第十一章：非线性弹性力学阅读笔记

概述

本章系统介绍了非线性弹性力学的完整理论框架。与传统线弹性理论不同，非线性弹性理论不假设小变形、特定本构关系或材料对称性，因此能够描述橡胶类弹性体和生物软组织在大变形下的复杂力学响应。线性弹性理论在十九世纪已发展成熟，主要适用于小变形问题。然而自1940年代起，研究者发现橡胶和软组织的大变形行为无法用线性理论描述。例如，大动脉通常从无负载构型拉伸20%至60%，其响应与弹性体截然不同。本章从运动学出发，引入变形梯度、左/右Cauchy-Green张量、极分解应变不变量等核心概念，进一步建立超弹性材料的本构理论，并讨论客观性原理与材料对称性的约束。

11.1 运动学基础

11.1.1 标量、向量与张量

连续统力学本质上是一个场论。描述物体变形时，需要在每个物质点上附加物理量场，包括标量场（如密度、温度）、向量场（如速度、加速度，力）、以及张量场（如变形梯度、应力和应变张量）。标量是零阶张量，向量是一阶张量，而更高阶的张量则需要通过张量积来定义。两个向量在同一向量空间中的标量积定义为 u·v = u_i v_i，并由此进一步定义Euclidean范数 |v| = √(v·v)。向量之间的张量积 u⊗v 是一个二阶张量，其定义为 (u⊗v)a = (v·a)u，其中 a 为任意向量。这表明二阶张量将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的向量。在 Cartesian 基底 {e₁, e₂, e₃} 和 {E₁, E₂, E₃} 下，二阶张量可表示为 T = T_{ij} e_i ⊗ E_j，其矩阵表示 [T] 的分量 T_{ij} = e_i · (TE_j)。

对于二阶张量，定义行列式 det T = det([T]) 和迹 tr T = tr([T]) = T_{ii}。矩阵的转置 transpose [T^T] = [T]^T。对称张量满足 T^T = T，即 T_{ij} = T_{ji}。两个张量 S 和 T 的乘积仅在 T 的像向量属于 S 的定义域时有意义，即 (ST)a = S(Ta)，矩阵乘积满足 [ST] = [S][T]。正交张量 Q 满足 QQ^T = Q^TQ = 1，其分量构成正交矩阵。行列式为 +1 的正交张量称为固有正交张量（proper orthogonal tensor），全体记作 SO(3)，在描述三维空间中的旋转时至关重要。两个张量之间的双收缩（double contraction）定义为 S:T = tr(ST) = S_{ij}T_{ji}，其结果为标量。

若 det T ≠ 0，张量 T 可逆，其逆满足 [T^{-1}] = [T]^{-1}。注意张量积的基础空间可能不同（例如 u ∈ initial configuration, v ∈ current configuration），这一事实在变形梯度的定义中尤为重要。

11.1.2 空间导数

在 Eulerian（当前构型）和 Lagrangian（参考构型）两种描述下，梯度算子的定义有所不同。对于 Eulerian 描述下的标量、向量和张量场：

标量梯度：grad φ = ∂φ/∂x_j ⊗ e_j
向量梯度：grad u = ∂u_i/∂x_j ⊗ e_i ⊗ e_j
张量梯度：grad T = ∂T_{ij}/∂x_k ⊗ e_i ⊗ e_j ⊗ e_k

梯度算子使张量阶数升高一阶。类似地，散度算子使张量阶数降低一阶。对于向量 u，div u = ∂u_i/∂x_i；对于二阶张量 T，div T = ∂T_{ij}/∂x_i ⊗ e_j（按第一指标收缩）。在 Lagrangian 描述下，Grad 和 Div 算子作用于参考构型坐标 X，形式相同但以 ∂/∂X_j 替代 ∂/∂x_j，基底也从 e_j 变为 E_j。Gauss 散度定理的参考构型形式为 ∫_{∂Ω} Tn dA = ∫_Ω Div(T^T) dV。

11.1.3 曲线坐标中的导数

在实际应用中，使用曲线坐标系（如柱坐标、球坐标）往往更方便。对于曲线坐标 {q¹, q², q³} 和 {Q¹, Q², Q³}，定义尺度因子（scale factors）h_α = |∂x/∂q^α| 和 H_α = |∂X/∂Q^α|，以及对应的正交基向量 e_α = h_α^{-1} ∂x/∂q^α 和 E_α = H_α^{-1} ∂X/∂Q^α。在正交曲线坐标系中，梯度为 grad T = h_α^{-1} (∂T/∂q^α) ⊗ e_α，散度为 div T = h_α^{-1} e_α · (∂T/∂q^α)。取 Cartesian 坐标时 h_α = 1，公式退化为前面定义的标准形式。

11.1.4 标量函数对张量的导数

本节建立了计算应变能密度函数对张量导数的重要恒等式。设 F = F(A) 为张量 A 的标量函数，则 ∂F/∂A 的分量为 ∂F/∂A_{ji}。若 A = BC，则链式法则给出 ∂F/∂B = (∂F/∂A)C。Jacobi 恒等式给出了行列式对张量导数的两个重要公式：

∂(det A)/∂A = det(A) A^{-1}，以及 tr(A^{-1} B A^{-1}) 关于 A 的二阶导数等复杂恒等式。这些恒等式在建立本构关系的微分运算时不可或缺。

11.1.5 变形梯度 F

变形梯度（deformation gradient）F 是非线性弹性力学中最核心的几何量。给定变形映射 χ: B₀ → B，变形梯度定义为 F = Grad χ。在 Cartesian 坐标中：

F = ∂x_i/∂X_j ⊗ e_i ⊗ E_j ≡ F_{ij} e_i ⊗ E_j

几何上，F 是一个线性映射，将参考构型中某物质点 p 的切空间 T_p B₀ 内的向量 v 映射为当前构型中同一物质点 p 的切空间 T_p B 内的向量 Fv。变形梯度的行列式 J = det F 称为 Jacobian，表示局部体积变化率：dv = J dV。当 J > 0 时变形可逆；当 J = 1 时变形为等体积（isochoric）变形。面积元素的变换由 Nanson 公式给出：n da = J F^{-T} N dA，即参考构型中的面元 N dA 被映射为当前构型中的面元 n da。线元素则满足 dx = F dX。

变形梯度 F 在曲线坐标系中的分量具有简洁形式：对柱坐标下的环形变形 r = f(R), θ = Θ，有 F = f(R) e_r ⊗ E_R + (r/R) e_θ ⊗ E_Θ。

11.1.6 体积、表面与线元素

变形过程中，局部体积元素、面元素和线元素的变换规律是理解应变度量的基础。体积元素满足 dv = J dV，其中 J = det F。面元素的变换由 Nanson 公式描述（n da = J F^{-T} N dA），线元素的变换为 dx = F dX。对于方向 M 的线元素，其伸长率（stretch）定义为：

λ(M) = √(F^T F M · M) = √(C M · M)

其中 C = F^T F 是右Cauchy-Green张量。物体在所有方向上均无应变当且仅当 C = 1。右Cauchy-Green张量 C = F^T F 是对称正定张量，可视为当前构型上的度量张量。

11.1.7 极分解定理

极分解定理（Polar Decomposition Theorem）是弹性力学的另一基石。该定理表明：对任意 det F > 0 的二阶张量 F，存在唯一的正定对称张量 U、V 和唯一的固有正交张量 R，使得：

F = RU = VR

其中 U 称为右伸长张量（right stretch tensor），V 称为左伸长张量（left stretch tensor），R 为旋转张量。它们的平方可直接由 F 得出：

C = F^T F = U²（右Cauchy-Green张量） B = FF^T = V²（左Cauchy-Green张量）

由于 V = RUR^T，U 和 V 具有相同的特征值 {λ₁, λ₂, λ₃}，即主伸长（principal stretches）。U 和 V 可分别写为主动形式：U = Σ λ_i u_i ⊗ u_i，V = Σ λ_i v_i ⊗ v_i。Jacobian 为 J = det F = det U = det V = λ₁λ₂λ₃。F 本身可分解为 F = Σ λ_i v_i ⊗ u_i。

极分解的物理意义在于：变形梯度的作用可解释为"先沿主方向拉伸（由U描述），再施加旋转（由R描述）"，或等价地"先旋转再拉伸"。这为理解应变提供了直观的几何图像。

11.1.8 速度、加速度与速度梯度

物体的运动由映射 x = χ(X, t) 描述。物质点的速度 v = ∂χ/∂t，加速度 a = ∂²χ/∂t²。对于 Eulerian 描述下的场 φ(x, t)，物质时间导数（material time derivative）为 dφ/dt = ∂φ/∂t + (grad φ)·v，即链式法则。速度梯度张量 L = grad v = ∂v_i/∂x_j ⊗ e_i ⊗ e_j。变形梯度的时间导数满足 Ḟ = LF（或等价地 Grad v = L F）。利用 Jacobi 公式可导出 Jacobian 的演化方程：J̇ = J tr(L) = J div v。特别地，div v = 0（速度散度为零）等价于 J̇ = 0，即体积守恒。

11.2 平衡定律

11.2.1 质量守恒

在当前构型中，质量守恒要求 d/dt ∫_Ω ρ dv = 0，其中 ρ = ρ(x, t) 是当前构型中的质量密度。通过 Maxwell 传输公式和定位程序（localization procedure），可导出连续性方程（Eulerian 形式）：ρ̇ + ρ div v = 0。在参考构型中定义参考密度 ρ₀(X, t) = J(X, t) ρ(x(X, t), t)，则质量守恒化为简单的 ∂ρ₀/∂t = 0，即参考密度不随时间变化。

11.2.2 线性动量守恒

Cauchy 第一运动定律指出：任意物质子集 Ω 的线性动量变化率等于作用在该子集上的全部外力之和。在当前构型中，总线性动量为 ∫_Ω ρ v dv，外力包括体力密度 b 的体积分和接触力密度 t_n 的面积分。Cauchy 应力原理表明接触力密度依赖于单位法向量 n，并通过 Cauchy 四面体论证（Cauchy's tetrahedral argument）可证 t_n 线性依赖于 n：Cauchy 应力张量 T 满足 t_n = Tn。引入散度定理后，线性动量守恒化为积分形式，进而通过定位程序得到 Cauchy 方程（第一 Cauchy 方程）：

div T + ρb = ρv̇

这是连续统运动学的基本控制方程。

11.2.3 角动量守恒

Cauchy 第二运动定律涉及力矩的平衡。对非极性材料（无额外体力矩或接触力矩，不支持偶应力），角动量守恒要求 Cauchy 应力张量必须是对称的：T^T = T。这一对称性大大简化了控制方程，使得独立的应力分量从六个减少到六个（对称张量只有六个独立分量）。

11.2.4 多种应力张量

Cauchy 应力 T 是最自然的应力度量——它描述的是当前构型中单位当前面积上的接触力。然而，在大变形问题中，当前构型的面积随变形不断变化，因此计算上并不方便。为此引入名义应力张量（nominal stress tensor）S（也称为第一 Piola-Kirchhoff 应力）：

S = J F^{-1} T

名义应力测量的是参考构型中单位面积上的力，其转置 S^T 是工程中常用的方便量。通过 Nanson 公式 t_n da = Tn da = (J T F^{-T}) N dA = S N dA，可建立两种应力度量之间的关系。

11.2.5 弹性材料的能量守恒

对于超弹性材料，内部能量密度 W 是变形梯度 F 的函数。能量平衡给出应力功率关系：dW/dt = tr(SḞ)。这表明 S 和 F 是功共轭（work conjugate）对——它们在应力功率中以 tr(SḞ) 形式出现。这一关系对建立超弹性本构方程至关重要。

11.3 超弹性材料的本构方程

超弹性（hyperelasticity）假设内部能量密度 W 是变形梯度 F 的函数，即 W = W(F)，此时 W 称为应变能函数（strain-energy function）。利用能量平衡和标量函数对张量的求导规则，可直接导出：

S = ∂W/∂F

或用 Cauchy 应力表示：

T = J^{-1} F ∂W/∂F

这是超弹性材料的核心本构关系。

材料约束条件

对于不可压缩材料，所有变形必须满足 det F = 1（即 J = 1）。约束条件 C(F) = det F - 1 = 0 通过 Lagrange 乘子法引入静水压力 p，结果为：

T = J^{-1} F (∂W/∂F) - p1

对于可压缩材料，p = 0；对于不可压缩材料，J = 1 且 p(x, t) 为待定的静水压力。当材料无约束时，p = 0。

11.4 控制方程汇总

非线性弹性静力学/动力学的完整方程组为：

连续性方程：ρ̇ + ρ div v = 0
Cauchy 方程（运动方程）：div T + ρb = ρv̇
应力对称性：T^T = T
本构关系：T = J^{-1} F (∂W/∂F) - p1

共有十个未知数：标量场 ρ（1个）、向量场 χ（3个）、对称张量 T（6个独立分量），方程组共十个方程（含对称性方程），方程组封闭。

11.5 边界条件

平衡问题需要指定边界条件。两种基本类型为：

死载荷（dead loading）：面力在变形过程中保持恒定，例如恒定水压力 P 作用下的边界，此时 t_n = -Pn，T = -P1 在边界上。
刚性加载（rigid loading）：在边界上规定固定的位移。

还有混合边界条件：在部分边界规定面力，在另一部分边界规定位移。

11.6 客观性与材料对称性

客观性原理（principle of objectivity 或 material-frame indifference）指出：材料属性不依赖于叠加的刚体运动。这意味着应变能函数满足：

W(QF) = W(F)，∀ Q ∈ SO(3)

该原理的实质是：应变能只能通过变形梯度 F 的旋转不变部分（即 C = F^T F）来依赖于 F，故可写为 W(F) = W(C)。

材料对称性则涉及材料对特定线性变换的不变性。若参考构型经某变换 Q 映射到另一与之力学不可区分的构型，则 Q 属于材料的对称群 Q ⊆ SO(3)。超弹性材料的对称性条件为：

W(FQ) = W(F)，∀ Q ∈ Q

11.7 各向同性材料

最大对称群为 SO(3)，对应各向同性材料（isotropic material）。对各向同性超弹性材料，结合客观性和对称性，应变能函数仅依赖于 V（即 F = VR 中的左伸长张量），进而仅依赖于 V 的三个主不变量：

I₁ = tr(B) = λ₁² + λ₂² + λ₃² I₂ = (I₁² - tr(B²))/2 = λ₂²λ₃² + λ₃²λ₁² + λ₁²λ₂²
I₃ = det(B) = λ₁²λ₂²λ₃²

其中 B = V² = FF^T 是左Cauchy-Green张量。因此 W = W(I₁, I₂, I₃) 或等价地 W = W(λ₁, λ₂, λ₃)。

主应力表达式

各向同性可压超弹性材料的 Cauchy 应力一般形式为：

T = w₀ 1 + w₁ B + w₂ B²

其中系数 w₀, w₁, w₂ 由应变能函数对不变量的导数给出。用不变量表示的另一种形式（Rivlin-Ericksen 表示）为：

T = β₀ 1 + β₁ B + β_{-1} B^{-1}

利用 Cayley-Hamilton 定理 B³ - I₁B² + I₂B - I₃1 = 0 可完成两种表示的相互转换。

附加不等式（Adscititious Inequalities）

为从众多可能的应变能函数中筛选出物理合理的模型，需引入经验不等式：

Baker-Ericksen 不等式：较大主应力方向与较大主伸长方向一致，即 λᵢ = λⱼ ⟹ (tᵢ - tⱼ)(λᵢ - λⱼ) > 0
有序力不等式：较大力发生在较大伸长方向
经验不等式：β₀ ≤ 0，β₁ > 0，β_{-1} ≤ 0（可压缩情形）

这些不等式保证了材料响应的物理合理性，例如保证剪切力与剪切力方向一致（Poynting 效应）。

11.8 应变能函数的选择

应变能函数 W = W(F) 的具体形式是材料建模的核心问题。下面列出几种最常用的 phenomenological 模型（见表11.1）：

Neo-Hookean 模型（最简单模型）

W_{nh} = (C₁/2)(I₁ - 3)

该模型可从统计力学中聚合物网络的宏观极限推导，参数 C₁ 与剪切模量 μ 相关。线性化后杨氏模量 E = 3μ = 3C₁。

Mooney-Rivlin 模型

W_{mr} = (C₁/2)(I₁ - 3) + (C₂/2)(I₂ - 3)

C₁ + C₂ = μ 为剪切模量。Baker-Ericksen 不等式要求参数 α ∈ [-1/2, 1/2]。该模型是二阶弹性近似的最低阶修正。

Ogden 模型（一般形式）

W_{ogN} = Σ_{i=1}^{N} (μᵢ/αᵢ)(λ₁^{αᵢ} + λ₂^{αᵢ} + λ₃^{αᵢ} - 3)

每个 μᵢ 和 αᵢ 是待定的材料常数，与剪切模量关系为 Σ μᵢαᵢ = 2μ。实际应用中 N ≤ 6，Ogden 模型具有极大的灵活性，可拟合多种复杂材料行为。

Fung-Demiray 模型（应变硬化）

W_{fu} = (μ/2β)[exp(β(I₁ - 3)) - 1]

β > 0 控制应变硬化程度。β → 0 时退化为 neo-Hookean 模型。该模型广泛用于软组织建模。

Gent 模型（有限链可伸展性）

W_{ge} = -(μ/2β) log[1 - β(I₁ - 3)]

β → 0 时同样退化为 neo-Hookean。当 β(I₁ - 3) → 1 时应变能达到奇异，模型自动体现有限伸展性。

可压缩材料

对于可压缩材料，应变能函数通常分离为不可压缩部分和可压缩部分：

W = W_{inc}(I₁, I₂) + W_{comp}(I₃)

可选的可压缩部分形式包括 μ_c(I₃ - 1)、μ_c(J - 1)²、μ_c ln I₃、μ_c ln J 等，其中 μ_c 与体积模量相关。

11.8.1 简单均匀变形示例

均匀变形的变形梯度为常张量：x = FX + c。对于对角变形 x_i = λᵢ Xᵢ，Cauchy 应力也是对角的：

tᵢ = (λᵢ/J) ∂W/∂λᵢ

对 neo-Hookean 不可压缩材料，可推导出解析解和杨氏模量 E = 3μ。

11.8.2 半空间压缩示例

考虑不可压缩超弹性半空间在三种典型载荷下的行为：

等双轴应变（equibiaxial strain）：λ₁ = λ₃，λ₂ = λ₁^{-2}
平面应变（plane strain）：λ₃ = 1，λ₂ = λ₁^{-1}
单轴应变（uniaxial strain）：t₃ = 0，λ₂ = λ₃ = λ₁^{-1/2}

这些变形可用主伸长 λ₁ 完全表征，并可进一步分析失稳分叉问题。

11.8.3 管的充气-拉伸问题

作为非均匀变形的典型例子，考虑不可压缩超弹性圆柱壳在内外压差 P、轴向拉伸 ζ 和扭矩 τ 作用下的平衡。变形映射为：

r = r(R), θ = Θ, z = ζ Z

由不可压缩条件 det F = 1 可确定 r(R) 的显式形式。圆柱的三个主伸长为：

λ_r = dr/dR, λ_θ = r/R, λ_z = ζ

用 Fung 模型代入可发现：neo-Hookean 模型在临界压力后无界（极限点失稳），而 Fung 模型的应变硬化参数 β 越大，响应越趋于单调。这说明材料模型的选择对大变形问题的定性行为有决定性影响，对大动脉（典型轴向拉伸 1.3-1.6）尤其如此。

11.9 各向同性材料的通用变形

通用变形（universal deformations）是指：对于任意应变能函数（无体积力），仅通过边界载荷就能维持的变形类型。

Ericksen 定理（1955）证明：对可压缩各向同性材料，唯一可能的通用变形是均匀变形（Family 0）。

对于不可压缩材料，已知有六族通用变形：

Family 0：均匀变形 x_i = F_{ij}X_j
Family 1：矩形块的弯曲、拉伸和剪切（三个参数 a, b, c）
Family 2：圆柱壳段的拉直、拉伸和剪切
Family 3：圆柱壳的充气、弯曲、扭转、拉伸和剪切（六参数）
Family 4：球壳的充气或反转（单参数）
Family 5：环形块的充气、弯曲、拉伸和周向剪切（五参数）

这些变形的重要性在于：它们对任意应变能函数均适用，因此可作为检验不同材料模型行为的基准测试。

11.10 分叉、屈曲与失稳

平衡态的稳定性可通过分叉理论来检验。基本方法是在已知的大变形基态解上叠加增量小变形：

χ = χ⁽⁰⁾ + ε χ⁽¹⁾

将控制方程在基态附近线性化，可导出关于增量场 {u, v, q} 的线性方程组。对半空间压缩问题，可推导出分叉条件：

λ₂W₁ + (2 - λ₂/λ₁)W₂ + λ₁²W₁₁ - 2λ₁λ₂W₁₂ + λ₂²W₂₂ = 0

用 Mooney-Rivlin 模型可得临界压缩比（平面应变下约为 0.544，单轴压缩下约为 0.444）。Fung 模型的应变硬化参数 β 越大，临界压缩比越小，表明应变硬化抑制表面失稳。Gent 模型在生理参数范围内也表现为始终稳定。这些结果对理解动脉瘤等病理现象的力学机制有重要意义——简单的极限点失稳机制无法解释动脉瘤的形成，因为应变硬化具有稳定化作用。

11.11 各向异性材料

纤维增强复合材料的理论基础

许多生物组织具有高度各向异性，主要由纤维结构（如胶原纤维）决定。连续纤维被建模为局部各向异性方向场（结构张量），应变能函数一般依赖于一组合变形不变量。

单纤维材料（横向同性）

定义结构张量 H = M ⊗ M，其中 M 是参考构型中的单位纤维方向向量。应变能函数 W = W(C, H)，对称性要求 W(C, H) = W(Q^T C Q, Q^T H Q)，∀ Q ∈ SO(3) 使得 QM = ±M。引入伪不变量：

I₄ = M·(CM) = C : H（纤维伸长的平方） I₅ = M·(C²M)

对于不可压单纤维增强材料，Cauchy 应力为：

T = -p1 + 2W₁B + 2W₂(I₁B - B²) + 2W₄ m ⊗ m + 2W₅(m ⊗ Bm + Bm ⊗ m)

其中 m = FM 是当前构型中的纤维方向向量。

双纤维材料

两组正交或对称分布的纤维进一步降低对称性，应变能函数依赖八个不变量：I₁, I₂, I₃, I₄, I₅, I₆, I₇, I₈。本构方程形式复杂，包含两个纤维方向的贡献。

标准纤维增强模型示例

考虑应变能函数分解为各向同性部分和各向异性部分：

W = (μ/2)(I₁ - 3) + (μγ/2)[(I₄ - 1)² + (I₆ - 1)²]

其中 γ 控制纤维相对刚度。有效杨氏模量随纤维角 Θ 变化，在纤维方向 Θ = 0 时最大（E = (3+8γ)μ），在"魔角" Θ_m ≈ 54.74° 时最小（E = 3μ，此时纤维贡献相互抵消）。

魔角（Magic Angle）

魔角 Θ_m = arctan(√2) ≈ 54.74°（或其补角 35.26°）在多种力学场景中出现：有限链拉伸极限、固体核磁共振、水静力骨骼的最大体积构型、 pneumatic artificial muscles 的优化设计等。在弹性力学中，当纤维与基体刚度比 γ 变化时，有效模量在该角度取得极值，使得材料表现如同各向同性。

管的充气-拉伸-扭转问题

对于具有双螺旋纤维增强的圆柱，在内压 P、轴向力 F 和扭矩 M 作用下的变形是一个高度耦合的问题。三个边界条件给出三个方程，决定三个未知量（内半径 λ_a、轴向拉伸 ζ、扭转 τ）。纤维角的变化可导致膨胀或收缩行为的反转——这一机制解释了"boing-boing"玩具（压缩储能弹射）和手指陷阱（拉伸夹持）的原理。

纤维分散（Fiber Dispersion）

真实组织中的纤维并非完全对齐，而是存在一定的分散。Lanir 的理论通过在单位球面上对纤维方向密度函数 ρ(M) 积分来建模应变能：W_fib = ∫_{S²} ρ(M) w_fib(I_f(M)) dω。为简化计算，引入广义结构张量 H = ⟨M⊗M⟩_ρ，将角度积分近似为对平均纤维方向的计算。对于横向同性分散分布，广义结构张量为 H = κ1 + (1-3κ)M̄⊗M̄，其中 κ ∈ [0, 1/2] 是分散参数。该方法（广义结构张量法）避免了每一步变形都需要数值积分的困难，使计算效率大幅提升，同时保留了分散效应的主要物理机制。

核心概念总结

概念	定义/意义
变形梯度 F	F = Grad χ = ∂x/∂X，局部变形的最完整描述
左Cauchy-Green张量 B	B = FF^T，客观应变张量，主方向为当前构型主轴
右Cauchy-Green张量 C	C = F^T F，客观应变张量，主方向为参考构型主轴
极分解	F = RU = VR，旋转 R + 伸长 U/V
主伸长 λ_i	B 或 C 特征值的平方根
应变不变量 I₁, I₂, I₃	B 的三个主不变量，各向同性函数只能依赖它们
Cauchy 应力 T	当前构型中真实应力，t_n = Tn
第一 Piola-Kirchhoff 应力 S	S = JF^{-1}T，参考面积上的名义力
超弹性本构	S = ∂W/∂F，或 T = J^{-1}F ∂W/∂F
客观性原理	W(QF) = W(F)，材料属性不随刚体旋转改变
neo-Hookean	W = (μ/2)(I₁ - 3)，最简单的超弹性模型
Mooney-Rivlin	W = (μ/2)[α(I₁-3) + (1-α)(I₂-3)]
Ogden	W = Σ (μ_i/α_i)(λ₁^{α_i}+λ₂^{α_i}+λ₃^{α_i}-3)
Fung	W = (μ/2β)[exp(β(I₁-3))-1]，指数应变硬化
Gent	W = -(μ/2β) log[1-β(I₁-3)]，有限伸展性
通用变形	对任意应变能函数均适用的特定变形模式
分叉失稳	叠加增量变形后出现非平凡解的条件

关键公式汇总

变形梯度：F = Grad χ，F_{ij} = ∂x_i/∂X_j
Jacobian：J = det F，dv = J dV
Nanson 公式：n da = J F^{-T} N dA
右Cauchy-Green：C = F^T F
左Cauchy-Green：B = FF^T
极分解：F = RU = VR，U² = C，V² = B
主伸长：λ_i = √(C 的特征值)
应变不变量：I₁ = tr B，I₂ = (tr B)² - tr(B²)，I₃ = det B
Cauchy 方程：div T + ρb = ρv̇
超弹性本构：T = J^{-1} F ∂W/∂F - p1
Neo-Hookean：W = (C₁/2)(I₁ - 3)
Mooney-Rivlin：W = (C₁/2)(I₁ - 3) + (C₂/2)(I₂ - 3)
Fung：W = (μ/2β)[exp(β(I₁-3)) - 1]
Gent：W = -(μ/2β) log[1-β(I₁-3)]
** Ogden**：W = Σ (μ_i/α_i)(λ₁^{α_i}+λ₂^{α_i}+λ₃^{α_i}-3)
Baker-Ericksen：λ_i = λ_j ⟹ (t_i - t_j)(λ_i - λ_j) > 0
分叉条件（半空间）：λ₂W₁ + (2-λ₂/λ₁)W₂ + λ₁²W₁₁ - 2λ₁λ₂W₁₂ + λ₂²W₂₂ = 0
广义结构张量：H = ⟨M⊗M⟩_ρ

物理意义与工程应用

非线性弹性理论为描述大变形材料提供了严格的数学框架。本章建立的理论不仅适用于工程中的橡胶和弹性体，更关键的是为生物软组织的力学建模奠定了基础。血管、动脉、皮肤、肌腱等组织的应力-应变关系均表现出显著的非线性和大变形特征。应变硬化模型（如 Fung、Ogden）能够捕捉软组织在小应变时柔软、大应变时急剧刚化的独特行为。各向异性理论则解释了为什么胶原纤维的排列方向对组织宏观力学行为有决定性影响。

魔角、极限点失稳、纤维增强等概念的引入，使得我们能够从力学角度理解一系列生命现象（如动脉瘤形成、蠕虫运动、细胞骨架响应）以及人工系统（如 pneumatic artificial muscles、可穿戴外骨骼）的设计原理。增量变形理论为进一步研究生长和重塑（growth and remodeling）提供了自然的框架，这将是后续章节的核心内容。

第十一章：非线性弹性力学 阅读笔记

概述