第 7 章扩散：基本性质（Diffusions: Basic Properties）

作者

Bernt Øksendal（奥斯陆大学）。本章是 SDE 理论的"动力学"章节——Ch 5 给出了"如何求解 SDE"，本章给出"SDE 解的性质"。

扩散 = SDE 的解。Itô 扩散具备三大性质：(1) Markov 性（无记忆）、(2) 强 Markov 性（停时版本的无记忆）、(3) 生成元 $A$ 是二阶 PDE 算子。这三条性质是 Ch 8-12 全部应用（Dirichlet 边值、HJB 方程、Black-Scholes）的数学基础。

Dynkin 公式（Thm 7.4.1）是 $A$ 与扩散路径的"积分版"关系——把"扩散 + 停时"与"函数 $f$ 在 $A$ 下的积分"联系起来。这是把 PDE 边值问题"随机化"为扩散路径期望的关键（Ch 9 主线）。

内容概述

本章建立 Itô 扩散的三条核心性质——Markov 性、强 Markov 性、生成元 $A$——为 Ch 8-12 提供数学基础。

本章中心任务：把"$\text{SDE} \Rightarrow$ 解路径"提升为"$\text{SDE} \Rightarrow$ 扩散过程 $\Rightarrow$ 全部 Markov 性质 + 生成元"。

主要内容： 1. Itô 扩散定义（Def 7.1.1）：$dX_t = b(X_t)\,dt + \sigma(X_t)\,dB_t$，$b, \sigma$ Lipschitz。"时间齐次"是简化条件——非齐次情形 $b(t, x), \sigma(t, x)$ 可通过增广状态 $(t, X_t)$ 化归（Ch 10-11 详述）。 2. Markov 性（Thm 7.1.2）：$E^x[f(X_{t+h}) \mid \mathcal F^{(m)}_t] = E^{X_t}[f(X_h)]$。未来仅依赖当前，不依赖过去路径。 3. 强 Markov 性（Thm 7.2.4）：把 Markov 性中的"时间 $t$"升级为"停时 $\tau$"。首次离开区域的时间 $\tau_U$ 是典型停时。 4. 停时定义（Def 7.2.1）：$\{\tau \le t\} \in \mathcal N_t$。停时是"仅依赖历史信息可决定的时间"。 5. 调和测度（Def 7.2.3 后, 7.2.9）：$\mu^x_G(F) = Q^x[X_{\tau_G} \in F]$ = "$X$ 从 $x$ 出发首次离开 $G$ 时落入 $F$ 的概率"。 6. 均值性质（Eq 7.2.9）：$\varphi(x) = \int_{\partial G} \varphi(y) d\mu^x_G(y)$——调和函数的概率定义。 7. 生成元 $A$（Def 7.3.1, Thm 7.3.3）：$Af(x) = \lim_{t\downarrow 0} (E^x[f(X_t)] - f(x))/t = \sum_i b_i \partial_i f + \tfrac12 \sum_{i,j} (\sigma\sigma^T)_{ij} \partial_{ij} f$。这是 SDE → PDE 的桥梁。 8. Dynkin 公式（Thm 7.4.1）：$E^x[f(X_\tau)] = f(x) + E^x[\int_0^\tau Af(X_s) ds]$。 9. 特征算子 $\mathcal A$（Def 7.5.1, Thm 7.5.4）：$\mathcal A f(x) = \lim_{U \downarrow x} (E^x[f(X_{\tau_U})] - f(x))/E^x[\tau_U]$。在 $C^2$ 上与 $A$ 一致。 10. BM 的"递推/逃逸"（Ex 7.4.2）：$E_a[\tau_K] = (R^2 - |a|^2)/n$（$n$ 维），$n = 2$ BM 递推，$n \ge 3$ 逃逸。 11. Doob h-变换（Ex 7.14）：对 $h > 0$ 调和函数构造 $dX = \nabla(\log h) dt + dB$，强制 $X$ 从 $D$ 在指定点 $x_0$ 离开。

在全书中位置：性质章。Ch 7 是 Ch 8（其他扩散理论）+ Ch 9（Dirichlet 边值）+ Ch 11（HJB 方程）的数学基础。生成元 $A$ 和 Dynkin 公式是 Ch 8 Feynman-Kac 公式、Ch 9 调和函数随机表示、Ch 11 HJB 方程的"种子"。

前置知识：Ch 3-6 全部。Itô 公式是 Dynkin 公式的"局部版本"——Itô 公式把 $df(X_t) = Af(X_t) dt + (\nabla f \cdot \sigma) dB$ 写出来；Dynkin 公式对其积分得到 $f(X_\tau) - f(x) = \int_0^\tau Af(X_s) ds + \int_0^\tau (\nabla f \cdot \sigma) dB$，后项是鞅（$E = 0$），前项是 $E$ 的主要部分。

核心方程与概念

本章是 Itô 扩散"动力学的四元素"——生成元 $A$、Dynkin 公式、Markov 性、强 Markov 性。下面列出最重要的 10 个对象。

7.1 Itô 扩散定义（Def 7.1.1）

\[dX_t = b(X_t)\,dt + \sigma(X_t)\,dB_t, \quad X_0 = x.\]

$b: \mathbb R^n \to \mathbb R^n$, $\sigma: \mathbb R^n \to \mathbb R^{n \times m}$ 是 Lipschitz 连续函数（比 Ch 5 简化——无显式 $t$ 依赖）。

"时间齐次" 意味着 $X_{t+h} - X_t$ 的分布仅依赖 $X_t$，不依赖 $t$ 本身（弱唯一性保证）。
非齐次情形 $b(t, x), \sigma(t, x)$ 可通过增广状态 $Y_t = (t, X_t)$ 化归，$Y$ 满足齐次 SDE $dY = (1, b)^T dt + (0, \sigma) dB$（Ch 10-11 用此）。

7.2 Markov 性质（Thm 7.1.2）—— "未来只依赖当前"

\[E^x[f(X_{t+h}) \mid \mathcal F^{(m)}_t](\omega) = E^{X_t(\omega)}[f(X_h)], \quad \forall f \text{ 有界 Borel}.\]

证明核心（7.1.9）：$X_r(\omega) = F(X_t(\omega), t, r, \omega)$ for $r \ge t$（"过去影响当前，当前决定未来"）。再用 SDE 唯一性（Thm 5.2.1）。
关键认识：这是 SDE 解的因果律——给定当前状态 $X_t$，未来 $X_{t+h}$ 的条件分布不依赖过去 $X_s$ for $s < t$。
意义：Ch 11 HJB 方程的"动态规划原理"是 Markov 性的直接推论——决策 $u_t$ 只依赖当前状态 $X_t$，不依赖历史。

7.3 强 Markov 性质（Thm 7.2.4）—— "任意停时处的 Markov 性"

\[E^x[f(X_{\tau + h}) \mid \mathcal F^{(m)}_\tau] = E^{X_\tau}[f(X_h)], \quad \tau \text{ 停时}, \tau < \infty \text{ a.s.}\]

证明关键：BM 强 Markov 性（Gihman-Skorohod 1972）保证 $\tilde B_v = B_{\tau + v} - B_\tau$ 独立于 $\mathcal F^{(m)}_\tau$ + 是 BM。
强 vs 弱 Markov：强 Markov 把 $t$ 替换为"任意停时 $\tau$"。这一升级对 Ch 9（首次出域时间 $\tau_U$）、Ch 10（最优停时 $\tau^*$）至关重要——这些"几何时间"不是常数。

7.4 停时定义（Def 7.2.1）

\[\tau: \Omega \to [0, \infty] \text{ 停时 w.r.t. } \{\mathcal N_t\} \iff \{\omega: \tau(\omega) \le t\} \in \mathcal N_t, \forall t \ge 0.\]

核心例子：$\tau_U = \inf\{t > 0: X_t \notin U\}$（首次离开开集 $U$）。判断 $\tau_U \le t$ 只需知道 $\{X_s: s \le t\}$——这正是"历史可决定"的含义。
Ch 10 应用：最优停时 $\tau^* = \inf\{t: X_t \in \text{停域}\}$ 也是停时。

7.5 调和测度（Def & 7.2.9）

\[\mu^x_G(F) := Q^x[X_{\tau_G} \in F], \quad F \subset \partial G.\]

\[\varphi(x) = E^x[f(X_{\tau_H)}] \text{ 满足均值性质 } \varphi(x) = \int_{\partial G} \varphi(y) d\mu^x_G(y).\]

几何意义：$\mu^x_G$ 是 "$X$ 从 $x$ 出发首次离开 $G$ 时落在 $\partial G$ 哪一部分" 的概率分布。
Ch 9 应用：Dirichlet 边值问题 $\mathcal A u = 0$ in $U$, $u = f$ on $\partial U$ 的解 $u(x) = \int_{\partial U} f(y) d\mu^x_U(y)$。
定理 7.2.8 之前的均值性质：$\varphi(x) = E^x[\varphi(X_{\tau_G})] = E^x[\varphi(Y)]$，$Y \sim \mu^x_G$。这是从内点 $x$ 的 $\varphi$ 值到边界值 $\varphi|_{\partial G}$ 的"调和"关系。

7.6 生成元 $A$（Def 7.3.1, Thm 7.3.3）—— SDE → PDE 桥梁

\[Af(x) = \lim_{t \downarrow 0} \frac{E^x[f(X_t)] - f(x)}{t} = \sum_{i=1}^n b_i(x) \frac{\partial f}{\partial x_i} + \frac{1}{2} \sum_{i,j=1}^n (\sigma \sigma^T)_{ij}(x) \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}.\]

物理意义：$A$ 是扩散的"无穷小生成元"——一阶项 $b$ 是"漂移"，二阶项 $\tfrac12 \sigma\sigma^T$ 是"扩散"。
例子：
BM ($b=0, \sigma=I$): $A = \tfrac12 \Delta$（Laplace 算子）
OU 过程 $dX = \mu X dt + \sigma dB$: $A f = \mu x f' + \tfrac12 \sigma^2 f''$
Bessel 过程（Ch 4 Ex 4.2.2）: $A f = \tfrac12 f'' + \tfrac{n-1}{2r} f'$
Ch 8 应用：Feynman-Kac 公式把 PDE 边值问题 $\partial_t u = Au$ 与 SDE 期望 $u(t, x) = E^x[u(T, X_T)]$ 联系起来。

7.7 Dynkin 公式（Thm 7.4.1）—— Itô 公式的"积分版"

\[\boxed{E^x[f(X_\tau)] = f(x) + E^x\!\left[\int_0^\tau Af(X_s)\,ds\right].}\]

证明核心：对 $f \in C^2_0$ 用 Itô 公式（Ch 4 Thm 4.1.2）： $$df(X_t) = Af(X_t) dt + (\nabla f \cdot \sigma)(X_t) dB_t.$$ 积分后 $E$ 消去 $dB$ 项（鞅性），剩下 $f(X_\tau) - f(x) = \int_0^\tau Af(X_s) ds + M_\tau$（$M$ 鞅），$E[M_\tau] = 0$。
特例 7.4.2：$f(x) = |x|^2$ + $X = n$ 维 BM + $\tau = \tau_K$（首次离开球 $K_R$）→ $E_a[|B_{\tau_K}|^2] = |a|^2 + n E_a[\tau_K]$。但 $|B_{\tau_K}|^2 = R^2$ a.s.，故 $E_a[\tau_K] = (R^2 - |a|^2)/n$。

7.8 特征算子 $\mathcal A$（Def 7.5.1, Thm 7.5.4）

\[\mathcal A f(x) = \lim_{U \downarrow x} \frac{E^x[f(X_{\tau_U})] - f(x)}{E^x[\tau_U]}.\]

在 $C^2$ 上 $\mathcal A = A$（Thm 7.5.4）。

意义：$\mathcal A$ 是"无需微分"的生成元——用扩散首次离开小邻域 $U$ 的期望来定义。这对 Ch 9 边值问题（特别是 $\partial U$ 不规则时）有用。
陷阱（trap）（Def 7.5.2）：$b(x) = 0, \sigma(x) = 0$ 的点 $x$ 称为 trap——$X_t$ 永远停在 $x$。此点处 $\mathcal A f(x) = 0$ 但 $A f(x) = 0$ 仍成立——Thm 7.5.4 处理。

7.9 递推 vs 逃逸（Ex 7.4.2）

对 $n$ 维 BM $B_t$，$K_R = \{x: |x| < R\}$： $$E^a[\tau_{K_R}] = \frac{R^2 - |a|^2}{n}.$$

$n = 1$：$E^a[\tau_{\{0\}}] = \infty$（1 维 BM 首次到 0 的期望时间无穷——但 $\tau_{\{0\}} < \infty$ a.s.）。
$n = 2$：$B$ 递推（recurrent）——$P^b[T_K < \infty] = 1$ for any $K$，但期望时间无穷（用 $-\log|x|$ 调和函数证明）。
$n \ge 3$：$B$ 逃逸（transient）——$P^b[T_K < \infty] = (|b|/R)^{2-n} < 1$（用 $|x|^{2-n}$ 调和函数证明）。
Ch 9 应用：$n = 2$ 时 BM 递推 → Dirichlet 问题对任何连续边界数据有解；$n \ge 3$ 时 BM 逃逸 → 需 Green 函数方法。

7.10 Doob h-变换（Ex 7.14）—— "条件扩散"

对 $D \subset \mathbb R^n$ 开，$h > 0$ 调和（$\Delta h = 0$），定义 $$dX_t = \nabla(\log h)(X_t)\,dt + dB_t, \quad X_0 = x \in D.$$

$X$ 的生成元：$A f = \Delta(hf)/(2h)$（Ex 7.14a）。当 $f = 1/h$ 时 $Af = 0$。
"条件" 解释：$X$ 是 $B$ 在"首次离开 $D$ 时落在 $\partial D$ 上 $h$ 极值点"的条件下得到的扩散（Ex 7.14b）。
Ch 9 应用：Doob h-变换构造"指定出口点"的扩散——是研究 Martin 边界、Hunt 过程的重要工具。

关键结论

Markov 性是 SDE 解的"因果律"——未来只依赖当前，不依赖过去。这把无穷维路径空间的信息需求降为"当前状态"，是 Ch 11 动态规划的根。
强 Markov 性是"任意停时处的 Markov 性"——把 Markov 性的"时间 $t$"推广到"几何时间 $\tau$"（如首次出域）。这让 Ch 9 调和函数、Ch 10 最优停时问题自然。
生成元 $A$ 是 SDE → PDE 的桥梁：$A = \sum b_i \partial_i + \tfrac12 \sum (\sigma\sigma^T)_{ij} \partial_{ij}$。Ch 8 Feynman-Kac 公式给出"$\partial_t u = Au$ 的解 $u(t, x) = E^x[u(T, X_T)]$"——这等价于 Itô 公式的"反向"运用。
Dynkin 公式是 Itô 公式的"积分版"——把"无穷小" Itô 公式积分到有限时间 $\tau$，并消去 $dB$ 项。这是从 SDE 显式路径到 SDE 期望的关键工具——Ch 9 几乎所有边值问题都用 Dynkin 公式。
调和测度 $\mu^x_G$ 是"$\partial G$ 上的概率分布"——它编码"扩散从 $x$ 出发首次离开 $G$ 时的几何"。Ch 9 Dirichlet 问题的解 $u(x) = \int_{\partial G} f(y) d\mu^x_G(y)$——边界数据 $f$ 与调和测度 $\mu$ 的积分。
递推 vs 逃逸：$n=2$ BM 递推（$\mu^x_G$ 在 $\partial G$ 上恒等于 1），$n \ge 3$ BM 逃逸（$\mu^x_G$ 不"涂满" $\partial G$）。这一几何差异是 Ch 9 Dirichlet 问题可解性的根本条件。
Doob h-变换把"指定出口点"的条件概率转化为"有 drift 的扩散"——是研究条件扩散、Hunt 过程、Dirichlet 边界行为的高级工具。

挑战和开放性问题

退化扩散的生成元：当 $\sigma(x) = 0$（或在某方向退化）时，扩散可能不"扩散"——退化为 ODE 或低维扩散。Dynkin 公式在这种情形下需要特殊处理（用 stopping time 限制到非退化区域）。Stroock-Varadhan 1979 给出退化扩散的"秩条件"。
不可微 $\partial U$ 的 Dirichlet 边值：当 $U$ 的边界 $\partial U$ 不光滑时，$\mu^x_U$ 的密度可能不存在。Ch 9.2 的"正则点"概念是关键技术——只对 $\partial U$ 的"正则点"有 $\mu^x_U$ 的密度公式。
停时 $\tau$ 的可积性条件：Dynkin 公式要求 $E[\tau] < \infty$。这在 $\tau$ 是 $\tau_U$（$U$ 有界）时自动满足；但对无界 $U$ 或 $f$ 仅在 $L^p$ 中时需要更精细论证（Fatou 引理 + 控制收敛）。
多维调和函数的"唯一性"：均值性质 $\varphi(x) = \int_{\partial G} \varphi(y) d\mu^x_G(y)$ 对每个 $G \subset \subset D$ 成立 → $\varphi$ 是调和函数（$\Delta \varphi = 0$）？反问题——调和函数 $\Rightarrow$ 均值性质——是 Ch 9 / Ex 7.7 的部分。
Doob h-变换的"边界"问题：当 $h$ 在 $D$ 内不严格正（如允许 $h(x_0) = 0$ at boundary $x_0$），变换后的扩散 $X$ 可能"被拉向 $x_0$"——Ex 7.14b 的"kernel function" 给出 $X_{\tau} = x_0$ a.s.。
特征算子 $\mathcal A$ 在 $C^2$ 之外：Thm 7.5.4 只说 $\mathcal A f = A f$ for $f \in C^2$。对 $f$ 仅 Borel 可测，$\mathcal A$ 的定义域和性质更复杂。Dynkin 1965 给出完整理论。
强 Markov 性的"$\tau < \infty$ a.s."假设：当 $\tau = \infty$ 有正概率时，Thm 7.2.4 不直接给出 $E[X_\infty \mid \mathcal F_\tau]$ 的公式。这是某些爆炸性 SDE（解在有限时间 $\to \infty$）的关键——Ch 7.5 末简述。
生成元 $A$ 的"扩散性"：当 $\sigma\sigma^T$ 是正定矩阵（"非退化"）时，$A$ 是二阶椭圆算子。退化情形（$\sigma$ 降秩）下，$A$ 是抛物型或超抛物型算子——PDE 理论有质的差异。

个人反思与批判性分析

本章是 SDE 理论的"动力学"基础——前 6 章给"工具和初步应用"，本章把这些工具组织成"系统理论"。生成元 $A$ + Dynkin 公式 + Markov 性这三件套是后续 5 章（Ch 8-12）的共同语言。

调和测度 $\mu^x_G$ 的"概率定义"之美：经典 PDE 教材中调和函数常被定义为"$\Delta u = 0$ 的解"，再用均值性质刻画。但本章给出"调和 = 概率"——$\mu^x_G$ 是 BM（更一般地，扩散）首次离开 $G$ 时在 $\partial G$ 上的分布，调和函数 $u$ 是这种"边界分布的积分"。这是 PDE 与概率的"对偶"的另一面：PDE 边值问题有概率解（Ch 9 主线）。

生成元 $A$ 的"二阶半椭圆"性质：注意 $A$ 不是任意的二阶算子——$\sigma\sigma^T$ 必须是半正定（$\ge 0$）。这意味着 $A$ 不能有"反扩散"项（$\partial_{xy}$ 在 $\sigma\sigma^T$ 中不可出现）——$A$ 必须是"抛物型"的（按 PDE 分类）。这是 Itô 扩散（无负方差）vs 反向扩散（不可实现）的根本区别。

强 Markov 性的"工程意义"：工程中常需要"首次到达某状态的时间"（如"温度达到 100°C"、"价格超过 100 元"）——这些是停时。强 Markov 性保证"在到达该状态后，未来行为由当前状态决定"——这是 Ch 10 最优停时理论的基础。

Doob h-变换的"逆向"哲学：通常我们用"扩散 + 边界"构造"边界值的期望"（正向）；Doob h-变换反着用——给定"边界值的某种条件"（"必须从 $x_0$ 离开"），构造扩散。这是"条件概率 = 新测度 + 新扩散"思想的起源——Ch 8 Girsanov 变换是更一般的情形。

与 Karatzas-Shreve (1998) 的比较——KS Ch 7 给出几乎相同的 Markov 性 + 生成元理论，但额外包括Hunt 过程（带跳的扩散）的推广。Øksendal 的版本对初学者友好——专注于连续 Itô 扩散，跳扩散推迟到 Ch 8 简述。

对初学者的建议——本章的 Exercise 7.1（5 个具体 SDE 的生成元）、Exercise 7.2（给定生成元反求 SDE）、Exercise 7.4（BM 首次到 0 的概率）、Exercise 7.9（几何 BM 触到 $R$ 的概率）都是 Ch 8-9 的"必备工具"。亲手做完后，Ch 9 调和函数几乎不需要重读调和测度的定义。

重要参考文献

[X1] E. B. Dynkin. Markov Processes, Vol. I–II. Springer, 1965. ISBN 978-3540036221. — Markov 过程理论的经典奠基（本章 generator + Dynkin 公式的原始来源）。

[X2] D. W. Stroock, S. R. S. Varadhan. Multidimensional Diffusion Processes. Springer, 1979. ISBN 978-3540902983. — 强 Markov 性 + 鞅问题（Ch 8.3 详述）的标准参考（Thm 1.3.3）。

[X3] I. I. Gihman, A. V. Skorohod. Stochastic Differential Equations. Springer, 1972. ISBN 978-3540059480. — BM 强 Markov 性的证明（Thm 7.2.4 引用）。

[X4] K. L. Chung. Lectures from Markov Processes to Brownian Motion. Springer, 1982. ISBN 978-0387906188. — 右连续性 $\mathcal M_t = \mathcal M_{t+}$ 的标准参考（Thm 2.3.4, p. 61, Ch 7.2 引用）。

[X5] M. Rao. Brownian Motion and Classical Potential Theory. Lecture Notes Series 47, Aarhus Universitet, 1977. — 停时 $\sigma$-代数 $\mathcal M_\tau$ 的几何（Thm 7.2 引用, p. 2.15）。

[X6] S. C. Port, C. J. Stone. Brownian Motion and Classical Potential Theory. Academic Press, 1978. ISBN 978-0125618502. — BM 递推/逃逸的完整分析（Ch 7.4 引用）。

[X7] K. Itô, H. P. McKean Jr. Diffusion Processes and their Sample Paths. Springer, 1965 (reprinted 1996). ISBN 978-3540606302. — 扩散理论的"原始经典"——Ch 7 是它的现代总结。

[X8] D. Revuz, M. Yor. Continuous Martingales and Brownian Motion, 3rd ed. Springer, 1999. ISBN 978-3540643253. — 调和测度、Doob h-变换、BM 强 Markov 性的标准参考。

[X9] J. Doob. Classical Potential Theory and its Probabilistic Counterpart. Springer, 1984. ISBN 978-0387908817. — Doob h-变换的原始来源（Ex 7.14 引用）。

[X10] K. Karatzas, S. E. Shreve. Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd ed. Springer, 1991. ISBN 978-0387976556. — Hunt 过程、Ray 过程、Dirichlet 形式的现代参考（KS Ch 7）。

[X11] I. Karatzas, D. Ocone. A Girsanov representation for the maximal monotone stochastic gradient. Stochastics 38(1): 1–18, 1992. — Clark-Ocone 公式对障碍期权的应用（Ex 7.15 引用）。

[X12] B. Øksendal. Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications, 5th ed. (previous edition). Springer, 1996/1998. ISBN 978-3540637207. — Clark-Ocone 公式的经典应用（Ex 7.15 引用）。

第 7 章扩散：基本性质（Diffusions: Basic Properties）

作者

内容概述

核心方程与概念

7.1 Itô 扩散定义（Def 7.1.1）

7.2 Markov 性质（Thm 7.1.2）—— "未来只依赖当前"

7.3 强 Markov 性质（Thm 7.2.4）—— "任意停时处的 Markov 性"

7.4 停时定义（Def 7.2.1）

7.5 调和测度（Def & 7.2.9）

7.6 生成元 \(A\)（Def 7.3.1, Thm 7.3.3）—— SDE → PDE 桥梁

7.7 Dynkin 公式（Thm 7.4.1）—— Itô 公式的"积分版"

7.8 特征算子 \(\mathcal A\)（Def 7.5.1, Thm 7.5.4）

7.9 递推 vs 逃逸（Ex 7.4.2）

7.10 Doob h-变换（Ex 7.14）—— "条件扩散"

关键结论

挑战和开放性问题

个人反思与批判性分析

重要参考文献

第 7 章 扩散：基本性质（Diffusions: Basic Properties）

作者

内容概述

核心方程与概念

7.1 Itô 扩散定义（Def 7.1.1）

7.2 Markov 性质（Thm 7.1.2）—— "未来只依赖当前"

7.3 强 Markov 性质（Thm 7.2.4）—— "任意停时处的 Markov 性"

7.4 停时定义（Def 7.2.1）

7.5 调和测度（Def & 7.2.9）

7.6 生成元 \(A\)（Def 7.3.1, Thm 7.3.3）—— SDE → PDE 桥梁

7.7 Dynkin 公式（Thm 7.4.1）—— Itô 公式的"积分版"

7.8 特征算子 \(\mathcal A\)（Def 7.5.1, Thm 7.5.4）

7.9 递推 vs 逃逸（Ex 7.4.2）

7.10 Doob h-变换（Ex 7.14）—— "条件扩散"

关键结论

挑战和开放性问题

个人反思与批判性分析

重要参考文献

第 7 章扩散：基本性质（Diffusions: Basic Properties）