第 10 章：传染病动力学（Dynamics of Infectious Diseases）
10.1 流行病学历史杂谈（Historical Aside on Epidemics）
本章以一段历史回顾开篇，从多个角度梳理人类对流行病的认知与误解。作者首先提到 1990 年代后期印度尼西亚森林火灾所产生的烟雾与烟尘被指为登革热大爆发的诱因——登革热由埃及伊蚊传播，这种蚊子实际上是一种"人为蚊子"：它在城市贫民窟的塑料、橡胶与金属容器积水中繁殖。接着列举对流行病病因的各种解释：艾滋病这种 20 年间（1980s 之后）最主导的流行病与 1918 年流感大流行一样曾被许多人解读为"上帝降罚"；希波克拉底（约公元前 459–377 年）在《空气、水与场所》论文中已经认识到个人气质、习惯与环境是重要因素；Alexander Howe（1865）则在他的《疫病法则》中以 31 条命题阐述当时流行的"占星式"解释，其第二条堪称典型："相邻两次周期性疫病爆发的时间间隔与月球交点的一次公转周期及月球拱线双倍公转周期相对应"。
作者随后给出具体的历史插曲：1793 年费城黄热病大流行造成约 5000 人死亡（5 万人中），同时约 2 万人逃离城市；Foster et al.（1998）《科学美国人》文章和 Powell（1993）的专著均记述了这一事件。疫情的应对充满"荒诞与理性的混合"：当时领先的医生主张放血疗法为正确治疗，其他人则推荐清洁、休息、金鸡纳树皮与葡萄酒。McNeill（1989）的奠基性著作讲述了疾病与人类关系的故事；Oldstone（1998）从医学成就角度、Watts（1998）从社会经济角度叙述疫病。作者特别提醒，Watts 持强烈反欧洲立场，把多数世界传染病问题归咎于欧洲殖民者，但撇开其较极端的断言（如把 17~19 世纪梅毒归因于基督教反对手淫），他对历史数据的考证揭示了西方殖民统治如何以令人发指的方式传播疾病。1918–1919 流感大流行是单位时间死亡人数最多的疫情（截至 1998 年估计多达 1 亿人死亡，1998 年一次会议得出的数字可能更多）；当时适值第一次世界大战末，部分人甚至怀疑是细菌战。若今日美国遭遇类似毒力的流感，按比例将导致约 150 万人死亡，疫苗与现有医疗可降低此数。距上次流感流行已约 20 年，许多流行病学家认为下次流行已经逾期。作者还指出 15 世纪末至 16 世纪上半叶英格兰"汗热症"症状——高烧、肺部积液、"晨起看似康健当晚或次日即死"——与 1993 年美国西南部汉坦病毒症状非常相似，提示一些新病很可能是旧病重现（历史记载 Henry VIII 之所以继位即因其兄长死于汗热症）。
作者总结道，1950 年后公共卫生策略聚焦于消除致病微生物；新抗生素的出现改变了疾病控制的整个思路。1978 年联合国签署"2000 年人人健康"协定，目标是 2000 年前根除疾病——彼时艾滋病尚未被识别（或曰尚未被"承认"），天花的最后一个已知病例刚于前一年治愈。这种乐观很快被打破：能耐受漂白剂、在肥皂上生长、对数倍剂量青霉素都不敏感的微生物开始出现（Garrett 1996）。纽约市 1992 年出现的 W 型结核分枝杆菌对所有可用药物均耐药，杀伤过半感染者，已耗费超过 10 亿美元；仅 20 年前人们还预测结核将于 2000 年前被消灭。现代交通使每天逾百万人跨境，新发流行病威胁极现实；人口爆炸（尤其在欠发达国家）与微生物抗药性在 1980 年代 HIV 传播中起到关键作用——WHO 估计彼时全球超过 3000 万人感染 HIV。全球与各国疾病统计可从 WHO（www.who.org）与 CDC（www.cdc.gov）网站获取。
疾病（含心脏病与癌症）造成的死亡比战争与饥荒还多数个数量级；新病涌现与旧病复发要求更多学科交叉合作，建模能扮演日益重要的角色。作者列举四类主要致病微生物：病毒、细菌、寄生虫与真菌。本章描述若干疾病的群体动力学模型，第 II 卷第 13 章将讨论时空传播；这些模型多用于病毒、细菌与寄生虫感染，真菌感染建模较少。随后作者将用模型来"控制或理想情况下根除"所讨论的疾病；实用性取决于模型中所纳入的真实机制——并非"塞入所有可能效应"，而是以最简方式纳入主要成分。本节提到一个典型案例：Capasso 与 Paveri-Fontana（1979）模型对 1973 年意大利巴里港霍乱疫情的逐假设分析。最初猜想（病人洗澡、近海自来水）均被证伪；接着怀疑是贻贝携带霍乱菌——但贻贝几小时后会杀死细菌——也排除；最终发现是摊贩用受污染海水喷洒在贝壳上"润色保鲜"，细菌经此"新鲜"海水传给贝壳再感染人类。疫苗接种策略也可通过建模评估，Anderson & May（1982, 1985, 1991）与 Herbert et al.（1994）研究了牛结核；Schuette & Hethcote（1999）则讨论水痘与带状疱疹的疫苗协议，警示广泛接种的某些危险。
最后，作者给出了本章与具体疾病案例的对应：Bernoulli（1760）可能是最早用数学模型评估疫苗接种实际价值的论文（针对天花与牛痘，文中含当时儿童死亡率数据）；Thucydides 在描述雅典瘟疫时已提到免疫；中国古代已通过吸入天花结痂粉末使儿童获得免疫。Kermack 与 McKendrick（1927, 1932, 1933）的系列论文仍是现代流行病学模型的奠基性文献；Hethcote（1994）综述了三种基本流行病学模型；Diekmann 与 Heesterbeek（2000）是该领域优秀入门；最新全球与各国信息可从 WHO 与 CDC 网站获取。本章中作者讨论若干差异较大的疾病模型，覆盖一般流行病学建模、传染病时间演化、获得性免疫、疫苗策略等议题；并将详细讨论 HIV 感染模型与患者数据的关系，以及一个细菌感染和一个寄生虫感染模型。HIV 病毒学背景、统计与历史参见 10.5 节；建模本身在两种不同水平上展开：一是基本的人群流行病模型，二是病毒-细胞水平的药物动力学模型。基础人口动力学概念与前面章节相同，方程形式不同但基本元素与分析方法高度相似。
10.2 简单流行病模型与实际应用（Simple Epidemic Models and Practical Applications）
本节构建经典 SIR 模型并应用于多个真实疫情。常量总人口假设下，将人群分为三类：易感者 S、感染者 I、移除者 R（康复、免疫或隔离）；流程图为 S→I→R。模型对感染传播与潜伏期作出关键假设：（i）感染者的增加速率与 S 和 I 的乘积成正比，比例系数 r>0；（ii）感染者向移除类的移除速率为 aI，1/a 是平均感染期；（iii）潜伏期短到可忽略，一经感染立即具有传染性。人群均匀混合假设下，Kermack–McKendrick（1927）模型为
三个方程相加给出 S+I+R=N（常量）；初始条件 S(0)=S₀, I(0)=I₀, R(0)=0。阈值条件为 S₀>ρ=a/r：若初值大于阈值则 I'(0)>0，疫情发生；否则 I 单调下降，感染消亡。ρ 称为相对移除率，其倒数 σ=r/a 为接触率。引入基本再生数 R₀=rS₀/a，物理意义为一个原发感染者在完全易感人群中产生的继发感染数；R₀>1 即发生疫情。Diekmann et al.（1990）展示了在异质性人群中基本再生数的推导可能相当复杂。
R₀ 是疫情评估与疫苗策略的核心参数。文中引用美国数据：1941 年麻疹报告病例 894134 例降至 1997 年 135 例；1952 年脊髓灰质炎 21269 例至 1979 年最后一例本土野生型病例（西半球 1994 年获认证无脊髓灰质炎）；其他儿童疾病亦显著减少。大规模疫苗接种是最便宜、最有效的疾病控制手段。但作者也提醒：尽管疫苗通常极其安全，没有任何药物是零风险的——曾有白喉与破伤风疫苗致即时死亡的案例，炭疽疫苗在军队中存在争议。当西方人逐渐忘记脊髓灰质炎、麻疹、白喉、风疹等病的肆虐时，对疫苗风险的容忍度会下降，未接种者"搭便车"可能让疫情迅速反弹——以墨西哥的征服者为例，西班牙人带来的传染病对当地土著的杀伤远超军事征服。作者强调"群体免疫"概念：达到 R₀ 的群体免疫阈值后，疫情就不会再起；疫苗不仅保护个体，也保护群体；但一旦群体免疫达到、疾病记忆消退，搭便车行为会带来风险，因为 R₀ 超过临界值后疫情会迅速上升。
对模型的进一步分析通过相平面进行。从 dI/dS=−1+ρ/S（I≠0）积分得到 I+S−ρ ln S=常数=I₀+S₀−ρ ln S₀。最大感染数 I_max 出现在 S=ρ 处，I_max = I₀ + (S₀−ρ) + ρ ln(ρ/S₀) = N − ρ + ρ ln(ρ/S₀)。在 S−I 相平面上，I=0 轴为奇点线，所有轨道上 I→0；S 单调递减，S(∞) 是方程 S₀ exp[−(N−z)/ρ] = z 在 (0, ρ) 内的正解。疫情中感染总人数 I_total = I₀+S₀−S(∞)。关键洞见：疾病并非因易感者耗尽而消失，而是因感染者归零而结束。
公共健康记录通常给出每日/周/月的移除数（dR/dt），而非 I(t)。从 (10.1)、(10.4) 与 (10.3) 组合得 R 的方程 (10.13)。若疫情不严重 R/ρ<1，可用 Kermack–McKendrick 展开得到解析解 (10.14)：R(t) 是 tanh 形式的双曲函数，对应 dR/dt = (aα²ρ²/(2S₀)) sech²(αat/2 − φ) 的"钟形"曲线；后者是 (10.15)，含 3 个参数 aα²ρ²/(2S₀), αa, φ，可与公共健康数据直接拟合。
本节将模型应用于三个真实疫情：
孟买 1905–1906 鼠疫：持续近一年，多数患者死亡，每周移除数即每周死亡数。疫情规模相对人口不大，Kermack 与 McKendrick 用 (10.15) 拟合得 dR/dt = 890 sech²(0.2t − 3.4)，与图 10.2 数据吻合。
1978 年英国男子寄宿学校流感：763 名男生中 512 名卧床，由单一感染者引发，疫情从 1 月 22 日持续到 2 月 4 日（《柳叶刀》1978 年报道）。疫情严重需用完整 SIR 系统数值拟合：参数 N=763, S₀=762, I=1, ρ=202, r=2.18×10⁻³/day；图 10.3 显示 I(t), S(t) 拟合与数据高度吻合。
1665–1666 年英格兰 Eyam 村鼠疫：村民发现疫情后主动封村以阻止扩散，350 人中仅 83 人存活。Raggett（1982）应用 SIR 模型得 S(∞)=83, S₀=350；这种严重疫情无法用小 R/ρ 近似。他通过病因学与数据估计参数；尽管初期为腺鼠疫，肺鼠疫可能后期占主导（肺型可经咳嗽传播；第 II 卷第 13 章将讨论鼠疫时空模型与历史）。Raggett 同时考察了相应的随机模型，发现确定性模型与 Eyam 数据吻合优于随机模型。
最后，作者讨论了几种扩展：若疾病不短期，dS/dt 应包含出生与死亡项；许多疾病有潜伏期，麻疹 8–13 天，HIV 数月至数年；可引入潜伏类 E(t)（得 SEIR 模型）或延迟效应，模型呈现由延迟诱发的振荡（Hethcote et al. 1981）。年龄 a 是疾病易感性与传染性的关键因素，此时模型变为以 (t, a) 为自变量的偏微分方程（10.12 节讨论一个具体例子）。模型的具体形式高度依赖于疾病与地理，引用文献给出大量可选模型。
10.3 性病建模（Modelling Venereal Diseases）
本节以异性恋传播的性病为对象展开。1996 年美国 CDC 报告超过 30 万淋病、1.1 万梅毒、近 50 万衣原体病例；淋病与梅毒发病率在下降，衣原体在上升。HIV 数据见 10.5 节。性病与其他传染病有三大差别：（i）感染主要限于性活跃群体，对全人群均匀混合的假设不成立；（ii）携带者常无症状至晚期；（iii）性病后获得性免疫很弱或无，且许多关键参数未知。源文引用的一则轶事颇具代表性：美国公共卫生官员被问及衣原体高发且医生们如何应对时，据说回了句"应对？他们多数人甚至拼不出这个病的名字"。
衣原体（Chlamydia trachomatis）在 1996 年已超过淋病与梅毒之和，并持续上升——源文把这一增长部分归因于诊断技术的改进（更准确也更便宜的检测方法使得报告病例增多）。女性常无症状，可致盆腔炎（PID）、慢性疼痛、发热、不孕；孕期合并 PID 可致早产与异位妊娠（受精卵在子宫外着床）并危及生命。未治疗淋病可致失明、PID、心衰乃至死亡。性病是不孕的主要原因之一；垂直传播（母婴）是又一威胁。HIV-1 是常见病毒，HIV-2 是新出现病毒；1970s 出现对青霉素耐药的淋病奈瑟菌新株。源文还提到 Dr. Henry Lai 与华盛顿大学生物工程团队的研究：疟疾寄生虫 Plasmodium falciparum（4 种疟原虫中最致命的一种，每年致死约 270 万人）在小振幅振荡磁场（约地球磁场量级）作用下可失去活力或死亡，暴露样本中寄生虫数量下降 33–70%，推测机制是寄生虫体内微小铁颗粒在磁场中运动扰乱了以红细胞血红蛋白为食的进食过程。
本节给出针对异性恋传播的简单经典流行病模型。假设人群中性行为均匀混杂，仅考虑异性接触；人群分为男性与女性两相互作用类，每类细分易感、感染、移除三组（S, I, R 与 S, I, R）；感染流程为 S→I→R 与 S→I→R，其中 I 感染 S，I 感染 S，呈交叉感染型（与疟疾、血吸虫类似——后者是人与特定螺类之间的双重交叉感染，与本章后面讨论的獾牛结核交叉感染同属一类）。在无免疫情形下模型为 (10.17)，在无获得性免疫情形下（如淋病）移除者重新成为易感者，流程图为 (10.18)，更简化的 SI 模型为 (10.19)。对总人数 N, N* 常量，SI 模型为 (10.21)：
虽然 (10.21) 是 4 阶系统，但借助 (10.20) 的总人数守恒可降到 2 阶（变量 S, S 或 I, I）。对 (I, I*) 形式，方程组变为
可在 (I, I) 相平面上标准分析。平衡点：I = I = 0 与 I_s = (N N − ρ ρ)/(ρ + N)，I_s = (N N − ρ ρ)/(ρ + N)，其中 ρ = a/r, ρ = a/r。非零正稳态存在的阈值条件为 N N/(ρ ρ) > 1；据此 10.3 节中第三章经验预期：若正稳态存在则零稳态不稳定。线性化 (10.23) 在 I = I* = 0 附近得特征方程
阈值条件 N N/(ρ ρ) > 1 成立时 λ₁<0<λ₂，原点为 (I, I) 相平面鞍点；不成立时两特征值均 < 0，原点稳定（正稳态不存在）。若正稳态 (I_s, I_s) 存在（也即正），线性化 (10.23) 于此得特征方程
化简为 λ² + λ[a + a + r I_s + r I_s] + [a r I_s + a r I_s + r r (I N + I N) + a a − r r N N] = 0，解的实部 < 0，故正稳态稳定。阈值条件 N N/(ρ ρ) = (r N/a)(r N/a) > 1 可解读为男性最大接触率（若全男性均易感，一个女感染者在其感染期接触到的男性数）与女性最大接触率之积。源文坦承"个体接触参数历来极不可靠"（来自问卷），但 1950 年后的统计明确显示多国已发生疫情：从美国 1973 年一对男女感染者数据估计男性最大接触率 N/ρ ≈ 0.98、女性 N/ρ* ≈ 1.15，乘积约 1.127。Dietz & Hadeler（1988）考虑了异质性混合的性病模型；更复杂模型可纳入两易感者临时免疫配对、多个亚组等。Hethcote 与 Yorke（1984）的专著仍是淋病传播与控制模型的优秀综述，其结论专门面向公共卫生工作者。
10.4 淋病多组模型与控制（Multi-Group Model for Gonorrhea and Its Control）
10.3 节 SI 模型是"特别简单的一个，但并非太不现实"（源文原话）。但对淋球菌感染，模型忽略了大量相关因素：感染传染但无症状的女性构成无症状群体这一事实之外，还有多种人群子群（如易感、有症状感染、已治疗感染、未治疗感染）。Lajmanovich 与 Yorke（1976）提出并分析了 8 组淋球菌感染模型，将男女性各按性活跃度（极活跃/活跃）与症状性（无症状/有症状）分为四类。具体地：女性按"性极活跃 vs 性活跃"再按"无症状 vs 有症状"分为 4 组，男性同样分 4 组，共 8 组。本节实际采用 8 组方案。设总活跃男女人群归一化后为 1，女性 4 组下标取 1, 3, 5, 7，男性取 2, 4, 6, 8，满足 N₁+N₃+N₅+N₇=1（女性）、N₂+N₄+N₆+N₈=1（男性）。由于淋球菌感染既不产生免疫也不产生抗性，本节只考虑两类（易感与感染）。设 I_i(t) 为各组感染比例，1−I_i(t) 即为易感比例。
模型再次采用均匀混合（homogeneous mixing）假设。对于每组，设 D_i 为第 i 组感染平均持续时间（月）；每月感染者有 1/D_i 的概率恢复，因此每月移除率恰为 I_i/D_i。设 L_{ij} 为 j 组感染者每月与 i 组个体的有效接触数。本模型仅考虑异性接触，因此 L_{ij} = 0 当 i+j 为偶。接触矩阵 [L_{ij}] 称为接触矩阵；虽然 L_{ij} 存在季节变化（源文原文如此，实为"季节性"），本节取为常量。j 组感染者每月对 i 组易感者的平均新增感染数为 L_{ij} (1−I_i)。代入 (10.20) 类守恒即得模型方程 (10.26)。
初值 I_i(0) = I_{i0}。源文强调，通过对非零稳态的线性化，可评估参数变化的影响，进而评估各种控制策略的效果；Hethcote et al.（1982）详细分析了此模型。从方程结构看，8 组模型是 10.3 节单组 SIS 模型的自然多组扩展：每组都遵循"易感—感染—康复—再易感"流程，但易感与感染个体按性活跃度与症状性被分配到不同子群，组间通过接触矩阵 L_{ij} 耦合；因此本模型保留了 10.3 节交叉感染的数学结构，同时引入了异质性混合的实证考虑（无症状女性感染者比例高的事实）。
控制的主要目标是降低新发病例、提高检出率，两者都影响疾病传播的长期态势；筛查、检出、治疗感染者是控制的第一步。Hethcote et al.（1982）比较了多种淋病控制方法；该论文还引用了其他已提出的淋病控制模型（"也即对其他建议模型的参考文献"）。若设 C 为女性筛查参数（与筛查妇女人数成正比），C R_i 为 i 组检出率，E P_i 为一般补充检出率，E 表控制努力，P_i 为 i 组人口，则控制模型为
不同控制方法对应不同 R_i, P_i。若主要控制措施为女性普查（美国实际策略），则基于"检出的感染妇女人数直接与已感染妇女人数成正比"+"补充计划是面向妇女人群的普查"，对女性组 P_i = R_i = I_i N_i（i=1,3,5,7），对男性组 P_i = R_i = 0（i=2,4,6,8）；若针对男性则奇偶号互换。这些及其他控制程序在 Hethcote et al.（1982）与 Hethcote & Yorke（1984）中讨论；他们也研究关键的参数估计问题并比较了若干控制策略。源文强调，筛查的成本与覆盖范围在实际执行中并非可忽略因素；政治与社会学考量也可能相当敏感。
源文最后强调："用于控制项目的性病模型必须经过实际验证（realistic validation），这种验证只能来自模型解与预测和实际数据的对比——这当然应适用于所有疾病控制模型。"本节控制模型与控制策略的选择因此必须以模型预测与流行病学实际数据的对照为前提；Hethcote & Yorke（1984）专著所面向的公共卫生工作者也正是要回答这一问题。
10.5 艾滋病：HIV 传播动力学建模（Modelling the Transmission Dynamics of HIV）
本节用三个子节覆盖 HIV 模型：基础流行病学背景、生殖群体模型与药物动力学模型。本子节首先介绍病毒学背景与统计。HIV 感染造成获得性免疫缺陷综合征；HIV 是一种逆转录病毒（retrovirus），只能在分裂细胞内复制；其独特性在于利用宿主细胞的 mRNA 加工机制合成自身病毒 RNA；感染后免疫系统可与之抗衡 5 至 10 年（血友病人因输入污染血液数月即发病）。HIV-1 主要感染 CD4 T 细胞（也感染树突状细胞等），利用细胞表面受体；正常 CD4 T 细胞计数约 1000/µL，降至 200/µL 即判定为 AIDS（CDC 1992 标准，有更详细的临床分类表 308-1 与 308-2，且分类会定期更新）。CD4 T 细胞计数下降原因不明：尽管 HIV 能杀死所感染细胞，但任意时刻仅小部分 CD4 T 细胞被感染；由于 CD4 T 细胞在免疫调节中的核心地位，其耗竭对整个免疫系统有广泛的有害影响。
1980s 后期以来已开发大量确定性（如 McLean & Nowak 1992, Perelson et al. 1993, Essunger & Perelson 1994, Frost & McLean 1994, Stilianakis et al. 1994, Kirschner & Webb 1997, Wein et al. 1998）与随机性（如 Nowak et al. 1996）模型来描述免疫系统与 HIV 相互作用；确定性模型更适用于细胞数量较多的后期阶段。Perelson & Nelson（1999）给出综合综述。关键信息：由于人体实验伦理限制，HIV 感染动力学的基础信息长期缺失；曾广泛认为 HIV 病程各组分都慢，但"数学建模+实验"组合显示实际存在多时间尺度——从分钟到小时到天到月。HIV 感染速度的这一认识彻底改变了 HIV 临床治疗方式，延长了患者生命。
典型 HIV 感染进程（图 10.4）：感染初期血中病毒 V 迅速增加，症状数周至数月后消失，病毒浓度降至 set-point；免疫反应出现，抗体可被检出（HIV 阳性）。set-point 期内病毒浓度保持准稳态，CD4 T 细胞缓慢下降，感染者通常无临床症状；这一无症状期体内究竟发生什么成为关键问题。1990s 中期开始研究新的抗逆转录病毒药物——蛋白酶抑制剂。1994 年 David Ho（Aaron Diamond 艾滋病研究中心）试验：给 20 名 HIV 感染者用蛋白酶抑制剂利托那韦（ritonavir），血中病毒量迅速下降（图 10.5 显示其中两名患者的数据）；Alan Perelson（Los Alamos 国家实验室）团队据此建模获得关键参数估计，发表于 Ho et al.（1995）。该工作彻底改变了 HIV 的临床治疗思路。
AIDS 全球规模：约 70% 死亡发生在非洲；UNAIDS 主任 Peter Piot 1999 年 7 月称非洲一半新生婴儿 HIV 阳性。1980s 一些非洲领导人否认 AIDS 存在，到 1990s 中期态度开始转变。截至 1998 年撒哈拉以南非洲 3400 万人感染、1150 万人死亡（仅 1998 年就 180 万人）；1999 年估计 560 万人新感染，全球累计 5000 万人感染、1600 万人死亡（1999 年当年 260 万人死亡，是历年最高）。津巴布韦、博茨瓦纳、马拉维是最严重国家；津巴布韦至少 20% 人口 HIV 阳性，博茨瓦纳超过 35%。南非情况尤其令人担忧——20% 人口 HIV 阳性（1999 年 11 月南非卫生部长在国民议会称 AZT 可能太危险不宜使用；2000 年 4 月 Mbeki 总统表态想与"否认 HIV 与 AIDS 关联"的科学家讨论，事实上拒不接受 HIV 导致 AIDS）。1998 年《科学美国人》专辑详细报道 AIDS 多个方面。
AIDS 早已从早期"同性恋病"形象演变为"异性恋病"。1999 年 UNAIDS 报告：撒哈拉以南非洲 2230 万成人 HIV 阳性中 55% 为女性；南亚与东南亚 30% 为女性；北美 20%。非洲主要异性传播，美国主要同性恋传播。监测是防控最重要环节；Walsh 提到的 1990-1999 期间全球约 3000 万人死于结核（Cosivi et al. 1998）。新病与新发地：Vibrio cholera 0139（1992）、Hepatitis E virus（1990）、委内瑞拉出血热（1991）、Hantavirus（1993 美国西南）、Anthrax（1993 加勒比）、Lasa fever（1992 西非）等。AIDS 堪称 20 世纪最严重流行病，甚至可能是有史以来最严重；其发展已超过 1989 年本书第一版时的悲观预测。
本节随后构建同性恋人群基本流行病模型。设易感男性 X(t)、感染男性 Y(t)、AIDS 患者 A(t)、HIV 阳性非传染男性 Z(t)，恒定易感者补充率 B，自然（非 AIDS）死亡率 μ，1/μ=32 年则无 AIDS 时稳态人口 N*=B/μ；AIDS 患者以速率 d 死亡，1/d 介于数月至数年（多数为年）。模型为
其中 λ=β Y/N（β 为传播概率），c 为性伴侣数，p 为 HIV 阳性者中具传染性的比例，v 为感染转 AIDS 速率（v≫μ）。基本再生数 R₀ ≈ β c/v，疫情发生条件 R₀>1。从稳态出发线性化可得 (X, Y, Z, A) 解析式，且扰动后系统以阻尼振荡方式收敛，振荡周期约 30–40 年（参数取自 Anderson et al. 1986）。这一长周期意味着假设社会行为参数 30~40 年不变是不现实的；自 1986 年以来 HIV 感染者寿命因 AZT、蛋白酶抑制剂等药物显著延长。
早期疫情分析：Y(t) ≈ Y(0) exp[r t]，r = v(R₀−1)；R₀ 越大，倍增时间 t_d = ln 2 / r 越短。A(t) 解析解为 A(t) = (pv Y(0) e^{rt} − e^{−(d+μ)t})/(r+d+μ)。Anderson & May（1986）用旧金山 1978–1985 年 6875 名男同性恋/双性恋者数据估计 r ≈ 0.88 yr⁻¹，R₀ = 3~4，d+μ ≈ d = 1~1.33 yr⁻¹，p = 10~30%（实际更高），v ≈ 0.22 yr⁻¹，c = 2~6 partner/month，得 HIV 阳性类倍增时间约 9 个月。图 10.7 显示数值仿真：参数 B=13333.3 yr⁻¹, v=0.2 yr⁻¹, μ=(1/32) yr⁻¹, d=1 yr⁻¹, p=0.3, R₀≈5.15；HIV 发病数在引入后 12–15 年达峰。作者明确指出这是一个早期（教学性）模型，结果与 1980s 中期男同性恋社区观察一致；更现实的模型（不必然更复杂）也在发展，Perelson & Nelson（1999）综述了 HIV 传播动力学的当前数学模型。
10.6 HIV：联合药物治疗建模（Modelling Combination Drug Therapy）
本节建立 HIV 在治疗下的病毒动力学模型，背景工作为 Nelson（1998）。Ho et al.（1995）的原始模型是简单线性一阶方程 dV/dt = P − cV，其中 P 为病毒肽来源，c 为清除率。设蛋白酶抑制剂完全阻断病毒产生（设 P=0），得 V(t) = V₀ e^{−c t}，通过 ln V 对 t 的线性回归斜率求 c，从而得到病毒半衰期 t_{1/2} = ln 2/c；20 名患者平均 t_{1/2} = 2.1±0.4 天。假设治疗前患者处于准稳态，水平衡 P = cV，则每日产生超过 10 亿病毒颗粒——与"潜伏期病毒静止"的旧观念相悖。这一结果对数学建模在医学界地位的提升有重大意义：如今许多实验室主动寻找理论家参与建模过程；这也是简单数学模型提取临床关键信息的经典案例（Connor et al. 1982a,b 关于肝病药物毒性的两房室模型是另一个早期例子）。
蛋白酶抑制剂使新生病毒失去传染性，但单一药物无法根除 HIV（病毒可突变为耐药株）。联合用药（如蛋白酶抑制剂 + AZT 类逆转录酶抑制剂）显著延长产生耐药所需时间；三种药物组合（蛋白酶抑制剂 + 两种逆转录酶抑制剂）的"鸡尾酒疗法"曾大幅降低患者体内病毒肽数量，但耐药株已在旧金山男同性恋者中重现。本节构建四类模型：未感染 T 细胞 T、生产性感染 T 细胞 T*、传染性病毒 V_I、非传染性病毒 V_{NI}，方程组为
s, p, T_{\max}, d_T, k 为正参数；n_{rt}（0≤n_{rt}≤1）测度 AZT 类逆转录酶抑制剂的疗效，n_p 测度蛋白酶抑制剂疗效；N 为细胞裂解释放的病毒量，约 480 病毒/细胞；c 为病毒自然死亡率。T 方程采用 logistic 形式加源 s 与清除项 −d_T T，是基于治疗后 T 细胞恢复的临床数据。典型参数值（Ho et al. 1995）：T ~ 180 cells/mm³, T* ~ 2% T-cells, V_I ~ 134×10³ virions/ml, V_{NI} = 0；k ~ 3.43×10⁻⁵ virions/ml, δ ~ 0.5/day, N ~ 480, c ~ 3/day, s = 0~10 cells/mm³/day, d_T ~ 0.03/day。
模型分析首先简化：设 n_{rt}=0（仅用蛋白酶抑制剂）、假设 T 细胞线性增长 T(t) = T₀ + at，方程组退化为非自治系统 (10.42)；通过引入 dT/dt = a 自治化。图 10.8 显示当 c = N k T₀ 时（即治疗前稳态假设），临界疗效 n_c = 0.33。图 10.9 将此模型与 Ho 等三名患者（104, 105, 107）的实际数据对比，参数 T₀=2~412, α=1.5~10.18, V(0)=52~643×10³, c=2.1~3.7/day, 总病毒产生率 P=2.9~32.1×10⁹/day，吻合度很高。
完全非线性模型 (10.41) 有两个稳态：非感染稳态 (T_{s1}, 0, 0, 0) 与感染稳态。线性化非感染稳态得四个特征值 λ₁ = p(1 − 2T_{s1}/T_{\max}) − d_T, λ₄ = −c, λ₂,₃ = −(c+δ)/2 ± (1/2)√((c+δ)² − 4cδ + 4δ N k T_{s1}(1−n_c))，其中 n_c = 1 − (1−n_{rt})(1−n_p) 表示联合用药效果。所有特征值为实数，稳定性条件给出 n_c < c/(N k T_{s1})，即药物足够强时病毒被压制（实际是从可检测水平消失）。代入 T_{s1} = 1000 健康人 T 细胞数，T₀ = 200 患者计数，得 n_p > 0.8；T₀ = 500 只需 n_p > 0.5；两药并用时 (1−n_p)(1−n_{rt}) < 1−T₀/T_{s1} 即可——这一分析支持"早治疗"原则（Perelson & Nelson 1999）。
感染稳态存在性条件为 V̄I > 0；将 T = c/(N k n_c) 代入可得 V̄I 表达式 (10.47)；存在 s=0 的简单极限情况（N k < c/[T(1−n_c)] 时 V̄_I < 0）。
感染稳态的稳定性由 Jacobian 矩阵
在感染稳态 T̄ = T_{s2} 处求值。特征方程立即给出一特征值 λ₄ = −c < 0；其余三个特征值由三次方程
化简为 λ³ + A λ² + B λ + C = 0，其中 A = δ + c + 2p T̄/T_{\max} − (p−d_T) + k V̄I, B = (δ+c)[2p T̄/T − (p−d_T) + k V̄I], C = c δ k V̄_I。由 Routh–Hurwitz 条件（附录 B），A>0, C>0, AB−C>0 保证所有特征值实部 < 0。由稳态条件 s + (p−d_T) T̄ − p T̄²/T = k V̄I T̄ 与 s>0 可推出 A>0；又可证 B = (δ+c) B₁, A = (δ+c) + B₁, 从而 AB = (δ+c)² B₁ + (δ+c) B₁² > δ c k V̄_I = C，故感染稳态稳定。汇总：c > N k T)]}(1−n_c) 时非感染稳态唯一且稳定；反之存在稳定感染稳态——c = N k T_{s1}(1−n_c) 处发生跨临界分岔。临界药物疗效也可用 (10.48) 表达：[(1−n_p)(1−n_{rtc = c/(2 s k N) [(p−d_T)² + 4 s p/T − (p−d_T)。}]^{1/2
T 细胞恢复子节：部分模型假设治疗前几周 T 细胞不变（T = T₀ 常数），但实际数据显示 T 细胞有所恢复，可在数周内描述为线性或指数函数。设 n_p=1（完全蛋白酶抑制剂），T̄V_I ≈ V₀ e^{−c t}，几天后方程中 −k V̄_I T 项可忽略。T 细胞来源 s 包括胸腺新细胞生成、已有细胞从组织向血液运输以及细胞增殖。T 方程近似为 dT/dt = s − d_T T，解为 T(t) = T₀ + at（线性），与数据一致。再设 n=0（仅蛋白酶抑制剂）和 T(t) = T₀ + at 假设，得系统 (10.42)；自治化方法：把 T₀ + at 替换为 T 并加 dT/dt = a，T(0) = T₀。这一系统与数据高度吻合（图 10.8、图 10.9）。
非感染稳态 T_{s1} = (T_{\max}/(2p))[(p−d_T) + √((p−d_T)² + 4 s p/T_{\max})]，与 s=0 时 T_{s1} = T_{\max} (1−d_T/p) 一致；s>0 时 T_{s1} > T_{\max} (1−d_T/p)。从非感染稳态与感染稳态 T_{s2} = c/(N k n_c) 看，T_{s2} < T_{s1}（感染稳态下 T 细胞更少）。临界条件 T_{s2} = T_{s1} 即 c = N k T_{s1}(1−n_c)。
10.7 含药物治疗的 HIV 延迟模型（Delay Model for HIV Infection with Drug Therapy）
本节简述近期研究中将离散时滞 τ 引入前一节模型的工作，反映从细胞被感染到开始产毒之间的延迟。此前多数模型假设病毒接触细胞后立即产毒，但生物上从病毒进入细胞到开始产毒存在可测量的时间延迟。最近的研究表明，这种延迟对从药物扰动实验估计自由病毒与产毒细胞的半衰期至关重要。若药物完全有效，延迟不影响产毒 T 细胞衰减率的估计（Herz et al. 1996, Mittler et al. 1998, 1999）；若药物不是 100% 有效（现实中没有药物能做到），延迟会影响感染 T 细胞损失率的估计（Nelson 1998, Nelson et al. 2000）。
设 T₀ 为常量未感染 T 细胞数，模型为
V_I(t−τ) 项表征从接触到产毒的延迟。细胞从感染到死亡的平均寿命为 τ + 1/δ。估计 τ 约 1~1.5 天，故 T 细胞从感染 HIV-1 到死亡平均 2~3 天（而非 1~2 天）。k 在此假设为常数（蛋白酶抑制剂不影响 k）；若用逆转录酶抑制剂则需将 dT/dt 中 k 替换为 (1−n_{rt}(t−τ))k(t−τ)。V_{NI} 方程解耦于 T, V_I，可独立求解。更一般形式（含未感染 T 细胞与非线性）见 Nelson（1998）；分析方法与第 7 章类似。
此模型主要用于分析接受抗病毒治疗的患者数据中参数衰减率变化；也用于从患者数据中获取更好的关键参数估计。核心结论：当药物疗效低于 100%（现实情形），血浆病毒浓度下降率主要取决于疗效、产毒细胞死亡率与延迟长度，这三者都是可测可调的参数——模型与分析的核心价值在于把这些效果量化到可测可调的参数上。
HIV 感染过程中的时间延迟：病毒生命周期在 HIV 感染病程中起主要作用。病毒颗粒与 CD4 T 细胞（或其他靶细胞）表面受体结合后，引发一连串事件，最终可使 CD4 T 细胞成为产毒感染细胞（即产生新病毒）。此前多数模型假设这一过程瞬时完成——病毒一旦接触靶细胞，细胞立即开始产毒。然而从病毒最初进入细胞到开始产毒，生物上存在可测量的时间延迟。最近的模型已考察此效应，并显示要从药物扰动实验准确确定自由病毒半衰期，必须考虑该延迟。设药物完全有效，延迟不影响产毒 T 细胞衰减率的估计（Herz et al. 1996, Mittler et al. 1998, 1999）；若药物不是 100% 有效（现实中没有药物能做到），延迟会影响感染 T 细胞损失率的估计（Nelson 1998, Nelson et al. 2000）。
Nelson et al.（2000）的延迟模型在前一节模型基础上引入细胞内延迟：t 时刻产毒细胞来自 t−τ 时刻感染的靶细胞，τ 为常数（实际上应为分布函数，参见第 1 章）。设未感染 T 细胞数恒定 T = T₀，与 (10.41) 比较得 (10.49)：dT/dt = k T₀ V_I(t−τ) − δ T, dV_I/dt = (1−n_p) N δ T − c V_I, dV_{NI}/dt = n_p N δ T − c V_{NI}。V_I(t−τ) 项反映从接触到产毒的延迟；细胞从感染到死亡的平均寿命为 τ + 1/δ。τ 的精确值尚不清楚，但估计 1~1.5 天（Perelson et al. 1996, Mittler et al. 1998, 1999），故 T 细胞从感染 HIV-1 到死亡平均 2~3 天（而非 1~2 天）。k 假设为常数，因为所建模型的药物即蛋白酶抑制剂不影响 k；若用逆转录酶抑制剂，则 dT/dt 方程中 k 应替换为 (1−n_{rt}(t−τ))k(t−τ)。V_{NI} 方程与 T, V_I 方程解耦，可独立求解。
此模型已用于分析接受抗病毒治疗的患者数据中与衰减率相关的参数变化；亦用于从患者数据中获取更好的关键参数估计。模型分析（含未感染 T 细胞与非线性）的更一般形式见 Nelson（1998），方法与第 7 章讨论的类似。主要结论：当药物疗效低于 100%（现实情形），血浆病毒浓度下降率主要取决于疗效、产毒细胞死亡率与延迟长度，这三者都是可测可调的参数——模型与分析的核心价值在于把这些效果量化到可测可调的参数上。
10.8 寄生虫感染获得性免疫的群体动力学建模（Modelling the Population Dynamics of Acquired Immunity to Parasite Infection）
本节转入寄生虫感染建模，背景为胃肠道线虫感染（全球估计 8~10 亿人感染蛔虫 Ascaris lumbricoides，7~9 亿人感染钩虫 Ancyclostoma duodenale 与 Nector americanus，5 亿人感染鞭虫 Trichuris trichiura，Walsh & Warren 1979）。Berding et al.（1986）模型基于 Slater & Keymer（1986）的实验：8 组 30 只小鼠，按蛋白饮食（2% 低蛋白 vs 8% 高蛋白）分两大组，再按感染速率（5, 10, 20, 40 幼虫/鼠/2 周）分四小组。蛋白营养不良会损害免疫功能，故实验可比较有/无获得性免疫反应下寄生虫群体动力学。
实验观察：每两周取 5 只小鼠尸检，记录小肠中成虫数量 M（平均虫负荷）；单次感染幼虫后，幼虫—成虫线性关系（图 10.11）显示约 64% 存活，斜率 0.64；单次感染 50 幼虫后成虫指数存活（图 10.12），拟合指数死亡模型得 δ = 5.6×10⁻³/day。基于实验总结建模假设：（A1）组织幼虫引发宿主免疫反应——通常组织幼虫是生命周期中免疫原性最强的阶段，免疫系统按宿主经历的幼虫负担被触发；（A2）免疫反应有记忆延迟——许多实验支持免疫反应中的延迟/记忆效应，可在模型中纳入延迟；（B1）免疫强度依赖于宿主营养状态——低蛋白与高蛋白饮食间感染动力学差异被解读为营养状态与免疫能力的关联；（B2）免疫系统有阈值行为——完全激活需要超过一定暴露量；（B3）免疫活性随刺激增加而饱和——超过一定阈值后，进一步刺激不再提高免疫效果；（C）免疫反应对寄生虫的几个生命阶段都起作用，对某些鼠系直接杀灭组织幼虫，对另一些则使幼虫发育为发育不良的成虫并高死亡率。
模型分三步构造：（i）引入免疫系统变量 E，E = ∫{t−T}^{t} L(t') dt'，T 为免疫记忆时长——E 度量了 (t−T, t) 时间窗内宿主经历的幼虫数；不同情形（小感染长时间 vs 大感染短时间）可得相同 E 值；（ii）免疫活性函数 I ≡ I(E) = α E²/(β + E²)，α 为最大功能活性（同时反映营养状态，可视为营养状态的单调递增函数），β 衡量免疫系统敏感性（与小鼠品系相关，可作遗传指标——回忆第 1 章 budworm 模型中的捕食响应）；（iii）免疫反应对寄生虫群体的影响归结为对成虫的额外死亡率 −I M(t)，I 充当寄生虫的额外死亡率。
低蛋白饮食组（LPG）几乎没有免疫反应，用简单"输入—死亡"模型描述：dL/dt = λ_i − μ D L（i=1,2,3,4 对应感染率），dM/dt = μ L − δ M。其中 1/D = C_L 为幼虫发育为成虫的比例，1/μ 为发育延迟；对 Heligmosoides polygyrus，t_L = 1/μ ≈ 8 天，C_L = 0.64；幼虫净损失率 μD ≈ 0.195/day，有效寿命 1/(μD) ≈ 5.12 天，自然幼虫死亡率 μ₀ = μ(D−1) ≈ 0.07/day。线性方程在零初值下有解析解
参数 μ=0.125/day, D=1.56, δ=5.6×10⁻³/day 下，与图 10.10(a) 实验数据吻合良好。
高蛋白饮食组需加入免疫项：dM/dt = μ L − (δ+I) M，I 形式同上；幼虫方程不变。设 T 大于实验时长 12 周（Rubin et al. 1971 数据显示小鼠对 H. polygyrus 的主动免疫可保持至少 30 周），由最高感染速率 λ₄ 的稳态 M∞ 估计 α = λ₄/(D M∞) − δ；用最高感染组实验数据得 (M, t) ≈ (50 worms, 7 weeks)，由临界条件 M = M(t) 推出 β 的解析表达式 (10.64)。参数 α=0.5/day 隐含 β ≈ 6.1×10⁶ worms²·day²，数值积分 (10.65) 与图 10.10(b) 数据非常吻合；模型预测 M∞=4 虫（继续实验将到达的稳态）。该模型展示了实验+理论相结合确定参数估计的范例；强调了宿主营养状态在寄生虫控制中的核心地位（Butterworth et al. 1985 对肯尼亚学童抗血吸虫免疫研究证实类似机制；Berding et al. 1987 进一步研究了基因异质宿主群体与自然传播）。商业应用见 Parry et al.（1992）用类似方法研究鸡球虫病的疫苗策略：在饲料中添加卵囊（早期阶段球虫）诱导低水平免疫。
作者补充几点警示：模型并未试图给出生物化学与生物细胞层面的完整图景，但提供了免疫反应宏观特征（寄生虫存活的每人限制率）可与抗原刺激（感染暴露）定量关联的图景。E 输入函数 (10.50) 与 (10.51) 的选择并非唯一，但与生物学观察契合；即使改用线性 I(E) 也能复现定性特征，但对四组不同感染率的同步拟合较差——(10.51) 的非线性形式更令人满意。模型基于三条证据：（i）符合生物学观察；（ii）对实验数据定量拟合；（iii）参数有生物学意义且可估计。
10.9 年龄相关流行病模型与阈值判据（Age-Dependent Epidemic Model and Threshold Criterion）
对许多疾病，个体年龄是脆弱性与传染性的关键因素。Bernoulli（1760）关于天花年龄分布的数据堪称生动例证：年龄越大，脆弱性与死亡率显著下降。Hoppensteadt（1975）的专著系统讨论了多种年龄依赖流行病模型；Dietz（1982）以河流盲症（onchocerciasis）为例用此类模型比较各种可能的控制策略。年龄在流行病学中还有另一层含义：可解释为"在某人群类（如易感/感染/移除）中停留的时间"。两种解释在基本 SIR 模型中往往重合。在本节分析的药物使用模型中，用户类内的年龄才是相关解释；10.11 节讨论的牛结核是更实际的年龄相关例子。
本节建立 SI 年龄相关模型。设易感者总数 S(t)，年龄 a 的感染者分布 I(a,t)。易感者损失率由加权的感染函数 r(a) 描述（r(a) 度量感染者的传染性；感染期有限 τ 是积分上限）。S 的方程为
感染者方程的导出采用守恒法。考虑时间 ε 内的变化：感染者的"时间年龄"与"类年龄"均推进 ε（从 (t, a) 到 (t+ε, a+ε)）。守恒律要求 ε 内感染者数变化须与被移除数平衡：
令 ε→0 并 Taylor 展开得偏微分方程 ∂I/∂t + ∂I/∂a = −λ(a) I，其中 λ(a) 为年龄相关移除因子。初始条件 I(a,0) = I₀(a)（初始感染者年龄分布给定），边界条件 I(0,t) = −dS/dt（新增感染者全部来自易感类，故 I(0,t) 等于 −dS/dt）。完整的积分-微分模型由 (10.66)–(10.68) 构成，其中 I₀(a) 与 S₀ 给定，r(a) 与 λ(a) 假设已知（至少定性），控制程序下可调整。
判定疫情是否扩散取决于每个感染者期望感染的易感者数 γ（更准确地说，初始易感者期望被每位感染者感染的数量）。γ 的定义为
r(a) 度量感染者传染性，权重 exp[−∫₀ᵃ λ(a')da'] 是初始感染者存活到年龄 a 的概率。阈值 γ = 1 决定疫情是否发生：γ > 1 疫情扩散，γ < 1 不扩散。疫情严重程度用 F = S(∞)/S₀ 度量（S 单调递减，0 ≤ S(∞) ≤ S₀；"F = S(∞)/S₀ 即疫情后存活的易感者比例"，见源文图 10.16）。
方程组用特征线法求解（与第 1 章中具有年龄分布的单种群增长模型相同的过程）。特征线 dt/da = 1 即 a = t+a₀ 或 a = t−t₀（参见图 10.15：a₀ 为 t=0 时个体年龄，t₀ 为感染者出生时间）。特征形式 dI/da = −λ(a) I 沿 dt/da = 1 积分，分 a > t 与 a < t 两种情形得 (10.71)：
S(t) 方程 (10.72) 通过 (10.74)–(10.75) 改写为 (10.76)：
其中 m(t) 由初始感染者分布 (10.75) 决定。由于感染期为 τ（可视为 r(a) = 0 当 a > τ），t > τ 时积分上限饱和。t→∞ 极限下记得 r(a) = 0 当 a > τ，得 F = e^{−m(∞) + γ(F−1)}，其中 F = S(∞)/S₀，m(∞) 由初始感染者分布 (10.75) 决定。当 ε = m(∞) ≪ 1 时此方程对每个 γ 有两个根，但 S(∞) ≤ S₀ 限制下唯一相关根 F ≤ 1；F 随 γ > 1 急剧下降（γ ≈ 1.85 时 S(∞)/S₀ ≈ 0.25，即 75% 易感者被感染）。源文强调：当 0 < ε ≪ 1 时，"只要 γ < 1，疫情严重程度就很小；但 γ > 1 时 F 从 1 急剧下降"——这种阈值附近的阶跃式响应是阈值判据的典型行为。对单一感染者情形（设 I₀(a) = δ(a) Dirac δ 函数，源文用此近似"单个感染者被引入规模为 S₀ 的易感人群"），满足 ∫₀^τ I₀(a) da = 1；从 (10.75) 得 m(t) = ∫₀^∞ r(t') exp[−∫₀^{t'} λ(a') da'] dt' = γ/S₀，故 (10.77) 化为 F = exp[(γ/S₀)(F−1) − 1]。由于 1/S₀ ≪ 1（典型大规模人群），F 的解与图 10.16 一致：γ > 1 不需很大即可引发严重疫情；估计 γ 是此类模型流行病学的核心，下一节以简单药物使用模型示例其估算方法。
γ 的物理含义可作进一步解读。10.69 式把 γ 写成 S₀ 乘以一个积分，其被积函数为 r(a) exp[−∫₀ᵃ λ(a')da']，即感染者传染性 r(a) 乘以其存活到年龄 a 的概率。若 r(a) 在感染期 τ 上恒定，λ 恒定，则 γ 简化为 S₀ r/(λ) (1 − e^{−λ τ})；τ→∞ 时 γ = S₀ r/λ，与 10.2 节无年龄依赖的简化情形一致。γ 公式还可推广到对 r, λ 任意非平凡形式，故此阈值判据具有相当普遍性。该方法的关键假设是均匀混合，但实际年龄相关疾病的接触常呈现非均匀结构（如性病的性伴侣年龄偏好），需进一步推广。
源文指出，对于给定的 r(a)、I₀(a)、λ(a)，(10.75) 给出 m(t) 进而 m(∞)；当 0 < m(∞) = ε ≪ 1 时 F 随 γ 变化的关系如图 10.16 所示；只有 F = S(∞)/S₀ ≤ 1 的根是物理相关的，"F 越小代表疫情越严重"。
10.10 简单药物使用流行病模型与阈值分析（Simple Drug Use Epidemic Model and Threshold Analysis）
本节研究自我给药（治疗性或娱乐性）药物的传播，基于 Hoppensteadt & Murray（1981）。核心思想是将药物使用类比为传染病——早期使用者的热情"传教"行为招募新用户。本节把 γ 估算与个体对药物的生理反应联系起来：用户对药物的反应越强，"传染性"越大。本节模型属"教学性"——并不针对某一具体药物。
设剂量 d(t) 引入血流，药物按一级动力学清除，血液浓度 c(t) 满足
解为 c(t) = e^{−kt} ∫₀^t e^{kt'} d(t') dt'（公式 (10.80)）。t=0 是首次使用时间。药物滥用中，剂量 d(t) 倾向于震荡或近周期、且周期递减。
药物在体内结合受体位点。设 A(t) 为游离（活性）位点数，B(t) 为结合（失活）位点数，A+B=N。简单位点结合模型为
α, β, ε 为正常数；ε 取小量是为后续代数方便。假设结合速率正比于药物量 c(t) 与可结合位点数 A（即 βcA/ε）；结合位点有补充，速率正比于结合位点数（即 αB/ε）。个体的反应速率 r(t) 与血药浓度和游离位点数成正比：r(t) = R c(t) A(t)，R > 0 测度个体对药物的反应强度。
若结合速率极快（α, β 为 O(1) 且 0 < ε ≪ 1），A, B 迅速达平衡：A = αN/(α+βc)，B = βNc/(α+βc)，个体反应 r = R α N c/(α+βc)——这是 Michaelis-Menten 型反应（与第 6 章 6.2 节比较），c 大时饱和于 r_max = R α N/β。由于 B 形式，r = R α B/β，反应正比于结合位点数。
若 ε = O(1)，可归入 α, β（即设 ε=1）。B = N−A，则 A(t) 方程为 dA/dt = αN − A(α+βc)，A(0) = N，解为 (10.85)。若 d(t) 已知，可显式积分得 c(t) 与 A(t)；即便 d(t) 简单周期，代数也相当繁杂。故本节考虑特殊情形 d(t) = d 常数，并设结合位点恢复极慢 α ≈ 0；则 c(t) = d/k (1−e^{−kt})，A(t) = N exp[−(βd/k)(t + (e^{−kt}−1)/k)]，r(t) = R N d/k (1−e^{−kt}) exp[−(βd/k)(t + (e^{−kt}−1)/k)]；图 10.17 显示 c(t) 单调饱和至 d/k，但 r(t) 先升后降（连续使用后反应减弱）——即使这一极简模型也呈现"反应不随剂量持续增加"的反直觉行为。
将模型用于流行：单用户引入 S₀ 个非用户后，τ = ∞，λ 设为常数（从图 10.17b 看到 r(t) → 0，故传染性随时间降低），则
对 d(t) = d 常数情形，表 10.1 列出六种极限情形下 r(t) 与 γ/S₀ 的具体形式。情形 (i)：0 < ε ≪ 1 且 α ≪ β 时 (10.84) 成立（因 α ≪ β 故 c 项可略），r ≈ R N α/β，γ/S₀ ≈ R N α/(λ β)。情形 (ii)：0 < ε ≪ 1 且 β ≫ α 时，r(t) ≈ R N c(t)，c(t) 由 (10.86) 给出，γ = S₀ ∫₀^∞ R N d (1−e^{−kt})/k · e^{−λt} dt = S₀ R N d / [λ(λ+k)]。情形 (iii)：0 < ε ≪ 1 且 k ≫ 1 时 c(t) ≈ d/k（瞬时饱和），r(t) ≈ R N d/k，γ/S₀ = R N d/(k λ)。情形 (iv)：0 < ε ≪ 1 且 k ≪ 1 且 α/(β d) ≪ 1 时，由 (10.86) c(t) ≈ d t（初始线性增长），r(t) ≈ R N d t / (1 + β d t/α) ~ R N α/β（饱和），γ/S₀ = R N α/(β λ)。情形 (v)：ε = 1 且 k ≪ 1 时 r(t) = N d R t exp[−2 d β t]，γ/S₀ = R N d/(2 d β + λ)²。情形 (vi)：ε = 1 且 k ≫ 1 时 r(t) ≈ R d exp[−d β t/k]/k，γ/S₀ = R N d/(k λ)。这些表达式经"初等代数"得到（Hoppensteadt & Murray 1981）。
多数自我给药药物满足 0 < ε ≪ 1（响应极快）；表 10.1 的 (i)~(iv) 涵盖这种情形。β ≫ α 时大多数位点被结合，用户反应小，传染性低；增加治愈率 λ、降低个人反应（如教育、化疗）均可降低 γ，与直觉一致。例如当结合位点恢复速率远慢于结合速率（β ≫ α，情形 ii），则大部分位点将处于结合态，用户的反应小，从而降低"传染性"和疫情风险。这与"持续小剂量使用 → 反应小 → 不易招募新用户"的临床观察一致。临界群体
S₀ > S_c（等价 γ > 1）则发生疫情。S_c 对参数的敏感性需 r 与 λ 的可靠估计才能判断。
这一框架（不含年龄依赖）已成功用于慢性酒精滥用研究。Smith et al.（1993）用类似模型研究乙醇代谢在正常与滥用者间的差异（乙醇代谢动力学在正常饮酒者与酗酒者间存在显著差异），并与实验数据对比；Lubkin et al.（1996）用更简模型 dc/dt = d(t) − k 研究路边呼吸分析仪的酒精测试精度（结论"不可能"更精确化）。华盛顿州骑警 Sgt. Rod Gullberg 是 Lubkin 论文合作者之一，他曾身着警服、配全套警械（警棍、手枪等），驾警车直抵 Murray 办公楼门前，并询问"哪里能找到 Murray 教授？"——Murray 当时以为校园停车是大问题，结果被警车的"特殊豁免"惊呆了。Murray 写到，"我可能有过另一种秘密生活"。这一插曲提示：基础数学模型偶尔能与非常规应用领域（如司法鉴定）相联系。本节分析虽属"教学性"模型，无特定药物，但其结论与流行病学直觉高度一致——γ > 1 需不小即可引发严重疫情，参数估计是关键。
10.11 牛结核在獾与牛间的传播（Bovine Tuberculosis Infection in Badgers and Cattle）
本节研究牛结核（由 Mycobacterium bovis 引起）在獾与牛之间的交叉传播。牛结核是一种隐匿性疾病，常到晚期才在牛、獾（甚至猪）身上显现。英格兰西南部调查表明獾是 M. bovis 的重要储存宿主，其社群密度高，是疾病传播的主要因素；獾的社会组织结构既促进了病獾群组内传播，也促进了獾-牛之间的相互传播。獾栖息地（林地）与牛牧场交错分布（Neal 1986, MAFF Report 1987; see also 1994）；约 10 年的实地研究表明，獾在牛牧场觅食（食物偏好随季节变化，包括蚯蚓、昆虫与水果），由于这种进食习惯导致频繁的排尿排便（MAFF Report 1987）。病獾因此通过进食习惯与咬伤化脓伤口长期污染环境；尽管多数杆菌会被阳光直射杀死，部分仍能在微生境中存活数周。MacDonald（1984）数据：支气管脓液中杆菌冬季可存活 4 周、夏季 1 周；尿中 7 天/3 天；牛粪中 5 月/2 月；温暖、黑暗、潮湿处最有利于细菌在土壤表面存活。牛可能通过吸入严重肺部或肾脏病变獾的飞沫、或在污染草地上吃草/嗅探（接触獾的痰、肺部与咬伤脓液、粪便与尿液）而感染。特定农场做法（允许獾进入牛棚、盐舔、水槽）也会促进传播；獾-牛与牛-獾之间均存在显著传播概率。10.11 与 10.12 节描述的模型是 Bentil 与 Murray 在 1990s 中期发展。
模型策略：考虑年龄结构以容纳更精细的子分类。设总獾与牛数 N 与 Ñ 为常量；M. bovis 感染不产生免疫，感染个体康复后重新成为易感者（病獾康复或死亡）；不因 M. bovis 直接死亡（Cheeseman et al. 1988 报告由 M. bovis 引起的死亡率较低，可忽略）；设恒定死亡率与恢复率。流动图见图 10.18：每种动物都分为易感 (U, Ũ) 与感染 (W, W̃) 两类，感染獾以速率 rW 恢复（r ≪ r̃，因牛症状明显），新感染牛以速率 β̃₁, β̃₂ ∝ Ũ (W̃+W)，新感染獾以速率 β₁, β₂ ∝ U (W̃+W)。力感染 λ₁(t) = β₁ ∫₀^∞ W da + β₂ ∫₀^∞ W̃ da（獾），λ̃₁(t) = β̃₁ ∫₀^∞ W̃ da + β̃₂ ∫₀^∞ W da（牛）。
源文指出，理论上若使用 Bentil 与 Murray（1993）讨论的 SEIR 模型并纳入年龄结构，将得到 8 个耦合偏微分方程。本节在"是简化到无年龄结构以保留时间动态"还是"减少子群但保留年龄结构"之间作权衡，选择后者；具体地，把獾与牛各按年龄细分为幼崽与成体两亚群。
设总人口 N(t) = ∫ N(t,a) da, Ñ(t) = ∫ Ñ(t,a) da，恒定出生率 γ, γ̃ 等于死亡率 μ, μ̃（稳定年龄分布），则边界条件 U(t,0) = N(t,0) = γ N(t), W(t,0) = 0, Ũ(t,0) = Ñ(t,0) = γ̃ Ñ(t), W̃(t,0) = 0。生存概率 m(a) = exp(−∫₀^a μ(s) ds)，m̃(a) 类推。无量纲化（u = U/N, w = W/N, ũ = Ũ/Ñ, w̃ = W̃/Ñ，按 r 与 r̃ 缩放时间年龄）得方程组 (10.98)。这种处理保留了年龄结构，简化了分类数。
平衡态（设 ∂/∂τ = 0）下 λ₁, λ̃₁ 为常数，得 u(α) = (1/(λ₂+r))[r + λ₂ exp((−λ₂/r−1)α)] 与 ũ 类推（(10.113)）。将这些解代入力感染方程得耦合超越方程 (10.102)；若进一步设 μ, μ̃ 常量并设 β₁ = β̃₁ = 0（仅交叉感染），则力感染满足简化关系 (10.103)，L 为平均寿命（B 与 C 分别指獾与牛）。L → 0 时 λ₂, λ̃₂ → 0（符合预期）。大 L 极限下 λ₂/λ̃₂ = β₂ γ̃ Ñ/[μ̃(λ̃₂+r̃+μ̃)]，λ̃₂/λ₂ = β̃₂ γ N/[μ(λ₂+r+μ)]，由此得 1 = β₂ β̃₂ γ γ̃ N Ñ/[μ μ̃ (λ₂+r+μ)(λ̃₂+r̃+μ̃)]——与 10.3 节性病条件紧密相关（异性接触数 r N/a, r N/a* 之于牛结核的交叉感染参数）。
参数估计（见表 10.2）：用 Bentil & Murray（1993）发展的逻辑参数搜索（LPS）方法——在文献数据基础上扫描参数范围，满足给定逻辑条件。关键参数已知或可估计（Anderson & Trewhella 1985, Brown et al. 1994），但獾-牛交叉传播的野外数据非常稀缺、各自针对不同流行病学参数、其他参数只能"任意选取"——这种不一致使得直接从 (10.102) 估计可靠的疾病传播率极为困难。LPS 方法本质上是参数空间扫描生成满足逻辑条件的参数集；本节应用时先用表 10.2 列出的文献数据建立现实参数范围，再连续扫描生成满足约束的参数集。参数示例：Ñ = 10 牛/km², N = 2~5 獾/km²（LPS 选 3），μ = 0.25, μ̃ = 0.25（LPS 选 0.125），γ = 0.125, γ̃ = 0.05（LPS 选 0.02），恢复率 r = 2, r̃ = 1（LPS 选 2），β₁ = 1.54, β₂ = 3.5, β̃₁ = 2.0, β̃₂ = 1.0 km²/year，平均寿命 L = 10, L̃ = 10 年。求解模型方程得数值解见图 10.19（力感染随时间，獾更高且稳定）与图 10.20（年龄—时间分布）；感染獾可达 60%，感染牛约 30%，证实交叉感染下獾群体受影响更重。模型中初始条件由去掉时间导数求稳定年龄分布得到，再扰动 10% 易感獾、5% 易感牛为感染。垂直传播（母到幼）未考虑；牛不能作为各地獾感染情况的可靠哨兵，因接触程度因地而异。模型基于"獾患 M. bovis 后病程长（12 只圈养自然感染獾存活 165~1305 天，MacDonald 1984）"，持续污染牧场。
10.12 牛结核控制策略建模（Modelling Control Strategies for Bovine Tuberculosis in Badgers and Cattle）
本节在 10.11 模型基础上加入免疫控制。Bentil 与 Murray（1993）发展并分析了牛结核（M. bovis）在野生獾群中的动力学模型。鉴于英国西南部獾作为牛病储存宿主的高概率（10.11 节已分析），当存在野生动物感染群体（英国西南部、新西兰）时，根除疾病尚未成功，尽管有全国性强化根除活动。测试+屠宰在其他许多国家成功（如美国 USDA 1982a,b 报告：反应率从 5% 降至 0.03%），但全面消除未实现。
英国 MAFF 政策（1987）通过毒杀受感染獾群组（gassing，特别激怒英国人）来降低獾密度；MAFF 假设"一次密集干预足以长期消除感染区感染"，但被证伪。1994 报告转向更选择性捕猎；badgers 在英国已受法律保护。本节采用新方法：Bentil 与 Murray 1990s 中期发展。模型动态免疫程序并提出控制措施；目标是比较若干疫苗接种策略并推导成本—效益准则；模型本质上是空间性的，采用元胞自动机（cellular automaton）模型以方便非专家理解，并展示疫苗接种政策的特征性经验响应。
基于 10.11 年龄依赖交叉模型，引入免疫子群 Z, Z̃。控制通过年龄相关免疫速率 c(a), c̃(a) 减少净疾病传播速率。修改后模型 (10.107) 含 U, W, Z 与 Ũ, W̃, Z̃ 六类，免疫类由方程 ∂Z/∂t + ∂Z/∂a = c(a)U − μ Z 描述。无量纲化（按 r, r̃ 缩放时间年龄）得 (10.111)。
设疫苗在年龄 T₁ 和 T₂ > T₁ 时分别将易感獾/牛的比例 f, f̃, g, g̃ 转为免疫。设年龄间断点上 u(T₁+0) = (1−f) u(T₁−0), u(T₂+0) = (1−g) u(T₂−0)，对牛类推 (10.112)。在 0 ≤ α < rT₁, rT₁ ≤ α < rT₂, α ≥ rT₂ 三个区间积分得各段解 (10.115)。平衡态基本再生率 ρ₀ 满足 ρ₀ u_e = 1；疾病发生率由 ρ₀ ∫₀^∞ u(a) N(a) da = 1 决定。代入常死亡率与 u(α) 形式积分得 (10.119)；若仅 T₁ 接种 (g=0) 简化为 (10.120)。
完全根除要求 ρ < 1（有效再生率）；临界疫苗覆盖率由 λ₂ → 0, λ̃₂ → 0 极限下 ρ₀[1−f exp(−μ T₁)] ≤ 1 给出，即
（对牛类推 f̃_c）。这意味着 T₁ ≈ 0（早期接种幼崽）时 ρ₀(1−f) ≤ 1，最易根除；晚接种则几乎不可能根除。表 10.3 列出影响策略有效性的四个维度：技术、人口学、流行病学、操作层面。
临床假设：（i）M. bovis 在受感染獾与牛中的发展是纯内源过程；（ii）疫苗保护效力以 5%/年衰减，提供 66% 保护（Waaler et al. 1969）——95% 覆盖率相当于将 66% 非感染组转入疫苗保护组。Stuart et al.（1988）研究獾结核诊断与疫苗，提示细胞介导免疫在疫苗后增强、延长存活、延迟排菌。本节推荐的口服疫苗（撒在混合食物中）能有效减少獾力感染；牛则可采用常规疫苗接种。獾不像牛被圈定在固定区域，会随机移动（Rogers et al. 1998），故口服疫苗更适合獾——这种方法在控制狐狸狂犬病中已非常成功。
群体被分为幼崽/成体两组：例如獾在 T₁=1 岁时 f 比例免疫、T₂=5 岁时 g 比例免疫。66% 单次接种可在约 5 年内降低年发病率；两次 66% 接种（出生后 1 年与 5 年后）可将保护延长至约 9 年。
备选策略：Frerichs & Prawda（1975）提出的"优先疫苗接种政策"（PVP），曾用于哥伦比亚控制狂犬病。假设存在邻近区域的潜在爆发，每个目标子区应根据其对新感染病例的潜在贡献排序。从病例通知记录，子区 i 在时间 t 的 M. bovis 风险指数 R_{i,t} 计算为
其中 C_i 为该子区与邻近子区中獾/牛占比，U_{i,t} 为易感数；i(j) 为 i 周围 5 个邻近子区。假设来自邻近子区的感染可能性与子区 i 自身的 C_i U_{i,t} 等重要。所有 R_{i,t} 排序后，疫苗接种队优先进入最高风险子区，直到完成规定比例后才转入次高——这是一种动态、空间上聚焦的策略。
元胞自动机（CA）模型作为离散化空间实现。Rule A 描述无免疫的疾病传播：四邻居元胞中若任一为感染态，易感个体以概率 p 感染；持续时间为 D 个时间步（之后回到易感态）；Pcc, Pcb, Pbb, Pbc 分别为牛→牛、牛→獾、獾→獾、獾→牛的传播概率。Rule B 加入免疫态：感染 D 步后以一定概率进入免疫态，免疫态持续固定时间后死亡。CA 仿真（图 10.21）显示稀疏区域中无免疫时感染从中心獾迅速扩散；图 10.22 显示 PVP 下的免疫引入显著降低发病与流行；图 10.23 比较了四种策略十年间感染獾比例：无疫苗、66% 单次、66% 两次、PVP，PVP 最佳。
MAFF 1987 政策假设单一密集干预能根除感染，长期被证伪；1994 转向选择性捕猎。本节与 10.11 的模型仍较基础，未考虑獾的空间移动。Rogers et al.（1998）提供了 Gloucestershire 36 个獾群组 18 年运动数据，显示运动变化与牛结核发病率变化相关；第 II 卷第 13 章讨论空间传播。Kao et al.（1997）给出新西兰牛结核的"测试—屠宰+群体隔离+疫苗"群组模型。控制策略的最佳选择高度依赖于物种与地理；本章模型未区分獾/牛谁为储存宿主。Hancox（1995）综述了争论：可能存在牛储存宿主，獾不断被牛感染，这一看法更受英国人情感接受（他们不忍心大规模宰杀獾）。
BSE（疯牛病）与变种克雅氏病（vCJ）部分被简略提及：1986 年英国首次诊断 BSE，1997 年夏已确诊 16.7 万头病例，未发现者可能更多。vCJ 是朊病毒引起——无遗传物质、不引发免疫反应、特别顽固（耐热、煮沸、酒精、电离辐射）；可在土壤中存活多年，可能通过外科器械、填埋传染。vCJ 临床表现为失眠、抑郁、焦虑、记忆丧失、机体功能失控、行动失调、失明。BSE 来自被污染饲料（与羊同源）；2000 年底前 87 例 vCJ，1999 年 14 人死亡，2000 年前 6.5 月新发 14 例；1980s 数百万英国人可能暴露于污染牛肉，模型预测 25~35 年内可能数十万人死于 vCJ。Donnelly et al.（1997）与 Ferguson et al.（1997）的模型基于有限数据，对 BSE 与 vCJ 进行了初步参数估计与回推。Prusiner（朊病毒发现者，1997 诺贝尔奖）相关研究。另一感染源：George Balanchine 死于 CJ 病被认为来自使用牛内分泌产品；疫苗在牛血清中培养是另一感染渠道（英国 1993 起停止使用，2000 年 11 月才最终撤出）。
本章最后作者指出，流行病学家追求"灭绝"病原体，生态学家忧虑物种灭绝，但两类问题的数学模型与解析方法本质相同（Earn et al. 1998 综述了异同）。建模对人类与生态学领域都很重要；其价值不仅在于具体预测，更在于为公共卫生决策提供机制性洞见。
本章个人批注
本章是 Murray 第一卷中篇幅最长、应用性最强的一章，从经典的 SIR 模型一路扩展到 HIV 抗逆转录病毒治疗下的病毒动力学、寄生虫免疫的群体动力学、年龄依赖性病、药物使用社会学模型，以及牛结核交叉感染的元胞自动机空间模型。最值得反复品味的是 10.5–10.7 三节组成的 HIV 块：Ho et al.（1995）的临床观察加上 Perelson 的简单一阶模型就让"潜伏期"神话破灭——每天产生 10 亿病毒颗粒、半衰期 2.1 天——这一结果直接推动了"早治疗"原则并催生了"鸡尾酒疗法"。更复杂模型 (10.41) 中两个药物效率参数 n_p, n_{rt} 通过跨临界分岔 c = N k T_{s1}(1−n_c) 把临床决策问题变成了一个代数不等式 ρ₀(1−f) ≤ 1。这种"用最简单的数学模型撬动临床认知"的范式是流行病学建模最让我敬佩的地方。
相比之下 10.11–10.12 牛结核节读起来则更像是一份政策报告而非数学：作者 Bentil 与 Murray 明确承认野外数据稀薄、参数空间巨大，因此用 LPS 方法（一种"逻辑参数搜索"算法）扫描参数范围，再用元胞自动机（CA）做空间实现。CA 模型的好处是可视化、便于向决策者解释；但其规则（A/B Rules）实质上把每只动物压缩成一个状态变量，无法刻画 10.11 中那些精妙的偏微分方程。读这段时我反复问自己：当模型精度（年龄结构 PDE）超出数据可支撑的范围时，是该保留精度还是退到 CA 的"教学化"层次？Murray 的处理是两者都给——PDE 做理论，CA 做演示——但他并未仔细说明两者预测的定量一致性。LPS 这种"扫描参数空间满足逻辑条件"的方法论我也心存疑虑：它本质上把模型变成了"通过参数空间搜索的拟合"，丧失了 ODE/PDE 模型原本的参数可解释性。
10.8 节"寄生虫获得免疫"节也值得一提。它和后面 10.5–10.7 节的 HIV 模型形成对照：免疫反应在两个尺度上有完全不同的作用——在 HIV 中免疫系统是被攻击对象，CD4 T 细胞被耗竭；在胃肠道线虫中免疫反应是宿主对寄生虫的防御，模型用饱和函数 α E²/(β+E²) 描述，饱和特性直接来自实验（B3 假设）。这种"同一种生物学机制在不同尺度上扮演不同角色"的张力让我想到：第一卷的章节安排是按模型技术（ODE/PDE/时滞/年龄）展开的，不是按生物学主题——这反映了 Murray 作为应用数学家的视角，但对生物学家来说可能不够直观。10.1 节的历史杂谈与 10.12 末尾的 BSE/vCJ 段落是整章的"软"骨架，作者借此提醒读者：模型再漂亮，最终目的不是发表论文，而是为公共卫生决策提供依据。这种"应用导向"也是 1980–2000 年代英国应用数学界（Oxford、Warwick、Cambridge）的鲜明风格。
10.9–10.10 节（年龄相关模型与药物使用）的连接非常精巧：Hoppensteadt & Murray（1981）把"个体对药物的反应"按 Michaelis–Menten 形式 (10.84) 解析给出，再把 r(t) 代入 10.9 节的 γ 公式，最终用表 10.1 给出六种极限情形下 γ 的简洁表达式。这种"把生物物理过程解析化、再把临床流行病学问题代数化"的链条在第 7 章（生物振子）中很少见——振子模型多停留于 ODE 层面；这里则把分子层、细胞层、群体层三尺度都串了起来。我对 γ/S₀ 的量级也很感兴趣：情形 (i) γ/S₀ = R N α/(λ β)，其值大小直接由宿主对药物的反应强度（R, α, β）决定，提示临床上能"压低 γ"的真正杠杆是改变宿主反应（教育、化疗），而非改变治愈率 λ。
最后想吐槽一下：本章 12 节中只有 10.6 节（HIV 联合药物）做了完整的稳定性分析、跨临界分岔识别与临界疗效公式 (10.48) 推导；10.5 节只给出 R₀；10.11 节只给出"力感染比例"经验式 (10.106) 而无分岔点。Murray 在不同章节的"数学深度"差别很大——这既反映各疾病的数据基础不同，也反映他在不同应用问题上的投入程度。对一个打算把数学建模当作工具箱的研究者来说，10.6 节是必读，其他节可按兴趣选读。
与上下章的衔接（一段话）
本章是第 I 卷中"应用"色彩最浓的一章，紧接其前的是第 9 章"受扰与耦合振子"——后者在数学上延续了第 7 章（生物振子）的极限环理论，应用于果蝇羽化与心脏起搏点；本章则将确定性动力学的舞台从单个振子或两个相互作用种群（前面第 3、5 章）扩展到整个社会系统。SI、SIR、SEIR 模型在概念上与第 1 卷前面建立的常微分方程稳定性、跨临界分岔、Hopf 分岔等理论一脉相承（事实上 10.6 节的 HIV 模型本质上就是一个 4 维非线性 ODE，其不动点稳定性分析直接用了 Routh–Hurwitz 判据，附录 B 总结了这一工具；10.9 节的年龄相关模型则属于偏微分方程中的双曲守恒型，特征线法与第 1 章中具有年龄分布的单种群增长模型完全相同）。本章向后续章节的过渡也清晰：作者多次预告"时空传播"问题将在第 II 卷第 13 章专门讨论（地理上的狂犬病、HIV 空间扩散）；同时 10.11–10.12 的元胞自动机本身已是离散空间建模的入门（与第 8 章 BZ 反应的空间斑图、第 11 章反应-扩散方程/趋化性形成对照）。从全书结构看，第 10 章是数学建模工具与公共卫生应用的"集大成"节点：前 9 章发展的 ODE、PDE、稳定性、分岔、时滞方法在本章被集中调用，每一节又对应一个具体的应用问题。这种安排使得本章既是前 9 章理论的总结，又是后两卷（特别是第 II 卷第 13 章空间流行病学）的跳板。下一章（第 11 章）将把视角从"群体流行病学"切到"反应—扩散—趋化性"框架，这两者共同构成第 II 卷"空间生物学"主题的双重入口。