第 4 章 Itô 公式与鞅表示定理（The Itô Formula and the Martingale Representation Theorem）

作者

Bernt Øksendal（奥斯陆大学）。本章是 Itô Kiyosi 1951 年公式 + Clark 1970 / Davis 1980 鞅表示定理的"教科书改写"，是全书最核心的一章——Itô 公式是 SDE 应用的"计算器"，鞅表示是金融工程的"基石"。

Itô 公式 (1951) 解决了一个悖论：BM 路径 a.s. 不可微，但 $\tfrac12 B_t^2$ 等"组合"却是 Itô 过程——Itô 找到了正确的"修正链式法则"。鞅表示定理 (Clark-Hawkins 1970, Ocone 1984) 解决了金融理论的核心问题：任何关于 BM 历史的 $L^2$-鞅都可由 BM 驱动生成——这等价于"市场完备"（Ch 12 主线）。

内容概述

本章是 Itô 理论的"两个主定理"：Itô 公式（微分）和鞅表示定理（积分）。前者是 Itô 链式法则，使所有 Itô 积分可显式计算；后者是说"任何 $\mathcal F^{(n)}_t$-鞅都是 Itô 积分"，是金融工程中"对冲"和"定价"的存在性定理。

本章中心任务：把 Ch 3 的"$\int B\,dB = \tfrac12 B^2 - \tfrac12 t$"提升为通用公式，并对任何 $L^2$-鞅给出 Itô 积分表示。

主要内容： 1. Itô 过程（Def 4.1.1）：$X_t = X_0 + \int_0^t u\,ds + \int_0^t v\,dB_s$，其中 $v \in \mathcal W$。$u$ 是"漂移"、$v$ 是"扩散系数"。 2. 一维 Itô 公式（Thm 4.1.2）：对 $g \in C^2$， $$d g(t, X_t) = g_t\,dt + g_x\,dX_t + \tfrac{1}{2} g_{xx} (dX_t)^2$$ 其中 $(dX_t)^2 = (u\,dt + v\,dB)^2 = v^2\,dt$（用 $dt\cdot dB = 0, dB^2 = dt$）。 3. 多维 Itô 公式（Thm 4.2.1）：$dY_k = g_{t,k}\,dt + \sum_i g_{x_i,k}\,dX_i + \tfrac12 \sum_{i,j} g_{x_i x_j,k}\,dX^i dX^j$，$dB^i dB^j = \delta_{ij} dt$。 4. Itô 公式的代数推论： - 分部积分（Thm 4.1.5）：$\int_0^t f\,dB = f(t)B_t - \int_0^t B\,df$ - 二项式展开：$d(B^2) = 2B\,dB + dt$, $d(B^3) = 3B^2\,dB + 3B\,dt$ - 指数 martingale（Ex 4.4）：$d(e^{\int\theta\,dB - \frac12\int\theta^2 dt}) = e^{\cdots} \theta\,dB$ - 二次变差（Ex 4.7）：$X_t = \int v\,dB$ 的二次变差 $= \int \|v\|^2 ds$ - Tanaka 公式（Ex 4.10）：$|B_t| = |B_0| + \int \text{sign}(B_s)\,dB_s + L_t$（local time） 5. Itô 表示定理（Thm 4.3.3）：每个 $F \in L^2(\mathcal F_T, P)$ 都可唯一写成 $F = E[F] + \int_0^T f\,dB$，$f \in \mathcal V(0, T)$。 6. 鞅表示定理（Thm 4.3.4）：每个 $\mathcal F^{(n)}_t$-鞅 $M_t \in L^2$ 唯一表示为 $M_t = E[M_0] + \int_0^t g\,dB$。

在全书中位置：方法论章。Itô 公式是 Ch 5-12 一切显式计算的基础——SDE 求解、HJB 方程推导、Girsanov 变换、Feynman-Kac 公式、Black-Scholes PDE 都依赖它。鞅表示定理是 Ch 12 金融工程的基础——Harrison-Pliska 1981 证明市场完备 + 鞅表示 $\Leftrightarrow$ 任意 contingent claim 可被自融资组合复制。

前置知识：Ch 3 全部（Itô 积分的定义 + 等距 + 鞅性）。Itô 公式的证明 (Thm 4.1.2 证明) 还需要 Taylor 展开 + $L^2$ 收敛 + 独立增量（Ch 2 性质），但这些都是"装配"，主体是 Itô 公式本身。

核心方程与概念

本章是全书公式密度最高的章节。下面列出最重要的 8 个方程与概念。

4.1 Itô 过程（Def 4.1.1）

\[X_t = X_0 + \int_0^t u(s, \omega)\,ds + \int_0^t v(s, \omega)\,dB_s,\]

简写 $dX_t = u\,dt + v\,dB_t$。其中 $v \in \mathcal W$（弱可积即可），$u$ 是 $\mathcal H_t$-适应的，且 $P[\int_0^t |u|\,ds < \infty] = 1$。

关键认识：Itô 过程是"积分对象"——$dX_t$ 不是真微分（因为 $B$ 不可微），但作为"积分微元"是合法的、确定的。
例子：$X_t = B_t^2$ 是 Itô 过程 $dX_t = 2B_t\,dB_t + dt$（取 $u=1, v=2B$）；$X_t = e^{B_t}$ 是 Itô 过程 $dX_t = \tfrac12 e^{B_t} dt + e^{B_t}\,dB_t$。

4.2 一维 Itô 公式（Thm 4.1.2）—— 全书最重要的方程

\[\boxed{d\,g(t, X_t) = \frac{\partial g}{\partial t}(t, X_t)\,dt + \frac{\partial g}{\partial x}(t, X_t)\,dX_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 g}{\partial x^2}(t, X_t) \cdot (dX_t)^2,}\]

其中 Itô 微分乘法表：

\[dt \cdot dt = dt \cdot dB_t = dB_t \cdot dt = 0, \quad dB_t \cdot dB_t = dt.\]

证明核心（4.1.9 + 4.1.13）：用 Taylor 展开 $g(t_{j+1}, X_{j+1}) - g(t_j, X_j) = g_t \Delta t + g_x \Delta X + \tfrac12 g_{xx} (\Delta X)^2 + o(...)$，注意 $(\Delta X_j)^2 = (u \Delta t_j + v \Delta B_j)^2 = v^2 (\Delta B_j)^2 + 2uv \Delta t_j \Delta B_j + u^2 (\Delta t_j)^2 \to v^2 dt$ 在 $L^2$。$(\Delta B_j)^2 \to dt$ 的 $L^2$ 收敛性是 Itô 公式的核心——Ch 2 Exercise 2.17 已经证明。
特例 Example 4.1.3：$g(x) = \tfrac12 x^2$, $X_t = B_t$：$d(\tfrac12 B^2) = B\,dB + \tfrac12 dt$。这条公式等价于"Ch 3 严格定义的 $\int B\,dB = \tfrac12 B^2 - \tfrac12 t$"。
特例 Example 4.1.4（分部积分）：$g(t, x) = tx$：$d(tB_t) = B_t\,dt + t\,dB_t$，故 $\int_0^t s\,dB_s = tB_t - \int_0^t B_s\,ds$。

4.3 多维 Itô 公式（Thm 4.2.1）

设 $X \in \mathbb R^n$，$g: [0,\infty) \times \mathbb R^n \to \mathbb R^p$ 是 $C^2$ 映射，则

\[dY_k = \frac{\partial g_k}{\partial t} dt + \sum_{i=1}^n \frac{\partial g_k}{\partial x_i} dX_i + \frac{1}{2} \sum_{i,j=1}^n \frac{\partial^2 g_k}{\partial x_i \partial x_j} dX^i dX^j,\]

其中 $dB^i dB^j = \delta_{ij} dt$, $dB^i dt = dt dB^i = 0$, $dt^2 = 0$。

多维微元乘法表：$dB^i dB^j = \delta_{ij} dt$ 是关键——这隐含 $B^i, B^j$ 对 $i \ne j$ 是独立的（因为 $dB^i dB^j$ 的协方差为 0）。
特例 Example 4.2.2（Bessel 过程）：$X = B \in \mathbb R^n$, $g(x) = |x|$（$n \ge 2$ 时 $B$ 不到原点），

\[dR = d|B| = \sum_{i=1}^n \frac{B^i}{R} dB^i + \frac{n-1}{2R} dt.\]

Bessel 过程：$R_t = |B_t|$ 满足 $\text{generator} = \tfrac12 \partial_{rr} + \tfrac{n-1}{2r} \partial_r$（Ch 7 / Ch 8.4 详述），是 $n$ 维 BM 径向部分的标准过程。
多维 Itô 公式的隐藏陷阱：$g$ 必须在 $X$ 的值域上 $C^2$。若 $g(x) = |x|$（在 0 不可微），不能直接套用——但对 $n \ge 2$ 的 BM 几乎不到原点，故实际上仍可用。对 $n = 1$ 情形，$|B_t|$ 在 0 处需用 Tanaka 公式（Ex 4.10）。

4.4 指数鞅 / 随机指数（Ex 4.4, Def 多维指数鞅）

\[\boxed{Z_t = \exp\!\left(\int_0^t \theta(s, \omega)\,dB(s) - \frac{1}{2} \int_0^t |\theta(s, \omega)|^2 ds\right), \quad dZ_t = Z_t \theta(t, \omega)\,dB(t).}\]

是鞅的条件（Novikov 4.3.10 / Kazamaki 4.3.9）：
Novikov 条件（强）：$E[\exp(\tfrac12 \int_0^T |\theta|^2 ds)] < \infty$
Kazamaki 条件（弱）：$E[\exp(\tfrac12 \int_0^t \theta\,dB)] < \infty$ 对所有 $t \le T$
意义（Ch 8 Girsanov 变换）：$Z_T$ 是 Radon-Nikodym 导数，把测度 $P$ 变成新测度 $Q = Z_T \cdot P$，在 $Q$ 下 $\tilde B_t = B_t - \int_0^t \theta\,ds$ 是 BM（Girsanov 定理，Ch 8.6）。
金融意义：在等价鞅测度下，折现股票价格是鞅——Black-Scholes 用此消除 drift。

4.5 二次变差（Quadratic Variation, Ex 4.7）

对 Itô 积分 $X_t = X_0 + \int_0^t v\,dB$（$B \in \mathbb R^n$）：

\[\langle X, X\rangle_t = \int_0^t \|v(s)\|^2 ds.\]

更一般地，连续平方可积鞅 $X_t$ 的二次变差定义为

\[\langle X, X\rangle_t = \lim_{\Delta t_j \to 0} \sum_{t_j \le t} |X_{t_{j+1}} - X_{t_j}|^2 \quad \text{(L^2 极限)}.\]

关键性质：$X_t^2 - \langle X, X\rangle_t$ 是鞅（Ex 4.7）。
特例：BM 二次变差 $\langle B, B\rangle_t = t$（Ch 2 Exercise 2.17）。
后续使用：Ch 7 扩散的 generator 定义 $\mathcal L f = \lim_{t\downarrow 0} (E^x[f(X_t)] - f(x))/t$ 与二次变差有直接联系。

4.6 Tanaka 公式（Ex 4.10, 含 local time）

\[|B_t| = |B_0| + \int_0^t \text{sign}(B_s)\,dB_s + L_t,\]

其中 local time 在 0 处为

\[L_t = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{2\epsilon} \cdot |\{s \in [0, t] : B_s \in (-\epsilon, \epsilon)\}| \quad \text{(L^2 极限)}.\]

意义：把"BM 击中 0 的次数"（1 维 BM 几乎处处无穷次回到 0）量化为一个连续递增过程 $L_t$。local time 在金融中表征"价格反复触底"的次数——barrier option pricing 必备工具。
推广：$|X_t - a|$ 对任意 $a \in \mathbb R$ 和 Itô 过程 $X$ 都成立（Tanaka-Meyer 公式）。
Bessel 过程的另一种表示：$R_t = |B_t|$ 用 Tanaka 公式（$n=1$）给出 $dR = \text{sign}(B)\,dB + dL$；多维用多维 Itô 公式（$n \ge 2$）给出 $dR = \sum B^i dB^i / R + (n-1)/(2R) dt$——两套公式在 $n = 2$ 时给出一致答案（local time 极限 $\to (n-1)/(2R) dt$ 项）。

4.7 Itô 表示定理（Thm 4.3.3）

\[\boxed{F(\omega) = E[F] + \int_0^T f(t, \omega)\,dB_t(\omega), \quad \forall F \in L^2(\mathcal F_T, P), \;\; \exists!\, f \in \mathcal V(0, T).}\]

证明思路：
特殊形式 $F = \exp(\int_0^T h\,dB - \tfrac12 \int_0^T h^2 ds)$：用 Itô 公式 $dF = F h\,dB$，故 $F = 1 + \int_0^T F h\,dB$。
这些特殊形式在 $L^2(\mathcal F_T, P)$ 中稠密（Lemma 4.3.2，特征函数论证）。
任意 $F \in L^2$ 可用上述特殊形式线性组合逼近。
Itô 等距保证极限 $\int f\,dB$ 在 $L^2$ 存在。
唯一性：用 Itô 等距 $E[(\int (f_1 - f_2)\,dB)^2] = \int E[(f_1 - f_2)^2] dt = 0$。
Malliavin 导数联系（Remark after Thm 4.3.4）：$f(t, \omega) = E[D_t F \mid \mathcal F_t]$，其中 $D_t$ 是 Malliavin 导数（Clark 1970, Ocone 1984）。

4.8 鞅表示定理（Thm 4.3.4）

\[\boxed{M_t(\omega) = E[M_0] + \int_0^t g(s, \omega)\,dB(s), \quad \forall \mathcal F^{(n)}_t\text{-鞅 } M_t \in L^2, \;\; \exists!\, g \in \mathcal V^{(n)}(0, t).}\]

n=1 证明：
对每个 $t$ 用 Thm 4.3.3 把 $M_t$ 表示为 $M_0 + \int_0^t f^{(t)}(s)\,dB$。
鞅性 $M_{t_1} = E[M_{t_2} \mid \mathcal F_{t_1}]$ 强迫 $f^{(t_1)}(s) = f^{(t_2)}(s)$ a.s. for $s \le t_1$（用 Itô 等距）。
拼接所有 $t$ 的表示得到 $g$。
意义（Ch 12 金融工程）：
完备市场（complete market）：每个 contingent claim $F \in L^2$ 可被自融资组合复制（恰好 = Itô 积分的"末端值"）。
无套利（no-arbitrage）：存在等价鞅测度 $Q$ 使折现价格是 $Q$-鞅。
无套利 + 完备 $\Leftrightarrow$ 唯一鞅测度 + 鞅表示——Black-Scholes 的数学基础。
n 维推广：$B \in \mathbb R^n$ 时任意 $\mathcal F^{(n)}_t$-鞅 = $E[M_0] + \int_0^t g\,dB$，$g \in \mathbb R^n$。多维鞅表示的 $g$ 是向量（每个 $dB^i$ 一个分量）。

关键结论

Itô 公式是"修正的链式法则"——形式上 $df(X_t) = f'(X_t)\,dX_t + \tfrac12 f''(X_t)(dX_t)^2$，与 Riemann 链式法则的差异在于 $\tfrac12 f''$ 项。这条 $\tfrac12$ 项是 Itô 公式"看起来不对、但实测正确"的根。
Itô 微分乘法表 $(dB)^2 = dt$ 是 Itô 公式的"几何本质"——表观"二阶"项 $dB^2$ 实际是 1 阶的 $dt$。这一不等价性是 SDE 与 ODE 的根本区别：ODE 中 $dt \cdot dt$ 永远可忽略；SDE 中 $dB^2 = dt$ 必须保留。
Itô 公式可以"代数化"使用——即"先把 $dX$ 表达式代入，再用乘法表化简"。这避免了显式计算 $\int g'(X) v\,dB$，把"无穷维随机分析"转化为"形式微元代数"。
Itô 公式的"适用范围"——只要 $g \in C^2$、$X$ 是 Itô 过程、$g(t, X_t)$ 在 $[0, T]$ 上一致有限，就严格成立。退化情形（$g$ 不可微、$X$ 边界爆炸）用 stopping time（Ex 4.9 的 $\tau_n = \inf\{s: |X_s| \ge n\}$）和 Tanaka 公式（Ex 4.10）处理。
指数鞅是 Itô 公式的"最重要应用"——任何 $Z = e^{M - \frac12\langle M\rangle}$（对连续鞅 $M$）都是局部鞅；Novikov/Kazamaki 条件保证它是真鞅。这条公式把 Itô 公式、Girsanov 变换（Ch 8.6）、Black-Scholes 定价（Ch 12）联系在一起。
Itô 表示定理是"鞅论的"完备性定理"——所有 $\mathcal F^{(n)}_t$-鞅都可写为 BM 驱动的 Itô 积分。这是金融工程"市场完备"的存在性定理——任何 contingent claim 都可被一个自融资组合对冲。
鞅表示的"唯一性"是关键——同一个鞅对应唯一的 $g \in \mathcal V$（Itô 等距保证）。这意味着对冲策略唯一——金融市场上"同一个期权只有一种公平价格"是数学必然。
Itô 公式 + 鞅表示 = SDE 与鞅论的桥梁：
Itô 公式把"显式 SDE 求解"工具化（$dX$ 的表达式可任意变形）。
鞅表示把"鞅论"工具化（任何鞅可写 Itô 积分）。
两者结合 → Ch 5 SDE 求解 → Ch 6 滤波 → Ch 8 Girsanov → Ch 9 Feynman-Kac → Ch 12 金融工程。

挑战和开放性问题

Itô 公式对 $C^2$ 的依赖：当 $g$ 仅有 Lipschitz / $C^1$（如 payoff $(x - K)^+$ 在 $x = K$ 不可微）时，$\tfrac12 g''$ 项需要重新定义。金融中最常见的"重置条款"（如 knock-out barrier, lookback option）payoff 都有非 $C^2$ 点。解决路径是 Tanaka-Meyer 公式 + local time 理论（Ex 4.10 启发的方向），但理论比标准 Itô 公式复杂得多。
指数鞅的 Novikov 条件太强：实际工程中，$\theta$（Girsanov 变换的"市场风险价格"）经常不满足 Novikov 条件（特别是 $L^2$ 但有界远离 0 的 $\theta$）。Kazamaki 条件 (4.3.9) 是更弱、更好用的替代——但 Ch 8.6 之前的版本都用 Novikov，Ch 12 实际定价中也多用 Novikov 简化（因为定价公式闭式在 Novikov 假设下可用 PDE 推导）。
鞅表示定理的"$\mathcal F^{(n)}_t$-鞅"条件的必要性：Ex 4.12 证明：若 $X_t$ 关于自己的滤族 $\mathcal M_t = \sigma(X_s: s \le t)$ 是鞅（不要求是 BM 生成的），则 $u$（漂移项）可以不等于 0；即"鞅表示定理对 BM 滤成立，对一般滤不成立"——这是为什么 Black-Scholes 需要"市场由 BM 驱动"假设。
Itô 表示定理的反向问题（Clark-Ocone）：Thm 4.3.3 给定 $F$，找 $f$ 使 $F = E[F] + \int f\,dB$。Clark-Ocone 公式给出 $f(t) = E[D_t F \mid \mathcal F_t]$（$D_t$ 是 Malliavin 导数）。这为"对冲权重的解析计算"提供了工具，但 Malliavin 导数的计算本身困难。
多维 Itô 公式的"维数耦合"：当 $B \in \mathbb R^n$ 且 $\sigma$ 是 $m \times n$ 矩阵时，$\sigma \sigma^T \in \mathbb R^{m \times m}$ 出现在多维 Itô 公式。这意味着各坐标间通过 $\sigma$ 耦合，不能独立分析——Ch 7 多维扩散的 generator 是 $\tfrac12 \sum_{i,j} (\sigma\sigma^T)_{ij} \partial_{x_i x_j}$，本质上是 $B$ 在 $\sigma$ 张成的"低维子空间"上的扩散。
Itô 公式的"反问题"（Kolmogorov backward equation）：给定 PDE $\partial_t u = \mathcal L u$，求 SDE $dX_t = b\,dt + \sigma\,dB$ 使 $u(t, x) = E^x[u(T, X_T)]$。这是Feynman-Kac 公式（Ch 8.2）的另一面——Itô 公式从 SDE → PDE；Feynman-Kac 从 PDE → SDE。
多维 Bessel 过程的反射壁 / 吸收壁：当 $n = 2$ 时 Bessel 过程 $R_t = |B_t|$ 在 $r = 0$ 处是反射（$L_t$ 项）；当 $n = 1$ 时 BM 反复到 0，$R_t = |B_t|$ 是反射的；高维 $n \ge 3$ 时 Bessel 过程 $R_t$ 不再到 0，$L_t = 0$。三种行为的不同反映 BM 的"递推 vs 逃逸"几何差异（Ch 7 / Ch 9）。
鞅表示对 $L^p$ 鞅的推广：Thm 4.3.4 要求 $M_t \in L^2$。对 $L^p$ 鞅（$p > 1, p \ne 2$），Itô 表示不一定成立——需要额外假设（如 Novikov 条件）。Ch 12 实际应用通常限定 $L^2$ 鞅（折现价格是平方可积），但局部鞅 + Fatou 引理可放宽到 $L^1$ 情形。

个人反思与批判性分析

Itô 公式是"必然的"——所有能用的公式都会收敛到它——这一观点来自 Wong-Zakai 1969 推广结果：任何"合理的"逼近路径（光滑、阶梯、随机逼近等）在 $L^2$ 极限下都给出 Itô 公式的同一结果。Itô 公式的"必然性"是 Itô 理论的胜利——它告诉我们：尽管 BM 不可微，$\tfrac12 g''(dB)^2$ 的修正项是唯一正确的、与逼近方式无关的修正。

但 Itô 公式的"$-\tfrac12 t$"项是"历史的偶然"还是"物理的必然"——这是哲学问题。从工程视角，$-\tfrac12 t$ 项是 BM 二次变差 $= t$ 的直接后果——而 $\langle B, B\rangle_t = t$ 来自独立增量 + $E[(\Delta B)^2] = \Delta t$，这又是中心极限定理的产物。所以Itô 公式的 $\tfrac12$ 项是"中心极限定理应用于 BM"的代数遗产——绝非工程约定的偶然。

鞅表示定理与"完备市场"等价——这是金融数学的核心定理。证明思路（Thm 4.3.3 + 4.3.4 配套）给出了一个非常美的论证：所有 $L^2(\mathcal F_T)$-可测随机变量都可被"复制"，因为 $F$ 可在 Itô 积分的"线性生成元"中展开（Lemma 4.3.2 用 Wiener chaos decomposition）。这等价于说"BM 增量的线性组合 + 二次展开"在 $L^2$ 意义下穷尽了所有关于 BM 的可测函数。

对金融工程学习者的具体建议——读完本章后，请把以下四件事闭卷写出来： 1. Itô 公式——$d f(B_t)$ 在 $f(x) = e^x, \log(1+x), \sin x$ 三种情形的结果。 2. 指数鞅——写出 $Z_t = \exp(\sigma B_t - \tfrac12 \sigma^2 t)$ 的 $dZ$。 3. 二次变差——写出 $X_t = \int_0^t B_s\,dB_s$ 的 $\langle X, X\rangle_t$。 4. 鞅表示——求 $F = B_T^2$ 对应的 $f$（即 $F = E[F] + \int_0^T f\,dB$ 中 $f$ 的显式形式）。

前两题对应 Black-Scholes 公式推导，后两题对应"对冲组合"和"市场完备性"。这四题做完后，Ch 12 几乎不需要重读。

Itô 公式 vs Stratonovich 公式的"工程现实"——本章 Itô 公式是 Stratonovich 不等价的"修正链式法则"。如果用 Stratonovich 积分表示 Itô 过程，链式法则无修正项——这让人怀疑"Itô 公式是 Itô 选择的"artifacts"。但 Itô 公式在鞅论上的优势（$\int f\,dB$ 是鞅）使它成为金融工程标准。两种选择不是数学优劣，是"应用场景"选择——Itô 用于鞅论，Stratonovich 用于流形 SDE（保留链式法则对应"协变导数"）。

与 Karatzas-Shreve (1998) 的比较——KS Ch 3 给出了 Itô 公式的更一般形式（包括"concave function" $f$ 的推广，用到 local time）；KS Ch 3.4D 给出鞅表示定理的标准形式（与本章同）。Øksendal 的版本对初学者更友好——集中在最常用情形，KS 在严格推广上更深。

重要参考文献

[X1] K. Itô. On a formula concerning stochastic differentials. Nagoya Mathematical Journal 3: 55–65, 1951. — Itô 公式首次发表（本章 Thm 4.1.2 原始来源）。

[X2] K. Itô. Stochastic differential equations in a differentiable manifold. Nagoya Mathematical Journal 1: 35–47, 1950. — 流形上的 Itô 公式（Stratonovich 选择的几何动机的起点）。

[X3] J. M. C. Clark. The representation of functionals of Brownian motion as stochastic integrals. Annals of Mathematical Statistics 41 (1970) (abstract); full version in Théorie du Potentiel et Analyse Harmonique (Springer Lecture Notes in Mathematics 390, 1974). — 鞅表示定理 / Clark-Ocone 公式的原始论文（Remark 引用）。

[X4] M. H. A. Davis. Functionals of Brownian motion and the representation of $E[\exp(\lambda \cdot B_T - \lambda^2 T/2)]$ as stochastic integrals. Stochastic Processes and their Applications 9: 199–208, 1980. — Thm 4.3.3 备选证明（不用复分析）的来源（Ex 4.17）。

[X5] D. Ocone. Malliavin's calculus and stochastic integral representations of functionals of diffusion processes. Stochastic Processes and their Applications 21: 323–334, 1984. — Malliavin 导数与鞅表示的联系（Clark-Ocone 公式严格化）。

[X6] R. L. Stratonovich. A new representation for stochastic integrals and equations. SIAM Journal on Control 4: 362–371, 1966. — Stratonovich 积分引入（与 Itô 公式的"等价"形式）。

[X7] E. Wong, M. Zakai. On the convergence of ordinary integrals to stochastic integrals. Annals of Mathematical Statistics 36: 1560–1564, 1965. — Wong-Zakai 逼近定理（Itô 公式的"必然性"基础）。

[X8] A. F. M. Novikov. On an identity for stochastic integrals. Theory of Probability and Its Applications 17: 717–720, 1972. — Novikov 条件 (4.3.10) 的原始来源。

[X9] N. Kazamaki. On a characterization of the exponential martingale. Séminaire de Probabilités de Strasbourg 7: 163–165, 1973. — Kazamaki 条件 (4.3.9) 的原始来源（比 Novikov 弱）。

[X10] J. M. Harrison, S. R. Pliska. Martingales and stochastic integrals in the theory of continuous trading. Stochastic Processes and their Applications 11: 215–260, 1981. — 鞅表示 ↔ 市场完备等价定理（Ch 12 主线）。

[X11] L. C. G. Rogers, D. Williams. Diffusions, Markov Processes and Martingales, Vol. 2: Itô Calculus. Wiley, 1987. ISBN 978-0471914867. — Tanaka 公式 / local time 的标准参考。

[X12] N. Ikeda, S. Watanabe. Stochastic Differential Equations and Diffusion Processes, 2nd ed. North-Holland / Kodansha, 1989. ISBN 978-0444883780. — 多维 Itô 公式、流形 SDE、Novikov/Kazamaki 条件严格证明（Section III.5）。