第 8 章：血管网络形成的力学理论（A Mechanical Theory of Vascular Network Formation）

8.1 生物背景与动机（Biological Background and Motivation）

作者首先区分两个术语：体内血管发生（vasculogenesis）指由内皮细胞与成血管细胞形成（主要）血管；血管生成（angiogenesis）则是从已有血管萌发出新的血管结构。血管生成一词于 1935 年首次使用，描述胎盘中新生血管的形成。本章的建模动机是尝试确定产生此类图样结构的基础机制中的关键元素。由于体内研究对各种敏感性问题都很敏感，本领域多数实验工作集中在体外（in vitro）生物学模型系统上以规避诸多实验困难。Folkman 与 Haudenschild (1980) 发展的体外血管生成生物学模型为研究血管形成提供了受控手段，其基本假设是若这些体外研究能复现体内观察到的图样类型，则它们为体内运作的图样形成机制提供信息。本章研究的本质上是平面的网络图样，更接近血管发生而非明显是三维的血管生成。

血管生成与血管形成在创伤愈合、维持肿瘤生长、形态发生等过程中都至关重要；血管化对实体癌肿瘤的生长必不可少。Folkman (1972) 提出一个现在被认为可能是实体瘤领域最重要论文之一的假设：若能抑制新生血管化，就可能阻止肿瘤生长或至少将其控制在直径约 2–3 mm 的休眠团块内；他还推测此类抗血管生成可能是新型癌症治疗的基础，并提出令人信服的证据证明肿瘤产生一种化学物质——肿瘤血管生成因子——诱导新生血管化。这项工作在 1990 年代后期发现内皮抑素（endostatin）、血管抑素（angiostatin）等抗血管生成因子（O'Reilly 等 1997）之前几乎完全被忽视。沙利度胺（thalidomide）也被发现能抑制血管生成（D'Amato 等 1994）。Folkman 与 Klagsbrun (1987) 描述了在肿瘤中已发现的一些血管生成因子；从癌症治疗角度看一个特别重要的方面是抗血管生成治疗不像化疗那样在实验性癌症中诱发获得性耐药性（Boehm 等 1997）。

作者在 1990 年代初阅读 Folkman 早期著作后开启了研究，试图为血管生成中观察到的网络图样背后的生物过程建模。即使没有癌症这一联系，这也是一个重要且具挑战性的问题。本章描述力学化学（虽然严格来说只是力学）理论在图样形成过程中的应用。虽由 Folkman 1970 年代的观点激发，但该应用直接与 Sage、Vernon 及其同事（Vernon 等 1995）所做的实验相关，并用于理论与实验的比较，也是实际参数估计的基础。

8.2 血管发生的细胞-细胞外基质相互作用（Cell–Extracellular Matrix Interactions for Vasculogenesis）

体外血管生成系统的研究表明细胞外基质（ECM）在血管发生中起着重要的力学作用：它为细胞迁移提供支架，细胞铺展是控制细胞周期（Bray 1992）和形态发生（如 Vernon 1992）的重要过程。细胞不仅能产生和降解其 ECM，还可通过施加力学力改变其结构；通过基质产生与降解，细胞能影响 ECM 的力学性质，通过力学力可将其纤维组分重排为基质线，细胞将其作为迁移路径与运动线索（详见第 10 章讨论）。这种细胞-ECM 相互作用能被协调以形成复杂空间图样的力学场景，使其成为 Murray–Oster 力学理论（第 6 章）应用的严肃候选者。细胞-基质相互作用导致基质排列从而影响细胞运动的能力在发育中相当普遍，Manoussaki (1996)、Manoussaki 等 (1996) 及 Murray 等 (1998) 给出一些讨论。Little 等 (1998) 编辑的关于血管形态发生（由 Folkman 作序）的实验与理论文章是关键的参考文献。

力学与流体力学因素在血管系统整体发育中起重要作用。Thoma 在 1893 年就指出（流体）力学因素在发育期血管生长中的重要性。在 Hudlická 与 Brown (1993) 关于力学力对血管生成影响的综述中，描述了 Thoma 关于生长胚胎中血管萌出可能由血流速度与压力组合所致的观察。后续许多研究强调了力学力在血管系统发育中的作用：它们也可能参与发育中肺的早期分叉（Lubkin 与 Murray 1995）。研究力学力如何影响血管系统发育主要沿两条主线：一条聚焦于描述宏观血管重塑——"血管重塑"一词用于描述血管壁结构变化与由毛细血管生成与退化引起的血管树变化；例如血压变化能引起各种血管结构厚度的变化，肺动脉高压期间升高的压力引起内膜（器官最内层膜）与血管外组织层增厚（Fung 与 Liu 1991）。血管壁应力变化在血管丛重塑中可能重要（Price 与 Skalak 1994），血管剪切应力或血流模式已被建议为通过已有物质的嵌入（intussusception）实现表面体积生长所引起的血管网络重塑原因之一（Patan 等 1996）。第二条主线集中于阐明施加于血管细胞的力学力改变基因表达（Ando 与 Kamiya 1996）的机制及对信号通路的分子效应。血流剪切应力也被显示能改变细胞形状并影响细胞骨架组织（Ingber 等 1995）；剪切应力将刺激内皮细胞 DNA 合成（Ando 等 1990）以及内皮细胞的迁移（本章后面将看到）与增殖（Ando 等 1987）。

虽然方法不同，Chaplain 及其同事关于毛细血管网络的工作与本章内容相关；Chaplain 与 Anderson (1999) 给出综述与早期工作细节及血管生成其他理论参考文献；他们主要关注肿瘤诱导的血管生成，连续介质模型涉及细胞响应趋化性与趋触性（第 6 章），趋触结构来自细胞分泌的纤连蛋白。这些模型与该领域实验工作紧密联系，Schor 等 (1999) 给出综合综述，特别关注实验数据如何与理论模型关联。

作者接着描述基于 Murray–Oster 力学化学建模框架（第 6 章）的力学模型机制，由 Manoussaki (1996)、Manoussaki 等 (1996) 与 Murray 等 (1998) 发展，试图捕捉细胞产生的力学力与其细胞外基质之间的关键相互作用。模型表明纯力学版的理论可负责解释观察到的图样及它们在发育中实际形成的方式。力学模型基于非常简单的力学概念，不指定所涉及的细胞与基质类型，而只考虑各组成部分间可能的力学相互作用。基本上细胞黏附于基质底物，作为其牵引力的结果，它们使基质与黏附于其上的细胞变形，细胞与基质聚集体共同形成。由于基质与细胞密度的异质性，细胞牵引张力线在聚集体之间形成；这些张力线对应排列的基质纤维，细胞沿其主动运动，从而定义了聚集体之间的细胞高速公路。

Tranqui 与 Tracqui (2000) 的近期论文与本章工作特别相关，但更倾向于血管生成方向。他们也使用基于其体外实验的力学模型来生成毛细血管样结构，在细胞守恒方程中包含细胞各向同性扩散与趋触性以及长程弹性效应（第 6 章）；能估计出所有模型参数。特别有趣的是他们显示分析推导出的模式进化的临界参数对应实验变量的阈值；通过对一维模型数值模拟获得纤维蛋白凝胶与细胞密度的空间图样，与实验得到的比较。

体外血管网络形成的实验模型

Vernon、Sage 及其同事的体外实验（Vernon 等 1992, 1995）显示各种内皮细胞（特指牛主动脉内皮细胞 BAEC）、成人真皮成纤维细胞与人平滑肌细胞在凝胶基底膜（Matrigel）上培养时重组基质并形成网络。此外，细胞在不同底物上——例如 I 型胶原凝胶——只要基质足够有可塑性也能形成网络。他们的研究以及 Tranqui 与 Tracqui (2000) 的研究都提示图样机制缺乏细胞与基质特异性，力学机制可为网络形成过程的普遍性提供可能的解释。

细胞被铺于 60 µm–600 µm 厚的 Matrigel 层上。Matrigel 是由胶原纤维在富含层粘连蛋白的片状网中形成的基质，帮助细胞黏附。研究过的所有细胞系过程相似：细胞黏附于基质并开始通过其指状丝状伪足（filopodia）拉它；拉动导致基质与黏附其上的细胞运动，最终形成聚集体，聚集体下积累大量基质；结果在聚集体周围出现细胞牵引张力线。第 6 章图 6.3 中显示的成纤维细胞在薄硅橡胶上施加的牵引力产生非常清晰的张力线（Harris 等 1980）。最终，基质组分在相邻聚集体之间及沿张力线形成排列基质的有纤维索；线一旦形成，与它们接触的细胞变成长形与双极，平行于线排列，变得主动运动并沿这些基质通路迁移，从而形成细胞索。约 24 小时铺板后，培养平面被细胞索所定义的多边形镶嵌（Vernon 等 1992）。随时间推移，某些多边形增大，某些以括约肌样方式闭合，从而形成更大的多边形；这种持续重塑伴随 Matrigel 厚度的相应扭曲。图 8.1 显示网络索的典型实验所得时空演化，图 8.1(i) 为这种网络的较大比例照片。拉长与迁移只发生在纤维轨道上并直到轨道出现才开始。胶原（组织基质成分）含量影响网络形成，可能通过改变基质刚度从而影响细胞施加的牵引对基质的作用；基质层厚度也影响所形成网络的大小：薄基质层导致小或无网络形成。在基质厚度递增的斜坡上，较大细胞网络在较厚基质区域形成。

这些结果提示力学相互作用对图样发育至关重要，将在数学模型中量化相互作用。作者将看到，所提机制方程的解证实了力学力在网络图样形成中所起的决定性作用。数学模型因此提供了一种工具用于评估 ECM 的哪些力学性质控制着图样形成过程以及参数如何调制图样大小；它也提供了各种实验场景以突出实验可变参数（如基质凝胶厚度、细胞密度等）的效果。由于细胞所嵌入的实验凝胶厚度很薄，特别是相对于细胞-基质空间域，二维模型足以与体外实验比较。

血管网络形成的模型力学机制

二维数学模型量化上述基本实验力学场景。记平均局部细胞密度为 n（细胞 mm−2）。模型不包含细胞增殖——在 Matrigel 培养中首批细胞聚集体与张力线 4 小时后出现，网络在约 24 小时内完成；内皮细胞两次有丝分裂之间的时间约 17 小时，所以假设不会发生可影响图样形成过程的细胞群体的显著变化。可以容易地包含细胞与基质增殖，且这样的研究正在进行中。凭借其他章节应用力学机制进行图样形成的经验，特别是全层创伤愈合的第 10 章，可以预期模型将采取的总体形式。下面遵循 Manoussaki (1996) 与 Murray 等 (1998) 的工作。

作者只考虑小应变近似，虽然这并不完全符合实验中的情况，但应能给出明确指示，说明这些是否就是图样生成所涉及的过程。

假设局部细胞密度的变化主要是两种运动的组合：对流通量与依赖于各向异性应变的随机运动（扩散）张量。取对流通量 \(J_{\text{convection}} = n\mathbf{v}\)，其中 \(\mathbf{v}(x, y, t)\) 是在点 \((x,y)\)、时刻 \(t\) 的基质速度；小应变近似下 \(\mathbf{v} = \mathbf{u}_t\)，\(\mathbf{u}\) 是基质向量位移（关于有限应变下对流速度形式见前章讨论）。

将细胞运动产生的通量建模为沿基质排列区域的依赖于各向异性应变的随机运动。取 \(D(\epsilon)\) 为随机运动扩散张量，依赖于基质应变 \(\epsilon = (1/2)(\nabla \mathbf{u} + \nabla \mathbf{u}^T)\)。主动运动产生的通量取为

\[ J_{\text{diffusion}} = -\nabla \cdot (D(\epsilon) n) = -n \nabla D(\epsilon) - D(\epsilon) \nabla n. \]

\(D(\epsilon)\) 的形式依赖于关于细胞如何在应变场中执行随机运动的具体假设；其有限与小应变下形式最初由 Cook (1995) 在"运动偏向在某一方向膨胀和/或垂直方向压缩下增大"的假设下推导；具体形式在第 10 章 10.8 节推导，小应变下 \(D(\epsilon)\) 由该处 (8.2) 式给出。

细胞密度的守恒方程现由下式给出

\[ \frac{\partial n}{\partial t} = -\nabla \cdot \left( n \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} \right) + \nabla \cdot \nabla \cdot (D(\epsilon) n), \]

（速率变化）（对流）（依赖于应变的细胞随机运动）

其中在 \((x,y)\) 平面（如第 10 章 10.54 式）

\[ D(\epsilon) = D_0 \begin{pmatrix} 1 + \epsilon_{11} - \epsilon_{22} & \epsilon_{12} \\ \epsilon_{21} & 1 + \epsilon_{22} - \epsilon_{11} \end{pmatrix}. \]

\(\epsilon_{11}, \epsilon_{22}, \epsilon_{12}, \epsilon_{21}\) 是应变张量 \(\epsilon\) 的分量，\(D_0\) 是无应变时的运动系数。推导此扩散矩阵背后的基本思想是：在细胞随机行走中它倾向于从其起始纤维的方向在纤维空间中沿切向运动，比这更复杂；详见 10.8 节讨论。

力平衡方程

由于只考虑小应变，将基质建模为线性黏弹材料，其性质在图样形成过程初始阶段保持不变。遵循本书其他各处所用的连续介质形式，加上几条合理的额外假设：基质域远大于基质厚度，所以将基质近似为二维材料；也假设细胞施加的牵引保持在平行于皿（或近似地，基质）表面的平面内——换言之，认为材料处于平面应力假设下。基质运动被基质对皿的附着显著抵抗。体内血管生成则相比之下受到邻近组织纤维与细胞成分潜在附着与连续性的影响。

组织中存在的力有：(i) 细胞施加的牵引，(ii) 基质-皿接触引起的阻力，(iii) 抵抗细胞所致形变的基质材料的黏弹力。在图样形成过程中惯性效应与其他力相比可忽略不计，所以任何点处力都处于平衡：

\[ F_{\text{matrix}} \text{（黏弹回复力）} + F_{\text{cells}} \text{（细胞生成牵引）} + F_{\text{anchoring}} \text{（皿上附着）} = 0. \]

细胞力与基质响应通过基质介质内相应应力张量的散度描述，\(F_{\text{cells}} = \nabla \cdot \sigma_{\text{cells}}\)（\(\sigma_{\text{cells}}\) 是基质中由细胞引起的应力张量），\(F_{\text{matrix}} = \nabla \cdot \sigma_{\text{matrix}}\)（\(\sigma_{\text{matrix}}\) 是基质材料中黏弹应力张量）。\(F_{\text{anchoring}}\) 是抵抗基质位移的外加（体积）力。

细胞施加的牵引 \(F_{\text{cells}}\) 依赖于局部细胞密度与各种其他因素（已在第 6 章和创伤愈合第 10 章讨论）。对本章而言，对细胞在基质上生成应力取合理的定性形式即可

\[ \sigma_{\text{cells}} = \tau \frac{n}{1 + \alpha n^2} I, \]

其中 \(\tau\)（dynes/cell）表示单个细胞在低细胞密度下对基质施加的应力，\(\alpha\) 是量化邻近细胞对牵引力影响的参数；也见第 6 章及对各函数形式与实验数据关系的讨论。对所关心的密度，应力张量近似等于 \(\tau n I\)。参数 \(\alpha\) 量化大细胞密度下细胞牵引的减小，反映了总牵引力的上限；它也防止出现不切实际的大力。虽然使用 (8.4) 式但应再次强调这仅是合理的定性描述。细胞牵引如前所述已被证明难以测量，原因是细胞-基质相互作用的复杂性以及在实际生物组织中分离各种力学效应的困难。Ferrenq 等 (1997) 的开创性论文描述了量化内皮细胞在细胞外基质上所产生力的强大实验技术及一般方法。

由于考虑小应变，将基质中响应细胞牵引的黏弹应力 \(\sigma_{\text{matrix}}\) 取为前面章节用过的线性 Voigt 形式（也见 Fung 1993），其中黏性与弹性应力线性相加：

\[ \sigma_{\text{matrix}} = \sigma_{\text{viscous}} + \sigma_{\text{elastic}} = \mu_1 \epsilon_t + \mu_2 \theta_t I + E' \epsilon + \nu' \theta I, \]

参数 \(\mu_1, \mu_2\)（dynes sec−1）是基质的体黏度与剪切黏度，\(\theta = \nabla \cdot \mathbf{u}\) 是基质沿皿平面的膨胀，\(E' = E/(1+\nu)\) 且 \(\nu' = \nu/(1-2\nu)\)。\(E\) 是杨氏模量，量化材料刚度；\(\nu\)（mm/mm）是泊松比，度量凝胶条在垂直方向被拉伸一单位长度时收缩多少。

现在考虑基质对皿的附着。实验显示一些基质纤维保持附着于皿，其余被拖过基质下部。在二维零滑移近似下，纤维对皿的附着对基质表面的净效应是一种阻力，在厚度为 \(\rho\) 的三维凝胶中建模为黏性阻力

\[ F_{\text{anchoring}} = -\frac{s}{\rho} \mathbf{u}_t. \]

这里 \(\rho(x,y,t)\)（mm）表示基质厚度，\(s\) 是附着阻力强度的度量。假设细胞与皿之间基质层数越多（\(\rho\) 越大），基质对皿的黏附对其上基质重组的阻力越小。如果基质厚度很大，如在非平面体外或体内情况下，模型将是三维的，这个外力在大多数情况下将为零。

基质厚度

由于在这种二维情况下垂直应力 \(\sigma_{zz} = 0\)，我们得到三个方向上应变分量 \(\epsilon_{xx}, \epsilon_{yy}, \epsilon_{zz}\) 之间的关系。从三维 Hooke 定律

\[ 0 = \sigma_{zz} = \frac{E}{1+\nu}\left(\epsilon_{zz} + \frac{\nu}{1-2\nu}\theta\right) \Rightarrow \epsilon_{zz} = -\frac{\nu}{1-2\nu}\theta. \]

当在 \(z\) 方向有应变 \(\epsilon_{zz}\) 时，厚度用 \(\rho(x,y,t) = \rho_0(x,y)(1 + \epsilon_{zz})\) 计算，由此推导出厚度 \(\rho\) 作为空间与时间函数的关系

\[ \rho(x,y,t) = \rho_0(x,y)(1 + \epsilon_{zz}) = \rho_0\left(1 - \frac{\nu}{1-2\nu}\theta\right), \]

其中 \(\theta\) 是膨胀。

模型方程的边界条件

实验已显示基质在皿边缘几乎不动，通过假设零位移作为边界条件将其纳入模型模拟。如以 \(B\) 记域，则给出 \(\mathbf{u}(x,y,t) = 0\) 对 \((x,y) \in \partial B\)。所以对方形域（我们使用方形而非圆形仅是为便于数值编程与缩短计算时间），边长为 \(a\) 和 \(b\)，条件变为

\[ \mathbf{u}(x,y=a,t) = \mathbf{u}(x,y=b,t) = \mathbf{u}(x=a,y,t) = \mathbf{u}(x=b,y,t) = 0, \]

其中 \(\mathbf{u}(x,y,t)\) 表示在位置 \(\mathbf{x} = (x,y)\)、时刻 \(t\) 的位移。细胞当然保持在皿内，这给出细胞的零通量边界条件

\[ J_{\text{cells}} = n\mathbf{v} - \nabla \cdot (D(\epsilon) n) = 0, \quad \mathbf{x} \in \partial B, \]

其中如上速度 \(\mathbf{v} = \mathbf{u}_t\) 在我们这里所用近似下，\(D(\epsilon)\) 由 (8.2) 给出。

细胞守恒方程 (8.1) 与力平衡方程 (8.3)，连同由 (8.2) 与 (8.4)–(8.7) 给出的各种表达式，构成模型机制。方程须结合边界条件 (8.8) 与 (8.9) 及符合实验布置的细胞密度与基质分布初始条件求解。

首先通过引入无量纲变量 \(n^* = n/n_0\)、\(\rho^* = \rho/\rho_0\)、\(\mathbf{u}^* = \mathbf{u}/L\)、\(\mathbf{r}^* = \mathbf{r}/L\)、\(t^* = t/T\)、\(s^* = s(1+\nu)L^2/(ET\rho_0)\)、\(\alpha^* = \alpha n_0^2\)、\(\tau^* = \tau n_0(1+\nu)/E\)、\(\nu^* = \nu/(1-2\nu)\)、\(\epsilon^* = \epsilon\)、\(\theta^* = \theta\)、\(D^* = DT/L^2\)、\(D_0^* = D_0 T/L^2\)、\(\mu_i^* = \mu_i(1+\nu)/(ET)\)（\(i = 1,2\)）对方程无量纲化，其中 \(L\) 与 \(T\) 是典型长度与时间尺度（例如 \(L\) 可以是皿的一个维度），\(n_0\) 是细胞铺板初始密度，\(\rho_0\) 是均匀基质层的初始厚度。借助这些，模型系统变为

\[ n_t + \nabla \cdot (n \mathbf{u}_t) = \nabla \cdot \nabla \cdot (D(\epsilon) n), \]

\[ \nabla \cdot \left( \mu_1 \epsilon_t + \mu_2 \theta_t I + \epsilon + \nu \theta I + \frac{\tau n I}{1 + \alpha n^2} \right) = \frac{s}{\rho} \mathbf{u}_t, \]

\[ \rho(x,y,t) = 1 - \nu \theta, \]

为方便起见已略去星号上标。无量纲形式的上述边界条件与有量纲形式相同，尺寸现在按 \(L\) 缩放。

8.3 参数值（Parameter Values）

描述细胞行为与基质性质的各种参数在不同程度上依赖于基质的应力与应变（因此也依赖于纤维取向）。这是生物材料的性质，使得参数估计特别困难。作者将在全层创伤愈合一章看到这些依赖能有多复杂。然而在假设各向异性对参数值影响不大的前提下，我们能从文献中对描述细胞行为与基质性质（如基质刚度杨氏模量、泊松比、细胞随机运动系数）的大多数参数推导出估计，列于表 8.1。材料性质的某些特征化可通过使用适当的基质蠕变与松弛实验（Fung 1993）实现。Barocas 等 (1995) 描述了 I 型胶原凝胶的流变性质，Lee 等 (1993, 1994a,b) 通过应用这些论文中描述的慢应变技术描述了组织衍生的凝胶（如玻璃体）。我们在这些结果涉及结构与 Vernon 等 (1992) 实验所用基质大致类似组织时使用它们；尚无关于 Matrigel 本身力学性质的研究。

基质刚度由材料弹性模量 \(E\)（dynes cm−2）表示，主要由其纤维组分的类型、数量与组织决定。例如前部猪玻璃体与后部牛玻璃体被发现胶原含量类似，分别给出 26.93 dyne cm−2 与 8.01 dyne cm−2 的弹性模量（Lee 等 1994a,b）。由于血管网络形成实验所用胶原凝胶的胶原含量与上述玻璃体相当，假设这些凝胶的弹性模量在类似范围。

2.1 mg ml−1 I 型胶原凝胶的剪切黏度 \(\mu_1\) 已用蠕变测试测得为 \(7.4 \times 10^6\) Poise（Barocas 等 1995），而后部牛玻璃体的被估计为 \(2.5 \times 10^2\) Poise（Lee 等 1994）。两者值的差异可能是由于两种凝胶的组成不同——前者胶原含量约为后者的 14 倍。凭模型当然能预测变化黏度对所形成网络图样的效果（Manoussaki 1996, Murray 等 1998）。关于体黏度，预期它比剪切黏度大得多。

每细胞牵引 \(\tau\)（dynes cell−1）被认为与人脐静脉内皮细胞的相当，在汇合细胞单层中约 \(6.1 \times 10^4\) dynes cell−2（Kolodney 与 Wysolmerski 1992）。在细胞密度为 \(2.25 \sim 4 \times 10^5\) cell cm−2 时估计每细胞牵引力约 \(\tau \approx 0.15 \sim 0.27\) dynes cell−1。Harris 等 (1980) 估计细胞牵引至少为 0.03 dynes cell−1。

泊松比 \(\nu\)（cm cm−1）是无量纲参数，理论上可通过拉伸材料一定量并测量其垂直方向压缩来测量。相对拉伸与压缩之比给出参数大小。实际上，对软材料如胶原凝胶这种测量可能很困难，因为 \(\nu\) 的值随时间变化：纤维组分与水的组分分离，液相与固相泊松比不同。正在排液纤维网络的泊松比被估计为 \(\nu \approx 0.2\)（Scherer 等 1991）。

内皮细胞的细胞运动性已用迁移实验测得（Hoying 与 Williams 1996）。所报告的人微血管内皮细胞在明胶上数值为有内皮细胞生长因子时 \(9.5 \pm 1.2 \times 10^{-9}\) cm² sec−1，无时为 \(2.6 \pm 0.6 \times 10^{-9}\) cm² sec−1；在纤连蛋白上为 \(19.3 \pm 4.22 \times 10^{-9}\) cm² sec−1。

锚定参数 \(s\) 是模型中引入的，没有可用的数据。当基质厚度大时（约 1 cm 数量级），取 \((s/\rho)\mathbf{u}_t\) 与剪切黏度项同阶来估计它。同样，模拟可量化变化此参数的效果。

在本研究中关注网络图样出现的初始阶段，可假设参数保持近似常数。

图样形成机制如何工作

假设凝胶与细胞最初均匀分布，并对细胞密度引入小随机扰动。这是一个经典的局部激活与侧向抑制场景。细胞生成的牵引随细胞密度增大而增大，所以高细胞密度区域对基质施加的牵引大于低密度邻近区域。因此这些区域中的细胞从邻近低密度区域拉来更多基质；随着基质在这些区域中积累，它携带黏附于其上的细胞。所以，若牵引力大到足以克服基质的弹性回复力，就形成高细胞密度区域，从而产生细胞与基质密度的空间异质性。聚集体间张力使纤维在拉伸于细胞聚集体之间的方向上重排；与这些排列纤维区域接触的细胞表现出沿排列方向增强的运动，高度排列的纤维区域充满细胞。

8.4 模型方程分析（Analysis of the Model Equations）

借助上述图样形成场景及来自其他若干章的经验，可以清楚地对模型方程进行线性、可能还有非线性稳定性分析，关于相关稳态，此处为

\[ n_s = 1, \quad \rho_s = 1, \quad \mathbf{u}_s = 0. \]

这里只进行线性稳定性分析，以确定图样形成的参数域，突出系统产生空间图样所必需的关键元素，并对机制的图样形成潜力有所了解。

通过设 \(n = 1 + \bar{n}\)、\(\rho = 1 + \bar{\rho}\)、\(\mathbf{u} = \bar{\mathbf{u}}\) 将 (8.11) 关于均匀稳态 (8.12) 线性化（为方便略去横杠），得到线性化系统

\[ n_t + \nabla \cdot \mathbf{u}_t = D_0 \nabla^2 \left( n + \frac{1}{2} \nabla \cdot \mathbf{u} \right), \]

\[ \nabla \cdot [\mu_1 \epsilon_t + \mu_2 \theta_t I + \epsilon + \nu \theta I + \tau_1 n] = s \mathbf{u}_t, \]

\[ \rho = -\nu \theta, \]

其中 \(n, \rho, \mathbf{u}\) 现在表示从稳态 \((1,1,0)\) 出发的小扰动，且 \(\tau_1 = \tau(1-\alpha)/(1+\alpha)^2\)。

按通常方式寻找形如

\[ (n, \rho, \mathbf{u}) \propto e^{\sigma t + i \mathbf{k} \cdot \mathbf{x}} \]

的解，其中 \(\sigma\) 与 \(\mathbf{k}\) 分别是增长率与波矢。经过一些繁复代数得到 Jacobian 矩阵（这里 \(4 \times 4\) 因为 \(\mathbf{u}\) 有两个分量），由它得到 \(\sigma\) 的特征方程

\[ \sigma \left[ (\mu_1 k^2 + 2s) \sigma + k^2 \right] \left[ (\mu k^2 + s) \sigma^2 + b(k^2) \sigma + c(k^2) \right] = 0, \]

其中 \(\mu = \mu_1 + \mu_2\)，\(k^2 = |\mathbf{k}|^2\)，

\[ b(k^2) = \mu D k^4 + (sD + 1 + \nu - \tau_1) k^2, \]

\[ c(k^2) = D k^4 (1 + \nu - \tfrac{1}{2} \tau_1). \]

为不忘参数含义，(8.15) 与 (8.16) 中的参数有量纲形式

\[ s = \frac{s(1+\nu)L^2}{ET\rho_0}, \quad \tau_1 = \frac{\tau n_0 (1+\nu)(1-\alpha n_0^2)}{E(1+\alpha n_0^2)^2}, \quad \mu = \frac{(\mu_1+\mu_2)(1+\nu)}{ET}, \quad \nu = \frac{\nu}{1-2\nu}, \quad D = \frac{D_0 T}{L^2}. \]

(8.15) 有四个根 \(\sigma\)，分别为

\[ \sigma_{1,2} = \frac{-b(k^2) \pm \sqrt{b^2(k^2) - 4(\mu k^2 + s) c(k^2)}}{2(\mu_1 k^2 + s)}, \]

\[ \sigma_3 = -\frac{k^2}{\mu_1 k^2 + 2s} \le 0, \quad \sigma_4 = 0. \]

依赖于

\[ \Delta = b^2(k^2) - 4(\mu k^2 + s) c(k^2) \]

的符号，(8.14) 给出的解可以是实的或复的。

图样形成与参数域

通过对 (8.18) 给出的根 \(\sigma\) 详细研究，可获得机制图样形成潜力的相当全面的图景。要能产生相干空间图样，要求 \(\sigma(k^2=0) \le 0\) 且存在波数 \(k^2 > 0\) 使 \(\mathrm{Re}\,\sigma(k^2) > 0\)；这保证均匀稳态稳定但对某些空间扰动不稳定，最初按指数增长。当 \(k^2 = 0\) 时从 (8.15) 显然满足第一个条件。

最大根是 (8.18) 中的 \(\sigma_1\)，所以可集中讨论它。从 (8.16) 显然 \(b(k^2)\) 与 \(c(k^2)\) 都可正可负，取决于 \(\tau_1\)、其他参数与波数 \(k\) 的相对大小。这里只讨论若干情况，将参数空间完整分析与量化留作有教学与生物学意义的练习。

首先考虑细胞不扩散的特殊情况，即 \(D = 0\)。在 (8.18) 中用 (8.16) 可得最大 \(\sigma\) 为

\[ \sigma_1 = \frac{-b(k^2)}{\mu k^2 + s} = \frac{(\tau_1 - 1 - \nu) k^2}{\mu k^2 + s}, \]

所以若细胞牵引参数 \(\tau_1 > 1 + \nu\)，则对所有 \(k^2 > 0\) 有 \(\sigma_1 > 0\)，从而所有空间模都按指数增长（在此线性理论中按 (8.14)）。由于所有模都不稳定，最终图样将紧密依赖于初始条件。下面展示的数值模拟显示所形成的图样通常相当随机但具有总体相干结构。这里有趣含义是图样完全由所存在的各种力学力（即细胞牵引、基质与皿的阻力以及它们如何通过对流移动细胞）之间的相互作用产生。一种常被持有的信念是扩散对创造相关空间图样至关重要甚至必不可少。

参数域 \(\tau_1 > 2(1+\nu)\)：区域 I

考虑来自 (8.18) 的 \(\sigma_1\) 与 (8.16) 中表达式，\(k^2 > 0\)，现在当然 \(D \ne 0\)。若 \(c(k^2) < 0\)，则 \(\sigma_1 > 0\) 且均匀稳态线性不稳定。所以若 \(\tau_1 > 2(1+\nu)\)，所有波数 \(k^2 > 0\) 都不稳定，且最终图样仍依赖于初始条件。

以有量纲形式，使用 (8.17) 可得：若

\[ \frac{\tau n_0 (1+\nu)(1-\alpha n_0^2)}{E(1+\alpha n_0^2)^2} > 2 \left( 1 + \frac{\nu}{1-2\nu} \right) \Rightarrow \tau > \frac{2E(1-\nu)(1+\alpha n_0^2)^2}{n_0(1+\nu)(1-2\nu)(1-\alpha n_0^2)}, \]

则细胞密度从均匀稳态出发的小扰动能启动基质不稳定性，并开始形成细胞与基质密度的空间图样。

在此参数域中，所有波数都不稳定，与 \(D\) 和 \(s\) 的值无关。图 8.2(a) 说明此参数范围的典型色散关系。

由于实验所用细胞密度与汇合密度（出现拥挤效应）之比约为 \(0.1 \sim 0.4\)，\((1+\alpha n_0^2)^2/(1-\alpha n_0^2) \approx 1\)，最后一个条件简化为

\[ \tau > \frac{2E(1-\nu)}{n_0(1+\nu)(1-2\nu)}. \]

我们立即得到关于实验中关键参数作用的一些定性结果：例如铺板密度（\(n_0\)）越大，图样形成的可能性越大。其他关于图样如何形成的定性结果从下面的进一步详细分析得到。

参数域 \(\tau_1 < 2(1+\nu)\)，\(sD > 1+\nu\)：区域 II

在此范围内，\(c(k^2) > 0\) 对所有 \(k^2 > 0\)，所以不稳定即 \(\mathrm{Re}\,\sigma_1 > 0\) 只能发生在 \(b(k^2) < 0\) 时。若 \(sD > 1+\nu\)，\(O(k^2)\) 项的系数恒正，\(b(k^2)\) 也恒正，所以均匀稳态总稳定，不可能形成图样。

参数域 \(\tau_1 < 2(1+\nu)\)，\(sD < 1+\nu\)：区域 III

若 \(sD < 1+\nu\)，从 (8.19) 与 (8.16)，\(\Delta\) 的根为

\[ k_0^2 = 0, \quad k_{1,2}^2 = \frac{1}{\mu D} \left( 1 + \nu - sD \pm \sqrt{\tau_1 [2(1+\nu) - \tau_1]} \right). \]

由此可推得（经过一些代数）：若参数满足

\[ \tau_1 < 2(1+\nu), \quad sD < 1+\nu, \quad 1 + \nu + \sqrt{sD[2(1+\nu) - sD]} < \tau_1 < 2(1+\nu), \]

则 (8.18) 中色散关系 \(\sigma_1\) 对波数 \(k_1^2 < k^2 < k_2^2\) 是复的。具体有

\[ \mathrm{Re}\,\sigma_1(k^2) > 0, \quad 0 < k^2 < \bar{k}^2, \]

\[ \mathrm{Re}\,\sigma_1(k^2) < 0, \quad \bar{k}^2 < k^2 < \infty, \]

\[ \mathrm{Im}\,\sigma_1(k^2) > 0, \quad k_2^2 < k^2 < k_1^2, \]

\[ \mathrm{Im}\,\sigma_1(k^2) = 0, \quad 0 < k^2 < k_2^2, \, k^2 > k_1^2, \]

其中 \(\bar{k}^2\) 是 \(\mathrm{Re}\,\sigma(k^2) = 0\) 处的 \(k^2\) 值。图 8.2(b) 给出此参数范围的典型色散形式。注意这种情况下存在有限范围的不稳定模，有最速增长模可从 \(\sigma(k^2)\) 表达式推导；此时对 \(k_2^2 < k^2 < \bar{k}^2\)，\(\mathrm{Re}\,\sigma_1 > 0\)、\(\mathrm{Im}\,\sigma_1 \ne 0\)，也可能存在振荡增长扰动。

参数域 \(\tau_1 < 2(1+\nu)\)，\(sD < 2(1+\nu)\)：区域 IV

由类似分析可得参数在范围

\[ \tau_1 < 2(1+\nu), \quad sD < 2(1+\nu), \quad 1 + \nu + sD < \tau_1 < 1 + \nu + \sqrt{sD[2(1+\nu) - sD]} \]

时的色散关系定量行为，此情况下

\[ \mathrm{Re}\,\sigma_1(k^2) > 0, \quad 0 < k^2 < \bar{k}^2, \]

\[ \mathrm{Re}\,\sigma_1(k^2) < 0, \quad \bar{k}^2 < k^2 < \infty, \]

\[ \mathrm{Im}\,\sigma_1(k^2) > 0, \quad 0 < k^2 < k_1^2, \]

\[ \mathrm{Im}\,\sigma_1(k^2) = 0, \quad k_1^2 < k^2, \]

\[ \bar{k}^2 = (\tau_1 - 1 - \nu - sD)/\mu D, \]

其中 \(k_1^2\) 由 (8.22) 给出。

此情况下存在有限范围的不稳定模，且都按振荡方式增长。图 8.2(c) 给出此色散关系的例子。

现在对参数如何决定均匀稳态是否不稳定以及机制是否会产生空间图样已有相当完整的图景。图 8.2(d) 展示 \(\tau_1\)–\(sD\) 参数空间划分为上述 I、II、III、IV 参数域。参数域实际上在无量纲参数 \(D, \mu_1, \mu_2, \nu, \tau_1, s\) 中是 6 维的。

参数变化对图样形成的影响

线性分析提供了一种对不稳定类型分类的方法——指数增长、指数振荡增长或两者混合——当参数位于各参数域时以及不稳定波数的相对增长。

表 8.2 给出各参数区下增长不稳定性的类型。有量纲参数上的效应由 (8.17) 中无量纲参数定义与表 8.2 图例中 \(\tau_a, \tau_b, \tau_c\) 定义给出。一个关键参数显然是细胞牵引，其有量纲形式涉及细胞牵引 \(\tau\) 与基质杨氏模量 \(E\) 之比。Manoussaki (1996) 已分析过参数变化对增长率 \(\sigma\) 的影响。完成此分析的所有信息都包含在 \(\sigma\) 上述表达式中，只需对除一个（或两个，若用三维空间）外所有参数固定的色散关系作图。作为例子，假设我们有一组给出图 8.2(d) 中区域 IV 点的参数；即稳态因振荡增长而不稳定。现在除皿附着参数 \(s\) 外保持所有参数固定并令其增大。从图中可见对足够大 \(s\)，我们移入稳定区域 II。所以对这一参数集，增大基质对皿的附着可抑制图样形成：这与直觉一致。

我们直觉上也预期增大扩散会抑制图样形成。但不太清楚的是若 \(D\) 增大，它会促进较小波数的增长：随 \(D\) 增大图 8.2(a) 中曲线下移，但同时使最速增长模的范围显著变窄，从而给较小波数（即较大波长）以优势。许多效应可凭直觉预期，例如增加黏度会抑制图样形成。然而效应的量化必须通过解析完成。例如可预期增大细胞牵引使图样更可能形成。较不清楚的是随牵引减小，最小波数的增长被抑制并最终被压制，只剩有限范围的不稳定波数，其增长为稳定与振荡增长的组合。须强调这些参数变化效应基于线性稳定性理论，在考虑非线性效应时可能不被定量地保持。至今尚未进行非线性分析。Zhu 与 Murray (1995) 所用的特定技术可能能用于这些方程，虽然由于必须使用（生物学上现实的）参数范围可能存在一些困难。

8.5 网络图样：数值模拟（Network Patterns: Numerical Simulations）

现在对图样是否会形成以及参数值如何影响此点有相当好的直观想法。要确定实际图样及其对参数的依赖，必须数值求解模型方程。这样的数值解提供更多有用洞见，帮助评估各要素相对重要性并预测这些因素变化如何影响图样生长与形状。Manoussaki (1996) 进行了广泛数值模拟，本节描述与展示她的一些结果；也见 Manoussaki 等 (1996) 与 Murray 等 (1998)。

所用初始条件由均匀稳态 \(n=1\) 附近的细胞密度小随机扰动组成，或通过引入以随机方式分布的小细胞斑块。基质最初处于均匀稳态 \(\rho=1\)。在某些模拟中基质厚度有变化（它影响附着参数 \(s\)），参数也有变化以确定它们对图样形成时间与特征两方面效果的定量影响。还模拟了 Matrigel 密度有密度斜坡的情况，并得到分级网络图样，随后实验验证并确认了我们的预测。这里只呈现初始条件为细胞密度在小随机扰动下的一些结果。

在数值模拟中，以上述线性分析得到的参数限制与参数域为指导。如所预测，细胞中的小初始扰动启动了细胞与基质密度的不稳定性，演化为如图 8.3 所示空间图样。这些初始异质性随时间生长并持续重排，因为聚集体招募更多邻近细胞。最终细胞与基质密度形成由细胞索定义的小不规则多边形网络；随时间这些变小并最终消失，或合并为更大多边形。很长时间后细胞开始向边界迁移并在那里积累，基质也被拉向边界。解的时空行为所制视频清楚地显示这点，事实上看起来非常像体外情况的延时视频。

这些结果现在应与图 8.1 所示典型实验图样比较：比较非常接近，连同下文描述的其他比较方面，提示所提机制对这种体外网络形成是严肃候选者。至少它捕获了这种机制必须包含的若干主要元素。Tranqui 与 Tracqui (2000) 的工作（8.2 节简要描述）为力学机制提供进一步证据。

当细胞密度仍为均匀稳态小扰动且基质最初处于其均匀稳态时，基质厚度恰好跟随细胞密度；也见图 8.4，其中细胞与基质图样都给出。这是我们在线性增长区中从 (8.13) 线性方程预期的，由此可推得细胞与基质同相，且两者都与形变反相。例如，从 (8.13) 第三式与解形式 (8.14) 有

\[ \rho = -\nu\theta \propto i e^{\sigma t + i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}} = e^{\sigma t + i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} + i\pi/2}. \]

用 (8.13) 同样可证 \(n\) 也与形变反相，且 \(n\) 与 \(\rho\) 同相。

凭直觉，即使在数值模拟的非线性区，我们也预期细胞与基质图样间有相当密切联系：这正是我们所发现的，基质图样演化看起来几乎与图 8.3 所示细胞完全一样。从线性化模型系统，在无细胞扩散情况下，细胞密度守恒方程（对 \(t\) 积分后）与基质厚度（来自 (8.13)）完全相同，只在 \(\rho\) 方程中有参数 \(\nu\) 的差异。对扩散系数所用参数范围，扩散效应非常小，所以应预期它们显示相同演化图样。

细胞与基质图样相似也有生物学意义。当基质被细胞变形时，它倾向于组织成索状网络，而原本较均匀铺在基质上的细胞被动搭在被重组的基质上，因此形成类似网络。当然，当细胞在基质中不均匀分布时，细胞-基质密度不再一致；这里细胞变形其周围基质，所致形变在定量上依赖于参数值。

进一步确认细胞与基质密切联系以及实验所见的是膨胀 \(\theta = \nabla \cdot \mathbf{u}\) 图。我们会预期高膨胀区是细胞少且基质少之处；这种情况下预期膨胀图样本质上是图 8.3 所示的镜像图样——亮区对应该处的暗区。这正是我们发现的。

基质厚度影响图样大小

实验显示基质厚度影响网络大小以及它们是否形成。较薄基质导致较小多边形，而若厚度降到临界阈值以下则观察不到网络。在我们的模型中，基质厚度反映在无量纲附着参数 \(s\) 中；见 (8.10)。将此结果与上述分析特别是图 8.2(d) 关联，我们看到若有一组参数使我们在图样形成域（如区域 III 或 IV）中，则增大 \(s\)（即减小 \(\rho_0\)）我们移入区域 II，其中不能形成图样。变化参数对多边形图样的定量效果需要非线性分析。

由于实验上多边形图样依赖于基质厚度，我们当初始基质分布厚度逐渐减小时求解了模型方程。基质厚度从域一端的 \(\rho = 0.01\) 线性变化到另一端的 \(\rho = 0.1\)。最初几乎所有随机扰动似以相同速率生长，但很快到 \(t=6\) 时，显现只有较厚端细胞形成网络而较薄端细胞保持无组织状态。在薄端，直到相对长时间 \(t = 24\) 才形成网络，之后到 \(t = 40\) 它们仍非常小。图 8.4 展示这些模拟的细胞与基质密度结果。

若初始基质密度较高，例如从 \(\rho = 0.5\) 变化到 \(\rho = 1.5\)，则在较厚端形成较大网络而在薄端形成较小网络，但差异不及低厚度模拟中那么明显。

若细胞牵引足够大将形成图样：这是表 8.2 中区域 I，无量纲参数 \(\tau_1 > \tau_a\)。有量纲形式下此条件由 (8.19) 给出，其中基质厚度 \(\rho_0\) 不出现。这提示至少对早期而言，基质厚度不影响图样增长率。随着非线性效应变得重要，基质厚度影响所形成图样大小。数值模拟显示对所考察的所有基质厚度都可能形成图样，但形成图样所需时间随基质厚度增加而增加。这是因为必须移动更多基质才会显现异质性。

如上所述，实验上长时间细胞与基质重塑后，细胞与基质倾向积累于皿边界。数值模拟（Manoussaki 1996）在长时间后也发现类似行为；细胞与基质最终在域边界形成高密度区域。这种细胞在刚性边界积累的现象可能是一种称为桥粒趋向性（desmotaxis）的例子——该术语描述细胞在纤维环境中有向刚性对象迁移的趋势（当存在时）。在我们研究中边界扮演该固定对象角色。细胞拉固定在边界上的基质，所以所有形变都感知到边界存在。事实上，数值模拟中边界以主要方式影响图样是清楚的。

Manoussaki (1996) 也模拟了细胞斑块最初引入的情况。凭直觉我们现在大致知道会怎样发生。最初斑块收缩，斑块边缘因招募而细胞密度略高，斑块下基质积累而斑块周围变薄。最终斑块破碎。当引入两个或更多斑块时则更为有趣；若斑块足够接近以致彼此显著影响，我们可预期它们之间形成一种积累细胞的"超级高速公路"。

参数变化的效果

许多效应如预期。关于细胞牵引，模拟证实了线性稳定性分析预测——增大细胞牵引 \(\tau\) 使图样更快形成；较高牵引增大了两细胞斑块能相互影响的最大距离，从而引起较大网络形成，正如培养实验中所观察到的。

起初稍令人惊讶的是扩散在网络是否形成中似乎不起多大作用。但由于主要是各种力的相互作用产生网络，反思后会预期如此。当然若扩散参数 \(D\) 足够大则它确有影响。当 \(D \ge 10^{-2}\) 时其效应变得显著，我们观察到网络的涂抹。即使在无扩散情况下（\(D = 0\)），若牵引足够大也形成图样；细胞仍朝基质压缩区域运动。偏向细胞迁移可能是体内或体外图样形成的组分，但已显示它不是必需特征。

我们分析的一个意外结果是各向异性并非图样形成的必要条件；在模型中细胞牵引是各向同性施加的，模型中唯一显示各向异性行为的组分——与优选扩散方向相关的细胞运动——对网络形成作用不大。分析与数值模拟显示各向同性细胞牵引与对流运动足以生成所观察到的图样形成，至少在体外如此。第 6 章关于 Murray–Oster 力学化学理论讨论中突出其适用性的一个要点是：细胞凭借其片状伪足牵引能改变其空间环境从而影响所形成图样。本章所讨论的情况是这发生的一个主要例子。

改变黏度参数 \(\mu_1, \mu_2\) 的值影响图样形成速率。较高黏度值使图样形成需要更长时间但不改变图样外观，全都如预期。增大皿附着参数 \(s\) 也有此效应：若它足够大且我们在适当参数域中，它能实际上抑制图样形成如前所述。

由于扩散（及各向异性）对生成这些网络并非必要，我们能通过设 \(D = 0\) 大大简化基本模型，此时 (8.11) 变为

\[ n_t + \nabla \cdot (n \mathbf{u}_t) = 0, \]

\[ \nabla \cdot \left( \mu_1 \epsilon_t + \mu_2 \theta_t I + \epsilon + \nu \theta I + \frac{\tau n I}{1 + \alpha n^2} \right) = \frac{s}{\rho} \mathbf{u}_t, \]

\[ \rho(x,y,t) = 1 - \nu \theta. \]

若在小应变近似下使用 \(n\) 的方程，它在关于 \(n = 1\) 线性化后变为

\[ n_t + \nabla \cdot \mathbf{u}_t = 0 \Rightarrow n = 1 - \theta, \text{（积分后）} \]

若现将这一与 \(\rho\) 的表达式代入力平衡方程，得到作为网络形成模型机制的单（向量）方程

\[ \nabla \cdot \left( \mu_1 \epsilon_t + \mu_2 \theta_t I + \epsilon + \nu \theta I + \frac{\tau(1-\theta) I}{1 + \alpha(1-\theta)^2} \right) = \frac{s}{1 - \nu \theta} \mathbf{u}_t. \]

若将此方程关于 \(\theta = \mathbf{u} = 0\) 线性化以考察其图样形成，得到

\[ \nabla \cdot \left( \mu_1 \epsilon_t + \mu_2 \theta_t I + \epsilon + \nu \theta I - \frac{\tau(1-\alpha)}{(1+\alpha)^2} \theta I \right) = s \mathbf{u}_t. \]

使用向量关系 \(\nabla \cdot \epsilon = \mathrm{grad}\,\mathrm{div}\,\mathbf{u} - \frac{1}{2}\mathrm{curl}\,\mathrm{curl}\,\mathbf{u}\)，取 (8.29) 的散度得 \(\theta\) 的标量方程

\[ \mu \nabla^2 \theta_t + \left( 1 + \nu - \frac{\tau(1-\alpha)}{(1+\alpha)^2} \right) \nabla^2 \theta - s \theta_t = 0, \]

其中 \(\mu = \mu_1 + \mu_2\)。

现寻找形如

\[ \theta \propto e^{\sigma t + i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}} \]

的解，代入 (8.30) 得色散关系

\[ \sigma(k^2) = \left( \frac{\tau(1-\alpha)}{(1+\alpha)^2} - 1 - \nu \right) \frac{k^2}{\mu k^2 + s}. \]

所以所有波数扰动都不稳定若

\[ \tau > (1+\nu) \frac{(1+\alpha)^2}{1-\alpha} \approx 1 + \nu \quad \text{对 } \alpha \ll 1, \]

这正是 \(D = 0\) 情况下以前得到的结果。

初始条件在所形成的具体网络中起主要作用。其重要性部分取决于色散关系形式，当有无限范围的不稳定波数（如刚讨论的基本模型）时更为重要。虽然图样的精确形式依赖于初始扰动，其定性特征保持不变。依赖于模型参数的是图样的定性性质与生长速率。

本章所讨论的建模是 Murray–Oster 力学图样形成理论的一个非常实际的生物学应用，重要的是它存在一个直接相关的实验研究。它是首次对血管网络形成的细胞-基质相互作用的数学描述，其中所有组成变量原则上可测。我们已能估计主要参数从而得到与体外实验网络非常接近的图样网络，提示我们或许确实已分离出该图样形成过程中的关键要素。

该细胞-基质网络形成模型及其实验研究、特别是体内网络形成仍有许多开放问题。本节所有分析都是在线性基础上。虽然基于多尺度渐近分析的非线性分析（如 Zhu 与 Murray 1995 所用）能用于分叉附近的图样形成，但它仅限于此——仅是分叉附近的图样形成。在此具体模型中它能用于仅部分参数的分叉状态。最终如所述，最终图样是细胞与基质黏附于域边界小区域的情况。然而非线性理论将指示各种二维图样中哪个是稳定或准稳定的——人们会猜是六边形。Ermentrout (1991) 为反应扩散机制发展了基本方法。

Zhu 与 Murray (1995) 对若干不同图样形成机制所呈现的技术基本上假设小增长率数量级 \(\epsilon^2\)（\(0 < \epsilon \ll 1\)）。对均匀稳态引入 \(O(\epsilon)\) 小扰动。通过考察假设解中出现的振幅函数稳定性，可确定长时间形成的图样。这也是 Tyson (1996) 在其细菌图样研究中所用技术，并在第 5 章中详细讨论。然而如上所述，将这些技术直接用于这里的模型存在一些问题，所以可能必须修改技术。分析可能仍可行，但可能不是很容易。

一项重要修正是使用更现实的基质描述，如 Cook (1995) 发展的并在全层创伤愈合第 10 章详细讨论的。模型必然要复杂得多，但对体内研究更具生物学现实性。这种形式除其他外还将引入组织塑性并可能具有零应力状态下的应变构型（将在该讨论中展示）。

显然建模的一项主要扩展将是体内研究及与第 8.1 节中提到的肿瘤生长控制相关的血管生成。这些应用将需要若干新特征。即使关于进一步体外研究，理论可扩展以说明细胞分泌分子对基质材料性质、细胞增殖与分泌的影响，从而提供分析工具用于评估血管发生与血管生成过程中这些因素的相对重要性。它也可用于研究参数存在空间变异性时对图样的影响：基质密度斜坡的结果就是一个这样的例子。我们相信当前模型在模拟实验观测中的成功给出一定理由让人乐观它可用作指南以预测其他实验的结果，并最优地，预测在体内获得的机制被实验扰动时的后果。应该再次强调这里的模型是关于血管发生的模型而非血管生成过程。

尽管实验观测与模型方程解之间有许多一致，模型当然不是这种现象的完整描述。最关键假设之一是小应变与缺少基质塑性。然而这一基本模型的确捕捉了细胞-基质相互作用的重要方面，其关于不规则网络形成的许多详细预测已得到实验确认，例如与基质厚度可变斜坡相关的那些。

本章个人批注

本章是 Murray 把力学理论向医学相关应用的一次有说服力的扩展。读完本章最让我触动的不是数学推导本身，而是方法论上的清晰：Vernon–Sage 的体外实验给出了肉眼可见的图样（多边形镶嵌的细胞索），Murray 团队的工作是把这个图样还原为可由 Murray–Oster 框架描述的一组力学相互作用。线性分析给出的色散关系有四类区域（I/II/III/IV），这其实和第 2 章反应扩散 Turing 不稳定性的有限/无限不稳定带是同构的——尽管本章没有化学梯度。

第 8.3 节列出参数估值时，作者明确说"对 Matrigel 没有直接测量"——这其实暴露了模型预测的局限：所有 \(\mu_1, E, \nu, D_0\) 都是从类似组织（如玻璃体、其他胶原凝胶）外推得到。但作者没有因此放弃，而是把这个不确定性变成可验证的预测：基质厚度变化、密度斜坡实验、数值模拟三者的对照。这种"承认不确定性并把不确定性转化为可证伪预测"的态度是值得学习的。

线性分析部分的几个细节我想确认一下：(8.18) 中 \(\sigma_3\) 来自 \(\mu_1 k^2 + 2s\) 的相乘因子，意味着剪切黏度与皿附着共同决定了一个始终稳定的模；而真正决定图样能否形成的是 \(\sigma_1\)。区域 I 给出"所有波数都不稳定"——这其实是经典的"长波极限"图像，意味着所形成的图样无特征尺度（即网络大小不由参数决定），这与第 7 章讨论的图样对初始条件敏感是同一回事。

作者反复强调"D = 0 也能形成图样"——这是一个相当反直觉的论断（扩散通常被视为图样形成的必要条件），其本质是"对流 + 异质性放大"已经足以完成局部激活与侧向抑制。从流体动力学看，这是负黏性不稳定性的一个例子：应变依赖的扩散张量 \(D(\epsilon)\) 让细胞沿压缩方向运动，而基质的对流又把细胞拉向高密度区——这两个反馈互锁放大异质性。

最后，作者明确指出非线性分析缺失。从我读过的几章来看，Zhu–Murray 的多尺度技术已经被应用于多个机制（第 2、3、5、6 章），但这里因为参数范围生物上现实、不能直接套用。Manoussaki (1996) 的博士论文是这个模型的原始来源——一个值得追踪的二次文献。

与上下章的衔接（一段话）

第 6 章建立了 Murray–Oster 力学化学理论的一般框架与多个应用（肢体软骨图样、皮肤图样），第 7 章把这个理论放到进化与形态发生约束的更广背景中讨论其生物学含义。第 8 章则是该理论的一个具体应用案例：用同样的小应变-线性黏弹-牵引力建模语言，去刻画 Vernon–Sage 体外实验中观察到的血管网络形成。这一章是力学框架在生物医学相关背景下的一个完整闭环：模型 → 解析（线性色散）→ 数值 → 与实验图像比较。第 9 章则把目光从体外平面图样转向体内三维肿瘤球生长及血管生成中的趋化-趋触问题，那里的关键机制（细胞-基质趋触、纤连蛋白动力学）虽然来自不同学派（如 Chaplain 学派），但模型的目标对象（血管系统）与第 8 章高度连贯——所以第 8 章可以视为第 9 章的力学版前奏。