《数学生理学》（第二版：系统生理学）
第13章：血液（Blood）
书籍信息：Keener & Sneyd, Mathematical Physiology (II: Systems Physiology), Springer, 2009
一、血液概述
血液由两大部分组成：液态的血浆（blood plasma）以及悬浮于血浆中的多种类型细胞。细胞约占总体积的40%，可分为三大类：红细胞（erythrocytes，又称red blood cells）、白细胞（leukocytes，又称white blood cells）以及血小板（thrombocytes，即platelets）。红细胞保持在血管内执行运输氧气和二氧化碳的功能；白细胞则负责抵御感染，能够穿出血管进入组织；血小板并非完整的细胞，而是由巨核细胞（megakaryocytes）碎裂而成的细小片段，其主要功能是协助血液凝固。
白细胞进一步细分为若干类别：粒细胞（granulocytes，约占65%）、淋巴细胞（lymphocytes，约占30%）、单核细胞（monocytes，约占5%）以及自然杀伤细胞（natural killer cells）。粒细胞又可再分为嗜中性粒细胞（neutrophils，占粒细胞的95%）、嗜酸性粒细胞（eosinophils，占4%）和嗜碱性粒细胞（basophils，占1%）。嗜中性粒细胞通过吞噬作用摄取并破坏细菌等小型异物；嗜碱性粒细胞通过分泌组胺帮助介导炎症反应；嗜酸性粒细胞则有助于破坏寄生虫并调节过敏反应。单核细胞成熟后成为巨噬细胞（macrophages），协助嗜中性粒细胞吞噬较大的微生物，并负责清除死亡或受损的细胞。淋巴细胞主要有T细胞和B细胞两种类型，分别负责产生抗体和清除病毒感染的细胞。
二、血浆
血液血浆中89%至95%为水，并含有多种溶解物质。低分子量的溶解物质包括碳酸氢盐、氯离子、磷、钠离子、钙离子、钾离子、镁离子、尿素和葡萄糖。此外还含有白蛋白（albumin）以及α-、β-和γ-球蛋白等大分子蛋白质。其中白蛋白在血浆中的摩尔浓度最高，对血浆渗透压的贡献最大。除上述物质外，二氧化碳和氧气等气体也溶解在血浆中。
对于理想气体，压力、体积和温度之间的关系由理想气体定律描述：
其中\(P\)为压力，\(V\)为体积，\(n\)为气体分子数，\(k\)为玻尔兹曼常数，\(T\)为热力学温度。由于浓度\(c = n/V\)，对于理想气体有：
若将浓度表示为摩尔每单位体积，需引入阿伏加德罗数\(N_A\)和普适气体常数\(R = kN_A\)，则：
空气是不同气体的混合物，其中氮气占78%，氧气占21%。每种气体通过分压（partial pressure）对混合气体的总压做出贡献。气体\(i\)的分压\(P_i\)定义为：
其中\(x_i\)为气体\(i\)的摩尔分数，\(P\)为混合气体的总压力。
当气体与液体接触时，部分气体会溶解在液体中。当达到稳态时，溶解气体的量是气体分压的函数。若溶解气体浓度足够低，形成理想稀释溶液，则气体\(i\)的浓度\(c_i\)与分压\(P_i\)的关系为：
其中\(\sigma_i\)称为溶解度（solubility）。常见呼吸气体在血液中的溶解度如下表所示：
| 物质 | \(\sigma\)（摩尔/毫米汞柱） |
|---|---|
| O₂ | \(1.4 \times 10^{-6}\) |
| CO₂ | \(3.3 \times 10^{-5}\) |
| CO | \(1.2 \times 10^{-6}\) |
| N₂ | \(7 \times 10^{-7}\) |
| He | \(4.8 \times 10^{-7}\) |
由表可见，二氧化碳在血液中的溶解度约为氧气的20倍。
三、血细胞生成
3.1 造血过程
血细胞由骨髓产生，需要在人体一生中持续生成。例如，每立方毫米血液含有约500万个红细胞。这些细胞的平均寿命为120天，据估计在其存活期间会流经约700英里的血管。由于老化和破裂，红细胞需要不断补充。平均而言，人体每天必须为每公斤体重产生\(3 \times 10^9\)个新红细胞。
在5岁以下的儿童中，几乎所有骨骼的骨髓都会产生血细胞。然而随着年龄增长，长骨的骨髓变得富含脂肪，到约20岁时不再产生血细胞。在成年人中，大多数血细胞由膜性骨（如椎骨、胸骨、肋骨和髂骨）的骨髓产生。
在骨髓中存在称为多能造血干细胞（pluripotential hematopoietic stem cells）的细胞，所有循环血细胞均由此分化而来。值得注意的是，如果通过照射使动物的内源性造血（血细胞产生）停止，补充外源性干细胞可以完全恢复造血功能。当干细胞生长和繁殖时，一部分保持为与原始多能细胞完全相同的细胞，维持相对恒定的细胞供应；另一部分则分化为其他细胞，称为定向干细胞（committed stem cells）或定向祖细胞（committed progenitors）。定向干细胞的体外类似物称为集落形成单位（colony-forming units，CFU）。定向干细胞产生特定类型血细胞的集落的示意图如图13.1所示。
血细胞的生长和分化受多种可溶性因子（即细胞因子，cytokines）的复杂调控，其中包括造血生长和分化因子。然而，大多数细胞因子具有多种作用和相互影响，很难区分哪些控制生长、哪些控制分化。细胞因子的形成本身也受骨髓外部因素的控制，例如在红细胞的情况下，低氧浓度持续一段时间后会刺激细胞因子生成。
3.2 红细胞生成的反馈控制
控制红细胞生成的反馈系统相对较为清楚。刺激红细胞生成的主要因子是促红细胞生成素（erythropoietin）。约90%的促红细胞生成素由肾小管上皮细胞分泌，当血液无法输送足够氧气时便会启动分泌；其余部分由其他组织（主要是肝脏）产生。当两侧肾脏被切除或因肾病被破坏时，由于促红细胞生成素产生不足，个体不可避免地会出现贫血。
促红细胞生成素在骨髓中的作用有双重性：首先，它刺激前红细胞（称为原红细胞，proerythroblasts）的产生；其次，它控制发育中的细胞通过不同阶段的速率。从干细胞到正常产生红细胞需要5至7天，即使在促红细胞生成素高水平的情况下，5天之前也不会出现新细胞。在高促红细胞生成素水平下，红细胞的生成速率（单位时间内的数量）可达到正常水平的10倍，尽管单个红细胞的成熟速率变化相对较小。
3.3 周期性血液疾病
在大多数人中，血细胞的产生相对恒定。然而，存在多种表现出振荡行为的病理状态。其中研究最广泛的是嗜中性粒细胞减少症（cyclical neutropenia），其特点是嗜中性粒细胞数量周期性下降到非常低的水平，通常每19至21天出现一次。灰狗也会患有类似的疾病，周期为11至15天，这极大地帮助了人类该疾病的研究。在人类和灰狗中，嗜中性粒细胞数量的周期性变化伴随着血小板数量的振荡，通常还有单核细胞和嗜酸性粒细胞的振荡，偶尔也包括淋巴细胞。然而，这些其他细胞类型的振荡周期并不总是与嗜中性粒细胞相同。
另一种周期性血液疾病是慢性髓性白血病（periodic chronic myelogenous leukemia，CML）。作为一种白血病，该疾病的特点是白细胞的不受控生长，但这种生长有时会以振荡方式进行。CML中的振荡周期要长得多，并产生更多的嗜中性粒细胞，符合白血病的特点。
3.4 简单血细胞生长模型
我们使用延迟微分方程建立血细胞生成周期的模型（Belair et al., 1995）。设\(n(x, t)\)为时间\(t\)时年龄为\(x\)单位的血细胞密度（即在时间\(t-x\)释放入血流的细胞）。假设随着细胞老化，一定比例的细胞会死亡，但在某个年龄\(X\)时所有细胞都会死亡。考虑年龄区间\([a, b]\)内细胞总数的变化率：
其中\(\beta\)为细胞死亡率。对上式关于\(b\)求导并将\(b\)替换为\(x\)，得到守恒方程：
设任意时刻循环血细胞总数为：
假设血细胞的产生受\(N\)控制，一旦一批细胞在骨髓中形成，会在固定时间\(d\)后（约5天）成熟进入血流。因此：
其中\(F\)是关于其参数单调递减的非线性产生函数。\(F\)与生长诱导素（如促红细胞生成素）响应血细胞种群规模的分泌速率有关。
稳态解满足\(\partial n / \partial t = 0\)，可得：
若\(N_0 = \int_0^X n(x) dx\)为稳态下的细胞总数，则：
在稳态时，\(F(N_0) = n(0)\)，因此：
由于\(F(N_0)\)是\(N_0\)的单调递减函数，上式保证有唯一解。
将偏微分方程从\(x=0\)到\(x=X\)积分，可得到\(N(t)\)的延迟微分方程：
关于稳态的稳定性分析表明，即使稳态解是稳定的，向稳态的恢复也是振荡的而非单调的。霍普夫分岔（Hopf bifurcation）可能发生时，振荡周期为：
对于正常人类，\(d = 5\)天，\(X = 120\)天，\(X/d = 24\)，因此不会发生不稳定。然而，任何显著缩短\(X\)的机制都可能产生不稳定效应并导致血细胞产生的振荡。
四、红细胞
红细胞是直径约8微米的小型双凹圆盘，具有柔性，能够改变形状并顺利通过直径小至3微米的血管而不破裂。红细胞的功能是将氧气从肺部运输到身体其他部位，这一功能通过一种称为血红蛋白（hemoglobin）的大型蛋白质分子实现。血红蛋白在肺部与氧气结合，然后在组织中释放。血红蛋白是成熟红细胞的主要蛋白质成分。结构相似的肌红蛋白（myoglobin）则在肌肉内用于储存和运输氧气。
4.1 肌红蛋白与血红蛋白的氧结合
肌红蛋白由一条多肽链和一个盘状分子环（称为血红素基团，heme group）组成，血红素基团是肌红蛋白的活性中心。血红素基团中心是一个铁原子，可以与氧气结合形成氧合肌红蛋白。血红蛋白由四条这样的多肽链（称为珠蛋白，globin）和四个血红素基团组成，能够结合四个氧分子。
肌红蛋白与氧气结合的简单反应方案为：
在平衡时，\(k_+[Mb][O_2] = k_-[MbO_2]\)，占用位点的百分比为：
其中\(K = k_-/k_+\)。将氧气浓度与氧气分压联系起来（\([O_2] = \sigma P_{O_2}\)），可得：
用\(K_P = 2.6\)毫米汞柱可以很好地拟合肌红蛋白的摄取曲线。
血红蛋白饱和曲线与肌红蛋白显著不同的是，血红蛋白有四个氧结合位点而非一个。四氧合血红蛋白形成的简单动力学方案为：
对应的微分方程为：
在稳态时，可用希尔方程（Hill equation）很好地拟合数据：
其中\(n = 2.5\)，\(K = 26\sigma\)毫米汞柱。
4.2 合作性结合与MWC模型
血红蛋白的正向合作性（positive cooperativity）指的是当三个氧分子已经结合时，氧气对血红蛋白的亲和力显著增强。实验数据拟合得到的平衡常数为\(K_1 = 45.9\)、\(K_2 = 23.9\)、\(K_3 = 243.1\)、\(K_4 = 1.52\sigma\)毫米汞柱。值得注意的是\(K_4\)远小于\(K_1\)、\(K_2\)或\(K_3\)，表明血红蛋白"倾向于填满"氧气。
关于合作性的机制，Monod、Wyman和Changeux提出了MWC模型（Monod-Wyman-Changeux model）。在该模型中，血红蛋白被认为存在两种结构状态：R（松弛）状态和T（紧张）状态。R结构对氧气的亲和力高，而T结构对氧气的亲和力低。随着氧气压力增加，更大比例的血红蛋白以R状态存在，因此总体氧气亲和力随氧气结合而增加。Perutz提出了具体的物理机制来解释这一假设：T结构中亚基之间由盐桥连接；一个氧分子与某个亚基的结合可能破坏一个盐桥并破坏该结构，从而使血红蛋白偏向R状态。
4.3 血红蛋白饱和曲线的偏移
有多种因素影响氧气与血红蛋白的结合，其中最重要的是氢离子，它是氧气结合的变构抑制剂（allosteric inhibitor）。当血液中二氧化碳浓度升高时，通过碳酸酐酶反应会间接改变氢离子浓度，从而影响氧气的结合。
一氧化碳与血红蛋白在同一结合位点结合（是竞争性抑制剂），但其亲和力超过氧气200倍以上。因此，一氧化碳饱和曲线与氧气饱和曲线几乎相同，只是横坐标按约200的因子缩放。
胎儿血红蛋白是另一种类型的血红蛋白，其氧饱和曲线显著左移。这使得胎儿血液在低氧气分压下能够携带比成人血红蛋白多约30%的氧气，这对氧气分压始终较低的胎儿至关重要。
4.4 Bohr效应与Haldane效应
在组织中，由于局部二氧化碳浓度高，二氧化碳的水合作用导致局部氢离子浓度增加（即血液pH值从约7.4略微下降至约7.35），进而降低血红蛋白对氧气的亲和力，促进氧气向组织释放。在肺部则发生相反的过程：低局部二氧化碳浓度导致氢离子浓度降低，从而增加血红蛋白的氧气亲和力，促进氧气摄取。这种由二氧化碳浓度通过碳酸酐酶反应和氢离子影响氧气运输的效应称为Bohr效应。
根据详细平衡原理，如果氢离子是氧气结合的变构抑制剂，那么氧气也一定是氢离子结合的变构抑制剂。因此，正如二氧化碳影响氧气运输一样，氧气也影响二氧化碳运输。在组织中，当氧气水平低时，氢离子与血红蛋白的结合增强。这降低了局部氢离子浓度，从而推动碳酸酐酶反应从左向右进行，增加二氧化碳储存。在肺部则发生相反的过程。低氧水平对二氧化碳运输的增强作用称为Haldane效应。
五、白细胞
白细胞是人体免疫系统的移动单位。正常血液中发现有六种类型的白细胞：嗜中性粒细胞、嗜酸性粒细胞、嗜碱性粒细胞、单核细胞、淋巴细胞和自然杀伤细胞。嗜中性粒细胞、嗜酸性粒细胞和嗜碱性粒细胞统称为粒细胞（granulocytes）或 polymorphonuclear细胞，因为它们具有颗粒状外观，细胞核具有各种形状。正常成年人每微升血液约有7000个白细胞，其中约62%是嗜中性粒细胞，约30%是淋巴细胞。粒细胞和单核细胞主要通过吞噬作用（phagocytosis）保护身体免受入侵生物体的侵害。
5.1 白细胞化学趋向性
白细胞通过伸出伪足附着在组织的纤维基质上在组织中移动。在均匀的化学刺激浓度下，它们的运动是持续随机行走。白细胞找到细菌目标的方式是它们优先沿化学引诱物浓度增加的方向移动。
我们建立一维介质中定向运动的简单模型（Tranquillo and Lauffenberger, 1987）。假设细胞群体\(c\)可分为两个亚群：\(n^+\)和\(n^-\)，上标分别表示向右和向左移动的细胞。设\(v^+\)和\(v^-\)分别为向右和向左移动细胞的速度，则细胞通量为：
假设细胞速度仅是局部条件的函数，\(v^+ = v^- = v\)。关于方向性细胞物种的守恒方程为：
其中\(p^+\)是向右移动的细胞改变方向变为向左移动的概率（每单位时间），\(p^-\)是向左移动的细胞变为向右移动的概率。
定义\(T_p^{-1} = p^+ + p^-\)，则平衡通量为：
其中\(\mu = T_p v^2\)为随机运动系数，\(V_c = T_p v(p^- - p^+)\)为化学趋向速度。
化学趋向性方程可简化为Keller-Segel形式：
其中\(\chi = v \chi_0 \frac{dN_b}{da}\)。
5.2 炎症反应模型
白细胞响应细菌入侵时，会沿某种化学引诱物的梯度移动，然后在遇到细菌时将其摄取并消化。我们建立一维模型（Alt and Lauffenberger, 1987）来确定白细胞是否以及何时成功防御细菌入侵。
模型涉及三个浓度：细菌浓度\(b\)、引诱物浓度\(a\)和白细胞浓度\(c\)。控制方程为：
- 细菌扩散、繁殖，并在与白细胞接触时被杀灭：
- 化学引诱物由细菌代谢产生并扩散：
- 白细胞受化学引诱物的吸引，并因消化细菌而死亡：
通过相平面分析，可以确定四种不同类型的响应：细菌无限生长；细菌被控制但未消除；细菌被消除；以及取决于初始条件的混合响应。模型表明，要控制细菌入侵，白细胞必须对细菌有足够的杀伤力（\(\xi\)足够大），还必须能够招募新细胞，而化学趋向性运动则是有利的。
六、淋巴细胞分化控制
人体可以对各种入侵生物产生显著的特异性免疫。这种获得性免疫有两种基本类型，均由淋巴细胞介导。首先，B淋巴细胞产生抗体，即在血液中循环的可溶性蛋白质，有助于破坏入侵生物（体液免疫）。其次，大量T淋巴细胞可以被激活以攻击并破坏入侵者和被入侵者感染的细胞（细胞介导免疫）。
T淋巴细胞有不同类型，主要类型包括T辅助细胞、细胞毒性T细胞和调节性T细胞。T辅助细胞又可分化为Th1或Th2亚型。Th1细胞分泌IL2和IFN\(\gamma\)，激活巨噬细胞和细胞毒性T细胞破坏入侵生物；Th2细胞产生IL4、IL5和IL13，激活肥大细胞、嗜酸性粒细胞和B淋巴细胞，导致体液免疫反应。在Th1和Th2通路之间存在复杂的控制系统。
树突状细胞在呈递抗原后，在某些抗原的响应下分泌IL12，通过转录因子T-bet促进Th1分化。T-bet本身也促进IFN\(\gamma\)的产生，IFN\(\gamma\)刺激树突状细胞产生更多IL12，并促进更多T-bet的产生。这形成了一个自催化反馈回路，推动更多细胞沿Th1通路分化。另一方面，IL4促进Th2细胞分化，通过转录因子GATA-3导致更多IL4的产生，形成推动细胞沿Th2通路的自催化通路。
设\(x_1\)和\(x_2\)分别表示T-bet和GATA-3的浓度（或表达水平），\(S_1\)和\(S_2\)分别表示激活T-bet和GATA-3的细胞因子浓度。T-bet的产生速率方程为：
GATA-3的方程结构类似。这种开关样行为和滞后现象在基因转导通路模型中很常见。
七、凝血
7.1 凝血级联反应
凝血系统的必要性是显而易见的。任何有循环系统的生物体中，运输重要代谢物和废物产品的载体一旦丢失将造成灾难性甚至致命的后果。然而，在正常循环系统中形成血栓同样具有潜在的危险性。
凝血系统必须反应迅速，同时具有局部性。由于所有凝血成分都存在于血液中，必须存在某种控制机制以防止凝血扩散。由于高兴奋性的扩散物种系统具有产生行波的可能性，对于凝血系统而言，传播的前沿就像凝血失败一样具有灾难性。因此，挑战在于理解如何构建一个高度兴奋性的化学反应和扩散化学系统，以避免不受控的行波传播。
凝血过程中有50多种物质发挥作用。关键是酶——凝血酶（thrombin）。凝血酶对纤维蛋白原起酶作用，将其转化为纤维蛋白，纤维蛋白形成血栓的网状结构。凝血酶是由凝血酶原（prothrombin）转化而来的。凝血酶原由凝血酶原激活物催化转化而来。凝血酶原激活物是两条不同酶级联反应的最终产物：外源性途径（extrinsic pathway）和内源性途径（intrinsic pathway）。
外源性途径在组织创伤后启动，速度最快。内源性途径在血液受到创伤或与胶原或任何带负电表面接触后启动，不依赖于组织创伤。内源性途径比外源性途径慢得多。
凝血级联反应中，有13种重要因子用罗马数字I至XIII表示。因子Xa与因子Va在活化血小板表面形成凝血酶原激活物。凝血酶原激活物将凝血酶原转化为凝血酶，进而将纤维蛋白原转化为纤维蛋白形成血凝块。
凝血系统存在多个正反馈途径：凝血酶激活因子V，增加凝血酶原激活物的形成速率；凝血酶也激活血小板，使其具有粘性和高反应性。凝血酶也通过与纤维蛋白网络结合而被降解，这是其自身活性结果导致的负反馈。抗凝剂如抗凝血酶III可以灭活凝血酶。活化的蛋白C（PCa）增加因子Va和VIIIa的降解速率，从而降低凝血酶产生速率。
7.2 凝血模型
简化的凝血模型包含九个变量：XIa、IXa、Xa、组织因子、凝血酶原、凝血酶、VIIIa、Va和PCa的浓度。无量纲化后得到方程：
其中\(u_1\)、\(u_2\)和\(u_3\)分别是凝血酶、XIa和PCa的无量纲化浓度。
该模型是高度可兴奋的。小扰动会衰减回零，但大扰动会导致凝血酶浓度快速大幅增加。当扩散被纳入模型时，充分大的扰动可导致行波，但更有趣的是，对于某些参数值，波只能传播一小段距离就会停止，形成稳定的驻波。
7.3 血小板
血小板是直径2至4微米的细小圆形或椭圆形圆盘。它们在骨髓中由巨核细胞碎裂形成。正常情况下每微升血液有150,000至300,000个血小板。血小板在循环中以休眠或未活化状态存在。当血小板与受损血管表面或足够的化学触发物接触时，它们会被激活并剧烈改变特性：表面膜改变使其具有粘性；分泌ADP和血栓素A2等化学物质；形状从刚性盘状变为高度可变形的，伸出称为伪足的细长触手。
八、公式汇总
| 编号 | 公式名称 | 公式 |
|---|---|---|
| (13.1) | 理想气体定律 | \(PV = nkT\) |
| (13.2) | 浓度与压力关系 | \(P = ckT\) |
| (13.3) | 摩尔浓度形式 | \(P = CRT\) |
| (13.4) | 分压定义 | \(P_i = x_i P\) |
| (13.5) | 气体溶解定律 | \(c_i = \sigma_i P_i\) |
| (13.7) | 血细胞守恒方程 | \(\frac{\partial n}{\partial t} + \frac{\partial n}{\partial x} = -\beta n\) |
| (13.9) | 血细胞产生边界条件 | \(n(0,t) = F(N(t-d))\) |
| (13.13) | 总细胞数微分方程 | \(\frac{dN}{dt} + n(X,t) - n(0,t) = -\beta N\) |
| (13.14) | 延迟微分方程 | \(\frac{dN}{dt} + F(N(t-d-X))e^{-\beta X} - F(N(t-d)) = -\beta N\) |
| (13.24) | 振荡周期 | \(T = 2d + X\) |
| (13.40) | 肌红蛋白饱和函数 | \(Y = \frac{[O_2]}{K + [O_2]}\) |
| (13.41) | 肌红蛋白压力形式 | \(Y = \frac{P_{O_2}}{K_P + P_{O_2}}\) |
| (13.43) | 血红蛋白饱和函数（四结合位点） | \(Y = \frac{[O_2]^4}{[O_2]^4 + K^4}\) |
| (13.44) | 希尔方程 | \(Y = \frac{[O_2]^n}{[O_2]^n + K^n}\) |
| (13.47) | 更精确的血红蛋白饱和函数 | \(Y = \frac{\sum_{j=0}^4 j\alpha_j [O_2]^j}{\sum_{j=0}^4 \alpha_j [O_2]^j}\) |
| (13.52) | 含氢离子的氧饱和 | \(Y + W = \frac{O^4 T_{Hb}}{\phi(h) + O^4}\) |
| (13.53) | φ函数定义 | \(\phi(h) = \frac{K_1 \bar{K}_1 (K_2 + h)}{K_2 \bar{K}_1 + h K_1}\) |
| (13.56) | 碳酸氢盐-二氧化碳关系 | \([CO_2] = R_1 R_2 [H^+][HCO_3^-]\) |
| (13.65) | 细胞通量 | \(J_c = v^+ n^+ - v^- n^-\) |
| (13.70) | 平衡通量表达式 | \(J_c = -\mu \frac{\partial c}{\partial x} + V_c c - T_p v c \frac{\partial v}{\partial x}\) |
| (13.72) | 化学趋向分数 | \(f = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{\chi_0 \frac{\partial N_b}{\partial x}}{b(1 + \chi_0 \frac{\partial N_b}{\partial x})} \right)\) |
| (13.75) | 化学趋向速度 | \(V_c = v \frac{\chi_0 \frac{dN_b}{da} \frac{\partial a}{\partial x}}{1 + \chi_0 \frac{dN_b}{da} \frac{\partial a}{\partial x}}\) |
| (13.76) | 受体结合函数 | \(N_b = \frac{N_T a}{K_d + a}\) |
| (13.77) | Keller-Segel模型 | \(J_c = -\mu \frac{\partial c}{\partial x} + \chi c \frac{\partial a}{\partial x}\) |
| (13.78) | 细菌方程 | \(\frac{\partial b}{\partial t} = \mu_b \frac{\partial^2 b}{\partial y^2} + (k_g - k_d c)b\) |
| (13.79) | 引诱物方程 | \(\frac{\partial a}{\partial t} = D \frac{\partial^2 a}{\partial y^2} + k_p b\) |
| (13.80) | 白细胞方程 | \(\frac{\partial c}{\partial t} = -\frac{\partial J_c}{\partial y} - (g_0 + g_1 b)c\) |
| (13.113) | T-bet动力学 | \(\frac{dx_1}{dt} = \beta_1 - \mu x_1 + \frac{\gamma_2}{\gamma_2 + x_2} \left( \alpha_1 \frac{x_1^n}{\kappa_1^n + x_1^n} + \sigma_1 \frac{S_1}{\rho_1 + S_1} \right)\) |
| (13.115) | 凝血模型（u1） | \(\frac{\partial u_1}{\partial t} = D \frac{\partial^2 u_1}{\partial x^2} + K_1 u_1 u_2 (1 - u_1) \frac{(1 + K_2 u_1)}{(1 + K_3 u_3)} - u_1\) |
| (13.116) | 凝血模型（u2） | \(\frac{\partial u_2}{\partial t} = D \frac{\partial^2 u_2}{\partial x^2} + u_1 - K_4 u_2\) |
| (13.117) | 凝血模型（u3） | \(\frac{\partial u_3}{\partial t} = D \frac{\partial^2 u_3}{\partial x^2} + K_5 u_1^2 - K_6 u_3\) |
参考文献
原书第13章，Keener & Sneyd, Mathematical Physiology (II: Systems Physiology), Springer, 2009, pp. 627-681.