第十章：传染病动力学模型
阅读笔记
1 引言与历史背景（10.1节）
1.1 历史上的流行病
本章开篇回顾了传染病的历史。公元前430年至前428年的雅典瘟疫是最著名的历史流行病之一，由修昔底德详细记载。14世纪的黑死病在欧洲造成约三分之一人口死亡。1793年美国费城的黄热病疫情导致约5000人死亡（约占总人口50,000人的十分之一）。
1.2 病原体分类
引起疾病的主要病原体分为四类： - 病毒（Viruses） - 细菌（Bacteria） - 寄生虫（Parasites） - 真菌（Fungi）
1.3 基本再生数R₀
基本再生数（Basic Reproduction Number）\(R_0\) 是流行病学中最关键的参数，表示在一个完全易感人群中，一个初始感染者产生的继发感染数量。
- 若 \(R_0 > 1\)，疫情将会爆发
- 若 \(R_0 < 1\)，疫情将逐渐消亡
2 简单传染病模型与实际应用（10.2节）
2.1 SIR模型的基本框架
Murray在本节详细介绍了经典的Kermack-McKendrick（1927）模型。模型将人群分为三类：
- S（易感者）：可被感染的人群
- I（感染者）：已感染且可传播疾病的人群
- R（移除者）：已康复/免疫或隔离的人群
状态转移关系为： $\(S \rightarrow I \rightarrow R\)$
2.2 模型假设
- 感染率与易感者数量和感染者数量的乘积成正比，比例为常数 \(r > 0\)
- 感染者的移除率与感染者数量成正比，比例为常数 \(a > 0\)
- 潜伏期可忽略不计
- 人群充分混合（均匀混合假设）
2.3 基本方程组
2.4 人口守恒
将三个方程相加得： $\(\frac{dS}{dt} + \frac{dI}{dt} + \frac{dR}{dt} = 0\)$
因此： $\(S(t) + I(t) + R(t) = N \quad (10.4)\)$
2.5 阈值现象
疫情爆发的条件由初始易感者数量决定： - 若 \(S_0 > \rho = a/r\)，则疫情爆发（\(I(t)\) 初始增加） - 若 \(S_0 < \rho = a/r\)，则无疫情（\(I(t)\) 持续减少）
其中 \(\rho = a/r\) 称为相对移除率，其倒数 \(\sigma = r/a\) 为感染接触率。
2.6 基本再生数R₀
当 \(R_0 > 1\) 时，疫情爆发；当 \(R_0 < 1\) 时，疫情不发生。
2.7 相轨迹分析
由 (10.1) 和 (10.2) 消去时间变量，得到 \((I, S)\) 相平面轨迹： $\(I + S - \rho \ln S = \text{常数} \quad (10.8)\)$
2.8 最大感染人数
疫情达到峰值时 \(S = \rho\)，最大感染人数为： $\(I_{max} = N - \rho + \rho \ln \frac{\rho}{S_0} \quad (10.9)\)$
2.9 最终易感者数量
疫情结束后 \(I(\infty) = 0\)，最终易感者数量 \(S(\infty)\) 满足超越方程： $\(S_0 \exp\left(-\frac{N - S(\infty)}{\rho}\right) = S(\infty) \quad (10.11)\)$
2.10 实际应用：孟买瘟疫1905-1906
Kermack和McKendrick将模型应用于孟买瘟疫数据，获得移除率拟合曲线： $\(\frac{dR}{dt} = 890 \text{sech}^2(0.2t - 3.4) \quad (10.16)\)$
该模型与实际数据高度吻合。
3 直接传播的阈值分析（10.3节）
3.1 垂直传播与水平传播
本节分析了具有垂直传播（母婴传播）的疾病模型。对于出生即为感染者的群体，其再生数计算更为复杂。
3.2 交叉感染模型
对于两类人群（如男性和女性）的性传播疾病，基本再生数需分别计算： $\(R_0^{(male)} = \frac{rS_0}{a}, \quad R_0^{(female)} = \frac{r'S_0'}{a'}\)$
3.3 阈值条件
疫情爆发的充分条件是至少有一类人群的基本再生数大于1。
4 简单SIS模型与再生数（10.4节）
4.1 SIS模型
某些疾病（如感冒、淋病）康复后不产生永久免疫，感染者康复后可再次成为易感者。这种模型称为SIS模型（Susceptible-Infected-Susceptible）。
4.2 模型方程
4.3 平衡点分析
存在两类平衡点： 1. 无病平衡点 \((S^*, I^*) = (N, 0)\) 2. 地方病平衡点：当 \(R_0 > 1\) 时存在
基本再生数为： $\(R_0 = \frac{rN}{a}\)$
5 HIV传播动力学建模（10.5节）
5.1 HIV感染的自然史
HIV感染分为几个阶段： 1. 急性感染期：病毒浓度迅速升高 2. 无症状期：病毒浓度维持在"设定点"水平 3. 艾滋病期：CD4 T细胞严重减少
5.2 基本流行病学模型
在同性恋人群中建立HIV传播模型，将人群分为： - \(X(t)\)：易感者数量 - \(Y(t)\)：感染者数量 - \(A(t)\)：艾滋病患者数量 - \(Z(t)\)：HIV阳性但无传染性者数量
5.3 模型方程组
5.4 基本再生数
其中 \(\beta\) 是传播概率，\(c\) 是性伴侣数量，\(\nu\) 是从感染到发病的转化率。
5.5 疫情发展时间尺度
感染者的增长率为： $\(Y(t) = Y(0)e^{v(R_0 - 1)t} = Y(0)e^{rt} \quad (10.37)\)$
加倍时间（doubling time）为： $\(t_d = \frac{\ln 2}{v(R_0 - 1)} \quad (10.38)\)$
6 HIV联合药物治疗建模（10.6节）
6.1 Ho等人的简单模型
Perelson等人（1996）提出病毒动力学的简单线性模型： $\(\frac{dV}{dt} = P - cV \quad (10.39)\)$
使用蛋白酶抑制剂后，假设 \(P = 0\)，得到： $\(V(t) = V_0 e^{-ct} \quad (10.40)\)$
病毒半衰期估计为 \(t_{1/2} = \ln 2/c \approx 2.1 \pm 0.4\) 天。
6.2 四组分模型
Nelson（1998）发展的更完整模型包含： - \(T\)：未感染T细胞 - \(T^*\)：生产性感染T细胞 - \(V_I\)：感染性病毒 - \(V_{NI}\)：非感染性病毒
模型方程： $\(\frac{dT}{dt} = s + pT\left(1 - \frac{T}{T_{max}}\right) - d_T T - kV_I T \quad (10.41)\)$ $\(\frac{dT^*}{dt} = (1 - n_{rt})kV_I T - \delta T^*\)$ $\(\frac{dV_I}{dt} = (1 - n_p)N\delta T^* - cV_I\)$ $\(\frac{dV_{NI}}{dt} = n_p N\delta T^* - cV_{NI}\)$
其中 \(n_p\) 是蛋白酶抑制剂的效能，\(n_{rt}\) 是逆转录酶抑制剂的效能。
6.3 无感染平衡点稳定性
无感染平衡点为 \((T_{s1}, 0, 0, 0)\)，稳定性条件为： $\(n_c = 1 - (1 - n_p)(1 - n_{rt}) > \frac{c}{NkT_{s1}} \quad (10.45)\)$
这意味着如果药物组合足够有效，病毒将被消除。
7 包含时滞的HIV感染模型（10.7节）
7.1 时滞的生物学基础
从细胞被感染到开始产生病毒之间存在可测量的时间延迟。本节介绍的模型将这个延迟表示为常数 \(\tau\)。
7.2 时滞模型方程
时滞 \(\tau\) 的估计值为1到1.5天。
8 寄生虫感染后天免疫的种群动力学（10.8节）
8.1 生物学背景
本节研究胃肠道线虫寄生虫感染的免疫反应。全球约8-10亿人感染蛔虫，7-9亿人感染钩虫。
8.2 免疫系统建模
引入免疫系统变量 \(E\)： $\(E = \int_{t-T}^{t} L(t')dt' \quad (10.50)\)$
免疫反应强度 \(I\) 采用饱和函数形式： $\(I \equiv I_{\alpha\beta}(E) = \frac{\alpha E^2}{\beta + E^2} \quad (10.51)\)$
8.3 低蛋白饮食模型
幼虫动态： $\(\frac{dL}{dt} = \lambda_i - \mu_D L \quad (10.52)\)$
成虫载荷动态： $\(\frac{dM}{dt} = \mu L - \delta M \quad (10.53)\)$
8.4 高蛋白饮食模型（含免疫）
9 年龄依赖传染病模型与阈值判据（10.9节）
9.1 年龄结构模型
当疾病的传染性和易感性与年龄相关时，需使用年龄结构模型。设 \(I(a,t)\) 为年龄为 \(a\) 、时间为 \(t\) 的感染者密度。
9.2 模型方程
易感者变化率： $\(\frac{dS}{dt} = -\int_0^{\tau} r(a')I(a',t)da'S, \quad S(0) = S_0 \quad (10.66)\)$
感染者满足偏微分方程： $\(\frac{\partial I}{\partial t} + \frac{\partial I}{\partial a} = -\lambda(a)I \quad (10.67)\)$
9.3 阈值参数γ
每个感染者期望感染的易感者数量： $\(\gamma = S_0 \int_0^{\tau} r(a) \exp\left(-\int_0^a \lambda(a')da'\right)da \quad (10.69)\)$
- 若 \(\gamma > 1\)，疫情爆发
- 若 \(\gamma < 1\)，疫情不发生
9.4 疫情严重程度
设 \(F = S(\infty)/S_0\)，则： $\(F = \exp\left[-\varepsilon + \gamma(F - 1)\right] \quad (10.77)\)$
10 简单毒品使用流行病模型（10.10节）
10.1 药物浓度动力学
设 \(c(t)\) 为血液中药物浓度： $\(\frac{dc}{dt} = d(t) - kc, \quad c(0) = 0 \quad (10.79)\)$
10.2 身体反应建模
设 \(A(t)\) 为游离受体位点数，\(B(t)\) 为结合位点数： $\(\varepsilon \frac{dA}{dt} = \alpha B - \beta cA, \quad A(0) = N \quad (10.81)\)$
用户反应（传染性）为： $\(r(t) = RN \cdot \frac{\alpha}{\beta} \cdot c(t) \quad (10.86)\)$
10.3 阈值分析
对于常剂量 \(d(t) = d\) 的情况，阈值参数 \(\gamma\) 随不同参数条件有不同表达式（见表10.1）。
11 牛结核病在獾与牛之间的感染（10.11节）
11.1 背景
牛结核病（Mycobacterium bovis）在英国西南部的獾种群中持续存在，并可传播给牛。獾感染后病程漫长（可存活165-1305天），在此期间持续污染牧场。
11.2 交叉感染模型
建立SI型年龄结构交叉感染模型，将獾和牛各分为易感者和感染者两类。
11.3 模型方程
獾的方程： $\(\frac{\partial U}{\partial t} + \frac{\partial U}{\partial a} = -\lambda_1 U + rW - \mu U \quad (10.90)\)$ $\(\frac{\partial W}{\partial t} + \frac{\partial W}{\partial a} = \lambda_1 U - rW - \mu W\)$
牛的方程形式类似。
11.4 感染力（Force of Infection）
11.5 参数估计
使用LPS（逻辑参数搜索）方法估计各参数（见表10.2）。
12 牛结核病控制策略建模（10.12节）
12.1 免疫模型
在基本模型中加入免疫类 \(Z\) 和 \(\tilde{Z}\)： $\(\frac{\partial z}{\partial \tau} + \frac{\partial z}{\partial \alpha} = cu \quad (10.111)\)$
12.2 免疫临界覆盖
为消除疾病，需要免疫覆盖率超过临界值： $\(f_c = 1 - \frac{1}{\rho_0} \exp\left(\frac{T_1}{L}\right) \quad (10.124)\)$
12.3 细胞自动机模型
采用离散方法模拟疾病在空间中的传播： - Rule A：无免疫状态的疾病传播 - Rule B：包含免疫状态的Preferred Vaccination Policy（PVP）
12.4 PVP（优先免疫策略）
按风险指数 \(R_{i,t}\) 对各亚区排序，优先对高风险区域进行免疫。
12.5 成本-效益分析
13 BSE与克雅病（10.12节补充）
13.1 BSE背景
BSE（牛海绵状脑病）于1986年在英国首次确诊，至1997年已确认约167,000例。
13.2 朊病毒特性
朊病毒是错误折叠的蛋白质，不含遗传物质，不引发免疫反应，对高温、辐射、酒精等均有抗性。
13.3 variant CJ病
人类感染variant CJ病（克雅病）后症状包括失眠、抑郁、焦虑、记忆丧失等，目前尚无有效治疗。
公式汇总表
| 编号 | 公式名称 | 公式 | 适用模型/情境 |
|---|---|---|---|
| (10.1)-(10.3) | SIR模型基本方程 | \(dS/dt = -rSI\), \(dI/dt = rSI - aI\), \(dR/dt = aI\) | 基本SIR模型 |
| (10.4) | 人口守恒 | \(S + I + R = N\) | SIR模型 |
| (10.6) | 疫情初始条件 | \(dI/dt\|_{t=0} = I_0(rS_0 - a)\) | SIR阈值判据 |
| (10.8) | \((I,S)\)相轨迹 | \(I + S - \rho \ln S = C\) | SIR相平面分析 |
| (10.9) | 最大感染人数 | \(I_{max} = N - \rho + \rho \ln(\rho/S_0)\) | SIR疫情峰值 |
| (10.11) | 最终易感者方程 | \(S_0 \exp(-(N-z)/\rho) = z\) | SIR稳态解 |
| (10.35) | HIV基本再生数 | \(R_0 \approx \beta c/\nu\) | HIV传播模型 |
| (10.37) | 感染人群指数增长 | \(Y(t) = Y(0)e^{v(R_0-1)t}\) | HIV早期传播 |
| (10.38) | 倍增时间 | \(t_d = \ln 2 / [v(R_0-1)]\) | HIV传播速率 |
| (10.40) | 病毒衰减 | \(V(t) = V_0 e^{-ct}\) | 蛋白酶抑制治疗 |
| (10.45) | 治疗稳定性条件 | \(n_c = 1-(1-n_p)(1-n_{rt}) > c/(NkT_{s1})\) | HIV联合治疗 |
| (10.69) | 年龄模型阈值参数 | \(\gamma = S_0 \int_0^\tau r(a)e^{-\int_0^a \lambda da'}da\) | 年龄依赖模型 |
| (10.77) | 疫情严重程度 | \(F = \exp[-\varepsilon + \gamma(F-1)]\) | 年龄结构模型 |
| (10.88) | 毒品使用阈值 | \(\gamma = S_0 \int_0^\infty r(t)e^{-\lambda t}dt\) | 药物使用模型 |
| (10.91)-(10.92) | 交叉感染力 | \(\lambda_1 = \beta_1 \int W da + \beta_2 \int \tilde{W} da\) | 獾-牛TB模型 |
| (10.116) | 免疫临界条件 | \(\rho_0 u_e = 1\) | 疫苗接种模型 |
| (10.124) | 免疫临界覆盖率 | \(f_c = 1 - \frac{1}{\rho_0}\exp(T_1/L)\) | 牛 TB 控制 |
关键概念总结
-
阈值现象（Threshold Phenomenon）：大多数传染病模型都存在临界条件（通常为 \(R_0 = 1\)），决定疫情是否爆发。
-
基本再生数 \(R_0\)：是流行病学中最重要的参数，表示一个感染者在完全易感人群中的平均继发感染数。
-
群免疫（Herd Immunity）：当足够高比例的人群获得免疫后，可保护未接种的个体。
-
年龄结构（Age Structure）：年龄是影响疾病传播和严重程度的重要因素。
-
交叉感染（Criss-Cross Infection）：两种宿主相互传播同一种疾病（如獾与牛之间的结核病）。
-
药物鸡尾酒疗法：联合使用多种抗病毒药物可显著提高治疗效果。
-
时滞效应（Delay Effects）：细胞感染与病毒产生之间的时间延迟影响治疗效果估计。
参考价值
本章系统介绍了传染病数学建模的主要方法，从简单的SIR模型到复杂的年龄结构交叉感染模型。通过对以下疾病的建模分析： - 腺鼠疫 - 流感 - HIV/AIDS - 胃肠道寄生虫 - 牛结核病
展示了数学模型在流行病学研究和疾病控制中的重要应用价值。
本文档基于J.D. Murray《Mathematical Biology I》第十章内容编写