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《数学建模方法：连续系统与微分方程》读书笔记 — 全书概括

1. 书籍元数据

  • 书名：Methods of Mathematical Modelling: Continuous Systems and Differential Equations
  • 作者：Thomas Witelski（杜克大学数学系）与 Mark Bowen（早稻田大学国际理工学中心）
  • 出版社：Springer International Publishing Switzerland
  • 出版年份：2015（© Springer International Publishing Switzerland 2015）
  • 系列：Springer Undergraduate Mathematics Series（SUMS）
  • ISBN：978-3-319-23041-2（精装）；978-3-319-23042-9（电子书）
  • DOI：10.1007/978-3-319-23042-9
  • 页数：约 309 页（PDF 文件），正文 12 章 + 尾声 + 附录 A（三角恒等式与 Fourier 级数）+ 部分习题解答 + 参考文献 + 索引
  • 目标读者：数学、物理、工程、生物医学专业的本科高年级生与研究生入门
  • 前置知识：微积分、单变量 ODE、线性代数基础
  • 核心主题：连续介质系统的数学建模与求解方法

2. 全书核心论点（Book's Main Thesis）

本书的核心论点是：任何连续介质的数学建模都可以分解为"建模"与"求解"两个阶段，每个阶段都有系统化的方法学。具体而言：

  • 建模阶段（Ch 1-4）教读者如何把物理问题转化为数学方程：
  • Ch 1（速率方程）：用常微分方程（ODE）描述随时间演化的状态——质量作用定律、Logistic 增长、Lotka-Volterra、SIR 流行病模型。
  • Ch 2（输运方程）：用偏微分方程（PDE）描述随时间和空间演化的密度场——Reynolds 输运定理、du Bois-Reymond 引理、特征线法、Burgers 激波。
  • Ch 3（变分原理）：从"求最优"的物理原理（Hamilton 最小作用量、Fermat 最短时间、等周问题、最优控制）反推微分方程——Euler-Lagrange 方程、Lagrange 乘子、Pontryagin 最大值原理。

  • Ch 4（尺度化简）：用 Buckingham Π 定理把含物理量纲的复杂方程约化为最少无量纲参数——Stokes 数、Péclet 数、动态相似性。

  • 求解阶段（Ch 5-11）教读者如何求解这些方程：

  • Ch 5（自相似解）：当方程在标度变换下形式不变，PDE 降维为 ODE——Cauchy 解、Boltzmann 解、多孔介质方程。
  • Ch 6（扰动方法）：用渐近展开处理小参数——主导平衡原则、展开法、迭代法、奇异扰动重新缩放。
  • Ch 7（边界层理论）：奇异扰动问题的系统化处理——外解 + 内解 + 匹配条件 + 复合解；Airy 方程型内解与三层问题。
  • Ch 8（长波渐近）：把 Ch 7 从 ODE 推广到 PDE——Laplace 方程的细长矩形约化、可解性条件、绝缘导线、有效电路。
  • Ch 9（弱非线性振荡器）：处理"小扰动长期累积"——Poincaré-Lindstedt 频率重正化、多时间尺度法（MMTS）、振幅方程、Fredholm alternative。
  • Ch 10（快/慢动力系统）：处理强非线性振荡——van der Pol 振荡器、Liénard 变换、慢流形、快跳跃、Michaelis-Menten 律。

  • Ch 11（约化模型）：当不能求完整解时，用矩方法提取宏观量——质量/中心/方差守恒、Turing 不稳定性、Taylor 弥散、8/945 常数。

  • 应用阶段（Ch 12）综合应用：

  • Ch 12（应用流体力学）：润滑理论 + 空气轴承滑块 + 楔形小溪流——Ch 8 长波、Ch 5 自相似、Ch 7 边界层、Ch 2 激波、Ch 10 慢流形的工程集成。

贯穿全书的方法学主线： - 降维（dimensional reduction）：把高维/复杂问题简化为低维/简单问题（Ch 4 无量纲化、Ch 5 自相似、Ch 8 长波、Ch 10 慢流形、Ch 11 矩方法） - 标度对称性（scaling symmetry）：识别方程在标度变换下的不变性 - 匹配渐近展开（matched asymptotic expansions）：Ch 7-8 的核心方法 - 小参数展开（perturbation methods）：Ch 6 的统一框架 - 定性分析（qualitative analysis）：Ch 1 的相平面分析贯穿全书

3. 全书结构与组织

全书结构遵循"建模 → 求解 → 应用"的三段式：

Part I — Formulation of Models（Ch 1-4）

  • Ch 1 Rate Equations（pp. 3-21）：ODE 建模的入门，从质量作用定律到流行病模型
  • Ch 2 Transport Equations（pp. 23-46）：PDE 建模的入门，从 Reynolds 输运定理到 Burgers 激波
  • Ch 3 Variational Principles（pp. 47-83）：从优化原理建模，从 Euler-Lagrange 到 Pontryagin
  • Ch 4 Dimensional Scaling Analysis（pp. 85-105）：无量纲化与 Buckingham Π 定理

Part II — Solution Techniques（Ch 5-11）

  • Ch 5 Self-Similar Scaling Solutions（pp. 113-127）：标度对称性 → 自相似解
  • Ch 6 Perturbation Methods（pp. 127-146）：渐近展开的统一框架
  • Ch 7 Boundary Layer Theory（pp. 147-173）：奇异扰动 ODE 的匹配渐近展开
  • Ch 8 Long-Wave Asymptotics for PDE Problems（pp. 167-191）：Ch 7 的 PDE 推广
  • Ch 9 Weakly-Nonlinear Oscillators（pp. 185-204）：Poincaré-Lindstedt + MMTS
  • Ch 10 Fast/slow Dynamical Systems（pp. 201-220）：van der Pol + Michaelis-Menten
  • Ch 11 Reduced Models for PDE Problems（pp. 215-231）：矩方法 + Turing + Taylor

Part III — Case Studies（Ch 12）

  • Ch 12 Modelling in Applied Fluid Dynamics（pp. 235-249）：润滑理论 + 空气轴承 + 楔形小溪流

附录与索引

  • 附录 A：三角恒等式与 Fourier 级数
  • 部分习题解答
  • 参考文献（约 100+ 条）
  • 索引

4. 核心理论框架

全书的"理论骨架"是 7 个核心数学对象：

4.1 速率方程（Ch 1）

一般形式：\(\frac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{f}(\mathbf{x}, t)\) - 关键方法：相线（1D）+ 相平面分析（2D）+ 线性稳定性（Jacobian 矩阵特征值） - 核心应用：化学反应、流行病、生态学、力学 - 关键洞察：自治系统 → 平衡点 → 久期增长 → 几何稳定性

4.2 输运方程（Ch 2）

一般形式：\(\partial_t \rho + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = R\)（连续性方程） - 关键方法：Reynolds 输运定理 + du Bois-Reymond 引理 + 特征线 + Rankine-Hugoniot 激波 - 核心应用：流体动力学、质量输运、激波物理 - 关键洞察：Lagrangian 描述 ↔ Eulerian 描述 + 色散关系 + 激波的"等面积律"

4.3 变分原理（Ch 3）

一般形式：\(\delta J[y] = 0\)，\(J = \int L(x, y, y') dx\) - 关键方法：Euler-Lagrange 方程 + Lagrange 乘子（积分约束、几何约束、ODE 约束）+ Pontryagin 最大值原理 - 核心应用：力学（H 原理）、几何（等周问题）、控制论（最优控制） - 关键洞察：\(\frac{\partial L}{\partial y} - \frac{d}{dx} \frac{\partial L}{\partial y'} = 0\) 是"对函数求极值"的不动点

4.4 量纲与尺度（Ch 4）

一般形式：\([Q] = [L]^\alpha [T]^\beta [M]^\gamma\)（量纲向量空间） - 关键方法：Buckingham Π 定理 + 第 1 原则（归一化尽可能多 Π）+ 第 2 原则（避免发散） - 核心应用：实验设计、参数约化、缩尺实验、动态相似性 - 关键洞察：$\Pi = $ 竞争效应比（Stokes = 黏性/重力，Reynolds = 惯性/黏性，Péclet = 对流/扩散）

4.5 自相似解（Ch 5）

一般形式：\(u(x, t) = t^{-\alpha} f(x t^{-\beta})\) - 关键方法：标度不变性 + Π 定理代数 + PDE → ODE 降维 - 核心应用：扩散方程（热方程 Cauchy 解）、非线性扩散（多孔介质方程） - 关键洞察：长时间行为由宏观守恒量决定，与初始细节无关

4.6 渐近展开（Ch 6）

一般形式：\(x(t, \varepsilon) = \delta_0(\varepsilon) x_0(t) + \delta_1(\varepsilon) x_1(t) + \ldots\) - 关键方法：展开法（\(\delta_n = \varepsilon^n\)）+ 迭代法（主导平衡原则）+ 重新缩放 - 核心应用：奇异扰动、边界层、慢变参数 - 关键洞察：渐近展开可以发散，但部分和在小 \(\varepsilon\) 时是渐近精确的

4.7 多尺度方法（Ch 7-8）

一般形式：\(u(x, t) = u_{\text{outer}}(x) + u_{\text{inner}}(X) - u_{\text{overlap}}\) - 关键方法：外解 + 内解 + 匹配条件 + 复合解 - 核心应用：边界层、细长问题、润滑理论、长波近似 - 关键洞察：物理现象常有多尺度结构（外慢内快），匹配保证无缝衔接

4.8 振幅方程（Ch 9-10）

一般形式：\(\dot A = f(A, B; \tau)\)，\(\dot B = g(A, B; \tau)\) - 关键方法：Poincaré-Lindstedt（频率重正化）+ MMTS（多时间尺度）+ Fredholm alternative - 核心应用：非线性振荡、极限环、Hopf 分岔 - 关键洞察：长期行为由慢时间 \(\tau\) 上的振幅方程决定

4.9 矩方法（Ch 11）

一般形式：\(M_n(t) = \int x^n \rho(x, t) dx\) - 关键方法：积分 PDE → ODE 链 + 闭合关系 - 核心应用：扩散描述、统计推断、Turing 不稳定性、Taylor 弥散 - 关键洞察：用宏观量（质量、中心、方差）描述解的特征

5. 章节间逻辑关系

全书章节之间存在严格的依赖关系，形成"知识树"：

Part I（建模）
├── Ch 1（ODE） ──┬── Ch 2（PDE 基础） ──── Ch 8（长波 PDE）
│                ├── Ch 5（自相似 ODE/PDE） ──── Ch 12（润滑理论）
│                └── Ch 11（矩方法 ODE/PDE）── Ch 12
├── Ch 3（变分原理） ─── Ch 9（Poincaré-Lindstedt）
├── Ch 4（无量纲化） ──┬── Ch 5（自相似，标度对称性）
│                     ├── Ch 6（小参数识别）
│                     ├── Ch 8（长波参数）
│                     ├── Ch 9（弱非线性，$\varepsilon$ 小）
│                     └── Ch 12（轴承数 $\Lambda$）
└──（建模方法汇总）

Part II（求解）
├── Ch 5（自相似） ──┬── Ch 11（矩方法）── Ch 5.5.1（自相似吸引子）
│                  └── Ch 12（润滑 + 小溪流自相似解）
├── Ch 6（扰动方法） ──┬── Ch 7（边界层 = 奇异扰动 ODE）
│                     ├── Ch 8（边界层 = 奇异扰动 PDE）
│                     ├── Ch 9（Poincaré-Lindstedt 消除久期项）
│                     ├── Ch 10（van der Pol 重新缩放）
│                     └── Ch 12（润滑 + 楔形流）
├── Ch 7（边界层 ODE） ─── Ch 8（边界层 PDE）
├── Ch 8（长波 PDE） ─── Ch 12（润滑 + 楔形流）
├── Ch 9（弱非线性） ──┬── Ch 10（强非线性，$\varepsilon$ 乘高阶导数）
│                     └── Ch 12（van der Pol 在 Ch 9 后）
├── Ch 10（快/慢系统） ─── Ch 12（润滑的几何）
└── Ch 11（矩方法） ─── Ch 12（Taylor 弥散 + Turing 不稳定性）

Part III（应用）
└── Ch 12（应用） = Ch 1-11 的工程集成

最关键的方法学依赖： 1. Ch 4 无量纲化是Ch 5-12 的共同前提——所有"小参数"识别都依赖 Ch 4 2. Ch 6 扰动方法是Ch 7-10 的理论基础——边界层、长波、MMTS、van der Pol 都用扰动框架 3. Ch 5 自相似是Ch 11 矩方法的特例——Cauchy 解就是 \(t \to \infty\) 的"自相似吸引子" 4. Ch 1 相平面分析贯穿全书——van der Pol、振幅方程、稳定性分析都用到

6. 核心术语词汇表

英文术语 中文翻译 定义
Rate Equation 速率方程 描述状态变量随时间变化的常微分方程
Transport Equation 输运方程 描述密度场随时间和空间变化的偏微分方程
Eulerian Description Euler 描述 在固定空间点上观察场随时间的变化
Lagrangian Description Lagrangian 描述 跟随流体质点观察其轨迹和属性的变化
Method of Characteristics 特征线法 把 PDE 转化为常微分方程组的求解方法
Rankine-Hugoniot Condition Rankine-Hugoniot 条件 激波速度与左右两侧物理量的关系
Variational Principle 变分原理 用极值原理（Hamilton 原理、Fermat 原理）反推微分方程
Euler-Lagrange Equation Euler-Lagrange 方程 变分法的核心方程 \(\frac{\partial L}{\partial y} - \frac{d}{dx} \frac{\partial L}{\partial y'} = 0\)
Pontryagin Maximum Principle Pontryagin 最大值原理 最优控制的必要条件
Buckingham Pi Theorem Buckingham Π 定理 \(n\) 个量、\(r\) 个量纲 → \(n-r\) 个无量纲参数
Dynamical Similarity 动态相似性 两个系统所有无量纲参数相同则行为相同
Self-Similar Solution 自相似解 \(u(x, t) = t^{-\alpha} f(x t^{-\beta})\) 形式的解
Cauchy Solution Cauchy 解 热方程的源型自相似解（高斯函数）
Boltzmann Solution Boltzmann 解 误差函数型扩散边界层解
Porous Medium Equation 多孔介质方程 \(\partial_t u = \partial_x(u^n \partial_x u)\)，非线性扩散
Asymptotic Expansion 渐近展开 形式幂级数，部分和在小参数极限下精确
Singular Perturbation 奇异扰动 \(\varepsilon \to 0\) 时某些解发散的扰动问题
Dominant Balance 主导平衡 方程中必须同阶的项决定解的结构
Boundary Layer 边界层 解的快速变化区域（\(\delta \ll 1\)）
Matched Asymptotic Expansions 匹配渐近展开 外解 + 内解 + 匹配条件的系统化方法
Composite Solution 复合解 \(u_{\text{comp}} = u_{\text{outer}} + u_{\text{inner}} - u_{\text{overlap}}\)
Long-Wave Approximation 长波近似 \(\varepsilon = H/L \ll 1\) 时 PDE → ODE 约化
Lubrication Theory 润滑理论 Reynolds 方程 \(\partial_t(\rho h) = \frac{1}{3} \partial_x(\rho h^3 \partial_x p)\)
Solvability Condition 可解性条件 高阶 ODE 有解的相容性约束（Fredholm alternative）
Poincaré-Lindstedt Method Poincaré-Lindstedt 方法 频率重正化消除久期项
Multiple Time-Scales (MMTS) 多时间尺度法 引入慢时间 \(\tau = \varepsilon t\) 描述振幅演化
Amplitude Equation 振幅方程 描述振荡系统慢变量 \(A(\tau), B(\tau)\) 演化的耦合 ODE
Secular Term 久期项 渐近展开中 \(t \cos \omega t\) 这种振幅增长项
Fredholm Alternative Fredholm 选择 线性算子 \(Ax = f\) 有解当且仅当 \(f\) 与零空间正交
Fast/Slow System 快/慢系统 奇异扰动动力系统分解为慢流形 + 快跳跃
Slow Manifold 慢流形 退化 ODE 系统中的代数约束 \(S(x) = y\)
Limit Cycle 极限环 相平面中孤立的周期轨道（吸引子）
Relaxation Oscillation 张弛振荡 周期内大部分时间缓慢、瞬间快速切换（van der Pol）
Michaelis-Menten Law Michaelis-Menten 律 酶动力学 \(dP/dt = V_{\max} S/(K_M + S)\)
Method of Moments 矩方法 用 \(M_n = \int x^n \rho dx\) 提取宏观统计量
Turing Instability Turing 不稳定性 扩散可以增强空间结构而非抹平
Taylor Dispersion Taylor 弥散 横向扩散 + 速度梯度 → 有效纵向扩散放大
Bearing Number 轴承数 空气轴承中对流/扩散比 \(\Lambda = 12 \mu L U / (P_{atm} H^2)\)
Peclet Number Péclet 数 对流/扩散比 \(\text{Pe} = UL/D\)
Reynolds Number Reynolds 数 惯性/黏性比 \(\text{Re} = \rho U L / \mu\)
Stokes Number Stokes 数 黏性阻力/净重力
Strouhal Number Strouhal 数 特征时间比（流动频率 × 长度 / 速度）
Delay Differential Equation (DDE) 延迟微分方程 状态变量 \(x(t - \tau)\) 出现在 ODE 中

7. 章节间的"主线"贯穿关系

7.1 "标度对称性"主线

  • Ch 4：Π 定理识别标度不变性
  • Ch 5：标度不变性 → 自相似解
  • Ch 6：标度分析识别小参数
  • Ch 7-8：不同空间标度的匹配
  • Ch 9-10：不同时间标度的分离
  • Ch 12：长波近似的几何标度

7.2 "守恒律"主线

  • Ch 1：质量作用 + Logistic 守恒
  • Ch 2：连续性方程 + Rankine-Hugoniot
  • Ch 3：Hamilton 原理（作用量驻值）
  • Ch 4：Π 定理中的守恒
  • Ch 5：自相似解的"吸引子"性质
  • Ch 11：矩的演化（\(M_0\) 守恒、\(M_1\) 守恒、\(M_2\) 增长）

7.3 "多尺度分离"主线

  • Ch 7：空间多尺度（外 + 内）
  • Ch 8：空间多尺度（PDE 长波）
  • Ch 9：时间多尺度（快 \(t\) + 慢 \(\tau\)）
  • Ch 10：变量多尺度（慢流形 + 快跳跃）
  • Ch 11：积分尺度（矩 + 残差）

7.4 "线性化 + 稳定性"主线

  • Ch 1：ODE 平衡点 + Jacobian 特征值
  • Ch 6：线性化 \(\varepsilon = 0\) 系统
  • Ch 9：线性化振幅方程（消除久期项 = Fredholm alternative）
  • Ch 10：线性化快/慢系统
  • Ch 11：线性化 Turing 系统（矩阵特征值）
  • Ch 12：线性化空气轴承稳定性（DDE 特征方程）

8. 与相关教材的对比

8.1 与 Murray 《Mathematical Biology》的对比

  • Murray I-II 偏重生物应用（种群动态、流行病、形态发生、神经生理）
  • Witelski-Bowen 偏重方法论（建模与求解的系统化技术）
  • Witelski-Bowen 的 Ch 2-4、Ch 6-10、Ch 12 与 Murray 形成"方法 vs 应用"的互补
  • Witelski-Bowen 的 Ch 11（Turing 不稳定性）与 Murray II Ch 2-3 同源

8.2 与 Bender-Orszag 《Advanced Mathematical Methods》的对比

  • Bender-Orszag 是研究级（包含复杂渐近分析、Stokes 现象、WKB）
  • Witelski-Bowen 是本科级（更基础、更工程导向）
  • Bender-Orszag 的核心方法（匹配展开、平均法、边界层）在本书中均有体现，但深度较浅

8.3 与 Strogatz 《Nonlinear Dynamics and Chaos》的对比

  • Strogatz 偏重动力学定性分析（相平面、稳定性、分岔、混沌）
  • Witelski-Bowen 偏重定量方法（扰动展开、自相似解、矩方法）
  • Strogatz 的 Ch 1-4（相平面、分岔）与本书 Ch 1 同源
  • Witelski-Bowen 的 Ch 9-10（弱非线性、快/慢系统）与 Strogatz Ch 6-8 同源但更工程化

8.4 与 Keener-Sneyd 《Mathematical Physiology》的对比

  • Keener-Sneyd 偏重生理学（神经、心脏、肌肉、肾脏）
  • Witelski-Bowen 偏重通用方法（不限于生理学）
  • Witelski-Bowen 的 Ch 2.6（激波）、Ch 5（自相似）、Ch 7（边界层）、Ch 11（Turing）与 Keener-Sneyd 同源

8.5 与本书独特的优势

  1. 方法论系统性：从建模到求解到应用，覆盖完整工作流
  2. 多方法集成：每个工程问题用多个数学方法协同解决
  3. 物理洞察：每个数学方法都有清晰的物理动机和应用
  4. 习题质量：习题不仅是练习，还包含"全书知识的再连接"（如 Ch 8 习题 8.5-8.6 把 KdV 方程、多孔介质方程的 PDE 来源挖出）

9. 章节难度与建议阅读顺序

难度梯度（个人评估）

章节 数学难度 物理洞察 工程实用 建议优先级
Ch 1 低 中 高 必读
Ch 2 中 高 高 必读
Ch 3 中 中 中 必读
Ch 4 低 高 高 必读
Ch 5 中 高 中 必读
Ch 6 中 高 高 必读
Ch 7 高 高 中 必读
Ch 8 高 高 高 必读
Ch 9 高 中 中 重要
Ch 10 高 高 中 重要
Ch 11 中 中 中 重要
Ch 12 高 高 高 应用导向选读

推荐阅读路径

路径 A（建模优先）：Ch 1 → Ch 2 → Ch 4 → Ch 5 → Ch 8 → Ch 12（按"问题 → 无量纲化 → 自相似 → 长波 → 工程"递进）

路径 B（方法论优先）：Ch 4 → Ch 5 → Ch 6 → Ch 7 → Ch 8 → Ch 9 → Ch 10 → Ch 11（按"无量纲化 → 自相似 → 扰动 → 边界层 → 长波 → 振幅 → 快/慢 → 矩"递进）

路径 C（应用导向）：Ch 1 → Ch 4 → Ch 6 → Ch 8 → Ch 12（聚焦"如何用数学方法解决工程问题"）

10. 全书"核心洞察"汇总

  1. 建模 = 把物理直觉转化为数学方程。Ch 1-4 给出"如何从质量作用、动量守恒、能量原理、量纲分析推导出 ODE/PDE"。

  2. 求解 = 降维 + 匹配。Ch 5-11 给出"如何把复杂方程降维为简单方程"（自相似、扰动、边界层、长波、振幅方程、矩方法）。

  3. 应用 = 工具箱协同。Ch 12 展示"Ch 1-11 的所有方法在两个工程问题（润滑 + 楔形流）中的协同工作"。

  4. 核心方法学：(a) 降维（Ch 4/5/8/10/11），(b) 标度对称性（Ch 4/5/12），(c) 匹配渐近展开（Ch 7-8），(d) 小参数展开（Ch 6/9-10），(e) 定性分析（Ch 1 贯穿）。

  5. 核心物理对象：连续介质 → 密度场 → 输运方程 → 守恒律 → 特征线法 → 激波 → 自相似解 → 边界层 → 长波近似 → 极限环。

  6. 核心工程对象：润滑理论（Reynolds 方程）、空气轴承（轴承数）、楔形流（多孔介质方程变种）、Turing 不稳定性、Taylor 弥散（8/945）。

  7. 核心数学对象：ODE、PDE、Euler-Lagrange 方程、特征值问题、渐近展开、匹配、外解/内解、自相似解、振幅方程、矩积分。

11. 对建模学习者的建议

读完本书后，建模学习者应能：

  1. 识别问题的类型（力学、化学、生态、流行病、流体）→ 写出对应类型的方程
  2. 无量纲化问题 → 识别关键小参数 \(\varepsilon\)
  3. 选择合适的方法：
  4. 时间相关 + 无小参数 → 数值求解
  5. 标度不变 → 自相似解（Ch 5）
  6. 有小参数 → 扰动方法（Ch 6-10）
  7. 边界层 → 匹配渐近展开（Ch 7-8）
  8. 振荡系统 → Poincaré-Lindstedt / MMTS（Ch 9-10）
  9. 完整解太复杂 → 矩方法（Ch 11）
  10. 验证结果（与精确解比较、与物理直觉一致、与数值结果一致）
  11. 沟通结果（清晰的物理图、简洁的数学公式、明确的工程含义）

12. 与其他教材的衔接

读完本书后，建模学习者可以进一步阅读： - Murray I-II（生物应用） - Bender-Orszag（高阶渐近分析） - Strogatz（非线性动力学与混沌） - Keener-Sneyd（生理学应用） - Cox & Matthews（数值方法） - Hairer-Norsett-Wanner（ODE 数值解） - Brenan-Campbell-Petzold（DDE 数值解）

全书 12 章 + 尾声 + 附录 = 约 250 页正文 + 50 页习题 + 20 页参考文献/索引

我的阅读建议：本书作为 SUMS 系列的"建模方法"教材，最适合作为"研究生第一年 + 建模实践"的基础读物。它不是工具书（不能临场翻查），而是一本"系统训练"教材——读完每一章后做习题 + 与 Ch 4 无量纲化反复对照 = 真正掌握"建模"这门艺术。

—— 2026-06-07 全书读毕