第17章湍流模型（Turbulence Modeling）

作者

本章由 F. Moukalled、L. Mangani 和 M. Darwish 合著。本章是 Ch 15-16 N-S 方程求解的"前置章节" —— 工业上 95% 以上的流体问题是湍流，因此湍流模型的选择直接决定 CFD 项目的成败。本章专门处理 RANS 框架下两大主流两方程模型：k-ε 与 k-ω，以及它们的组合（BSL、SST）。

内容概述

本章 90+ 页篇幅是全书 20 章中湍流模型最系统的章节，覆盖了从湍流基础理论到工业实现细节的完整链条。

§17.1 湍流建模基础 —— Kolmogorov 能量级联理论 (Eq. 17.1)：

Kolmogorov 微尺度

$$\eta = \left( \frac{\nu^3}{\epsilon} \right)^{1/4}, \quad t_\eta = \left( \frac{\nu}{\epsilon} \right)^{1/2} \tag{17.1}$$

其中 $\nu$ 是运动黏度，$\epsilon$ 是湍流耗散率。这两个尺度是 DNS（直接数值模拟）的最小分辨尺度。

三大湍流建模路线：
DNS (Direct Numerical Simulation) —— 解析所有湍流尺度，网格 $\Delta x < \eta$，网格数 $\sim Re^3$，不可工业应用
LES (Large Eddy Simulation) —— 解析大涡 + 建模小涡，网格 $\Delta x \sim \eta$，网格数 $\sim Re^{1.8}$，工业初步应用
RANS (Reynolds-Averaged Navier-Stokes) —— 建模所有湍流尺度，网格与层流相当，网格数 $\sim Re^0$，工业主流
RANS 框架：$\phi = \bar{\phi} + \phi'$，代入 N-S 方程得

$$\frac{\partial (\rho \bar{v}_i)}{\partial t} + \frac{\partial (\rho \bar{v}_i \bar{v}_j)}{\partial x_j} = -\frac{\partial \bar{p}}{\partial x_i} + \frac{\partial}{\partial x_j} \left( \mu \frac{\partial \bar{v}_i}{\partial x_j} - \rho \overline{v_i' v_j'} \right) + \rho g_i$$

出现 Reynolds 应力张量 $\tau_{ij} = -\rho \overline{v_i' v_j'}$，需要湍流模型"闭包"。

§17.2 Reynolds 平均 —— 3 种平均方法： - 时间平均 —— 稳态湍流 - 空间平均 —— 均匀湍流 - 集合平均 —— 通用（包括非稳态湍流）

§17.3 Boussinesq 假设 —— 关键简化：

\[\tau_{ij} = -\rho \overline{v_i' v_j'} = \mu_t \left( \frac{\partial \bar{v}_i}{\partial x_j} + \frac{\partial \bar{v}_j}{\partial x_i} \right) - \frac{2}{3} \rho k \delta_{ij}\]

引入"湍流黏度" $\mu_t$，把 Reynolds 应力表示为平均速度梯度的函数。关键问题是：如何确定 $\mu_t$？

§17.4 k-ε 模型 (Launder-Sharma 1974) —— 工业上最经典的"高雷诺数"湍流模型：

湍动能 $k$ 方程 (Eq. 17.18)

$$\frac{\partial (\rho k)}{\partial t} + \frac{\partial (\rho \bar{v}_j k)}{\partial x_j} = P_k - \rho \epsilon + \frac{\partial}{\partial x_j} \left[ \left( \mu + \frac{\mu_t}{\sigma_k} \right) \frac{\partial k}{\partial x_j} \right] \tag{17.18}$$

其中 $P_k$ 是湍动能产生项。

耗散率 $\epsilon$ 方程 (Eq. 17.19)

$$\frac{\partial (\rho \epsilon)}{\partial t} + \frac{\partial (\rho \bar{v}_j \epsilon)}{\partial x_j} = C_{\epsilon 1} \frac{\epsilon}{k} P_k - C_{\epsilon 2} \rho \frac{\epsilon^2}{k} + \frac{\partial}{\partial x_j} \left[ \left( \mu + \frac{\mu_t}{\sigma_\epsilon} \right) \frac{\partial \epsilon}{\partial x_j} \right] \tag{17.19}$$

湍流黏度 (Eq. 17.20)

$$\mu_t = C_\mu \rho \frac{k^2}{\epsilon} \tag{17.20}$$

其中 5 个经验常数：$C_\mu = 0.09$、$C_{\epsilon 1} = 1.44$、$C_{\epsilon 2} = 1.92$、$\sigma_k = 1.0$、$\sigma_\epsilon = 1.3$。

优点：工业 CFD 的"标配"，对自由剪切流（混合层、射流）预测较好。
缺点：对近壁面处理较差（依赖壁面函数），对强压力梯度流动（分离、回流）预测差。

§17.5 k-ω 模型 (Wilcox 1988) —— "低雷诺数"湍流模型：

$\omega$ 方程 (Eq. 17.22)

$$\frac{\partial (\rho \omega)}{\partial t} + \frac{\partial (\rho \bar{v}_j \omega)}{\partial x_j} = C_{\omega 1} \frac{\omega}{k} P_k - C_{\omega 2} \rho \omega^2 + \frac{\partial}{\partial x_j} \left[ \left( \mu + \frac{\mu_t}{\sigma_\omega} \right) \frac{\partial \omega}{\partial x_j} \right] \tag{17.22}$$

其中 $\omega$ 是比耗散率（specific dissipation rate），$\omega = \epsilon / k$。

湍流黏度 (Eq. 17.23)

$$\mu_t = \frac{\rho k}{\omega} \tag{17.23}$$

优点：近壁面处理优异（无需壁面函数），可解析到黏性底层。
缺点：对自由剪切流不如 k-ε。

§17.6 BSL 模型 (Baseline) —— 把 k-ε 与 k-ω 通过混合函数 $F_1$ 组合：

混合函数 $F_1$ 在近壁面 $\to 1$（k-ω 主导），在自由流 $\to 0$（k-ε 主导）。
常数混合 —— 把 k-ε 的 5 个常数与 k-ω 的 5 个常数通过 $F_1$ 加权混合。

§17.7 SST 模型 (Menter 1994) —— 工业上最常用的"全能"湍流模型：

SST = k-ω + k-ε 混合（用 $F_1$ 切换）
SST + 限制器 —— 限制湍流黏度的最大值，避免在强压力梯度下"过度预测"
优点：兼有 k-ε 的自由流优势 + k-ω 的近壁面优势 + 限制器的稳定性
OpenFOAM kOmegaSST 是工业上最常用的湍流模型

§17.8 近壁面处理 —— 湍流的"近壁面区域"分为 3 层：

区域	厚度	主导项	网格要求
黏性底层 (Viscous sublayer)	$y^+ < 5$	黏性	$y^+ \sim 1$
缓冲层 (Buffer layer)	$5 < y^+ < 30$	黏性 + 惯性	需解析
对数层 (Log layer)	$30 < y^+ < 300$	惯性	壁面函数可用

$y^+ = \rho u_\tau y / \mu$ 是无量纲壁面距离，其中 $u_\tau$ 是摩擦速度。

壁面函数法 (Wall Function) —— 不解析黏性底层，用经验公式计算壁面切应力。网格 $y^+ \sim 30-100$。计算量小。
近壁面解析法 (Near-Wall Resolution) —— 解析黏性底层。网格 $y^+ \sim 1$，需要加密 10-100 倍网格。精度高但计算量巨大。
自动壁面处理 (Automatic Wall Treatment) —— OpenFOAM 6+ 引入，根据 $y^+$ 自动选择壁面函数或近壁面解析。SST 模型的最佳搭配。

§17.9 计算指针 —— uFVM 与 OpenFOAM 的实现： - OpenFOAM kEpsilon / kOmega / kOmegaSST 三大湍流模型 - turbulenceProperties 文件选择模型 - RASProperties（Reynolds-Averaged Simulation properties）配置

§17.10 闭包 —— 总结湍流模型的选择规则。

核心方程与概念

Reynolds 分解 (Eq. 17.3)

$$\phi(\mathbf{x}, t) = \bar{\phi}(\mathbf{x}, t) + \phi'(\mathbf{x}, t) \tag{17.3}$$

其中 $\bar{\phi}$ 是平均部分，$\phi'$ 是脉动部分。

Kolmogorov 微尺度 (Eq. 17.1)

$$\eta = \left( \frac{\nu^3}{\epsilon} \right)^{1/4} \tag{17.1}$$

Boussinesq 假设

$$-\rho \overline{v_i' v_j'} = \mu_t \left( \frac{\partial \bar{v}_i}{\partial x_j} + \frac{\partial \bar{v}_j}{\partial x_i} \right) - \frac{2}{3} \rho k \delta_{ij}$$

k-ε 模型 (Eq. 17.18-17.20)

$$\frac{\partial (\rho k)}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \bar{\mathbf{v}} k) = P_k - \rho \epsilon + \nabla \cdot \left[ \left( \mu + \frac{\mu_t}{\sigma_k} \right) \nabla k \right] \tag{17.18}$$

$$\frac{\partial (\rho \epsilon)}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \bar{\mathbf{v}} \epsilon) = C_{\epsilon 1} \frac{\epsilon}{k} P_k - C_{\epsilon 2} \rho \frac{\epsilon^2}{k} + \nabla \cdot \left[ \left( \mu + \frac{\mu_t}{\sigma_\epsilon} \right) \nabla \epsilon \right] \tag{17.19}$$

$$\mu_t = C_\mu \rho \frac{k^2}{\epsilon} \tag{17.20}$$

k-ω 模型 (Eq. 17.22-17.23)

$$\frac{\partial (\rho \omega)}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \bar{\mathbf{v}} \omega) = C_{\omega 1} \frac{\omega}{k} P_k - C_{\omega 2} \rho \omega^2 + \nabla \cdot \left[ \left( \mu + \frac{\mu_t}{\sigma_\omega} \right) \nabla \omega \right] \tag{17.22}$$

$$\mu_t = \frac{\rho k}{\omega} \tag{17.23}$$

SST 模型混合函数 $F_1$

$$F_1 = \tanh \left( \left[ \min \left( \max \left( \frac{\sqrt{k}}{0.09 \omega y}, \frac{500 \nu}{y^2 \omega} \right), \frac{4 \rho k}{C_{\omega 2} \sigma_{\omega 2} y^2 \max(2 |\mathbf{S}|, 0.7 \omega)} \right) \right]^4 \right)$$

在近壁面 $\to 1$，在自由流 $\to 0$。

SST 限制器

$$\mu_t = \frac{a_1 k}{\max(a_1 \omega, |\mathbf{S}| F_2)}$$

防止 $\mu_t$ 过度预测。

$y^+$ 定义

$$y^+ = \frac{\rho u_\tau y}{\mu}, \quad u_\tau = \sqrt{\tau_w / \rho}$$

其中 $\tau_w$ 是壁面切应力，$y$ 是到壁面的距离。

关键结论

RANS 是工业 CFD 的"事实标准"：相比 DNS（$\sim Re^3$）和 LES（$\sim Re^{1.8}$），RANS 网格量与层流相当，是工业级 CFD 唯一可行的方法。
Boussinesq 假设是 RANS 的核心简化：把 Reynolds 应力张量简化为"湍流黏度 $\mu_t$"乘以平均速度梯度。湍流模型的任务就是确定 $\mu_t$。
k-ε + k-ω + SST = 工业三大湍流模型：
k-ε：自由剪切流首选，依赖壁面函数
k-ω：近壁面解析首选，自由剪切流不如 k-ε
SST：兼有两者优势 + 限制器稳定性，是工业 CFD 的"默认选择"
近壁面处理是湍流模拟的关键：$y^+$ 决定是"壁面函数"还是"近壁面解析"。OpenFOAM 6+ 的"自动壁面处理"使 SST 模型在不同 $y^+$ 下都能给出合理结果。
5 大经验常数：$C_\mu = 0.09$、$C_{\epsilon 1} = 1.44$、$C_{\epsilon 2} = 1.92$、$\sigma_k = 1.0$、$\sigma_\epsilon = 1.3$ 是 k-ε 模型的"圣数"，由 Launder-Sharma 1974 通过实验数据拟合得到。
OpenFOAM kOmegaSST 是工业 CFD 用户最常选择的湍流模型。

挑战和开放性问题

大涡模拟 (LES) 的工业应用 —— 2016 年后 LES 在汽车工业（汽车外气动）、航空工业（飞机气动）逐渐成为高精度仿真的选择，但计算成本仍高。
分离流、激波-湍流相互作用的精确预测 —— 现有 RANS 模型（如 SST）在强逆压梯度下仍存在显著误差，限制器是经验性修正。
可压缩湍流模型 —— Favre 平均 + 真实气体效应是 Ch 16 的延伸，本书未深入。
湍流-化学反应相互作用 (Turbulent Combustion) —— 工业燃烧（燃气轮机、内燃机）需要专门的湍流燃烧模型（EDC、PaSR、flamelet 等），本书未涉及。
多相湍流 —— 颗粒湍流、液滴-气流相互作用需要专门的湍流模型。
机器学习辅助的湍流模型 —— 2018 年后用 NN 改进 RANS（如 NN 闭合的 Reynolds 应力项）成为研究热点。
GPU 加速的 LES / DNS —— 现代研究方向。

个人反思与批判性分析

本章是 FVM 湍流模型的"系统教程"，90+ 页篇幅覆盖了 RANS 框架下两方程模型的完整实现细节。从写作特点看：

3 大湍流建模路线（DNS / LES / RANS）的对比 —— 给出各自的"网格要求 + 计算成本 + 精度 + 工业可行性"，帮助读者建立"湍流建模全景图"。DNS 需要 $\sim Re^3$ 网格（$Re = 10^5$ 时是 $10^{15}$ 网格，2016 年最先进超算也只能算 $Re \sim 10^4$）；LES 需要 $\sim Re^{1.8}$ 网格（$Re = 10^5$ 时是 $10^9$ 网格，2016 年工业上勉强可行）；RANS 仅需 $\sim Re^0$ 网格（$Re = 10^5$ 时是 $10^6$ 网格，2016 年工业上 1 天内可完成）。这个对比直接说明为什么 RANS 至今仍是工业主流。
k-ε + k-ω + SST 的并列展开 —— 每种模型的"控制方程 + 经验常数 + 适用场景"都详细给出，读者可以根据工程问题选择。
k-ε：5 个经验常数（$C_\mu, C_{\epsilon 1}, C_{\epsilon 2}, \sigma_k, \sigma_\epsilon$），适合自由剪切流、远离壁面的区域
k-ω：5 个经验常数（$C_{\omega 1}, C_{\omega 2}, \sigma_\omega, \alpha^*, \beta^*$），适合近壁面、强逆压梯度
SST：通过混合函数 $F_1$ 自动切换 k-ε / k-ω + 限制器防止 $\mu_t$ 过大
近壁面处理（黏性底层、缓冲层、对数层） —— 这是 RANS 模拟中最容易出错的环节，作者用 $y^+$ 的概念清晰地解释。$y^+ < 5$（黏性底层）、$5 < y^+ < 30$（缓冲层）、$30 < y^+ < 300$（对数层）的三层划分是 RANS 网格设计的"金标准"。OpenFOAM 6+ 的"自动壁面处理"使 SST 模型在不同 $y^+$ 下都能给出合理结果，避免了"必须加密到 $y^+ = 1$ 才能用 SST"的传统限制。
OpenFOAM 湍流模型的对应 —— kEpsilon / kOmega / kOmegaSST 三种主流模型的具体配置方法。例如 constant/turbulenceProperties 文件：
```
simulationType  RAS;
RAS
{
    RASModel        kOmegaSST;
    turbulence      on;
    printCoeffs     on;
}
```
这种"理论 + 配置"的映射是工程实用性的体现。
Boussinesq 假设的物理意义 —— 把"湍流脉动"简化为"等效黏度"，使 N-S 方程形式保持不变。这是 RANS 框架的核心，但也是其局限性的根源（无法捕捉各向异性湍流）。

但本章也存在以下不足：

LES 实施细节 仅在 §17.1 简介，未展开 Smagorinsky、WALE、Dynamic Smagorinsky 等亚格子模型。2016 年后 LES 在汽车工业（汽车外气动）、航空工业（飞机气动）逐渐成为高精度仿真的选择，但作者可能考虑到篇幅未深入。
RSM (Reynolds Stress Model) 是 7 方程 RANS 模型，比 k-ε / k-ω 更精确但计算量大（多解 6 个 Reynolds 应力输运方程），本书未涉及。RSM 在强各向异性湍流（如旋转流、弯曲流）中明显优于 k-ε / SST。
DDES / IDDES / SAS 等混合方法（RANS + LES）是 2010 年后的研究热点，本书未涉及。DDES 通过"延迟分离涡模拟"在近壁面用 RANS、在分离区用 LES，是工程上"精度 + 计算成本"的折中方案。
可压缩湍流模型 仅简略提及（Favre 平均），未深入。Favre 平均下 Reynolds 应力 $\tau_{ij} = -\rho \overline{v_i'' v_j''}$（注意是密度加权的脉动），可压缩修正项 $C_{t2} \rho \epsilon \delta_{ij}$ 需加入湍流黏度公式。本书未涵盖这些细节。
机器学习辅助的湍流模型 是 2018 年后的研究热点（如 Ling et al. 2016 用 NN 改进 RANS 闭包），本书未涉及（出版年代限制）。
多相湍流 完全未涉及。颗粒湍流、液滴-气流相互作用需要专门的湍流模型（如 Lagrangian PDF 方法）。
湍流燃烧模型 完全未涉及。工业燃烧（燃气轮机、内燃机）需要专门的湍流燃烧模型（EDC、PaSR、flamelet 等）。

总体而言，本章是 FVM 湍流模型的"权威教材式"参考章节，与 Wilcox Turbulence Modeling for CFD（更理论）、Pope Turbulent Flows（湍流理论圣经）、OpenFOAM 官方文档（更工程）的对应章节形成对标。Moukalled 的优势在于"工程实现（OpenFOAM kOmegaSST） + 数学理论（SST 混合函数） + 近壁面处理"三位一体。本章是工业 CFD 用户的"必读章节"，对所有需要做湍流模拟的工程师都是必备参考。

从工程实践角度，湍流模型选择的决策树：

流动是否贴近壁面（边界层）？ → 是：SST / k-ω；否：k-ε
流动是否强逆压梯度（分离、回流）？ → 是：SST；否：k-ε 即可
是否需要近壁面解析（壁面热流、摩阻）？ → 是：SST + 加密到 $y^+ \sim 1$；否：壁面函数
是否需要高精度（大涡结构）？ → 是：LES（DDES 作为入门）
OpenFOAM 默认选择：kOmegaSST（SST 是工业"全能"模型）

读者需要根据具体工程问题选择合适的模型，并通过 benchmark（如平板湍流边界层、圆柱绕流、后掠翼失速）验证精度。

重要参考文献

[X1] Pope S.B. (2000) Turbulent Flows. Cambridge University Press. （湍流理论圣经）
[X2] Kolmogorov A.N. (1941) The local structure of turbulence in incompressible viscous fluid for very large Reynolds numbers. Doklady Akademii Nauk SSSR, 30: 299-303. （能量级联理论原始文献）
[X3] Richardson L.F. (1922) Weather Prediction by Numerical Process. Cambridge University Press. （能量级联概念早期）
[X4] Launder B.E., Sharma B.I. (1974) Application of the energy-dissipation model of turbulence to the calculation of flow near a spinning disc. Letters in Heat and Mass Transfer, 1(2): 131-137. （k-ε 模型标准形式）
[X5] Wilcox D.C. (1988) Reassessment of the scale-determining equation for advanced turbulence models. AIAA Journal, 26(11): 1299-1310. （k-ω 模型）
[X6] Menter F.R. (1994) Two-equation eddy-viscosity turbulence models for engineering applications. AIAA Journal, 32(8): 1598-1605. （SST 模型原始文献）
[X7] Menter F.R., Kuntz M., Langtry R. (2003) Ten years of industrial experience with the SST turbulence model. Proceedings of the Fourth International Symposium on Turbulence, Heat and Mass Transfer, 4: 625-632. （SST 工业 10 年总结）
[X8] Smagorinsky J. (1963) General circulation experiments with the primitive equations. Monthly Weather Review, 91(3): 99-164. （LES 亚格子模型）
[X9] Germano M., Piomelli U., Moin P., Cabot W.H. (1991) A dynamic subgrid-scale eddy viscosity model. Physics of Fluids A, 3(7): 1760-1765. （Dynamic Smagorinsky 模型）
[X10] Spalding D.B. (1961) A single formula for the "law of the wall". Journal of Applied Mechanics, 28(3): 455-458. （标准壁面函数）
[X11] OpenFOAM Foundation (2014) The Open Source CFD Toolbox — User Guide. （OpenFOAM 湍流模型实现）
[X12] Wilcox D.C. (2006) Turbulence Modeling for CFD, 3rd Edition. DCW Industries. （湍流模型标准教材）
[X13] Ferziger J.H., Perić M. (2002) Computational Methods for Fluid Dynamics, 3rd Edition. Springer.
[X14] Shur M.L., Spalart P.R., Strelets M.Kh., Travin A.K. (2008) A hybrid RANS-LES approach with delayed-DES and wall-modelled LES capabilities. International Journal of Heat and Fluid Flow, 29(6): 1638-1649. （DDES 模型）
[X15] Ling J., Kurzawski A., Templeton J. (2016) Reynolds averaged turbulence modelling using deep neural networks with embedded invariance. Journal of Fluid Mechanics, 807: 155-166. （机器学习 RANS 闭包）

区域	厚度	主导项	网格要求
黏性底层 (Viscous sublayer)	\(y^+ < 5\)	黏性	\(y^+ \sim 1\)
缓冲层 (Buffer layer)	\(5 < y^+ < 30\)	黏性 + 惯性	需解析
对数层 (Log layer)	\(30 < y^+ < 300\)	惯性	壁面函数可用

第17章 湍流模型（Turbulence Modeling）

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