Chapter 8: Vasculogenesis - 血管生成

Murray《数学生物学 II》阅读笔记

8.1 生物学背景与研究动机

血管生成（Vasculogenesis） 是指在体内由细胞（内皮细胞和成血管细胞）形成（主要）血管的过程，而血管新生（Angiogenesis）则是指从现有血管出芽形成血管结构的过程。"血管新生"这个词最初于1935年用于描述胎盘中新生血管的形成。本章建模的目的是试图确定这种图案化结构形成背后潜在机制的关键要素。由于体内研究面临各种敏感性问题的困扰，该领域的大部分实验工作都是在体外（生物学）模型系统上进行的，这些系统避免了体内系统的许多实验困难。

血管新生和血管形成在伤口愈合、维持肿瘤生长、形态发生等方面具有 fundamental 重要性。血管化对于实体癌肿瘤的生长是必要的。Folkman (1972) 在现在被认为是实体瘤癌症领域最重要的论文之一中提出，如果能够抑制新血管化，可能会阻止肿瘤的生长，或将其生长限制在直径约2-3毫米的休眠肿块内。Folkman推测这种抗血管新生可能成为一种新的癌症疗法的基础。他提供了令人信服的证据，表明肿瘤产生一种化学物质——肿瘤血管生成因子，能够诱导新血管化。他的工作在1990年代末期之前几乎被完全忽视（甚至被嘲笑），直到发现了抗血管新生因子，如内抑素（endostatin）和血管抑素（angiostatin）。从癌症治疗的角度来看，一个特别重要的方面是，抗血管新生治疗不会像化疗那样在实验性癌症中诱导获得性耐药。

Folkman早期关于血管新生的研究促使我们开始研究血管新生中观察到的网络图案形成生物过程的建模。本章描述了机械化学（尽管严格来说是纯机械的）理论在图案形成过程中的应用。虽然受Folkman 1970年代思想的启发，但该应用直接关系到Sage和Vernon及其同事进行的实验。

8.2 血管生成的细胞-细胞外基质相互作用

体外血管新生系统的研究表明，细胞外基质（ECM）在血管生成中发挥着重要的机械作用。ECM提供了细胞迁移所需的支架、细胞铺展（这对控制细胞周期很重要）以及形态发生所必需的条件。细胞不仅可以产生和降解其ECM，还可以通过施加机械力来改变其结构。通过基质产生和降解，细胞可以影响其ECM的机械性能，通过其机械力可以重新组织其纤维成分，形成矩阵线条，细胞利用这些线条作为迁移路径和运动线索。

实验性体外血管网络形成模型

Vernon、Sage及其同事（Vernon et al. 1992, 1995）的体外实验表明，当各种内皮细胞（特别是牛主动脉内皮细胞BAEC）、成人人类皮肤成纤维细胞和人类平滑肌细胞在基底膜（Matrigel）上培养时，会重新组织基质并形成网络。细胞被铺在60微米至600微米厚的Matrigel层上。细胞粘附到基质上，通过其指状丝足开始拉动基质。拉动导致基质和粘附在上面的细胞移动，最终形成细胞聚集体，在聚集体下方积累大量基质。成纤维细胞在薄硅橡胶上施加的牵引力产生非常清晰的张力线。随着时间的推移，基质成分在相邻聚集体之间形成由排列整齐的基质组成的纤维索。一旦形成线条，与它们接触的细胞变得细长且两极化，沿与线条平行的方向排列，变得活跃并沿这些基质路径迁移，从而形成细胞索。大约在铺板后24小时，培养平面被由细胞索定义的边组成的多边形所分割。

血管网络形成的机械模型机制

二维数学模型量化了上述基本实验机械情景。设 n（细胞/平方毫米）为局部平均细胞密度。模型假设局部细胞密度变化主要是两种运动方式的组合：对流通量和各向异性应变依赖的随机运动（扩散）张量。对流通量 \(J_{convection} = n \mathbf{v}\)，其中 \(\mathbf{v}(x, y, t)\) 表示在位置 \((x, y)\) 和时间 \(t\) 处的基质速度。

细胞运动的活跃运动产生的通量取为：

\[J_{diffusion} = -\nabla \cdot (D(\epsilon)n) = -n\nabla D(\epsilon) - D(\epsilon)\nabla n\]

其中 \(D(\epsilon)\) 是随机运动扩散张量，依赖于基质应变 \(\epsilon = \frac{1}{2}(\nabla u + \nabla u^T)\)。对于小应变，\(D(\epsilon)\) 由下式给出：

\[D(\epsilon) = D_0 \begin{pmatrix} 1+\frac{\epsilon_{11}-\epsilon_{22}}{2} & \frac{\epsilon_{12}}{2} \\ \frac{\epsilon_{21}}{2} & 1+\frac{\epsilon_{22}-\epsilon_{11}}{2} \end{pmatrix}\]

其中 \(D_0\) 是无应变时的运动系数。

细胞密度守恒方程为：

\[\frac{\partial n}{\partial t} = -\nabla \cdot \left(n\frac{\partial u}{\partial t}\right) + \nabla \cdot \nabla \cdot (D(\epsilon)n)\]

力平衡方程

由于我们只考虑小应变，我们将基质建模为线性粘弹性材料。组织中存在的力有：（i）细胞施加的牵引力，（ii）基质-培养皿接触产生的阻力，以及（iii）基质材料抵抗细胞引起变形的粘弹性力。在任何时刻，这些力处于平衡状态：

\[F_{matrix} + F_{cells} + F_{anchoring} = 0\]

细胞施加的牵引 \(F_{cells}\) 取决于局部细胞密度，取为：

\[\sigma_{cells} = \frac{\tau n}{1 + \alpha n^2} I\]

其中 \(\tau\)（达因/细胞）表示低细胞密度时一个细胞对基质施加的应力，\(\alpha\) 是量化邻近细胞对牵引力影响的参数。

粘弹性应力 \(\sigma_{matrix}\) 取线性Voigt形式：

\[\sigma_{matrix} = \sigma_{viscous} + \sigma_{elastic} = \mu_1 \epsilon_t + \mu_2 \theta_t I + E^*\epsilon + \nu^*\theta I\]

其中参数 \(\mu_1, \mu_2\)（达因·秒⁻¹）是基质的体积粘度和剪切粘度，\(E^* = E/(1+\nu)\)，\(\nu^* = \nu/(1-2\nu)\)。\(E\) 是衡量材料刚度的杨氏模量，\(\nu\) 是泊松比。

基质与培养皿的附着阻力建模为粘性拖曳：

\[F_{anchoring} = -\frac{s}{\rho}u_t\]

其中 \(\rho(x, y, t)\)（毫米）表示基质的厚度，\(s\) 是附着阻力强度的度量。

基质厚度

由于垂直应力 \(\sigma_{zz} = 0\)，我们得到三个方向应变分量之间的关系。从三维胡克定律，我们有：

\[\rho(x, y, t) = \rho_0(x, y)(1 + \epsilon_{zz}) = \rho_0\left(1 - \frac{\nu}{1-2\nu}\theta\right)\]

其中 \(\theta = \nabla \cdot u\) 是膨胀度。

模型方程的边界条件

实验表明基质在培养皿边缘几乎不动。这通过假设零位移作为边界条件来实现。对于方形区域：

\[u(x, y=a, t) = u(x, y=b, t) = u(x=a, y, t) = u(x=b, y, t) = 0\]

细胞留在培养皿内，这给细胞提供了零通量边界条件：

\[J_{cells} = n\mathbf{v} - \nabla \cdot (D(\epsilon)n) = 0\]

无量纲化

引入无量纲变量：

\[n^* = \frac{n}{n_0}, \quad \rho^* = \frac{\rho}{\rho_0}, \quad u^* = \frac{u}{L}, \quad r^* = \frac{r}{L}, \quad t^* = \frac{t}{T}\]

\[s^* = \frac{s(1+\nu)L^2}{ET\rho_0}, \quad \alpha^* = \alpha n_0^2, \quad \tau^* = \frac{\tau n_0(1+\nu)}{E}\]

\[\nu^* = \frac{\nu}{1-2\nu}, \quad D^* = \frac{DT}{L^2}, \quad D_0^* = \frac{D_0T}{L^2}, \quad \mu_i^* = \frac{\mu_i(1+\nu)}{ET}\]

无量纲化后的模型系统为：

\[\frac{\partial n}{\partial t} + \nabla \cdot (n u_t) = \nabla \cdot \nabla \cdot (D(\epsilon)n)\]

\[\nabla \cdot \left[\mu_1 \epsilon_t + \mu_2 \theta_t I + \epsilon + \nu\theta I + \frac{\tau n}{1+\alpha n^2}I\right] = \frac{s}{\rho}u_t\]

\[\rho(x, y, t) = 1 - \nu\theta\]

8.3 参数值

描述细胞行为和基质特性的各种参数在不同程度上依赖于基质的应力和应变（因此也依赖于纤维取向）。这是生物材料的特性，使参数估计变得特别困难。然而，在假设各向异性不会显著影响参数值的情况下，我们能够从文献中推导出一大多数描述细胞行为和基质特性（如基质刚度、杨氏模量、泊松比和细胞随机运动系数）的参数估计。

参数估计表（表8.1）：

参数	数值范围
每细胞牵引力 \(\tau\)	0.03–0.7 达因/细胞
杨氏模量 \(E\)	8–27 达因/厘米²
泊松比 \(\nu\)	0.2（厘米/厘米）
剪切粘度 \(\mu_1\)	2.5×10²–7×10⁷ 达因·秒/厘米²
剪切粘度 \(\mu_2\)	10⁵–10⁹ 达因·秒/厘米²
随机运动系数 \(D_0\)	4–9×10⁻⁹ 厘米²/秒
平均细胞密度 \(n_0\)	4×10⁴–2×10⁵ 细胞/厘米²
锚定参数 \(s\)	10⁶–10¹¹ 达因·秒/厘米³

基质的刚度由弹性模量 \(E\)（达因/厘米²）表示，主要由其纤维成分的类型、数量和组织决定。例如，前部猪玻璃体和后部牛玻璃体被发现具有相似的胶原蛋白含量，分别给出 26.93 达因/厘米² 和 8.01 达因/厘米² 的弹性模量。

图案形成机制的工作原理

假设凝胶和细胞最初均匀分布，我们引入细胞密度的小随机变化。这是一个经典的局部激活和侧向抑制场景。细胞产生的牵引力随细胞密度增加，因此在细胞密度较高的区域，作用在基质上的牵引力更大。这些区域的细胞从周围较低细胞密度区域拉动更多基质。随着基质在这些区域积累，粘附在上面的细胞也随之移动。因此，如果牵引力大到足以克服基质的弹性恢复力，就会形成细胞密度较高的区域，从而在细胞和基质密度上产生空间异质性。聚集体之间的张力导致纤维在聚集体之间的拉伸方向上重新排列。与排列整齐的纤维区域接触的细胞沿排列方向表现出增强的运动。

8.4 模型方程的分析

根据上述图案形成情景，我们可以对模型方程进行线性稳定性分析。均匀稳态为：

\[n_s = 1, \quad \rho_s = 1, \quad u_s = 0\]

通过设定 \(n = 1 + \bar{n}, \rho = 1 + \bar{\rho}, u = \bar{u}\)，线性化得到：

\[n_t + \nabla \cdot u_t = D_0 \nabla^2 n + \frac{1}{2}\nabla \cdot u\]

\[\nabla \cdot [\mu_1 \epsilon_t + \mu_2 \theta_t I + \epsilon + \nu\theta I + \tau_1 n] = su_t\]

\[\rho = -\nu\theta\]

其中：

\[\tau_1 = \tau\frac{1-\alpha}{(1+\alpha)^2}\]

寻找形式为 \((n, \rho, u) \propto e^{\sigma t + i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\) 的解，得到特征方程：

\[\sigma(\mu_1 k^2 + 2s)\sigma + k^2(\mu k^2 + s)\sigma^2 + b(k^2)\sigma + c(k^2) = 0\]

其中 \(k^2 = |\mathbf{k}|^2\) 且：

\[b(k^2) = \mu D k^4 + (sD + 1 + \nu - \tau_1)k^2\]

\[c(k^2) = Dk^4(1 + \nu - \frac{1}{2}\tau_1)\]

四个根为：

\[\sigma_{1,2} = \frac{-b(k^2) \pm \sqrt{b^2(k^2) - 4(\mu k^2 + s)c(k^2)}}{2(\mu_1 k^2 + s)}\]

\[\sigma_3 = -\frac{k^2}{\mu_1 k^2 + 2s} \leq 0\]

\[\sigma_4 = 0\]

图案形成与参数域

为生成连贯的空间图案，我们需要 \(\sigma(k^2=0) \leq 0\) 且存在 \(k^2 > 0\) 使得 \(Re\sigma(k^2) > 0\)。

参数域 τ₁ > 2(1+ν)：区域 I

如果细胞牵引参数 \(\tau_1 > 1 + \nu\)，则对于所有 \(k^2 > 0\)，\(\sigma_1 > 0\)，因此所有空间模式都将指数增长。在这种情况下，所有模式都不稳定，最终图案密切依赖于初始条件。在量纲意义上，如果：

\[\tau > \frac{2E(1-\nu)(1+\alpha n_0^2)^2}{n_0(1+\nu)(1-2\nu)(1-\alpha n_0^2)}\]

则所有波数都不稳定。

参数域 τ₁ < 2(1+ν)，sD > 1+ν：区域 II

如果 \(sD > 1 + \nu\)，则对于所有 \(k^2 > 0\)，\(c(k^2) > 0\)，且 \(b(k^2) > 0\)，因此均匀稳态始终稳定，不可能有图案形成。

参数域 τ₁ < 2(1+ν)，sD < 1+ν：区域 III

如果 \(sD < 1 + \nu\)，则存在有限范围的不稳定模式，具有最快增长模式。色散关系 \(\sigma_1\) 对于波数 \(k_{1}^2 < k^2 < k_{2}^2\) 是复数的，产生振荡增长。

参数域 τ₁ < 2(1+ν)，sD < 2(1+ν)：区域 IV

在这种情况下，存在有限范围的不稳定模式，所有模式都以振荡方式增长。

参数变化对图案形成的影响

线性分析提供了分类我们期望的不稳定性类型的方法——指数增长、增长振荡或两者的混合。关键参数是细胞牵引力与基质杨氏模量之比。增加锚定参数 \(s\) 会抑制图案形成；增加扩散会抑制图案形成但增强较小波数的生长；增加粘度会抑制图案形成；增加细胞牵引力使图案更易形成。

表8.2 - 参数区域的线性解行为：

区域	参数范围	线性解行为
I	τ₁ > τₐ = 2(1+ν)	所有非零波数的稳定指数增长
II	τ₁ > τₐ, sD ≥ 1+ν	无图案形成
III	τ_b < τ₁ ≤ τₐ, sD < 1+ν	有限波数范围的振荡增长
IV	τ_c < τ₁ ≤ τ_b, sD < 1+ν	有限波数范围的增长振荡

其中 τₐ = 2(1+ν)，τ_b = 1+ν+√[sD(2(1+ν)-sD)]，τ_c = 1+ν+sD。

8.5 网络图案：数值模拟与结论

数值模拟结果

数值模拟由Manoussaki (1996) 进行。使用的初始条件包括细胞密度关于均匀稳态 n=1 的小随机扰动，或随机分布的小细胞斑块。模拟证实，细胞密度的小初始扰动引发了细胞和基质密度的空间图案形成，这些图案随着时间演变为由细胞索定义的不规则多边形网络。

模拟显示，细胞和基质密度在空间上高度相关——这是因为当细胞重新组织基质时，基质倾向于组织成索状网络，而最初相当均匀分布在基质上的细胞被动地随着重新组织的基质移动，因此会形成相似的网络。

基质厚度影响图案大小

实验表明，基质厚度影响网络的大小以及是否形成。较薄的基质产生较小的多边形；如果厚度低于临界阈值，则观察不到网络。在模型中，基质厚度反映在无量纲附着参数 \(s\) 中。数值模拟表明，在所有检查的基质厚度下都可能形成图案，但形成图案所需的时间随基质厚度的增加而增加。

参数变化的影响

模拟证实了线性稳定性分析的预测：增加细胞牵引力会导致图案形成得更快。较高的牵引力增加了两个细胞斑块相互影响并由此形成较大网络的最大可能距离。扩散似乎在网络是否形成中作用不大——因为产生网络的主要是各种力的相互作用。然而，当扩散参数足够大时（D ≥ 10⁻²），确实会观察到网络的模糊化。各向异性也不是图案形成的必要条件——模型中细胞牵引力是各向同性施加的。

简化模型（D=0）

由于扩散和各向异性对生成这些网络不是必需的，我们可以通过设 D=0 来显著简化基本模型，此时方程变为：

\[n_t + \nabla \cdot (n u_t) = 0\]

\[\nabla \cdot \left[\mu_1 \epsilon_t + \mu_2 \theta_t I + \epsilon + \nu\theta I + \frac{\tau n}{1+\alpha n^2}I\right] = \frac{s}{\rho}u_t\]

\[\rho(x, y, t) = 1 - \nu\theta\]

线性化后得到的色散关系为：

\[\sigma(k^2) = \frac{\left(\frac{\tau(1-\alpha)}{(1+\alpha)^2} - 1 - \nu\right)k^2}{\mu k^2 + s}\]

所有波数扰动在条件 \(\tau > (1+\nu)\frac{(1+\alpha)^2}{1-\alpha} \approx 1+\nu\)（对于 α << 1）下不稳定。

公式汇总表

方程编号	公式	描述
(8.1)	\(\frac{\partial n}{\partial t} = -\nabla \cdot (n u_t) + \nabla \cdot \nabla \cdot (D(\epsilon)n)\)	细胞密度守恒方程
(8.2)	\(D(\epsilon) = D_0 \begin{pmatrix} 1+\frac{\epsilon_{11}-\epsilon_{22}}{2} & \frac{\epsilon_{12}}{2} \\ \frac{\epsilon_{21}}{2} & 1+\frac{\epsilon_{22}-\epsilon_{11}}{2} \end{pmatrix}\)	扩散张量
(8.3)	\(F_{matrix} + F_{cells} + F_{anchoring} = 0\)	力平衡方程
(8.4)	\(\sigma_{cells} = \frac{\tau n}{1 + \alpha n^2}I\)	细胞牵引力
(8.5)	\(\sigma_{matrix} = \mu_1 \epsilon_t + \mu_2 \theta_t I + E^\epsilon + \nu^\theta I\)	粘弹性应力
(8.6)	\(F_{anchoring} = -\frac{s}{\rho}u_t\)	锚定阻力
(8.7)	\(\rho(x,y,t) = \rho_0(1-\frac{\nu}{1-2\nu}\theta)\)	基质厚度关系
(8.11)	无量纲化模型方程组	模型主方程
(8.15)	\(\sigma(\mu_1 k^2 + 2s)\sigma + k^2(\mu k^2 + s)\sigma^2 + b(k^2)\sigma + c(k^2) = 0\)	特征方程
(8.20)	\(\sigma_1 = \frac{(\tau_1 - 1 - \nu)k^2}{\mu k^2 + s}\)	D=0时的增长速率
(8.21)	\(\tau > \frac{2E(1-\nu)(1+\alpha n_0^2)^2}{n_0(1+\nu)(1-2\nu)(1-\alpha n_0^2)}\)	图案形成条件
(8.32)	\(\sigma(k^2) = \frac{\left(\frac{\tau(1-\alpha)}{(1+\alpha)^2} - 1 - \nu\right)k^2}{\mu k^2 + s}\)	简化模型色散关系

关键参数汇总表

参数	符号	量纲	典型值范围
每细胞牵引力	\(\tau\)	达因/细胞	0.03–0.7
杨氏模量	\(E\)	达因/厘米²	8–27
泊松比	\(\nu\)	无量纲	0.2
剪切粘度(\(\mu_1\))	\(\mu_1\)	达因·秒/厘米²	2.5×10²–7×10⁷
剪切粘度(\(\mu_2\))	\(\mu_2\)	达因·秒/厘米²	10⁵–10⁹
随机运动系数	\(D_0\)	厘米²/秒	4–9×10⁻⁹
平均细胞密度	\(n_0\)	细胞/厘米²	4×10⁴–2×10⁵
锚定参数	\(s\)	达因·秒/厘米³	10⁶–10¹¹
初始基质厚度	\(\rho_0\)	毫米	0.01–0.6

本章小结

本章介绍了血管生成（vasculogenesis）的机械化学理论应用，成功建立了细胞-基质相互作用形成血管网络的数学模型。主要结论包括：

机械力是图案形成的关键：细胞牵引力、基质弹性和粘性阻力之间的相互作用足以产生类似实验观察到的血管网络图案，无需细胞扩散或各向异性。
参数敏感性：图案形成的关键参数是细胞牵引力与基质杨氏模量之比（τ/E）。较大的细胞密度、较高的牵引力、较低的基质刚度和较低的粘度有利于网络形成。
基质厚度的影响：较薄的基质产生较小的多边形网络，这与实验观察一致。
模型验证：数值模拟产生的网络图案与体外实验观察到的图案非常相似，验证了机械模型的合理性。
生物学意义：该模型表明，细胞通过其丝足牵引力可以改变其空间环境并影响形成的图案，这是Murray-Oster机械化学理论的一个典型应用实例。

本章的建模方法为数学生物学提供了一个框架，可用于研究血管新生相关的其他问题，如肿瘤生长控制和伤口愈合。