第 10 章最优停时的应用（Application to Optimal Stopping）

作者

Bernt Øksendal（奥斯陆大学）。本章是 Ch 1 Problem 5 的解——找到最优停售资产的时间 $\tau^*$，最大化期望折现收益。

最优停时理论是 20 世纪概率论的重大应用之一。Snell 1952 给出"最小上鞅"理论、Dynkin 1963 给出"最小 superharmonic majorant"理论、Shiryaev 1978 给出"阈值策略"理论。本章综合这些工具，给出"扩散的最优停时"完整理论。

核心思想：最优停时问题 = "在扩散的所有停时中找期望收益最大的"。关键工具是"最小 superharmonic majorant" $\hat g$——它既是 $g$ 的"保守上界"，又是"扩散期望的结构性约束"。最优收益 $g^* = \hat g$，最优停时 $\tau^* = \tau_D$（首次离开"继续区域" $D = \{g < g^*\}$ 的时间）。

内容概述

本章正式"回答" Ch 1 提出的 Problem 5：最优停售资产的时间。

本章中心任务：给定 Itô 扩散 $X_t$ 和收益函数 $g$，求 $\tau^* = \arg\sup_\tau E^x[g(X_\tau)]$。

主要内容： 1. 最优停时问题定义（Def 10.1.1）：$g^*(x) = \sup_\tau E^x[g(X_\tau)]$，求 $\tau^*$。 2. 超均值（supermeanvalued）与超调和（superharmonic）函数（Def 10.1.2, 10.1.4, Lem 10.1.3）：$f(x) \ge E^x[f(X_\tau)]$ 对所有停时 $\tau$。 3. 过度函数（excessive function）（Def 10.1.5, Thm 10.1.6）：$f(x) \ge E^x[f(X_s)]$ 对所有 $s \ge 0$——与超调和等价。 4. 最小 superharmonic majorant $\hat g$（Thm 10.1.7, Cor 10.1.8）：$g_n(x) = \sup_{t \in S_n} E^x[g_{n-1}(X_t)]$ 的归纳构造；$g_n \uparrow \hat g$。 5. 最优停时存在性（Thm 10.1.9）： - (a) 价值函数 = $\hat g$：$g^* = \hat g$。 - (b) $\epsilon$-最优策略：$D_\epsilon = \{g < \hat g - \epsilon\}$，$\tau_\epsilon = \tau_{D_\epsilon}$ 使 $|g^* - E[g(X_{\tau_\epsilon})]| \le \epsilon$。 - (c-d) 真正最优策略：在"继续区域" $D = \{g < g^*\}$ 上继续，在 $\partial D$ 停。 6. 最优停时唯一性（Thm 10.1.12）：如果存在 $\tau^*$，则 $\tau^* \ge \tau_D$ 且 $\tau_D$ 也是最优。 7. 例子（10.1.13-10.1.14）：$n = 2$ BM（递推 + 唯一 superharmonic = 常数 → $g^* = \sup g$）；$n = 3$ BM（superharmonic = $|x|^{-1}$ 等 → 立即停为最优）。 8. 时变情形（Ch 10.2-10.3）：$g^*(s, x) = \sup_\tau E^{(s,x)}[g(s+\tau, X_\tau)]$。 9. 带积分收益（Eq 10.1.5）：$G^*(s, x) = \sup_\tau E[\int_0^\tau f(s+t, X_t) dt + g(s+\tau, X_\tau)]$。 10. 变分不等式表述（Ch 10.4）：$g^*$ 是 $\max\{Lg - \partial_t g, g - G\} = 0$ 的解（$L$ 是 $X$ 的生成元）。

在全书中位置：应用章。Ch 10 是 Ch 1 Problem 5 的解。综合 Ch 7（生成元 + Dynkin）+ Ch 8（Feynman-Kac）+ Ch 9（边值问题）的工具。

前置知识：Ch 7-9 全部。最优停时理论是 Itô 理论对"决策问题"的应用——比 PDE 边值问题多了一个"自由边界"（continuation region 的边界）。

核心方程与概念

本章是"应用章"——综合 Ch 7-9 工具。下面列出最重要的 11 个对象。

10.1 最优停时问题（Def 10.1.1）

\[g^*(x) := \sup_{\tau \text{ 停时}} E^x[g(X_\tau)], \quad \tau^* = \arg\sup.\]

假设：$g \ge 0$ 连续（推广到 $g$ 下半连续、$g$ 有下界）。
直观：在游戏中可随时停 → $g(X_t)$ 是收益 → 选最优停时 $\tau^*$ 最大化期望。
Ch 1 Problem 5 实例：$X_t$ = 资产价格，$g = e^{-\rho \tau} X_\tau$（折现收益），$\tau^*$ = 最优停售时间。

10.2 超均值 + 超调和函数（Def 10.1.2, 10.1.4, Lem 10.1.3）

超均值：$f(x) \ge E^x[f(X_\tau)]$ 对所有停时 $\tau$。

超调和：$f$ 超均值 + 下半连续。

性质（Lem 10.1.3）： - (a) $\alpha f$ 超均值 if $f$ 超均值 - (b) $f_1 + f_2$ 超均值 if $f_1, f_2$ 超均值 - (c) $\inf_j f_j$ 超均值 if $\{f_j\}$ 超均值 - (d) $f_k \uparrow f$ 逐点 → $f$ 超均值 - (e) $f$ 超均值 + $\sigma \le \tau$ 停时 → $E^x[f(X_\sigma)] \ge E^x[f(X_\tau)]$ - (f) $f$ 超均值 + Borel $H$ → $E^x[f(X_{\tau_H})]$ 超均值

核心洞察（Remark 10.1.3-2）：$f \in C^2$ 超调和 $\iff$ $Af \le 0$（$A$ 是 $X$ 的生成元）。这是 PDE 不等式的概率版。
Ch 9 联系：超调和 = 经典 PDE $\Delta u \le 0$ 的概率版。
Ch 10 联系：最优停时值 $g^*$ 是 $g$ 的"最小 superharmonic majorant" $\hat g$——既超调和又 $\ge g$。

10.3 过度函数（Def 10.1.5, Thm 10.1.6）

过度函数：$f(x) \ge E^x[f(X_s)]$ 对所有 $s \ge 0$。

Thm 10.1.6：$f$ 过度 $\iff$ $f$ 超调和。

关键洞察：超均值 = "对所有停时"的条件期望下界；过度 = "对所有确定时间 $s$"的条件期望下界。两者等价——停时可以比确定时间更灵活，但结论相同。
意义：过度条件更易验证（只需对 $s$ 验证），但等价于超均值（适用于所有停时）。

10.4 最小 superharmonic majorant $\hat g$（Thm 10.1.7, Cor 10.1.8）

构造（Thm 10.1.7）：取 $g_0 = g$，$g_n(x) = \sup_{t \in S_n} E^x[g_{n-1}(X_t)]$，$S_n = \{k \cdot 2^{-n}: 0 \le k \le 4^n\}$。则 $g_n \uparrow \hat g$（最小 superharmonic majorant）。

Cor 10.1.8：可取 $S_n = [0, \infty)$：$h_n(x) = \sup_{t \ge 0} E^x[h_{n-1}(X_t)]$ → $\hat g$。

关键洞察：$\hat g$ 是 $g$ 的"最小上界"——既超调和又 $\ge g$。
算法（Thm 10.1.7 归纳）：
$g_0 = g$（原始收益）
$g_1(x) = \sup_t E^x[g(X_t)]$（单步最优）
$g_2(x) = \sup_t E^x[g_1(X_t)]$（两步最优）
...
$g_n \to \hat g$（无穷步最优 = 最优值）

10.5 最优停时存在性（Thm 10.1.9）

(a) 价值函数：$g^*(x) = \hat g(x)$（最小 superharmonic majorant = 最优期望收益）。

(b) $\epsilon$-最优策略：$D_\epsilon = \{x: g(x) < \hat g(x) - \epsilon\}$，$\tau_\epsilon = \tau_{D_\epsilon}$。则 $|g^*(x) - E^x[g(X_{\tau_\epsilon})]| \le \epsilon$。

(c) 真正最优策略：继续区域 $D = \{x: g(x) < g^*(x)\}$，停时 $\sigma_N = \tau_{D_N}$，$D_N = \{x: g_N(x) < \hat g_N(x)\}$，$g_N = g \wedge N$。当 $\tau_D < \infty$ a.s. + $\{g(X_{\sigma_N})\}_{N}$ 一致可积 → $g^*(x) = \lim_N E^x[g(X_{\sigma_N})]$。

(d) 最优停时：$\tau^* = \tau_D$（首次离开 $D$ 的时间）。

核心结论：最优停时 $\tau^* = \tau_D$ = 首次离开继续区域 $D$ 的时间。这是 Snell 1952 鞅论 + Dynkin 1963 调和论的结合。
几何意义：继续区域 $D$ 是"还没停下的"区域——在 $D$ 内部，$g < g^*$（继续更好）；在 $\partial D$，$g = g^*$（停时收益 = 继续期望）。

10.6 最优停时唯一性（Thm 10.1.12）

如果存在最优 $\tau^*$，则 $\tau^* \ge \tau_D$（任何最优策略都不早于 $\tau_D$ 停），且 $\tau_D$ 本身也是最优。

意义：最优停时不必唯一——任何 $\tau^* \ge \tau_D$ 都是最优（在 $\partial D$ 上 $\tau^*$ 的具体取值不影响 $g^*$）。
典型例子：当 $D$ 内部有"无差别区域"（$g = g^*$ 的内部点）时，$\tau^*$ 在此区域可任意停留。

10.7 关键观察 $U \subset D$（Remark 10.1.12）

设 $U = \{x: Ag(x) > 0\}$。则 $U \subset D$（继续区域）。

物理意义：在 $Ag > 0$ 的区域，$g$ 的"瞬时增长率"为正 → 继续比立即停更优。
典型情况：$U \ne D$——$D$ 中存在 $Ag \le 0$ 的"非典型继续区域"（典型情形）。

10.8 例子 10.1.13（2 维 BM）

$n = 2$ BM 是递推的。任何非负超调和函数都是常数（Ex 10.2）。故 $$g^*(x) = \|g\|_\infty = \sup_y g(y).$$

应用：如果 $g$ 无界 → $g^* = \infty$，无最优停时。如果 $g$ 有界：
若 $\partial D$ 极集（容量 0）→ $\tau_D = \infty$ a.s. → 无最优停时
若 $\partial D$ 非极集 → $\tau_D < \infty$ a.s.，$\tau_D$ 是最优
意义：2 维 BM 上任何 $g^*$ 等于全局上确界——"迟早会访问到 $g$ 的最大值"。

10.9 例子 10.1.14（3 维 BM）

$n = 3$ BM 是逃逸的。$g(\xi) = |\xi|^{-1}$ for $|\xi| \ge 1$, $g(\xi) = 1$ for $|\xi| < 1$。$g$ 本身超调和（$-\Delta g = 0$ in $|\xi| > 1$）→ $g^* = g$ → 立即停为最优。

几何意义：3 维 BM 远离原点 → $g$ 衰减到 0 → 立即停收益最大。
对比 2 维：2 维 BM 反复回原点 → 期望 $g$ 在 1 处最大 → 必然访问到。

10.10 时变情形（Ch 10.2）

\[g^*(s, x) = \sup_\tau E^{(s, x)}[g(s + \tau, X_\tau)].\]

把 $s$ 加到状态 $Y_t = (s + t, X_t)$，$Y$ 是齐次扩散，$g$ 提升为 $\tilde g(t, x) = g(s + t, x)$，问题化归到 Ch 10.1。

应用：当 $g$ 显式依赖时间（如 $g(s, x) = e^{-\rho s} x$ for 折现收益）时必用。
生成元：$A = \partial_s + L_{X}$（抛物算子）。

10.11 变分不等式（Ch 10.4）

$g^*$ 满足 $$\max\{L g^* - \partial_t g^*, g^* - g\} = 0 \text{ in } D, \quad g^* = g \text{ on } \partial D.$$

解析等价（自由边界问题）：
在 $D$ 内：$L g^* - \partial_t g^* = 0$（继续 → PDE 方程）
在 $D^c$ 内：$g^* = g$（停时 → 直接等于 $g$）
在 $\partial D$（自由边界）：$g^* = g$ + 适当光滑条件（"价值匹配" + "高阶光滑"）。
数值算法：有限差分 + 投影迭代（Longstaff-Schwartz 2001 用蒙特卡洛）。

关键结论

$g^* = \hat g$（最小 superharmonic majorant = 最优期望收益）——Thm 10.1.9 的核心。
$\tau^* = \tau_D$（继续区域 $D$ 的首次离开时间）= 最优停时。任何不早于 $\tau_D$ 停的策略都是最优（Thm 10.1.12）。
继续区域 $D$ 由 PDE 不等式决定：$U = \{Ag > 0\} \subset D$。
2 维 BM 上 $g^* = \|g\|_\infty$（递推性 → 必然访问到最大值）。
3 维 BM 上 $g$ 本身超调和 → 立即停为最优（逃逸性 → 远离最大值区域）。
变分不等式是自由边界问题的 PDE 等价：$\max\{Lg - \partial_t g, g - G\} = 0$ in $D$, $g = g$ on $\partial D$。
归纳构造（Thm 10.1.7）$g_n(x) = \sup_t E^x[g_{n-1}(X_t)] \uparrow \hat g$ 是Snell 鞅的概率版——$g_n$ 是 $g$ 的"n 步最优"近似。
Ch 10 是 Ch 9 边值问题 + 自由边界的综合——Ch 9 解的是固定边界问题；Ch 10 解的是自由边界问题（continuation region 的边界是未知的，必须由"价值匹配" + "高阶光滑"条件确定）。

挑战和开放性问题

自由边界的"正则性"：变分不等式中 $\partial D$（自由边界）的光滑性只有部分结果（$C^{1,\alpha}$ 对 $\Delta u = 0$ in $D$, $u = g$ on $\partial D$ 的 $g$ 强光滑时）。真实应用中 $g$ 经常不光滑（如 $(x - K)^+$ 在 $K$ 不可微）——需要 Tanaka 公式 + local time 理论。
一致可积条件：Thm 10.1.9c 要求 $\{g(X_{\sigma_N})\}$ 一致可积。在 $g$ 无界或停时可能无穷时，验证此条件非平凡。
不连续 $g$ 的扩展：Thm 10.1.9 要求 $g$ 连续。当 $g$ 是 barrier option 的 payoff（如 $\mathbf 1_{S > K}$）时，$g$ 只能 Borel 可测——理论需推广。
多维问题的"数值计算"：高维 $X_t$ 下，$\hat g$ 的数值计算（通过归纳 $g_n$）是 $O(N^d \cdot T/\Delta t)$ 计算量——长尺度 PDE 数值方法（Penalty, BMO, Dupire）成为主流。
不规则扩散：Ch 10 主要对 $X$ 是连续 Itô 扩散。跳扩散（如 Heston 随机波动率带跳）需要不同的边界处理。
可积收益（Eq 10.1.5）：$G^*(s, x) = \sup_\tau E[\int_0^\tau f dt + g]$ 的可微性 + 变分不等式是当前研究热点。
反射边界 / 吸收边界：当 $X$ 在 $\partial U$ 上有特殊行为（反射/吸收）时，最优停时问题需要边界条件特殊处理（Kushner 1972）。
平均场最优停时（Carmona-Fouque 2014）：当 $X$ 的动力学依赖其他"agent"的最优决策时（$X_t$ 是 $\sigma$-Martingale），单 agent 最优停时理论需要扩展。

个人反思与批判性分析

本章是 Itô 理论对"决策科学"的胜利——把"何时停"这种纯直觉问题严格化为 $\tau_D$（首次离开继续区域的时间）。

Snell 鞅的本质：$M_t = g^*(X_t)$（最优价值的过程版本）是 $\mathcal F_t$-鞅——$E[M_T \mid \mathcal F_t] = M_t$。这是"无套利"在停时决策中的体现——任何能"改进"的最优策略必能"对冲"。

继续区域 $D$ 的"非平凡"性质：$D$ 通常不是 PDE 解直接决定的——它是"问题自身"决定的自由边界。这是 PDE 边值问题中"自由边界问题"的本质（Stefan 问题、障碍问题都属于此类）。

Ch 1 Problem 5 的"古典"实例：$X_t$ = 资产价格 SDE，$g(x) = e^{-\rho t} x$ → 折现收益。最优停时 $\tau^*$ 通常是"first passage time"：当 $X_t$ 达到某个阈值 $K^*$ 时停。确定 $K^*$ 是热方程 PDE 的解（Ch 10.4 末例子给出"American option" 的 $K^*$）。

2 维 vs 3 维 BM 的对比是"递推 vs 逃逸"对最优停时影响的经典例证——这反映了几何对决策的根本影响。

对应用研究的意义： - 金融工程：American option 定价 = 几何 BM + 最优停时 PDE。 - 能源工程：石油开采的最优停采 = OU 过程 + 最优停时（Ch 1 Problem 5 的应用）。 - 生物：物种灭绝的最优时间（gene drive 控制）。 - 医学：药物试验的最优停药时间（生存分析）。

与 Shreve (2004)《Stochastic Calculus for Finance II》的比较——Shreve Ch 8 给出 American option 定价的 PDE 推导（变分不等式），但缺少Snell 鞅理论的系统论述。Øksendal 的版本是最优停时理论的"严格数学版"。

与 Karatzas-Shreve (1998) Ch 4 的比较——KS 给出了一般 Markov 过程的最优停时理论（Ocone 1984 的内蕴方程），但偏重抽象。Øksendal 的 Itô 扩散版本对工程读者更友好。

对初学者的建议——本章的 Exercise 10.1（5 个具体的最优停时问题）、Exercise 10.2（2 维 BM superharmonic = 常数）、Exercise 10.3（几何 BM 最优停售）是 Ch 12 American option 定价的"前身"。亲手做完后，Ch 12 几乎不需要重读 Snell 鞅。

重要参考文献

[X1] J. L. Snell. Applications of martingale system theorems. Transactions of the American Mathematical Society 73: 293–312, 1952. — Snell 鞅（最小上鞅）的原始论文（Thm 10.1.9 引用）。

[X2] E. B. Dynkin. The optimum choice of the stopping moment for a Markov process. Theory of Probability and Its Applications 9: 612–614, 1963. — Dynkin "最小 superharmonic majorant" 理论（Thm 10.1.7 引用）。

[X3] A. N. Shiryaev. Optimal Stopping Rules. Springer, 1978. ISBN 978-0387021160. — 阈值策略理论 + 经典最优停时教科书。

[X4] E. B. Dynkin. Markov Processes, Vol. I–II. Springer, 1965. ISBN 978-3540036221. — 过度函数 + superharmonic 函数理论（Thm 10.1.6 引用, Vol II p. 5）。

[X5] J. Doob. Classical Potential Theory and its Probabilistic Counterpart. Springer, 1984. ISBN 978-0387908817. — 经典位势论与概率对偶（Remark 10.1.3-3 引用）。

[X6] S. C. Port, C. J. Stone. Brownian Motion and Classical Potential Theory. Academic Press, 1978. ISBN 978-0125618502. — 2 维 BM superharmonic = 常数的证明（Ex 10.2 引用）。

[X7] F. A. Longstaff, E. S. Schwartz. Valuing American options by simulation: A simple least-squares approach. Review of Financial Studies 14(1): 113–147, 2001. — American option 蒙特卡洛定价（Longstaff-Schwartz 算法）。

[X8] R. Carmona, F. Fouque, L.-H. Sun. Mean field games and systemic risk. Communications in Mathematical Sciences 13(4): 911–924, 2015. — 平均场最优停时（mean field 推广）。

[X9] H. J. Kushner. Probability Methods for Approximations in Stochastic Control and for Elliptic Equations. Academic Press, 1972. ISBN 978-0124316501. — 反射/吸收边界下的最优停时理论。

[X10] J. L. Doob. Classical Potential Theory and its Probabilistic Counterpart. Springer, 1984. — 经典位势论与概率论"对偶"——Ch 10 大量使用。

[X11] I. Karatzas, S. E. Shreve. Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd ed. Springer, 1991. ISBN 978-0387976556. — 经典 Markov 过程的最优停时理论（KS Ch 4）。

[X12] D. Revuz, M. Yor. Continuous Martingales and Brownian Motion, 3rd ed. Springer, 1999. ISBN 978-3540643253. — Snell 鞅 + 过度函数的标准参考（Ch 10 引用）。

第 10 章最优停时的应用（Application to Optimal Stopping）

作者

内容概述

核心方程与概念

10.1 最优停时问题（Def 10.1.1）

10.2 超均值 + 超调和函数（Def 10.1.2, 10.1.4, Lem 10.1.3）

10.3 过度函数（Def 10.1.5, Thm 10.1.6）

10.4 最小 superharmonic majorant \(\hat g\)（Thm 10.1.7, Cor 10.1.8）

10.5 最优停时存在性（Thm 10.1.9）

10.6 最优停时唯一性（Thm 10.1.12）

10.7 关键观察 \(U \subset D\)（Remark 10.1.12）

10.8 例子 10.1.13（2 维 BM）

10.9 例子 10.1.14（3 维 BM）

10.10 时变情形（Ch 10.2）

10.11 变分不等式（Ch 10.4）

关键结论

挑战和开放性问题

个人反思与批判性分析

重要参考文献

第 10 章 最优停时的应用（Application to Optimal Stopping）

作者

内容概述

核心方程与概念

10.1 最优停时问题（Def 10.1.1）

10.2 超均值 + 超调和函数（Def 10.1.2, 10.1.4, Lem 10.1.3）

10.3 过度函数（Def 10.1.5, Thm 10.1.6）

10.4 最小 superharmonic majorant \(\hat g\)（Thm 10.1.7, Cor 10.1.8）

10.5 最优停时存在性（Thm 10.1.9）

10.6 最优停时唯一性（Thm 10.1.12）

10.7 关键观察 \(U \subset D\)（Remark 10.1.12）

10.8 例子 10.1.13（2 维 BM）

10.9 例子 10.1.14（3 维 BM）

10.10 时变情形（Ch 10.2）

10.11 变分不等式（Ch 10.4）

关键结论

挑战和开放性问题

个人反思与批判性分析

重要参考文献

第 10 章最优停时的应用（Application to Optimal Stopping）