第十三章：用于IVUS成像的Gamma混合模型

书名：Multi-Modality Atherosclerosis (Saba, 2013) 章节：第十三章 A Gamma Mixture Model for IVUS Imaging 作者：G. Vegas-Sánchez-Ferrero, M. Martín-Fernández, J. Miguel Sanches 笔记整理日期：2026年5月11日

第一节：章节概述

本章由G. Vegas-Sánchez-Ferrero、M. Martín-Fernández和J. Miguel Sanches三位作者撰写，主要研究血管内超声（Intravascular Ultrasound, IVUS）成像中的统计建模问题。作者提出了一种基于Gamma混合模型（Gamma Mixture Model, GMM）的方法，用于描述插值或重采样后的射频（Radio Frequency, RF）包络超声数据的统计特性。

本章的核心研究动机源于一个关键发现：虽然经典的Rayleigh分布和Nakagami分布被广泛用于描述完全形成斑块（fully formed speckle）的统计行为，但当超声图像经历线性滤波或插值处理后，实际数据的统计分布更符合Gamma分布。基于这一发现，作者构建了Gamma混合模型，并与Rayleigh混合模型（Rayleigh Mixture Model, RMM）及Nakagami混合模型（Nakagami Mixture Model, NMM）进行了系统性比较。

本章内容共分为八个章节，涵盖理论推导、数据集描述、统计验证、模型建立、实验比较以及实际应用等完整研究链条。作者还进一步提出了基于GMM概率图的细节保持滤波方法，展示了该模型在实际临床应用中的潜力。实验结果表明，无论是在拟合优度还是在模型稳定性方面，GMM均优于传统的RMM和NMM方法。

第二节：关键问题与研究动机

2.1 临床背景与研究意义

动脉粥样硬化是心血管疾病的主要病理基础。易损斑块（vulnerable plaque）的破裂会导致血栓形成，进而引发心肌梗死和脑卒中等严重后果。传统上，冠状动脉造影（coronary angiography）一直是检测冠状动脉粥样硬化斑块的标准影像学方法。然而，大量临床研究表明，许多急性冠状动脉综合征患者的造影显示冠脉狭窄程度轻微甚至正常，这说明传统造影在准确测量狭窄程度和斑块特征方面存在明显局限。

血管内超声（IVUS）作为一种替代性影像学技术，能够清晰显示动脉壁的内部形态，已成为评估冠状动脉病变严重程度的重要工具。IVUS通过导管上的压电换能器发射旋转的声学脉冲并接收反射回波，从而生成360度的血管横截面图像。

2.2 科学问题与研究动机

本章致力于解决以下核心科学问题：

问题一：如何准确描述IVUS图像中斑块的回声形态？ 斑块回声形态是不同组织类型贡献的综合结果。脂质斑块通常呈现低回声响应，纤维斑块呈中等回声，钙化斑块则呈高回声并常伴有声影。然而，简单的单峰概率密度函数（Rayleigh、Rice、K或K-Homodyne分布）难以准确描述这种复杂的多组分结构。

问题二：为什么插值处理会改变斑块的统计特性？ 超声图像的形成过程中，原始射频数据需要经过时间增益补偿、带通滤波、包络提取、降采样和插值等一系列线性处理。这些处理会显著改变数据的统计分布，使得传统的Rayleigh模型不再适用。

问题三：哪种概率分布能更好地描述插值后的超声数据？ 作者通过理论分析和大量实验验证，发现Gamma分布在描述线性滤波和插值后的超声数据方面优于Rayleigh和Nakagami分布。文献报道，当采用Gamma分布拟合时，约85%的完全形成斑块区域通过拟合优度检验，而Nakagami和Rayleigh分布的通过率分别仅为70%和不足10%。

问题四：如何利用统计模型实现图像滤波与组织分类？ 作者进一步提出利用GMM产生的概率图实现细节保持的滤波处理，为自动化后处理技术提供新的思路。

2.3 研究动机总结

本研究的核心动机在于：（1）解决传统概率模型无法准确描述插值后IVUS数据统计特性的问题；（2）建立一种能够反映斑块多组分特性的混合模型框架；（3）将统计模型应用于实际临床场景，如图像滤波和组织分类。

第三节：主要公式与推导

3.1 超声图像形成的物理基础

超声图像的形成过程始于脉冲发射和声波传播。考虑独立同分布（IID）的Rayleigh随机变量序列 $\{X_i\}$，其概率密度函数为：

\[f_X(x) = \frac{x}{\sigma^2} \exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right), \quad x \geq 0 \qquad(13.1)\]

其中 $\sigma$ 为Rayleigh分布的参数。

在极坐标转笛卡尔坐标的插值过程中，插值值可以表示为加权求和：

\[Y = \sum_{i=1}^{n} w_i X_i, \quad \sum_{i=1}^{n} w_i = 1 \qquad(13.2)\]

其中 $w_i$ 为插值权重，在二维双线性插值中，权重由两个均匀分布 $U_1, U_2 \in [0,1]$ 构成。

3.2 Gamma分布的优越性理论证明

作者从特征函数角度证明了Gamma分布对插值后数据的近似优于正态分布。Rayleigh分布的特征函数为：

\[\phi_X(t) = 1 + i\sigma\sqrt{2}t\exp(-\sigma^2t^2/2) - \sigma^2t^2 \cdot {}_1F_1\left(1; \frac{1}{2}; \frac{\sigma^2 t^2}{2}\right) \qquad(13.3)\]

其中 ${}_1F_1(a; b; x)$ 为合流超几何函数第一类，误差函数 $\text{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}dt$。

插值随机变量 $Y$ 的特征函数为各加权分量特征函数的乘积：

\[\phi_Y(t) = \prod_{i=1}^{n} \phi_{X_i}(w_i t) \qquad(13.6)\]

作者通过数值实验验证，当 $n$ 增大时，Gamma特征函数与理论 $\phi_Y(t)$ 的误差始终小于高斯（正态）近似，这一结果对于任意权重配置均成立。

3.3 Gamma混合模型的建立

设 $X = \{x_i\}, 1 \leq i \leq N$ 为感兴趣区域内像素强度的IID随机变量样本。GMM假设这些样本来自 $J$ 个不同组织的混合：

\[p(x_i|\theta) = \sum_{j=1}^{J} \alpha_j f_X(x_i|\theta_j) \qquad(13.9)\]

其中 $\alpha_j$ 为混合系数，满足 $\sum_{j=1}^{J} \alpha_j = 1$；$\theta_j = (\alpha_j, \beta_j)$ 为第 $j$ 个Gamma分布的参数向量。

Gamma分布的概率密度函数为：

\[f_X(x|\alpha, \beta) = \frac{x^{\alpha-1}}{\beta^\alpha \Gamma(\alpha)} \exp\left(-\frac{x}{\beta}\right), \quad x \geq 0, \alpha, \beta > 0 \qquad(13.10)\]

其中 $\Gamma(\alpha) = \int_0^\infty t^{\alpha-1} e^{-t} dt$ 为欧拉Gamma函数。

样本的联合分布为：

\[p(X|\theta) = \prod_{i=1}^{N} p(x_i|\theta) \qquad(13.11)\]

3.4 EM算法参数估计

引入隐变量 $Z = \{Z_i\}$ 表示样本所属的组分类别，$Z_i \in \{1, 2, \ldots, J\}$。EM算法的Q函数为：

\[Q(\theta|\theta^{(n)}, X) = E_{Z|\theta^{(n)}, X} [L(\theta|X, Z)] \qquad(13.12)\]

展开后得到：

\[Q(\theta|\theta^{(n)}, x) = \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{J} \gamma_{i;j} \left[ \log p(x_i|\theta_j) + \log \alpha_j \right] \qquad(13.13)\]

其中 $\gamma_{i;j} = p(Z_i = j|x_i, \theta^{(n)})$ 为后验概率。

由贝叶斯定理：

\[p(Z_i = j|x_i, \theta^{(n)}) = \frac{p(x_i|\theta^{(n)}_j) p(Z_i = j|\theta^{(n)})}{\sum_{k=1}^{J} p(x_i|\theta^{(n)}_k) p(Z_i = k|\theta^{(n)})} \qquad(13.14)\]

利用拉格朗日乘数法求解混合系数，得到：

\[\hat{\alpha}_j = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \gamma_{i;j} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} p(Z_i = j|x_i, \theta) \qquad(13.18)\]

对于尺度参数 $\beta_j$，令对数似然函数对 $\beta_j$ 的偏导为零：

\[\frac{\partial}{\partial \beta_j} \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{J} \gamma_{i;j} \log p(x_i|\theta_j) = 0\]

简化后得到：

\[\hat{\beta}_j = \frac{1}{\alpha_j} \frac{\sum_{i=1}^{N} \gamma_{i;j} x_i}{\sum_{i=1}^{N} \gamma_{i;j}} \qquad(13.22)\]

对于形状参数 $\alpha_j$，经过推导得到如下超越方程：

\[\log(\hat{\alpha}_j) - \psi(\hat{\alpha}_j) = \log \left( \frac{\sum_i \gamma_{i;j} x_i}{\sum_i \gamma_{i;j}} \right) - \frac{\sum_i \gamma_{i;j} \log x_i}{\sum_i \gamma_{i;j}} \qquad(13.25)\]

其中 $\psi(x) = \Gamma'(x)/\Gamma(x)$ 为Digamma函数。该方程需要通过数值方法求解。

3.5 统计检验方法

作者采用Kullback-Leibler（KL）散度和Kolmogorov-Smirnov（KS）统计量两种度量评估拟合优度：

KL散度（非对称性分布差异度量）：

\[D_{KL}(p_n, f_X) = \sum_{i=1}^{N} p_n(i) \log \frac{p_n(i)}{f_X(i)} \qquad(13.7)\]

KS统计量（CDF的一致性度量）：

\[D_{KS} = \sup_j |O_{F_n}(j) - F_X(j)| \qquad(13.8)\]

3.6 概率图与贝叶斯滤波

GMM提供的后验概率图可用于组织分类和边缘检测：

\[p(Z_i = j|x_i, \theta^{(n)}) = \frac{p(x_i|\theta^{(n)}_j) \alpha_j}{\sum_{k=1}^{J} p(x_i|\theta^{(n)}_k) \alpha_k} \qquad(13.26)\]

LMMSE滤波器估计为：

\[\hat{\sigma} = E[\sigma] + C_{\sigma Y} C_{YY}^{-1} (Y - E[Y]) \qquad(13.28)\]

细节保持系数定义为：

\[C_i = \frac{\sqrt{\sum_j ||\nabla_\varepsilon p(Z_i = j|y_i, \theta)||^2}}{\max \sqrt{\sum_j ||\nabla_\varepsilon p(Z_i = j|y_i, \theta)||^2}} \qquad(13.35)\]

第四节：关键算法与建模方法

4.1 数据集与采集协议

本章采用的数据集包含9条离体冠状动脉，选自50幅不同图像，共包含69个经组织学验证的斑块样本。斑块类型分布为：钙化斑块30个、脂质斑块14个、纤维斑块25个。

图像采集使用Galaxy II IVUS成像系统（Boston Scientific），配备Atlantis SR Pro 40 MHz导管（Boston Scientific）。射频数据通过12位Acquiris采集卡以200 MHz采样率存储。每帧数据组织为 $1024 \times 256$ 的矩阵（M=1024为每条A线的采样点数，N=256为旋转探头的位置数）。

4.2 图像重建流程

IVUS图像重建包含以下关键步骤：

时间增益补偿（TGC）：$TGC(r) = 10^{-\beta r}$，其中 $\beta = \log_{10}\alpha/20$，$\alpha$ 为生物软组织的衰减系数（对于40 MHz，$\alpha \approx 0.8$ dB/MHz·cm），$r$ 为导管到散射体的径向距离。
带通滤波：Butterworth滤波器，截止频率 $f_L = 20$ MHz，$f_U = 60$ MHz。
包络提取：Hilbert变换。
降采样：线性插值实现各向同性分辨率。
对数压缩：可选步骤。
数字显像处理（DDP）：非线性增益调整和边缘增强。

4.3 Gamma混合模型参数估计流程

EM算法迭代估计GMM参数的完整流程如下：

初始化阶段：设置混合组分数 $J$，初始参数 $\theta^{(0)}$，收敛阈值 $TOL$ 和最大迭代次数。

E步（期望步）：计算后验概率

\[\gamma_{i;j}^{(n)} = p(Z_i = j|x_i, \theta^{(n)}) = \frac{\alpha_j^{(n)} f_X(x_i|\alpha_j^{(n)}, \beta_j^{(n)})}{\sum_{k=1}^{J} \alpha_k^{(n)} f_X(x_i|\alpha_k^{(n)}, \beta_k^{(n)})}\]

M步（最大化步）：更新混合系数

\[\alpha_j^{(n+1)} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \gamma_{i;j}^{(n)}\]

更新形状参数 $\alpha_j$（数值求解超越方程）和尺度参数

\[\beta_j^{(n+1)} = \frac{1}{\alpha_j^{(n+1)}} \frac{\sum_{i=1}^{N} \gamma_{i;j}^{(n)} x_i}{\sum_{i=1}^{N} \gamma_{i;j}^{(n)}}\]

收敛判断：若 $||\theta^{(n+1)} - \theta^{(n)}|| < TOL$，则停止迭代。

4.4 细节保持滤波算法

基于GMM概率图的滤波算法核心思想是利用后验概率引导局部矩估计：

计算每个像素属于各组织类别的后验概率 $p(Z_i = j|x_i, \theta)$。
计算概率梯度 $|\nabla_\varepsilon p(Z_i = j|y_i, \theta)|$ 以识别组织边界。
根据概率梯度计算细节保持系数 $C_i$。
利用条件局部矩估计替代全局矩估计：

\[E[Y|m,n]_j = \frac{\sum_{(m',n')\in\mathcal{B}(m,n)} Y(m',n') p(Z(m',n')=j|Y(m',n'),\theta)}{\sum_{(m',n')\in\mathcal{B}(m,n)} p(Z(m',n')=j|Y(m',n'),\theta)}\]

最终估计 $\hat{\sigma} = E[\sigma] + C_i (Y - E[Y])$。

4.5 计算复杂度分析

EM算法的收敛速度取决于初始化和数据集特性。对于 $N$ 个样本、$J$ 个组分的模型，每次迭代的计算复杂度为 $O(N \cdot J)$。实验中采用 $11 \times 11$ 邻域估计局部PDF（30个bins），收敛阈值设为 $10^{-4}$，最大迭代次数为1000。

第五节：主要结论

5.1 Gamma分布的理论优势

本章从理论层面严格证明了Gamma分布在描述线性滤波和插值后超声数据方面的优越性。通过特征函数分析，作者发现Gamma分布的特征函数与加权Rayleigh和的特征函数之间的误差，始终小于高斯近似的误差。这一发现解释了为什么文献中观察到Gamma分布在实际超声图像中具有更好的拟合效果。

5.2 GMM的实验验证

通过Welch t检验对KL散度和KS统计量两种度量进行系统性比较，结果表明：

钙化斑块：GMM在2-7个组分的所有测试中均显著优于RMM和NMM。
脂质斑块：GMM在大多数配置下表现最佳。
纤维斑块：GMM的性能与其他方法相当或更优。
管腔：GMM在DKS度量上始终优于竞争对手。

实验数据证实，Gamma混合模型能够更准确地捕捉斑块回声形态的多组分特性。

5.3 最优组分数确定

通过分析拟合优度指标随组分数增加的变化率，作者确定了三组分为描述所有斑块类型和管腔的最优混合数。这一发现具有重要的临床意义，因为斑块通常由纤维帽、脂质核和钙化区域等不同组分构成，三组分模型能够较好地反映这种解剖结构。

5.4 滤波应用的有效性

作者提出的基于GMM概率图的细节保持滤波方法，在真实IVUS图像上取得了良好效果。残差噪声分析表明，噪声概率密度函数的峰值位于 $\sqrt{\pi/2}$ 附近（相对误差仅2.23%），证明了底层参数估计的一致性。该滤波器的性能在较大参数范围内保持稳定，展现了方法的鲁棒性。

第六节：挑战与开放问题

6.1 理论层面的挑战

挑战一：闭式解的缺失。GMM中形状参数 $\alpha_j$ 的估计需要求解超越方程 $\log(\alpha) - \psi(\alpha) = \text{常数}$，目前只能通过数值方法（如牛顿-拉夫森法）迭代求解。这增加了计算开销，并可能影响收敛稳定性。

挑战二：组分数的自动选择。虽然实验确定了三组分为最优，但如何针对不同图像自动选择最优组分数仍是一个开放问题。信息准则（如AIC、BIC）的应用需要进一步验证。

挑战三：隐式假设的局限性。GMM假设像素是独立同分布的，但实际超声图像中存在空间相关性。降采样虽然降低了像素间的相关性，但并未完全消除。

6.2 实验层面的挑战

挑战四：数据集的规模与多样性。本章数据集包含50幅图像和69个斑块，虽然包含了三种主要斑块类型，但样本量相对有限。此外，数据均来自离体冠状动脉，在体成像的条件可能有所不同。

挑战五：组织学验证的复杂性。将IVUS图像与组织学切片精确对应是一个挑战性任务，作者依赖专家干预者和病理学家的合作来建立对应关系，这一过程可能引入误差。

挑战六：对数压缩的影响。本研究使用的IVUS图像未经过对数压缩，而临床常规使用对数压缩后的图像。对数变换会改变数据的统计特性，需要进一步研究GMM在对数压缩图像上的适用性。

6.3 应用层面的挑战

挑战七：计算效率。EM算法对于大幅图像的计算量较大，实时应用存在挑战。需要开发更高效的参数估计方法或近似算法。

挑战八：边界检测的精度。虽然概率梯度提供了边界信息，但边缘精确定位仍需要结合其他分割技术。

挑战九：多模态融合。本章主要关注IVUS单一模态，如何将GMM概率图与其他成像模态（如OCT、光学相干断层扫描）融合，以进一步提高诊断准确性，是值得探索的方向。

第七节：个人反思与批判性分析

7.1 研究方法的评价

本章的研究方法体现了严谨的工程思维：从物理机制出发，通过理论推导提出假设，再用大规模实验验证，最终落实到应用层面。这种"理论-实验-应用"的闭环研究范式值得学习。

特别值得肯定的是，作者不仅满足于实验观察，而是深入探究了Gamma分布优于Rayleigh分布的内在机理。通过特征函数分析这一数学工具，作者揭示了线性组合对Rayleigh随机变量统计特性的影响规律，这种追根溯源的研究态度令人钦佩。

7.2 创新点的提炼

本章的创新点可以归纳为以下几点：

创新一：首次系统性地从插值过程角度解释为什么Gamma分布比Rayleigh分布更适合描述IVUS数据。这一发现填补了该领域的理论空白。

创新二：将Gamma混合模型应用于斑块回声形态表征，并证明了其相对于传统RMM和NMM的优越性。

创新三：提出了基于GMM概率图的细节保持滤波框架，为超声图像处理提供了新思路。

7.3 研究局限性的思考

从批判性角度审视，本研究存在以下局限性：

局限性一：GMM假设各组分相互独立且可加，这可能过于简化了斑块内部复杂的组织结构。实际斑块中，不同组织类型之间可能存在相互作用和空间相关性。

局限性二：模型对噪声类型做了特定假设（乘性 speckle 噪声），对于其他类型的图像退化（如量化噪声、传感器噪声）可能不适用。

局限性三：实验仅在离体数据上验证，未涉及在体临床数据。离体条件下组织保存状态与活体存在差异，模型的临床转化需要进一步研究。

7.4 对未来研究的启示

本章的研究对未来的启示包括：

启示一：在分析医学图像统计特性时，需要考虑完整图像处理流程（包括插值、滤波等步骤）对数据统计分布的影响，而非仅关注原始数据采集阶段的特性。

启示二：混合模型为描述复杂组织结构提供了有力工具，但需要结合具体应用场景选择合适的分布类型和组分数。

启示三：概率图的利用不仅限于分类，还可应用于图像增强、分割等多个后处理环节，具有广阔的应用前景。

启示四：未来研究可考虑将深度学习方法与统计模型结合，利用深度网络学习更抽象的特征表示，同时保持模型的可解释性。

7.5 对我个人研究的启发

作为读者，我深受本章启发。首先，它提醒我在处理医学图像时不能忽视数据预处理流程的影响。其次，混合模型的思想可以推广到其他需要描述数据异质性的场景。最后，作者将理论研究与实际应用紧密结合的研究模式，值得在今后的学习中借鉴。

公式汇总

编号	名称	公式	物理意义	类型
(13.1)	Rayleigh分布	$f_X(x) = \frac{x}{\sigma^2} \exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right)$	描述完全形成斑块的统计分布	(T)
(13.2)	线性插值模型	$Y = \sum_{i=1}^{n} w_i X_i$	插值后像素值的加权表示	(T)
(13.9)	Gamma混合模型	$p(x_i	\theta) = \sum_{j=1}^{J} \alpha_j f_X(x_i	\theta_j)$
(13.10)	Gamma分布	$f_X(x	\alpha, \beta) = \frac{x^{\alpha-1}}{\beta^\alpha \Gamma(\alpha)} \exp\left(-\frac{x}{\beta}\right)$	描述插值后数据的分布
(13.11)	联合分布	$p(X	\theta) = \prod_{i=1}^{N} p(x_i\|\theta)$	IID样本的似然函数
(13.13)	EM算法Q函数	$Q(\theta\\|\theta^{(n)}, x) = \sum_{i,j} \gamma_{i;j} [\log p(x_i\\|\theta_j) + \log \alpha_j]$	EM算法的期望步	(T)
(13.14)	贝叶斯后验概率	$p(Z_i = j\\|x_i, \theta) = \frac{p(x_i\\|\theta_j) \alpha_j}{\sum_k p(x_i\\|\theta_k) \alpha_k}$	样本属于各组分的概率	(T)
(13.18)	混合系数估计	$\hat{\alpha}_j = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \gamma_{i;j}$	EM算法的M步更新	(T)
(13.22)	尺度参数估计	$\hat{\beta}_j = \frac{1}{\alpha_j} \frac{\sum_i \gamma_{i;j} x_i}{\sum_i \gamma_{i;j}}$	Gamma分布尺度参数的MLE	(T)
(13.25)	形状参数方程	$\log(\hat{\alpha}_j) - \psi(\hat{\alpha}_j) = \log(\frac{\sum_i \gamma_{i;j} x_i}{\sum_i \gamma_{i;j}}) - \frac{\sum_i \gamma_{i;j} \log x_i}{\sum_i \gamma_{i;j}}$	形状参数估计的超越方程	(T)
(13.7)	KL散度	$D_{KL}(p_n, f_X) = \sum_{i=1}^{N} p_n(i) \log \frac{p_n(i)}{f_X(i)}$	分布拟合优度度量	(E)
(13.8)	KS统计量	$D_{KS} = \sup_j \\|O_{F_n}(j) - F_X(j)\\|$	CDF一致性度量	(E)
(13.28)	LMMSE估计	$\hat{\sigma} = E[\sigma] + C_{\sigma Y} C_{YY}^{-1} (Y - E[Y])$	线性最小均方误差估计	(T)
(13.35)	细节保持系数	$C_i = \frac{\sqrt{\sum_j \\|\nabla_\varepsilon p(Z_i = j\\|y_i, \theta)\\|^2}}{\max \sqrt{\sum_j \\|\nabla_\varepsilon p(Z_i = j\\|y_i, \theta)\\|^2}}$	边缘保持滤波权重	(T)

注：(T)=理论推导，(E)=经验公式

参考文献

本章引用了35篇参考文献，主要涵盖超声成像统计学、斑块表征、混合模型估计等领域。关键文献包括：

Burckhardt (1978): 超声B扫描中斑块的经典统计模型
Goodman (1975): 激光斑块的基本特性
Dempster et al. (1977): EM算法的开创性工作
Seabra et al. (2011): Rayleigh混合模型在IVUS斑块表征中的应用
Destrempes et al. (2011): 基于Nakagami混合模型的动脉分割

本笔记由AI辅助整理，仅供个人学习研究使用。

编号	名称	公式	物理意义	类型
(13.1)	Rayleigh分布	\(f_X(x) = \frac{x}{\sigma^2} \exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right)\)	描述完全形成斑块的统计分布	(T)
(13.2)	线性插值模型	\(Y = \sum_{i=1}^{n} w_i X_i\)	插值后像素值的加权表示	(T)
(13.9)	Gamma混合模型	$p(x_i	\theta) = \sum_{j=1}^{J} \alpha_j f_X(x_i	\theta_j)$
(13.10)	Gamma分布	$f_X(x	\alpha, \beta) = \frac{x^{\alpha-1}}{\beta^\alpha \Gamma(\alpha)} \exp\left(-\frac{x}{\beta}\right)$	描述插值后数据的分布
(13.11)	联合分布	$p(X	\theta) = \prod_{i=1}^{N} p(x_i\|\theta)$	IID样本的似然函数
(13.13)	EM算法Q函数	\(Q(\theta\\|\theta^{(n)}, x) = \sum_{i,j} \gamma_{i;j} [\log p(x_i\\|\theta_j) + \log \alpha_j]\)	EM算法的期望步	(T)
(13.14)	贝叶斯后验概率	\(p(Z_i = j\\|x_i, \theta) = \frac{p(x_i\\|\theta_j) \alpha_j}{\sum_k p(x_i\\|\theta_k) \alpha_k}\)	样本属于各组分的概率	(T)
(13.18)	混合系数估计	\(\hat{\alpha}_j = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \gamma_{i;j}\)	EM算法的M步更新	(T)
(13.22)	尺度参数估计	\(\hat{\beta}_j = \frac{1}{\alpha_j} \frac{\sum_i \gamma_{i;j} x_i}{\sum_i \gamma_{i;j}}\)	Gamma分布尺度参数的MLE	(T)
(13.25)	形状参数方程	\(\log(\hat{\alpha}_j) - \psi(\hat{\alpha}_j) = \log(\frac{\sum_i \gamma_{i;j} x_i}{\sum_i \gamma_{i;j}}) - \frac{\sum_i \gamma_{i;j} \log x_i}{\sum_i \gamma_{i;j}}\)	形状参数估计的超越方程	(T)
(13.7)	KL散度	\(D_{KL}(p_n, f_X) = \sum_{i=1}^{N} p_n(i) \log \frac{p_n(i)}{f_X(i)}\)	分布拟合优度度量	(E)
(13.8)	KS统计量	\(D_{KS} = \sup_j \\|O_{F_n}(j) - F_X(j)\\|\)	CDF一致性度量	(E)
(13.28)	LMMSE估计	\(\hat{\sigma} = E[\sigma] + C_{\sigma Y} C_{YY}^{-1} (Y - E[Y])\)	线性最小均方误差估计	(T)
(13.35)	细节保持系数	\(C_i = \frac{\sqrt{\sum_j \\|\nabla_\varepsilon p(Z_i = j\\|y_i, \theta)\\|^2}}{\max \sqrt{\sum_j \\|\nabla_\varepsilon p(Z_i = j\\|y_i, \theta)\\|^2}}\)	边缘保持滤波权重	(T)