第11章对流项离散化（Discretization of the Convection Term）

作者

本章由 F. Moukalled、L. Mangani 和 M. Darwish 合著。本章是 Ch 8 扩散项的"姊妹章" —— 处理一般守恒方程 (Eq. 3.93) 中对流项 $\nabla \cdot (\rho \mathbf{v} \phi)$ 的 FVM 离散化。对流项是 FVM 中最难离散化的一类项，因为其数学性质（双曲型）+ 物理意义（输运性）+ 数值要求（有界性）相互制约。本章是 Ch 12 高分辨率格式的前置基础。

内容概述

本章 90+ 页篇幅是全书对流项离散的"开篇章"，专门处理"高阶 (HO)"对流格式的"无界"问题（dispersion error），Ch 12 才会处理"有界"问题（HR 格式）。

§11.1 引言 —— 对流项的 3 大挑战：(a) 双曲型 PDE，需要捕捉特征方向；(b) 高 $Pe$ 数下 CDS 失效（产生非物理振荡）；(c) 高阶格式有"色散误差"（dispersion error）问题。

§11.2 稳态 1D 对流-扩散问题 —— 在已知解析解 (Eq. 11.10) 的简单问题上对比 CDS / UDS / 高阶格式的精度。

解析解 (Eq. 11.10)

$$\frac{\phi - \phi_W}{\phi_E - \phi_W} = \frac{e^{Pe_L (x - x_W)/L} - 1}{e^{Pe_L} - 1}$$

其中 $Pe_L = \rho u L / \Gamma_\phi$。该解显示：当 $Pe_L \to \infty$ 时，$\phi$ 分布从线性渐变为阶跃函数（边界层特征）。

CDS 离散 (Eq. 11.21) —— 二阶精度，但当 $Pe > 2$ 时解出现非物理振荡（违反有界性原则）。
UDS 离散 (Eq. 11.25) —— 一阶精度，总满足有界性，但数值扩散大（过度平滑）。
HRS 概念引入 —— 为解决 CDS 的"振荡"和 UDS 的"扩散"，引入"有界高阶"格式（HR 格式），Ch 12 详述。

§11.3 数值扩散与色散 —— 详细分析对流项离散化的两类误差：

数值扩散 (Numerical Diffusion) —— 一阶格式（UDS）把对流方程 $\partial \phi / \partial t + u \partial \phi / \partial x = 0$ 离散为带额外扩散项的形式

$$\frac{\partial \phi}{\partial t} + u \frac{\partial \phi}{\partial x} = \Gamma_{num} \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}$$

其中 $\Gamma_{num} \sim u \Delta x / 2$ 是数值扩散系数。这是 UDS"过度平滑"的根源。

色散误差 (Dispersion Error) —— 高阶格式（CDS、QUICK）的特征是相速度失真（不同波数的波以不同速度传播），导致波形前后的"过冲/下冲"振荡。这是 CDS 在 $Pe > 2$ 时产生非物理振荡的根源。

§11.4 高阶格式 (HO Schemes) —— 在 1D 情形下展开主流高阶格式：

CDS (Central Difference Scheme) —— 2 阶精度模板
LUD (Linear Upwind Differencing) —— 与 UDS 类似但模板向"上游多 1 个 cell"扩展
QUICK (Quadratic Upwind Interpolation for Convective Kinematics) —— 3 阶精度，Leonard 1979 原始文献
Fromm —— 2 阶精度，0 扩散
三阶迎风 (Third-Order Upwind) —— 3 阶精度，迎风模板

每种格式的"插值多项式"和"模板"（stencil）不同，Ch 12 会用 Normalized Variable Diagram (NVD) 统一分析。

§11.5 高阶格式的色散误差 —— 通过 Fourier 分析（修改方程方法）证明：HO 格式的"色散误差"导致解的"过冲/下冲"振荡，必须用 Ch 12 的"有界性条件"（Convection Boundedness Criterion, CBC）来约束。

§11.6 多维非正交网格上的对流项 —— 把 1D 格式推广到 2D / 3D 非结构非正交网格。本节给出多维 CDS、QUICK、Fromm 的具体离散公式 (Eq. 11.51-11.58)。

§11.7 邻接模板 —— 1D 情形下"3 cell 模板"足够；多维情形下需要"5 cell 模板"（owner + 邻接 4 cell）或"7 cell 模板"。本节给出 OpenFOAM 的 divScheme 选项：

Scheme	模板大小	精度
`upwind`	1 cell	一阶
`linearUpwind`	2 cells	二阶（迎风）
`linear` (CDS)	5 cells	二阶
`QUICK`	3 cells	三阶（迎风）
`SFCD` (self-filtered CDS)	5 cells	二阶 + 限制器
`LUST` (linear-upwind stabilised transport)	5 cells	二阶 + 限制器

§11.8 网格非正交的影响 —— 与 Ch 8.5 类似，对流项离散化在非正交网格上需要面通量修正。

§11.9 闭包 —— 总结对流项离散化的"trade-off"：精度（CDS, QUICK）vs 鲁棒性（UDS, HR）。

核心方程与概念

1D 稳态对流-扩散方程 (Eq. 11.1)

$$\frac{d(\rho u \phi)}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \Gamma_\phi \frac{d\phi}{dx} \right) \tag{11.1}$$

解析解 (Eq. 11.10)

$$\frac{\phi - \phi_W}{\phi_E - \phi_W} = \frac{e^{Pe_L (x - x_W)/L} - 1}{e^{Pe_L} - 1} \tag{11.10}$$

其中 $Pe_L = \rho u L / \Gamma_\phi$。

CDS 离散形式 (Eq. 11.21)

$$a_P \phi_P = a_W \phi_W + a_E \phi_E + b_P$$

其中 $a_W = D_w + F_w/2$，$a_E = D_e - F_e/2$，$a_P = a_W + a_E + (F_e - F_w)$，$D = \Gamma / \delta x$（扩散传导率），$F = \rho u$（对流强度）。

CDS 系数规则要求 $a_W, a_E \geq 0$，即 $Pe \leq 2$。

UDS 离散形式 (Eq. 11.25)

$$a_P \phi_P = a_W \phi_W + a_E \phi_E + b_P$$

其中 $a_W = D_w + \max(F_w, 0)$，$a_E = D_e + \max(-F_e, 0)$，$a_P = a_W + a_E + (F_e - F_w)$。

UDS 系数总满足 $a_W, a_E \geq 0$（无论 $Pe$ 大小），但 $a_P$ 中多了"伪扩散"项 $\max(F, 0) + \max(-F, 0)$，导致数值扩散。

数值扩散系数 (Eq. 11.32)

$$\Gamma_{num} = \rho u \frac{\Delta x}{2} (1 - \frac{2}{Pe_\Delta})$$

对 UDS 在 $Pe_\Delta$ 较小时数值扩散远大于物理扩散。

QUICK 格式 (Eq. 11.41)

$$\phi_f = \frac{1}{8} (3 \phi_C + 6 \phi_F - \phi_{FF}) - \frac{3}{8} (3 \phi_C - 6 \phi_F + \phi_{FF})$$

3 阶精度，但需"上游多 1 个 cell"（$\phi_{FF}$），边界附近需特殊处理。

修改方程 (Modified Equation) —— 通过 Taylor 展开，把离散格式"反推"为等价微分方程。例如 CDS 在 1D 情形下的修改方程为

$$\frac{\partial \phi}{\partial t} + u \frac{\partial \phi}{\partial x} = -\frac{u \Delta x^2}{6} \frac{\partial^3 \phi}{\partial x^3}$$

右侧是三阶导数（色散项），导致"过冲/下冲"振荡。

关键结论

对流项的 FVM 离散化是 FVM 中最具挑战性的部分：相比扩散项（对角占优、易守恒），对流项的双曲型性质 + 高 $Pe$ 数下的方向性需求 + 有界性约束，构成了"精度-鲁棒性"的两难。
CDS 在 $Pe > 2$ 时产生非物理振荡，UDS 总有界但数值扩散大。HR 格式（Ch 12）通过"限制器"在两者之间取得平衡。
修改方程分析揭示了高阶格式的"色散误差"机制：三阶导数项导致解的振荡。这一分析为 Ch 12 的 Convection Boundedness Criterion (CBC) 提供了数学基础。
OpenFOAM 的 divScheme 选择是工业 CFD 用户最常调整的参数之一。默认 linearUpwind 是工程上"精度 + 鲁棒性"的最优平衡。
多维非结构网格上的对流项比 1D 复杂：模板大小、邻接选择、非正交处理都增加复杂度。

挑战和开放性问题

HR 格式的非线性稳定性 —— Ch 12 的限制器是非线性的，无法保证 Fourier 分析的收敛性。严格的非线性稳定性证明是研究热点。
非结构网格上的"模板"选择 —— 1D 情形下 QUICK 用 3 cell 模板；多维情形下模板形状不规则，需要"几何加权"或"邻接重排序"，实现复杂。
非正交网格上的对流项 —— 面通量分解时，对流项的非正交修正比扩散项更复杂。
GPU 加速的对流项 —— HR 格式涉及"max/min"等非线性操作，GPU 并行效率低于线性格式。
机器学习辅助的对流格式 —— 现代研究中开始用 NN 学习最优限制器，本书未涉及。
非平衡辐射、化学反应输运的对流项 —— 本书未涉及。

个人反思与批判性分析

本章是 FVM 对流项离散的"开篇章"，把"为什么对流项难"讲得透彻。从写作特点看：

"1D 解析解 vs 数值解"的对比 —— 作者利用 1D 稳态对流-扩散方程存在解析解的优势，把 CDS / UDS / HO 格式的精度差异可视化（Fig. 11.2-11.5）。这种"理论基准 vs 数值结果"的对比是工程教学的最佳方式 —— 读者可以直接看到不同格式"在何处偏离解析解"、"偏离方向是扩散还是色散"。
"修改方程"分析 —— 把离散格式"反推"为等价微分方程，揭示了 CDS 的"色散误差"和 UDS 的"数值扩散"的数学根源。这是数值分析的标准工具。作者给出的 1D 修改方程

$$\frac{\partial \phi}{\partial t} + u \frac{\partial \phi}{\partial x} = -\frac{u \Delta x^2}{6} \frac{\partial^3 \phi}{\partial x^3}$$

明确指出：CDS 的色散误差源自"对流项离散的三阶导数项"，其物理意义是"波数依赖的相速度"——不同 Fourier 模式以不同速度传播，导致波形前后出现"过冲/下冲"振荡。 - 高阶格式（QUICK, Fromm, Third-Order Upwind）的并列展开 —— 给出每种格式的模板（stencil）与插值多项式，为 Ch 12 的 NVD 图统一分析做铺垫。 - 1D → 多维非正交非结构的递进 —— 严格遵守"由简到繁"的工程递进：1D CDS (Eq. 11.21) → 1D UDS (Eq. 11.25) → 1D QUICK (Eq. 11.41) → 1D Fromm → 2D CDS (Eq. 11.51) → 2D QUICK (Eq. 11.55) → 2D 非正交扩展 → 3D 多面体 cell。

但本章也存在不足：

"非结构网格"上 QUICK 等格式的"模板选择"问题 —— 在 1D 情形 QUICK 用 3 cell 模板是清晰的（$C, F, FF$）；在非结构网格上，"上游多 1 个 cell" 的概念变得模糊（哪些 cell 算"上游"？），需要几何方法确定"二阶模板"或"扩展模板"。OpenFOAM 通过 faceCells + cellStencil 显式存储"上游邻接"，但本书未深入。
修改方程的 Fourier 分析 —— 仅给出修改方程的形式，未给出 Fourier 模式 $e^{ikx}$ 的增长率分析（amplification factor $G(k)$），因此"为什么产生振荡"的物理直观不够强。读者需要补充 Anderson Computational Fluid Dynamics 或 Hirsch Numerical Computation of Internal and External Flows 的相关章节。
对 OpenFOAM divScheme 实际行为的对比 —— 缺少同一算例上不同 divScheme（如 linear / linearUpwind / QUICK / SFCD / LUST）的精度 / 收敛性对比实验数据。读者需自行 benchmark。
三维非结构网格上的"非正交 + 高阶"组合 —— 实际工业问题中常见（如汽车外气动、燃气轮机内部冷却通道），但实现复杂，本书未深入。OpenFOAM 的 LUST 格式是工业上常用的"二阶 + 限制器"组合，介于 linearUpwind 和 HR 格式之间。
激波捕捉 —— 对流项离散化在激波附近（高梯度间断）面临"高阶 + 限制"与"低阶 + 鲁棒"的矛盾。本书未展开激波捕捉的 Riemann 求解器（HLL, HLLC, Roe, AUSM 等）方法。

总体而言，本章是 FVM 对流项离散的"开篇总览"章节，与 Ch 12 一起构成 FVM 对流项离散的"完整工具集"。本章与 Versteeg-Malalasekera（更入门）、Ferziger-Peric（更理论）、Hirsch（更工程）的对应章节形成四角对标。Moukalled 的优势在于"理论（修改方程） + 工程（多维非正交模板） + 实现（OpenFOAM divScheme 对应）"三位一体的连贯叙述。

重要参考文献

[X1] Leonard B.P. (1979) A stable and accurate convective modelling procedure based on quadratic upstream interpolation. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 19(1): 59-98. （QUICK 格式原始文献）
[X2] Sweby P.K. (1984) High resolution schemes using flux limiters for hyperbolic conservation laws. SIAM Journal on Numerical Analysis, 21(5): 995-1011. （TVD 格式与 Sweby 图）
[X3] Harten A. (1983) High resolution schemes for hyperbolic conservation laws. Journal of Computational Physics, 49(3): 357-393. （TVD 理论原始文献）
[X4] Roe P.L. (1981) Approximate Riemann solvers, parameter vectors, and difference schemes. Journal of Computational Physics, 43(2): 357-372. （Roe 格式原始文献）
[X5] van Leer B. (1979) Towards the ultimate conservative difference scheme. V. A second-order sequel to Godunov's method. Journal of Computational Physics, 32(1): 101-136. （MUSCL 格式）
[X6] Hirsch C. (2007) Numerical Computation of Internal and External Flows, 2nd Edition. Butterworth-Heinemann. （对流格式的经典参考）
[X7] Ferziger J.H., Perić M. (2002) Computational Methods for Fluid Dynamics, 3rd Edition. Springer.
[X8] Versteeg H.K., Malalasekera W. (2007) An Introduction to Computational Fluid Dynamics: The Finite Volume Method, 2nd Edition. Pearson.
[X9] Gaskell P.H., Lau A.K.C. (1988) Curvature-compensated convective transport: SMART, A new boundedness-preserving transport algorithm. International Journal for Numerical Methods in Fluids, 8(6): 617-641. （SMART 限制器）
[X10] Leonard B.P. (1988) Simple high-accuracy resolution program for convective modelling of discontinuities. International Journal for Numerical Methods in Fluids, 8(10): 1291-1318. （SHARP 限制器）

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