第 12 章数学金融的应用（Application to Mathematical Finance）

作者

Bernt Øksendal（奥斯陆大学）。本章是 Ch 1 Problem 7 的解——Black-Scholes 期权定价公式。这是 Itô 理论对全球金融工程的最重大贡献（1997 年 Scholes 和 Merton 获诺贝尔经济学奖；Black 已于 1995 年逝世）。

本章综合 Ch 3（Itô 积分）+ Ch 4（Itô 公式、鞅表示）+ Ch 5（SDE 存在唯一性）+ Ch 6（Kalman 滤波）+ Ch 8（Girsanov 变换）+ Ch 10（最优停时）+ Ch 11（HJB）的所有工具。它把"无套利 + 完备市场"严格化为"存在唯一等价鞅测度"。

Harrison-Pliska 1981 给出"无套利 ↔ 存在等价鞅测度"，Delbaen-Schachermayer 1994 给出"无套利 + NFLVR ↔ 存在等价鞅测度"，Cox-Ross 1976 + Black-Scholes 1973 + Merton 1973 给出几何 BM 上的期权定价闭式公式。本章把这些里程碑式的工作统一到统一框架中。

内容概述

本章正式"回答" Ch 1 提出的 Problem 7：Black-Scholes 期权定价。

本章中心任务：给定金融市场 $(X_0, X_1, \ldots, X_n)$，求 contingent claim $F$（如欧式看涨期权 $(X_1(T) - K)^+$）的"公平价格"。

主要内容： 1. 市场模型（Def 12.1.1）：$X_0$ 无风险，$X_1, \ldots, X_n$ 风险资产。标准化 = 用 $\xi(t) = X_0(t)^{-1}$ 折现。 2. 组合 $\theta$（Def 12.1.1c-e）：self-financing = $dV = \theta \cdot dX$（无外部资金流入/流出）。admissible = self-financing + 价值下有界（防"无限债务"）。 3. 套利（Def 12.1.3）：$V(0) = 0, V(T) \ge 0$ a.s., $P[V(T) > 0] > 0$。真实市场不允许套利。 4. 等价鞅测度 (ELMM)（Def 12.1.7）：$Q \sim P$ 使折现价格 $X$ 是 $Q$-局部鞅。 5. NFLVR 定理（Delbaen-Schachermayer 1994, 12.1 末）：无套利 + NFLVR $\iff$ $\exists$ ELMM。 6. Girsanov 应用（Thm 12.1.8）：$\sigma u = \mu - \rho X$ + Novikov 条件 → 市场无套利。 7. 可达性（Def 12.2.4）：$F$ 可达 = $\exists$ admissible $\theta$ 使 $V^\theta_z(T) = F$ a.s.。 8. 完备市场（Thm 12.2.5）：所有 claim 可达 $\iff$ $\sigma$ 有左逆 $\Lambda$（$\Leftrightarrow$ $\text{rank}\, \sigma = m$）。Harrison-Pliska 1983 给出等价条件："$\exists$ 唯一 ELMM"。 9. 期权定价（Thm 12.3.2, 12.3.5）：完备市场下 $p(F) = q(F) = E^Q[\xi(T) F]$。 10. 对冲组合（Thm 12.3.5）：由 Clark-Ocone 公式（Thm 12.3.3, Cor 12.3.4）给出。 11. Black-Scholes 公式（Thm 12.3.7, Cor 12.3.8）：欧式看涨期权价格 $= x_1 \Phi(\eta + \tfrac12 \beta \sqrt T) - K e^{-\rho T} \Phi(\eta - \tfrac12 \beta \sqrt T)$，$\eta = \beta^{-1} T^{-1/2} [\ln(x_1/K) + \rho T]$。 12. 方差互换（Ex 12.5.3）：对冲波动率风险的合约。 13. 均值回归（Ex 12.5.1-12.5.2）：Vasicek 模型。 14. 美式期权（Ch 12.4）：最优停时 + HJB 自由边界问题。Longstaff-Schwartz 算法。 15. 数值方法（Ch 12.5-12.6）：蒙特卡洛、有限差分、Longstaff-Schwartz 最小二乘蒙特卡洛。

在全书中位置：应用章（全书的工程应用顶峰）。综合 Ch 3-11 全部工具。

前置知识：Ch 3-11 全部。Ch 12 是 Itô 理论"对全球金融工程"的最高级应用——也是"21 世纪最成功的数学应用案例之一"。

核心方程与概念

本章是"应用章"——把前 11 章工具综合起来解金融工程问题。下面列出最重要的 13 个对象。

12.1 市场模型（Def 12.1.1）

$n + 1$ 维 Itô 过程 $X(t) = (X_0(t), X_1(t), \ldots, X_n(t))$：

\[dX_0(t) = \rho(t, \omega) X_0(t) dt, \quad dX_i(t) = \mu_i(t, \omega) dt + \sigma_i(t, \omega) dB(t).\]

$X_0$ 无风险（无 $dB$ 项），$X_i$ 风险（$dB$ 项）。
标准化（Rem 12.1.1-b）：$\xi(t) = X_0(t)^{-1}$, $\bar X_i(t) = \xi(t) X_i(t)$。折现价格消除 $\rho$ 的影响——所有价格以"无风险货币"度量。

12.2 自融资组合（Def 12.1.1e）

组合 $\theta(t) = (\theta_0(t), \ldots, \theta_n(t))$ 满足 $$dV(t) = \theta(t) \cdot dX(t) \iff V(t) = V(0) + \int_0^t \theta(s) dX(s).$$

几何意义：财富 $V(t)$ 的变化完全由资产价格变化驱动——无外部资金注入/撤出。
可容许组合（Def 12.1.2）：self-financing + $V(t) \ge -K$ a.s. 下有界——防"无限债务"。

12.3 套利（Def 12.1.3）

admissible 组合 $\theta$ 称为套利若 $V(0) = 0$, $V(T) \ge 0$ a.s., $P[V(T) > 0] > 0$。

直观：用 0 初始财富，无风险地赚正的钱。
定理 12.1.5（Dudley 1977 反例警示）：若 self-financing 而非 admissible，任何 $F$ 都可达——故可容许条件必须强。
真实市场不允许套利——否则套利者无限获利、真实资本无法形成均衡。

12.4 等价鞅测度（Def 12.1.7）

测度 $Q \sim P$ 使 $X(t)$ 是 $Q$-局部鞅。

核心（Lem 12.1.6）：$\exists Q$ ELMM $\Rightarrow$ 市场无套利。
Delbaen-Schachermayer (1994)：无套利 + NFLVR $\iff$ $\exists Q$ ELMM。这是金融数学的"基本定理"（FTAP, Fundamental Theorem of Asset Pricing）。

12.5 Girsanov 变换与无套利（Thm 12.1.8）

设 $\sigma(t, \omega) u(t, \omega) = \mu(t, \omega) - \rho(t, \omega) X(t)$ 有解 + Novikov 条件 (12.1.23)。定义 $$\frac{dQ}{dP} = \exp\!\left(-\int_0^T u\,dB - \frac{1}{2} \int_0^T |u|^2 dt\right).$$

则在 $Q$ 下，$\tilde B_t = B_t + \int_0^t u\,ds$ 是 BM，$dX_i = \sigma_i d\tilde B_t$（无 drift）。故 $X$ 是 $Q$-局部鞅 → 无套利。

核心：无套利 = "drift 抵消" + 测度变换。这是 Girsanov 定理的"金融应用"。

12.6 完备市场（Thm 12.2.5）

市场完备 $\iff$ $\sigma(t, \omega)$ 有左逆 $\Lambda(t, \omega)$（$\Leftrightarrow$ $\text{rank}\, \sigma = m$）。

Cor 12.2.6：
$n = m$ 时：完备 $\iff$ $\sigma$ 可逆
完备 $\Rightarrow$ $n \ge m$（即 $X$ 行数 $\ge$ 噪声维数）
$u$（Girsanov 漂移）唯一
Harrison-Pliska 1983 等价：市场完备 $\iff$ 唯一 ELMM。这是"完备 = 无套利"的两面。

12.7 可达性 + 期权定价（Def 12.2.4, Thm 12.3.2, 12.3.5）

T-claim $F$（$F \in L^2(\mathcal F_T, Q)$）可达 = $\exists$ admissible $\theta$ 使 $V^\theta_z(T) = F$ a.s.。

期权定价： $$p(F) = q(F) = E^Q[\xi(T) F] \quad \text{(完备 + 无套利市场)}.$$

推导：buyer's price $p(F) = \sup\{y: V^\phi_{-y}(T) \ge -F\}$ + seller's price $q(F) = \inf\{z: V^\psi_z(T) \ge F\}$。完备市场下 $p = q$。
意义：期权价格 = 折现 payoff 的风险中性期望——这是 Black-Scholes 1973 + 1997 诺奖的数学根基。

12.8 对冲组合（Thm 12.3.5）

给定 $F$ 的 $\xi(T) F$ 的 Itô 表示（Thm 4.3.3）： $$\xi(T) F = E^Q[\xi(T) F] + \int_0^T \phi(t) d\tilde B(t).$$

对冲组合： $$\theta(t) = X_0(t) \phi(t) \Lambda(t), \quad \theta_0(t) = V^\theta(0) + \int_0^t \rho(s) V^\theta(s) ds - \int_0^t \phi \cdot \tilde B.$$

核心：对冲组合 = "Itô 表示权重 × $\sigma$ 的左逆"。
意义：复制策略 = 完美对冲。对冲组合存在 = 完备市场。

12.9 Clark-Ocone 表示（Thm 12.3.3, Cor 12.3.4）

对均匀椭圆扩散 $Y(t)$，$h \in C^2_0$： $$h(Y(T)) = E[h(Y(T))] + \int_0^T \phi(t) d\tilde B(t), \quad \phi(t) = \nabla_y E^y[h(Y(T-t))]_{y=Y(t)} \cdot \sigma(Y(t)).$$

意义：给出 $\phi$ 的解析表达式——不需先验 Itô 表示。
Ch 12 应用：代入对冲公式（12.3.32）得对冲组合的显式形式。

12.10 广义 Black-Scholes 公式（Thm 12.3.7）

设 $dX_1 = \alpha X_1 dt + \beta(t) X_1 dB$（$X_1$ 是几何 BM 类）。$F = f(X_1(T))$ 的价格： $$p = \xi(T) E^Q\!\left[f\!\left(x_1 \exp\!\left(\int_0^T \beta(s) d\tilde B(s) + \int_0^T (\rho(s) - \tfrac{1}{2} \beta^2(s)) ds\right)\right)\right].$$

特例（$\alpha, \beta$ 常数）： $$p = \xi(T) \cdot \frac{1}{\delta \sqrt{2\pi}} \int f\!\left(x_1 \exp(y + \text{常数})\right) e^{-y^2 / 2\delta^2} dy, \quad \delta^2 = \int_0^T \beta^2 ds.$$

12.11 经典 Black-Scholes 公式（Cor 12.3.8）

欧式看涨期权 $F = (X_1(T) - K)^+$ 的价格： $$\boxed{p = x_1 \Phi\!\left(\eta + \tfrac{1}{2} \beta \sqrt{T}\right) - K e^{-\rho T} \Phi\!\left(\eta - \tfrac{1}{2} \beta \sqrt{T}\right),}$$

其中 $\eta = \beta^{-1} T^{-1/2} [\ln(x_1/K) + \rho T]$，$\Phi$ = 标准正态 CDF。

关键洞察：Black-Scholes 公式只依赖 5 个参数（$x_1, K, T, \rho, \beta$）——与期望收益率 $\alpha$ 无关！这是"无套利定价"的本质——价格不依赖主观风险偏好。
金融含义：$\rho$ = 无风险利率，$\beta$ = 波动率，$x_1$ = 当前股价，$K$ = 行权价，$T$ = 到期日。
$\alpha$ 不出现：因为在风险中性测度 $Q$ 下，期望收益 = $\rho$（Girsanov 变换把 $\alpha$ 变为 $\rho$）。
历史：Black-Scholes 1973 论文 + Merton 1973 论文。1997 年 Scholes + Merton 获诺贝尔经济学奖（Black 已于 1995 年逝世）。

12.12 经典对冲组合（Cor 12.3.8 续）

\[\theta_1(t) = \frac{1}{\beta \sqrt{2\pi(T-t)}} \int_K^\infty e^{-(x - X_1(t))^2 / 2(T-t)} dx = \Phi\!\left(\frac{\ln(X_1/K) + (\rho + \tfrac12 \beta^2)(T-t)}{\beta \sqrt{T-t}}\right).\]

几何意义：$\theta_1(t)$ = "delta hedging" 比例。
$\Delta$-hedging：保持 $V - \Delta X$ 局部无风险，$\Delta = \partial \Phi / \partial X$。

12.13 美式期权（Ch 12.4）

美式期权 = 欧式期权 + 任意时间提前行权 = 最优停时问题（Ch 10）。

\[V(t, x) = \sup_\tau E^Q[e^{-\rho \tau} g(X_{1}(\tau))] \text{ s.t. } \tau \in \mathcal F_t \text{-停时}, \tau \ge t.\]

数值算法：Longstaff-Schwartz 2001 最小二乘蒙特卡洛——用蒙特卡洛模拟路径 + 回归估计继续值。
PDE 等价（Ch 10 + Ch 8 Feynman-Kac）：美式期权价格 = 抛物型变分不等式的解，$V$ 在继续区域满足 HJB，停时边界自由。

12.14 数值方法（Ch 12.5-12.6）

蒙特卡洛：直接模拟 $X_1$ 路径 → 模拟 payoff → 算术平均 → $E^Q$ 估计。误差 $O(1/\sqrt{N})$。
有限差分：把 Black-Scholes PDE 在网格上离散（隐式 / Crank-Nicolson）。计算量 $O(N^2)$。
Longstaff-Schwartz：用最小二乘回归 + 蒙特卡洛估计美式期权的继续值。目前业界标准。

关键结论

金融市场的"基本定理"（FTAP, Delbaen-Schachermayer 1994）：无套利 + NFLVR $\iff$ 存在 ELMM。这是把"经济直觉"（无套利）严格化为"概率论"（等价鞅测度）的桥梁。
Black-Scholes 公式的"5 个参数"：$x_1, K, T, \rho, \beta$——与期望收益率 $\alpha$ 无关。这是 Girsanov 变换的"金融含义"：在 $Q$ 下，期望收益 = $\rho$（无风险利率）。
完备市场 = 唯一 ELMM = 任何 claim 可对冲：Harrison-Pliska 1981 严格证明。这是"无套利 + 完备"的三角等价。
Itô 公式 + 鞅表示 + Girsanov = 完整金融工程：Itô 公式给 Black-Scholes PDE 推导；鞅表示给对冲组合构造；Girsanov 给风险中性测度。
美式期权 = 自由边界问题：HJB + 变分不等式。Longstaff-Schwartz 2001 给出有效算法。
方差互换（Ex 12.5.3）：对冲波动率风险——payoff $V(T) = \int_0^T \sigma^2 dt - K$（实际波动率 - 行权价）。
Delbaen-Schachermayer 1994 的深刻意义："无套利"是经济假设，但数学上严格的等价条件是"NFLVR + 鞅测度存在"——单纯"无套利"在无限维市场可能不够。

挑战和开放性问题

市场不完备时的定价：当 $\text{rank}\, \sigma < m$ 时，存在多个 ELMM。没有"唯一"价格——存在价格区间 $[p_{\min}, p_{\max}]$。选择一个 ELMM = 选择"风险偏好"（utility-based pricing, Föllmer-Schweizer 1991）。
跳跃扩散模型（Merton 1976）：$dS = \mu S dt + \sigma S dB + S dJ$（$J$ = Poisson 跳跃）→ 解析期权价格仍可得（Bates 1996, Kou 2002）。这是 1987 黑色星期一的数学遗产。
随机波动率（Heston 1993, SABR 2002）：波动率 $\sigma$ 自身是扩散过程——闭式仅有部分情形，数值方法普遍。
粗糙路径（Lyons 1998, Friz-Victoir 2010）：用 $\alpha$-Hölder 路径（$\alpha < 1/2$）建模资产价格——比 Itô 更一般。对"超快"价格过程的工具。
美式期权的"高维"（Basket option, max option）：Longstaff-Schwartz 在 $d \ge 4$ 维时精度急剧下降——需要高阶回归（tensor train, neural network）。
信用风险 + 衍生品定价：公司可能违约（破产）——CDS（Credit Default Swap）定价需考虑违约强度（reduced-form 模型, Jarrow-Turnbull 1995）。
摩擦市场（交易成本、约束）：Constrained optimization + viscosity solution（Soner 2002）。
高维 ELMM 选取：在不完备市场，存在无穷多 ELMM——最小熵鞅测度（Föllmer-Schweizer 1991）、均值-方差最优（Øksendal-Zhou 2003）等多种选取。
机器学习在金融的应用：强化学习（Chen-Dixon-Dogan-Male 2020 监管金融）、深度学习（Deep BSDE, Han-Jentzen-E 2018）、PINN 求解 HJB 方程。

个人反思与批判性分析

本章是 Itô 理论的"工程名片"——它的"经济效益"远超 Itô 公式 / Girsanov 变换的纯数学价值。Black-Scholes 公式 + 1997 诺奖使 Itô 理论成为 21 世纪应用数学的"标杆"。

Black-Scholes 公式的"简洁美"：5 个参数 → 1 行公式 → 几乎所有金融工程师都背得出来。这是 Itô 公式 + Girsanov + 鞅表示"三位一体"的具体成果。

但 Black-Scholes 的"局限"也已被 21 世纪理解： - 固定波动率 $\beta$ 不符合实际（实际波动率是随机的） - 几何 BM 在 1987 黑色星期一、2008 雷曼时刻失效（跳跃 + 重尾） - 连续交易假设不实际（有交易成本 + 离散报价）

这些局限驱动了 21 世纪的随机波动率（Heston, SABR）、跳跃扩散（Merton 1976, Bates 1996）、粗糙路径（Lyons 1998）、机器学习（Deep BSDE）等扩展。

Longstaff-Schwartz (2001) 算法的"金融工程"胜利：把美式期权定价完全转化为蒙特卡洛 + 最小二乘——不再需要 PDE 数值解。这是 21 世纪金融工程最具影响力的方法之一。

对应用研究的意义： - 金融工程：期权定价 + 风险管理 + 投资组合优化 - 能源工程：能源期货 + 天气衍生品 - 保险：巨灾债券 + 自然灾害衍生品 - 碳市场：碳排放配额 + 碳期权

与 Karatzas-Shreve (1998)《Methods of Mathematical Finance》的比较——KS 是"金融数学"的标准教科书，理论更深入（Stroock-Varadhan 支持定理、Hunt 过程、Hermite 多项式展开）。Øksendal 的 Ch 12 是"工程师友好"版本——对 Itô 理论读者更平滑。

与 Shreve (2004)《Stochastic Calculus for Finance II》的比较——Shreve 用严格的概率论推导 Black-Scholes 公式（用 $\Delta$-hedging 论证），适合金融数学课程。Øksendal 的版本用 ELMM + Girsanov 论证——更现代、更一般。

对初学者的建议——本章的 Ex 12.5.1-12.5.2（Vasicek 利率模型）+ Ex 12.5.3（方差互换）+ Ex 12.5.4（带跳跃的几何 BM）是现代金融工程的"三大金刚"。亲手做完后，对奇异期权定价（barrier, Asian, lookback）和风险管理（VaR, CVaR, Greeks）的数学基础就完全掌握。

对有志于金融数学的读者——Ch 12 是入口，真正的"黑魔法"在 Ch 12 之后的论文：Longstaff-Schwartz 2001, Andersen-Broadie 2004, Carr-Madan 1998, Heston 1993, Hull-White 1993, Brigo-Mercurio 2006。这是一辈子的学习路径**。

重要参考文献

[X1] F. Black, M. Scholes. The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy 81(3): 637–654, 1973. DOI: 10.1086/260062. — Black-Scholes 公式的原始论文（Cor 12.3.8 引用）。

[X2] R. C. Merton. Theory of rational option pricing. Bell Journal of Economics and Management Science 4(1): 141–183, 1973. DOI: 10.2307/3003143. — 同时独立得到 Merton 公式。

[X3] J. M. Harrison, S. R. Pliska. Martingales and stochastic integrals in the theory of continuous trading. Stochastic Processes and their Applications 11: 215–260, 1981. DOI: 10.1016/0304-4149(81)90026-0. — "无套利 ↔ 存在 ELMM"（Ch 12.2 引用）；鞅表示 + 市场完备（Thm 12.2.5 引用）。

[X4] F. Delbaen, W. Schachermayer. A general version of the fundamental theorem of asset pricing. Mathematische Annalen 300: 463–520, 1994. — "无套利 + NFLVR ↔ ELMM 存在"（FTAP 的完整版）。

[X5] F. Delbaen, W. Schachermayer. The no-arbitrage condition in mathematical finance. Mathematische Annalen 305: 1–18, 1996; Journal of Mathematical Economics 31: 197–200, 1999. — FTAP 的进一步推广（2008 Schachermayer 个人 ICM 演讲）。

[X6] R. M. Dudley. Wiener functionals as Itô integrals. Annals of Probability 5: 140–141, 1977. — Dudley 反例（Thm 12.1.5 引用）——任何 $F$ 都可达的"病理"。

[X7] J. Jacod. Calcul stochastique et problèmes de martingales. Lecture Notes in Mathematics 714. Springer, 1979. — 鞅表示 + 市场完备（Thm 12.2.5 引用, 早期版本）。

[X8] A. J. G. Cairns. Interest Rate Models: An Introduction. Princeton University Press, 2004. ISBN 978-0691119469. — Vasicek 利率模型（Ex 12.5.1-12.5.2 引用）。

[X9] D. Brigo, F. Mercurio. Interest Rate Models — Theory and Practice, 2nd ed. Springer, 2006. ISBN 978-3540221494. — 利率模型 + 利率衍生品定价（Ch 12.5 引用）。

[X10] F. A. Longstaff, E. S. Schwartz. Valuing American options by simulation: A simple least-squares approach. Review of Financial Studies 14(1): 113–147, 2001. DOI: 10.1093/rfs/14.1.113. — 美式期权蒙特卡洛定价（Ch 12.4 引用）。

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[X12] M. Yor. Some aspects of Brownian motion, Part I: Some special functionals. Lecture Notes in Mathematics 1700. Springer, 1997. — 鞅表示的进一步推广（Lemma 12.2.1 引用, Prop 17.1）。

第 12 章 数学金融的应用（Application to Mathematical Finance）

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