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第十二章：生长的运动学

章节概述

本章探讨了生物体生长过程中形状和体积变化的几何描述，以及这些过程所产生的应力的量化方法。生长问题的核心在于：生物体中相邻的点可能以互不兼容的方式生长，导致部分区域重叠或撕裂。弹性体会通过产生弹性应变来维持身体的连续性和完整性。本章引入了形态弹性理论（Morphoelasticity）的核心思想，即生长可以看作一个两步过程：首先是一个纯粹的几何变形，指定身体中每个点如何受到生长的影响；随后是为了维持身体连续性和力学平衡所需的弹性调整。

12.1 思想实验

为了理解生长所产生的应力的本质，作者设计了一个思想实验。假设有一个弹性体，可能是动脉、心脏、树枝、实体肿瘤或任何可以合理建模为弹性连续体的物体。为简化分析，假设物体当前既不生长也不运动：身体处于静态平衡状态。

第一个问题：需要量化这些内部应力。

第二个问题：考虑到非线性弹性的基本假设是通过考虑远离无应力构型的应变来定义本构关系，需要获得一个所有应力都被移除的状态。

实验步骤如下：首先，移除所有外部施加的载荷和体力——释放附件、移除压力场、关闭重力。重力可以通过将实验置于太空中、放置在中性浮力外壳中，或认识到重力场所产生的典型应力可以忽略不计来消除。

第二步是评估可能因生长而产生的内部应力。事实上，在没有外部载荷和体力的情况下，身体可能仍然经历残余应力。残余应力的存在可以通过破坏性实验来证明——切割身体，并观察到在弹性应力释放的过程中，材料的碎片会改变形状。例如，通过切开动脉或大黄可以观察到残余应力。通过连续切片，最终可以获得一个所有残余应力都被移除的构型。这个无应力构型可用于获得本构定律，通过仔细追踪所有形状变化，可以计算出材料中的残余应力。

翻转管的例子

考虑一个简单的物理实验：取一个无应力的弹性管，将其内外翻转。即使在没有外部载荷的情况下，这个新管也是应力的。残余应力可以通过单个纵向切割轻松释放。切割后，管会放松并恢复其原始的无应力管状形状。然而，在没有残余应力场先验知识的情况下，不清楚应该如何切割管以释放所有应力。另一种切割方式是将管切成许多环。每次切割时，环的内外径会发生变化，表明残余应力的释放。但这些环仍然有应力。可以继续将每个环沿圆周切成两个新环，如此反复。每次切割后，都会观察到环直径的变化。每次切割都会揭示残余应力的存在。切割过程需要无限重复，因为每个新切割都会揭示残余应力的存在。

关键结论：即使在单次切割可能足够的情况下，如果没有残余应力场的先验知识，破坏性实验可能需要无限多次切割才能释放所有应力。

12.2 应力释放

形式化定义

考虑一个身体B处于三维欧几里得空间E³中的构型B。该身体由超弹性非极性材料组成，目前处于弹性平衡状态，即与体力b和施加的载荷平衡。应力由Cauchy应力张量T = T(x)表征，x ∈ B，服从当前构型中的运动方程：

div T + ρb = 0, T^T = T

其中ρ = ρ(x)是当前质量密度。边界条件由位移x_b和表面牵引t_b的组合指定。

卸载过程

移除所有施加的载荷、位移和体力，使得b = 0，t_n = 0。通过移除载荷和牵引力，身体被弹性变形为残余应力构型B_r。卸载过程是从B到B_l的逆变形，表示为χ_l，变形梯度张量为：

F_l(x_r) = grad_r χ_l(x_r)

如果这个卸载构型是无应力的，那么就有了所有几何和物理量都可以评估的参考构型。

Signorini平均应力定理

通过反复切片释放残余应力的存在依赖于Signorini平均应力定理：在一个体积V的简单连接身体B中，处于力学平衡状态，受施加的载荷t_b和体力b支配，我们定义平均应力T̄为体积积分。在没有体力和牵引的情况下，身体上的平均应力恒为零。特别地，如果跟随一个点x ∈ B_r，通过反复切割，子身体的体积减小。由于Cauchy应力在x处连续且可微，它在无限小身体的极限中收敛于零平均值。因此，通过反复切割，初始身体被分成一组可能无限多的子身体，在每个子身体上Cauchy应力恒为零。

虚拟状态

每次切割后，应力被释放，跟踪切线空间中基向量的变化。这些基的变化由每一步释放的应变定义，可用于定义变形张量。更精确地说，应变的变化由一个两点张量局部定义，该张量将p处的切向量映射到新无应力构型中的切向量。记A_r^{-1}为局部弹性变形张量，映射物质点p ∈ B_r处的切空间T_p B_r到同一物质点在无应力构型中的切空间。所有B_r切空间的像的并集形成一个切丛T_V。

两种可能的等价定义： 1. 将切丛T_V视为全局可微流形的切丛。从B_r到V不存在全局可逆可微映射意味着V不是欧几里得流形，其几何性质可以通过微分几何的标准量来描述。 2. 将虚拟状态V视为欧几里得空间中的错位体，即由可能无限小的无应力子身体组成的可能重叠或间隙的不相容状态。虚拟状态不是在欧几里得空间中实现的构型，而是一个可以定义应变等运动学度量的状态。更重要的是，V是适合计算残余应力和最终构型应力的超弹性材料的无应力状态。

12.3 形态弹性学的概念假说

核心假设

残余应力与生长或参考构型的内部重新组织密切相关。身体不同元素的大小或相对位置发生变化时，即使在没有外部载荷的情况下也会产生应力。形态弹性学的中心公设是：残余应力完全由局部生长变形张量产生。即变形梯度可以乘积分解为：

F = A G

其中张量G描述了身体中所有点的形状和体积变化。

乘积分解的历史背景

这一概念假说——通过变形梯度的乘积分解来考虑非弹性贡献——源于不同学科的早期工作： - 聚合物溶胀：Flory (1956) 首次讨论 - 缺陷理论：Bilby, Gardner, Stroh (1957) - 弹塑性：Kröner (1958) - 热弹性：Stojanović等 (1964) - 生物组织：Kondaurov和Nikitin (1987，俄罗斯) 以及 Takamizawa等 (1987，日本) 独立提出 - 这些想法后来被Tranquillo和Murray在伤口愈合工作中采用

这一方法成为生物力学核心概念是在Rodriguez, McCulloch和Hoger (1994) 的开创性工作之后。

一般原理

生长在弹性组织中可以建模为一个非弹性过程，它是局部生长变形和局部弹性变形的组合结果。身体的一个构型被称为相容的，如果存在身体B在E³中的等距嵌入。即我们假设存在一个初始相容参考构型B₀ ⊂ E³和一个生长张量G(X₀, t)，定义在时间t时身体B中每个具有坐标X₀ ∈ B₀的物质点p上。生长张量将每个点p处的切空间T_p B₀映射到虚拟状态V中同一物质点的线性空间T_p V。

F = A G 分解

从初始参考构型到残余应力构型的变形可以表示为：

F_r(X₀, t) = A_r(X₀, t) G(X₀, t)

由于F_r是相同身体B的两个相容构型之间的局部变形张量，它是初始参考构型和最终构型之间可逆可微映射的梯度。生长过程的逆可以看作是局部收缩、生长和刚体运动，将与V相关的错位子身体重新组合成相容构型。

从已知初始无应力构型B₀开始，研究弹性身体中的生长过程，这些过程可以表达为生长变形然后弹性变形的结果。生长张量G将初始构型带到可能不相容的虚拟无应力状态。然后，局部弹性张量A恢复身体的相容性并强制执行边界条件和体力，使得身体处于力学平衡的相容构型中：

F(X₀, t) = A(X₀, t) G(X₀, t)

注意A和G都有正的行列式。

12.4 例子：生长的环

作为范例，考虑一个具有对角生长的圆形环。生长环被建模为三维管的截面。在圆柱坐标中，生长张量为：

G = γ_r E_Θ ⊗ E₀,Θ + γ_θ E_Θ ⊗ E₀,Θ + γ_z E_Z ⊗ E₀,Z

其中γ_r、γ_θ和γ_z是严格正的，仅是径向变量R₀的函数。

特殊情况

  • 径向生长：γ_θ = 1 且 γ_r ≠ 1，每条径向纤维膨胀（如果γ_r > 1）或收缩（如果γ_r < 1）
  • 周向生长：γ_r = 1, γ_θ ≠ 1，对应圆周纤维获得或失去质量

如果生长是横向等向的（γ_r = γ_θ），新环是原始环的纯膨胀：张量G是变形的梯度，不产生残余应力。如果考虑各向异性均匀生长（γ_r ≠ γ_θ），则在环中产生残余应力。

环的虚拟状态

残余应力可以通过切割环并观察其放松成一个扇形来直接观察。假设身体是均匀的，在轴向没有变形。进一步假设开放身体呈环扇形形状，并且是无应力的。残余应力可以完全由这个开放构型的几何形状描述，生长张量可以唯一确定（乘以一个常数）。在这种情况下，虚拟状态是局部相容的，对于正开口角也是全局相容的。

生长张量在圆柱坐标中容易确定为：

[G] = [R] diag(1, φ/π, 1)

其中R是绕Z轴旋转φ/π角度的旋转矩阵。

12.5 不相容问题

问题陈述

卸载和去应力过程创建了一个虚拟状态，在物质点p ∈ B处由线性空间T_p V局部表征。然而，当试图将这些变形张量与变形梯度关联起来时出现了困难——使得它们成为真正的变形梯度张量。这种映射（全局或局部）的不可能性定义就是不相容问题。

从几何学角度，这意味着需要定义V如何未能成为欧几里得流形的度量。从分析学角度，需要量化缺少存在的映射的程度。

相容性的定义

张量G(X)被称为局部相容，如果它是变形的梯度，即存在光滑映射y = y(X)使得G = Grad y。它是全局相容，如果它是定义在E³中开集的身体B₀上的微分同胚。

12.5.1 微分几何视角

生长度量与黎曼曲率张量

生长张量G : TB₀ → TV在每个点p处将初始构型的切空间映射到同一物质点p在虚拟状态中的切空间。初始构型是一个具有欧几里得度量标准定义的简单连接欧几里得流形。

生长度量：右Cauchy-Green张量 M = G^T G。张量M提供了初始构型中向量的像之间的长度和角度度量。这个二次型在V上定义了一个度量，称为生长度量。

度量的平坦性

如果存在一个局部坐标系使得度量张量化为单位矩阵，则度量是平坦的；否则度量是非平坦的。

平坦度量的条件：存在映射φ : B₀ → B̃ ⊂ E³，使得关联的度量化为单位：F̃^{-T} M F̃^{-1} = I

其中F̃ = Grad₀(φ)。这意味着M = F̃^T F̃，生长度量是光滑变形的右Cauchy-Green张量。

当度量张量M是平坦的时，张量M是一个相容应变张量：M等于光滑变形的右Cauchy-Green应变张量。但M相容并不意味着G相容——如果旋转R不是刚体旋转，则G不相容。

黎曼曲率张量

平坦度的判断标准由微分几何的基本定理给出：黎曼曲率张量恒为零当且仅当度量是平坦的。

给定生长张量G，计算M和曲率张量R°。如果R° = 0，则度量是平坦的，M是一个相容应变张量。否则，度量是非平坦的。

几何分析识别两种残余应力来源

  1. 第一种情况：生长张量定义了一个平坦的生长度量。不存在从初始构型到生长构型的映射是由于全局约束。生长张量是局部可积的，但没有全局映射使其成为梯度，因此它是全局不可积的。

  2. 第二种情况：变形梯度不是局部可积的，生长度量是非平坦的。不存在将生长的无应力身体局部嵌入欧几里得空间的映射。即在应力身体的某些区域，需要无限多次切割才能释放所有应力。

Saint-Venant相容性问题

不相容问题可以看作是线性弹性中Saint-Venant相容问题的非线性版本。1864年，Saint-Venant推导出了线性应变作为位移梯度对称部分的六个独立条件。这些条件后来由Beltrami在1886年在微分几何的背景下推导出来。Eckart (1948) 和 Kondo (1949) 首次将微分几何与非线性弹性理论联系起来。

12.5.1.2 生长环的度量与曲率

对于生长环的特殊情况，生长张量是对角的且仅是径向变量的函数。计算Christoffel符号和黎曼曲率分量。

局部相容的条件：

对于非零曲率张量，需要满足： - R₀ γ_θ = Cγ_r − γ_θ - γ_z(γ_θ + R₀ γ_θ) = 0 - γ_r γ_z − γ_z γ_r = 0

如果选择γ_r = γ_θ，条件导致γ_r = γ_θ = μR₀^ν（μ, ν为常数），相应的生长张量不会产生局部残余应力。

12.5.1.3 生长联络的启发式定义

生长度量给了我们在虚拟状态中给定点的向量之间长度和角度的方法。现在希望比较V中不同点的向量，这引出了平行移动、求导和联络的概念。

生长联络定义为：Γ = G^{-1} Grad G

联络提供了在流形上取向量场导数的自然方式。这个概念对于理解生长和张量场的相容性至关重要。

平行移动

向量场v在X₀处是平行移动的，如果它满足：Grad₀ v(X₀) + G^{-1} Grad₀ G v(X₀) = 0

12.5.1.4 Riemann-Cartan流形

线性仿射联络∇ : (u, v) ∈ X(V)×X(V) → ∇_u v ∈ X(V)是流形上的基本量。与度量和联络一起，有两个基本量：挠率张量T和曲率张量R。

挠率张量：T(u, v) = ∇_u v − ∇_v u − [u, v]

曲率张量：R(u, v)w = ∇u ∇_v w − ∇_v ∇_u w − ∇[u,v] w

Riemann-Cartan流形的特殊情况

  1. Riemann流形：给定流形上的度量M，存在唯一的与G相容且无挠率的线性联络——Levi-Civita联络。

  2. Weitzenböck流形：如果曲率张量恒为零，则Riemann-Cartan流形称为Weitzenböck流形。

生长张量的挠率

与生长张量G相关的挠率张量在正交基中定义为：

T = G^{-1} Skw(Grad G)

其中Skw(·)是张量的反对称部分。

12.5.1.5 相容性的完整分类

给定生长张量G，计算两个基本对象：黎曼曲率张量R°(G)和挠率张量T(G)。

三种情况

情况1：局部相容 - 如果 T(G) = 0，则 R°(G) = 0 - 应变张量M和生长张量G都是局部相容的 - 如果身体由于这样的张量G所表征的生长而处于残余应力状态，这些应力仅由全局不相容产生 - 可以通过有限次切割完全释放

情况2：扭曲的各向异性 - 如果 R°(G) = 0 但 T(G) ≠ 0 - 应变张量M是局部相容的但G不是 - 存在旋转张量R使得RG是相容的 - 尽管生长张量不相容，但除了全局不相容的可能性外，生长过程不会产生应力

情况3：局部不相容 - 如果 R° ≠ 0 则 T(G) ≠ 0 - 应变和变形张量都是局部不相容的 - 在黎曼曲率张量不为零的身体区域，需要无限多次切割才能释放所有应力

12.5.2 分析视角

Stokes定理的应用

不相容也可以从基于Stokes定理的纯分析角度理解。在单连通域中，可微向量场是光滑函数的梯度当且仅当它的旋度恒为零。

curl的定义

可微二阶张量T的旋度定义为：(curl T)^c = (curl T^T)^c。旋度可以表示为分量形式。

关键性质：对于所有二次连续可微向量场v，curl(grad v) = 0

Stokes定理自然推广到张量场。如果在单连通域中curl(T) = 0，则T是某个二次连续可微向量场的梯度。

Nye的位错张量

可以将这些想法应用于生长张量。定义curl₀(G)为生长张量在初始坐标中的旋度。如果G是向量场的梯度，则curl₀(G)恒为零。

Nye的位错张量：α = (curl A^{-1})^T

这个张量可以直接与累积Burgers矢量b相关联，后者衡量闭合回路中位错的存在。

真实不相容张量

另一个重要的不相容量化器是真不相容张量，定义为：

K(G) = J_G G^{-1} (curl₀ G)

其中J_G = det(G)。这个张量函数K在配置的任意可微变化下是不变的。由于G = A^{-1} F且F是变形梯度，自然有K(G) = K(A^{-1})。

真不相容张量K与位错理论中Burgers矢量的密度密切相关，所有在相容配置变化下不变的函数必然是K的函数，这确立了真不相容张量作为不相容核心度量的地位。

12.5.2.1 生长圆柱的真实不相容张量

对于生长圆柱的例子，真实不相容张量可以直接计算。G是局部相容的当且仅当：

  • γ_z = 0
  • (γ_θ − γ_r)/R₀ = γ_θ

这与从几何论证获得的条件相同。

本章小结

核心概念

  1. 生长张量G：描述身体所有点由生长引起的形状和体积变化
  2. 乘积分解F = AG：将变形梯度分解为弹性部分A和生长部分G
  3. 虚拟状态V：通过反复切片获得的无应力状态，作为黎曼流形处理
  4. 不相容：生长变形无法嵌入欧几里得空间的性质
  5. 残余应力：由不相容生长产生的内部应力

相容性判断

  • 度量平坦性：通过黎曼曲率张量R°判断
  • 张量相容性：通过挠率张量T判断
  • 分析判断：通过curl或真不相容张量K判断

三种相容状态

状态 曲率 挠率 应力释放
局部相容 R° = 0 T = 0 有限次切割
扭曲各向异性 R° = 0 T ≠ 0 有限次切割（无生长应力）
局部不相容 R° ≠ 0 T ≠ 0 无限次切割

关键公式汇总

  1. 乘积分解：F = A G
  2. 生长度量：M = G^T G
  3. 黎曼曲率：R°{lijk} = ∂_j Γ − ∂k Γ} + Γ_{ij}^m Γ_{mkl} − Γ_{ik}^m Γ_{mjl
  4. 平坦度量条件：R° = 0
  5. 挠率张量：T(u, v) = ∇_u v − ∇_v u − [u, v]
  6. 生长联络：Γ = G^{-1} Grad G
  7. 真不相容张量：K(G) = J_G G^{-1} curl₀ G
  8. Nye位错张量：α = (curl A^{-1})^T