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第 6 章 扰动方法（Perturbation Methods）

作者

同 Ch 1-5，Thomas Witelski（Duke University，数学系）和 Mark Bowen（Waseda University，国际理工学中心）合著。本章是 Part II（Solution Techniques）的第 2 章。

本章在全书中的定位：Ch 5 自相似解是"精确解的特例"，本章扰动方法是"渐进精确解"——当问题有某个小参数 \(\varepsilon\) 时，求解的渐近展开。这是工程和物理中最实用的"求解工具"：\(99\%\) 的真实物理问题没有闭式解，但有 \(0 < \varepsilon \ll 1\) 的小参数，扰动方法给出可控精度的近似解。

内容概述

本章回答一个核心问题：给定一个含小参数 \(\varepsilon\) 的方程（代数方程、ODE、PDE、积分方程），如何系统地构造 \(\varepsilon \to 0\) 极限下的渐近展开？

章节结构： 1. §6.1 渐近分析的概念与记号：\(\sim\)（渐近等价）、\(O(\cdot)\)（big-Oh）、\(o(\cdot)\)（little-oh）。这些是精确描述"小量阶数"的数学语言。 2. §6.2 渐近展开：把 \(x(t, \varepsilon) = \delta_0(\varepsilon) x_0(t) + \delta_1(\varepsilon) x_1(t) + \ldots\)，其中 \(\delta_n\) 是规范函数（gauge functions）且渐近有序。最优截断（optimal truncation）\(N(\varepsilon)\) 给出最小误差（即使展开发散也成立——这是 6.2.1 节的"发散展开"现象）。 3. §6.3 渐近展开的计算： - §6.3.1 展开法（expansion method）：假设 \(\delta_n = \varepsilon^n\)，代入方程逐阶求解（最简单、最常用） - §6.3.2 迭代法（iteration method）：通过主导平衡原则（dominant balance）找到 \(\delta_0\) 和 \(x_0\)，更灵活但更繁琐 - §6.3.3 进一步例子：超越方程 \(x^2 - 2x + \varepsilon \sin x = 0\)，二重根 \((x-1)^2 = 9\varepsilon\)（需要 \(\delta_0 = \sqrt{\varepsilon}\)） 4. §6.4 ODE 问题的正则展开（抛体问题 6.24-6.26）：逐阶给出 \(x_0(t), x_1(t), x_2(t), \ldots\) 的 ODE 链 5. §6.5 奇异扰动问题：当 \(\varepsilon \to 0\) 时某些解发散（\(x \to \infty\)），需要重新缩放（rescaling）来恢复。例 \(\varepsilon x^2 - 2x + 1 = 0\) 的两个解（正则 + 奇异）。 6. §6.5.1 重新缩放的系统化方法：4 步法 - 设 \(x = \delta_0(\varepsilon) X\) - 选 \(\delta_0\) 使主导平衡一致 - 提取公因子得关于 \(X\) 的正则问题 - 解出 \(X\) 再缩放回 \(x\)

核心思想：把复杂问题分解为一系列简单问题（每阶一个），通过"主导平衡"识别哪些项重要、哪些项可忽略。这是物理建模的精髓——抓住"主导效应"、忽略"次要效应"。

前置知识：Ch 4（无量纲化，识别 \(\varepsilon\)）、Ch 5（自相似变量作为展开的"目标"）、Taylor 展开、ODE 求解。

核心方程与概念

1. 渐近记号（§6.1, eq. 6.2-6.5）

渐近等价（6.2）：\(f \sim g\) as \(\varepsilon \to 0\) 当 \(\lim_{\varepsilon \to 0} f/g = 1\)。 - 例：\(1/(\varepsilon + 1) \sim 1/\varepsilon\) 当 \(\varepsilon \to 0\)（注意 \(f \to \infty\)，但 \(f/g \to 1\)） - 例：\(\sin \varepsilon \sim \varepsilon\) 当 \(\varepsilon \to 0\)（不是 \(\sim \varepsilon^2\)，虽然两者都趋于 0）

Big-Oh（6.3）：\(f = O(g)\) 当 \(\lim_{\varepsilon \to 0} f/g = A\)（有限常数）。 - 例：\(\sin \varepsilon = O(4\varepsilon)\) 当 \(\varepsilon \to 0\)（\(A = 1/4\)） - 例：\(N! = O(N^{N+1/2} e^{-N})\)（Stirling 公式，\(N \to \infty\)）

Little-Oh（6.4）：\(f = o(g)\) 当 \(\lim_{\varepsilon \to 0} f/g = 0\)。 - 例：\(\varepsilon^2 = o(\varepsilon)\) → 可写 \(2\varepsilon + 3\varepsilon^2 \sim 2\varepsilon\) - 例：\(e^\varepsilon = 1 + \varepsilon + \frac{1}{2}\varepsilon^2 + o(\varepsilon^2)\)（Taylor 展开 + little-oh 描述余项）

这些记号是"语言"：\(\sim\) 给出"主项"，\(O\) 给出"阶数"，\(o\) 给出"可忽略"。

2. 渐近展开（§6.2, eq. 6.6-6.8）

基本形式（6.6, 6.7）： $\(x(t, \varepsilon) = \delta_0(\varepsilon) x_0(t) + \delta_1(\varepsilon) x_1(t) + \delta_2(\varepsilon) x_2(t) + \ldots\)$ $\(\delta_0 \gg \delta_1 \gg \delta_2 \gg \ldots \text{ as } \varepsilon \to 0\)$

三种记号（6.8）： - \(x \sim \delta_0 x_0 + \delta_1 x_1 + \delta_2 x_2\)（三项显式） - \(x = \delta_0 x_0 + \delta_1 x_1 + O(\delta_2)\)（两项 + 余项估计） - \(x = \delta_0 x_0 + \delta_1 x_1 + o(\delta_1)\)（两项 + 余项的阶数）

发散展开（§6.2.1, 6.11-6.12）：渐近展开可以发散——但部分和在 \(\varepsilon \to 0\) 时仍是渐近精确的。 - 例：\(I(\varepsilon) = \int_0^\infty \frac{e^{-t}}{1 + \varepsilon t} dt \sim \sum_{n=0}^\infty (-1)^n n! \varepsilon^n\) - 这是整个级数发散的（对任何 \(\varepsilon > 0\) 都有充分大 \(n\) 使 \(|a_n \varepsilon^n|\) 增长） - 但最优截断 \(N(\varepsilon) \approx 1/\varepsilon\) 给出最小误差 - 这是渐近分析与收敛级数的根本区别

3. 主导平衡原则（§6.3.2, eq. 6.19-6.20）

问题：找到 \(\delta_0\) 和 \(x_0\) 使得 \(x_0 \delta_0\) 是 \(F(x, \varepsilon) = 0\) 的渐近解。

主导平衡原则：若 \(x \sim \delta_0 x_0\) 满足方程，至少两项必须同阶（其它项 sub-dominant）。

例：\(x^2 - x + \frac{1}{4}\varepsilon = 0\)（6.13）。代入 \(x \sim \delta_0 x_0\) 得 \(\delta_0^2 x_0^2 - \delta_0 x_0 + \frac{1}{4}\varepsilon = 0\)。三种可能平衡： - (1, 2)：\(\delta_0^2 = \delta_0\) → \(\delta_0 = 1\)（一致） - (1, 3)：\(\delta_0^2 = \varepsilon\) → \(\delta_0 = \sqrt{\varepsilon}\)（不一致：项 (2) 是 \(\sqrt{\varepsilon}\)，与 (1, 3) 同阶！） - (2, 3)：\(\delta_0 = \varepsilon\)（一致）

两种一致平衡给出两组解： - \(\delta_0 = 1\)：\(x_A \sim 1 - \frac{1}{4}\varepsilon + \ldots\)（正则解） - \(\delta_0 = \varepsilon\)：\(x_B \sim \frac{1}{4}\varepsilon + \ldots\)（正则解）

这就是 §6.3.1 的"展开法"自动得到的结果——但 §6.3.2 的迭代法不假设 \(\delta_0\) 的形式，所以对二重根（§6.3.3 末段 \((x-1)^2 = 9\varepsilon\)）也适用——那里 \(\delta_0 = \sqrt{\varepsilon}\) 而非 \(\varepsilon^n\)。

4. 展开法（§6.3.1, eq. 6.17-6.18）

假设：\(\delta_n = \varepsilon^n\)，即 \(x = x_0 + \varepsilon x_1 + \varepsilon^2 x_2 + \ldots\)。

代入方程 \(x^2 - x + \frac{1}{4}\varepsilon = 0\)： - \(O(\varepsilon^0)\)：\(x_0^2 - x_0 = 0\) → \(x_0 = 0\) 或 \(x_0 = 1\) - \(O(\varepsilon^1)\)：\(2 x_0 x_1 - x_1 + \frac{1}{4} = 0\) → \(x_1 = -\frac{1}{4}\)（对 \(x_0 = 1\)）或 \(x_1 = \frac{1}{4}\)（对 \(x_0 = 0\)） - \(O(\varepsilon^2)\)：\(x_1^2 + 2 x_0 x_2 - x_2 = 0\) → \(x_2 = \mp \frac{1}{16}\)

这自动给出 (6.16) 的两个解： $\(x_A = 1 - \frac{1}{4}\varepsilon - \frac{1}{16}\varepsilon^2 + \ldots, \quad x_B = 0 + \frac{1}{4}\varepsilon + \frac{1}{16}\varepsilon^2 + \ldots\)$

特点：简单（如果 \(\delta_n\) 的形式已知）、系统（逐阶递推）、但只适用"正则"问题（\(\delta_0 = O(1)\)）。

5. 迭代法（§6.3.2, eq. 6.19-6.20）

不假设 \(\delta_n\) 的形式，先求 \(\delta_0\) 和 \(x_0\)，再逐项迭代。

优势：对非代数规范的展开（如 \(\delta_0 = \sqrt{\varepsilon}\)）也适用。劣势：每阶都要重新做"主导平衡"，繁琐。

6. ODE 的正则展开（§6.4, eq. 6.24-6.26）

抛体问题（重访 Ch 4.7a）： $\(\ddot x = -\frac{1}{(1 + \varepsilon x)^2}, \quad x(0) = 1, \dot x(0) = \alpha\)$

展开：\(x = x_0 + \varepsilon x_1 + \varepsilon^2 x_2 + \ldots\)。代入 ODE 右端的二项式展开 \((1 + \varepsilon x)^{-2} = 1 - 2\varepsilon x + 3\varepsilon^2 x^2 - \ldots\) 后逐阶匹配：

  • \(O(\varepsilon^0)\)：\(\ddot x_0 = -1, x_0(0) = 1, \dot x_0(0) = \alpha\) → \(x_0(t) = 1 + \alpha t - \frac{1}{2} t^2\)
  • \(O(\varepsilon^1)\)：\(\ddot x_1 = 2 x_0 = 2 + 2\alpha t - t^2, x_1(0) = 0, \dot x_1(0) = 0\) → \(x_1(t) = t^2 + \frac{\alpha}{3} t^3 - \frac{1}{12} t^4\)
  • ...

最终（6.26）： $\(x(t) = \left(1 + \alpha t - \frac{1}{2} t^2\right) + \varepsilon \left(t^2 + \frac{\alpha}{3} t^3 - \frac{1}{12} t^4\right) + O(\varepsilon^2)\)$

关键观察（6.26 末尾）：渐近阶数在 \(t = O(1/\sqrt{\varepsilon})\) 时崩溃——此时 \(x_0 = O(1/\varepsilon)\) 与 \(\varepsilon x_1 = O(1/\varepsilon)\) 同阶。这正是 Ch 7 边界层理论要解决的问题。

7. 奇异扰动问题（§6.5, eq. 6.27-6.30）

例子：\(\varepsilon x^2 - 2x + 1 = 0\)（6.27），\(\varepsilon \to 0\)。 - \(\varepsilon = 0\)：\(-2x + 1 = 0\) → \(x = 1/2\)（只给出一个解） - 完整解：\(x = (1 \pm \sqrt{1 - \varepsilon})/\varepsilon\) - \(x_A \sim 2/\varepsilon - 1/2 - \varepsilon/8\)（奇异解） - \(x_B \sim 1/2 + \varepsilon/8 + \varepsilon^2/16\)（正则解）

问题：\(\varepsilon = 0\) 丢失了 \(x_A\) ！原因：当 \(\varepsilon \to 0\)，\(x_A \to \infty\)，是 \(\varepsilon \to 0\) 的奇异极限。

8. 重新缩放法（§6.5.1, 4 步法）

对奇异解 \(x \sim \delta_0(\varepsilon) X\)（\(X = O(1)\)）：

  1. 设 \(x = \delta_0(\varepsilon) X\)
  2. 选 \(\delta_0\) 使主导平衡一致（如 \(\delta_0 = 1/\varepsilon\)）
  3. 提出公因子得关于 \(X\) 的正则问题（如 \(X^2 - 2X + \varepsilon = 0\)）
  4. 用展开法或迭代法解 \(X\)，再缩放回 \(x\)

例：\(\varepsilon x^2 - 2x + 1 = 0\)，奇异解 \(x \sim 2/\varepsilon\) → 设 \(x = X/\varepsilon\)，代入得 \(X^2 - 2X + \varepsilon = 0\)（正则问题）。展开 \(X = X_0 + \varepsilon X_1 + \ldots\)：\(X_0^2 - 2 X_0 = 0\) → \(X_0 = 2\)（拒绝 \(X_0 = 0\) 是 "ghost"）。所以 \(x \sim 2/\varepsilon + \ldots\)。

关键结论

  1. 主导平衡原则是扰动方法的"灵魂"（§6.3.2）：找到哪些项必须同阶（否则方程不平衡），是"求 \(\delta_0\)"的几何表述。这一原则在所有奇异扰动问题中通用——包括 Ch 7 边界层、Ch 8 长波、Ch 9-10 弱非线性。
  2. 渐近展开与收敛级数是两种不同的数学对象（§6.2.1）：渐近展开可以发散，但部分和在小 \(\varepsilon\) 时是渐近精确的。这种"发散但精确"的反直觉是数值分析的常用工具——例：Stirling 公式 \(N! \sim N^N e^{-N} \sqrt{2\pi N}\)，对任何 \(N\) 都比 \(N!\) 的精确值有 \(< 1\%\) 误差（即使没有"截断"）。
  3. 正则扰动 vs. 奇异扰动（§6.5）：当 \(\varepsilon \to 0\) 时解不发散 → 正则扰动（用展开法）。当 \(\varepsilon \to 0\) 时解发散 → 奇异扰动（需要重新缩放）。奇异扰动是工程和物理的常态——边界层、激波、孤子、初值问题都是奇异问题（"高阶导数被小参数乘"）。
  4. 重新缩放 = 选对 \(\delta_0\)（§6.5.1）：对奇异解，关键一步是选对外尺度（outer scaling）。外尺度 = 解的发散阶。一旦 \(\delta_0\) 选对，剩下就是正则问题（用 §6.3.1 展开法）。这一思想贯穿 Ch 7-10。
  5. ODE 的逐阶求解链（§6.4）：每阶 \(x_n\) 满足一个线性 ODE（因为非线性已被 \(x_0\) "解出"），初值条件为 0（因为已经全部分配给 \(x_0\)）。这种"逐阶线性化"是扰动方法的核心优势——把非线性问题分解为一系列线性问题。
  6. 展开法 vs. 迭代法（§6.3.1 vs. §6.3.2）：展开法快速但只适用正则问题，迭代法通用但繁琐。实际操作：先尝试展开法（如 (6.17)），如果失败（双重根、主导平衡不一致），切换到迭代法。
  7. 发散展开的最优截断（§6.2.1, 6.12）：展开第 \(N\) 项的大小 \(\sim a_N \varepsilon^N \sim N! \varepsilon^N\)，最优 \(N \approx 1/\varepsilon\)（即使 \(\varepsilon = 0.1\)，\(N \approx 10\) 项就够）。这是数值"指数级精度"——比"固定 \(N\) 项"的代数级精度指数地好。
  8. 符号代数软件（Maple, Mathematica）的辅助（§6.3.3, §6.7 注 3）：现代扰动方法的实际工作流是手算前几阶 + 软件算高阶。这与 Ch 11 的"矩方法"是同一种"分工"。

挑战和开放性问题

  1. 奇异扰动的"内层"和"外层"需要匹配（§6.4 末段、§6.5）：作者指出抛体展开在 \(t = O(1/\sqrt{\varepsilon})\) 时崩溃，这意味着"外层解"在该区域不再有效。严格处理需要构造"内层解"（\(t = O(1/\sqrt{\varepsilon})\)）和"外层解"（\(t = O(1)\)）并匹配——这是 Ch 7 边界层理论的核心。本章没有给出匹配方法，但给出了"崩溃时刻"的几何解释。
  2. 符号选择的非唯一性（§6.1 末段）：作者指出 \(\cos\sqrt\varepsilon \sim (1 - \varepsilon/2) \sim e^\varepsilon \sim (1 + \varepsilon)\) 都对——这意味着"哪个规范函数 \(\delta_0\)"是约定而非"客观事实"。这种约定会影响解的形式（虽然数值相同）。在物理上，这种约定是物理直觉（"哪个量是'自然'的标度"）的选择。工程上通常选主项为 \(\delta_0 = 1\)（即使 \(x_0\) 是 \(O(1)\) 的量），让 \(x_n\) 显式地"小"。
  3. 发散展开的"误差估计"（§6.2.1 末段）：作者说"最优截断的误差 \(\sim\) 第一被忽略项"，但常数因子是什么？这是由Cauchy 残差估计决定的——依赖于解的奇点位置。例如 \(I(\varepsilon) = \int_0^\infty e^{-t}/(1 + \varepsilon t) dt\) 的奇点在 \(t = -1/\varepsilon\) → 残差 \(\sim\) 距离奇点的距离。这给出了发散展开的严格误差界——是渐近分析的高阶内容。
  4. 多重奇异摄动（two-parameter 奇异问题）：本章只处理单参数 \(\varepsilon\)。多参数奇异问题（\(\varepsilon_1, \varepsilon_2\) 都小且相互独立）需要多套尺度。例：双扩散（double diffusion, 热扩散 + 物质扩散）问题含 \(\varepsilon_T\) 和 \(\varepsilon_C\) 两个小参数，匹配条件取决于 \(\varepsilon_T/\varepsilon_C\) 的相对大小。这是 Ch 7 末尾的预告。
  5. 长时间展开的失效（§6.4 末段 + §6.7 习题 6.5）：抛体展开在 \(t = O(1/\sqrt{\varepsilon})\) 失效。类似地，大多数 ODE 展开有有效时间窗口 \(0 \le t \le T(\varepsilon)\)，\(T \to \infty\) 越慢，展开越难用。这与统计物理的"重正化群时间"有相似性：\(T(\varepsilon) \sim \varepsilon^{-1}\) 给出"对数修正"；\(T(\varepsilon) \sim \varepsilon^{-2}\) 给出"二次修正"。这种"有效窗口"是奇异扰动与重正化群的核心**。
  6. 缺失主题：多重尺度法（multiple scales）。当 \(\varepsilon \to 0\) 但解在多个时间尺度上变化时（如 \(t, \varepsilon t, \varepsilon^2 t\)），需要多重尺度展开 \(x(t, \varepsilon) = x_0(t, \tau) + \varepsilon x_1(t, \tau) + \ldots\)，\(\tau = \varepsilon t\)。这是 Ch 9 弱非线性振荡器的核心——一个慢时间尺度 \(\tau\) 用来描述包络（envelope）的演化。本章没有明说多重尺度，但 §6.4 末段"渐近阶数在 \(t = O(1/\sqrt\varepsilon)\) 崩溃"是多尺度的物理动机。
  7. §6.5.1 的"重新缩放"只处理代数方程。对 ODE/PDE 的奇异解，重新缩放需要"内尺度"和"外尺度"的同时构造。这是 Ch 7 的边界层理论：外尺度 \(x = O(1)\) 给出"主体解"，内尺度 \(X = x/\delta(\varepsilon)\)（\(\delta\) 是边界层厚度）给出"边界附近解"。本章的"重新缩放"是Ch 7 的预备知识——但缺少匹配条件（matching conditions）的严格推导。
  8. 缺失主题：稳定性和分岔。作者在 §6.4 末段提到"渐近阶数崩溃"是"标度区间的转变"，但没有给出"标度转变"与"分岔"的关系。事实上这两个概念深度相关：分岔点附近某些项的小量"激活"，导致解的拓扑改变。在分岔点附近，扰动展开的"主导项"切换——例如 pitchfork 分岔 \(\dot x = \mu x - x^3\)，\(\mu \to 0\) 时主导项从 \(x_0 = 0\) 切换到 \(x_0 = \pm \sqrt{\mu}\)。这是 Ch 1 末段分岔与本章扰动的连接——但作者没有明说。

个人反思与批判性分析

本章是全书实用价值最高的一章——扰动方法是物理学家和工程师的"日常工具"。作者用约 30 页（\(+\) 习题）把这一方法讲得清晰、有层次、可操作。几个值得反思的点：

  1. "主导平衡原则"的几何图像未被充分挖掘。作者在 §6.3.2 用代数方程的"可能项数"来引入主导平衡（3 项 → 3 种可能平衡），但几何意义是"项的阶数 \(\delta_n^a \varepsilon^b\) 在 \((\delta, \varepsilon)\) 平面上相交"——这是对数坐标下的直线相交问题。这种几何图像在更复杂问题（多 \(\delta\)、多 \(\varepsilon\)）中非常有用。建议加一张图展示"\(\log \delta - \log \varepsilon\) 平面"上的"主项网格"。
  2. 符号代数软件的角色（§6.3.3, §6.7 注 3）：作者展示了 Maple 的 series() 和 asympt() 命令，但没有强调"软件是工具不是替代"——前 1-2 阶应该手算（建立直觉），3 阶以上交给软件。这是教学上容易忽略的"建模素养"。
  3. §6.4 末段"崩溃时间"是 Ch 7-8 的入口：作者在抛体问题 (6.24) 中指出"渐近展开在 \(t = O(1/\sqrt{\varepsilon})\) 崩溃"——但没有明确给出"内层"的结构。这正是 Ch 7 边界层理论的核心。一个建议：把 §6.5 末尾的"奇异解"再举一个 ODE 例子（如 \(\varepsilon \ddot x + \dot x = f(x)\)，边界层在 \(t = O(\varepsilon)\)），预先展示 Ch 7 的内容。
  4. 二重根的处理（§6.3.3 末段）：作者通过 \((x-1)^2 = 9\varepsilon\) 演示了"展开法失效但迭代法可用"——这是优秀的对比。实际教学中，这是"为什么需要迭代法"的关键论据。
  5. 缺失：误差严格界的推导。本章给的是直觉（第一被忽略项 = 误差），但严格需要 Cauchy 残差估计或 Stokes 现象理论。Stokes 现象（当 \(\varepsilon\) 从正实轴旋转到复平面时，渐近展开的项"突然激活"或"突然消失"）是渐近分析的高阶内容，但对解的可靠性至关重要——尤其是Stokes 线附近的解。
  6. "重新缩放"的局限：本章的"重新缩放"只处理代数 \(\delta_0\)（如 \(1/\varepsilon, \sqrt{\varepsilon}, 1/\sqrt{\varepsilon}\)）。对 PDE（如 Burgers 方程、Poisson 方程），重新缩放涉及多个空间变量和多个内尺度——例如边界层 + 内部层 + 激波层。Ch 7 处理一维边界层；Ch 8 处理长波 + 短波的双尺度。Ch 7 末尾 习题 7.4 展示了三层"triple deck"，是这一思想的复杂示例。
  7. 与 Ch 9-10 的衔接：作者在 §6.4 末段说"such breakdown indicates a transition in scaling regimes and the resolution of the problem involves identification of the appropriate new scaling"——这正是 Ch 9 弱非线性（多时间尺度）和 Ch 10 快/慢系统的核心。Ch 6 是"扰动方法的概念基础"，Ch 9-10 是"扰动方法在非线性动力学中的具体应用"。

重要参考文献

  • [X1] Carl M. Bender and Steven A. Orszag, Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers, Springer, 1999. (渐近分析的标准教材)
  • [X2] J. Kevorkian and J.D. Cole, Perturbation Methods in Applied Mathematics, Springer, 1981. (应用数学中的扰动方法)
  • [X3] E.J. Hinch, Perturbation Methods, Cambridge University Press, 1991. (流体力学中的扰动方法，简明实用)
  • [X4] Alan J. McComb, Renormalization Methods: A Guide for Beginners, Oxford University Press, 2007. (重正化群视角的扰动方法)
  • [X5] John A. Adam, Mathematics in Nature: Modeling Patterns in the Natural World, Princeton University Press, 2003. (自然现象中的数学建模)
  • [X6] Peter B. Kahn, Mathematical Methods for Scientists and Engineers, Wiley, 1990. (科学家和工程师的数学方法)
  • [X7] Thomas C. Gard, Introduction to Stochastic Differential Equations, Marcel Dekker, 1988. (随机微分方程的扰动方法)
  • [X8] Frank Verhulst, Methods and Applications of Singular Perturbations, Springer, 2005. (奇异扰动方法)
  • [X9] Mark H. Holmes, Introduction to Perturbation Methods, Springer, 1995. (扰动方法入门)
  • [X10] Robert B. Guenther and John W. Lee, Partial Differential Equations of Mathematical Physics, Addison-Wesley, 1988. (数学物理 PDE 的扰动解法)