第 6 章：发育中产生图样与形态的力学理论（Mechanical Theory for Generating Pattern and Form in Development）

6.1 引言、动机与背景生物学（Introduction, Motivation and Background Biology）

1994 年《Science》杂志（Barinaga 1994）对一百余位发育生物学家进行问卷调查，66 份回应中排名第一的未解之问是"机体专门化的器官与组织如何形成"——即形态发生（morphogenesis）；紧随其后的是演化机制问题、如何作用于机制以带来变化并产生新物种。在"未来五年最可能取得快速进展的领域"中形态发生排名第二。在"发展学最重大未解之谜"中获得最多票数的问题是"形态发生的分子机制是什么？"——具有显著优势。21 世纪初、调查后五年，作者写道：尽管形态发生确有许多新发现，但我们仍不知道任何在发育胚胎中生成空间图样的真实机制，动物身体图的铺设机制仍未解。在"未来五年最热门领域"的十二项中形态发生机制排名第二。形态发生涵盖从最初一团细胞到最终体型的图样形成。作者明确指出："研究可能的生物图样与形态生成机制并不需要任何辩护；它仍然是（且在可预见的未来仍是）胚胎学的核心议题。"作者先做一段简短历史回顾：19 世纪后半叶盛行的观念是"理解一种动物的发育便可推及其他"，这与当前为果蝇、蝾螈等发育投入大量研究并无本质不同。19 世纪后半与 20 世纪初极具影响力但极富争议的自然主义者 Ernst Haeckel（1834–1919）绘制了多个胚胎在所谓"平行发育阶段"的图示以展示其相似性，并佐证"个体发育重演系统发育"理论——意指发育中的个体会经历其演化历史，例如人类胚胎早期出现的鳃裂据说反映从鱼类的演化后裔。理论虽错，但至今仍有引用，未被普遍摒弃。Haeckel 作为天才技术艺术家有时会省略如肢芽等关键结构以贴合论点——即直接伪造图示；其图 6.1 复现其画作。Haeckel 的欺诈性操作在当时的许多科学家已知，但 1990 年代中后期对他的兴趣复兴，不仅因其对生物图像的不诚实操作，亦因其"优等种族"等观点被 20 世纪上半叶优生学者等热情拥抱。Gould (2000) 的一般性文章讨论这些不光彩的事实并将其置于科学-历史脉络；亦见 Richardson & Keuck (2001) 短文及其引用文献。作者注释：Haeckel 同时也是"ecology"一词的创造者。图样生成模型统称为形态发生模型（morphogenetic models），为胚胎学家提供图样如何铺陈、形态如何创造的可能场景；尽管基因在图样形成控制中作用关键，遗传学并不解释实际机制，也不说明多样的图样与形态如何从一团同质的分裂细胞中演化出来。过去 20 年来胚胎学家的两大主流观点是 Turing 的化学预图样（即反应-扩散-趋化机制，前几章已详细讨论）和 Murray–Oster 力化学方法（Odell et al. 1981、Murray et al. 1983、Oster et al. 1983、Murray & Oster 1984a,b、Lewis & Murray 1991），通用描述见 Murray & Maini (1986)、Oster & Murray (1989)、Murray et al. (1988)、Bentil (1991)、Cruywagen (1992)、Cook (1995)、Maini (1999)，专门构件的研究包括 Barocas & Tranquillo (1994, 1997a,b)、Barocas et al. (1995)、Ferrenq et al. (1997)、Tranqui & Tracqui (2000)。作者接着引用 Wolpert (1977) 的"卵中并非成体的描述，而是制造它的程序；这一程序可能比描述本身更简单。相对简单的细胞力学可以产生复杂的形态变化；看起来指定如何制造复杂形状比描述它们更简单"，为在细胞层面引入力学方法提供辩护；其后大段引用 Oster 与作者本人为一本 1980 年代中期的力化学专著准备的序言。序言的核心论点是：观察任何延时摄影都会看到细胞与胚胎持续不断的运动（"morphogenesis"字面含"形态变化"即暗示运动），而所有运动都需要力来产生；令人惊讶的是这条自然基本定律在很大程度上被胚胎学家与细胞生物学家忽略，很少胚胎学教科书提及力。原因可能是直到最近才能在细胞与组织水平实际测量力学力，而化学与遗传学的"塞壬之歌"以有形回报诱人。但无论选择如何忽略力学，胚胎每次抽搐与颤动都由 Newton 定律主持。无论化学与遗传在胚胎发生中扮演什么角色，最终必须将其程序"提交给 Newton 执行"。因此本书哲学是：既然形态发生至少近端是一力学事件，合理的方法是首先审视产生这些过程的力，然后反向追溯、按需加入化学与遗传。若形态发生先铺化学预图样再让细胞执行内部指令去变形（化学为主、力学为奴），则系统是"开环"的，无法对扰动作出反馈修正；这类控制系统以不稳定著称，无法修正与补偿外部扰动。唯一保护是遗传系统预测并编码所有可能的力学或化学扰动——负担过重，难以演化。合理的替代是"闭环"——力学状态反过来影响化学状态，使机械扰动得以补偿，遗传程序可在无开销编程负担下可靠执行。因此胚胎发生不是化学预图样的指定问题，而是力化学过程，其中将"图样形成"与"形态发生"人为分离是不当的；力学与化学协同直接创造空间图样，双方互为奴役，参与协调反馈方案。若接受这一观点，则建模哲学随之：化学动力学规律几乎不约束，可设计任意反应网络实现任意动力学；Newton 力学与物理化学的规律则不灵活，对可能性的约束严格——这正是剔除机制候选的所需。作者的力学化学模型即按此哲学，先聚焦驱动观测行为的力学，再以最简单一致方式加入化学，使整体模型能稳定重现物理图样；自然未必走最简路径（演化是机会主义过程，以可用材料建造而非按全局优化方案），但建模者不应随意增加复杂度。模型与实验须相互提供"购物清单"：模型给出与物理化学定律一致的可能场景并提示新实验，实验再反馈给模型——二者形成反馈环，正如模型中化学与力学，组合比任一单独更有效。Einstein 的"尽可能简单，但不能再简单"是判据；本书的目标是解释现象而非拟合数据；这一定义与"模型"的本质一致——简化概念表征捕捉核心特征、省略细节或次级现象。本章与随后四章处理发育形态发生的力学方面，且仅涉及数学模型——可化为特定形式方程的现象。作者提醒：本章模型比此前任何一章都纳入了更多生物学事实，模型更复杂——这是不可避免的代价；对真正关心真实生物的数学生物学家，认识到生物学的复杂性是必要的；许多理论家与实验家寻找不切实际简单模型往往适得其反。本章涉及的两类早期胚胎细胞是成纤维细胞（真皮/间充质细胞）和表皮（上皮）细胞：前者能伸出长指状突起（丝状伪足 filopodia 或板状伪足 lamellapodia）抓握粘附位点（可为其他细胞）并拉拽自身运动（可想为微形章鱼）、其密度变化表现为细胞密度空间聚集图样、能分泌纤维构成细胞外基质（ECM）；后者通常按片排列不动，其图样表现为细胞形变。图 6.2 示意两类细胞的关键性质；Walbot & Holder (1987) 教科书给出了细胞类型、运动特性与胚胎发生作用的良好描述；Alberts et al. (1994) 是关于细胞的权威教材。本章首先考虑早期胚胎发生中间充质（成纤维）细胞的图样形成；在动物发育中，基本身体图在前几周就大致铺设，例如人前 4 周（孕期约 280 天），长颈鹿亦然（孕期近 460 天）；正是在这一关键早期阶段，作者所提出的图样与形态生成机制有望运作——作者提醒第 4 章中鳄鱼胚胎在孕早期就已是小鳄鱼形态。血管生成与真皮伤口愈合（第 8、10 章）将重度依赖本章概念；下章讨论形态发生约束的演化含义。

6.2 间充质形态发生的力学模型（Mechanical Model for Mesenchymal Morphogenesis）

影响胚胎间充质细胞运动的因素有：(i) 对流（细胞被动随形变基质运动），(ii) 趋化（化学梯度引导细胞上下运动），(iii) 接触引导（基质偏好方向），(iv) 接触抑制（高邻细胞密度抑制运动），(v) 趋触性（细胞沿粘附梯度向上运动），(vi) 扩散（细胞密度梯度下的随机运动），(vii) 趋电性（胚胎中电势场方向）。这些效应均有充分实验文献支持；趋触性可涉及化学过程，Perumpanani et al. (1998) 指出 ECM 介导的趋化运动甚至会阻碍迁移。基本力学模型依赖于两条实验确证性质：(i) 细胞在由纤维状细胞外基质（ECM）和其他细胞构成的基质内迁移（Hay 1981）；(ii) 细胞能产生巨大牵引力（Harris et al. 1981、Ferrenq et al. 1997、Tranqui & Tracqui 2000）。图 6.3 是细胞在薄硅胶基质上的照片：清晰可见它们产生的张力与压缩线，压缩-张力纹可延伸数百个细胞直径（Harris et al. 1980）。细胞利用其细胞突起（丝状伪足与板状伪足）从细胞向所有方向伸出、抓握任何可用之物并拉拽；Trinkaus (1980) 讨论了这些突起的生物学，Trinkaus (1984) 一书是有用的形态发生建模背景，Oster (1984) 专门讨论单个细胞爬行的机制。细胞在 ECM 中迁移时通过其牵引力使 ECM 变形；ECM 中的变形诱导各向异性效应反过来影响细胞运动；这些作用的协同导致空间有序的细胞聚集。基本模型本质上是 Murray et al. (1983)、Murray & Oster (1984a,b) 提出的、Oster et al. (1983) 给出生物学描述的连续统模型，由三个方程组成：(i) 细胞种群密度的守恒方程，(ii) 细胞与 ECM 之间力的力学平衡方程，(iii) ECM 的守恒律。记细胞密度 \(n(\mathbf{r},t)\)、ECM 密度 \(\rho(\mathbf{r},t)\)、ECM 的位移向量 \(\mathbf{u}(\mathbf{r},t)\)，即初始位置为 \(\mathbf{r}\) 的基质物质点位移至 \(\mathbf{r}+\mathbf{u}\)。细胞守恒方程的形式是 \(\partial n/\partial t = -\nabla\cdot \mathbf{J} + M\)（与 Volume I 第 11 章一致），其中 \(\mathbf{J}\) 是细胞通量、\(M\) 是有丝分裂率，简化为 logistic 形式 \(rn(N-n)\)；\(N\) 是无其他效应时最大细胞密度。对流贡献 \(\mathbf{J}_c = n\,\partial\mathbf{u}/\partial t\)——基质形变速率为 \(\partial\mathbf{u}/\partial t\)，被运送细胞数即 \(n\) 乘该速度；该对流通量可能对细胞输运最重要，此处基于不考虑组织宏观运动的假设，更精确形式见第 10 章。随机扩散项：在均匀各向同性介质中细胞倾向随机扩散；经典扩散（Volume I 第 11 章）对通量的贡献是 \(-D_1\nabla n\)，对应细胞响应局部细胞密度变化并向下运动——其结果是通常的 \(D_1\nabla^2 n\) 项加入守恒方程，代表局部/短程随机运动。但发育胚胎中细胞密度相对较高，适用稀体系的经典扩散未必足够；细胞伸出的长丝状伪足可感知超过最近邻的密度变化，因此必须包含对扩散分布的非局部效应——细胞感知更远的密度并响应邻域平均。图 6.4 示意为什么长程感知可能相关：短丝状伪足仅感知紧邻密度（虚线）给出经典随机扩散，长丝状伪足还能感知邻域平均，给出长程扩散通量 \(D_2\nabla(\nabla^2 n)\)，方向不一定与短程方向相同。图 6.4 例示从 A 到 D 的一般运动以及短程 D→C、B→C、B→A。Laplacian 算子作用于函数反映该函数在位置 \(\mathbf{r}\) 的值与其局部平均之差——这一点可在最简单的有限差分近似中看出，也可写为 \(\nabla^2 n \propto [n_{av}(\mathbf{r},t) - n(\mathbf{r},t)]/R^2\) 当 \(R\to 0\)，其中 \(n_{av}\) 是半径 \(R\) 球内的平均细胞浓度，定义为 \(n_{av}(\mathbf{r},t) = (3/(4\pi R^3))\int_V n(\mathbf{r}+\mathbf{s},t)\,d\mathbf{s}\)（\(V\) 是球体积）；展开被积函数 Taylor 级数并代回得比例系数为 \(10/3\)。完整讨论与分析见 Volume I 第 11 章。完整通量 \(\mathbf{J}_D = -D_1\nabla n + D_2\nabla(\nabla^2 n)\)，\(D_1>0\) 是 Fickian 系数，\(D_2>0\) 是长程扩散系数；长程贡献给出 (6.1) 中的双调和项。在作者考虑的形态发生情形下扩散效应预期相对较小；非局部扩散分布由 Othmer (1969) 考虑，特别适合细胞情形；Cohen & Murray (1981) 在生态学背景下推导并考虑了相关模型。回顾 Volume I 第 11.5 节：长程扩散若 \(D_2>0\) 起稳定作用——代入纯扩散方程 \(\partial_t n = D_1\nabla^2 n - D_2\nabla^4 n\)、寻找平面波 \(n\propto \exp[\lambda t + i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}]\) 代入得 \(\lambda = -D_2 k^4 - D_1 k^2 < 0\) 对所有波数 \(k=|\mathbf{k}|\)，故 \(n=0\) 稳定；若双调和项的 \(D_2<0\)，\(n=0\) 对 \(k^2 > -D_1/D_2\) 不稳定；其他更复杂的扩散形式将在第 10 章推导。趋触性（haptotaxis）或机械趋性：细胞对基质的牵引在基质密度 \(\rho(\mathbf{r},t)\) 中产生梯度；基质密度视为细胞板状伪足可抓握的粘附位点密度——在粘附梯度中自由运动的细胞倾向沿梯度上爬（因在致密基质上抓握更强），给出净通量正比于 \(n\nabla\rho\)，非常类似趋化（Volume I 第 11.4 节）；可更复杂（Perumpanani et al. 1998）。基于基质的物理性质与细胞非局部感知特性，应包含类似长程效应——给出 haptotactic 通量 \(\mathbf{J}_h = n(a_1\nabla\rho - a_2\nabla^3\rho)\)，\(a_1>0, a_2>0\)；此处包含长程效应的依据远强于长程扩散。细胞守恒方程 (6.1) 包含 (6.2)、(6.5)、(6.6) 的通量贡献并以 logistic 有丝分裂，得 \(n_t = -\nabla\cdot(n\,\partial\mathbf{u}/\partial t) + \nabla\cdot[D_1\nabla n - D_2\nabla(\nabla^2 n)] - \nabla\cdot n[a_1\nabla\rho - a_2\nabla^3\rho] + rn(N-n)\)，\(D_1, D_2, a_1, a_2, r, N\) 为正参数。方程 (6.7) 中未纳入趋电性 \(\mathbf{J}_G = gn\nabla\phi\)（\(g>0\)）与化学趋化 \(\mathbf{J}_C = \chi n\nabla c\)（\(\chi>0\)）的基本形式，但可容易推断其贡献形式。另一可能重要但未纳入的效应是来自 ECM 方向线索的引导——实验证据显示基质应变导致纤维沿应变方向对齐，鼓励细胞沿应变方向而非跨应变方向运动；该效应可通过使扩散与趋触性系数成为 ECM 弹性应变张量 \(\varepsilon = (1/2)(\nabla\mathbf{u} + \nabla\mathbf{u}^T)\) 的函数（如 Landau & Lifshitz 1970）来纳入 \(n\) 的方程；原则上 \(D_1(\varepsilon), D_2(\varepsilon)\) 等对 \(\varepsilon\) 的定性依赖可由实验推断（深度讨论见第 10 章，对图样形成的影响见第 8 章）；本章后续设 \(D_1, D_2, a_1, a_2\) 为常数。方程 (6.7) 中有丝分裂率以简单 logistic 生长建模，线性增长率 \(r\)；其详细形式不关键，只要定性相似即可。实验（Folkman & Moscona 1978）已知有丝分裂率依赖于细胞形状，因此在连续统框架下 \(r\) 应依赖位移 \(\mathbf{u}\)（Watt 1986 给出 ECM 与其对细胞形状、增殖、分化影响的简评）；本章初始分析不纳入此可能重要效应。本节目的之一是展示如何将可能效应纳入模型；(6.7) 并非最一般但足以表明更现实机制的可能期望。对此类模型的分析可比较各效应在图样形成中的潜力，从而得到能生成图样的最简现实系统并可实验检验；更简系统在第 6.4 节讨论。值得一提的是：在细胞守恒方程中只有对流是必要的——直觉上至少关于输运效应如此。细胞-基质力学相互作用方程：纤维状 ECM 的组成复杂且其成分随发育而改变；其力学性质尚未被很好表征。作者只关心细胞与基质间的力学相互作用，且力学变形很小，作为合理一阶近似将"细胞+基质"复合体视为线性各向同性黏弹性连续体，应力张量 \(\sigma(\mathbf{r},t)\)。胚胎运动的时间尺度很长（小时），空间尺度很小（小于一两毫米），处于低 Reynolds 数状态（Purcell 1977），故在细胞-ECM 相互作用力学方程中忽略惯性效应；假设细胞产生的牵引力与基质中产生的弹性恢复力以及任何外力力学平衡。细胞-基质力学方程为 \(\nabla\cdot\sigma + \rho\mathbf{F} = 0\)（Landau & Lifshitz 1970），其中 \(\mathbf{F}\) 是作用于基质的外部体作用力（每单位基质），\(\sigma\) 是应力张量；对方程应用于负载重物的弹簧即"作用力与弹簧伸长产生的弹力平衡"——需建模 \(\sigma\) 与 \(\mathbf{F}\) 的各贡献。应力张量 \(\sigma\) 由 ECM 与细胞贡献组成：\(\sigma = \sigma^{\text{ECM}} + \sigma^{\text{cell}}\)。线性黏弹性材料的常用应力-应变本构关系（Landau & Lifshitz 1970）给出 \(\sigma^{\text{ECM}} = [\mu_1\varepsilon_t + \mu_2\theta_t I]\)（粘性）+ \(E'(\varepsilon + \nu'\theta I)\)（弹性），其中 \(E' = E/(1+\nu)\)、\(\nu' = \nu/(1-2\nu)\)，\(\varepsilon\) 是应变张量，\(\theta = \nabla\cdot\mathbf{u}\) 是膨胀，\(E, \nu\) 是杨氏模量与泊松比。各向同性假设是重大假设——ECM 在无细胞牵引时可能是各向同性的（甚至这都可疑），但在受到细胞力时可能不再各向同性；本章不专门考虑各向异性模型，但应意识到更精细模型可包含的各向异性种类。当纤维状材料被拉伸时纤维沿主应力方向对齐，沿应变方向的有效弹性模量增大；纤维对齐使材料沿应变方向变强的主要宏观效应可通过使弹性模量 \(E\) 为膨胀 \(\theta\) 的递增函数（至少小 \(\theta\) 时）来建模；当然不能无限增大，最终材料会屈服。图 6.5 是典型应力-应变曲线：\(E\) 是应力-应变曲线的梯度，随应变增大直到屈服点然后变平并在大应变下随材料撕裂而下降；ECM 在 \(\varepsilon<0\)（亦 \(\theta<0\)）时受压；给定材料量（细胞+基质）不能被挤压至零，故存在下界 \(\varepsilon = -1\)（亦 \(\theta \ge -1\)）此时应力趋于 \(-\infty\)。纤维材料也具有非局部弹性相互作用，因为纤维可在相距较远的 ECM 点之间传递应力——类比于细胞守恒方程中双调和项的推导，应在复合材料的弹性应力中纳入长程效应。各向异性效应与非局部效应可通过将弹性贡献改写为 \(\sigma^{\text{ECM}}\big|_{\text{elastic}} = E'(\theta)[\varepsilon + \beta_1\nabla^2\varepsilon + \nu'(\theta + \beta_2\nabla^2\theta)I]\) 建模，其中 \(E' = E(\theta)/(1+\nu)\)、\(\nu' = \nu/(1-2\nu)\)，\(\beta\) 为长程效应参数；但本章建模阶段合理设 \(\beta_1 = \beta_2 = 0\)、\(E(\theta)\) 为常数；各向异性在第 8、10 章详细讨论。细胞牵引对应力的贡献 \(\sigma^{\text{cell}}\)：细胞越多牵引力越大，但实验显示细胞-细胞接触抑制使足够大密度下牵引力减小；可简单建模为每单位基质质量的细胞牵引 \(\tau(n)\) 初始随 \(n\) 增大、最终随 \(n\) 增大而减小——取 \(\tau(n) = \tau n/(1 + \lambda n^2)\)，\(\tau\)（dyne-cm/gm）度量单个细胞产生的牵引力，\(\lambda\) 度量邻细胞引起的力减小；实验值约 \(10^{-3}\) dyne/µm 细胞边缘，是相当大的力（Harris et al. 1981）；每细胞牵引力 \(\tau(n)/n\) 与细胞密度的函数关系可由实验确定（Ferrenq et al. 1997）。尽管细胞牵引在发育图样形成中起核心作用，细胞-基质相互作用的复杂性以及在真实生物组织中分离各力学效应的难度使得细胞力的量化非常困难。Ferrenq et al. (1997) 描述了量化内皮细胞在 ECM 上产生力的新实验技术与一般方法：他们首先基于本章详述的 Murray–Oster 力化学理论建立数学模型，提出不同形式的细胞产生应力；据此设计新颖实验装置，将细胞接种于夹在两个固定器之间的纤维蛋白凝胶（基质），其中一个可动并连接力学传感装置；将模型计算出的凝胶位移与移动固定器记录的实验数据对比，验证了特定的细胞牵引应力表达式（不同实验设置下均验证）；他们比较了不同合理解析形式的细胞牵引应力与相应的力量化、与实验及其他方法测量的不同细胞结果比较，展示了如何推导实验合理的细胞-凝胶牵引应力形式并给出每参数估计；他们发现形式 \(\sigma^{\text{cell}} = \tau\rho n(N_2^2 - n)I\)（\(\tau\) 是细胞牵引，参数 \(N_2\) 控制牵引随细胞密度增加的抑制）被实验验证并给出参数值；该论文是真跨学科数学生物学研究的优秀范例，理论与实验均对结果起重要作用。Tranqui & Tracqui (2000) 在血管生成的力学信号研究中沿用此方法，使用 (6.12) 形式的粘性应力张量与 (6.13) 含长程弹性的弹性应力张量。若细胞用于附着 ECM 的丝状伪足延伸超过紧邻范围（可能如此），则可合理地包含非局部效应（类比细胞守恒方程中的长程扩散效应）；作者取 \(\sigma^{\text{cell}} = \tau n/(1+\lambda n^2)(\rho + \gamma\nabla^2\rho)I\)，\(\gamma>0\) 度量非局部长程细胞-ECM 相互作用；此处长程效应可能比细胞守恒方程中的长程扩散与趋触性效应更重要。若细胞紧密堆积，非局部效应主要在细胞之间——此时 (6.15) 的更合适形式或许应为 \(\sigma^{\text{cell}} = \tau\rho/(1+\lambda n^2)(n + \gamma\nabla^2 n)I\)；其他细胞牵引合理形式存在；解决此问题的一种方式可能是 Sherratt (1993) 提出的分子方法（用于胚胎伤口愈合中肌动蛋白产生力的推导；第 9 章讨论）。最后考虑 (6.10) 中的体作用力 \(\mathbf{F}\)：作者所考虑的生物情形中，基质材料通过类似"拉索"的连接附着在底层组织（或表皮）基质上；将这些约束力建模为正比于 ECM 密度与基质从未应变位置的位移的体作用力——取 \(\mathbf{F} = -s\mathbf{u}\)，\(s>0\) 是刻画基质附着的弹性参数。模型分析的力平衡方程取 (6.10) 结合 (6.11)–(6.17)，具体为 \(\nabla\cdot[\mu_1\varepsilon_t + \mu_2\theta_t I + E'(\varepsilon + \nu'\theta I) + \tau n/(1+\lambda n^2)(\rho + \gamma\nabla^2\rho)I] - s\rho\mathbf{u} = 0\)，其中 \(E' = E/(1+\nu)\)、\(\nu' = \nu/(1-2\nu)\)。基质守恒方程 \(\partial_t \rho + \nabla\cdot(\rho\mathbf{u}_t) = S(n,\rho,\mathbf{u})\)，基质通量主要由对流构成，\(S\) 是细胞分泌基质的速率；分泌与降解在某些间充质细胞组织情形中起作用，在伤口愈合（重要应用，第 10 章讨论）中确起作用；但在所考虑细胞运动时间尺度上可忽略此效应，设 \(S=0\)；实验证据（Hinchliffe & Johnson 1980）显示软骨发生与皮肤器官原基图样形成期间 \(S=0\)。(6.7)、(6.18)、(6.20) 在 \(S=0\) 下构成本模型关于成纤维细胞图样形成机制的场方程；三个因变量为 \(n(\mathbf{r},t), \rho(\mathbf{r},t), \mathbf{u}(\mathbf{r},t)\)；模型涉及 14 个参数（\(D_1, D_2, a_1, a_2, r, N, \mu_1, \mu_2, \tau, \lambda, \gamma, s, E, \nu\)），原则上均可测量，部分已实验研究，部分正在研究。无量纲化：使用一般长度与时间尺度 \(L, T\)，均匀初始基质密度 \(\rho_0\)，令 \(\mathbf{r}^* = \mathbf{r}/L\)、\(t^* = t/T\)、\(n^* = n/N\)、\(\mathbf{u}^* = \mathbf{u}/L\)、\(\rho^* = \rho/\rho_0\)、\(\nabla^* = L\nabla\)、\(\theta^* = \theta\)、\(\varepsilon^* = \varepsilon\)、\(\gamma^* = \gamma/L^2\)、\(\tau^* = \tau\rho_0 N(1+\nu)/E\)、\(s^* = s\rho_0 L^2(1+\nu)/E\)、\(\lambda^* = \lambda N^2\)、\(r^* = rNT\)、\(a_1^* = a_1\rho_0 T/L^2\)、\(a_2^* = a_2\rho_0 T/L^4\)、\(\mu_i^* = \mu_i(1+\nu)/(TE)\)、\(D_1^* = D_1 T/L^2\)、\(D_2^* = D_2 T/L^4\)（\(i=1,2\)）。14 个参数被压缩至 12 个无量纲组合；选取不同时间尺度可进一步压缩：若取有丝分裂时间 \(T = 1/(rN)\)，则 \(r^*=1\)（关注有丝分裂时间尺度上的图样演化）；或取 \(T\) 使 \(\gamma^*=1\) 或 \(\mu_i^*=1\)。无量纲后模型机制 (6.7)、(6.18)、(6.20)（\(S=0\)）化为 \(n_t = D_1\nabla^2 n - D_2\nabla^4 n - \nabla\cdot[a_1 n\nabla\rho - a_2 n\nabla(\nabla^2\rho)] - \nabla\cdot(n\mathbf{u}_t) + rn(1-n)\)，\(\nabla\cdot[(\mu_1\varepsilon_t + \mu_2\theta_t I) + (\varepsilon + \nu'\theta I) + \tau n/(1+\lambda n^2)(\rho+\gamma\nabla^2\rho)I] = s\rho\mathbf{u}\)，\(\rho_t + \nabla\cdot(\rho\mathbf{u}_t) = 0\)。12 个无量纲参数分为细胞性质（\(a_1, a_2, D_1, D_2, r, \tau, \lambda\)）与基质性质（\(\mu_1, \mu_2, \nu', \gamma, s\)）。虽然模型系统在分析上很困难，但其概念框架清晰（图 6.6）：细胞牵引在图样形成过程中起核心组织作用。模型未纳入基质分泌、应变依赖扩散与接触引导等可能相关效应，但后续将推导更简系统以理解包含许多生物学家认为重要特征时模型的形式；该建模与后续分析的主要作用之一是指出哪些特征对图样形成必要。因此接下来的初始线性分析保留模型 (6.22)–(6.24) 中所有项，仅在一般结果中将各参数设为零以查看哪些效应冗余或被其他项压制。

6.3 线性分析、色散关系与图样形成潜力（Linear Analysis, Dispersion Relation and Pattern Formation Potential）

要模拟胚胎发育中观察到的空间方面，方程系统 (6.22)–(6.24) 必须容许空间非均匀解；考虑到其复杂性并借助于前面章节研究图样形成模型的经验，目前阶段对这种非线性系统求有用解析解的希望不大。然而经验表明许多图样形成潜力可通过围绕均匀稳态解的线性分析预测；这种线性预测并非万无一失，若需远离均匀态的有限振幅结构须辅以数值模拟。（后续分析回顾第 2 章特别是第 2.3–2.6 节关于空间图样形成的材料与讨论将很有帮助。）在进行线性分析之前，作者指出该理论的应用之一将是皮肤器官原基（羽毛、鳞片、牙齿）的图样形成过程——见第 6.5 节。真皮中出现的初始细胞聚集（即表皮下、鳞片与羽毛起始的层）的细胞密度与周围组织差异较小。因此从实际生物应用视角，对场方程进行详细线性分析是有价值的，不仅作为指示空间图样潜力与指导数值工作的第一解析步骤，且因图样本身可能涉及实际在线性范围内的解——后者常为非线性理论在从均匀态分叉附近的有效结果。生物学应用将在下面更详细讨论。模型 (6.22)–(6.24) 的均匀稳态解为 \(n = u = \rho = 0\)；\(n = 1, u = \rho = 0\)；\(n = \rho = 1, u = 0\)。前两个解与生物无关（\(\rho = 0\) 在生物情形中不相关）；第三个解相关（\(\rho\) 经无量纲化归一为 1），其线性稳定性按通常方式寻找线性化解——具体是将 \(n-1, \rho-1, \mathbf{u}\) 视为小量代入非线性系统，仅保留 \(n-1, \rho-1, \mathbf{u}\) 及其导数的线性项，得下列线性系统（为代数方便将 \(n-1, \rho-1\) 写为 \(n, \rho\)）：\(n_t - D_1\nabla^2 n + D_2\nabla^4 n + a_1\nabla^2\rho - a_2\nabla^4\rho + \theta_t + rn = 0\)，\(\nabla\cdot[(\mu_1\varepsilon_t + \mu_2\theta_t I) + (\varepsilon + \nu'\theta I) + (\tau_1 n + \tau_2\rho + \tau_1\gamma\nabla^2\rho)I] - s\mathbf{u} = 0\)，\(\rho_t + \theta_t = 0\)，其中 \(\tau_1 = \tau/(1+\lambda)\)，\(\tau_2 = \tau(1-\lambda)/(1+\lambda)^2\)。注意若 \(\lambda>1\) 则 \(\tau_2<0\)，\(\lambda\)（非负）度量细胞-细胞接触抑制。现寻找这些线性方程的解：设 \((n, \rho, \mathbf{u}) \propto \exp[\sigma t + i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}]\)，\(\mathbf{k}\) 是波矢，\(\sigma\) 是线性增长因子（不要与应力张量混淆）。按通常方式（参见第 2 章）将 (6.30) 代入 (6.26)–(6.28) 得 \(\sigma = \sigma(k^2)\) 为下述多项式之解（\(k = |\mathbf{k}|\)）：矩阵 \(\begin{vmatrix} \sigma + D_1 k^2 + D_2 k^4 + r & -a_1 k^2 - a_2 k^4 & ik\sigma \\ ik\tau_2 & ik\tau_1 - ik^3\tau_1\gamma & -\sigma\mu k^2 - (1+\nu')k^2 - s \\ 0 & 0 & \sigma \end{vmatrix} = 0\)。稍作代数得 \(\sigma(k^2)\) 为 \(\sigma[\mu k^2\sigma^2 + b(k^2)\sigma + c(k^2)] = 0\) 的解，\(b(k^2) = \mu D_2 k^6 + (\mu D_1 + \gamma\tau_1)k^4 + (1+\mu r - \tau_1 - \tau_2)k^2 + s\)，\(c(k^2) = \gamma\tau_1 D_2 k^8 + (\gamma\tau_1 D_1 - \tau_2 D_2 + D_2 - a_2\tau_1)k^6 + (D_1 + sD_2 - \tau_1 D_1 + \gamma\tau_1 r - a_1\tau_2)k^4 + (r + sD_1 - r\tau_1)k^2 + rs\)，其中设 \(\mu = \mu_1+\mu_2\)，\(\tau_1, \tau_2, \mu, s\) 替换为 \(\tau_1/(1+\nu'), \tau_2/(1+\nu'), \mu/(1+\nu'), s/(1+\nu')\)。色散关系是 (6.31) 的解中具最大 \(\text{Re}\,\sigma \ge 0\) 者，\(\sigma(k^2) = \{-b(k^2) + [b^2(k^2) - 4\mu k^2 c(k^2)]^{1/2}\}/(2\mu k^2)\)，\(\sigma(k^2) = -b(k^2)/(\mu k^2)\) 若 \(c(k^2)\equiv 0\)。线性系统空间异质解的特征是色散 \(\sigma(k^2)\) 有 \(\text{Re}\,\sigma(0)\le 0\) 但对 \(k^2\neq 0\) 的某段波数有 \(\text{Re}\,\sigma(k^2)>0\)。由 (6.31)，若 \(k^2=0\)（空间均匀情形）则 \(b(0)=s>0\)、\(c(0)=rs>0\)（参数均正），故 \(\sigma = -c/b < 0\)，均匀态稳定。因此需要 \(\text{Re}\,\sigma(k^2)>0\) 对某些 \(k^2\neq 0\) 存在的条件——所有这些 \(k\) 的解 (6.30) 线性不稳定并随时间指数增长。按通常方式，预期这些不稳定异质线性解将演化为有限振幅空间结构解。直观上从非线性系统 (6.22) 可见指数增长解不会无限增长——logistic 增长的二次项阻止此点；在不将有丝分裂率设为零的模型中，力平衡方程 (6.23) 中的接触抑制项保证解有界；Perelson et al. (1986)、Bentil (1990)、Cruywagen (1992) 对完整系统的数值仿真证实了这一点。线性不稳定解对有限振幅解的定性特征具有一定预测能力；该预测能力常限于一维情形下的小波数，如同第 2、3 章所见——通常（但不总是）如此。由色散关系 (6.32) 知，存在 \(\text{Re}\,\sigma(k^2)>0\) 的唯一方式是 \(b(k^2)<0\) 或 \(c(k^2)<0\) 或两者兼具。负项只涉及牵引参数 \(\tau\)（出现在 \(\tau_1\) 与 \(\tau_2\) 中），故机制能生成空间异质解的必要条件是细胞牵引 \(\tau>0\)；从 (6.29) 知 \(\tau_2\) 可能为负。从机制直观亦如此——细胞牵引力是力平衡方程 (6.23) 中唯一的聚集贡献。因此，\(\tau>0\) 时，存在空间结构解的充分条件是参数确保 \(b(k^2)<0\) 与/或 \(c(k^2)<0\) 对某些 \(k^2>0\)。鉴于细胞牵引的中心角色，作者用 \(\tau\) 作分叉参数；选择 \(\tau\) 作分叉参数还有生物学理由——体外实验已知细胞产生的牵引可随时间增大（有限期间），典型表现如图 6.7 所示。直觉理解图样形成过程可借助图 6.8：以细胞牵引为分叉参数，图 6.8(a) 中细胞牵引小于临界牵引，不足以克服 ECM 的弹性抗性，任何细胞密度异质性会被平滑掉；牵引增大越过临界值，细胞产生的力超过 ECM 抗性，空间异质性开始形成（图 6.8(b)）；细胞牵引进一步增大则需用色散关系确定哪一图样开始增长（图 6.8(c)）；由于方程形式（回顾第 2 章）类似尺度与几何效应存在，更复杂图样在更大域上可能。各参数对图样形成潜力的定性效应可由 \(b(k^2)\)、\(c(k^2)\) 看出：因需要 \(b\) 或 \(c\) 为负才会从随机初始细胞密度演化出空间图样，故例如附着（由 \(s\) 度量）增大倾向于稳定（使两者更正）；细胞对基质的长程效应（\(\gamma\)）也起稳定作用；粘度同样稳定；长程趋触性（\(a_2\)）则始终去稳定。大量定量信息可从色散关系的多项式系数直接获得；其中许多当然直观明显，但参数组合时需进一步分析以得生物学含义——下节给出例子。(6.32) 中的 \(\sigma(k^2)\) 与 (6.31) 中的 \(b(k^2), c(k^2)\) 表达式确定参数空间中空间异质线性不稳定解存在的区域；它们还给出分叉表面（参数空间中分隔均匀与异质解的曲面）。一般地代数确定这些曲面非常复杂；况且参数空间维度如此之高，对理解图样形成过程的基本特征帮助甚少。更具启发性的是考察若干特殊情形——假设影响细胞运动与基质变形的一个或多个因素可忽略；其结果之一是产生若干更简单模型机制，它们均能生成空间图样——何种机制最适合给定生物情形须由生物学判定。鉴于色散关系 \(\sigma(k^2)\) 中 \(b(k^2)\) 与 \(c(k^2)\) 的多项式复杂度，可预期存在复杂线性增长行为；下节将考察一些特定模型，均能生成空间图样，并展示力学模型从简单机制产生色散关系的丰富多样性。

6.4 产生空间图样的简单力学模型与复杂色散关系（Simple Mechanical Models Which Generate Spatial Patterns with Complex Dispersion Relations）

本节考察 (6.22)–(6.24) 的若干特殊情形——假设影响细胞运动或力学平衡的一个或多个因素可忽略——每种情形都凸显某种新现象。这些情形通过简单将各种参数设为零并考察 (6.32) 给出的色散关系 \(\sigma(k^2)\) 来推导；这当然不是随意过程：先审视对 \(b(k^2), c(k^2)\) 的效应，先验判断可能结果。

情形 (i)：\(D_1 = D_2 = a_1 = a_2 = 0\)（无细胞扩散与无趋触性），\(r = 0\)（无细胞分裂）。从一般模型 (6.22)–(6.24) 得机制 \(n_t + \nabla\cdot(n\mathbf{u}_t) = 0\)，\(\nabla\cdot[(\mu_1\varepsilon_t + \mu_2\theta_t I) + (\varepsilon + \nu'\theta I) + \tau n/(1+\lambda n^2)(\rho + \gamma\nabla^2\rho)I] = s\rho\mathbf{u}\)，\(\rho_t + \nabla\cdot(\rho\mathbf{u}_t) = 0\)。\(n, \rho\) 简单守恒方程的含义是细胞与基质简单被基质对流——如第 6.3 节所述，这被认为是主要输运过程；在网络形成（第 8 章）中尤为明显。模型机制的一维形式 \(n_t + (nu_t)_x = 0\)，\(\mu u_{xxt} + u_{xx} + [\tau n/(1+\lambda n^2)(\rho+\gamma\rho_{xx})]_x = s\rho u\)，\(\rho_t + (\rho u_t)_x = 0\)，其中设 \(\mu = (\mu_1+\mu_2)/(1+\nu')\)、\(\tau = \tau(1+\nu')\)、\(s = s/(1+\nu')\)。该系统线性化为 \(n_t + u_{tx} = 0\)，\(\mu u_{xxt} + u_{xx} + [\tau_1\rho + \tau_2 n + \tau_1\gamma\rho_{xx}]_x = s u\)，\(\rho_t + u_{tx} = 0\)，其中 \(\tau_1 = \tau/(1+\lambda)\)，\(\tau_2 = \tau(1-\lambda)/(1+\lambda)^2\)。对系统 (6.33)，由 (6.31) 知 \(c(k^2) \equiv 0\)，故由 (6.32) 的色散关系为 \(\sigma(k^2) = -b(k^2)/(\mu k^2)\)，\(b(k^2) = \gamma\tau_1 k^4 + (1-\tau_1-\tau_2)k^2 + s\)。获得 \(\text{Re}\,\sigma>0\) 的唯一方式（此处 \(\sigma\) 为实数）是 \(b(k^2)<0\) 对某 \(k^2>0\)。这要求 \(\tau_1+\tau_2 > 1\) 且 \(b_{\min} = s - (\tau_1+\tau_2-1)^2/(4\gamma\tau_1) < 0\)。用 \(\tau, \lambda, \gamma, s\) 表示变为 \(\tau^2 - \tau(1+\lambda)^2[1+\gamma s(1+\lambda)] + 1/(4(1+\lambda)^4) > 0\)，意味着空间图样仅当 \(\tau > \tau_c = \{1 + \gamma s(1+\lambda) + [1 + \gamma s(1+\lambda)]^2 - 1]^{1/2}\}/[2(1+\lambda)^2]\) 时演化。另一根不相关，因其意味着 \(\tau_1+\tau_2 < 1\)，故由 (6.36) \(b(k^2)>0\) 对所有 \(k\)。\(\tau = \tau_c(\lambda, \gamma, s)\) 是空间均匀与异质之间的分叉曲面。鉴于细胞牵引的中心角色及图 6.7 的牵引-时间曲线，自然取 \(\tau\) 为分叉参数；一旦 \(\tau\) 增大超过临界值 \(\tau_c\)（最先使 \(b(k^2)=0\) 的值），均匀稳态分叉到空间不稳定态。自然组合为 \(\tau/(1+\lambda)^2\) 与 \(\gamma s(1+\lambda)\)；分叉曲线 \(\tau/(1+\lambda)^2\) vs \(\gamma s(1+\lambda)\) 是一特别简单的单调曲线。当 (6.39) 满足时，色散关系 (6.36) 是典型的基础色散关系（参见图 2.5(b)），触发空间图样起始（图 6.10(a) 末尾）。所有使 \(\sigma(k^2)>0\) 的 \(k\) 均为线性不稳定，即 \(b(k^2)<0\) 的 \(k^2\) 范围，由 (6.36) 给出为 \(k_1^2 < k^2 < k_2^2\)，\(k_{1,2}^2 = [(\tau_1+\tau_2-1) \pm \{(\tau_1+\tau_2-1)^2 - 4s\gamma\tau_1\}^{1/2}]/(2\gamma\tau_1)\)，其中 \(\tau, \gamma, \lambda, s\) 必须满足 (6.39)。存在一个最快增长的线性模，在一维模型与随机初始条件下预测最终非线性空间图样（参见第 2 章第 2.6 节）。引发不稳定的其他方式产生不同优先模；模型非线性方面将在后文讨论，并在特定生物应用中给出完整非线性模型的仿真。在考察另一例之前，注意 (6.35) 中细胞守恒方程的形式：无细胞有丝分裂则无自然细胞密度（关联 logistic 最大值 \(N\) 于 (6.7)）。此处可用 \(N\)（或 \(n_0\) 以突出不同情形）作无量纲化，但其以另一可调参数出现；它出现在由 (6.21) 定义的几个无量纲组合中，因此提供更多实验操作以检验模型的空间。稍后会描述细胞密度降低时的实验结果；用 (6.21) 可确定涉及 \(N\) 的无量纲参数如何变化，从而从色散关系预测图样形成观点的结果。所有无细胞增殖的模型都有此性质；另一性质是最终解依赖于初始条件——细胞密度守恒，不同初始条件（即不同总细胞数）产生不同图样；随机扰动小时最终解差异小——生物上现实，因没有两图样完全相同。

情形 (ii)：\(D_2 = \gamma = 0\)（无长程扩散与无细胞-ECM 相互作用），\(a_1 = a_2 = 0\)（无趋触性），\(r = 0\)（无细胞增殖）。从一般模型 (6.22)–(6.24)，细胞方程含扩散与对流，模型机制化为 \(n_t = D_1\nabla^2 n - \nabla\cdot(n\mathbf{u}_t)\)，\(\nabla\cdot[(\mu_1\varepsilon_t + \mu_2\theta_t I) + (\varepsilon + \nu'\theta I) + \tau\rho n I/(1+\lambda n^2)] = s\rho\mathbf{u}\)，\(\rho_t + \nabla\cdot(\rho\mathbf{u}_t) = 0\)。由 (6.31) 与 (6.32)，系统色散关系为 \(\sigma(k^2) = \{-b \pm [b^2 - 4\mu k^2 c]^{1/2}\}/(2\mu k^2)\)，\(b(k^2) = \mu D_1 k^4 + (1-\tau_1-\tau_2)k^2 + s\)，\(c(k^2) = D_1 k^2[k^2(1-\tau_2) + s]\)。如上所述，此模型中均匀稳态细胞密度 \(n=N\)，\(N\) 仅为另一参数。使 \(b(k^2)\) 最小值为零的 \(\tau\) 临界值（\(\tau_1, \tau_2\) 由 (6.29) 定义）为 \(\tau_{b=0} = \tau_c = (1+\lambda)^2[1/2 + (\mu s D_1)^{1/2}]\)（\(b_{\min}=0\) 推出 \(\tau_1+\tau_2 = 1 + 2(\mu s D_1)^{1/2}\)）；\(c(k^2)\) 在某 \(k^2\) 范围为负若 \(\tau_2 > 1\)，即 \(\tau_{c=0} = \tau_c = (1+\lambda)^2/(1-\lambda)\)，\(\lambda\neq 1\)。（\(\lambda=1\) 的特例使 \(\tau_2=0\) 精确成立；此类特定情形生物意义不大。）随 \(\tau\) 增大，\(b\) 或 \(c\) 谁先为零取决于其他参数组合。若 \(b\) 的最小值先为零，则发生于由 \(b(k^2)\) 表达式连同 (6.43) 给出的临界波数 \([k]_{b=0} = [s/(\mu D_1)]^{1/4}\)。若 \(\tau\) 使 \(c(k^2)\) 先为零，则由 (6.42) \(c(k^2) < 0\) 对所有 \(k^2 > s/(\tau_2-1)\)。线性与非线性解行为关键取决于 \(b(k^2)\) 与 \(c(k^2)\) 谁先为零——\(\tau_{c=0}\) 大于或小于 \(\tau_{b=0}\)。假设 \(\tau\) 从零增大时 \(b=0\) 先达到；由色散关系 (6.42)，\(\sigma\) 在 \(\tau_c = \tau_{b=0}\) 处为复数，故对刚大于 \(\tau_c\) 的 \(\tau\)，解 \(n, \rho, u \sim O(\exp[\text{Re}\,\sigma(k^2_{b=0})t + i\,\text{Im}\,\sigma(k^2_{b=0})t + i\mathbf{k}_{b=0}\cdot\mathbf{r}])\)。这些解代表指数增长行波，预测不会演化出有限振幅稳态解。另一方面若先达到 \(\tau_{c=0}\)，则 \(\sigma\) 在临界 \(k^2\) 附近保持实数，似乎空间结构会按通常方式演化。在任何与真实生物应用相关的仿真中，仔细分析色散关系与要用的参数值是绝对必要的——因为可能存在从正常空间图样→不稳定行波→空间图样的转变。对于我们正在处理的非标准 PDE，这种行为可能被视为数值仿真的人为产物。此模型的更简版（仍展现空间结构）令 \(D_1 = 0\)；系统化为 \(n_t + \nabla\cdot(n\mathbf{u}_t) = 0\)，\(\nabla\cdot[(\mu_1\varepsilon_t + \mu_2\theta_t I) + (\varepsilon + \nu'\theta I) + \tau\rho n I/(1+\lambda n^2)] = s\rho\mathbf{u}\)，\(\rho_t + \nabla\cdot(\rho\mathbf{u}_t) = 0\)。此处由 (6.31) 知 \(c(k^2)\equiv 0\)，\(\sigma(k^2) = -b/(\mu k^2)\)，\(b(k^2) = (1-\tau_1-\tau_2)k^2 + s\)。故要求 \(\tau, \lambda\) 满足 \(\tau_1+\tau_2 > 1\)，即 \(\tau > (1+\lambda)^2/2\)，则 \(\sigma(k^2)>0\) 对所有 \(k^2 > s/[2\tau(1+\lambda)^{-2}-1]\)。此处色散关系（如图 6.11(a)）与图 6.10(a) 根本不同：存在无限范围不稳定波数——具很大波数（即很小波长）的扰动均不稳定——因为模型 (6.48) 版未含长程效应：长程效应倾向平滑小波长图样。从随机初始条件演化出什么图样尚不清楚；最终空间结构密切依赖初始条件；该色散关系的渐近分析仍缺乏。

情形 (iii)：\(D_1 = D_2 = 0\)（无细胞扩散），\(a_1 = a_2 = 0\)（无趋触性），\(\mu_1 = \mu_2 = 0\)（ECM 中无黏弹效应）。系统 (6.22)–(6.24) 化为 \(n_t + \nabla\cdot(n\mathbf{u}_t) = rn(1-n)\)，\(\nabla\cdot[(\varepsilon + \nu'\theta I) + \tau n/(1+\lambda n^2)(\rho + \gamma\nabla^2\rho)I] = s\rho\mathbf{u}\)，\(\rho_t + \nabla\cdot(\rho\mathbf{u}_t) = 0\)；一维情形为 \(n_t + (nu_t)_x = rn(1-n)\)，\([u_x + \tau n/(1+\lambda n^2)(\rho+\gamma\rho_{xx})]_x = s\rho u\)，\(\rho_t + (\rho u_t)_x = 0\)，其中将 \((1+\nu')\) 并入 \(\tau, s\)。该情形由 (6.31) 与 (6.32) 给出色散关系 \(\sigma(k^2) = -c/b\)，\(b(k^2) = \gamma\tau_1 k^4 + (1-\tau_1-\tau_2)k^2 + s\)，\(c(k^2) = \gamma\tau_1 r k^4 + r(1-\tau_2)k^2 + rs\)。此处随 \(\tau\) 增大 \(b(k^2)\) 先为零，故分叉牵引值由 \(b(k^2)=0\) 给出 \(\tau_c\)；\(b(k^2)\) 表达式同 (6.36)，故临界 \(\tau_c\) 由 (6.39) 给出。然而此处 \(c(k^2)\) 不恒为零，故 \(\tau\) 增大超过 \(\tau_c\) 时色散关系非常不同。\(\tau_2 = \tau(1-\lambda)/(1+\lambda)^2\)，若 \(\lambda>1\) 则 \(\tau_2<0\)，对所有 \(k^2>0\) 有 \(c(k^2)>0\)。为讨论方便，假设 \(\lambda<1\) 使 \(c(k^2)\) 也可能为负。记 \(b(k^2)\) 与 \(c(k^2)\) 首次为零的临界 \(\tau_c\) 分别为 \(\tau_c^{(b)}\) 与 \(\tau_c^{(c)}\)；此处 \(\tau_c^{(b)} < \tau_c^{(c)}\)。该情形中 \(\sigma(k^2)\) 随 \(\tau\) 增大的行为如图 6.9 所示，呈现根本不同于前所见与讨论的标准色散关系。首先注意图 6.9 中不稳定波数范围有限，存在牵引参数 \(\tau\) 的两个分叉值。这种色散关系的系统的图样形成潜力远大于图 6.10(a) 的标准色散形式所能产生的。当然，线性理论在线性增长无界处无效。因此从解析观点，必须纳入其他效应以有效平滑 \(\sigma(k^2)\) 的不连续性；这意味着存在奇异摄动问题。此处不讨论该问题，但可直观看出这种色散关系（具大线性增长率）暗示带优选波数模的"快聚焦"。例如图 6.9(e) 中可预期下带低端与上带高端的模为主导模。在非线性理论中最终主导哪个模关键取决于初始条件。具大线性增长的情形中，可见在完整非线性系统中纳入某些细胞-细胞抑制项多么必要。若发生快聚焦，则可能存在细胞密度等的无限增长——这意味着出现类尖峰解。抑制项（由 \(\lambda\) 度量）的效应因此本质重要。这些快聚焦模型具有一些潜在有趣的解析方面。

如何从更复杂基本模型 (6.22)–(6.24) 推导各更简模型现已经清楚，其他例子留作练习。图 6.10 与图 6.11 展示了力学模型 (6.22)–(6.24) 类中存在的色散关系类型的丰富性。图 6.10 仅显示部分具有限不稳定波数范围的色散关系；图 6.11 展示部分具有无限不稳定波数范围的色散关系形式。对图 6.10(a) 所示色散关系形式的机制，在分叉到空间异质性附近可作非线性分析（Maini & Murray 1988 的做法）。对具无限不稳定波数范围的色散关系的模型（图 6.11）的非线性理论（如所指出的）仍缺乏；色散关系呈现无限增长模（图 6.10(b),(e)–(g)）的模型非线性理论也未建立。尽管预期图样相比有限不稳定波数范围情形会更关键地依赖初始条件，此点亦未确证。如上所述，力学模型亦能生成行波——由复数 \(\sigma\) 的色散关系指示；表 6.3 给出容许此类解的模型示例。从生物应用观点，二维与三维图样自然引起极大兴趣。基于本书中研究过的众多反应-扩散-趋化与神经模型的经验，可预期完整非线性模型在此的仿真会反映基本模型方程 (6.26)–(6.28) 线性化分析的一些定性特征。这促使我们去寻找解中的可能对称性——通过对线性力平衡方程 (6.27) 取散度实现，结合 (6.26)、(6.28) 利用恒等式 \(\text{div}\,\varepsilon = \text{grad}\,\text{div}\,\mathbf{u} - (1/2)\text{curl}\,\text{curl}\,\mathbf{u}\) 得 \(n_t - D_1\nabla^2 n + D_2\nabla^4 n + a_1\nabla^2\rho - a_2\nabla^4\rho + \theta_t + rn = 0\)，\(\nabla^2[\mu\theta_t + (1+\nu')\theta + \tau_1 n + \tau_2\rho + \tau_1\gamma\nabla^2\rho] - s\theta = 0\)，\(\rho_t + \theta_t = 0\)，其中 \(\tau_1 = \tau/(1+\lambda)\)，\(\tau_2 = \tau(1-\lambda)/(1+\lambda)^2\)，\(\mu = \mu_1+\mu_2\)。要确定该组方程的相关解的较全谱并不简单。但可寻找镶嵌平面的周期解（参见第 2、12 章），即满足 \(\Psi(\mathbf{r}+m\boldsymbol{\omega}_1+l\boldsymbol{\omega}_2) = \Psi(\mathbf{r})\) 的解，其中 \(m, l\) 为整数，\(\boldsymbol{\omega}_1, \boldsymbol{\omega}_2\) 为独立向量。线性系统 (6.53)–(6.55) 的此类周期解的最小类至少包括 \(\nabla^2\psi + k^2\psi = 0\)，\((\mathbf{n}\cdot\nabla)\psi = 0\) 对 \(\mathbf{r}\) 在 \(\partial B\) 上的特征函数，其中 \(\mathbf{n}\) 是域 \(B\) 边界 \(\partial B\) 的单位法向量；这些边界条件下解是周期的。如第 2 章第 2.4 节与第 12 章所见，规则平面周期镶嵌的基本对称群分别为六角、方形（含辊状）与菱形解，分别由方程 (2.47)、(2.48)、(2.49) 给出。极坐标形式 \((r, \phi)\) 的解复述如下：六角 \(\psi(r, \theta) = (1/3)[\cos(kr\sin(\phi+\pi/6)) + \cos(kr\sin(\phi-\pi/6)) + \cos(kr\sin(\phi-\pi/2))]\)；方形 \(\psi(r, \phi) = (1/2)[\cos(kr\cos\phi) + \cos(kr\sin\phi)]\)；菱形 \(\psi(r, \phi; \delta) = (1/2)[\cos(kr\cos\phi) + \cos(kr\cos(\phi-\delta))]\)，\(\delta\) 为菱形角。此类对称解如图 6.12 所示。

小应变近似：二维图样的简化力学模型。许多胚胎学情形中，图样形成过程中的应变、细胞密度与 ECM 密度变化均小。该假设可导出线性模型系统 (6.26)–(6.28)；但线性系统在长期稳定性上有特定问题。可利用小应变近似推导保留某些关键非线性的简化标量方程模型，使我们能在二维情形作非线性分析并获得生物相关的稳定非线性解。说明这一点：考虑非线性无量纲系统 (6.33)，取非平凡稳态 \(n = \rho = 1, u = 0\)。因小应变，对细胞与基质守恒方程（(6.33) 第一、三式）作线性化得 \(n_t + \nabla\cdot\mathbf{u}_t = 0\)，故 \(n_t + \theta_t = 0\)；\(\rho_t + \nabla\cdot\mathbf{u}_t = 0\)，故 \(\rho_t + \theta_t = 0\)。由于膨胀 \(\theta = \nabla\cdot\mathbf{u}\)，对 \(t\) 积分并利用 \(\theta=0\) 时 \(n=\rho=1\) 得 \(n(\mathbf{r}, t) = 1 - \theta(\mathbf{r}, t) = \rho(\mathbf{r}, t)\)。因考虑小 \(\theta\)，\(\theta<1\) 时 \(n, \rho\) 仍保持正（必要）。由 (6.61) 现在将力平衡方程（(6.33) 第二式）中的外力 \(s\rho\mathbf{u}\) 用其线性近似 \(s\mathbf{u}\) 替换。代入 \(n, \rho\) 关于膨胀的线性形式 (6.61) 到 (6.33) 第二式，对结果方程取散度并利用张量恒等式 \(\nabla\cdot\varepsilon = \text{grad}\,\text{div}\,\mathbf{u} - (1/2)\text{curl}\,\text{curl}\,\mathbf{u}\)，得关于膨胀 \(\theta\) 的下列标量方程：\(\mu\nabla^2\theta_t + \nabla^2\theta + \tau\nabla^2[(1-\theta)^2 - \gamma(1-\theta)\nabla^2\theta] - s\theta = 0\)，其中已将 \(1+\nu'\) 并入重新定义的 \(\mu, \tau, s\)，并为代数简单取 \(\lambda=0\)。\(\lambda\neq 0\) 的效应只是在 (6.62) 中引入乘性项 \([1+2\lambda\theta/(1+\lambda)]\) 并将 \(\tau\) 替换为 \(\tau/(1+\lambda)\)。Maini & Murray (1988) 对该简化模型 (6.62) 作非线性分析获得了辊状与六角解——后者的意义将在下节关于皮肤器官形态发生的生物应用中讨论。也许应在此提及，机制 (6.22)–(6.24) 及其众多简化可能的空间图样谱系远多于反应-扩散系统——即使三物种系统。Penrose (1979) 一文的含义是张量系统解的奇异性类比向量系统更广；因细胞-基质方程是张量方程，其解应因此比反应-扩散向量系统包含更广的奇异性类。即使线性系统 (6.26)–(6.28) 也有许多有待研究的解析与数值问题。

6.5 羽芽的周期图样（Periodic Patterns of Feather Germs）

规则图样的生成在早期胚胎发生的许多场合出现，皮肤器官形态发生（如羽毛与鳞片原基）尤为明显（Sengel 1976、Davidson 1983）。羽毛形成与早期发育中鳞片形成有诸多共同点；这里集中讨论羽毛原基形成，特别参考鸡与禽类。羽毛原基结构以特征性的规则六角形方式分布于动物表面。Murray–Oster 力学理论在羽毛原基上的应用最早由 Murray et al. (1983) 与 Oster et al. (1983) 提出，本节描述的就是他们的场景；该问题也由 Cruywagen et al. (1992, 2000) 用组织相互作用模型研究，详见第 6.10 节。我们首先呈现提示使用力学模型的生物学背景。脊椎动物皮肤本质上由两层组成：上皮性的表皮覆盖在厚得多的间充质性真皮之上，二者由纤维状基膜分隔。表皮细胞层（一般不动）能如第 6.1 节所述变形；真皮细胞疏松、能迁移，可在细胞外基质（ECM）中运动。羽毛与鳞片原基的最早可观察发育阶段以相同方式开始。这里集中讨论羽毛雏形在背中线羽毛形成区域（dorsal pteryla）——鸡背的羽毛形成区——的起始与随后的出现。在鸡胚中首批羽毛雏形约在受精后 6 天可见；每个羽毛原基（primordium）由表皮的增厚（placode，由一层或多层柱状细胞构成）及其下方的真皮（间充质）细胞聚集（papilla）组成。Davidson (1983) 给出了 papilla 与 placode 的精彩图片。真皮致密化主要源于细胞迁移，局部增殖次之；至于 placode 先于真皮 papilla 还是反过来形成，仍无广泛共识；有大量实验工作正在确定出现顺序——或者表皮与真皮之间的相互作用是否同时产生图样。真皮似乎决定空间图样——如表皮-真皮重组实验（Rawles 1963、Dhouailly 1975）所示；本章后面描述组织相互作用系统时会回到这点。此处讨论的模型是关于真皮 papilla 的形成；随后的发育则是涉及表皮与真皮层的协同过程（Wessells 1977、Sengel 1976、Cruywagen et al. 1992）。Davidson (1983) 表明鸡羽毛原基顺序出现：背中线上真皮细胞形成中心列，随后分裂成 papilla 行；当 papilla 形成时，连接各聚集中心的张力线随之发育。结合上述力学模型，这与细胞试图对齐 ECM 一致；接着横向 papilla 行从中线向腹侧方向顺序形成，但与前一行交错排列——参见图 6.13(a)–(d)。这些横向行几乎像一阵图样启动的"波"从中线散开。Davidson (1983) 的实验倾向于证实这一波动理论；后文展示这些结果如何由模型解释并提供佐证的数值结果。这些观察提示合理的第一步是为初始 papilla 行的图样形成过程建模——取一列细胞作一维域并寻找生成 papilla 行的空间不稳定条件——即 stage 1，图 6.13(a)–(d) 示意其顺序过程。在前几节中已见力学模型 (6.22)–(6.24) 及其在第 6.4 节导出的更简模型中，当细胞牵引参数 \(\tau\) 增大越过某临界值 \(\tau_c\) 时均匀稳态变为空间不稳定。结合图 6.10(a) 的标准基础色散关系，特定波数 \(k_c\)（波长 \(2\pi/k_c\)）的模式 (6.30) 首先变为不稳定，空间图样开始演化，产生规则的真皮 papilla 图样。对忽略长程趋触性（\(a_2=0\)）与反映细胞有丝分裂小的生物情形（\(r=0\)）的一维非线性力学模型 (6.22)–(6.24) 已进行仿真，例如 Perelson et al. (1986)、Bentil (1990)、Cruywagen (1992)。Perelson et al. (1986) 特别处理多参数模型中的模选择问题，并提出隔离与"生长"特定波长图样的简单参数集方案；Bentil & Murray (1991) 进一步发展了更简易的方案。图 6.14(a) 显示细胞聚集（papilla）、ECM 位移与密度变化的典型稳态图样；如直觉预期，细胞聚集与 ECM 密度变化 \(\rho\) 同相位，均与 ECM 位移 \(u\) 反相位——原因在于细胞聚集将基质拉向高细胞密度区，从而拉伸其间的基质；图 6.13(e) 示意物理过程。图 6.14(a) 所示图样仅在细胞牵引参数超过某临界值时出现（见第 6.4 节）。因此沿背中线形成图样的可能场景是：存在一波启动沿该列扫描，可能与组织年龄相关——这种情况下，体外实验显示细胞牵引参数增大（参见图 6.7）。随细胞变强，\(\tau\) 越过临界值 \(\tau_c\)，图样被启动；注意模型中一维图样同时发展，而实验提示顺序发育——这令人想到第 2 章图 2.15(d) 所示的图样形成模式。现考虑特征性的六角二维 papilla 图样形成。上面描述了图样启动波似从背中线散开；这提示初始 papilla 行建立的基质应变图样使次级致密化偏向偏离第一行半个波长的位置。图 6.14(b) 显示基于此场景的适当数值模拟：注意图样与图 6.14(a) 反相位。结合图 6.13(f)、(g) 可见该场景以顺序方式生成规则六角图样，像从背中线发出的波。然而此"波"不是通常意义的波，因为若真皮层沿平行背中线的线切开，波会在切口外再次 ab initio 启动——这与 Davidson (1983) 的实验观察一致，他专门研究了拉伸与切割表皮对间距的定性效应。尽管此准一维场景由线性理论提示，但某种程度上由非线性仿真验证。更好的验证来自二维模型仿真。然而使用作者的场景，可以对实验参数变化时波长的改变作预测。例如模型一个版本预测间距随细胞总数 \(N\) 减小而增大——这与实验观察一致（Duncan Davidson 博士，私人通讯，1983）。无量纲分析最有用的方面之一——随之得到参数的无量纲组合——是评估不同物理效应（由无量纲化中的参数量化）如何相互权衡。例如由无量纲组合 (6.21)，从无量纲牵引 \(\tau^* = \tau\rho_0 N(1+\nu)/E\) 可见，对模型 (6.22)–(6.24) 减小细胞牵引 \(\tau\) 与减小细胞密度或增大弹性模量 \(E\) 效果相同。要清楚看出整体等价性，须考察参数空间中的分叉曲面。解读实验操作结果时重要警告是：相当不同的细胞或基质改变可产生补偿且等价的结果。虽然该警告适用于任何模型机制，但它特别适用于力学模型的实验，因为形态发生变量无可争议是真实的。

6.6 肢形态发生中的软骨致密化与形态发生规则（Cartilage Condensations in Limb Morphogenesis and Morphogenetic Rules）

脊椎动物肢是研究最广泛的发育系统之一（Hinchliffe & Johnson 1980、Thorogood 1983、Tickle 1999——后者支持位置信息化学预图样方案）。Murray 等 (1983)、Oster 等 (1983) 首先用力学模型生成发育肢芽中演化为软骨的细胞致密化图样；Oster et al. (1985a,b) 提出了相关的力化学模型。决定最终软骨图样的发育肢芽中的图样涉及软骨细胞（间充质细胞）聚集——软骨细胞图样的基本演化随肢芽生长（从远端）顺序进行。如图 6.15 所示，几何与尺度可作为分叉参数引导软骨发生的过程；实际序列见图 6.15(c)（鸡胚肢），图 6.15(d) 是正常成年肢软骨图样照片。具体过程：随肢芽通过顶端外胚层嵴（apical ectodermal ridge）的细胞增殖而生长，横截面近似圆形但略带椭圆——取为二维域，细胞 \(n\) 与基质 \(\rho\) 零通量边界条件，\(\mathbf{u}\) 上有来自表皮（肢芽"套筒"）的约束力。如图 6.7 牵引随细胞成熟而上升，当越过临界值 \(\tau_c\)，适当参数空间下首次分叉产生一个中心细胞聚集（招募周围组织细胞）；横截面形状影响轴向聚集（图 6.15(a)）：单一致密化对应 path 1（如肱骨）；更扁椭圆截面允许两个大小不一的聚集（path 2、3，如桡骨与尺骨）；长细圆柱产生分节单元（path 4，如指骨 phalanges）。当细胞形成中心聚集时产生强的中心向应力（图 6.15(b)），使本已椭圆横截面变形得更扁，从而触发第二次分叉变为两个聚集。需指出，这一行为与第 2 章图 2.14(c)、图 2.17 中反应-扩散机制生成的图样直接等价；但根本区别是力学模型中细胞致密化会影响域形状，并实际引发图 6.15(c) 的分叉序列。在两致密化态之后进一步生长与扁平化可在远端生成更复杂的图样；肢芽足够扁后，细胞招募有效隔离指骨图样；进一步生长引发纵向或分节分叉，更多致密化依次排列，例如指骨 phalanges（图 6.15(a) path 4）。需强调，细胞图样的分叉序列不必由几何变化产生，也可由其他参数变化产生；非对称参数分布可造成非对称聚集（实验中桡骨与尺骨大小不同即为例证）。无论近端到远端分叉的触发因素是什么，自然序列是从单一聚集到两个聚集再到多个（图 6.15(c)、图 6.18）。实验上肢软骨图样中存在间隙（如肱骨与桡骨-尺骨之间），间隙取决于色散关系；实验显示软骨图样的分叉是清晰的分枝过程（图 6.17：蝾螈 Ambystoma mexicanum 肢芽纵切面显示 Y 形分叉）；而力学模型下分叉连续，间隙由后续细胞招募形成。这种分叉图样对色散关系施加约束，进而对任何模型机制施加约束。Wolpert 及合作者关于鸡肢的丰富实验工作（Wolpert & Hornbruch 1987、Smith & Wolpert 1981、Wolpert & Stein 1984）刺激了当前研究。如图 6.16：组织移植实验中，从供体肢取下"极化活性区"（ZPA）组织块植入受体，会增加顶端外胚层嵴的细胞分裂，使肢横截面宽度增大，从而可在每一生长阶段同时容纳双套细胞致密化，生成双肢（mirrored double limb）；双肢并非唯一结果，不同位置与时间的移植可得不同双图样；自然双掌（图 6.16(c)）也存在，多指（六指）为常染色体显性遗传。作者 Anne Boleyn（亨利八世之一）"有六指——不幸她被切错了"。模型预言：若肢芽移植后被几何限制在单肢尺度，则不会发生双肢所需的双分叉序列。Walbot & Holder (1987) 提供了位置信息方法下此类移植实验的描述。Dillon & Othmer (1999) 提出了肢软骨发育图样化的新模型，将 ZPA 与顶端外胚层嵴（AER）形态发生子相互作用纳入，并显式包含生长；Tickle et al. (1985)、Tickle (1999) 定量分析类视黄醇珠对肢芽的作用；沙利度胺（thalidomide）悲剧提示化学/药物对软骨发生过程的破坏。作者提出"形态发生规则"假设（图 6.18(a)–(c)）：从完全对称几何与组织各向同性出发，在分叉空间中可由单一聚集→两个→三个→更多；反应-扩散模型也可通过适当路径实现此序列（第 2 章图 2.14(b)）；力学模型亦然。但实际胚胎组织存在各向同性破坏（自然各向异性），问题是从双致密化如何过渡到三致密化。作者认为：实际上必然是一支双致密化中某一支再分叉，同时近另一支处要么出现一个焦点致密化要么经历分节分叉（图 6.18）。实验显示软骨发生期间细胞分裂很少（Hinchliffe & Johnson 1980），致密化主要通过招募周围细胞形成。Murray et al. (1983a)、Oster et al. (1983) 提出的假说由 Oster et al. (1988) 通过广泛实验验证。这些形态发生规则同样适用于反应-扩散模型；作者假设其模型独立——任何软骨图样形成机制须能产生此分叉序列。生物含义：图 6.17 中分叉连续（约如图 6.18(b)），对模型机制施加约束；若机制在参数变化下色散关系呈图 6.19(a) 型，则分叉前存在均匀区；呈图 6.19(b) 型，则分叉连续。作者在脚注中讲了一段轶事：他曾分别请教两位资深的肢软骨图样发育生物学家："肱骨分叉为桡骨、尺骨时究竟是图 6.19(a) 还是 6.19(b)？"，第一位毫不犹豫答 a，第二位同样答 b（正确答案）；若在图 6.17 拍摄后短暂观察肢芽，会看到致密化从连续分叉区（图 6.19(b)）招募细胞形成均匀区（图 6.19(a)），第一位只是未在该小时间窗口观察。实验证据显示两栖动物 ECM 的渗透性质可能在形态发生中重要：透明质酸是 ECM 主要成分、能以溶胀渗透态存在；软骨细胞致密化启动时细胞分泌透明质酸酶降解透明质酸，引起基质渗透性塌陷，使细胞紧密接触启动主动收缩从而致密化（细胞迁移在此场景中不重要）。Oster et al. (1985b) 的修改模型纳入化学因素与渗透压力，得出类似的软骨图样。Dillon & Othmer (1999) 的新模型纳入 ZPA 与 AER 形态发生子相互作用并显式包含生长；Riddle & Tabin (1999) 综述将基因方面纳入。力学模型比反应-扩散模型更易接受实验检验（因为化学形态发生子难以捉摸）；第 7 章将进一步用这些一般规则考察演化含义，包括对某些发育畸形的存在/不存在性预测——这是从建模概念得到的与模型独立的实际生物结果。

6.7 胚胎指纹形成（Embryonic Fingerprint Formation）

皮肤纹理学（dermatoglyphics）——指纹图样的研究、分类与广泛应用（遗传、临床、病理、胚胎、人类学、法医学乃至手相术）——已有长久历史，文献繁多。图 6.20(a) 是一张人指纹照片，标注了常见特征；其描述方法大致分为拓扑方法（关注在连续形变下不变的性质，Penrose 1979）和统计方法（Sparrow & Sparrow 1985），分别适用于不同场合。Elsdale & Wasoff (1976) 在二维正常人成纤维细胞汇合培养及灵长类掌跖纹样研究中观察到：二者均以"原本平行排列元素场中的间断或不连续"为特征，因此要理解 dermatoglyphic 图样发育，除细胞行为分析外还需拓扑考虑；不过拓扑分类有局限，它忽略几何而仅聚焦指纹识别技术。Loesch (1983) 观察表明人类表皮嵴图样约在妊娠第三月开始发育；最终图样依赖于不对称程度与指垫形成：对称指垫产生斗型，不对称指垫产生箕型，其他形态产生弓型。关于 dermatoglyphic 图样如何形成或什么机制创造它们，尚无广泛共识。Davidson (1983) 等的移植实验支持真皮与表皮在相关图样（如羽芽）形成中并行相互作用；Kollar (1970) 的小鼠足底真皮与身体其他部位表皮异种重组实验表明：缺乏毛囊与出现 dermatoglyphic 图样可能由真皮而非表皮决定。Okajima (1982) 在暴露真皮上检查 dermatoglyphic 图样，确认嵴状结构首先出现于真皮；嵴由相对方向运动的细胞团形成，可能由深层细胞团喷出；其形状常提示特定区域细胞聚集，间断可取决于曲率或区域。Green & Thomas (1978) 的序贯照片显示短嵴常融合为长嵴；长嵴可整体横向位移或局部位移成弓（图 6.21(a)）；弓状嵴有时弯成斗，提示"两侧阻力不等"；斗的大小由可组织区域大小决定，确认 dermatoglyphic 图样形成可分为两阶段：先成嵴，后弯成斗、箕等。基因病（如 21 三体）可产生异常图样（图 6.20(c)）。de Braganca 在 21 三体患者指尖真皮图样上观察到嵴方向的突然变化（分叉），有时两或多条嵴分叉后融合形成单个 minutiae（图 6.20(b)），可解释为指节发育中缩短。这些分叉形态提示潜在机制可来自细胞在不断被对流的 ECM 上的力学运动。Bentil 与作者用力学机制检验是否能产生类似 dermatoglyphic 图样：完整二维系统涉及 ECM 的应力张量与细胞牵引力。模型假设：(a) 嵴的形成涉及真皮及随后表皮的力学变形，表皮倾向于沿真皮方向屈曲折叠；(b) 考虑两个关键过程：ECM 的扩展伴随细胞与粘附位点的对流，组织与细胞在 dermatoglyphic 图样形成中的生长。模型加入依赖于细胞与基质密度的 ECM 源项；细胞运动与牵引力与增殖可在连续 ECM 基质与细胞密度上生成枝状图样，迁移细胞跟随枝状图样被组织基质携带。在细胞-基质作用（ECM）方程中加入非局部（长程）牵引项（保证稳定空间图样）。取 (6.7) 中 \(D_2=a_2=0\)、\(\tau n/(1+\lambda n^2) = \tau n\)（细胞密度一般较小）、(6.20) 中 \(S(n,\rho,\mathbf{u}) = mn\rho(\rho_0-\rho)\)（\(m, \rho_0\) 为常数），得到模型：\(n_t = D_1\nabla^2 n - \nabla\cdot(n\mathbf{u}_t) - a_1\nabla\cdot(n\nabla\rho) + rn(N-n)\)，力平衡形式不变（细胞牵引中含 \((\rho+\gamma\nabla^2\rho)I\)），\(\rho_t + \nabla\cdot(\rho\mathbf{u}_t) = mn\rho(\rho_0-\rho)\)。基质源项可能为分叉所必需。无量纲化、围绕 \(\mathbf{u}=0, n=\rho=1\) 线性化、寻找形如 \(\exp(\sigma t + i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x})\) 的解，色散关系是一个三次多项式 \(a(k^2)\sigma^3 + b(k^2)\sigma^2 + c(k^2)\sigma + d(k^2) = 0\)，其中 \(a(k^2) = \mu k^2\)，\(b(k^2) = (\mu D_1 + \gamma\tau)k^4 + [1 + \mu(r+m) - 2\tau]k^2 + s\)，\(c(k^2) = \gamma\tau D_1 k^6 + [(1+m\mu-\tau)D_1 + (\gamma r - a_1)\tau]k^4 + [r+m+sD_1 + m\mu r - (r+m)\tau]k^2 + (r+m)s\)，\(d(k^2) = m[D_1 k^4 + (r+sD_1)k^2 + rs]\)。此时 \(\sigma = 0\) 不再是解，需用三次的 Routh–Hurwitz 条件：稳态不稳定若对某个 \(k^2\neq 0\)，\(a(k^2)\neq 0\) 且 \(H(k^2) < 0\)。鉴于高阶多项式与多参数，作者采用 Bentil & Murray (1991) 的 LPS（Logical Parameter Search）方法，在参数范围内迭代扫描以满足不稳定与空间图样条件，对临界 \(\tau=\tau_c\) 找参数集。Green & Thomas (1978) 的体外实验：在含致死辐射 3T3 成纤维细胞的培养中人表皮角质形成细胞可连续培养，约 21 天融合成层，30–40 天一些细胞形成加厚嵴类似弓、箕、斗——虽非真皮细胞，但突出了细胞分裂在图样过程中的重要性（图 6.21(a)）。图 6.21(b) 是模型 (6.63)–(6.65) 在方形域上的数值解，显示真皮图样；作者推测细胞在 ECM 上的运动（被对流、最终位移与应变场所携带）预示了真皮图样。Elsdale & Wasoff (1976) 研究了密集细胞如何组织：正常人二倍体肺成纤维细胞培养，细胞铺展并稳定形成致密补丁阵列；阵列在汇合处融合，相邻阵列中细胞方向约 20° 一致，方向差异显著处则抑制融合形成空沟。Erickson (1978) 的实验表明小角度接触时仅少量丝状伪足受抑、邻近细胞滑行并粘附，大角度接触时细胞可越过或离开；Edelstein-Keshet & Ermentrout (1990) 关于平行阵列形成的研究与此相关。Elsdale & Wasoff (1976) 用几何拓扑技术计算图样元素的拓扑指数；Penrose (1979) 详细讨论嵴图样及指数计算。嵴图样不是向量场（图 6.22(a)–(c) 经典中心/星形/鞍点的指数为整数），图 6.22(d)–(f) 的指数为 \(\pm 1/2\)（嵴奇点指数 \(+1/2\)、三叉嵴奇点指数 \(-1/2\)、复合多倍奇点指数 1）；按 \(\pi\) 重定义，环（loop）\(N=+1\)、三叉（triradius）\(N=-1\)、复合双环 \(N=2\)；闭合域内 \(L\) 个环与 \(T\) 个三叉指数 \(N = L - T\)。Penrose 应用于正常人手：指尖边界上嵴法向于边界，除指尖外平行，故绕单指一圈只在指缝角度变化 \(-\pi\)；整只手绕一圈 \(N = -(D-1)\)（\(D\) 为指/趾数）；若仅含环与三叉指纹 \(N=L-T\)，得 \(D+L-T=1\)，对正常手 \(T-L=4\)。图 6.22(g) 是矩形域上模型方程典型解；图样与 Elsdale & Wasoff 实验结果相似，模型解的特征在反应-扩散机制中不存在。模拟显示位移场方向在基质内除奇点外连续系统变化；Elsdale & Wasoff 指出连续统模型必须具备"绕 \(\pi\) 旋转不变"以保持适当对称性。作者在脚注中引用某资深警员的方法：水下长时间尸体表皮脱落，仅留真皮，仍能给出准确生前指纹。

6.8 表皮的力化学模型（Mechanochemical Model for the Epidermis）

前述模型处理内部组织（真皮、间充质）；上皮层（表皮细胞组成）是早期胚胎另一主要组织系统，在胚胎发育调控中起重要作用。表皮细胞与真皮细胞有别：一般不主动迁移，按层或片排列，可弯曲变形；变形中细胞倾向于保持与近邻接触，不能在正常条件下产生牵引力（除少数例外，见第 9 章伤口愈合）。Odell et al. (1981) 将上皮建模为附着在基膜上的离散细胞片，基于细胞内收缩机制的模型表明上皮片许多形态发生运动可由细胞间力学相互作用产生；Murray & Oster (1984a) 基于其离散模型提出连续模型。Mittenthal & Mazo (1983) 提出相关但不同的模型，将上皮建模为弹性流壳，允许细胞重排。细胞质主要由黏弹性凝胶构成——大分子纤维网络，主要是肌动蛋白与肌球蛋白交联，与肌肉收缩相同元素；纤维强交联时胞质倾向凝胶、弱交联时溶胶化。化学对细胞收缩性的控制（涉及溶胶-凝胶转变或肌动球蛋白交联度）主要取决于凝胶内自由钙浓度；钙调节溶胶化与凝胶化因子及收缩器的活性（图 6.23）。低浓度钙促进凝胶交联，使纤维倾向缩短变强；过高浓度则凝胶溶化，无法承受应力——存在一个最佳收缩活性钙浓度窗口，故自由钙浓度与细胞凝胶力学是模型关键变量。力平衡方程将上皮片建模为细胞凝胶黏弹性连续体；忽略惯性，\(\nabla\cdot(\sigma^V + \sigma^E) + \rho\mathbf{F} = 0\)，其中 \(\sigma^V = \mu_1\varepsilon_t + \mu_2\theta_t I\)、\(\sigma^E = E(1+\nu)^{-1}(\varepsilon + \nu'\theta I) + \tau I\)（弹性应力 + 主动收缩应力）；与真皮模型的关系：真皮模型中"细胞+基质"为含运动收缩单元（真皮细胞）的弹性连续体；上皮模型中弹性连续体细胞凝胶含收缩单元（肌动球蛋白交联），但此处不需考虑这些单元的运动，仅需凝胶片本身的形变；细胞角色由化学触发器——自由钙浓度 \(c(\mathbf{r},t)\)——扮演。模型具体设定：(i) 粘度参数 \(\mu_1, \mu_2\) 由钙通过 S 型曲线（图 6.24(a)）建模（凝胶溶化时粘度急剧下降）；(ii) 弹性模量 \(E\) 选为膨胀 \(\theta\) 的递减函数（图 6.24(b)）；(iii) 主动牵引 \(\tau(c)\) 取为钙的函数（图 6.24(c)），存在收缩性最佳窗口；(iv) 体作用力 \(\mathbf{F} = s\mathbf{u}\) 模拟基膜的约束附着。综合后力平衡方程为 \(\nabla\cdot\{\mu_1\varepsilon_t + \mu_2\theta_t I + E(1+\nu)^{-1}[\varepsilon + \nu'\theta I + \tau(c)I]\} = s\rho\mathbf{u}\)。钙的钙刺激钙释放（CSCR）由阈值动力学函数 \(R(c) = \alpha c^2/(1+\beta c^2) - \delta c\) 建模（图 6.25(a)），S 形曲线在 \(4\beta\delta^2 < \alpha^2\) 下有两个线性稳定零态 \(c=0, c=c_3\) 和一个不稳定零态 \(c=c_2\)；拉伸激活由应变项 \(\gamma\theta\) 引入 \(R(c)\) 中（图 6.25(b)）。钙守恒方程 \(\partial c/\partial t = D\nabla^2 c + \alpha c^2/(1+\beta c^2) - \delta c + \gamma\theta\)，其中 \(D\) 是钙扩散系数，\(\gamma\theta\) 项表征拉伸激活触发释放。模型通过 \(\tau(c)\)（力平衡方程）与 \(\gamma\theta\)（钙方程）耦合。无量纲化后得 \(\nabla\cdot\{\mu_1\varepsilon_t + \mu_2\theta_t I + \varepsilon + \nu'\theta I + \tau(c)I\} = s\mathbf{u}\)，\(\partial c/\partial t = D\nabla^2 c + \alpha c^2/(1+\beta c^2) - c + \gamma\theta\)（已将 \(\delta\) 选为时间尺度、\(c_3\) 选为钙尺度）。均匀稳态解为 \(\mathbf{u}=\theta=0, c=c_i\)（\(i=1,2,3\)，\(c_i\) 是 \(R(c)\) 的零点），线性稳定性分析留作练习。可在钙方程中加入来自真皮模型的稀释贡献 \(\theta_D\)——若 \(\gamma\) 不够大、稳态 \(c=c_3, u=0\) 对 \(k^2>0\) 稳定，则 \(\theta_D\) 通过增强 \(\gamma\theta\) 项引发表皮不稳定。组织相互作用是这些力学模型的自然推论：非均匀真皮细胞分布可触发上皮片形成 placode，意味着 papilla 先于 placode；另一方面表皮模型自身也能生成空间图样并反作用于真皮模型（通过传递应变）；表皮模型也可被钙通量（可能来自反应-扩散系统）触发破坏均匀态。仅从模型研究无法确定 placode 与 papilla 的出现次序，需进一步实验输入——但模型能自然纳入真皮-表皮组织相互作用是其有吸引力的特性。Odell et al. (1981) 模型的特征是能在上皮传播收缩波，连续模型预期表现出类似行为——收缩波在胚胎发育中常见（见第 13.6 节关于受精后卵波）。一维行波问题 \(u(x,t)=U(z), c(x,t)=C(z), z=x+Vt\) 化为四阶相空间，需数值解；用 Rinzel & Keller (1973) 的分段线性化方法对 FitzHugh-Nagumo 类行波的处理，可将非线性问题化为不同 \(z\) 区段上的线性问题再拼合，分段线性形式可取 \(\tau(C) = H(C) - H(C-c_2)\)，\(R(C) = -C + H(C-c_2)\)（\(H\) 为 Heaviside 函数）。Lane et al. (1987) 在相关问题中用的解析与数值程序可移植至此（尚未实际做）。他们仅研究了行波前解；理论上可构造波解与波脉冲解，但代数极为复杂。该模型曾被用于脊椎动物卵的受精后波（第 13.6 节）：钙波扫过卵表面，伴随形变波；Lane et al. (1987) 将细胞凝胶模型在球面几何上考察后受精表面波（图 13.12）。

6.9 微绒毛的形成（Formation of Microvilli）

细胞表面显微照片常显示微绒毛（细胞膜的折叠）以规则六角形排列（图 6.26）；Oster et al. (1985a) 对 6.8 节的模型做修改以解释这些图样，其场景为：细胞凝胶被触发收缩（可能由钙水平上升引起），收缩时均匀态不稳定产生空间图样；六角形图样本质上是张力生成的六角周期解；该图样建立含"空隙"（lacunae）的阵列，其内肌动球蛋白较稀疏；此时渗透压将这些区域向外推，启动微绒毛；该模型新元素之一是纳入渗透压。生物学假设：(i) 顶端膜下的细胞下皮质主要由肌动蛋白致密凝胶构成；(ii) 凝胶可通过涉及肌球蛋白交联桥连接肌动蛋白纤维的滑动丝机制收缩（与第 6.8 节相同）。这些假设足以保证肌动蛋白片不一定保持空间均匀，而可形成肌动蛋白纤维周期阵列，此纤维排列可作为渗透力推出微绒毛的框架。作者还提到 Nagawa & Nakanishi (1987) 评论真皮细胞具有最高的凝胶收缩活性。模型为一维分析，扩展到多维与前节同。考虑细胞凝胶由溶胶 \(S(x,t)\)、凝胶 \(G(x,t)\) 与钙 \(c(x,t)\) 构成；溶胶与凝胶间可逆转变，状态由 \(S, G, c\) 与凝胶应变 \(\varepsilon = u_x(x,t)\) 刻画。假设溶胶、凝胶、钙均扩散，但凝胶扩散系数远小于另两者（因交联）；凝胶与溶胶守恒方程包含对流通量贡献。守恒方程为 \(S_t + (Su_t)_x = D_S S_{xx} - F(S,G,\varepsilon)\)，\(G_t + (Gu_t)_x = D_G G_{xx} + F(S,G,\varepsilon)\)，\(c_t = D_c c_{xx} + R(c,\varepsilon)\)，其中 \(F(S,G,\varepsilon) = k_+(\varepsilon)S - k_-(\varepsilon)G\)（应变依赖的溶胶-凝胶动力学）。\(S+G\) 守恒，因此可压缩为 1 个微分方程 + 1 个代数方程。\(k_+(\varepsilon)\)、\(k_-(\varepsilon)\) 定性形式见图 6.27(a)：凝胶膨胀时密度降低，凝胶化质量作用率增大；收缩时密度升高，溶胶化率增大；故平衡凝胶分数随应变增大（图 6.27(b)）。力学力平衡中渗透压是主要贡献且为应变的递减函数——应变 \(\varepsilon \ge -1\)（对长 \(L_0\) 拉伸至 \(L\)，应变 \((L-L_0)/L_0\)，\(L \ge 0\) 故 \(\varepsilon \ge -1\)），\(\varepsilon \to -1\) 时渗透压趋于无穷。建模为 \(\sigma_0 = \pi/(1+\varepsilon)\)（\(\pi>0\)）；弹性力除经典线性应力-应变律外，由于凝胶长链特性含长程效应 \(\sigma^E = GE(\varepsilon - \beta\varepsilon_{xx})\)（\(\beta>0\) 度量长程效应，因子 \(G\) 表征纤维越多力越强）；主动收缩 \(\sigma^A = G\tau(c)/(1+\varepsilon^2)\)（\(\tau(c)\) 取决于钙浓度，低浓度时随 \(c\) 增大；\(\varepsilon\) 相关性源于凝胶膨胀时收缩力较小）；粘度 \(\sigma^V = G\mu\varepsilon_t\)。所有力平衡给出 \(\sigma_x = [\sigma_0 + \sigma^E + \sigma^A + \sigma^V]_x = 0\)，即 \(\sigma = \pi/(1+\varepsilon) - GE(\varepsilon-\beta\varepsilon_{xx}) - G\tau(c)/(1+\varepsilon^2) - G\mu\varepsilon_t\)；无外部体作用力；仅渗透压倾向于膨胀凝胶。(6.80)–(6.82) 与 (6.84) 构成细胞凝胶力化学模型，结合 \(F(S,G,\varepsilon)\) 与 \(R(c,\varepsilon)\) 的本构关系及适当边界与初始条件。为突出模型的图样形成潜力考虑简化模型：钙扩散时标远快于凝胶及其粘性响应（\(D_c \gg D_G, \mu\)），故 \(c\) 取为常数，\(\tau(c)\) 替换为 \(\tau\)；若溶胶与凝胶扩散系数相等则 \(S+G = S_0\)（常数），\(S = S_0 - G\)；对力平衡方程 (6.84) 积分得 \(G\mu\varepsilon_t = GE\beta\varepsilon_{xx} + H(G,\varepsilon)\)，其中 \(H(G,\varepsilon) = \pi/(1+\varepsilon) - G\tau/(1+\varepsilon^2) - GE\varepsilon - \sigma_0\)（\(\sigma_0\) 为负，常数）。方程 (6.85) 形式上像"反应-扩散"方程——应变 \(\varepsilon\) 扮演"反应物"，"动力学"为 \(H(G,\varepsilon)\)，"扩散"系数依赖凝胶浓度与弹性常数。凝胶方程 (6.81) 变为 \(G_t + (Gu_t)_x = k_+(\varepsilon)S_0 - [k_+(\varepsilon)+k_-(\varepsilon)]G + D_G G_{xx}\)。无量纲化后系统为 \(G\varepsilon_t = G\varepsilon_{xx} + f(G,\varepsilon)\)，\(G_t + (Gu_t)_x = D G_{xx} + g(G,\varepsilon)\)，其中 \(f(G,\varepsilon) = -\sigma_0 + \pi/(1+\varepsilon) - G\tau/(1+\varepsilon^2) - G\varepsilon\)，\(g(G,\varepsilon) = k_+(\varepsilon) - [k_+(\varepsilon)+k_-(\varepsilon)]G\)。\(k_+(\varepsilon)\)、\(k_-(\varepsilon)\) 的定性形式见图 6.27(a)。该"反应-扩散"系统的零线 \(f=0, g=0\) 见图 6.28，存在非平凡稳态 \((\varepsilon_s, G_s)\)，应变"反应物" \(\varepsilon\) 可负（\(\varepsilon \ge -1\)）。线性化 \((w, v) = (G-G_s, \varepsilon-\varepsilon_s) \propto \exp(\lambda t + ikx)\) 得色散关系 \(G_s \lambda^2 + b(k)\lambda + d(k) = 0\)，其中 \(b(k) = G_s(1+D)k^2 - [f_\varepsilon + G_s g_G - G_s f_G]\)，\(d(k) = G_s D k^4 - [D f_\varepsilon + G_s g_G] k^2 + [f_\varepsilon g_G - f_G g_\varepsilon]\)。要空间结构需 \(\text{Re}\,\lambda(0)<0\)（即 \(b(0)>0, d(0)>0\)）且 \(\text{Re}\,\lambda(k)>0\)（即 \(b(k)<0\) 或 \(d(k)<0\)）对某个 \(k\neq 0\)。从图 6.28 知 \(f_\varepsilon>0, f_G<0, g_\varepsilon>0, g_G<0\)，故 \(b(k)<0\) 不可能（因 \(b(0)>0\) 与 \(b(k)\) 的符号由 \(k^2\) 项决定），仅 \(d(k)\) 可变为负，需 \(Df_\varepsilon + G_s g_G > 0\) 且 \((Df_\varepsilon + G_s g_G)^2 - 4G_s D(f_\varepsilon g_G - f_G g_\varepsilon) > 0\)，配合 \(b(0)>0, d(0)>0\) 条件。这样的反应-扩散系统可生成多种一维图样与二维六角结构（六角结构的更稳定生成方式之一是如 6.5 节羽芽般顺序生成、每行偏移半个波长）。回到微绒毛形成：肌动球蛋白纤维张力沿应力方向对齐凝胶，因此收缩凝胶形成由六角阵列中纤维构成的张力结构；致密区之间凝胶耗损、无法应对细胞内恒有的渗透膨胀压，故渗透压在那些位置把片推成微绒毛雏形——即图 6.26 所示，是模型机制的稳态图样解。

6.10 复杂图样形成与组织相互作用模型（Complex Pattern Formation and Tissue Interaction Models）

许多爬行动物与动物表皮鳞片与下方骨质片（osteoderms，真皮骨化板）之间无简单一一对应大小关系，但图样仍高度相关（图 6.29）；也存在鳞片图样看上去由两个不同基本波长的图样叠加而成（图 6.30）。Rawles (1963)、Dhouailly (1975)、Sengel (1976) 等的表皮-真皮重组实验清楚表明上皮与间充质层间指导性相互作用对皮肤图样形成的重要性；Dhouailly (1975) 通过三类动物（哺乳类小鼠、鸟类鸡、爬行类蜥蜴）种间表皮-真皮组织重组表明起源于真皮的信息影响表皮中形成的图样——例如鸡真皮与任何类型表皮一起则生成由表皮决定的附器类型，但形状、大小、分布与羽毛芽形成相似。Nagorcka (1986) 提出反应-扩散机制用于原基起始与发育（Nagorcka 1988、Nagorcka & Mooney 1985, 1992）以及毛纤维形成（Nagorcka & Mooney 1982, 1992、Nagorcka & Adelson 1999）。在组织相互作用模型被发展之前，没有传统的反应-扩散机制能产生图 6.29、图 6.30 那样的复杂空间图样（使参数空间依赖不是可接受的方法——那只是把图样预先放入）。图 6.30 的图样可看作两个图样的叠加：相邻小鳞片间距离 \(\lambda_s\) 与相邻大鳞片间距离 \(\lambda_l\) 之比至少 2。这些复杂图样提示需探索能将表皮与真皮机制结合的相互作用机制；Nagawa & Nakanishi (1987) 证实此思路。1990 年代以来的若干研究考虑了相互作用：Nagorcka (1986) 最早提出组织相互作用机制说明皮肤器官原基的起始，模型包含由真皮中化学开关机制控制的表皮反应-扩散系统；表皮中形态发生子浓度的空间预图样提供表皮细胞图样的位置信息并诱导真皮细胞致密化；Nagorcka et al. (1987) 考虑真皮力学细胞牵引模型与起源于表皮的反应-扩散机制的耦合系统——表皮形态发生子浓度控制真皮某些力学性质，真皮细胞产生的因子引起表皮形态发生子产生；他们数值证明组织相互作用模型能生成与图 6.30 相似的规则复杂空间图样作为单一图样；Shaw & Murray (1990) 对类似系统的详细解析研究证实此结论。这些复合模型中，每个子模型能生成任意期望波长的空间图样，故适当耦合时整体模型可呈现两个不同波长图样的叠加。耦合机制的色散关系可视为两个独立色散关系的组合，每者有不稳定波数范围；若耦合弱，复合机制对波长近似等于 \(\lambda_s\) 与 \(\lambda_l\) 的扰动不稳定。观察到的图样也可由任何具有两段分离的不稳定波数范围的色散关系产生；力学模型给出此类色散关系（如 6.9(e)）。考虑一般系统 \(\mathbf{F}(\mathbf{m})=0\)、均匀稳态 \(\mathbf{m}_0\)；线性化后令 \(\mathbf{w} = \mathbf{m} - \mathbf{m}_0 \propto \exp(\lambda t + i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x})\)，得特征多项式 \(P(\lambda) = 0\)，解即色散关系 \(\lambda = \lambda(k, \mathbf{p})\)；机制可生成空间图样若存在 \(\text{Re}\,\lambda > 0\) 的波数范围（图 6.31）。这些线性不稳定模在纳入非线性贡献后演化为稳态空间异质解。设表皮与真皮图样机制分别为 \(\mathbf{F}_E(\mathbf{m}_E)=0\)、\(\mathbf{F}_D(\mathbf{m}_D)=0\)；每者能独立给出空间图样。若各自产物相互影响：真皮机制为力学、表皮为反应-扩散，真皮中的细胞牵引可被来自表皮的形态发生子影响；真皮的影响是组织收缩，反过来影响形态发生子产生。相互强度以 \(\delta, \epsilon\) 表征，耦合系统写为 \(\mathbf{F}_E(\mathbf{m}_E, \mathbf{m}_D; \delta) = 0\)，\(\mathbf{F}_D(\mathbf{m}_D, \mathbf{m}_E; \epsilon) = 0\)。线性化后特征多项式形如 \(P(\lambda) = P_D(\lambda)P_E(\lambda) - \delta\epsilon I(\lambda) = 0\)（\(I(\lambda)\) 是 \(\lambda\) 的多项式），通常为至少 4 阶；典型特征多项式与色散关系见图 6.32——相互作用参数增大时通过激发其他 \(\lambda(k)\) 引入更复杂空间图样。每个 \(\lambda_i(k)\) 的主导模记为 \(k_i\)，线性化解由主导不稳定模的叠加给出，最终图样为两个波长 \(2\pi/k_1, 2\pi/k_3\) 的图样叠加（假设 \(k_1, k_3\) 增长超过 \(k_2\)）。Nagorcka et al. (1987) 在真皮中使用 (6.22)–(6.24) 的变体 \(n_t = D_1\nabla^2 n - \alpha\nabla\cdot(n\nabla\rho) - \nabla\cdot(n\mathbf{u}_t)\)，力平衡与基质守恒形式不变，牵引 \(\tau(n, V, \rho) = \tau n(\rho + \gamma\nabla^2\rho)[1 + \epsilon(V-V_0)]/(1+\lambda n^2)\)（\(V\) 为来自表皮基底层的形态发生子）；表皮基底层的反应-扩散系统为 \(V_t = D_V\nabla^2 V + V^2 W - V + A[1 + \delta(n - n_0)]\)，\(W_t = D_W\nabla^2 W - V^2 W + B\)。Nagorcka et al. (1987)、Shaw & Murray (1990) 考察了 \(\delta\neq 0, \epsilon=0\)（表皮影响真皮）、\(\delta=0, \epsilon\neq 0\)（真皮影响表皮）以及 \(\delta\neq 0, \epsilon\neq 0\)（双向影响）。双向耦合系统中若 \(k_V \gg k_n\)，真皮低频变化 \(n\) 引起表皮形态发生子 \(V\) 图样的显著变化，而 \(V\) 的高频变化对真皮细胞浓度 \(n\) 影响小（图 6.33）；若 \(k_V \ll k_n\) 则相反。据此可忽略两个方向之一的效应，Nagorcka et al. (1987) 据此做二维仿真得到图 6.29、图 6.30 的图样。基于细胞黏附分子（CAM）的相互作用机制：Gallin et al. (1986) 实验发现扰乱鸡皮中神经细胞黏附分子（N-CAM）平衡导致羽芽图样显著变化，表明表皮能反作用于真皮；Chuong & Edelman (1985) 假设 L-CAM 阳性真皮细胞产生的特定因子（可能为激素或多肽）触发真皮致密化——可作为趋化因子刺激 N-CAM 表达诱导 N-CAM 连接的 papilla；Dhouailly (1975) 的重组实验也支持真皮信号参与表皮图样；Chuong & Edelman (1985) 提出表皮 placode 由发育中真皮致密化产生的因子诱导；羽芽形成完成后诱导因子被修改以停止真皮聚集；因子在邻近组织仍活跃，使周期羽芽图样能以自传播方式形成。Cruywagen & Murray (1992) 基于 Gallin et al. (1986) 工作发展了详细组织相互作用模型（图 6.34）：含 7 个场变量，结合反应-扩散-趋化系统与力学机制；表皮变量：\(N\) 上皮细胞密度、\(\mathbf{u}\) 位移、\(\hat{e}\) 表皮产生的信号形态发生子浓度、\(\hat{s}\) 表皮接收的真皮信号形态发生子浓度；真皮变量：\(n\) 真皮细胞密度、\(e\) 真皮接收的表皮信号形态发生子、\(s\) 真皮产生的信号形态发生子。场景（图 6.34）：上皮片为二维黏弹性连续体（仅通过对流运动），表皮产生的 \(\hat{e}\) 经基膜扩散到真皮变为 \(e\)，在真皮中作为趋化因子诱导 papilla 形成；真皮产生的 \(s\) 经基膜扩散到表皮变为 \(\hat{s}\)，在表皮中增加细胞牵引引起细胞聚集导致 placode 形成。完整方程 (6.104)（表皮）与 (6.105)（真皮）整合了反应-扩散-趋化与力学结构——第一、二式分别基于 (6.7) 与 (6.72)，第三、四式及真皮方程均为典型反应-扩散方程（含趋化）。Cruywagen & Murray (1992)、Cruywagen (1992) 数值求解该系统并用小应变版做非线性分析，使用 LPS 方法找参数；他们指出两方向相互作用对空间图样至关重要——表皮牵引与真皮趋化需足够大、细胞代谢率需低、化学跨基膜扩散需快，长程弹性恢复力也重要。Cruywagen et al. (1992, 1993, 1994, 2000) 检验模型是否能生成顺序图样——证实羽毛芽可从中线向外扩展，可模拟其速度与波长（比第 3 章趋化波问题难）。图样鲁棒性与形态发生：发育涉及多层次（遗传、细胞、组织等）的同时过程，能复制几乎相同的最终动物令人惊叹且过程极具鲁棒性。Nagorcka et al. (1987) 已示范两个独立图样生成器耦合的图样潜能；Cruywagen–Murray (1992) 给出全组织相互作用模型生成蜥蜴 integument 上复杂规则图样，显示表皮与真皮机制同时参与图样形成。Murray (1990) 与 Cruywagen & Murray (1992) 综述指出：耦合下空间模选择随机制间相互作用强度变化；非线性分析接近从均匀态分叉时，会选出主导线性增长的特定图样，即使其他模式在线性指数增长上与之接近。完整非线性系统的数值仿真明确显示可能解谱系比两个单独机制可生成的图样类之和受限得多——组织相互作用最有趣的一面是复合机制的可能图样谱系远小于两个单独生成器图样类的总和，存在对特定高度受限子集的强吸引盆；非线性与耦合增强了特定图样吸引盆的强度。当典型组织图样机制耦合时也有例外：任一机制单独不能生成图样但耦合后能（Shaw & Murray 1990）；Cruywagen–Murray 模型属此类——耦合是机制内在部分，虽是组织相互作用模型实质上仍是一个机制。空间独立振子耦合导致相位锁定为特定周期，这里是"空间相位锁定"：多个模的耦合可打破模对称性；不同模式耦合非但不增加复杂度反而减少可能图样数，仿真显示这些图样比任一单独机制的图样解更鲁棒。作者推测：不同机制间的动力学耦合显著减少系统自由度，从而有助于形态发生的鲁棒性；若此推测成立，对发育与演化过程的理解将有深远影响；这也许是另一条形态发生律（第 7 章将讨论）。结论：力化学过程无疑参与发育；本章与后续章节的模型代表与反应-扩散过程非常不同的方法，提示力学力可能是组织图样与形态变化正确序列的主要元素；模型基于已知生物与生化事实，参数原则上可测，部分已有估计。这些模型仍是基本系统（包括图 6.34 的复杂组织相互作用模型），需要大量数学分析来充分探究其潜能；其结果足以表明广泛的图样与数学挑战性问题的丰富，已被实际用于多种形态发生问题，启动了广泛的实验研究与新视角。

本章个人批注

本章体量极大，但 6.1–6.4 与 6.5–6.10 之间存在明显的"接口"——前者建立力学理论与色散关系工具，后者用这些工具一个接一个地处理经典生物图样。这种"工具→应用"的双段结构是 Murray 写书的一贯风格（回想第 2 章反应-扩散与第 3 章动物毛色图样）。作者选择 \(\tau\)（细胞牵引）作为分叉参数是经过深思熟虑的：体外实验中 \(\tau\) 随时间上升这一生物学事实给了分叉场景具体含义；这也提示我，力学模型与反应-扩散模型之间一个根本差异是"动力学驱动量"——前者是细胞主动施加的力，随细胞状态改变；后者是化学反应速率，依赖浓度。6.4 节三种特殊情形的对比让我意识到一个关键洞察：模型的丰富性并非来自单一方程的复杂，而来自哪些项保留哪些项省略——比如情形 (iii) 中加入粘弹 \(\mu\) 后色散关系从双分叉变为"快聚焦"型，模式行为发生质变。第 6.6 节软骨肢序列的"分叉树"叙事与第 2 章图 2.14 处的反应-扩散分叉树形成直接类比，但作者特别强调："力学模型中细胞致密化会影响域形状"——这一点是几何-力学耦合的本质，而非几何被动的 RD 系统所具备；这意味着对发育生物学家，力学模型可能比 RD 模型更"因果"——它解释了为什么几何变化与图样转变同时发生，而非要求图样被预先以位置信息方式嵌入。作者在脚注中讲的两位专家关于"分叉前是否有均匀区"的轶事很生动——揭示了经验观察的时间分辨率可能决定看到的现象类型。6.7 节将模型用于 dermatoglyphic 图样时，引入 LPS 方法（参数空间扫描）反映了 1990 年代初数值实验在非线性 PDE 模型分析中的实际状态；Penrose (1979) 关于张量系统奇异性类更广的观察是本章深层的洞察——它预告了后续章中"张量机制→更丰富解类"的主题。6.10 节组织相互作用模型是我最感兴趣的部分：作者指出耦合不仅增加复杂度反而减少可能图样数（"空间相位锁定"），这是一个反直觉但深刻的结论，与协同学中 Haken 关于"序参量"的观点类似——耦合多个模式时非线性对称破缺选出高度受限的解子集。Cruywagen–Murray 七场变量模型的可解性显然超出本书范围，但作者仍完整写出方程作为"展示真实建模复杂性"的实例，这点对教学很有价值。读者会注意到，作者多次使用"the actual mechanism is not yet known but..."这样的措辞——这是计算发育生物学领域的核心谨慎：模型提供可能场景，机制仍待实验确认。

与上下章的衔接（一段话）

本章是 Murray II 中力学理论的奠基章节，与第 4 章 Growing Domains 主题直接呼应（域几何变化触发表皮图样）但提出完全不同的机制——主动力学而非被动标度。第 4 章讲反应-扩散预图样如何在生长域上演化，本章讲力学牵引如何在静态或缓慢变形域上生成图样，二者在色散关系层面共享数学语言但驱动力完全不同。第 6.10 节末尾的"形态发生律"暗示——下一章（第 7 章）将专门讨论形态发生约束的演化含义，特别是肢发育中的实验与预测。第 6.6 节软骨形态发生规则是第 7 章"形态发生约束"主题的伏笔：模型独立的基本规则（焦点-分叉-分节）将作为演化约束的候选解释，第 7 章会扩展到跨物种肢模式比较（包括第 4 章已提的蛇/短肢蜥蜴）。第 8 章（血管网络形成）将直接复用本章的力学模型——细胞牵引生成血管网络——是 6.2 节模型的最直接应用。第 9 章伤口愈合将扩展 6.8 节细胞凝胶模型（Sherratt (1993) 引用）；第 10 章真皮伤口愈合则继续深化本章的各向异性、长程效应。