限数量的切割移除。

13.9 混合物模型（Mixture Models）

经典混合物理论

大多数生物组织和器官由多种成分组成：负载承受组件由浸泡在生物液体中的多种蛋白质组成，承受多种扩散场如小离子、氧和葡萄糖。生长和重塑是由成分的产生和去除引起的，直接是生化反应的结果。

Truesdell提出了混合物理论的三个基本原则：

混合物的所有性质必须是成分性质数学结果；
为了描述成分的运动，我们可以虚拟地将其与混合物其余部分隔离，只要我们正确地考虑其他成分对其的作用；
混合物的运动受与单个物体相同的方程支配。

最重要的假设是：即使结构在微观尺度上是异质的，在连续介质层面应将其视为均匀材料。

双组分模型

最简单的软组织双组分模型包含固体和流体成分：多孔弹性固体基质（代表细胞外基质和细胞）和渗透流体相（代表间质液）。当固体成分是弹性的时，有两种 formulations：孔弹性和混合物基础。Biot和Terzaghi首先在土壤力学领域开发了这些孔弹性模型。这些模型已应用于关节软骨、凝胶样组织以及脑组织的肿胀。

三相和多相模型

重要的推广考虑了稀释浓度下带电电解质的贡献，导致三相或多相模型。这些模型通常包括附着在固相上的额外净电荷、固定电荷密度，当细胞外基质可以阻止大带负电生物分子的运动时，这可能与生物组织相关。

约束混合物理论

在许多软组织中，固体负载承受结构本身由不同成分组成。例如，众所周知，动脉在载荷下的响应是由于肌肉细胞、弹性蛋白分子和不同胶原蛋白分子的不同贡献。如果我们想知道残余应力如何通过不同成分的相互作用、产生和去除产生的，必须单独跟踪它们。

对于固体成分，附加问题出现了：每个新成分可能具有不同的参考构型。随着新纤维添加到系统中，它们可能以无应力或具有一定应力水平的方式添加，以匹配系统中现有的应力。因此，在某一时刻添加的某一成分的一部分的参考构型必须通过系统的演化进行跟踪。

本质上，这种方法可以被视为乘积分解对每个时间、每个成分的推广。总体应力在任一点不仅是所有成分的总和，而且是每个成分在整个历史上以描述材料去除和添加的加权积分。

关键概念总结

慢生长假设：生长时间尺度远大于弹性、粘性和加载时间尺度，使得在任意时刻可将材料视为超弹性。
变形梯度乘法分解：F = AG，其中G负责生长，A负责弹性响应，两者都是弹性和生长的基础。
质量平衡：包含生长率项ργ和通量项div φ，在慢生长假设下简化为ρ̇ + ρ div v = ργ。
动量平衡：在慢生长假设下，保持标准形式ρv̇ = div(T) + ρb，应力张量对称性T^T = T仍然成立。
能量平衡：包含顺从和非顺从能量贡献，局部形式ρε̇ = tr(TL) + ρr - div q + ε̄。
熵不等式/耗散不等式：Clausius-Duhem不等式建立了热力学第二定律的局部形式，耗散D ≥ 0限制了允许的过程。
超弹性本构关系：T = J_A⁻¹ A (∂W/∂A) - pI，其中应变能W依赖于弹性变形张量A。
几何与弹性分离：这是形态弹性理论的核心特征——应力通过A而非F计算。

数学标记说明

本章使用的关键数学符号： - F：变形梯度张量 - A：弹性变形张量 - G：生长变形张量 - J = det(F)，雅可比行列式 - T：Cauchy应力张量 - ρ：质量密度 - v：速度向量 - ψ：比Helmholtz自由能 - η：比熵 - θ：绝对温度 - L = ḞF⁻¹：速度梯度张量 - tr()：矩阵的迹

本笔记基于Alan Goriely所著《The Mathematics and Mechanics of Biological Growth》（Interdisciplinary Applied Mathematics 45, Springer, 2017）第十三章内容编写。

第十三章：平衡定律 阅读笔记

概述