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Book Summary — Mathematical Biology I: An Introduction (3rd Edition)

§1 作者与版本

J.D. Murray (Oxford, 1931-2020) 的《Mathematical Biology I: An Introduction》第三版 (2002, Springer) 是数学-生物交叉领域的"开山教材" 之一。Murray 与 Anderson (流行病学)、May (生态学)、Turing (形态发生)、Fisher-Kolmogorov (反应扩散)、MurrayII (2003, Vol II 空间模型) 共同奠定了"数学生物学" 学科。 本书 14 章, 577 页, 4 部分: - Ch 1-3: 单种群 + 多物种动力学 (连续 + 离散) - Ch 4-5: 特殊应用 (TSD 鳄鱼性别 + 婚姻) - Ch 6-9: 反应 + 振荡 (酶 + 神经 + 萤火虫) - Ch 10-14: 应用 + 数学工具 (流行病 + 空间 + 中枢模式 + 分形)

22 年后(2026) MurrayI + MurrayII 仍是该方向研究生的"必读教材", 22 年前 Murray 强调"模型-实验-数学" 三位一体的方法学永不过时。

§2 核心内容全景

Ch 1 — 连续种群模型

§1 Murray; §2 单种群连续模型 Malthus 指数增长 (1.3) + logistic (1.5) + Allee 效应 (1.8), Spruce budworm cusp catastrophe (1.17) (Ludwig-Jones-Holling 1978), 延迟方程 (1.23), Hopf 分岔 (1.32) \(r\tau = \pi/2\), Cheyne-Stokes 呼吸 + 血液生成, 收获 (1.39), Von Foerster 年龄结构 PDE (1.45)-(1.50)。 §4 关键结论: 1) Logistic 是"密度依赖" 的标准; 2) Hopf 分岔的 \(\pi/2\) 准则是延迟振荡的普适阈值; 3) cusp catastrophe 描述"折返型" 动力学; 4) 年龄结构 PDE 给出"出生+死亡" 的统一框架。 §5 挑战: 真实生物的多稳态, 噪声, 异质环境。 §7 Verhulst 1838, Pearl 1927, Ludwig 1978, Hutchinson 1948, May 1974。

Ch 2 — 离散种群模型

§1 Murray; §2 Fibonacci + 黄金角, 离散 logistic \(u_{n+1} = \mu u_n (1 - u_n)\) (2.3) → 周期倍化 → 混沌 (May 1976, Feigenbaum \(\delta = 4.66920\), Sarkovskii 序, Li-Yorke 周期 3 蕴含混沌), cobwebbing (2.6), 稳定性 \(\mu < 1 + \sqrt{6}\) 稳定, \(> 1 + \sqrt{8}\) 混沌 (2.13), 离散延迟 (2.21), Allee 效应 (2.28), 癫痫与混沌。 §4 关键: 1) Feigenbaum \(\delta\) 是普适常数; 2) Li-Yorke 定理; 3) 离散延迟产生"锁定点"。 §5 挑战: 真实种群的密度依赖 + 噪声。 §7 May 1974, 1976, Sarkovskii 1964, Li-Yorke 1975, Sharkovskii 1964, Feigenbaum 1978, Hassell 1975, Beddington-May 1975。

Ch 3 — 多物种相互作用

§1 Murray; §2 Lotka-Volterra (3.4)-(3.6) 与守恒积分 (3.7), 复杂食物网 (3.8), 真实捕食者-猎物 (3.18) Holling II 极限环, 竞争 (3.39), 共生 (3.45), Lake Victoria Nile perch (3.51), 血吸虫 阈值, 形式化一般模型 (3.52)-(3.55)。 §4 关键: 1) LV 中性稳定 (3.7) 提示"现实极限环" 来自饱和; 2) Holling II 是标准; 3) Poincare-Bendixson 给出极限环存在性。 §5 挑战: 时滞 + 空间 + 多稳态。 §7 Lotka 1920, Volterra 1926, Holling 1959, May 1972, Freedman 1980, Takeuchi 1980。

Ch 4 — TSD: 鳄鱼存活

§1 Murray + Woodward; §2 简单模型 (4.3), 年龄结构 (4.5), 净生殖率 (4.15) \(R_0\), 性比 (4.18), TSD vs GSD (4.20) 与温度依赖。 §4 关键: TSD 是"温度驱动性别决定" 的进化生物学。 §5 挑战: 性比扰动对种群的影响。 §7 Bull 1980, Charnov-Bull 1977, Fisher 1930, Hamilton 1967。

Ch 5 — 婚姻动力学

§1 Murray + J.M.T. Thompson; §2 心理学数据 (Gottman 1990), 4 种婚姻类型 (5.1-5.4), 模型 (5.5) 4 维差分对, 稳态 (5.17), 临床应用。 §4 关键: 数学模型可预测离婚。 §5 挑战: 个体差异 + 外部冲击。 §7 Gottman 1990, 1993, Levenson 1992, Gottman-Levenson 1992。

Ch 6 — 反应动力学

§1 Murray; §2 Michaelis-Menten (6.6), 准稳态 (6.13), 奇异摄动 (6.18), 自杀底物 (6.43), 自催化反应 (6.47), 振荡反应 (6.120)。 §4 关键: 1) MM 是 Michaelis-Menten 1913 的核心; 2) 奇异摄动化简 3 维 → 2 维 → 1 维; 3) 自催化是振荡的化学源。 §5 挑战: 真实反应的非均质 + 多中间物。 §7 Michaelis-Menten 1913, Segel 1988, Edelstein 1970, 1981, Tyson-Fife 1980, Prigogine-Lefever 1968。

Ch 7 — 振荡器与开关

§1 Murray; §2 Goodwin 1965 (7.4), 振荡条件 (7.16) Hopf (7.18) \(K > 0\) 振荡, 抑制物 (7.30), bursting (7.37) 钙依赖, FitzHugh-Nagumo 神经 (7.39), Hodgkin-Huxley 4 维 ODE (7.37)-(7.38)。 §4 关键: 1) Goodwin 反馈是生物振荡的范式; 2) HH 是 Hodgkin-Huxley 1952 的核心; 3) 振荡 ↔ 抑制 ↔ 兴奋是生物控制的"分子语法"。 §5 挑战: 真实神经的 10+ 离子通道。 §7 Goodwin 1965, Monod-Jacob 1961, FitzHugh 1961, Nagumo 1962, Hodgkin-Huxley 1952, Mayer 1908, Lillie 1945。

Ch 8 — 振荡器与开关(续)

§1 Murray; §2 心脏起搏 (8.10), 振荡阈值 (8.15), 神经元耦合 (8.18), 细胞周期 (8.28), 钙振荡 (8.45), Tyson 1991 细胞周期 (8.50), 周期-振幅关系 (8.62)。 §4 关键: 1) Tyson 1991 给出细胞周期的"全 ODE 模型"; 2) 钙振荡是细胞信号的核心。 §5 挑战: 22 年后(2026) "周期振幅解耦" 仍是细胞生物学挑战。 §7 Hodgkin-Huxley 1952, Jack-Noble-Tsien 1975, Bhatt-Hryshko-Lederer 2001, Berridge-Dupont 1994, Goldbeter 1996, Tyson 1991, 1996, Novak-Bennett-Tyson 1998, Bottani 1996。

Ch 9 — 振荡器扰动与耦合

§1 Murray 受 Winfree 启发的 chapter; §2 相位重置 (9.1)-(9.2), Type 1/0 曲线, 黑洞 (9.13) (Winfree 1970), Best 1979 HH 黑洞 (图 9.9), Jalife-Antzelevitch 1979 心脏起搏 (130 ms 抑制), Marek-Stuchl 1975 BZ 耦合, 萤火虫 (9.19) 锁定, 奇摄动 (9.45), 相移方程 (9.69) \(P(\chi) - \lambda \beta = 0\), 节奏分裂 (9.75)。 §4 关键: 1) 黑洞是"奇点 = 完全不可预测" 的范例; 2) Best 1979 数学理论先于实验; 3) Jalife 1979 → ICD 临床; 4) Marek-Stuchl 与 Murray 9.7-9.10 数学精确对应; 5) 相移方程 (9.69) 是奇摄动教学范本。 §5 挑战: 强耦合振荡器, Kuramoto 框架, 化学计算。 §7 Winfree 1970-2000, Best 1979, Jalife-Antzelevitch 1979, Marek-Stuchl 1975, Hanson 1978, Mirollo-Strogatz 1990, Kuramoto 1975, Ermentrout 1991, Strogatz-Stewart 1993。

Ch 10 — 传染病动力学 + AIDS

§1 Murray + Bentil, McLean, Anderson; §2 SIR (10.1)-(10.3) Kermack-McKendrick 1927, 阈值 \(R_0 = rS_0/a > 1\) (10.6), Bombay 鼠疫 (10.16), Eyam 1665 鼠疫 (Raggett 1982), criss-cross 淋病 (10.21), 多组淋病 (Lajmanovich-Yorke 1976), HIV 早期 (10.28), Ho-Perelson 1995 (10.39), 4 维鸡尾酒 (10.41), 延迟 HIV (10.49), 寄生虫-免疫 (10.50)-(10.56), 年龄依赖 SIR (10.67), 药物滥用 (10.79), 牛结核 (10.90), 接种 PVP (10.125) + 蜂窝自动机, BSE/vCJ。 §4 关键: 1) SIR 是"开山"; 2) Ho 1995 改变临床; 3) 4 维鸡尾酒 → HAART 临床; 4) 寄生虫-免疫三角; 5) 牛结核 criss-cross 反比律; 6) PVP 大规模接种核心; 7) BSE/vCJ 22 年前 Murray 的"几十万人死亡" 部分准确。 §5 挑战: 网络流行病学, 行为响应, HIV 治愈, AMR, 实时 \(R_0\) 估计, 空间传播, One Health, 接种犹豫, 气候 + 流行病, 人畜共患病, 伦理 + 模型。 §7 Kermack-McKendrick 1927, Bernoulli 1760, Bailey 1975, Hethcote 1994, Dietz-Hadeler 1988, Lajmanovich-Yorke 1976, Hethcote-Yorke 1984, Anderson-May 1982-1991, McNeill 1989, Garrett 1994, Watts 1998, Ho 1995, Perelson-Nelson 1999, Perelson 1996, Nelson 2000, Hoppensteadt-Murray 1981, Smith 1993, Lubkin 1996, Berding 1986, Bentil-Murray 1993, Anderson-Trewhella 1985, Powell 1993, Donnelly 1997, Ferguson 1997, Weiss 1996, Hooper 1999。

Ch 11 — 反应扩散 + 趋化 + 非局部

§1 Murray + Keller, Segel, Shigesada, Othmer, Cohen; §2 随机游走 → 扩散 (11.1)-(11.10), 反应扩散 (11.14)-(11.17), porous media (11.20), 趋化 (11.27)-(11.28), Keller-Segel 1971 (11.30), 长程扩散 (11.36)-(11.39), 积分方程 (11.41), 能量方法 (11.47)-(11.59), facilitated diffusion。 §4 关键: 1) 随机游走 → 扩散的严格推导; 2) Fisher-Kolmogorov (11.17) 是"反应扩散" 开山; 3) Turing 1952 形态发生; 4) porous media 有限波前; 5) Keller-Segel 趋化爆破 (Jäger-Luckhaus 1992); 6) 双调和色散 (11.39) 是模式形成关键; 7) Landau-Ginzburg (11.59) 是相场模型; 8) facilitated diffusion 解释血红蛋白 + 肌红蛋白。 §5 挑战: 真实生物扩散, facilitated diffusion 瞬态, 趋化爆破物理性, 双调和生物机制, 积分 vs PDE 选取, 唯象 free energy 一阶推导, 交叉扩散, Turing 精调, 非局部 + 非线性 + 噪声, 多尺度化学场。 §7 Fisher 1937, Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov 1937, Turing 1952, Okubo 1980, Shigesada 1980, Shigesada-Kawasaki 1997, Aikman-Hewitt 1972, Keller-Segel 1971, Murray 1977, Lauffenburger-Keller 1979, Tranquillo-Lauffenburger 1986-1988, Alt-Lauffenburger 1987, Martiel-Goldbeter 1987, Goldbeter 1996, Dallon-Othmer 1997, Othmer 1969, Cahn-Hilliard 1958-1959, Cahn 1959, Cohen-Murray 1981, Hoppensteadt 1975, Britton-Murray 1977, Wittenberg 1970, Okubo-Chiang 1974, Mogilner-Edelstein-Keshet 1999, Lara-Ochoa 1984, Jäger-Luckhaus 1992, Ermentrout-Kopell 1991, Lauffenburger-Linderman 1993, Anderson-Chaplain 1998。

Ch 12 — 振荡器行波 + CPG

§1 Murray + Kopell, Cohen, Wallén, Grillner; §2 BZ kinematic wave (12.1)-(12.7) Kopell-Howard 1973, 七鳃鳗 CPG (12.2) Cohen-Wallén 1980, 单振子 (12.13), N 振子耦合 (12.24), 最近邻 (12.25), 相位差 (12.27), 恒定相位差 N 振子 (12.38)-(12.39) 头尾调谐, 稳定性 (12.43)。 §4 关键: 1) Kinematic wave = 无物质传输的波; 2) BZ \(v_n = 1/n\) 与 Kopell-Howard 1973 精确吻合; 3) CPG 是"无脑" 节律; 4) 弱耦合相位方程 (12.24) 是 Ch 9.9 的特例; 5) 头尾调谐产生可逆游; 6) \(2^{N-1} - 2\) 锁相解都不稳定; 7) CPG + 康复机器人 + 仿生机器人。 §5 挑战: CPG 细胞机制, CPG-脑交互, 节段内耦合细节, 长程 vs 短程耦合, CPG 可塑性, 人类 vs 动物 CPG, CPG 频率调谐, CPG + 感觉反馈, 神经递质调制, CPG 演化。 §7 Kopell-Howard 1973, Beck-Váradi 1972, Thoenes 1973, Cohen-Wallén 1980, Grillner 1974, Grillner-Kashin 1976, Grillner-Wallén 1982, Cohen-Harris-Warrick 1984, Buchanan-Cohen 1982, Kopell 1988, Cohen-Holmes-Rand 1982, Rand-Cohen-Holmes 1988, Ermentrout 1981, Neu 1979-1980, Guckenheimer-Holmes 1983, Cohen-Ermentrout-Kiemel-Kopell-Sigvardt-Williams 1992, Ijspeert 2008, Harkema 2011, Skinner-Molnár-Czeh-Horváth 2012, Toner-Tu 1995, Vicsek-Czirók-Ben-Jacob-Cohen-Shochet 1995, Skinner-Kopell-Marder 1994。

Ch 13 — 生物波: 单物种

§1 Murray + Fisher, Kolmogorov, Canosa, Aronson, Newman, Kath; §2 Fisher-Kolmogorov (13.4) → 行波 (13.8) → 临界波速 \(c_\text{min} = 2\sqrt{kD}\) (13.13), 紧支集 \(c = 2\) (Kolmogorov 1937), 指数初始条件 \(c = a + 1/a\) (13.19), 渐近解 (13.29), 稳定性 (13.38) Titchmarsh 1946, 密度依赖扩散 (13.40), 精确解 (13.44), Aronson-Newman 1980 (13.53) 不连续导数, 非线性对流 (13.55) \(c(k) = k/2 + 2/k\) (13.60), 多稳态 (13.71) 蚜虫, 波速符号 (13.80) 面积决定, 钙动力学 (13.82)。 §4 关键: 1) FK 是"反应扩散革命起点"; 2) 临界 \(c_\text{min} = 2\sqrt{kD}\); 3) 反应扩散波比纯扩散快 \(10^4\) 倍; 4) Canosa 渐近解 \(s = 1/(4c)\); 5) Aronson-Newman 不连续导数; 6) 非线性对流 \(c(k)\); 7) 多稳态波速符号 (13.80) 蚜虫防治; 8) 钙促钙释放; 9) 稳定性 (13.38) 解释数值总 \(c = 2\)。 §5 挑战: 2 维行波, 异质环境 FK, 精确解局限, 喷洒带宽度, 多稳态 + 噪声, 耦合物种, 钙波精确实证, 3 维螺旋波, 化学随机性, 波速微观机制, 边界 + 行波, 信息热力学。 §7 Fisher 1937, Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov 1937, Luther 1906, Ammerman-Cavalli-Sforza 1971-1983, Canosa 1973, Larson 1978, McKean 1975, Fife 1979, Britton 1986, Grindrod 1996, Aronson 1980, Newman 1980, 1983, Hosono 1986, Satsuma 1987, Murray 1968-1973, Ludwig-Jones-Holling 1978, Murray-Oster 1984, Kath-Murray 1986, Cheer-Nuccitelli-Oster-Murray 1987, Lane-Murray-Manoranjan 1987, Murray 1984, Fife-McLeod 1977, Kevorkian-Cole 1996, Moldovan-Murray 1999, Murray 2003, Petrov 2005, Bezprozvanny 2005, Winfree 2000, Murray 1981, Sagawa-Ueda 2008。

Ch 14 — 分形: 使用与误用

§1 Murray; §2 自相似 (14.1) \(D = \ln m/\ln(1/r)\), von Koch \(D \approx 1.262\), Sierpinski 三角, Julia 集 (1918, 25 岁), 幂律 (14.3), 对数-对数图 (14.5), Paumgartner 1981 鼠肝细胞膜, Box-counting (14.9), Hilbert 1891 空间填充, Panico-Sterling 1995 神经元 + 血管是"空间填充" 而非"分形", DLA 警告。 §4 关键: 1) "使用与误用" 是 Murray 14.1 节开篇警告; 2) 视网膜神经节 + 血管 = 空间填充; 3) von Koch 长度无穷; 4) 幂律 (14.3) 是测量标准; 5) Box-counting (14.9) 是非自相似标准; 6) Hilbert 曲线 \(D = 2\); 7) DLA 与神经元视觉相似 ≠ 机制相同; 8) Glenny-Robertson 肺血流分形模型; 9) Paumgartner 鼠肝细胞膜; 10) Poincaré-Bendixson + Routh-Hurwitz 工具箱。 §5 挑战: 真实分形程度, Hausdorff vs Box-counting, 多重分形, Levy 飞行, 空间填充实际意义, DLA 机制验证, 统计推断, 肺血流机制, Murray 14 章位置不合理, 模糊分形, 中心流形。 §7 Mandelbrot 1982-1983, Peitgen-Saupe-Jürgens 1992, Liebovitch 1998, Strogatz 1994, Bassingthwaighte-Liebovitch-West 1994, Falconer 1990, Kaandorp 1994, Kaandorp-Lowe-Frenkel 1996, Paumgartner-Losa-Weibel 1981, Glenny-Robertson 1990-1995, Famiglietti 1992, Freed-Sterling 1988, Tauchi-Masland 1984, Montague-Friedlander 1991, Panico-Sterling 1995, Murray 1995, Cross 1994, Avnir 1998, Hilbert 1891, Caserta 1990, Schierwagen 1990, Jordan-Smith 1999, Guckenheimer-Holmes 1983, Odell 1980, Titchmarsh 1946, Liebovitch-Tóth 1991, Viswanathan 1996, Stanley 1999, Liebovitch 1989, Falconer 2003。

§3 数学工具全景

MurrayI 第一/二版用 4 大数学工具, 22 年前 Murray 系统给出: - ODE 工具: 1 维相图 + 2 维相平面 (附录 A) + Routh-Hurwitz (附录 B) + 奇摄动 (Ch 1, 9) - PDE 工具: 1 维行波 (Ch 2, 13) + 多物种 (Ch 3) + 边界 (Ch 13.5) + 长程 (Ch 11.5) + 能量 (Ch 11.6) - 离散工具: 离散时间 (Ch 2) + 离散延迟 (Ch 1, 10) + 差分 (Ch 5) - 应用工具: 实验 + 模型 + 数学 (Murray 14.1 节警告"分形使用与误用" 的方法论)

22 年后(2026) 这 4 大工具仍是 数学生物学研究生课程的"必经章节"。 22 年前 Murray 的"严格数学 + 实证应用" 框架 22 年后(2026) 在 "AI 时代" 重新被强调 — "模型-实验-数学" 三位一体永不过时。

§4 核心洞察

  1. 22 年前 Murray 的"模型-实验-数学" 三位一体是数学生物学的"开山方法", 22 年后(2026) 在 "AI + 生物学" 重新被强调。
  2. 反应扩散 (Ch 1.17, 11.17, 13.4) 是"模式形成" 的核心 — Turing 1952 + Murray 1981 (蝴蝶翅膀) + Vol II Ch 1-6 全部依赖。
  3. 生物振荡器 (Ch 7-9) 是"生命节律" 的核心 — 心脏 + 神经 + 细胞周期 + 萤火虫全部用同一 ODE 框架。
  4. 流行病模型 (Ch 10) 是"公共健康数学" 的核心 — Kermack-McKendrick 1927 → HIV → COVID 全在这一框架。
  5. Murray 14 章"使用与误用" 警告是 22 年后(2026) "AI + 生物学" 的方法论先驱。
  6. Poincaré-Bendixson + Routh-Hurwitz (附录 A + B) 是 22 年后(2026) 仍标准的 ODE 工具箱。

§5 关键参考文献 (跨章节)

  • 数学经典: Fisher 1937, Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov 1937, Turing 1952, Kermack-McKendrick 1927, Hodgkin-Huxley 1952, Goodwin 1965, Michaelis-Menten 1913, May 1974-1976
  • 生物经典: Anderson-May 1982-1991, Lotka-Volterra 1920-1926, Winfree 1970-2000, Lutz-Keener 1979
  • 物理经典: Luther 1906, FKN 1974, Belousov 1959, Zhabotinskii 1964
  • 22 年前 Murray 的关键引用: Ho-Perelson 1995, Perelson-Nelson 1999, Winfree 1980-2000, Ermentrout-Kopell 1991, Kuramoto 1975, Mirollo-Strogatz 1990

§6 22 年后(2026) 现代扩展 (隐含于 Murray 2002)

  1. COVID-19 (2020): Murray 10 章 SIR + 10.6 节鸡尾酒 (HIV 抗病毒) 框架被广泛使用。
  2. CRISPR (2012): Murray 14 章"模型 + 实验" 方法论延伸到"基因编辑"。
  3. AI + 生物学 (2018-2026): Murray 14 章"使用与误用" 框架延伸 — "AI 工具" vs "理解"。
  4. mRNA 疫苗 (2020): Murray 10.2 节群体免疫 + 10.5 节 HIV 模型用于 mRNA 设计。
  5. 单细胞测序 (2014-2026): Murray 1.5 年龄结构 PDE + 14.4 节 "数据 vs 模型" 反思。
  6. 深部脑刺激 (DBS): Murray 12.4 节 "头尾调谐" 推广到 Parkinson 治疗。
  7. 机器人 CPG: Murray 12 章 → Ijspeert 2008 蝾螈机器人, 22 年后(2026) 康复机器人广泛应用。
  8. AlphaFold 2021: Murray 14.4 节 "模型 vs 机制" 反思延伸 — 蛋白质结构预测 vs 折叠机制。
  9. 气候流行病学 (2026): Murray 10.1 节末 "Aedes aegypti 城市蚊" → 22 年后(2026) 气候流行病学。
  10. 类器官 (2026): Murray 10.6 节 HIV 模型 + 10.8 节寄生虫-免疫模型用于类器官药物筛选。

§7 反思: 22 年后(2026) 重新阅读 MurrayI

22 年前 Murray 写下 14 章, 当时的意图: 1. 教学: 22 年后(2026) 仍是该方向研究生的"必读教材" — 14 章 + 附录 A + B 完整覆盖 ODE/PDE/离散/应用。 2. 方法论: 14.1 节"使用与误用" + 10.5 节"学生 universal surveillance 实验" + 11.6 节"能量方法" 显示 22 年前 Murray 的科学哲学比数学更重要。 3. 历史: 10.1 节"从雅典瘟疫到 AIDS" + 12.1 节"BZ 反应 Kopell-Howard 1973" + 13.5 节"蚜虫 Ludwig 1978" 显示 22 年前 Murray 把模型-实验-历史紧密结合。 4. 22 年后(2026) 的意义: 在 "AI + 生物学" 时代, Murray 14.1 节"使用与误用" 重新被强调 — 警惕"工具的诱惑" 超过"问题的深度"。

§8 推荐阅读顺序

对 22 年后(2026) 想快速理解 MurrayI 的读者: 1. Ch 1-3 (动力学基础) — 必读 2. Ch 7-8 (振荡器) — 必读 3. Ch 10 (流行病) — 必读 4. Ch 11-13 (反应扩散 + 波) — 必读 5. Ch 6 (酶 + 奇异摄动) — 推荐 6. Ch 4-5 (TSD + 婚姻) — 选读 7. Ch 9 (相移 + 黑洞) — 推荐 8. Ch 12 (CPG) — 推荐 9. Ch 14 (分形使用与误用) — 强烈推荐 — 22 年后(2026) 仍不过时 10. 附录 A + B (相平面 + Routh-Hurwitz) — 工具箱, 必读

22 年后(2026) MurrayI 仍是"数学生物学" 的"开山教材", 22 年前 Murray 的"模型-实验-数学" 三位一体方法学永不过时。