第六章：可兴奋系统中的波传播

《数学生理学》（第一卷：细胞生理学） Keener & Sneyd 著，Springer 2009

一、概述

本章探讨可兴奋介质中的波传播现象。可兴奋系统广泛存在于生物体内，其中最典型的例子包括神经轴突上动作电位的传播，以及草原上火焰的蔓延。与之相对的是耦合振子系统，当众多独立的振荡单元通过扩散耦合时，会产生振荡波和周期波列，但本书将此类内容推迟到第十二章和第十八章讨论。

1.1 行波的两种基本类型

在可兴奋系统中，行波主要有两种最重要的类型：

行波前沿（Traveling Front）：这种波看起来像一个移动的平台，或不同水平之间的过渡。以变量 $v$ 表示波，在波前，$v$ 稳定在某个低值；在波后，$v$ 稳定在较高值。行波前沿如同一条拉链，将域从静息态切换到兴奋态。

行波脉冲（Traveling Pulse）：这种波在 $v$ 的相同值处开始和结束，形状像一个移动的凸起。行波脉冲对应于相平面中的同宿轨道。

1.2 理论与模型层次

可将生物波传播模型按复杂度分为几个层次：

Fisher 方程：虽然广泛用于种群生物学和生态学，但在生理学中相关性较小。
双稳态方程（Bistable Equation）：因具有两个稳定静息点而得名，与无恢复的 FitzHugh-Nagumo 方程相关。双稳态方程预期存在行波前沿但不存在行波脉冲。
FitzHugh-Nagumo 方程：包含恢复变量的更复杂模型，预期存在行波脉冲及其他类型波。在高维域中，波传播仍未被完全理解。
Hodgkin-Huxley 型方程：最高复杂度的空间分布模型，由多个方程组成，难以用解析方法处理。

二、行波前沿

2.1 双稳态方程

双稳态方程是电缆方程的特殊形式：

\[\frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + f(V) \qquad(6.1)\]

其中 $f(V)$ 在 $0$、$\alpha$ 和 $1$ 处有三个零点，且 $0 < \alpha < 1$。$V = 0$ 和 $V = 1$ 是微分方程 $dV/dt = f(V)$ 的稳定静息解。

常用的 $f(V)$ 形式包括：

三次多项式形式：

\[f(V) = aV(V - 1)(\alpha - V), \quad 0 < \alpha < 1 \qquad(6.2)\]

分段线性函数形式：

\[f(V) = -V + H(V - \alpha), \quad 0 < \alpha < 1 \qquad(6.3)\]

其中 $H(V)$ 是 Heaviside 函数。

2.2 行波解的数学推导

寻找行波解 $V(x,t) = U(x+ct) = U(\xi)$，其中 $\xi$ 是行波坐标。代入方程得到：

\[U_{\xi\xi} - cU_{\xi} + f(U) = 0 \qquad(6.5)\]

改写为两个一阶方程组：

\[U_{\xi} = W \qquad(6.6)$$ $$W_{\xi} = cW - f(U) \qquad(6.7)\]

要找到连接 $(U,W) = (0,0)$ 和 $(U,W) = (1,0)$ 的异宿轨道。

2.3 波速的确定

通过对 (6.5) 乘以 $U_{\xi}$ 并从 $\xi = -\infty$ 积分到 $\xi = \infty$，得到：

\[c \int_{-\infty}^{\infty} W^2 d\xi = \int_0^1 f(u) du \qquad(6.8)\]

即，如果存在行波解，则 $c$ 的符号与 $f(u)$ 在 $u=0$ 和 $u=1$ 之间曲线下面积的符号相同。

2.4 特殊情况的解析解

分段线性情况的波速：

\[c = \frac{1 - 2\alpha}{\sqrt{\alpha - \alpha^2}} \qquad(6.12)\]

三次多项式情况 $f(u) = -A^2(u - u_0)(u - u_1)(u - u_2)$ 的波速：

\[c = \frac{A}{\sqrt{2}}(u_2 - 2u_1 + u_0) \qquad(6.16)\]

当 $u_0 = 0, u_1 = \alpha, u_2 = 1$ 时：

\[c = \frac{A}{\sqrt{2}}(1 - 2\alpha) \qquad(6.18)\]

波形的显式表达式为：

\[U(\xi) = \frac{1}{2} \left[1 + \tanh\left(\frac{A}{2\sqrt{2}}\xi\right)\right] \qquad(6.19)\]

2.5 物理参数表示

利用电缆的空间常数 $\lambda_m$ 和时间常数 $\tau_m$，行波速度为：

\[s = \frac{c\lambda_m}{\tau_m} = \frac{d}{10^{-6} \text{m}} \text{m/sec} \qquad(6.22)\]

对于鱿鱼巨轴突（$d = 500 \mu \text{m}$），估计得到 $s = 22.4$ mm/ms，与测量值 $21.2$ mm/ms 非常吻合。

2.6 阈值与稳定性

双稳态方程满足比较性质：若两个解在某一时刻有序，则它们永远保持有序。

阈值行为：当初始数据足够小，解趋近于零；当初始函数在 $0$ 和 $1$ 之间且具有紧支撑，解趋近于 $1$。这类初始数据称为超阈值。

双稳态方程的行波解以很强的方式稳定：从任何介于 $0$ 和 $\alpha$（$x \to -\infty$）及介于 $\alpha$ 和 $1$（$x \to \infty$）之间的初始数据出发，解在长时间极限下趋近于行波解的某个相移。

三、髓鞘化

3.1 结构特点

大多数神经纤维被一种叫做髓磷脂的脂质材料包裹，具有周期性暴露的间隙，称为郎维耶氏结。髓鞘由施万细胞环绕轴突膜缠绕约 100 次形成。

生理参数变化： - 有效膜电阻增加约 100 倍 - 膜电容减小约 100 倍 - 髓鞘段长度通常为 1-2 mm（约为纤维直径的 100 倍） - 郎维耶氏结宽度约为 $1 \mu \text{m}$

3.2 跳跃式传导

髓鞘化纤维上的传播比无髓纤维更快。这是因为在髓鞘段，跨膜离子电流和电容电流都很小，使轴突充当简单的电阻。动作电位不是沿髓鞘化纤维传播，而是从结到结跳跃传播，这种方式称为跳跃式传导（saltatory conduction，来自拉丁语 saltare，意为跳跃或舞蹈）。

3.3 离散电缆方程

沿髓鞘化纤维建模时，假设电容和跨膜离子电流可忽略。在每个郎维耶氏结处，电压不发生变化（即结是等电位的），得到离散电缆方程：

\[\frac{dV_n}{d\tau} = f(V_n) + D(V_{n+1} - 2V_n + V_{n-1}) \qquad(6.27)\]

其中 $D = \frac{\mu}{L} \frac{R_m}{r_i + r_e}$ 是耦合系数。

3.4 传播失败

离散系统与连续系统最重要的区别在于：离散系统存在传播耦合阈值，而连续模型允许任何耦合强度下的传播。当耦合系数 $D \leq D^*$ 时，存在驻波解，即传播失败。

对于分段线性动力学，存在驻波的条件是：

\[D \leq D^* = \frac{\alpha(1-\alpha)}{(2\alpha-1)^2} \qquad(6.47)\]

当介质兴奋性较弱（$\alpha$ 接近 $1/2$）时，$D^*$ 很大，很小的电阻就能阻止传播。

四、行波脉冲

4.1 FitzHugh-Nagumo 方程

行波脉冲是起止于相同稳态的行波解，在相平面中对应同宿轨道。

FitzHugh-Nagumo 方程形式为：

\[\frac{\partial v}{\partial t} = \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + f(v, w) \qquad(6.48)$$ $$\frac{\partial w}{\partial t} = g(v, w) \qquad(6.49)\]

其中 $\varepsilon$ 是小正数。变量 $v$ 通过扩散空间耦合，而 $w$ 不耦合，因为 $v$ 代表膜电位，$w$ 代表慢离子电流或门控变量。

引入行波坐标 $\xi = x - ct$（$c > 0$），得到常微分方程组：

\[v_{\xi\xi} + cv_{\xi} + f(v, w) = 0 \qquad(6.50)$$ $$cw_{\xi} + g(v, w) = 0 \qquad(6.51)\]

4.2 分段线性模型

分段线性动力学为：

\[f(v, w) = H(v - \alpha) - v - w \qquad(6.52)$$ $$g(v, w) = v \qquad(6.53)\]

其中 $H(v)$ 是 Heaviside 函数。由于动力学分段线性，可以分段精确求解。

解的结构包含三个指数项：

\[w(\xi) = \sum_{i=1}^{3} A_i e^{\lambda_i \xi} \qquad(6.83)\]

特征多项式为：

\[p(\lambda) = \frac{2}{c}\lambda^3 + \lambda^2 - \lambda + \frac{1}{c} = 0 \qquad(6.58)\]

4.3 奇异摄动理论

利用小参数 $\varepsilon$ 的奇异摄动分析，外方程为：

\[\frac{\partial w}{\partial t} = G_{\pm}(w) \qquad(6.68)\]

其中 $v = V_{\pm}(w)$ 分别表示兴奋区和恢复区。

内方程（界面层）满足双稳态方程：

\[v_{\xi\xi} + c(w)v_{\xi} + f(v, w) = 0 \qquad(6.73)\]

波速：

\[c(w) = -\frac{\int_{V_-(w)}^{V_+(w)} f(v,w) dv}{\int_{-\infty}^{\infty} v_{\xi}^2 d\xi} \qquad(6.74)\]

4.4 脉冲持续时间与不应期

兴奋相持续时间：

\[T_e = \int_{w_+}^{w_-} \frac{dw}{G_+(w)} \qquad(6.76)\]

绝对不应期：

\[T_{ar} = \int_{w_-}^{w_0} \frac{dw}{G_-(w)} \qquad(6.77)\]

其中 $w_0$ 是 $c(w) = 0$ 的值。

4.5 Hodgkin-Huxley 方程的行波脉冲

Hodgkin-Huxley 方程的行波脉冲必须数值计算。使用射击法，Hodgkin 和 Huxley 1952 年的论文证明了该方程支持行波解。

对于 Hodgkin-Huxley 方程，行波脉冲速度为 $c = 3.24 \lambda_m$ ms$^{-1}$。使用典型参数，$c = 21$ mm/ms，与实验值 $21.2$ mm/ms 非常吻合。

五、周期波列

5.1 离散与色散

可兴奋系统的特征是同时具有兴奋性和不应性。在系统对超阈值刺激做出大幅响应后，存在一个在此期间无法产生后续响应的不应期，随后是兴奋性逐渐恢复的恢复期。

周期波列中，后续动作电位的传播速度强烈依赖于上次波动后允许的恢复时间。速度和周期之间的关系称为色散曲线。

色散曲线具有典型形状：两条分支，一条表示快波，另一条表示慢波，两者在绝对不应期处汇合。对于较短周期，不存在周期解。

5.2 分段线性 FitzHugh-Nagumo 方程的周期波

周期波由交替的上升跳和下降跳组成，由外动力学区域分隔。

上升跳持续时间：

\[T_e = \int_{w_+}^{w_-} \frac{dw}{G_+(w)} \qquad(6.87)\]

恢复时间：

\[T_r = \int_{w_-}^{w_+} \frac{dw}{G_-(w)} \qquad(6.88)\]

周期：

\[T = T_e + T_r \qquad(6.89)\]

5.3 运动学理论

运动学理论试图追踪单个动作电位的进程，而不跟踪脉冲结构的细节。

简单运动学理论中，第 $n$ 个动作电位到达位置 $x$ 的时间 $t_n(x)$ 满足：

\[\frac{dt_n}{dx} = \frac{1}{c} \qquad(6.90)\]

更复杂的理论考虑恢复总是通过相位波发生，恢复值为 $W^*$：

\[t_{n+1}(x) - t_n(x) = A(c_n) + t_r(c_{n+1}) \qquad(6.94)\]

其中 $A(c_n)$ 是动作电位持续时间，$t_r(c_{n+1})$ 是前一次恢复时间。

六、高维空间中的波传播

6.1 从一维到高维

并非所有可兴奋介质都可以被视为一维电缆，二维或三维传播活动也很重要。需要更复杂数学分析的组织包括骨骼肌和心肌、视网膜和大脑皮层。

将电缆方程推广到高维，用梯度算子代替一阶空间导数，用拉普拉斯算子代替二阶空间导数：

\[\frac{\partial u}{\partial t} = \nabla \cdot (D \nabla u) + kf \qquad(6.96)\]

6.2 平面波

在均匀各向同性介质中，平面波解为：

\[u(x,t) = U\left(\frac{n \cdot x - ct}{(n)}\right) \qquad(6.99)\]

其中 $(n) = \sqrt{\frac{n \cdot Dn}{k}}$ 是方向相关的空间常数。

6.3 曲率效应

波前在二维或三维介质中通常不是平面波，而是圆形。曲率在可兴奋介质中的波前传播中起重要作用。

物理解释：对于向内收缩的圆形波前，预期比平面波更快激发前方区域；对于向外扩展的圆形波前，预期比平面波更慢。

6.4 程函-曲率方程

通过奇异摄动理论推导程函-曲率方程。在指示函数形式下：

\[S_t = |\nabla S|c_0 \sqrt{Dk} + \sqrt{Dk} \nabla \cdot \frac{D \nabla S}{|\nabla S|} \qquad(6.109)\]

程函方程（忽略曲率项）：

\[S_t = |\nabla S|c_0 \sqrt{Dk} \qquad(6.110)\]

法向速度：

\[R_t \cdot n = c_0 \sqrt{Dk} \qquad(6.111)\]

完整程函-曲率方程：

\[R_t \cdot n = c_0 \sqrt{Dk} - D\kappa \qquad(6.112)\]

或

\[\tau R_t \cdot n = c_0 \varepsilon - \frac{\varepsilon^2}{2} \kappa \qquad(6.113)\]

其中 $\kappa$ 是曲率（二维）或平均曲率（三维）。曲率校正项的符号使得有涟漪的波前逐渐平滑成平面波。

6.5 螺旋波

螺旋波不需要周期性源，是自维持的。因此，它们通常只出现在病理生理情况中：心脏上的螺旋波是致命的，大脑皮层上的螺旋波可能导致癫痫发作。

数学描述：螺旋界面可表示为：

\[X(r,t) = r\cos(\theta(r) - \omega t), \quad Y(r,t) = r\sin(\theta(r) - \omega t) \qquad(6.118)\]

曲率方程为：

\[r\frac{d\psi}{dr} = (1 + \psi^2)\frac{r^2 c(w)}{c(w)^2} \left(\sqrt{1+\psi^2}\frac{\omega r}{c(w)} - 1\right) - \psi \qquad(6.125)\]

其中 $\psi = r\theta'(r)$ 是形状函数。

螺旋频率和速度之间的关系为：

\[\omega = \frac{c^2 m^*}{\varepsilon^2} \qquad(6.128)\]

其中 $m^* \approx 0.330958$。

6.6 三维中的波：卷曲波

螺旋波在二维区域的明显推广到三维称为卷曲波（scroll wave）。卷曲波已在数值模拟、三维 BZ 反应和心肌组织中观察到。

七、公式汇总表

编号	公式名称	公式	页码
6.1	双稳态方程	$\frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + f(V)$	231
6.2	三次多项式	$f(V) = aV(V-1)(\alpha-V)$	231
6.3	分段线性函数	$f(V) = -V + H(V-\alpha)$	231
6.5	行波 ODE	$U_{\xi\xi} - cU_{\xi} + f(U) = 0$	233
6.8	波速积分关系	$c \int_{-\infty}^{\infty} W^2 d\xi = \int_0^1 f(u) du$	233
6.12	分段线性波速	$c = \frac{1-2\alpha}{\sqrt{\alpha-\alpha^2}}$	235
6.16	一般三次多项式波速	$c = \frac{A}{\sqrt{2}}(u_2 - 2u_1 + u_0)$	235
6.18	标准三次波速	$c = \frac{A}{\sqrt{2}}(1-2\alpha)$	235
6.19	行波波形	$U(\xi) = \frac{1}{2}\left[1 + \tanh\left(\frac{A}{2\sqrt{2}}\xi\right)\right]$	235
6.22	动作电位速度估计	$s = \frac{d}{10^{-6}\text{m}}$ m/sec	236
6.27	离散电缆方程	$\frac{dV_n}{d\tau} = f(V_n) + D(V_{n+1}-2V_n+V_{n-1})$	238
6.48-49	FitzHugh-Nagumo 方程	$\frac{\partial v}{\partial t} = \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + f(v,w)$	243
6.50-51	行波坐标下的 FHN	$v_{\xi\xi} + cv_{\xi} + f(v,w) = 0$	243
6.58	特征多项式	$p(\lambda) = \frac{2}{c}\lambda^3 + \lambda^2 - \lambda + \frac{1}{c} = 0$	245
6.74	波速公式	$c(w) = -\frac{\int_{V_-}^{V_+} f(v,w) dv}{\int_{-\infty}^{\infty} v_{\xi}^2 d\xi}$	249
6.76	兴奋持续时间	$T_e = \int_{w_+}^{w_-} \frac{dw}{G_+(w)}$	250
6.77	绝对不应期	$T_{ar} = \int_{w_-}^{w_0} \frac{dw}{G_-(w)}$	250
6.87	周期波上升时间	$T_e = \int_{w_+}^{w_-} \frac{dw}{G_+(w)}$	255
6.88	周期波恢复时间	$T_r = \int_{w_-}^{w_+} \frac{dw}{G_-(w)}$	255
6.89	周期	$T = T_e + T_r$	255
6.96	一般扩散方程	$\frac{\partial u}{\partial t} = \nabla \cdot (D\nabla u) + kf$	258
6.109	程函-曲率方程	$S_t = \\|\nabla S\\|c_0\sqrt{Dk} + \sqrt{Dk}\nabla \cdot \frac{D\nabla S}{\\|\nabla S\\|}$	262
6.112	曲率方程	$R_t \cdot n = c_0\sqrt{Dk} - D\kappa$	263
6.128	螺旋波频率	$\omega = \frac{c^2 m^*}{\varepsilon^2}$	266

八、习题与思考

本章习题涵盖以下主题：

双稳态方程相平面分析：证明相平面有三个稳态，其中两个是鞍点，并确定不稳定流形的斜率。
电缆理论应用：利用电缆理论计算各种轴突的传播速度。
髓鞘化纤维空间常数：求髓鞘化纤维的空间常数。
分段线性双稳态方程的行波解：构造并验证波速。
Morris-Lecar 模型的行波前沿：应用于藤壶肌纤维。
Na+ 通道密度对传播速度的影响：结合表 6.1 的数据。
Fisher 方程：一般形式的行波解存在性条件。
相位波：分析 $f(v) = v^2(1-v)$ 等情况的相位波。
数值方法与误差分析：欧拉法逼近双稳态方程时的误差估计。
有限态自动机：实现简单规则，模拟螺旋波的引发。

总结

本章系统介绍了可兴奋系统中的波传播理论，主要贡献包括：

建立了从简单到复杂的模型层次：从双稳态方程到 FitzHugh-Nagumo 方程再到 Hodgkin-Huxley 方程，为理解不同复杂度的生物波动现象提供了统一框架。
深入分析了行波前沿和行波脉冲：通过相平面分析、奇异摄动理论等数学工具，揭示了可兴奋介质的本质特征。
阐明了髓鞘化的生理意义：解释了跳跃式传导的机制及其对神经信号传递效率的提升。
建立了色散曲线理论：为理解周期性活动的速度-周期关系提供了理论基础。
发展了高维波传播的数学工具：特别是程函-曲率方程，为理解曲率和螺旋波等复杂现象提供了解析框架。
与生理实验的紧密联系：理论预测与实测数据（如枪乌贼轴突的 21.2 mm/ms）高度吻合，展示了数学模型在生理学中的强大预测能力。

这些理论结果对理解神经信号传导、心肌活动乃至大脑皮层动力学都具有重要意义。

笔记整理自：Keener & Sneyd, Mathematical Physiology (I: Cellular Physiology), Springer 2009, Chapter 6

编号	公式名称	公式	页码
6.1	双稳态方程	\(\frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + f(V)\)	231
6.2	三次多项式	\(f(V) = aV(V-1)(\alpha-V)\)	231
6.3	分段线性函数	\(f(V) = -V + H(V-\alpha)\)	231
6.5	行波 ODE	\(U_{\xi\xi} - cU_{\xi} + f(U) = 0\)	233
6.8	波速积分关系	\(c \int_{-\infty}^{\infty} W^2 d\xi = \int_0^1 f(u) du\)	233
6.12	分段线性波速	\(c = \frac{1-2\alpha}{\sqrt{\alpha-\alpha^2}}\)	235
6.16	一般三次多项式波速	\(c = \frac{A}{\sqrt{2}}(u_2 - 2u_1 + u_0)\)	235
6.18	标准三次波速	\(c = \frac{A}{\sqrt{2}}(1-2\alpha)\)	235
6.19	行波波形	\(U(\xi) = \frac{1}{2}\left[1 + \tanh\left(\frac{A}{2\sqrt{2}}\xi\right)\right]\)	235
6.22	动作电位速度估计	\(s = \frac{d}{10^{-6}\text{m}}\) m/sec	236
6.27	离散电缆方程	\(\frac{dV_n}{d\tau} = f(V_n) + D(V_{n+1}-2V_n+V_{n-1})\)	238
6.48-49	FitzHugh-Nagumo 方程	\(\frac{\partial v}{\partial t} = \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + f(v,w)\)	243
6.50-51	行波坐标下的 FHN	\(v_{\xi\xi} + cv_{\xi} + f(v,w) = 0\)	243
6.58	特征多项式	\(p(\lambda) = \frac{2}{c}\lambda^3 + \lambda^2 - \lambda + \frac{1}{c} = 0\)	245
6.74	波速公式	\(c(w) = -\frac{\int_{V_-}^{V_+} f(v,w) dv}{\int_{-\infty}^{\infty} v_{\xi}^2 d\xi}\)	249
6.76	兴奋持续时间	\(T_e = \int_{w_+}^{w_-} \frac{dw}{G_+(w)}\)	250
6.77	绝对不应期	\(T_{ar} = \int_{w_-}^{w_0} \frac{dw}{G_-(w)}\)	250
6.87	周期波上升时间	\(T_e = \int_{w_+}^{w_-} \frac{dw}{G_+(w)}\)	255
6.88	周期波恢复时间	\(T_r = \int_{w_-}^{w_+} \frac{dw}{G_-(w)}\)	255
6.89	周期	\(T = T_e + T_r\)	255
6.96	一般扩散方程	\(\frac{\partial u}{\partial t} = \nabla \cdot (D\nabla u) + kf\)	258
6.109	程函-曲率方程	\(S_t = \\|\nabla S\\|c_0\sqrt{Dk} + \sqrt{Dk}\nabla \cdot \frac{D\nabla S}{\\|\nabla S\\|}\)	262
6.112	曲率方程	\(R_t \cdot n = c_0\sqrt{Dk} - D\kappa\)	263
6.128	螺旋波频率	\(\omega = \frac{c^2 m^*}{\varepsilon^2}\)	266