第 3 章 Itô 积分（Itô Integrals）

作者

Bernt Øksendal（奥斯陆大学）。本章是全书的"技术心脏"——Itô 积分的严格构造。

Itô Kiyosi 在 1940 年代后期（原始论文为 1942 年日文版，1951 年英文版）首次给出随机微分方程的严格积分理论。本章几乎是 Itô 原始论文的"现代教学改写"：保留了 Itô 的核心想法（\(L^2\) 等距、左侧端点选取、adapted 条件），但用 Kolmogorov 扩张 + 简单函数逼近的语言改写，让 21 世纪的研究者能跟上。

本章写作策略：先论证"white noise 不存在"（Ex 3.11 反证），再论证"必须用 BM 替代 Wt"，再严格定义 Itô 积分。中间穿插 Wong-Zakai 1969 / Stratonovich 1966 / Sussman 1978 三个不同积分的关系——是 Itô vs Stratonovich 之争的"标准介绍"。

内容概述

本章的核心任务：严格定义 \(I[f](\omega) = \int_S^T f(t, \omega)\,dB_t(\omega)\)，其中 \(B_t\) 是 1 维布朗运动，\(f\) 是一大类"非可料"被积函数——是 Ch 5 SDE \(dX_t = b\,dt + \sigma\,dB_t\) 解的存在性定理的前提。

本章主要内容： 1. 白噪声不存在（Ch 3.1 开头）：独立 + 平稳 + 零均值 + 连续路径的"white noise"过程不存在（Ex 3.11 严格证），只能把 Wt 替换为 BM 增量 \(\Delta B_t\)。 2. Itô 积分的定义（Def 3.1.6）：分三步——简单函数（用左侧端点）→ 连续函数 → 有界函数 → 任意 \(\mathcal V\) 函数，每步用 \(L^2\) 收敛。 3. Itô 等距（Cor 3.1.7）：\(E[(\int f\,dB)^2] = E[\int f^2\,dt]\)。这是 Itô 积分可计算性的根。 4. Itô 积分是鞅（Cor 3.2.6）：\(M_t = \int_0^t f\,dB\) 关于 \(\mathcal F_t\) 是鞅，且 \(\|M_T\|_2^2 = E[\int_0^T f^2\,dt]\)。 5. Itô 积分有连续版本（Thm 3.2.5）：用 Doob 不等式 + Borel-Cantelli 引理证明可选取 \(t\)-连续的等价类。 6. Example 3.1.9：\(\int_0^t B_s\,dB_s = \tfrac12 B_t^2 - \tfrac12 t\)——首次见到 Itô 公式的 "\(-\tfrac12 t\)" 修正项。 7. Doob 鞅不等式（Thm 3.2.4）：\(P[\sup_{0\le t\le T}|M_t|\ge \lambda] \le \lambda^{-p} E[|M_T|^p]\)。 8. Itô 积分的扩展（Ch 3.3）：(a) 滤族 \(\mathcal H_t \supset \mathcal F_t^{(n)}\) 时仍可定义（Def 3.3.1），(b) 弱可积条件 (iii)' 替代 (iii)（Def 3.3.2 \(\mathcal W^H\)）。 9. Itô vs Stratonovich（Ch 3.3 末）：Stratonovich 积分保持链式法则（无二阶项），Wong-Zakai 1969 证明用光滑过程逼近 Wt 时 Stratonovich 极限正确；Itô 积分更便于鞅论计算。本书主体使用 Itô。

在全书中位置：工具章。Ch 4 Itô 公式的引理、Ch 5 SDE 解的存在唯一性、Ch 6 滤波、Ch 8 Girsanov、Ch 9 Feynman-Kac 公式、Ch 12 鞅表示 + Black-Scholes 都依赖本章 Itô 积分。没有本章，后 9 章全部失效。

前置知识：Ch 2 全部（\(\sigma\)-代数、\(L^2\) 完备性、BM 的独立增量、\(\mathcal F_t\)-适应性）。特别注意 Ch 2 Exercise 2.17（BM 二次变差 \(= t\) a.s.）——这是 Itô 公式 "\(-\tfrac12 t\)" 项的根源。

核心方程与概念

本章理论密度极高，是全书"公式密度"和"定理密度"双高的章节。下面按"动机—定义—性质—修正"四个层次列出最重要的 11 个对象。

3.1 白噪声的不可能性（Ch 3.1 引言）

反证：假设存在 \(\{(W_t)\}\) 同时满足 (i) 独立、(ii) 平稳、(iii) \(E[W_t] = 0\)、(iv) 连续路径。Exercise 3.11 严格证明：连续路径 + 独立增量 \(\Rightarrow\) 增量的二阶矩 \(E[(W_t - W_s)^2] \le \text{const} \cdot |t-s|\)，但 \(E[W_t^2] = 1\) 给出方差 1，矛盾。

• 退路：把 Wt 替换为 \(\Delta B_t\)（BM 增量）——这是"工程上能用的最好近似"。
• Wong-Zakai 1969 进一步证明：用光滑过程 \(B_t^{(n)} \to B_t\) 一致逼近 BM，ODE \(dX_t^{(n)} = b\,dt + \sigma\,dB_t^{(n)}\) 的解收敛到 Stratonovich SDE（不是 Itô SDE）。

3.2 Itô 积分的动机：从离散到连续

\[X_k = X_0 + \sum_{j=0}^{k-1} b(t_j, X_j)\Delta t_j + \sum_{j=0}^{k-1} \sigma(t_j, X_j) \Delta B_j.\]

• 关键：用左侧端点 \(t_j^*\) = \(t_j\) 而非 \(t_j^* = t_{j+1}\) 或 \((t_j+t_{j+1})/2\)——这避免了 Example 3.1.1 中的"非唯一极限"问题。

3.3 \(\mathcal F_t\)-适应性与 \(\mathcal V(S, T)\)（Def 3.1.4）

\[\mathcal V(S, T) = \{f: [0,\infty)\times\Omega \to \mathbb R \mid (i) \text{ 联合可测}, (ii) f(t,\cdot) \text{ 是 } \mathcal F_t\text{-可测}, (iii) E[\int_S^T f^2 dt] < \infty\}.\]

• (ii) 适应性的物理意义：\(f(t, \omega)\) 在 \(t\) 时刻的取值只依赖 \(B_s(\omega)\) for \(s \le t\)——不"看到未来"。This is the "no look-ahead" condition。
• 对照：\(h_1(t, \omega) = B_{t/2}(\omega)\) 是 \(\mathcal F_t\)-可测的（"过去值"），但 \(h_2(t, \omega) = B_{2t}(\omega)\) 不是（"未来值"）。

3.4 Itô 等距（Lemma 3.1.5 + Cor 3.1.7）

对简单过程 \(\varphi(t, \omega) = \sum_j e_j(\omega) \mathbf 1_{[t_j, t_{j+1})}(t)\)：

\[E\!\left[\left(\int_S^T \varphi\,dB\right)^2\right] = E\!\left[\int_S^T \varphi^2\,dt\right].\]

对一般 \(f \in \mathcal V(S, T)\)（极限保持）：

\[\boxed{E\!\left[\left(\int_S^T f\,dB\right)^2\right] = E\!\left[\int_S^T f^2\,dt\right].} \tag{Itô isometry}\]

• 关键步骤（Lemma 3.1.5 证明）：\(E[e_i e_j \Delta B_i \Delta B_j] = E[e_i^2] \Delta t_i\) if \(i=j\) else 0（用独立增量）。注意 \(E[\Delta B_i^2] = \Delta t_i\)，不是 0——这是 Itô 等距比"普通"等距"多出 \(\Delta t\)"的根源。
• 意义：Itô 积分定义是 \(\mathcal V \to L^2\) 的等距线性映射。\(L^2\) 完备性保证极限存在；等距性保证极限与逼近序列选取无关。

3.5 Itô 积分的严格定义（Def 3.1.6）

\[I[f](\omega) := \int_S^T f(t, \omega)\,dB_t(\omega) := \lim_{n \to \infty} \int_S^T \varphi_n(t, \omega)\,dB_t(\omega) \quad (\text{limit in } L^2(P)),\]

其中 \(\{\varphi_n\}\) 是满足 \(E[\int_S^T (f - \varphi_n)^2 dt] \to 0\) 的简单过程序列。

逼近三步走： 1. Step 1：连续 \(g\) 用左侧端点分段 \(\to g\)（用有界收敛）。 2. Step 2：有界 \(h\) 用卷积 \(\psi_n * h\) 光滑化（用近似单位元的卷积构造）。 3. Step 3：一般 \(f\) 用截断 \(f \wedge n\)（用控制收敛）。

3.6 Itô 积分的基本性质（Thm 3.2.1）

对 \(f, g \in \mathcal V(0, T), 0 \le S < U < T, c\) 常数：

\[(i) \int_S^T f\,dB = \int_S^U f\,dB + \int_U^T f\,dB \quad \text{a.s.}\]

\[(ii) \int_S^T (cf + g)\,dB = c\int_S^T f\,dB + \int_S^T g\,dB \quad \text{a.s.}\]

\[(iii) E\!\left[\int_S^T f\,dB\right] = 0.\]

\[(iv) \int_S^T f\,dB \text{ 是 } \mathcal F_T\text{-可测的}.\]

3.7 Itô 积分是鞅（Cor 3.2.6）

\[M_t(\omega) := \int_0^t f(s, \omega)\,dB_s \text{ 是 } \mathcal F_t\text{-鞅}.\]

\[P\!\left[\sup_{0\le t\le T} |M_t| \ge \lambda\right] \le \frac{1}{\lambda^2} E\!\left[\int_0^T f^2\,ds\right].\]

• 证明思路：\(\int f\,dB\) 关于 \(\mathcal F_t\) 鞅 = 等距性 (3.1.14) + \(\int_s^t f\,dB\) 独立于 \(\mathcal F_s\)（\(f\) 适应）。
• 关键不等式是 Doob 鞅不等式 (Thm 3.2.4)：对 \(p \ge 1, \lambda > 0\)，\(P[\sup_{0\le t\le T}|M_t|\ge\lambda] \le \lambda^{-p} E[|M_T|^p]\)。

3.8 Itô 积分有连续版本（Thm 3.2.5）

\[\exists J_t(\omega) \text{ t-连续使 } P\!\left[J_t = \int_0^t f\,dB\right] = 1, \quad \forall t.\]

• 证明关键步骤：用 Doob 不等式证 \(\sup_{0\le t\le T}|I_n(t) - I_m(t)|\) 的尾部概率 \(\le 2^{-k}\)，用 Borel-Cantelli 抽子序列使其一致收敛。这是把 \(L^2\) 收敛提升到几乎处处一致收敛的标准技巧。

3.9 第一个 Itô 积分计算（Example 3.1.9）— 直观但有意外

\[\boxed{\int_0^t B_s\,dB_s = \frac{1}{2} B_t^2 - \frac{1}{2} t \quad \text{a.s.}}\]

• 对照经典微积分：若 \(B_t\) 连续可微，\(\int_0^t B_s B_s' ds = \tfrac12 B_t^2\)（无修正）。
• 多出的 "\(-\tfrac12 t\)" 项 = BM 二次变差 \(\langle B\rangle_t = t\) 的积分形式。这是 Itô vs Riemann 的根本区别。
• 物理直观：BM 路径虽然连续但几乎处处不可微（Ch 3.1 中提到），所以"\(\int f\,df\)"在 Riemann 意义下没有意义；Itô 积分用 \(L^2\) 等距定义，"\(\int B\,dB = \tfrac12 B^2 - \tfrac12 t\)" 是 Itô 公式的特例。

3.10 Itô 积分的扩展类（Ch 3.3）

(a) 更大滤族 \(\mathcal H_t \supset \mathcal F_t^{(n)}\)（Def 3.3.1, \(\mathcal V^H_{m\times n}(S, T)\)）：

滤族条件放宽为 (ii)'：\(\exists\) 增 \(\sigma\)-代数族 \(\mathcal H_t\) 使 (a) \(B_t\) 关于 \(\mathcal H_t\) 是鞅, (b) \(f_t\) 是 \(\mathcal H_t\)-适应。

• 关键应用：积分 \(\int f(s)\,dB^k(s)\) 其中 \(f\) 适应于 \(\mathcal F^{(n)}_t\)（关于全部 \(n\) 维 BM 的滤族），不仅 \(\mathcal F^{(k)}_t\)。这定义了多维 Itô 积分 \(\int v\,dB\)。

(b) 弱可积条件 (iii)'（Def 3.3.2, \(\mathcal W^H(S, T)\)）：

把 (iii) \(E[\int f^2 dt] < \infty\) 弱化为 (iii)' \(P[\int f^2 dt < \infty] = 1\)（"几乎处处有限"）。

• 关键应用：被积函数可能在某些 \(\omega\) 上积分 \(\int f^2 dt = \infty\)（如随机爆炸时间前），但概率为 0，仍可定义 Itô 积分。
• 代价：\(\int f\,dB\) 不再是鞅，只是局部鞅（Ch 7.12, Karatzas-Shreve 1991, p. 146）。

3.11 Itô vs Stratonovich 积分（Ch 3.3 末）

	Itô	Stratonovich
端点选取	\(t_j^* = t_j\) (左)	\(t_j^* = (t_j + t_{j+1})/2\) (中)
链式法则	\(df(B_t) = f'(B_t)\,dB_t + \tfrac12 f''(B_t)\,dt\)	\(df(B_t) = f'(B_t) \circ dB_t\) (无 \(\tfrac12\) 项)
鞅性质	\(\int f\,dB\) 是鞅	\(\int f \circ dB\) 不是鞅
工程逼近	用 ODE 离散化的 ODE 极限不对	Wong-Zakai 1969：ODE 离散化收敛到 Stratonovich SDE
应用	金融工程 (Black-Scholes)、滤波	流形上的 SDE (Elworthy 1982, Ikeda-Watanabe 1989)

Stratonovich 修正公式（3.3.6）：\(X_t = X_0 + \int_0^t b\,ds + \int_0^t \sigma \circ dB_s\) 等价于 Itô SDE

\[X_t = X_0 + \int_0^t \left(b + \frac{1}{2} \sigma'(s, X_s) \sigma(s, X_s)\right) ds + \int_0^t \sigma(s, X_s)\,dB_s.\]

• 关键：若 \(\sigma\) 不依赖 \(X\)（线性），Itô = Stratonovich。Ch 6 滤波问题（线性）即用此。
• 关键（Ch 5.1.1）：\(\int_0^t \alpha B_s\,dB_s\) 两种积分差 \(\tfrac12 \alpha^2 t\)——故同样的 SDE 形式，Itô 和 Stratonovich 解不同。

关键结论

1. Itô 积分的"非 Riemann 性"是必然的：BM 路径 a.s. 不可微且无界变差，故 \(\int f\,dB\) 不能用 Riemann-Stieltjes 积分定义。Itô 积分的严格定义依赖 \(L^2\) 等距，这是与经典分析的根本分水岭。
2. Itô 等距 (3.1.14) 是整个 Itô 理论的代数核心：\(E[(\int f\,dB)^2] = E[\int f^2 dt]\) 既是定义（用以证明极限存在）、也是工具（用以证鞅性、连续性、各种估计）。
3. 适应性的"非看到未来"是物理可实现性的数学表达：\(f(t, \omega)\) 只依赖 \(B_s(\omega)\) for \(s \le t\)，意味着我们用过去的观测计算当前的决策——这正是工程上"因果系统"的形式化。Stratonovich 积分因为用中点 \(t^* = (t_j + t_{j+1})/2\) 包含 \(B_{t_{j+1}}\) 信息，物理上需要"预知" \(B_{t_{j+1}}\)，实现困难。
4. Itô 积分是鞅（Cor 3.2.6）——这是 Black-Scholes 定价的根：等价鞅测度下，折现股票价格是鞅（Ch 12 主线）；也是 Kalman-Bucy 滤波的根：观测过程的某个函数是鞅（Ch 6）。
5. Itô 积分的连续版本（Thm 3.2.5）——证明用 Doob 不等式 + Borel-Cantelli，是把 \(L^2\) 收敛提升到"路径连续性"的标准技巧。后续所有 Itô 过程 \(X_t = X_0 + \int b\,ds + \int \sigma\,dB\) 都自动有 \(t\)-连续版本，无需额外假设。
6. Example 3.1.9 的 "\(-\tfrac12 t\)" 修正项是后续 Itô 公式的最简单情形：Ch 4 将看到对任意 \(f \in C^2\)，\(df(B_t) = f'(B_t)\,dB_t + \tfrac12 f''(B_t)\,dt\)。这一项的"物理意义"是 BM 路径粗糙性（\(\gamma = 1/2\)-Hölder）的代数反映。
7. Itô 积分可以扩展到多维、弱可积、强鞅条件——这为 Ch 5 SDE 的存在唯一性（用 Picard 迭代在 \(\mathcal V\) 中）、Ch 6 滤波（在 \(\mathcal F^{(n)}_t\) 中多维积分）、Ch 7 扩散（在 \(\mathcal W^H\) 中处理边界爆炸）做好准备。
8. Itô vs Stratonovich 的选择不是数学问题，是建模问题：若物理系统的随机扰动真的"白噪声"（无记忆 + 平稳 + 零均值），工程逼近的 ODE 极限 → Stratonovich；若扰动是"已实现的市场价格波动"（如股票价格的对数增量），则市场无套利假设 → Itô。本书 Ch 5+ 主体使用 Itô，Ch 12 特别讨论了"为何金融选 Itô"。

挑战和开放性问题

1. 白噪声不存在但工程上需要——这是 20 世纪随机分析的核心张力。Hida (1980) 的"white noise as a generalized random variable"（\(= \mathcal S'(\mathbb R)\) 上的概率测度）解决了数学存在性，但工程上不便使用。Øksendal 本章选择"回避白噪声、用 BM 替代"的实用路线——但对某些物理模型（如 Heisenberg 方程的随机扰动）这种回避可能丢失重要信息。
2. Itô 等距的局部化困难：当 \(f \in \mathcal W\) 而非 \(\mathcal V\) 时（弱可积条件），\(\int f\,dB\) 仍是局部鞅但可能不是真鞅。经典反例是 Dudley 定理（Ch 12.1.5）：存在 \(f\) 使 \(\int f\,dB\) 是严格局部鞅而非鞅。这意味着用 \(\int f\,dB\) 做"折现"（如 Black-Scholes 的等价鞅测度）时，必须验证它真的是鞅——这一非平凡验证在 Ch 12 是技术难点。
3. Itô 积分的"非路径唯一性"：在 \(L^2\) 极限下定义的 Itô 积分，路径的选取有多自由度（任意改测度零集）。Thm 3.2.5 给出 \(t\)-连续版本，但"什么样的版本对实际工程有用"取决于应用场景——Ch 12 数值算法（Euler-Maruyama）只能处理可数稠密点上的版本，连续版本的精确选择影响收敛阶。
4. Wong-Zakai 逼近的"反例"：Wong-Zakai 1969 证明光滑逼近 → Stratonovich，但当 \(\sigma\) 不满足 \(C^2\) 条件或 \(b, \sigma\) 有不连续点时，逼近极限可能既不是 Itô 也不是 Stratonovich——给出第三种 SDE 类型。这是 1980 年代后期被部分解决的开放问题（Ikeda-Watanabe 1989 的流形 SDE 给出系统分类）。
5. Itô 公式对非 \(C^2\) 函数的推广：Ch 4 Itô 公式假设 \(f \in C^2\)。当 \(f\) 仅有 \(C^1\) 或 Lipschitz 时，公式 \(\tfrac12 f'' \sigma^2\) 项需要重新定义——Föllmer 1981 / Föllmer-Protter-Shiryayev 2003 给出"协变导数"框架，理论更复杂。本书不深入，但这是金融应用中常见的"重置条款"（如障碍期权 payoff）所必需的工具。
6. 多维 Itô 积分的"维数灾难"：当 \(dX_t = b\,dt + \sigma\,dB_t\) 中 \(\sigma \in \mathbb R^{m\times n}\)，\(B_t \in \mathbb R^n\) 时，\(\sigma\sigma^T \in \mathbb R^{m\times m}\) 出现在 Ch 4 多维 Itô 公式。当 \(n \gg 1\)（高维噪声），\(B_t\) 的独立坐标数增长迅速，工程上无法独立模拟所有维——Langevin 动力学、随机梯度 Langevin 动力学（Welling-Teh 2011）等都依赖降维。
7. \(\mathcal W^H\) 类的"几乎处处可积"条件的可验证性：实际中验证 \(P[\int f^2 dt < \infty] = 1\) 困难。Ch 7 给出的扩散过程 \(X_t\) 可能在 \(T < \infty\) 时爆炸到 \(\infty\)（如 \(dX = X^2\,dt + X\,dB\)），在爆炸前 \(f(X) = X\) 满足 (iii) 但整体在 \([0, T]\) 上不满足 (iii)。Ch 7 的处理方法是限制到爆炸时间 \(\tau \wedge T\)，引入局部鞅概念。

个人反思与批判性分析

Itô 积分的选择——"为什么是左侧端点"的物理 / 哲学——左侧端点 \(t_j^* = t_j\) 意味着我们在 \((t_j, t_{j+1})\) 时段内用段开始时的值估算 \(\sigma(t_j, X_j)\)。这看似"用过去估算现在"，但物理上对应"控制作用只能用历史信息"这一因果律。Stratonovich 的中点选取数学上漂亮（保留链式法则），但工程上要求"控制系统能看到未来 \(B_{t_{j+1}}\)"，实现困难。Wong-Zakai 的"光滑逼近"看似给出了物理动机——但仔细看，那只是在"先离散再连续"的特殊路径下成立；当真实的物理系统本身就是离散的（金融 tick data 间隔不等），Itô 选择仍然是更自然的。

Example 3.1.9 的 "\(-\tfrac12 t\)" 项是 Itô 微积分最反直觉的结果——所有 Itô 初学者看到这个公式都会问"为什么"。答案是 BM 的二次变差 \(\langle B\rangle_t = t\)。但更深层的问题是：为什么 \(\langle B\rangle_t\) 是 \(t\) 而不是 0？在经典 \(L^2\) 理论下，二次变差 \(= \lim \sum (B_{t_{j+1}} - B_j)^2 = \lim \sum \Delta B_j^2\)。由 \(E[\Delta B_j^2] = \Delta t_j\)，加上独立增量 → \(L^2\) 收敛 → \(\lim \sum \Delta B_j^2 = t\)。这正是 Ch 2 Exercise 2.17 的内容——若没做那一题，Ch 3 的所有 Itô 公式都将是"魔法的黑箱"。

Itô vs Stratonovich 之争的工程现实——在金融工程中，几乎所有"标准"文献（Black-Scholes, Heston, SABR）都用 Itô——因为折现股票价格在等价鞅测度下是鞅，必须用 Itô 积分。但在物理学（统计力学、量子场论）、生物学（种群动力学）几乎所有"标准"文献都用 Stratonovich——因为 Fokker-Planck 方程（FPE）和 Kolmogorov 后退方程都对应 Stratonovich 极限（Wong-Zakai）。两种选择没有绝对对错，是"工程约定"。本书 Ch 5 / Ch 7-9 强调 Itô 但 Ch 8.6 提到 Girsanov 变换后等价于 Stratonovich 的概率测度变换——这是统一两种观点的关键。

Itô 等距与量子力学的类比——Itô 等距 \(E[(\int f\,dB)^2] = E[\int f^2 dt]\) 让人想起量子力学中的 Itô 形式 \(E[(\int_0^t f\,dW)^2] = \int_0^t E[f^2]\,ds\)——\(L^2\) 等距和"内积"概念。K. Itô 自己在 1950 年代后期研究了与 Segal、Bargmann 等人的代数联系。1970 年代 Hudson-Parthasarathy 把 Itô 积分推广到量子布朗运动（在 Fock 空间上），成为量子随机微分方程（QSDE）的基石。这是 21 世纪量子计算、量子控制理论的基础工具，本书完全不涉及但属于"自然延伸"。

对初学者的建议——本章的 Exercise 3.5（证 \(B_t^2 - t\) 是鞅）、Exercise 3.6（证 \(B_t^3 - 3tB_t\) 是鞅）、Exercise 3.18（证 \(e^{\sigma B_t - \sigma^2 t/2}\) 是鞅）是 Ch 4 Itô 公式的"手摇版本"——亲自做完三题后，Ch 4 的 \(df(B_t) = f'\,dB + \tfrac12 f''\,dt\) 公式就是显然的。这三题 + Example 3.1.9 = "Itô 公式的四种特例"——掌握这四种，Ch 4 只需 5 分钟读完。

重要参考文献

[X1] K. Itô. Stochastic integral. Proceedings of the Imperial Academy of Tokyo 20: 519–524, 1944. — Itô 积分的首次严格定义（用 \(L^2\) 等距，本章核心思想来源）。

[X2] K. Itô. On a formula concerning stochastic differentials. Nagoya Mathematical Journal 3: 55–65, 1951. — 多维 Itô 公式 + 迭代 Itô 积分（Exercise 3.7 的 Hermite 多项式结果来源）。

[X3] R. L. Stratonovich. A new representation for stochastic integrals and equations. SIAM Journal on Control 4: 362–371, 1966. — Stratonovich 积分首次系统引入 + 与 Itô 积分的修正公式 (3.3.6)。

[X4] E. Wong, M. Zakai. On the relation between ordinary and stochastic differential equations. International Journal of Engineering Science 3: 213–229, 1965; Annals of Mathematical Statistics 36: 1560–1564, 1965. — Wong-Zakai 逼近定理：光滑过程逼近 BM 时 ODE 极限 → Stratonovich SDE。

[X5] H. J. Sussmann. On the gap between deterministic and stochastic ordinary differential equations. Annals of Probability 6: 19–41, 1978. — 推广 Wong-Zakai 到非 \(C^2\) 系数情形，证明极限可能既不是 Itô 也不是 Stratonovich。

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[X7] G. Kallianpur. Stochastic Filtering Theory. Springer, 1980. ISBN 978-0387904450. — White noise 不可测性的严格证明（p. 10）。

[X8] D. W. Stroock, S. R. S. Varadhan. Multidimensional Diffusion Processes. Springer, 1979. ISBN 978-3540902983. — Doob 鞅不等式的标准参考（Thm 1.2.3）。

[X9] D. Revuz, M. Yor. Continuous Martingales and Brownian Motion, 3rd ed. Springer, 1999. ISBN 978-3540643253. — Itô 积分鞅性质的完整理论（Thm II.1.7 Doob 不等式）。

[X10] I. Karatzas, S. E. Shreve. Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd ed. Springer, 1991. ISBN 978-0387976556. — 本章 Step 2 卷积光滑化的细节（p. 133）；\(\mathcal W^H\) 类的局部鞅性质（p. 146）。

[X11] K. Itô. Lectures on Stochastic Processes. Tata Institute of Fundamental Research, Bombay, 1961. — 经典印度 Tata 讲义，Itô 积分的另一种严格化路径（不同于本章的"先简单过程后 \(L^2\) 闭包"）。

[X12] L. Breiman. Probability. Addison-Wesley, 1968. ISBN 978-0894540194. — BM 路径 a.s. 不可微的经典证明（Ch 3.1 引言中引用）。